世界の最新の数字は何ですか? 最大の数は何ですか? 巨大な数字とは何でしょうか？
私はかつて、極地探検家から数字を数えて書き留めることを教えられたチュクチ族についての悲劇的な話を読んだことがあります。 彼は数字の魔法に非常に驚いたので、極地探検家から寄贈されたノートに、世界中のすべての数字を 1 から始めて連続して書き留めることにしました。 チュクチ族は自分のことをすべて放棄し、自分の妻とさえコミュニケーションを取りなくなり、ワモンアザラシやアザラシを狩ることもなくなり、ノートに数字を書き続けます…。 こうして一年が過ぎていきます。 結局、ノートがなくなり、チュクチはすべての数字のほんの一部しか書き留めることができなかったことに気づきます。 彼は激しく泣き、絶望の中で走り書きしたノートを燃やし、再び漁師としてのシンプルな生活を送り始め、もはや神秘的な無限の数字について考える必要はありません...
このチュクチの偉業を繰り返して最大の数を見つけようとするのはやめましょう。どんな数値でも 1 を足すだけでさらに大きな数が得られるからです。 似ていますが、異なる質問を自分自身に問いかけてみましょう。独自の名前を持つ数字のうち、最も大きいのはどれですか?
数字自体は無限ですが、ほとんどの数字がより小さな数字からなる名前で満足しているため、数字自体はそれほど多くの固有名を持っていないことは明らかです。 したがって、たとえば、数字の 1 と 100 には「one」と「oneundred」という独自の名前があり、数字 101 の名前はすでに複合されています (「onehundredandone」)。 人類が与えた有限の数の集合において、 自分の名前、何らかの最大数が存在するはずです。 しかし、それは何と呼ばれるもので、何に等しいのでしょうか? これを計算して、最終的にこれが最大の数であることを見つけてみましょう。
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「ショート」スケールと「ロング」スケール
現代の大きな数の命名法の歴史は 15 世紀半ばに遡ります。イタリアでは、1000 の 2 乗を表す「million」（文字通り、大きな千）、100 万の 2 乗を表す「bimillion」という言葉が使い始められました。 「トリミリオン」は100万の立方体を表します。 私たちがこのシステムについて知っているのは、フランスの数学者ニコラ シュケ (1450 年頃 - 1500 年頃) のおかげです。彼は彼の論文「数の科学」(Triparty en la Science des nombres、1484 年) の中でこのアイデアを発展させ、さらに使用することを提案しました。ラテン語の基数 (表を参照) を末尾の「-million」に追加します。 したがって、シュークの「10 億」は 10 億に、「3 兆」は 1 兆になり、100 万の 4 乗は「1 兆」になりました。
シュケ体系では、100 万と 10 億の間にある 10 9 という数字には独自の名前がなく、単に「千億」と呼ばれていました。同様に、10 15 は「千億」、10 21 - 「a」と呼ばれていました。千兆」など。 これはあまり便利ではなかったため、1549 年にフランスの作家で科学者のジャック ペルティエ デュ マン (1517-1582) は、そのような「中間」の数字に、同じラテン語の接頭辞を使用して、最後に「-billion」を付けることを提案しました。 したがって、10 9は「10億」、10 15は「ビリヤード」、10 21は「兆」などと呼ばれるようになりました。
Chuquet-Peletier システムは徐々に普及し、ヨーロッパ全土で使用されるようになりました。 しかし、17世紀になると予期せぬ問題が発生しました。 何らかの理由で一部の科学者が混乱し、10 9 という数字を「10億」や「1000万」ではなく「10億」と呼び始めたことが判明しました。 間もなく、この誤りは急速に広がり、逆説的な状況が生じました。「10 億」は同時に「10 億」(10 9) および「100 万」(10 18) と同義になりました。
この混乱はかなり長い間続き、米国が大きな数字に名前を付けるための独自のシステムを作成したという事実につながりました。 アメリカのシステムによれば、数字の名前は、ラテン語の接頭辞と末尾の「million」という、Chuquet システムと同じ方法で構築されます。 ただし、これらの数値の大きさは異なります。 シュケ方式では、語尾に「illion」が付いた名前が 100 万乗の数字を受け取った場合、アメリカ方式では、語尾の「-illion」は 1000 乗になります。 つまり、1000万（1000 3 = 10 9）は「10億」、1000 4（10 12）は「兆」、1000 5（10 15）は「クアドリリオン」などと呼ばれるようになりました。
大きな数字に名前を付ける古いシステムは、フランスのシュケとペルティエによって発明されたという事実にもかかわらず、保守的なイギリスで引き続き使用され、世界中で「ブリティッシュ」と呼ばれるようになりました。 しかし、1970 年代に英国は正式に「米国システム」に切り替えたため、あるシステムを米国と呼び、別のシステムを英国と呼ぶのはどういうわけか奇妙になりました。 その結果、現在ではアメリカのシステムは一般的に「ショート スケール」と呼ばれ、イギリスまたはシュケ-ペルティエ システムは「ロング スケール」と呼ばれています。
混乱を避けるために、次のように要約しましょう。
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この短い命名スケールは現在、米国、英国、カナダ、アイルランド、オーストラリア、ブラジル、プエルトリコで使用されています。 ロシア、デンマーク、トルコ、ブルガリアも短いスケールを使用しますが、10 9 という数字は「10 億」ではなく「10 億」と呼ばれます。 ロングスケールは他のほとんどの国で引き続き使用されています。
不思議なことに、わが国では、短期スケールへの最終的な移行が20世紀後半になってから起こった。 たとえば、ヤコフ・イシドロヴィチ・ペレルマン（1882-1942）は、著書『エンターテイメント算術』の中で、ソ連における 2 つの秤の並行存在について言及しています。 ペレルマンによれば、短いスケールは日常生活や経済計算に使用され、長いスケールは天文学や物理学に関する科学書で使用されました。 しかし、現在、ロシアでは数が多いにもかかわらず、長い尺度を使用することは間違っています。
しかし、最大数の検索に戻りましょう。 デシリオン以降は、接頭語を組み合わせて数字の名前が得られます。 これにより、アンデシリオン、デュオデシリオン、トレデシリオン、クワトルデシリオン、クインデシリオン、セックスデシリオン、セプテムデシリオン、オクトデシリオン、ノベムデシリオンなどの数値が生成されます。 ただし、独自の非複合名を持つ最大数を見つけることに同意したため、これらの名前は私たちにとってもう興味がありません。
ラテン語の文法に目を向けると、ローマ人は 10 より大きい数に対して非複合名を 3 つだけ持っていたことがわかります。viginti - 「20」、centum - 「百」、および mille - 「千」です。 ローマ人は、1,000 を超える数字に独自の名前を持っていませんでした。 たとえば、ローマ人は100万（1,000,000）を「deces centena milia」、つまり「10万の10倍」と呼びました。 チュケの法則によれば、これらの残りの 3 つのラテン数字は、「ビギンティリオン」、「センティリオン」、「ミリオン」などの数字の名前を与えます。
したがって、「短いスケール」では、それ自体の名前があり、より小さい数の合成ではない最大数は「100 万」(10 3003) であることがわかりました。 ロシアが数字の命名に「長いスケール」を採用した場合、独自の名前を持つ最大の数字は「10億」（10 6003）となるでしょう。
ただし、さらに大きな数にも名前があります。
システム外の数字
一部の番号には、ラテン語の接頭辞を使用した命名システムとは関係なく、独自の名前が付けられています。 そしてそのような数字はたくさんあります。 たとえば、番号を覚えておくことができます eただし、ここでは大きな数に興味があるため、100 万を超える独自の非合成名を持つ数のみを考慮します。
17 世紀まで、ロシアでは数字の命名に独自のシステムが使用されていました。 数万は「ダークネス」、数十万は「レギオン」、数百万は「レオダー」、数千万は「レイヴン」、数億は「デッキ」と呼ばれました。 この数億までの数は「小数」と呼ばれ、一部の原稿では著者は「大数」とも考えており、大きな数には同じ名前が別の意味で使用されています。 したがって、「暗闇」はもはや一万人ではなく千人（10 6）を意味し、「軍団」-それらの暗闇（10 12）を意味します。 「レオドル」 - 軍団の軍団（10 24）、「レイヴン」 - レオドロのレオドル（10 48）。 何らかの理由で、偉大なスラブの数え方における「デッキ」は「カラスのカラス」（10 96）と呼ばれず、わずか10の「カラス」、つまり10 49と呼ばれていました（表を参照）。
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10,100 という数字にも独自の名前があり、9 歳の少年によって考案されました。 そしてそれはこんな感じでした。 1938 年、アメリカの数学者エドワード カスナー (1878 ～ 1955) は 2 人の甥と一緒に公園を散歩し、大勢の数について話し合っていました。 会話の中で、私たちは独自の名前のない、ゼロが 100 個ある数字について話しました。 甥の一人、9歳のミルトン・シロット君は、この番号を「グーゴル」と呼ぶよう提案した。 1940 年、エドワード カスナーはジェームズ ニューマンとともに人気の科学書『数学と想像力』を執筆し、そこで数学愛好家にグーゴル数について語りました。 Googol は、それにちなんで名付けられた Google 検索エンジンのおかげで、1990 年代後半にさらに広く知られるようになりました。
googol よりもさらに大きな数の名前は、コンピューター サイエンスの父であるクロード エルウッド シャノン (1916 ～ 2001 年) のおかげで 1950 年に生まれました。 彼の記事「チェスをプレイするためのコンピュータのプログラミング」の中で、彼はその数を推定しようとしました。 可能なオプションチェスのゲーム。 それによると、各ゲームは平均 40 の手で続き、各手でプレーヤーは平均 30 の選択肢から選択します。これは、900 40 (約 10,118 に等しい) のゲーム オプションに相当します。 この作品は広く知られるようになり、この番号は「シャノン番号」として知られるようになりました。
紀元前 100 年に遡る有名な仏教論文『ジャイナ スートラ』では、「アサンヘヤ」という数字が 10,140 に等しいことがわかります。 この数は、涅槃に達するのに必要な宇宙周期の数に等しいと考えられています。
9歳のミルトン・シロッタは、グーゴルという数字を発明しただけでなく、同時に別の数、つまり10の「乗」に等しい「グーゴルプレックス」を提案したという理由で数学の歴史に名を残しました。 googol」、つまり、ゼロの googol を持つものです。
南アフリカの数学者スタンリー・スキューズ (1899-1988) は、リーマン予想を証明する際に、グーゴルプレックスよりも大きいさらに 2 つの数を提案しました。 最初の番号は、後に「Skuse 番号」として知られるようになり、次の値に等しくなります。 e程度に e程度に e 79乗、つまり e e e 79 = 10 10 8.85.10 33 。 ただし、「2 番目のスキュー数」はさらに大きく、10 10 10 1000 です。
当然のことですが、累乗の数が増えれば増えるほど、数字を書くことも、読むときにその意味を理解することも難しくなります。 さらに、度数が単にページに収まらない場合でも、そのような数字を思いつくことは可能です（ちなみに、それらはすでに発明されています）。 はい、それはページにあります！ 宇宙全体の大きさの本にさえ収まりません。 この場合、そのような数字をどのように書くかという問題が生じます。 幸いなことに、この問題は解決可能であり、数学者はそのような数値を書くためのいくつかの原則を開発しました。 確かに、この問題について尋ねた数学者は皆、独自の書き方を考え出しました。その結果、大きな数を書くための無関係な方法がいくつか存在するようになりました。これらは、クヌース、コンウェイ、スタインハウスなどの表記法です。私たちは今、対処しなければなりません。そのうちの何人かと一緒に。
その他の表記
1938 年、9 歳のミルトン シロッタがグーゴルとグーゴルプレックスという数字を発明したのと同じ年に、面白い数学についての本、フーゴ ディオニジ シュタインハウス (1887-1972) が書いた『数学的万華鏡』がポーランドで出版されました。 この本は非常に人気となり、版を重ね、英語やロシア語を含む多くの言語に翻訳されました。 その中で、スタインハウスは大きな数について議論し、三角形、正方形、円という 3 つの幾何学的図形を使ってそれらを書く簡単な方法を提供しています。
「ん三角形の「」は「」を意味します ん、ん»,
« n「二乗」は「」を意味します n V n三角形"、
« n「円の中に」とは「」を意味します n V n正方形。」
この表記方法を説明するために、シュタインハウスは円の 2 に等しい数「メガ」を考え出し、それが「正方形」の 256、または 256 個の三角形の 256 に等しいことを示しました。 これを計算するには、256 の 256 乗、結果の数値 3.2.10 616 の 3.2.10 616 乗、さらに結果の数値の乗というように行う必要があります。それを256乗します。 たとえば、MS Windows の電卓では、2 つの三角形であっても 256 がオーバーフローして計算できません。 この膨大な数はおよそ 10 10 2.10 619 です。
「メガ」数を決定した後、スタインハウスは読者に別の数、円の 3 に等しい「メゾン」を独自に推定するよう勧めています。 この本の別の版では、シュタインハウスは、メドゾーンの代わりに、さらに大きな数、つまり円周の 10 に等しい「メギストン」を推定することを提案しています。 シュタインハウスに従って、私も読者に、このテキストからしばらく離れて、その巨大な大きさを感じるために、通常の力を使ってこれらの数字を自分で書いてみることをお勧めします。
ただし、b には名前があります。 ○より大きな数字。 したがって、カナダの数学者レオ モーザー (レオ モーザー、1921 ～ 1970 年) は、メギストンよりもはるかに大きな数値を書く必要がある場合、困難と不便が生じるという事実によって制限されていたシュタインハウスの表記法を修正しました。円の中にたくさんの円を描く必要があります。 モーザー氏は、正方形の後に円ではなく、五角形、次に六角形などを描くことを提案しました。 彼はまた、複雑な絵を描かずに数字を書けるように、これらの多角形の正式な表記法を提案しました。 Moser 記法は次のようになります。
« n三角形」 = ん、ん = n;
« n二乗" = n = « n V n三角形" = nn;
« n五角形の中に" = n = « n V n正方形" = nn;
« n V k+ 1ゴン」＝ n[k+1] = " n V n k-ゴンズ" = n[k]n.
したがって、モーザーの表記によれば、シュタインハウスの「メガ」は 2、「メドゾーン」は 3、「メギストン」は 10 と書かれます。 さらに、レオ モーザーは、メガに等しい辺の数を持つ多角形を「メガゴン」と呼ぶことを提案しました。 。 そして彼は、「2 in megagon」、つまり 2 という数字を提案しました。この数字はモーザー数、または単に「モーザー」として知られるようになりました。
しかし、「Moser」でさえ最大数ではありません。 つまり、数学的証明でこれまでに使用された最大の数は「グラハム数」です。 この数字は、1977 年にアメリカの数学者ロナルド グラハムがラムゼー理論の 1 つの推定値を証明するとき、つまり特定の次元を計算するときに初めて使用しました。 n-次元の二色超立方体。 グレアム数が有名になったのは、マーティン ガードナーの 1989 年の著書『ペンローズ モザイクから信頼できる暗号まで』で説明されてからです。
グラハム数がどれほど大きいかを説明するには、1976 年にドナルド クヌースによって導入された、大きな数を記述する別の方法を説明する必要があります。 アメリカのドナルド・クヌース教授は超大国の概念を思いつき、それを上向きの矢印で書くことを提案した。
すべては明らかだと思うので、グラハムの数に戻りましょう。 ロナルド・グラハムは、いわゆる G ナンバーを提案しました。
数字 G 64 はグラハム数と呼ばれます (単に G と呼ばれることもよくあります)。 この数字は数学的証明に使用される既知の数字としては世界で最大であり、ギネスブックにも掲載されています。
そして最後に
この記事を書き終えて、自分の番号を考え出したいという誘惑に抵抗せずにはいられません。 この番号を「」と呼ぶことにします スタスプレックス"そしてそれは数値 G 100 に等しくなります。 それを覚えておいて、子供たちが世界で一番大きな数字は何かと尋ねたら、この数字はと呼ばれるものだと教えてください。 スタスプレックス.
パートナーニュース
4 年生の頃、私は「10 億を超える数字は何と呼ばれますか?また、なぜですか?」という質問に興味がありました。 それ以来、私はこの問題に関するすべての情報を長い間探し、少しずつ集めてきました。 しかし、インターネット アクセスの出現により、検索は大幅に高速化されました。 ここで、他の人が「大きな数と非常に大きな数は何と呼ばれますか?」という質問に答えられるように、私が見つけたすべての情報を紹介します。
ちょっとした歴史
南部および東部のスラブ民族は、数字を記録するためにアルファベットの番号付けを使用しました。 さらに、ロシア人にとって、すべての文字が数字の役割を果たしたわけではなく、ギリシャ文字の文字だけが数字の役割を果たしました。 特別な「タイトル」アイコンが番号を示す文字の上に配置されました。 同時に、文字の数値はギリシャ文字の文字と同じ順序で増加しました（スラブ文字の文字の順序はわずかに異なりました）。
ロシアでは、スラブ語の番号付けが 17 世紀末まで保存されました。 ピョートル 1 世の統治下では、いわゆる「アラビア数字」が普及し、現在でもそれが使用されています。
数字の名前にも変更がありました。 たとえば、15 世紀までは「20」という数字は「two ten」（2 10）と書かれていましたが、その後、発音を速くするために短縮されました。 15 世紀までは、「40」という数字は「40」という言葉で表されていましたが、15 世紀から 16 世紀にかけて、この言葉は「40」という言葉に置き換えられました。この言葉は、もともとリスやクロテンの皮が 40 枚入った袋を意味していました。置いた。 「千」という言葉の由来については2つの選択肢があります。古い名前の「厚い百」から、またはラテン語のセンタムの変形である「百」からです。
「ミリオン」という名前は、1500 年にイタリアで初めて登場し、数字の「ミル」に拡張接尾辞、つまり千（つまり、「大きな千」を意味する）を追加することによって形成され、後にロシア語に浸透しました。ロシア語でも同じ意味で、「leodr」という数字で指定されました。 「10億」という言葉が使われるようになったのは、普仏戦争（1871年）以来で、この戦争ではフランスがドイツに50億フランの賠償金を支払わなければならなかった。 「million」と同様、「billion」という言葉も「thousand」という語根にイタリア語の拡大接尾辞が付加されたものです。 ドイツとアメリカではしばらくの間、「10億」という言葉は1億という数字を意味していました。 これは、億万長者という言葉が、金持ちが 10 億ドルを持つ前にアメリカで使われていたことを説明しています。 古代（18世紀）のマグニツキーの「算術」では、「10兆」（6桁のシステムによれば10の24）に換算された数の名前の表が与えられています。 ペレルマン Ya.I. 『面白い算術』という本には、セプティリオン (10^42)、オクタリオン (10^48)、ノナリオン (10^54)、デカリオン (10^60) など、現在とは少し異なる当時の多数の名前が記載されています。 、エンデカリオン(10^66)、ドデカリオン(10^72)と「これ以上の名前はない」と書かれています。
名前と大きな数字のリストを作成するための原則
大きな数字の名前はすべて非常に単純な方法で作成されます。最初にラテン語の序数があり、最後に接尾辞 -million が追加されます。 例外は、名前「million」です。これは、数字の千 (mille) と拡張接尾辞 -million の名前です。 世界には、大きな数字を表す名前が主に 2 種類あります。
システム 3x+3 (x はラテン語の序数) - このシステムは、ロシア、フランス、米国、カナダ、イタリア、トルコ、ブラジル、ギリシャで使用されています。
6x システム (x はラテン語の序数) - このシステムは世界で最も一般的です (例: スペイン、ドイツ、ハンガリー、ポルトガル、ポーランド、チェコ共和国、スウェーデン、デンマーク、フィンランド)。 この中で、欠けている中間の 6x+3 は接尾辞 -billion で終わります (そこから、billion を借用し、billion とも呼ばれます)。
以下は、ロシアで使用される一般的な番号のリストです。
| 番号 | 名前 | ラテン数字 | 拡大アタッチメントSI | 減少するプレフィックス SI | 実用的な意義 |
| 10 1 | 十 | デカ～ | デシ- | 2つの手の指の数 | |
| 10 2 | 百 | ヘクト- | センチメートル | 地球上のすべての州の数の約半分 | |
| 10 3 | 千 | キロ- | ミリ- | 3年間のおおよその日数 | |
| 10 6 | 百万 | ウヌス（私） | メガ- | マイクロ | 10リットルのバケツの水に滴る数の5倍 |
| 10 9 | 十億（十億） | デュオ（Ⅱ） | ギガ～ | ナノ | インドの推定人口 |
| 10 12 | 兆 | トレス(III) | てら～ | ピコ～ | 2003 年のロシア国内総生産 (ルーブル) の 1/13 |
| 10 15 | 千兆 | カトル (IV) | ペタ～ | フェムト- | 1 パーセクの長さの 1/30 (メートル) |
| 10 18 | 京 | クインケ (V) | 例- | あっと～ | チェスの発明者に贈られた伝説の賞の粒の1/18 |
| 10 21 | 60億 | セックス (VI) | ゼッタ～ | セト- | 地球の質量の 1/6 トン |
| 10 24 | し | セプテム (VII) | よかった～ | ヨクト～ | 37.2リットルの空気中の分子の数 |
| 10 27 | オクティリオン | オクト (VIII) | いや、- | ふるい- | 木星の質量の半分（キログラム） |
| 10 30 | 京 | 小説 (IX) | DEA- | スレッドー | 地球上の全微生物の 1/5 |
| 10 33 | デシリオン | 12月(X) | うな～ | 革命 | 太陽の半分の質量（グラム） |
その後に続く数字の発音が異なることがよくあります。
| 番号 | 名前 | ラテン数字 | 実用的な意義 |
| 10 36 | アンデシリオン | アンデシム (XI) | |
| 10 39 | 十二億 | 十二進法 (XII) | |
| 10 42 | 10億 | トレデシム (XIII) | 地球上の空気分子の数の1/100 |
| 10 45 | カトルデシリオン | クワットゥオーデシム (XIV) | |
| 10 48 | 1京 | 5 進数 (XV) | |
| 10 51 | セックスデシリオン | セデシム (XVI) | |
| 10 54 | セプテムデシリオン | セプテンデシム (XVII) | |
| 10 57 | オクトデシリオン | 太陽には素粒子がたくさんある | |
| 10 60 | 11月デシリオン | ||
| 10 63 | 警戒 | ヴィギンティ (XX) | |
| 10 66 | 不安 | 安全な生活 (XXI) | |
| 10 69 | デュオビギンティリオン | デュオとヴィギンティ (XXII) | |
| 10 72 | トレビギンティリオン | トレとヴィギンティ (XXIII) | |
| 10 75 | カトルヴィギンティリオン | ||
| 10 78 | クインビギンティリオン | ||
| 10 81 | セックスビギンティリオン | 宇宙にはたくさんの素粒子が存在する | |
| 10 84 | セプテムビジンティリオン | ||
| 10 87 | オクトヴィギンティリオン | ||
| 10 90 | 11月のビギンティリオン | ||
| 10 93 | 兆兆 | トリギンタ (XXX) | |
| 10 96 | アンチギンティリオン |
- ...
- 10,100 - グーゴル (この数字はアメリカの数学者エドワード・カスナーの9歳の甥によって発明されました)
- 10 123 - クアドラギンティリオン (クアドラギンタ、XL)
- 10 153 - クインクアギンティリオン (クインクアギンタ、L)
- 10 183 - セクサギンティリオン (セクサギンタ、LX)
- 10,213 - セプトゥアギンティリオン (セプトゥアギンタ、LXX)
- 10,243 - オクトギンタ (オクトギンタ、LXXX)
- 10,273 - ノナギンティリオン (ノナギンタ、XC)
- 10 303 - センティリオン (Centum、C)
- 10 306 - アンセンティリオンまたはセンチュニリオン
- 10 309 - ドゥオセンティリオンまたはセンチュリオン
- 10 312 - 千兆または百兆
- 10 315 - クワトルセンティリオンまたはセントクアドリリオン
- 10 402 - トレトリギンタセンティリオンまたはセンタートリギンティリオン
数字は次のとおりです。
いくつかの文学的参考文献:
- ペレルマン Ya.I. 「楽しい算数」。 - M.: トリアダ・リテラ、1994 年、134-140 ページ
- ヴィゴドスキー M.Ya. 「初等数学ハンドブック」。 - サンクトペテルブルク、1994 年、64-65 ページ
- 「知識の百科事典」。 - コンプ と。 コロトケビッチ。 - サンクトペテルブルク: Sova、2006 年、257 ページ
- 「物理学や数学に興味があります。」 - Quantum Library。 問題 50. - M.: ナウカ、1988 年、50 ページ
「理性のろうそくが与える小さな光点の背後に、闇の中に隠された漠然とした数字の塊が見えます。 彼らは互いにささやき合います。 誰が何を知っているかについて共謀する。 おそらく彼らは、私たちの心の中に自分の弟のことを捉えている私たちをあまり好きではないのでしょう。 あるいは、彼らは単に私たちの理解を超えたところで、一桁の生活を送っているだけかもしれません。
ダグラス・レイ
私たちは続けます。 今日は数字があります...
遅かれ早かれ、誰もが最大の数は何かという質問に悩まされるでしょう。 子どもの質問には何百万もの答えがあります。 次は何ですか？ 兆。 そしてさらに？ 実際、最大の数は何かという質問に対する答えは簡単です。 最大の数に 1 を加えるだけで、最大の数ではなくなります。 この手順は無期限に継続できます。
しかし、「存在する最大の数は何ですか?またその正式な名前は何ですか?」という質問をすると、
今ならすべてが分かるだろう...
数字の命名には、アメリカ式とイギリス式の 2 つのシステムがあります。
アメリカのシステムは非常にシンプルに構築されています。 大きな数字の名前はすべて次のように構成されます。最初にラテン語の序数があり、最後に接尾辞 -million が追加されます。 例外は、数字の千 (緯度) の名前である「ミリオン」という名前です。 ミル) と拡大接尾語 -illion (表を参照)。 このようにして、兆、千兆、京、六千億、セプティリオン、オクティリオン、ノニリオン、デシリオンという数値を取得します。 アメリカのシステムは、アメリカ、カナダ、フランス、ロシアで使用されています。 アメリカの方式に従って書かれた数値内のゼロの数は、3 x + 3 (x はラテン数字) という単純な式を使用して調べることができます。
英語の命名システムは世界で最も一般的です。 たとえば、イギリスやスペインのほか、ほとんどの旧イギリス植民地やスペイン植民地でも使用されています。 このシステムの数字の名前は次のように構築されます。次のように、接尾辞 -million がラテン数字に追加され、次の数字 (1000 倍) が原則に従って構築されます - 同じラテン数字ですが接尾辞 -十億。 つまり、イギリスのシステムでは 1 兆の後に 1 兆があり、その後に初めて 1 京があり、その後に 1 京が続きます。 したがって、イギリスとアメリカのシステムによる 1000 兆はまったく異なる数字です。 英語の表記法に従って書かれ、接尾辞 -million で終わる数値内のゼロの数は、式 6 x + 3 (x はラテン数字) と数字の式 6 x + 6 を使用して調べることができます。 -10億で終わる。
英語のシステムからロシア語に渡されたのは、10 億 (10 9) という数字だけです。アメリカのシステムを採用しているので、アメリカ人が言うところの「10 億」と呼ぶほうがより正確です。 しかし、私たちの国でルールに従って何でもする人がいるでしょうか！ ;-) ところで、ロシア語では「兆」という言葉が時々使われますが (これは Google や Yandex で検索するとわかります)、どうやらそれは 1000 兆、つまり 1000 兆を意味するようです。 千兆。
アメリカ式または英語式に従ってラテン語の接頭辞を使用して書かれた数字に加えて、いわゆる非体系番号も知られています。 ラテン語の接頭辞のない独自の名前を持つ番号。 このような数字はいくつかありますが、それらについては後ほど詳しく説明します。
ラテン数字を使った書き方に戻りましょう。 彼らは数字を無限に書き記すことができるように思えますが、これは完全に真実ではありません。 今からその理由を説明します。 まず、1 から 10 33 までの数字が何と呼ばれているかを見てみましょう。
そして今、次はどうなるのかという疑問が生じます。 決定の背後には何があるのでしょうか？ もちろん、原則として、接頭辞を組み合わせることで、アンデシリオン、デュオデシリオン、トレデシリオン、クワトルデシリオン、クインデシリオン、セックスデシリオン、セプテムデシリオン、オクトデシリオン、ノベムデシリオンなどのモンスターを生成することは可能ですが、これらはすでに複合名になっており、自分の名前の数字に興味があります。 したがって、このシステムによれば、上記に示したものに加えて、取得できる固有名はまだ 3 つだけです - vigintillion (ラテン語から)ヴィギンティ- 20）、センティリオン（緯度から）センタム- 百）と百万（緯度から）ミル- 千）。 ローマ人には数字の固有名が 1,000 を超えることはありませんでした (1,000 を超える数字はすべて合成でした)。 たとえば、ローマ人は百万（1,000,000）と呼んでいました。ディシーズ センテナ ミリア、つまり「100万」です。 そして実際に、テーブルは次のようになります。
したがって、このようなシステムによれば、数値は 10 より大きくなります。 3003 、独自の非複合名を持つことになるため、取得することは不可能です。 しかし、それにもかかわらず、100 万を超える数が知られています。これらは同じ非体系的な数です。 最後にそれらについて話しましょう。
そのような最小の数はミリアード（ダールの辞書にも載っています）で、これは1000、つまり10,000を意味します。この言葉は時代遅れで実際には使用されていませんが、「ミリアド」という言葉が使われているのは興味深いことです。広く使われているこの用語は、明確な数を意味するものではなく、数え切れないほどの、数え切れないほどの多数のことを意味します。 「無数」という言葉は古代エジプトからヨーロッパ言語に入ったと考えられています。
この数字の由来については諸説あります。 エジプトで生まれたと信じる人もいますが、古代ギリシャでのみ誕生したと信じる人もいます。 それはともかく、実際のところ、無数の人々が名声を得たのはまさにギリシャ人のおかげである。 ミリアドは 10,000 を表す名前でしたが、10,000 を超える数を表す名前はありませんでした。 しかし、アルキメデスは、彼のメモ「Psammit」（つまり、砂の微積分）の中で、任意に大きな数を体系的に構築し、名前を付ける方法を示しました。 特に、ケシの実の中に 10,000 (無数の) 砂粒を入れると、宇宙 (地球の無数の直径と同じ直径を持つ球) には (私たちの表記では) 10 粒しか入らないことがわかりました。 63
砂粒 目に見える宇宙の原子の数を現代的に計算すると、10という数字が導かれるのは興味深いことです。 67
（合計すると何倍にもなります）。 アルキメデスは数字に次の名前を提案しました。
1 無数 = 10 4 。
1 ディミリアド = 無数の無数 = 10 8
.
1 トリミリアド = ディミリアド ディミリアド = 10 16
.
1 テトラミリアド = 3 ミリアド 3 ミリアド = 10 32
.
等
Googol (英語の googol に由来) は、10 の 100 乗、つまり 1 の後に 100 個のゼロが続く数字です。 「グーゴル」については、1938 年にアメリカの数学者エドワード カスナーがジャーナル Scripta Mathematica 1 月号の「数学における新しい名前」という記事で初めて書きました。 彼によると、この大きな数字を「グーゴル」と呼ぶよう提案したのは、9歳の甥っ子ミルトン・シロッタだったという。 この番号は、それにちなんで名付けられた検索エンジンのおかげで一般に知られるようになりました。 グーグル。 「Google」はブランド名であり、googol は番号であることに注意してください。
エドワード・カスナー。
インターネット上では、このようなことが書かれているのをよく見かけますが、これは真実ではありません...
紀元前 100 年に遡る有名な仏教論文『ジャイナ スートラ』では、アサンヘヤ (中国語から。 アセンジ- 不可算)、10 140 に等しい。 この数は、涅槃に達するのに必要な宇宙周期の数に等しいと考えられています。
グーゴルプレックス (英語) グーゴルプレックス) - これもカスナーと彼の甥によって発明された数字で、ゼロのグーゴルを含む 1、つまり 10 を意味します。 10100 。 カスナー自身はこの「発見」について次のように説明しています。
知恵の言葉は、少なくとも科学者と同じくらい頻繁に子供たちによって語られます。 「グーゴル」という名前は、非常に大きな数字、つまり 1 の後ろに 0 が 100 個続く数字の名前を考えるように頼まれた子供 (カスナー博士の 9 歳の甥) によって発明されました。この数は無限ではないので、名前が必要であることも同様に確実でした。彼は「グーゴル」を提案すると同時に、さらに大きな数に「グーゴルプレックス」という名前を付けました。グーゴルプレックスはグーゴルよりもはるかに大きいです。 、しかし、名前の発明者がすぐに指摘したように、それはまだ有限です。
数学と想像力(1940) カスナーとジェームス R. ニューマン著。
グーゴルプレックスよりもさらに大きな数であるスキューズ数は、1933 年にスキューズによって提案されました。 J.ロンドン数学。 社会 8, 277-283, 1933.) 素数に関するリーマン予想の証明において。 その意味は e程度に e程度に e 79 乗、つまり ee e 79 。 その後、テ・リエレ、H.J.J.「違いの兆候について」 P(x)-Li(x)。」 数学。 計算します。 48、323-328、1987) Skuse 数を ee に減らしました。 27/4 、これは 8.185 · 10 370 にほぼ等しくなります。 Skuse 番号の値は番号に依存するため、明らかに e、その場合、それは整数ではないため、考慮しません。そうでない場合は、他の非自然数、つまり数値 pi や数値 e などを覚えておく必要があります。
ただし、数学では Sk2 と表される 2 番目の Skuse 番号があり、これは最初の Skuse 番号 (Sk1) よりもさらに大きいことに注意してください。 2 番目のスキュー数, リーマン予想が成り立たない数を示すために、J. Skuse によって同じ記事で導入されました。 Sk2 は 1010 に等しい 10103 、つまり1010です 101000 .
ご存知のとおり、次数が増えるほど、どの数値が大きいかを理解することが難しくなります。 たとえば、Skewes の数値を見ると、特別な計算がなければ、これら 2 つの数値のどちらが大きいかを理解することはほとんど不可能です。 したがって、超大きな数の場合、累乗を使用するのは不便になります。 さらに、度数が単にページに収まらない場合でも、そのような数字を思いつくことができます（そしてそれらはすでに発明されています）。 はい、それはページにあります！ 宇宙全体の大きさの本にも収まりません。 この場合、どのように記載するかが問題となります。 ご理解のとおり、この問題は解決可能であり、数学者はそのような数値を書くためのいくつかの原則を開発しました。 確かに、この問題について尋ねた数学者は皆、独自の書き方を考え出し、その結果、互いに無関係ないくつかの数字の書き方が存在するようになりました。これらは、クヌース、コンウェイ、スタインハウスなどの表記法です。
Hugo Stenhouse (H. Steinhaus. 数学的なスナップショット、第3版。 1983)、これは非常に単純です。 スタインハウスは内側に大きな数字を書くことを提案しました 幾何学的形状- 三角形、四角形、円形:
スタインハウスは 2 つの新しい超大数を考え出しました。 彼はその数字を「メガ」、その数字を「メギストン」と名付けました。
数学者のレオ・モーザーはステンハウスの表記法を改良しましたが、メギストンよりもはるかに大きな数を書き記す必要がある場合、多くの円を一方の内側にもう一方の内側に描く必要があるため、困難と不便が生じるという制限がありました。 モーザー氏は、正方形の後に円ではなく、五角形、次に六角形などを描くことを提案しました。 彼はまた、複雑な絵を描かずに数字を書けるように、これらの多角形の正式な表記法を提案しました。 Moser 記法は次のようになります。
したがって、モーザーの表記によれば、スタインハウスのメガは 2、メギストンは 10 と書かれます。さらに、レオ モーザーは、辺の数がメガ - メガゴンに等しい多角形を呼ぶことを提案しました。 そして彼は、「メガゴンの 2」、つまり 2 という数字を提案しました。この数字は、モーザーの数、または単にモーザーとして知られるようになりました。
しかしモーザー氏は最大数ではない。 数学的証明でこれまでに使用された最大の数は、グラハム数として知られる限界量であり、1977 年にラムゼー理論の推定値の証明で最初に使用されました。これは二色超立方体に関連付けられており、次の特別な 64 レベル システムなしでは表現できません。 1976 年に Knuth によって導入された特別な数学記号。
残念ながら、Knuth の表記法で書かれた数値を Moser システムの表記法に変換することはできません。 したがって、このシステムについても説明する必要があります。 原則として、これについても複雑なことは何もありません。 Donald Knuth (はい、はい、これは「The Art of Programming」を執筆し、TeX エディターを作成したのと同じ Knuth です) はスーパーパワーの概念を思いつき、それを上向きの矢印で書くことを提案しました。
一般的には次のようになります。
すべては明らかだと思うので、グラハムの数に戻りましょう。 グラハムは、いわゆる G ナンバーを提案しました。
- G1 = 3..3、スーパーパワーの矢の数は 33 です。
- G2 = ..3、スーパーパワーの矢の数は G1 と等しくなります。
- G3 = ..3、スーパーパワーの矢の数は G2 と等しくなります。
- G63 = ..3、スーパーパワーの矢の数は G62 です。
G63 番号はグラハム番号と呼ばれるようになりました (単に G と呼ばれることもよくあります)。 この数は既知の世界で最大の数であり、ギネスブックにも記載されています。 そしてここ
アラビア数字の名前では、各桁が独自のカテゴリに属し、3 桁ごとにクラスが形成されます。 したがって、数値の最後の桁はその単位の数を示し、それに応じて「一の位」と呼ばれます。 次の、末尾から 2 番目の桁は、十の位 (十の位) を示し、末尾から 3 番目の桁は、数字の百の位、つまり百の位を示します。 さらに、数字は各クラスで同じように順番に繰り返され、すでに千、百万などのクラスで数十、数百の単位を示しています。 数値が小さく、十や百の位がない場合は、それらをゼロとみなすのが通例です。 クラスは数字を 3 つの数字でグループ化し、多くの場合、コンピューティング デバイスまたはレコード内のクラス間にピリオドまたはスペースを配置して、クラスを視覚的に分離します。 これは、大きな数値を読みやすくするために行われます。 各クラスには独自の名前があり、最初の 3 桁は単位のクラスで、次に千、百万、十億 (または十億) などのクラスが続きます。
10 進法を使用しているため、数量の基本単位は 10、つまり 10 1 です。 したがって、数値の桁数が増加すると、10 2、10 3、10 4 など、10 の位の数も増加します。 10 の数がわかれば、その数のクラスと順位を簡単に決定できます。たとえば、10 16 は数十京、3 × 10 16 は十京です。 数値の小数部分への分解は次のように行われます。各桁は別個の項で表示され、必要な係数 10 n が乗算されます。ここで、n は桁の左から右への位置です。
例えば： 253 981=2×10 6 +5×10 5 +3×10 4 +9×10 3 +8×10 2 +1×10 1
10 の累乗は小数を書くときにも使用されます。10 (-1) は 0.1、つまり 10 分の 1 です。 前の段落と同様の方法で、10 進数を展開することもできます。この場合の n は、小数点からの桁の右から左の位置を示します。次に例を示します。 0.347629= 3×10 (-1) +4×10 (-2) +7×10 (-3) +6×10 (-4) +2×10 (-5) +9×10 (-6)
10 進数の名前。 10 進数は、小数点の後の最後の桁で読み取られます。たとえば、0.325 - 325/1000 です。ここで、1000 の位は最後の桁 5 の位になります。
大きな数、数字、クラスの名前の表
| 1級ユニット | 単位の1桁目 2桁目の10の位 3位百 |
1 = 10 0 10 = 10 1 100 = 10 2 |
| 2等千 | 千の位の最初の桁 2桁目の万 3番目のカテゴリ 数十万 |
1 000 = 10 3 10 000 = 10 4 100 000 = 10 5 |
| 3等百万 | 百万単位の1桁目 第2カテゴリー 数千万 3番目のカテゴリー 数億 |
1 000 000 = 10 6 10 000 000 = 10 7 100 000 000 = 10 8 |
| 第4クラスの10億ドル | 10億の単位の1桁目 第2カテゴリー 数百億 第3カテゴリー 数千億 |
1 000 000 000 = 10 9 10 000 000 000 = 10 10 100 000 000 000 = 10 11 |
| 5年生の兆 | 兆の一桁単位 第2類 数十兆 第3カテゴリー 数百兆 |
1 000 000 000 000 = 10 12 10 000 000 000 000 = 10 13 100 000 000 000 000 = 10 14 |
| 6年生の千兆 | 京の一桁単位 2位 数十京 3桁目の数十京 |
1 000 000 000 000 000 = 10 15 10 000 000 000 000 000 = 10 16 100 000 000 000 000 000 = 10 17 |
| 7年生の京 | 京単位の1桁目 第2カテゴリー 数十京 3桁目の100京 |
1 000 000 000 000 000 000 = 10 18 10 000 000 000 000 000 000 = 10 19 100 000 000 000 000 000 000 = 10 20 |
| 8年生セクスティリオン | セクスティリオン単位の1桁目 2位 数十億 3位100億 |
1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21 10 000 000 000 000 000 000 000 = 10 22 1 00 000 000 000 000 000 000 000 = 10 23 |
| 9年生セプティリオン | セプティリオン単位の 1 桁目 第 2 カテゴリー 数十セプティリオン 3桁目の100セプティリオン |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24 10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 25 100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 26 |
| 10年生オクティリオン | オクティリオン単位の 1 桁目 2 桁目の 10 オクティリオン 3桁目の100オクシリオン |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 27 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 28 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 29 |
信じられないほど巨大な数字があり、それを書き留めるには宇宙全体が必要になるでしょう。 しかし、本当にクレイジーなのはここです...これらの計り知れないほど大きな数字のいくつかは、世界を理解するために重要です。
私が「宇宙で最大の数」と言うとき、私は実際には最大の数を意味します。 重要な数値、何らかの形で役立つ最大の数値。 このタイトルには多くの候補がありますが、すぐに警告します。すべてを理解しようとすると、本当に混乱してしまう危険性があります。 それに、計算が多すぎるとあまり楽しめなくなります。
グーゴルとグーゴルプレックス
エドワード・カスナー
あなたがこれまでに聞いたことのある 2 つの最大の数字から始めることができます。これらは確かに、世界の定義として一般に受け入れられている 2 つの最大の数字です。 英語。 (好きなだけ大きな数字を表すために使用されるかなり正確な命名法がありますが、これら 2 つの数字は最近の辞書には載っていません。) Googol は世界的に有名になって以来 (間違いはありますが、注意してください。実際には Googol です) ) Google の形で、子供たちに大きな数字に興味を持たせる方法として 1920 年に誕生しました。
この目的を達成するために、エドワード・カスナー（写真）は二人の甥、ミルトン・シロットとエドウィン・シロットを連れてニュージャージー・パリセーズを散歩した。 彼は子供たちに何かアイデアを考え出すよう勧め、9歳のミルトンは「グーゴル」を提案した。 彼がこの言葉をどこから得たのかは不明ですが、カスナーは次のように判断しました。 
または、単位の後に 100 個のゼロが続く数字は、今後グーゴルと呼ばれます。
しかし、若いミルトンはそこで止まらず、さらに大きな数であるグーゴルプレックスを提案しました。 ミルトンによれば、これは最初の位が 1 で、次に飽きるまでに書ける限り多くのゼロを並べた数字です。 このアイデアは魅力的ですが、カスナー氏は、より正式な定義が必要であると判断しました。 彼が 1940 年の著書『数学と想像力』で説明したように、ミルトンの定義は、偶然の道化師が単に体力が優れているというだけの理由で、アルバート・アインシュタインより優れた数学者になる可能性があるという危険な可能性を残しています。
そこでカスナーは、グーゴルプレックスを 、または 1、そしてゼロのグーゴルにすることを決定しました。 それ以外の場合、他の数値について扱うのと同様の表記法では、googolplex は であると言います。 これがいかに興味深いかを示すために、カール・セーガンはかつて、宇宙には十分なスペースがないため、グーゴルプレックスのすべてのゼロを書き留めることは物理的に不可能であると述べました。 観測可能な宇宙の全容積をサイズ約 1.5 ミクロンの小さな塵粒子で満たすと、次の数になります。 さまざまな方法でこれらの粒子の位置は、1 つのグーゴルプレックスにほぼ等しくなります。
言語学的に言えば、googol と googolplex はおそらく (少なくとも英語では) 2 つの最大の有意数ですが、これから確立するように、「有意性」を定義する方法は無限にあります。
現実の世界
最大の有効数について話す場合、これは実際に世界に実際に存在する値を持つ最大の数を見つける必要があることを意味するという合理的な議論があります。 まず現在の人類人口から始めましょう。人口は現在約 69 億 2,000 万人です。 2010 年の世界 GDP は約 61 兆 9,600 億ドルと推定されていますが、これらの数字はいずれも、人体を構成する約 100 兆個の細胞に比べれば取るに足らないものです。 もちろん、これらの数値はいずれも、一般に約 と考えられている宇宙の粒子の総数に匹敵するものではありません。この数値は非常に大きいため、私たちの言語ではそれを表す言葉がありません。
尺度の体系を少しいじって、数字をどんどん大きくしてみましょう。 したがって、トンで表した太陽の質量はポンドで表したものより小さくなります。 これを行うための優れた方法は、物理法則が適用される最小の単位であるプランク単位系を使用することです。 たとえば、プランク時間での宇宙の年齢は約 です。 ビッグバン後の最初のプランク時間単位に戻ると、当時の宇宙の密度が であったことがわかります。 どんどん増えていますが、まだグーゴルにすら到達していません。
現実世界のアプリケーション (この場合は現実世界のアプリケーション) における最大の数は、おそらく、多元宇宙における宇宙の数の最新の推定値の 1 つです。 この数は非常に大きいので、 人間の脳脳はおおよその構成しかできないため、文字通りこれらすべての異なる宇宙を認識することはできません。 実際、多元宇宙全体の考え方を考慮しない限り、この数字はおそらく実用的に意味のある最大の数字です。 しかし、そこにはまだはるかに多くの数が潜んでいます。 しかし、それらを見つけるには純粋な数学の領域に入る必要があり、素数より始めるのに適した場所はありません。
メルセンヌ素数
課題の 1 つは、「有意な」数値とは何かについての適切な定義を考え出すことです。 1 つの方法は、素数と合成数の観点から考えることです。 おそらく学校の数学で覚えているように、素数とは、それ自体でのみ割り切れる任意の自然数 (1 に等しくないことに注意) です。 したがって、 と は素数であり、 と は合成数です。 これは、どんな合成数も最終的には素因数で表現できることを意味します。 ある意味では、数値は、たとえば よりも重要です。これは、より小さい数値の積で数値を表す方法がないためです。
明らかに、もう少し先に進むことができます。 たとえば、 は実際には単なる です。これは、数値に関する知識が に限定されている仮説の世界でも、数学者は数値 を表現できることを意味します。 しかし、次の数は素数であり、それを表現するにはその存在を直接知るしかないことを意味します。 これは、既知の最大の素数が重要な役割を果たすが、たとえば、究極的には単に数値と を掛け合わせたものにすぎないグーゴルは実際には重要ではないことを意味します。 また、素数は基本的にランダムであるため、信じられないほど大きな数が実際に素数になることを予測する既知の方法はありません。 今日に至るまで、新しい素数を発見することは困難な仕事です。
古代ギリシャの数学者は、少なくとも紀元前 500 年には素数の概念を持っていましたが、2000 年後の人々は、どの数字が素数であるかをまだ 750 程度までしか知りませんでした。ユークリッドの時代の思想家は、簡略化の可能性を認識していましたが、実際にはそうではありませんでした。ルネッサンスの数学者が実際にそれを実際に使用できなくなるまで。 これらの数値は、17 世紀のフランスの科学者マリン メルセンヌにちなんでメルセンヌ数として知られています。 考え方は非常に単純です。メルセンヌ数は の形式の任意の数です。 したがって、たとえば、 、この数値は素数であり、同じことが にも当てはまります。
メルセンヌ素数を決定することは、他のどの種類の素数よりもはるかに速くて簡単であり、コンピューターは過去 60 年間、メルセンヌ素数の探索に懸命に取り組んできました。 1952 年まで、既知の最大の素数は数値、つまり数字を含む数値でした。 同年、コンピュータはその数が素数であり、この数は数字で構成されており、グーゴルよりもはるかに大きいと計算しました。
それ以来、コンピューターは研究を続けており、現在メルセンヌ数は人類に知られている最大の素数です。 2008 年に発見されたこの数字は、ほぼ数百万桁の数字になります。 これは、これより小さな数では表現できない既知の最大の数であり、さらに大きなメルセンヌ数を見つける手助けが必要な場合は、あなた (およびコンピュータ) がいつでも http://www.mersenne. org の検索に参加できます。 /。
スキュー数
スタンリー・スキューズ
もう一度素数を見てみましょう。 先ほども述べたように、それらは根本的に間違った動作をします。つまり、次の素数が何になるかを予測する方法がありません。 数学者は、たとえ漠然とした方法であっても、将来の素数を予測する何らかの方法を考え出すために、いくつかの非常に素晴らしい測定に頼ることを余儀なくされてきました。 これらの試みの中で最も成功したのは、おそらく 2005 年に発明された素数カウント関数です。 XVIII後期世紀の伝説的な数学者、カール・フリードリヒ・ガウス。
より複雑な計算は省略します - いずれにせよ、まだまだこれからやるべきことがたくさんあります - しかし、この関数の要点は次のとおりです。任意の整数について、 より小さい素数がいくつあるかを推定できます。 たとえば、 の場合、関数は素数があるはずであること、 より小さい素数があるはずであること、 の場合、より小さい素数があるはずであることを予測します。
素数の配置は確かに不規則であり、実際の素数の数の近似値にすぎません。 実際、 より小さい素数、 より小さい素数、 より小さい素数があることがわかっています。 これは確かに優れた推定値ですが、常に単なる推定値にすぎません...より具体的には、上からの推定値です。
までの既知のすべてのケースにおいて、素数の数を求める関数は、 より小さい実際の素数の数をわずかに過大評価します。 かつて数学者たちは、これは常に無限に当てはまり、想像を絶する巨大な数にも確実に当てはまるだろうと考えていましたが、1914 年にジョン・エデンサー・リトルウッドは、未知の想像を絶する巨大な数に対して、この関数が生成する素数の数が減り始めることを証明しました。 、その後、上限の推定値と下限の推定値が無限に何度も切り替わります。
レースのスタート地点を狙った狩りが行われ、そこにスタンリー・スキュースが登場した（写真）。 1933 年に、素数の数を近似する関数が最初に小さい値を生成するときの上限は という数であることを証明しました。 この数字が実際に何を表しているのかを最も抽象的な意味でも真に理解することは困難であり、この観点からすると、これは本格的な数学的証明で使用された中で最大の数字でした。 その後、数学者は上限を比較的小さな数に減らすことができましたが、元の数は依然としてスキューズ数として知られています。
では、強大なグーゴルプレックスさえも小さく見えるこの数字はどれほど大きいのでしょうか? 『The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers』の中で、デイビッド・ウェルズは、数学者ハーディがスキュース数の大きさを概念化することができた方法の 1 つを詳しく語っています。
「ハーディは、これが「数学における特定の目的に使用された最大の数」であると考え、宇宙のすべての粒子を駒としてチェスのゲームをプレイする場合、1 つの手は 2 つの粒子を交換することで構成され、同じ位置が 3 回繰り返されたときにゲームが停止し、その場合、可能なすべてのゲームの数は Skuse の数とほぼ等しくなります。」
次に進む前に、最後に 1 つだけ、2 つの Skewes 数値のうち小さい方について話しました。 数学者が 1955 年に発見した別の Skuse 数があります。 最初の数は、いわゆるリーマン予想が正しいという事実から導出されます。これは数学の中でも特に難しい仮説であり、証明されていないままですが、素数に関しては非常に役立ちます。 ただし、リーマン予想が偽である場合、Skuse はジャンプの開始点が に増加することを発見しました。
大きな問題
Skewes の数値ですら小さく見える数値に到達する前に、スケールについて少し話す必要があります。そうしないと、どこへ行くのかを評価する方法がありません。 まず数字を考えてみましょう。これは非常に小さな数字なので、人々はそれが何を意味するのかを直感的に理解することができます。 6 を超える数は個別の数ではなくなり、「いくつか」、「多数」などになるため、この説明に適合する数はほとんどありません。
それでは、 を考えてみましょう。 。 実際には、数字の場合と同様に、それが何であるかを直感的に理解することはできませんが、それが何であるかを想像するのは非常に簡単です。 ここまでは順調ですね。 しかし、次の場所に移動するとどうなるでしょうか? これは、 、 または に等しい。 他の非常に大きな量と同様に、私たちはこの量を想像することにはほど遠いです。私たちは約 100 万個の個々の部品を理解する能力を失います。 (確かに、実際に何かを 100 万まで数えるには非常に長い時間がかかりますが、重要なのは、私たちはまだその数を認識できるということです。)
しかし、想像することはできませんが、少なくとも理解することはできます。 概要、76000億とは何ですか、おそらく米国のGDPのようなものと比較します。 私たちは直観から表現、そして単純な理解へと移行してきましたが、少なくとも数値とは何かについての理解にはまだいくらかのギャップがあります。 はしごをもう 1 段上に移動すると、状況が変わろうとしています。
これを行うには、Donald Knuth によって導入された矢印記法として知られる記法に移行する必要があります。 この表記法は次のように書くことができます。 次に に行くと、得られる数値は になります。 これは 3 の合計がどこにあるのかに等しくなります。 私たちは今、すでに話した他のすべての数字をはるかに上回っています。 結局のところ、それらの最大のものでさえ、指標シリーズには 3 つまたは 4 つの項しかありませんでした。 たとえば、スーパー スキュース数でさえ「のみ」です。基数と指数の両方が よりもはるかに大きいという事実を考慮しても、10 億人のメンバーを含む数値タワーのサイズと比較すると、それでもまったく何もありません。 。
明らかに、このような膨大な数を理解する方法はありません...それでも、それらが作成されるプロセスを理解することはできます。 私たちは、10 億の三つ組を持つ権力の塔によって与えられる実際の量を理解することはできませんでしたが、基本的には多くの項を持つそのような塔を想像することはできます。また、本当にまともなスーパーコンピューターであれば、たとえ実際の値を計算できませんでした。
これはますます抽象的になってきていますが、状況はさらに悪化するでしょう。 指数の長さが等しい度数の塔だと思うかもしれません (実際、この記事の前のバージョンで私はまさにこの間違いを犯しました) が、それは単純です。 言い換えれば、要素で構成されるトリプレットのパワータワーの正確な値を計算できると想像してください。その後、その値を取得して、同じ数の要素を含む新しいタワーを作成すると... が得られます。
後続の番号ごとにこのプロセスを繰り返します ( 注記右から始めて）何回も実行し、最後に を取得します。 これは単純に信じられないほど大きな数字ですが、少なくとも、すべてを非常にゆっくりと実行すれば、この数字を達成するための手順は理解できるようです。 私たちはもはや数値を理解したり、数値を取得する手順を想像したりすることはできませんが、少なくとも十分な時間があれば、基本的なアルゴリズムを理解することができます。
さあ、本当に爆発する心の準備をしましょう。
グラハム数 (グラハム)
ロナルド・グラハム
これは、数学的証明で使用された最大の数としてギネス世界記録に登録されているグラハム数を取得する方法です。 それがどれほど大きいかを想像することはまったく不可能であり、それが何であるかを正確に説明することも同様に困難です。 基本的に、グラハム数は、3 次元を超える理論上の幾何学的形状であるハイパーキューブを扱うときに表示されます。 数学者のロナルド・グラハム（写真参照）は、超立方体の特定の特性が安定する最小の次元数を調べたいと考えました。 (曖昧な説明で申し訳ありませんが、より正確に理解するには、私たち全員が少なくとも 2 つの数学の学位を取得する必要があると確信しています。)
いずれの場合も、グラハム数はこの最小次元数の上限推定値です。 では、この上限はどれくらいの大きさなのでしょうか? 数値の話に戻りましょう。数値が大きすぎるため、数値を取得するためのアルゴリズムは漠然としか理解できません。 ここで、単にもう 1 レベル上の にジャンプする代わりに、最初と最後の 3 つの間に矢印がある数を数えます。 私たちは今、この数字が何なのか、あるいはそれを計算するために何をする必要があるのかについて、わずかな理解さえもはるかに超えています。
このプロセスを 1 回繰り返してみましょう ( 注記次の各ステップで、前のステップで取得した数と同じ数の矢印を書き込みます)。
皆さん、これはグラハム数であり、人間の理解できる点よりも約 1 桁高い値です。 それは、あなたが想像できるどんな数字よりもはるかに大きい数字であり、あなたが想像できる無限大よりもはるかに大きい数字であり、最も抽象的な説明さえもまったく無視します。
しかし、ここで奇妙なことが起こります。 グラハム数は基本的には 3 つの要素を掛け合わせたものであるため、実際に計算しなくてもその特性の一部はわかります。 たとえ宇宙全体を使ってグラハム数を書き留めたとしても、私たちは使い慣れた表記法を使ってグラハム数を表すことはできません。しかし、私は今、グラハム数の最後の 12 桁を言うことができます。 それだけではありません。少なくともグラハム数の最後の桁はわかっています。
もちろん、この数値は Graham の元の問題における上限にすぎないことを覚えておく価値があります。 望ましい特性を達成するために必要な実際の測定回数は、はるかに少ない可能性があります。 実際、この分野のほとんどの専門家によれば、1980 年代以来、実際には次元は 6 つだけであると考えられてきました。この数は非常に小さいため、直感的に理解できます。 その後、下限は に引き上げられましたが、グラハム問題の解がグラハム数ほど大きな数に近い値に存在しない可能性は依然として非常に高いです。
無限に向かって
では、グラハム数より大きい数は存在するのでしょうか? もちろん、手始めにグラハム数があります。 有意な数については…そうですね、数学の非常に複雑な領域 (特に組み合わせ論として知られる領域) とコンピューター サイエンスには、グレアム数よりもさらに大きな数が発生する領域がいくつかあります。 しかし、私が合理的に説明されることを期待できる限界はほぼ限界に達しています。 さらに先に進む無謀な人は、自己責任でさらに読むことをお勧めします。
さて、ダグラス・レイによるとされる素晴らしい引用です（ 注記正直に言うと、それはかなり面白いように聞こえます:
「理性のろうそくが与える小さな光点の背後に、闇の中に隠された漠然とした数字の塊が見えます。 彼らは互いにささやき合います。 誰が何を知っているかについて共謀する。 おそらく彼らは、私たちの心の中に自分の弟のことを捉えている私たちをあまり好きではないのでしょう。 あるいは、彼らは単に私たちの理解を超えたところで、一桁の生活を送っているだけかもしれません。