Եկեք արտահայտենք հավասարումը և փոխարենը փոխարինենք։ Հավասարումների համակարգերի լուծում փոխարինման մեթոդով

2. Հանրահաշվական գումարման մեթոդ.
3. Նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը (փոփոխական փոփոխության մեթոդ):

Սահմանում:Հավասարումների համակարգը վերաբերում է մեկ կամ մի քանի փոփոխականների մի քանի հավասարումների, որոնք պետք է կատարվեն միաժամանակ, այսինքն. բոլոր հավասարումների համար փոփոխականների նույն արժեքներով: Համակարգում հավասարումները համակցված են համակարգի նշանի հետ՝ գանգուր փակագիծ։
Օրինակ 1:

երկու փոփոխականներով երկու հավասարումների համակարգ է xԵվ y.
Համակարգի լուծումը արմատներն են։ Երբ այս արժեքները փոխարինվում են, հավասարումները վերածվում են իրական նույնականության.

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում.

Համակարգի լուծման ամենատարածված մեթոդը փոխարինման մեթոդն է:

Փոխարինման մեթոդ.

Հավասարումների համակարգերի լուծման փոխարինման մեթոդը բաղկացած է համակարգի մեկ հավասարումից որոշ փոփոխականի արտահայտումից մյուսների մասով, և այս արտահայտությունը փոխարինելով համակարգի մնացած հավասարումներով՝ արտահայտված փոփոխականի փոխարեն:
Օրինակ 2:
Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը.

Լուծում:
Տրված է հավասարումների համակարգ և այն պետք է լուծվի փոխարինման մեթոդով։
Արտահայտենք փոփոխականը yհամակարգի երկրորդ հավասարումից.
Մեկնաբանություն:«Արտահայտել փոփոխական» նշանակում է փոխակերպել հավասարությունը, որպեսզի այս փոփոխականը մնա հավասարության նշանից ձախ՝ 1 գործակցով, իսկ մնացած բոլոր անդամները գնան հավասարության աջ կողմ։
Համակարգի երկրորդ հավասարումը.

Եկեք պարզապես թողնենք այն ձախ կողմում y:

Եվ եկեք փոխարինենք (այդտեղից է գալիս մեթոդի անվանումը) առաջին հավասարման մեջ՝ փոխարենը. ժամըարտահայտությունը, որին հավասար է, այսինքն. .
Առաջին հավասարումը.

Փոխարինող:

Եկեք լուծենք այս սովորական քառակուսի հավասարումը. Նրանց համար, ովքեր մոռացել են, թե ինչպես դա անել, կա «Լուծելով քառակուսի հավասարումներ» հոդվածը: .

Այսպիսով, փոփոխականի արժեքները xհայտնաբերվել է.
Փոխարինեք այս արժեքները փոփոխականի արտահայտության մեջ y. Այստեղ երկու արժեք կա x, այսինքն. նրանցից յուրաքանչյուրի համար անհրաժեշտ է գտնել արժեքը y .
1) Թող
Արտահայտության մեջ փոխարինել.

2) Թող
Արտահայտության մեջ փոխարինել.

Ամեն ինչին կարելի է պատասխանել.
Մեկնաբանություն:Այս դեպքում պատասխանը պետք է գրել զույգերով, որպեսզի չշփոթենք y փոփոխականի որ արժեքին է համապատասխանում x փոփոխականի որ արժեքին։
Պատասխան.
Մեկնաբանություն:Օրինակ 1-ում միայն մեկ զույգ է նշվում որպես համակարգի լուծում, այսինքն. այս զույգը համակարգի լուծումն է, բայց ոչ ամբողջական: Հետևաբար, ինչպես լուծել հավասարումը կամ համակարգը, նշանակում է նշել լուծումը և ցույց տալ, որ այլ լուծումներ չկան: Եվ ահա ևս մեկ զույգ.

Եկեք այս համակարգի լուծումը ձևակերպենք դպրոցական ձևով.

Մեկնաբանություն:«» նշանը նշանակում է «համարժեք», այսինքն. Հետևյալ համակարգը կամ արտահայտությունը համարժեք է նախորդին.

Հետ առաջ

Ուշադրություն. Սլայդի նախադիտումը միայն տեղեկատվական նպատակների համար է և կարող է չներկայացնել ներկայացման ամբողջ ծավալը: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք այս աշխատանքով, խնդրում ենք ներբեռնել ամբողջական տարբերակը:

Դասի տեղը դասերի համակարգում.«Երկուսի համակարգեր գծային հավասարումներերկու փոփոխականներով»

Դասի տեսակը.սովորելով նոր գիտելիքներ

Կրթական տեխնոլոգիա.կարդալու և գրելու միջոցով քննադատական ​​մտածողության զարգացում

Դասավանդման մեթոդ.ուսումնասիրություն

Դասի նպատակները.տիրապետել երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների համակարգերի լուծման մեկ այլ եղանակի՝ գումարման մեթոդին

Առաջադրանքներ.

• առարկագծային հավասարումների համակարգերի փոխարինման մեթոդով լուծելու գործնական հմտությունների ձևավորում.
• մետաառարկազարգացնել մտածողությունը, ուսումնական նյութի գիտակցված ընկալումը.
• անձնականճանաչողական գործունեության կրթություն, հաղորդակցության մշակույթ և առարկայի նկատմամբ հետաքրքրություն սերմանելը:

Արդյունքում ուսանողը.

• Գիտի երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների համակարգի սահմանումը.
• Գիտի, թե ինչ է նշանակում լուծել գծային հավասարումների համակարգը երկու փոփոխականով.
• Կարողանում է գրել գծային հավասարումների համակարգ երկու փոփոխականներով;
• Հասկանում է, թե քանի լուծում կարող է ունենալ երկու փոփոխական ունեցող գծային հավասարումների համակարգը.
• Կարողանում է որոշել, թե արդյոք համակարգն ունի լուծումներ, և եթե այո, ապա որքան;
• Գիտի գծային հավասարումների համակարգերի փոխարինման, հանրահաշվական գումարման, գրաֆիկական մեթոդի լուծման ալգորիթմը։

Խնդիր հարց.«Ինչպե՞ս լուծել գծային հավասարումների համակարգը երկու փոփոխականով»:

Հիմնական հարցեր.Ինչպե՞ս և ինչու ենք մենք օգտագործում հավասարումները մեր կյանքում:

Սարքավորումներ:ներկայացում; մուլտիմեդիա պրոյեկտոր; էկրան; համակարգիչ, հանրահաշիվ աշխատանքային տետր՝ 7-րդ դասարան՝ դասագրքին Ա.Գ. Մորդկովիչ և ուրիշներ «Հանրահաշիվ - 7» 2012 թ

Ռեսուրսներ (որտեղից ստացվում է թեմայի վերաբերյալ տեղեկատվությունը. գրքեր, դասագրքեր, ինտերնետ և այլն).դասագիրք «Հանրահաշիվ - 7» 2012, Ա.Գ. Մորդկովիչ

Ուսանողների կրթական գործունեության կազմակերպման ձևերը (խմբային, զույգ-խմբային, ճակատային և այլն).անհատական, մասամբ ճակատային, մասամբ գոլորշու սենյակ

Գնահատման չափանիշներ.

• A - գիտելիք և հասկացողություն +
• Բ - կիրառում և պատճառաբանություն
• C - հաղորդագրություն +
• D - արտացոլում և գնահատում

Փոխազդեցության ոլորտները.

• ATL - Կարողանալ արդյունավետ օգտագործել ժամանակը, պլանավորել ձեր գործունեությունը սահմանված նպատակներին և խնդիրներին համապատասխան, որոշել գործողությունների առավել ռացիոնալ հաջորդականությունը: Հարցերին պատասխանելու, վիճելու, վիճելու կարողություն: Կարողանալ վերլուծել և գնահատել սեփական կրթական և ճանաչողական գործունեությունը, գտնել խնդիրների լուծման ուղիներ:
• HI ուսանողները ուսումնասիրում են մարդկային գործունեության հետևանքները

Դասերի ժամանակ

I. Դասի կազմակերպում

II. Ինքնուսուցման ստուգում

ա) Թիվ 12.2 (բ, գ).

Պատասխան՝ (5; 3): Պատասխան՝ (2; 3):

Պատասխան՝ (4;2)

Արտահայտեք մի փոփոխականը մյուսի առումով.

• p \u003d p / (g * h) - հեղուկի խտություն
• p \u003d g * p * h - հեղուկի ճնշում նավի հատակին
• h = p / (g * p) - բարձրություն
• p = m / V - խտություն
• m = V * p - զանգված
• p = m / V - խտություն

Երկու փոփոխականներով երկու հավասարումների համակարգ լուծելու ալգորիթմ՝ օգտագործելով փոխարինման մեթոդը.

1. Համակարգի առաջին (կամ երկրորդ) հավասարումից y-ն արտահայտեք x-ով:
2. Առաջին քայլում ստացված արտահայտությունը y-ի փոխարեն փոխարինի՛ր համակարգի երկրորդ (առաջին) հավասարմամբ:
3. Լուծե՛ք x-ի երկրորդ քայլում ստացված հավասարումը.
4. Երրորդ քայլում հայտնաբերված x-ի արժեքը փոխարինի՛ր առաջին քայլում ստացված y-ով x արտահայտությամբ:
5. Պատասխանը գրեք որպես զույգ արժեքներ (x; y), որոնք գտնվել են համապատասխանաբար երրորդ և չորրորդ քայլերում:

Անկախ աշխատանք.

Աշխատանքային գրքում, էջ 46 - 47:

• «3» թիվ 6(ա) վրա;
• «4» թիվ 6(բ) վրա;
• «5» թիվ 7-ին։

III. Հիմնական գիտելիքների թարմացում

Ի՞նչ է երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների համակարգը:

Հավասարումների համակարգը երկու կամ ավելի հավասարումներ է, որոնց համար անհրաժեշտ է գտնել դրանց բոլոր ընդհանուր լուծումները:

Ո՞րն է երկու փոփոխականներով հավասարումների համակարգի լուծումը:

Երկու անհայտ ունեցող երկու հավասարումների համակարգի լուծումը թվերի զույգն է (x, y), որ եթե այդ թվերը փոխարինվեն համակարգի հավասարումներով, ապա համակարգի հավասարումներից յուրաքանչյուրը վերածվում է իրական հավասարության:

Քանի՞ լուծում կարող է ունենալ երկու փոփոխական ունեցող գծային հավասարումների համակարգը:

Եթե ​​թեքությունները հավասար են, ուրեմն գծերը զուգահեռ են, արմատներ չկան։

Եթե ​​թեքությունները հավասար չեն, ապա գծերը հատվում են՝ մեկ արմատ (հատման կետի կոորդինատները)։

Եթե ​​թեքությունները հավասար են, ապա գծերը համընկնում են, արմատն անսահման է։

IV. Նոր նյութ սովորելը

Լրացրե՛ք դատարկ տեղերը. Հավելված 1 (հաջորդում է սլայդով ինքնաքննություն)

V. Աշխատեք դասի թեմայով

Դասարանում: Թիվ 13.2 (ա, դ), 13.3 (ա, դ):

VI. Տնային աշխատանք

Պարբերություն 13 - դասագիրք; Բառարան; Թիվ 13.2 (բ, գ), 13.3 (բ, գ):

VII. Դասի ամփոփում

• Ուռա!!! Ես ամեն ինչ հասկանում եմ!
• Կան բաներ, որոնց վրա պետք է աշխատեմ:
• Անհաջողություններ եղան, բայց ես ամեն ինչ կհաղթահարեմ։

VIII. Ռազմական բաղադրիչի խնդիրների լուծում

Հիմնական մարտական ​​տանկ T-80.

Ընդունվել է 1976 թ. Աշխարհի առաջին սերիական տանկը՝ գազատուրբինային շարժիչի վրա հիմնված հիմնական էլեկտրակայանով։

Հիմնական մարտավարական և տեխնիկական տվյալներ (TTD).

Քաշը, t - 46

Արագություն, կմ/ժ – 70

Էներգիայի պահուստ, կմ՝ 335-370

Սպառազինություն՝ 125 մմ սահուն ատրճանակ (40 հատ զինամթերք);

12,7 մմ գնդացիր (զինամթերքի բեռ 300 հատ);

7,62 մմ PKT գնդացիր (զինամթերքի բեռնվածք 2000 հատ)

Որքա՞ն ժամանակ կարող է T-80 տանկը շարժման մեջ լինել առանց լիցքավորման:

Այս դեպքում հարմար է համակարգի երկրորդ հավասարումից x-ը y-ով արտահայտել և ստացված արտահայտությունը x-ի փոխարեն փոխարինել առաջին հավասարման մեջ.

Առաջին հավասարումը հավասարում է մեկ փոփոխականով y: Եկեք լուծենք.

5 (7-3y) -2y = -16

y-ի ստացված արժեքը փոխարինվում է x արտահայտությամբ.

Պատասխան՝ (-2; 3):

Այս համակարգում ավելի հեշտ է y-ն արտահայտել x-ով առաջին հավասարումից և արդյունքում ստացված արտահայտությունը փոխարինել y-ի փոխարեն երկրորդ հավասարման մեջ.

Երկրորդ հավասարումը հավասարում է x մեկ փոփոխականով: Եկեք լուծենք.

3x-4(-1.5-3.5x)=23

y արտահայտության մեջ x-ի փոխարեն փոխարինում ենք x=1 և գտնում y.

Պատասխան՝ (1; -5):

Այստեղ ավելի հարմար է y-ն արտահայտել x-ով երկրորդ հավասարումից (քանի որ 10-ի բաժանելը ավելի հեշտ է, քան 4-ի, -9-ի կամ 3-ի բաժանելը).

Մենք լուծում ենք առաջին հավասարումը.

4x-9 (1.6-0.3x)= -1

4x-14.4+2.7x=-1

Փոխարինեք x=2 և գտեք y:

Պատասխան՝ (2; 1):

Նախքան փոխարինման մեթոդի կիրառումը, այս համակարգը պետք է պարզեցվի: Առաջին հավասարման երկու մասերը կարելի է բազմապատկել ամենափոքր ընդհանուր հայտարարով, երկրորդ հավասարման մեջ բացում ենք փակագծերը և տալիս նման անդամներ.

Մենք ստացել ենք գծային հավասարումների համակարգ երկու փոփոխականներով։ Այժմ կիրառենք փոխարինումը։ Հարմար է a արտահայտել b-ով երկրորդ հավասարումից.

Մենք լուծում ենք համակարգի առաջին հավասարումը.

3 (21.5 + 2.5b) - 7b = 63

Մնում է գտնել a-ի արժեքը.

Ըստ ձևաչափման կանոնների՝ պատասխանը գրում ենք այբբենական կարգով կիսատ-ստորակետով բաժանված փակագծերում։

Պատասխան՝ (14; -3):

Մի փոփոխականը մյուսով արտահայտելիս երբեմն ավելի հարմար է այն թողնել որոշ գործակցով։

Հավասարումների համակարգերը լայնորեն կիրառվում են տնտեսական արդյունաբերության մեջ՝ տարբեր գործընթացների մաթեմատիկական մոդելավորման մեջ։ Օրինակ՝ արտադրության կառավարման և պլանավորման, լոգիստիկ երթուղիների (տրանսպորտային խնդիր) կամ սարքավորումների տեղադրման խնդիրները լուծելիս։

Հավասարումների համակարգերն օգտագործվում են ոչ միայն մաթեմատիկայի, այլև ֆիզիկայի, քիմիայի և կենսաբանության բնագավառում՝ բնակչության թվաքանակը գտնելու խնդիրներ լուծելիս։

Գծային հավասարումների համակարգը տերմին է մի քանի փոփոխականներով երկու կամ ավելի հավասարումների համար, որոնց համար անհրաժեշտ է գտնել ընդհանուր լուծում: Թվերի այնպիսի հաջորդականություն, որի համար բոլոր հավասարումները դառնում են իսկական հավասարումներ կամ ապացուցում են, որ հաջորդականությունը գոյություն չունի։

Գծային հավասարում

ax+by=c ձևի հավասարումները կոչվում են գծային։ x, y նշանակումներն այն անհայտներն են, որոնց արժեքը պետք է գտնել, b, a-ն փոփոխականների գործակիցներն են, c-ն հավասարման ազատ անդամն է։
Հավասարումը գծագրելով դրա գրաֆիկը լուծելը նման կլինի ուղիղ գծի, որի բոլոր կետերը բազմանդամի լուծումն են:

Գծային հավասարումների համակարգերի տեսակները

Ամենապարզը X և Y երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների համակարգերի օրինակներն են։

F1(x, y) = 0 և F2(x, y) = 0, որտեղ F1,2 ֆունկցիաներն են, իսկ (x, y) ֆունկցիայի փոփոխականները:

Լուծե՛ք հավասարումների համակարգ - դա նշանակում է գտնել այնպիսի արժեքներ (x, y), որոնց համար համակարգը դառնում է իսկական հավասարություն, կամ հաստատել, որ x-ի և y-ի համապատասխան արժեքներ չկան:

Արժեքների զույգը (x, y), որը գրված է որպես կետային կոորդինատներ, կոչվում է գծային հավասարումների համակարգի լուծում:

Եթե ​​համակարգերն ունեն մեկ ընդհանուր լուծում կամ լուծում չկա, ապա դրանք կոչվում են համարժեք:

Գծային հավասարումների համասեռ համակարգերը համակարգեր են, որոնց աջ կողմը հավասար է զրոյի: Եթե ​​«հավասար» նշանից հետո աջ մասը արժեք ունի կամ արտահայտվում է ֆունկցիայով, ապա նման համակարգը միատարր չէ։

Փոփոխականների թիվը կարող է շատ ավելի շատ լինել, քան երկուսը, ապա պետք է խոսել երեք և ավելի փոփոխականներով գծային հավասարումների համակարգի օրինակի մասին։

Հանդիպելով համակարգերի հետ՝ դպրոցականները ենթադրում են, որ հավասարումների թիվը պետք է անպայման համընկնի անհայտների թվի հետ, բայց դա այդպես չէ։ Համակարգում հավասարումների քանակը կախված չէ փոփոխականներից, դրանց թիվը կարող է լինել կամայականորեն մեծ։

Հավասարումների համակարգերի լուծման պարզ և բարդ մեթոդներ

Նման համակարգերը լուծելու ընդհանուր վերլուծական եղանակ չկա, բոլոր մեթոդները հիմնված են թվային լուծումների վրա։ IN դպրոցական դասընթացՄաթեմատիկան մանրամասն նկարագրում է այնպիսի մեթոդներ, ինչպիսիք են փոխակերպումը, հանրահաշվական գումարումը, փոխարինումը, ինչպես նաև գրաֆիկական և մատրիցային մեթոդը, լուծումը Գաուսի մեթոդով։

Լուծման մեթոդների դասավանդման հիմնական խնդիրն է սովորեցնել, թե ինչպես ճիշտ վերլուծել համակարգը և գտնել լուծման օպտիմալ ալգորիթմ յուրաքանչյուր օրինակի համար: Հիմնական բանը ոչ թե յուրաքանչյուր մեթոդի համար կանոնների և գործողությունների համակարգ մտապահելն է, այլ կոնկրետ մեթոդի կիրառման սկզբունքները հասկանալը:

Ծրագրի 7-րդ դասի գծային հավասարումների համակարգերի օրինակների լուծում միջնակարգ դպրոցբավականին պարզ և շատ մանրամասն բացատրված: Մաթեմատիկայի ցանկացած դասագրքում այս հատվածին բավական ուշադրություն է հատկացվում: Գծային հավասարումների համակարգերի օրինակների լուծումը Գաուսի և Կրամերի մեթոդով ավելի մանրամասն ուսումնասիրված է բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների առաջին դասընթացներում։

Համակարգերի լուծումը փոխարինման մեթոդով

Փոխարինման մեթոդի գործողությունները ուղղված են մեկ փոփոխականի արժեքը երկրորդի միջոցով արտահայտելուն։ Արտահայտությունը փոխարինվում է մնացած հավասարման մեջ, այնուհետև այն վերածվում է մեկ փոփոխական ձևի: Գործողությունը կրկնվում է կախված համակարգում անհայտների քանակից

Բերենք փոխարինման մեթոդով 7-րդ դասի գծային հավասարումների համակարգի օրինակ.

Ինչպես երևում է օրինակից, x փոփոխականն արտահայտվել է F(X) = 7 + Y միջոցով: Ստացված արտահայտությունը, որը փոխարինվել է համակարգի 2-րդ հավասարմամբ X-ի փոխարեն, օգնել է ստանալ մեկ փոփոխական Y 2-րդ հավասարման մեջ: . Այս օրինակի լուծումը դժվարություններ չի առաջացնում և թույլ է տալիս ստանալ Y արժեքը։ Վերջին քայլը ստացված արժեքների ստուգումն է։

Միշտ չէ, որ հնարավոր է փոխարինման միջոցով լուծել գծային հավասարումների համակարգի օրինակ: Հավասարումները կարող են բարդ լինել, և փոփոխականի արտահայտությունը երկրորդ անհայտի առումով չափազանց ծանր կլինի հետագա հաշվարկների համար: Երբ համակարգում կան 3-ից ավելի անհայտներ, փոխարինման լուծումը նույնպես անիրագործելի է։

Գծային անհամասեռ հավասարումների համակարգի օրինակի լուծում.

Լուծում՝ օգտագործելով հանրահաշվական գումարում

Համակարգերի լուծումը գումարման մեթոդով որոնելիս կատարվում է տերմին առ անդամ գումարում և հավասարումների բազմապատկում տարբեր թվերով։ Մաթեմատիկական գործողությունների վերջնական նպատակը մեկ փոփոխականով հավասարումն է։

Այս մեթոդի կիրառումը պահանջում է պրակտիկա և դիտարկում: Հեշտ չէ լուծել գծային հավասարումների համակարգը՝ օգտագործելով գումարման մեթոդը 3 կամ ավելի փոփոխականների քանակով: Հանրահաշվական գումարումը օգտակար է, երբ հավասարումները պարունակում են կոտորակներ և տասնորդական թվեր:

Լուծման գործողության ալգորիթմ.

1. Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկե՛ք ինչ-որ թվով: Թվաբանական գործողության արդյունքում փոփոխականի գործակիցներից մեկը պետք է հավասար լինի 1-ի։
2. Ստացված արտահայտությունը տերմին առ տերմին ավելացրեք և գտեք անհայտներից մեկը:
3. Ստացված արժեքը փոխարինեք համակարգի 2-րդ հավասարման մեջ՝ մնացած փոփոխականը գտնելու համար:

Լուծման մեթոդ՝ նոր փոփոխականի ներմուծմամբ

Նոր փոփոխական կարող է ներդրվել, եթե համակարգը պետք է լուծում գտնի ոչ ավելի, քան երկու հավասարումների համար, անհայտների թիվը նույնպես պետք է լինի երկուսից ոչ ավելի:

Մեթոդն օգտագործվում է պարզեցնելու հավասարումներից մեկը՝ ներմուծելով նոր փոփոխական։ Նոր հավասարումը լուծվում է մուտքագրված անհայտի նկատմամբ, և ստացված արժեքը օգտագործվում է սկզբնական փոփոխականը որոշելու համար:

Օրինակից երևում է, որ t նոր փոփոխականի ներմուծմամբ հնարավոր է եղել համակարգի 1-ին հավասարումը վերածել ստանդարտ քառակուսի եռանդամի։ Դուք կարող եք լուծել բազմանդամը՝ գտնելով դիսկրիմինանտը:

Անհրաժեշտ է գտնել դիսկրիմինանտի արժեքը՝ օգտագործելով հայտնի բանաձեւը՝ D = b2 - 4*a*c, որտեղ D-ը ցանկալի դիսկրիմինանտն է, b, a, c բազմանդամի բազմապատկիչները։ Բերված օրինակում a=1, b=16, c=39, հետևաբար՝ D=100: Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է, ապա կա երկու լուծում՝ t = -b±√D / 2*a, եթե դիսկրիմինանտը փոքր է զրոյից, ապա կա միայն մեկ լուծում՝ x= -b / 2*a:

Ստացված համակարգերի լուծումը գտնվում է հավելման մեթոդով։

Համակարգերի լուծման տեսողական մեթոդ

Հարմար է 3 հավասարումներով համակարգերի համար։ Մեթոդը բաղկացած է համակարգում ընդգրկված յուրաքանչյուր հավասարման գրաֆիկները կոորդինատային առանցքի վրա: Կորերի հատման կետերի կոորդինատները և կլինեն ընդհանուր լուծումհամակարգեր։

Գրաֆիկական մեթոդն ունի մի շարք նրբերանգներ. Դիտարկենք գծային հավասարումների համակարգերի տեսողական լուծման մի քանի օրինակներ:

Ինչպես երևում է օրինակից, յուրաքանչյուր տողի համար կառուցվել է երկու կետ, կամայականորեն ընտրվել են x փոփոխականի արժեքները՝ 0 և 3: Հիմնվելով x-ի արժեքների վրա՝ y-ի արժեքները գտնվել են. 3 և 0. (0, 3) և (3, 0) կոորդինատներով կետերը նշվել են գրաֆիկի վրա և միացվել գծով։

Քայլերը պետք է կրկնվեն երկրորդ հավասարման համար: Գծերի հատման կետը համակարգի լուծումն է։

Հետևյալ օրինակում պահանջվում է գտնել գծային հավասարումների համակարգի գրաֆիկական լուծում՝ 0,5x-y+2=0 և 0,5x-y-1=0:

Ինչպես երևում է օրինակից, համակարգը լուծում չունի, քանի որ գրաֆիկները զուգահեռ են և չեն հատվում իրենց ողջ երկարությամբ։

Օրինակներ 2-ի և 3-ի համակարգերը նման են, բայց երբ կառուցված են, ակնհայտ է դառնում, որ դրանց լուծումները տարբեր են: Պետք է հիշել, որ միշտ չէ, որ հնարավոր է ասել՝ համակարգը լուծում ունի, թե ոչ, միշտ անհրաժեշտ է գրաֆիկ կառուցել։

Մատրիցը և դրա տեսակները

Մատրիցներն օգտագործվում են գծային հավասարումների համակարգը հակիրճ գրելու համար: Մատրիցը աղյուսակի հատուկ տեսակ է, որը լցված է թվերով: n*m-ն ունի n - տող և m - սյունակ:

Մատրիցը քառակուսի է, երբ սյունակների և տողերի թիվը հավասար է: Մատրից-վեկտորը մեկ սյունակ մատրից է, որն ունի տողերի անսահման հնարավոր քանակություն: Անկյունագծերից մեկի և այլ զրոյական տարրերի երկայնքով միավորներով մատրիցը կոչվում է նույնականություն:

Հակադարձ մատրիցն այնպիսի մատրից է, որով բազմապատկելով սկզբնականը վերածվում է միավորի, այդպիսի մատրիցա գոյություն ունի միայն սկզբնական քառակուսու համար։

Հավասարումների համակարգը մատրիցայի վերածելու կանոններ

Ինչ վերաբերում է հավասարումների համակարգերին, ապա հավասարումների գործակիցները և ազատ անդամները գրվում են որպես մատրիցայի թվեր, մեկ հավասարումը մատրիցայի մեկ տող է:

Մատրիցային տողը կոչվում է ոչ զրոյական, եթե տողի առնվազն մեկ տարրը հավասար չէ զրոյի: Հետևաբար, եթե հավասարումներից որևէ մեկում փոփոխականների թիվը տարբերվում է, ապա բացակայող անհայտի փոխարեն անհրաժեշտ է մուտքագրել զրո։

Մատրիցայի սյունակները պետք է խստորեն համապատասխանեն փոփոխականներին: Սա նշանակում է, որ x փոփոխականի գործակիցները կարելի է գրել միայն մեկ սյունակում, օրինակ առաջինը, y-ի անհայտի գործակիցը՝ միայն երկրորդում։

Մատրիցը բազմապատկելիս մատրիցայի բոլոր տարրերը հաջորդաբար բազմապատկվում են թվով:

Հակադարձ մատրիցը գտնելու տարբերակներ

Հակադարձ մատրիցը գտնելու բանաձևը բավականին պարզ է՝ K -1 = 1 / |K|, որտեղ K -1 հակադարձ մատրիցն է և |K| - մատրիցային որոշիչ: |Կ| չպետք է հավասար լինի զրոյի, ապա համակարգն ունի լուծում.

Որոշիչը հեշտությամբ հաշվարկվում է երկու-երկու մատրիցայի համար, անհրաժեշտ է միայն տարրերը միմյանցով անկյունագծով բազմապատկել։ «Երեքը երեքով» տարբերակի համար կա բանաձեւ |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c. 3 + a 3 b 2 c 1 . Դուք կարող եք օգտագործել բանաձևը, կամ կարող եք հիշել, որ դուք պետք է վերցնեք մեկ տարր յուրաքանչյուր տողից և յուրաքանչյուր սյունակից, որպեսզի տարրերի սյունակների և տողերի համարները չկրկնվեն արտադրանքի մեջ:

Գծային հավասարումների համակարգերի օրինակների լուծում մատրիցային մեթոդով

Լուծում գտնելու մատրիցային մեթոդը հնարավորություն է տալիս նվազեցնել ծանրաբեռնված նշումները՝ համակարգերը լուծելիս. մեծ գումարփոփոխականներ և հավասարումներ։

Օրինակում a nm-ը հավասարումների գործակիցներն են, մատրիցը վեկտոր է, x n փոփոխականներն են, իսկ b n-ն ազատ անդամներն են:

Համակարգերի լուծում Գաուսի մեթոդով

Բարձրագույն մաթեմատիկայում Գաուսի մեթոդն ուսումնասիրվում է Կրամերի մեթոդի հետ միասին, իսկ համակարգերի լուծում գտնելու գործընթացը կոչվում է Գաուս-Կրամերի լուծման մեթոդ։ Այս մեթոդներն օգտագործվում են մեծ թվով գծային հավասարումներ ունեցող համակարգերի փոփոխականները գտնելու համար։

Գաուսի մեթոդը շատ նման է փոխարինման և հանրահաշվական գումարման լուծումներին, բայց ավելի համակարգված է։ Դպրոցական դասընթացում Գաուսի լուծումն օգտագործվում է 3 և 4 հավասարումների համակարգերի համար։ Մեթոդի նպատակն է համակարգը բերել շրջված trapezoid-ի: Հանրահաշվական փոխակերպումների և փոխարինումների միջոցով մեկ փոփոխականի արժեքը հայտնաբերվում է համակարգի հավասարումներից մեկում։ Երկրորդ հավասարումը 2 անհայտներով արտահայտություն է, իսկ 3-ը և 4-ը՝ համապատասխանաբար 3 և 4 փոփոխականներով:

Համակարգը նկարագրված ձևին բերելուց հետո հետագա լուծումը վերածվում է հայտնի փոփոխականների հաջորդական փոխարինման համակարգի հավասարումների:

7-րդ դասարանի դպրոցական դասագրքերում Գաուսի լուծման օրինակը նկարագրված է հետևյալ կերպ.

Ինչպես երևում է օրինակից, (3) քայլում ստացվել են երկու հավասարումներ 3x 3 -2x 4 =11 և 3x 3 +2x 4 =7: Հավասարումներից որևէ մեկի լուծումը թույլ կտա պարզել x n փոփոխականներից մեկը։

Թեորեմ 5-ում, որը նշված է տեքստում, ասվում է, որ եթե համակարգի հավասարումներից մեկը փոխարինվի համարժեքով, ապա ստացված համակարգը նույնպես համարժեք կլինի սկզբնականին։

Գաուսի մեթոդը դժվար է հասկանալ միջին դպրոցի աշակերտները, բայց ամենահետաքրքիր ուղիներից մեկն է զարգացնելու երեխաների հնարամտությունը, որոնք սովորում են մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի դասերի խորացված ուսումնական ծրագրում:

Հաշվարկների գրանցման հեշտության համար ընդունված է անել հետևյալը.

Հավասարումների գործակիցները և ազատ անդամները գրվում են մատրիցայի տեսքով, որտեղ մատրիցայի յուրաքանչյուր տող համապատասխանում է համակարգի հավասարումներից մեկին։ բաժանում է հավասարման ձախ կողմը աջից. Հռոմեական թվերը ցույց են տալիս համակարգի հավասարումների թիվը:

Նախ գրում են մատրիցը, որով պետք է աշխատեն, ապա տողերից մեկի հետ կատարված բոլոր գործողությունները։ Ստացված մատրիցը գրվում է «սլաք» նշանից հետո և շարունակում է կատարել անհրաժեշտ հանրահաշվական գործողությունները մինչև արդյունքի հասնելը:

Արդյունքում պետք է ստացվի մատրիցա, որում անկյունագծերից մեկը 1 է, իսկ մնացած բոլոր գործակիցները հավասար են զրոյի, այսինքն՝ մատրիցը վերածվում է մեկ ձևի: Չպետք է մոռանալ հաշվարկներ կատարել հավասարման երկու կողմերի թվերով։

Այս նշումը ավելի քիչ դժվար է և թույլ է տալիս չշեղվել՝ թվարկելով բազմաթիվ անհայտներ:

Լուծման ցանկացած մեթոդի անվճար կիրառումը կպահանջի խնամք և որոշակի փորձ։ Ոչ բոլոր մեթոդներն են կիրառվում: Լուծումներ գտնելու որոշ ուղիներ ավելի նախընտրելի են մարդկային գործունեության որոշակի ոլորտում, մինչդեռ մյուսները գոյություն ունեն սովորելու նպատակով:

Հավասարումների օգտագործումը լայն տարածում ունի մեր կյանքում: Դրանք օգտագործվում են բազմաթիվ հաշվարկների, կառույցների կառուցման և նույնիսկ սպորտի մեջ։ Հավասարումները օգտագործվել են մարդու կողմից հնագույն ժամանակներից և այդ ժամանակից ի վեր դրանց օգտագործումը միայն աճել է: Փոխարինման մեթոդը հեշտացնում է ցանկացած բարդության գծային հավասարումների համակարգերի լուծումը: Մեթոդի էությունն այն է, որ օգտագործելով համակարգի առաջին արտահայտությունը, մենք արտահայտում ենք «y», իսկ հետո ստացված արտահայտությունը փոխարինում ենք համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ՝ «y»-ի փոխարեն։ Քանի որ հավասարումն արդեն պարունակում է ոչ թե երկու անհայտ, այլ միայն մեկը, մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել այս փոփոխականի արժեքը, այնուհետև օգտագործել այն երկրորդի արժեքը որոշելու համար:

Ենթադրենք, մեզ տրված է հետևյալ ձևի գծային հավասարումների համակարգ.

\[\ձախ\(\սկիզբ (մատրիցան) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \վերջ (մատրիցան)\աջ։\]

Էքսպրես \

\[\ձախ\(\սկիզբ (մատրիցան) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \վերջ (մատրիցան)\աջ։\]

Ստացված արտահայտությունը փոխարինի՛ր 2-րդ հավասարմամբ.

\[\ձախ\(\սկիզբ(մատրիցան) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \վերջ(մատրիցան)\աջ:\]

Գտեք արժեքը \

Պարզեցնել և լուծել հավասարումը` բացելով փակագծերը և հաշվի առնելով տերմինների փոխանցման կանոնները.

Այժմ մենք գիտենք \\ Եկեք օգտագործենք սա \\ արժեքը գտնելու համար

Պատասխան՝ \[(4;2).\]

Որտե՞ղ կարող եմ լուծել հավասարումների համակարգ առցանց՝ օգտագործելով փոխարինման մեթոդը:

Դուք կարող եք լուծել հավասարումների համակարգը մեր կայքում։ Անվճար առցանց լուծիչը թույլ կտա վայրկյանների ընթացքում լուծել ցանկացած բարդության առցանց հավասարում: Ձեզ մնում է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները լուծիչի մեջ: Ինչպես լուծել հավասարումը, կարող եք սովորել նաև մեր կայքում։ Եվ եթե ունեք հարցեր, կարող եք դրանք ուղղել մեր Vkontakte խմբում: