Power ֆունկցիայի գրաֆիկա բոլոր տարբեր ուժերի: Հզորության ֆունկցիան, նրա հատկությունները և գրաֆիկը Ցուցադրական նյութ Դաս-դասախոսություն Գործառույթ հասկացություն

Ծանո՞թ եք հատկանիշներին y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/xև այլն։ Այս բոլոր ֆունկցիաները ուժային ֆունկցիայի հատուկ դեպքեր են, այսինքն՝ ֆունկցիան y=xp, որտեղ p տրված իրական թիվն է։
Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները և գրաֆիկը էապես կախված են իրական ցուցիչ ունեցող հզորության հատկություններից և, մասնավորապես, այն արժեքներից, որոնց համար xև էջիմաստ արտահայտել x էջ. Եկեք անցնենք տարբեր դեպքերի նմանատիպ դիտարկմանը, կախված նրանից
ցուցիչ էջ

1. Ցուցանիշ p=2nզույգ բնական թիվ է։

y=x2n, որտեղ nբնական թիվ է, ունի հետևյալը

հատկություններ:

• սահմանման տիրույթը բոլոր իրական թվերն են, այսինքն՝ R բազմությունը;
• արժեքների հավաքածու՝ ոչ բացասական թվեր, այսինքն՝ y-ն մեծ է կամ հավասար է 0-ին.
• ֆունկցիան y=x2nնույնիսկ, քանի որ x 2n=(- x) 2n
• ֆունկցիան նվազում է միջակայքում x<0 և ընդմիջումով մեծանում է x>0.

Ֆունկցիայի գրաֆիկ y=x2nունի նույն ձևը, ինչ, օրինակ, ֆունկցիայի գրաֆիկը y=x4.

2. Ցուցանիշ p=2n-1- կենտ բնական թիվ
Այս դեպքում իշխանության գործառույթը y=x 2n-1, որտեղ բնական թիվ է, ունի հետևյալ հատկությունները.

• սահմանման տիրույթ - սահմանված R;
• արժեքների հավաքածու - R հավաքածու;
• ֆունկցիան y=x 2n-1տարօրինակ, քանի որ (- x) 2n-1=x 2n-1;
• ֆունկցիան մեծանում է ամբողջ իրական առանցքի վրա:

Ֆունկցիայի գրաֆիկ y=x 2n-1-ն ունի նույն ձևը, ինչ, օրինակ, ֆունկցիայի գրաֆիկը y=x 3 .

3.Ցուցանիշ p=-2n, որտեղ n-բնական թիվ.

Այս դեպքում իշխանության գործառույթը y=x -2n=1/x2nունի հետևյալ հատկությունները.

• սահմանման տիրույթ - սահմանել R, բացառությամբ x=0;
• արժեքների հավաքածու - դրական թվեր y>0;
• ֆունկցիա y =1/x2nնույնիսկ, քանի որ 1/(-x) 2n=1/x2n;
• ֆունկցիան մեծանում է x միջակայքում<0 и убывающей на промежутке x>0.

y ֆունկցիայի գրաֆիկը =1/x2nունի նույն ձևը, ինչ, օրինակ, y ֆունկցիայի գրաֆիկը =1/x2.

«Հզորության ֆունկցիաներ. Հատկություններ. Գրաֆիկներ» թեմայով դաս և շնորհանդես.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, կարծիքները, առաջարկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվում են հակավիրուսային ծրագրով:

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ «Ինտեգրալ» առցանց խանութում 11-րդ դասարանի համար
Ինտերակտիվ ձեռնարկ 9-11-րդ դասարանների համար «Եռանկյունաչափություն»
Ինտերակտիվ ձեռնարկ 10-11-րդ դասարանների համար «Լոգարիթմներ»

Ուժային ֆունկցիաներ, սահմանման տիրույթ։

Տղերք, վերջին դասին մենք սովորեցինք, թե ինչպես աշխատել թվերի հետ ռացիոնալ ցուցիչով: Այս դասում մենք կդիտարկենք ուժային ֆունկցիաները և կսահմանափակվենք միայն այն դեպքով, երբ ցուցանիշը ռացիոնալ է:
Մենք կդիտարկենք ձևի գործառույթները՝ $y=x^(\frac(m)(n))$:
Եկեք նախ դիտարկենք ֆունկցիաները, որոնց ցուցիչը $\frac(m)(n)>1$ է:
Եկեք մեզ տրվի հատուկ գործառույթ $y=x^2*5$:
Վերջին դասում մեր տված սահմանման համաձայն՝ եթե $x≥0$, ապա մեր ֆունկցիայի տիրույթը $(x)$ ճառագայթն է։ Եկեք սխեմատիկորեն պատկերենք մեր ֆունկցիայի գրաֆիկը։

$y=x^(\frac(m)(n))$, $0 ֆունկցիայի հատկությունները 2. Ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։
3. Աճում է $$-ով,
բ) $(2,10)$,
գ) $$ ճառագայթի վրա:
Լուծում.
Տղերք, հիշու՞մ եք, թե ինչպես 10-րդ դասարանի հատվածի վրա գտանք ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը:
Ճիշտ է, մենք օգտագործեցինք ածանցյալը: Եկեք լուծենք մեր օրինակը և կրկնենք ամենափոքր և ամենամեծ արժեքը գտնելու ալգորիթմը։
1. Գտի՛ր տրված ֆունկցիայի ածանցյալը.
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Ածանցյալը գոյություն ունի սկզբնական ֆունկցիայի ողջ տիրույթում, ապա կրիտիկական կետեր չկան: Գտնենք անշարժ կետեր.
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$:
$8*\sqrt(x^3)=x^3$։
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$:
$x^3(x^3-64)=0$:
$x_1=0$ և $x_2=\sqrt(64)=4$:
Միայն մեկ լուծում $x_2=4$ է պատկանում տվյալ հատվածին։
Եկեք կառուցենք մեր ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակը հատվածի ծայրերում և ծայրամասային կետում.
Պատասխան՝ $y_(անուն)=-862,65$ $x=9$-ով; $y_(max)=38.4$ $x=4$-ի դիմաց:

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը $x^(\frac(4)(3))=24-x$։
Լուծում. $y=x^(\frac(4)(3))$ ֆունկցիայի գրաֆիկը մեծանում է, իսկ $y=24-x$ ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ նվազում։ Տղերք, ես և դուք գիտենք, եթե մի ֆունկցիան մեծանում է, իսկ մյուսը նվազում է, ապա դրանք հատվում են միայն մեկ կետում, այսինքն՝ մենք ունենք միայն մեկ լուծում։
Նշում:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$:
$24-8=16$.
Այսինքն $х=8$-ի համար ստացանք $16=16$ ճիշտ հավասարություն, սա մեր հավասարման լուծումն է։
Պատասխան՝ $x=8$։

Օրինակ.
Գրեք ֆունկցիան՝ $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$:
Լուծում.
Մեր ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է $y=x^(\frac(3)(4))$ ֆունկցիայի գրաֆիկից՝ այն տեղափոխելով 3 միավոր աջ և 2 միավոր վեր։

Օրինակ. Գրե՛ք $y=x^(-\frac(4)(5))$ ուղղին շոշափողի հավասարումը $x=1$ կետում։
Լուծում. Շոշափող հավասարումը որոշվում է մեզ հայտնի բանաձևով.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Մեր դեպքում $a=1$։
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$:
Գտնենք ածանցյալը.
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$:
Եկեք հաշվարկենք.
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$:
Գտեք շոշափող հավասարումը.
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$:
Պատասխան՝ $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$:

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

1. Գտե՛ք ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը՝ $y=x^\frac(4)(3)$ հատվածում.
ա) $$.
բ) $ (4,50) $.
գ) $$ ճառագայթի վրա:
3. Լուծե՛ք հավասարումը $x^(\frac(1)(4))=18-x$:
4. Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան՝ $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$։
5. Գրի՛ր $y=x^(-\frac(3)(7))$ ուղղին շոշափողի հավասարումը $x=1$ կետում:

Դասախոսություն: Հզորության ֆունկցիա բնական ցուցիչով, դրա գրաֆիկը

Մենք անընդհատ գործ ունենք գործառույթների հետ, որոնցում փաստարկը որոշակի ուժ ունի.
y \u003d x 1, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d x -1 և այլն:

Հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկները

Այսպիսով, այժմ մենք կքննարկենք ուժային ֆունկցիայի մի քանի հնարավոր դեպքեր:

1) y = x 2 n .

Սա նշանակում է, որ այժմ մենք կդիտարկենք ֆունկցիաներ, որոնցում ցուցիչը զույգ թիվ է։

Առանձնահատկություն:

1. Բոլոր իրական թվերն ընդունվում են որպես միջակայք:

2. Ֆունկցիան կարող է վերցնել բոլոր դրական արժեքները և զրո թիվը:

3. Ֆունկցիան նույնիսկ այն պատճառով է, որ այն կախված չէ փաստարկի նշանից, այլ միայն դրա մոդուլից:

4. Դրական արգումենտի դեպքում ֆունկցիան աճում է, իսկ բացասականի դեպքում՝ նվազում։

Այս ֆունկցիաների գրաֆիկները նման են պարաբոլայի: Օրինակ, ստորև ներկայացված է y \u003d x 4 ֆունկցիայի գրաֆիկը:

2) Ֆունկցիան ունի կենտ ցուցիչ. y \u003d x 2 n +1:

1. Ֆունկցիայի տիրույթը իրական թվերի ամբողջությունն է։

2. Ֆունկցիայի տիրույթ - կարող է ունենալ ցանկացած իրական թվի ձև:

3. Այս ֆունկցիան տարօրինակ է:

4. Միապաղաղ մեծանում է ֆունկցիան դիտարկելու ողջ միջակայքում:

5. Կենտ ցուցիչով բոլոր ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկը նույնական է y \u003d x 3 ֆունկցիային:

3) Ֆունկցիան ունի նույնիսկ բացասական բնական ցուցիչ. y \u003d x -2 n.

Մենք բոլորս գիտենք, որ բացասական ցուցիչը թույլ է տալիս ցուցիչը գցել հայտարարի մեջ և փոխել ցուցիչի նշանը, այսինքն՝ ստանում եք y \u003d 1 / x 2 n ձևը:

1. Այս ֆունկցիայի արգումենտը կարող է ընդունել ցանկացած արժեք, բացի զրոյից, քանի որ փոփոխականը գտնվում է հայտարարի մեջ։

2. Քանի որ ցուցիչը զույգ թիվ է, ֆունկցիան չի կարող բացասական արժեքներ ընդունել: Եվ քանի որ արգումենտը չի կարող հավասար լինել զրոյի, ուրեմն պետք է բացառել նաև զրոյի հավասար ֆունկցիայի արժեքը։ Սա նշանակում է, որ ֆունկցիան կարող է ընդունել միայն դրական արժեքներ։

3. Այս ֆունկցիան հավասարաչափ է:

4. Եթե ​​արգումենտը բացասական է, ֆունկցիան միապաղաղ աճում է, իսկ եթե դրական է՝ նվազում։

y \u003d x -2 ֆունկցիայի գրաֆիկի տեսք:

4) Բացասական կենտ ցուցիչով ֆունկցիա y \u003d x - (2 n + 1) .

1. Այս ֆունկցիան գոյություն ունի փաստարկի բոլոր արժեքների համար, բացառությամբ զրոյական թվի:

2. Ֆունկցիան ընդունում է բոլոր իրական արժեքները, բացառությամբ զրո թվի:

3. Այս ֆունկցիան տարօրինակ է:

4. Նվազում է երկու դիտարկված ընդմիջումներով:

Դիտարկենք բացասական կենտ ցուցիչ ունեցող ֆունկցիայի գրաֆիկի օրինակ՝ օգտագործելով y \u003d x -3 օրինակը:

Հզորության ֆունկցիաների հատկությունները և դրանց գրաֆիկները

Հզորության ֆունկցիա զրոյի հավասար ցուցիչով, p = 0

Եթե ​​y = x p հզորության ֆունկցիայի ցուցիչը հավասար է զրոյի, p = 0, ապա հզորության ֆունկցիան սահմանվում է բոլոր x ≠ 0-ի համար և հաստատուն է, հավասար մեկին.
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0:

Հզորության ֆունկցիա բնական կենտ ցուցիչով, p = n = 1, 3, 5, ...

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա y = x p = x n բնական կենտ ցուցիչով n = 1, 3, 5, ...: Նման ցուցանիշը կարող է գրվել նաև այսպես. n = 2k + 1, որտեղ k = 0, 1, 2, 3, ... ոչ բացասական ամբողջ թիվ է: Ստորև ներկայացված են նման գործառույթների հատկությունները և գրաֆիկները:

y = x n հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկը բնական կենտ ցուցիչով at տարբեր արժեքներցուցիչ n = 1, 3, 5, ....

Սահմանման տարածք՝ –∞< x < ∞

Արժեքների հավաքածու՝ –∞< y < ∞

Ծայրահեղություններ՝ ոչ

Ուռուցիկ:

ժամը –∞< x < 0 выпукла вверх

0-ին< x < ∞ выпукла вниз

Թեքման կետերը` x = 0, y = 0

Մասնավոր արժեքներ.

ժամը x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1

x = 0-ի համար, y(0) = 0 n = 0

x = 1-ի համար, y(1) = 1 n = 1

Հզորության ֆունկցիա բնական զույգ ցուցիչով, p = n = 2, 4, 6, ...

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա y = x p = x n բնական զույգ ցուցիչով n = 2, 4, 6, .... Նման ցուցանիշը կարող է գրվել նաև այսպես. n = 2k, որտեղ k = 1, 2, 3, .. բնական է. Նման գործառույթների հատկությունները և գրաֆիկները ներկայացված են ստորև:

Հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկ y = x n բնական զույգ ցուցիչով n = 2, 4, 6, ... ցուցիչի տարբեր արժեքների համար:

Սահմանման տարածք՝ –∞< x < ∞

Արժեքների հավաքածու՝ 0 ≤ y< ∞

Միալար:

x-ում< 0 монотонно убывает

x > 0-ի համար միապաղաղ մեծանում է

Ծայրահեղությունները՝ նվազագույն, x = 0, y = 0

Ուռուցիկություն՝ ուռուցիկ ներքեւ

Ծնկների կետերը` ոչ

Կոորդինատային առանցքներով հատման կետերը` x = 0, y = 0
Մասնավոր արժեքներ.

ժամը x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1

x = 0-ի համար, y(0) = 0 n = 0

x = 1-ի համար, y(1) = 1 n = 1

Հզորության ֆունկցիա ամբողջ թվով բացասական ցուցիչով, p = n = -1, -2, -3, ...

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա y = x p = x n բացասական ամբողջ թվային ցուցիչով n = -1, -2, -3, .... Եթե դնենք n = –k, որտեղ k = 1, 2, 3, ... է: բնական թիվ, ապա այն կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկը y = x n բացասական ամբողջ թվով ցուցիչով n = -1, -2, -3, ... ցուցիչի տարբեր արժեքների համար:

Կենտ ցուցիչ, n = -1, -3, -5, ...

Ստորև բերված են n = -1, -3, -5, ... կենտ բացասական ցուցիչով y = x n ֆունկցիայի հատկությունները:

Սահմանման տիրույթ՝ x ≠ 0

Արժեքների հավաքածու՝ y ≠ 0

Պարիտետ՝ կենտ, y(–x) = – y(x)

Ծայրահեղություններ՝ ոչ

Ուռուցիկ:

x-ում< 0: выпукла вверх

x > 0-ի համար՝ ուռուցիկ ներքև

Ծնկների կետերը` ոչ

Նշանը՝ x-ում< 0, y < 0

x > 0-ի համար, y > 0

Մասնավոր արժեքներ.

x = 1-ի համար, y(1) = 1 n = 1

Զույգ ցուցիչ, n = -2, -4, -6, ...

Ստորև բերված են n = -2, -4, -6, ... զույգ բացասական ցուցիչով y = x n ֆունկցիայի հատկությունները:

Սահմանման տիրույթ՝ x ≠ 0

Արժեքների հավաքածու՝ y > 0

Պարիտետ՝ զույգ, y(–x) = y(x)

Միալար:

x-ում< 0: монотонно возрастает

x > 0-ի համար՝ միապաղաղ նվազում

Ծայրահեղություններ՝ ոչ

Ուռուցիկություն՝ ուռուցիկ ներքեւ

Ծնկների կետերը` ոչ

Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր՝ ոչ

Նշան՝ y > 0

Մասնավոր արժեքներ.

ժամը x = –1, y(–1) = (–1) n = 1

x = 1-ի համար, y(1) = 1 n = 1

Հզորության ֆունկցիա ռացիոնալ (կոտորակային) ցուցիչով

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա y = x p ռացիոնալ (կոտորակային) ցուցիչով, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է, m > 1 բնական թիվ: Ընդ որում՝ n, m-ն ընդհանուր բաժանարարներ չունեն։

Կոտորակի ցուցիչի հայտարարը կենտ է

Թող կոտորակային ցուցանիշի հայտարարը լինի կենտ՝ m = 3, 5, 7, ... . Այս դեպքում ուժային ֆունկցիան x p սահմանվում է փաստարկի և՛ դրական, և՛ բացասական արժեքների համար: Դիտարկենք նման հզորության ֆունկցիաների հատկությունները, երբ p ցուցիչը գտնվում է որոշակի սահմաններում։

p-ն բացասական է, p< 0

Թող ռացիոնալ ցուցանիշը (կենտ հայտարարով m = 3, 5, 7, ...) փոքր լինի զրոյից. .

Հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկները ցուցիչի տարբեր արժեքների համար ռացիոնալ բացասական ցուցիչով, որտեղ m = 3, 5, 7, ... կենտ է:

Կենտ համարիչ, n = -1, -3, -5, ...

Ներկայացնում ենք y = x p հզորության ֆունկցիայի հատկությունները ռացիոնալ բացասական ցուցիչով, որտեղ n = -1, -3, -5, ... կենտ բացասական ամբողջ թիվ է, m = 3, 5, 7 ... է: կենտ բնական թիվ.

Սահմանման տիրույթ՝ x ≠ 0

Արժեքների հավաքածու՝ y ≠ 0

Պարիտետ՝ կենտ, y(–x) = – y(x)

Միապաղաղություն՝ միապաղաղ նվազում

Ծայրահեղություններ՝ ոչ

Ուռուցիկ:

x-ում< 0: выпукла вверх

x > 0-ի համար՝ ուռուցիկ ներքև

Ծնկների կետերը` ոչ

Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր՝ ոչ

x-ում< 0, y < 0

x > 0-ի համար, y > 0

Մասնավոր արժեքներ.

ժամը x = –1, y(–1) = (–1) n = –1

x = 1-ի համար, y(1) = 1 n = 1

Զույգ համարիչ, n = -2, -4, -6, ...

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները y = x p ռացիոնալ բացասական ցուցիչով, որտեղ n = -2, -4, -6, ... զույգ բացասական ամբողջ թիվ է, m = 3, 5, 7 ... կենտ բնական թիվ է:

Սահմանման տիրույթ՝ x ≠ 0

Արժեքների հավաքածու՝ y > 0

Պարիտետ՝ զույգ, y(–x) = y(x)

Միալար:

x-ում< 0: монотонно возрастает

x > 0-ի համար՝ միապաղաղ նվազում

Ծայրահեղություններ՝ ոչ

Ուռուցիկություն՝ ուռուցիկ ներքեւ

Ծնկների կետերը` ոչ

Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր՝ ոչ

Նշան՝ y > 0

p-արժեքը դրական է, մեկից պակաս, 0< p < 1

Հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկ ռացիոնալ ցուցիչով (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Կենտ համարիչ, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Սահմանման տարածք՝ –∞< x < +∞

Արժեքների հավաքածու՝ –∞< y < +∞

Պարիտետ՝ կենտ, y(–x) = – y(x)

Միապաղաղություն՝ միապաղաղ աճող

Ծայրահեղություններ՝ ոչ

Ուռուցիկ:

x-ում< 0: выпукла вниз

x > 0-ի համար՝ ուռուցիկ վերև

Թեքման կետերը` x = 0, y = 0

Կոորդինատային առանցքներով հատման կետերը` x = 0, y = 0

x-ում< 0, y < 0

x > 0-ի համար, y > 0

Մասնավոր արժեքներ.

ժամը x = –1, y(–1) = –1

x = 0-ի համար, y(0) = 0

x = 1-ի համար, y(1) = 1

Զույգ համարիչ, n = 2, 4, 6, ...

Ներկայացված են y = x p հզորության ֆունկցիայի հատկությունները 0-ի սահմաններում գտնվող ռացիոնալ ցուցիչով:< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Սահմանման տարածք՝ –∞< x < +∞

Արժեքների հավաքածու՝ 0 ≤ y< +∞

Պարիտետ՝ զույգ, y(–x) = y(x)

Միալար:

x-ում< 0: монотонно убывает

x > 0-ի համար՝ միապաղաղ աճում է

Ծայրահեղություններ՝ նվազագույնը x = 0, y = 0

Ուռուցիկություն՝ ուռուցիկ դեպի վեր x ≠ 0

Ծնկների կետերը` ոչ

Կոորդինատային առանցքներով հատման կետերը` x = 0, y = 0

Նշան՝ x ≠ 0-ի համար, y > 0

Հզորության y = x p ֆունկցիայի տիրույթում գործում են հետևյալ բանաձևերը.
; ;
;
; ;
; ;
; .

Հզորության ֆունկցիաների հատկությունները և դրանց գրաֆիկները

Հզորության ֆունկցիա զրոյի հավասար ցուցիչով, p = 0

Եթե ​​y = x p հզորության ֆունկցիայի ցուցիչը հավասար է զրոյի, p = 0 , ապա հզորության ֆունկցիան սահմանվում է բոլոր x ≠ 0-ի համար և հաստատուն է, հավասար է մեկին.
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0:

Հզորության ֆունկցիա բնական կենտ ցուցիչով, p = n = 1, 3, 5, ...

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա y = x p = x n բնական կենտ ցուցիչով n = 1, 3, 5, ...: Նման ցուցանիշ կարելի է գրել նաև այսպես՝ n = 2k + 1, որտեղ k = 0, 1, 2, 3, ... ոչ բացասական ամբողջ թիվ է։ Ստորև ներկայացված են նման գործառույթների հատկությունները և գրաֆիկները:

Հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկ y = x n բնական կենտ ցուցիչով n = 1, 3, 5, ... ցուցիչի տարբեր արժեքների համար:

Դոմեն: -∞ < x < ∞
Բազմաթիվ արժեքներ. -∞ < y < ∞
Պարիտետ:կենտ, y(-x) = - y(x)
Միալար:միապաղաղ աճում է
Ծայրահեղություններ.Ոչ
Ուռուցիկ:
ժամը -∞< x < 0 выпукла вверх
0-ին< x < ∞ выпукла вниз
Ընդմիջման կետեր. x=0, y=0
x=0, y=0
Սահմանափակումներ:
;
Մասնավոր արժեքներ.
x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0-ի համար, y(0) = 0 n = 0
x = 1-ի համար, y(1) = 1 n = 1
Հակադարձ գործառույթ.
n = 1-ի համար ֆունկցիան հակադարձ է իրեն՝ x = y
n ≠ 1-ի համար հակադարձ ֆունկցիան n աստիճանի արմատ է.

Հզորության ֆունկցիա բնական զույգ ցուցիչով, p = n = 2, 4, 6, ...

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա y = x p = x n բնական զույգ ցուցիչով n = 2, 4, 6, ...: Նման ցուցանիշ կարելի է գրել նաև այսպես՝ n = 2k, որտեղ k = 1, 2, 3, ... բնական թիվ է։ Նման գործառույթների հատկությունները և գրաֆիկները ներկայացված են ստորև:

Հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկ y = x n բնական զույգ ցուցիչով n = 2, 4, 6, ... ցուցիչի տարբեր արժեքների համար:

Դոմեն: -∞ < x < ∞
Բազմաթիվ արժեքներ. 0 ≤ y< ∞
Պարիտետ:զույգ, y(-x) = y(x)
Միալար:
x ≤ 0-ի համար միապաղաղ նվազում է
x ≥ 0-ի համար միապաղաղ մեծանում է
Ծայրահեղություններ.նվազագույն, x=0, y=0
Ուռուցիկ:ուռուցիկ ներքեւ
Ընդմիջման կետեր.Ոչ
Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր. x=0, y=0
Սահմանափակումներ:
;
Մասնավոր արժեքներ.
x = -1 համար, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0-ի համար, y(0) = 0 n = 0
x = 1-ի համար, y(1) = 1 n = 1
Հակադարձ գործառույթ.
n = 2-ի համար, Քառակուսի արմատ:
n ≠ 2-ի համար, n աստիճանի արմատ.

Հզորության ֆունկցիա ամբողջ թվով բացասական ցուցիչով, p = n = -1, -2, -3, ...

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա y = x p = x n n = -1, -2, -3, ... բացասական ամբողջ թվով ցուցիչով: Եթե ​​դնենք n = -k, որտեղ k = 1, 2, 3, ... բնական թիվ է, ապա այն կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ.

Հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկ y = x n բացասական ամբողջ թվով ցուցիչով n = -1, -2, -3, ... ցուցիչի տարբեր արժեքների համար:

Կենտ ցուցիչ, n = -1, -3, -5, ...

Ստորև բերված են n = -1, -3, -5, ... կենտ բացասական ցուցիչով y = x n ֆունկցիայի հատկությունները:

Դոմեն: x ≠ 0
Բազմաթիվ արժեքներ. y ≠ 0
Պարիտետ:կենտ, y(-x) = - y(x)
Միալար:միապաղաղ նվազում է
Ծայրահեղություններ.Ոչ
Ուռուցիկ:
x-ում< 0 : выпукла вверх
x > 0-ի համար՝ ուռուցիկ ներքև
Ընդմիջման կետեր.Ոչ
Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր.Ոչ
Նշան:
x-ում< 0, y < 0
x > 0-ի համար, y > 0
Սահմանափակումներ:
; ; ;
Մասնավոր արժեքներ.
x = 1-ի համար, y(1) = 1 n = 1
Հակադարձ գործառույթ.
n = -1-ի համար,
համար n< -2 ,

Զույգ ցուցիչ, n = -2, -4, -6, ...

Ստորև բերված են y = x n ֆունկցիայի հատկությունները n = -2, -4, -6, ... զույգ բացասական ցուցիչով:

Դոմեն: x ≠ 0
Բազմաթիվ արժեքներ. y > 0
Պարիտետ:զույգ, y(-x) = y(x)
Միալար:
x-ում< 0 : монотонно возрастает
x > 0-ի համար՝ միապաղաղ նվազում
Ծայրահեղություններ.Ոչ
Ուռուցիկ:ուռուցիկ ներքեւ
Ընդմիջման կետեր.Ոչ
Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր.Ոչ
Նշան: y > 0
Սահմանափակումներ:
; ; ;
Մասնավոր արժեքներ.
x = 1-ի համար, y(1) = 1 n = 1
Հակադարձ գործառույթ.
n = -2-ի համար,
համար n< -2 ,

Հզորության ֆունկցիա ռացիոնալ (կոտորակային) ցուցիչով

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա y = x p ռացիոնալ (կոտորակային) ցուցիչով, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է, m > 1 բնական թիվ: Ընդ որում՝ n, m-ն ընդհանուր բաժանարարներ չունեն։

Կոտորակի ցուցիչի հայտարարը կենտ է

Թող կոտորակային ցուցանիշի հայտարարը լինի կենտ՝ m = 3, 5, 7, ... . Այս դեպքում x p հզորության ֆունկցիան սահմանվում է և՛ դրական, և՛ բացասական x արժեքների համար: Դիտարկենք նման հզորության ֆունկցիաների հատկությունները, երբ p ցուցիչը գտնվում է որոշակի սահմաններում։

p-ն բացասական է, p< 0

Թող ռացիոնալ ցուցանիշը (կենտ հայտարարով m = 3, 5, 7, ... ) փոքր լինի զրոյից.

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների գրաֆիկները ռացիոնալ բացասական ցուցիչով ցուցիչի տարբեր արժեքների համար, որտեղ m = 3, 5, 7, ... տարօրինակ է:

Կենտ համարիչ, n = -1, -3, -5, ...

Ահա y = x p հզորության ֆունկցիայի հատկությունները ռացիոնալ բացասական ցուցիչով, որտեղ n = -1, -3, -5, ... կենտ բացասական ամբողջ թիվ է, m = 3, 5, 7 ... է: կենտ բնական թիվ.

Դոմեն: x ≠ 0
Բազմաթիվ արժեքներ. y ≠ 0
Պարիտետ:կենտ, y(-x) = - y(x)
Միալար:միապաղաղ նվազում է
Ծայրահեղություններ.Ոչ
Ուռուցիկ:
x-ում< 0 : выпукла вверх
x > 0-ի համար՝ ուռուցիկ ներքև
Ընդմիջման կետեր.Ոչ
Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր.Ոչ
Նշան:
x-ում< 0, y < 0
x > 0-ի համար, y > 0
Սահմանափակումներ:
; ; ;
Մասնավոր արժեքներ.
x = -1-ի համար, y(-1) = (-1) n = -1
x = 1-ի համար, y(1) = 1 n = 1
Հակադարձ գործառույթ.

Զույգ համարիչ, n = -2, -4, -6, ...

Ռացիոնալ բացասական ցուցիչով y = x p ֆունկցիայի հատկությունները, որտեղ n = -2, -4, -6, ... զույգ բացասական ամբողջ թիվ է, m = 3, 5, 7 ... կենտ բնական թիվ է: .

Դոմեն: x ≠ 0
Բազմաթիվ արժեքներ. y > 0
Պարիտետ:զույգ, y(-x) = y(x)
Միալար:
x-ում< 0 : монотонно возрастает
x > 0-ի համար՝ միապաղաղ նվազում
Ծայրահեղություններ.Ոչ
Ուռուցիկ:ուռուցիկ ներքեւ
Ընդմիջման կետեր.Ոչ
Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր.Ոչ
Նշան: y > 0
Սահմանափակումներ:
; ; ;
Մասնավոր արժեքներ.
x = -1-ի համար, y(-1) = (-1) n = 1
x = 1-ի համար, y(1) = 1 n = 1
Հակադարձ գործառույթ.

p-արժեքը դրական է, մեկից պակաս, 0< p < 1

Ռացիոնալ ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկ (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Կենտ համարիչ, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Դոմեն: -∞ < x < +∞
Բազմաթիվ արժեքներ. -∞ < y < +∞
Պարիտետ:կենտ, y(-x) = - y(x)
Միալար:միապաղաղ աճում է
Ծայրահեղություններ.Ոչ
Ուռուցիկ:
x-ում< 0 : выпукла вниз
x > 0-ի համար՝ ուռուցիկ վերև
Ընդմիջման կետեր. x=0, y=0
Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր. x=0, y=0
Նշան:
x-ում< 0, y < 0
x > 0-ի համար, y > 0
Սահմանափակումներ:
;
Մասնավոր արժեքներ.
x = -1-ի համար, y(-1) = -1
x = 0-ի համար, y(0) = 0
x = 1-ի համար, y(1) = 1
Հակադարձ գործառույթ.

Զույգ համարիչ, n = 2, 4, 6, ...

Ներկայացված են y = x p հզորության ֆունկցիայի հատկությունները 0-ի սահմաններում գտնվող ռացիոնալ ցուցիչով:< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Դոմեն: -∞ < x < +∞
Բազմաթիվ արժեքներ. 0 ≤ y< +∞
Պարիտետ:զույգ, y(-x) = y(x)
Միալար:
x-ում< 0 : монотонно убывает
x > 0-ի համար՝ միապաղաղ աճող
Ծայրահեղություններ.նվազագույնը x = 0, y = 0
Ուռուցիկ:ուռուցիկ դեպի վեր x ≠ 0
Ընդմիջման կետեր.Ոչ
Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր. x=0, y=0
Նշան: x ≠ 0-ի համար, y > 0
Սահմանափակումներ:
;
Մասնավոր արժեքներ.
x = -1-ի համար, y(-1) = 1
x = 0-ի համար, y(0) = 0
x = 1-ի համար, y(1) = 1
Հակադարձ գործառույթ.

p ցուցանիշը մեկից մեծ է, p > 1

Ռացիոնալ ցուցիչով (p > 1) հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկը ցուցիչի տարբեր արժեքների համար, որտեղ m = 3, 5, 7, ... կենտ է:

Կենտ համարիչ, n = 5, 7, 9, ...

Մեկից մեծ ռացիոնալ ցուցիչով y = x p հզորության ֆունկցիայի հատկությունները. Որտեղ n = 5, 7, 9, ... կենտ բնական թիվ է, m = 3, 5, 7 ... կենտ բնական թիվ է:

Դոմեն: -∞ < x < ∞
Բազմաթիվ արժեքներ. -∞ < y < ∞
Պարիտետ:կենտ, y(-x) = - y(x)
Միալար:միապաղաղ աճում է
Ծայրահեղություններ.Ոչ
Ուռուցիկ:
ժամը -∞< x < 0 выпукла вверх
0-ին< x < ∞ выпукла вниз
Ընդմիջման կետեր. x=0, y=0
Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր. x=0, y=0
Սահմանափակումներ:
;
Մասնավոր արժեքներ.
x = -1-ի համար, y(-1) = -1
x = 0-ի համար, y(0) = 0
x = 1-ի համար, y(1) = 1
Հակադարձ գործառույթ.

Զույգ համարիչ, n = 4, 6, 8, ...

Մեկից մեծ ռացիոնալ ցուցիչով y = x p հզորության ֆունկցիայի հատկությունները. Որտեղ n = 4, 6, 8, ... զույգ բնական թիվ է, m = 3, 5, 7 ... կենտ բնական թիվ է:

Դոմեն: -∞ < x < ∞
Բազմաթիվ արժեքներ. 0 ≤ y< ∞
Պարիտետ:զույգ, y(-x) = y(x)
Միալար:
x-ում< 0 монотонно убывает
x > 0-ի համար միապաղաղ մեծանում է
Ծայրահեղություններ.նվազագույնը x = 0, y = 0
Ուռուցիկ:ուռուցիկ ներքեւ
Ընդմիջման կետեր.Ոչ
Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր. x=0, y=0
Սահմանափակումներ:
;
Մասնավոր արժեքներ.
x = -1-ի համար, y(-1) = 1
x = 0-ի համար, y(0) = 0
x = 1-ի համար, y(1) = 1
Հակադարձ գործառույթ.

Կոտորակի ցուցիչի հայտարարը զույգ է

Թող կոտորակային ցուցանիշի հայտարարը լինի զույգ՝ m = 2, 4, 6, ... . Այս դեպքում, x p հզորության ֆունկցիան որոշված ​​չէ փաստարկի բացասական արժեքների համար: Դրա հատկությունները համընկնում են իռացիոնալ ցուցիչ ունեցող հզորության ֆունկցիայի հատկությունների հետ (տես հաջորդ բաժինը):

Հզորության ֆունկցիա իռացիոնալ ցուցիչով

Դիտարկենք y = x p հզորության ֆունկցիա p իռացիոնալ ցուցիչով: Նման գործառույթների հատկությունները տարբերվում են վերը թվարկվածներից, քանի որ դրանք սահմանված չեն x արգումենտի բացասական արժեքների համար: Փաստարկի դրական արժեքների համար հատկությունները կախված են միայն p ցուցիչի արժեքից և կախված չեն նրանից, թե p-ն ամբողջ թիվ է, ռացիոնալ կամ իռացիոնալ:

y = x p ցուցիչի տարբեր արժեքների համար:

Հզորության ֆունկցիա բացասական p< 0

Դոմեն: x > 0
Բազմաթիվ արժեքներ. y > 0
Միալար:միապաղաղ նվազում է
Ուռուցիկ:ուռուցիկ ներքեւ
Ընդմիջման կետեր.Ոչ
Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր.Ոչ
Սահմանափակումներ: ;
մասնավոր արժեքը: x = 1-ի համար y(1) = 1 p = 1

Հզորության ֆունկցիա դրական ցուցիչով p > 0

Ցուցանիշը մեկ 0-ից պակաս է< p < 1

Դոմեն: x ≥ 0
Բազմաթիվ արժեքներ. y ≥ 0
Միալար:միապաղաղ աճում է
Ուռուցիկ:ուռուցիկ վեր
Ընդմիջման կետեր.Ոչ
Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր. x=0, y=0
Սահմանափակումներ:
Մասնավոր արժեքներ. x = 0-ի համար y(0) = 0 p = 0:
x = 1-ի համար y(1) = 1 p = 1

Ցուցանիշը մեկից մեծ է p > 1

Դոմեն: x ≥ 0
Բազմաթիվ արժեքներ. y ≥ 0
Միալար:միապաղաղ աճում է
Ուռուցիկ:ուռուցիկ ներքեւ
Ընդմիջման կետեր.Ոչ
Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր. x=0, y=0
Սահմանափակումներ:
Մասնավոր արժեքներ. x = 0-ի համար y(0) = 0 p = 0:
x = 1-ի համար y(1) = 1 p = 1

Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Կ.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար, Լան, 2009 թ.