Kako riješiti trigonometrijske formule. Trigonometrijske jednadžbe - formule, rješenja, primjeri

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikaciju.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno - sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema !!!

Jednadžba koja sadrži nepoznanicu ispod predznaka trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tg x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednadžba, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.

Najjednostavnije jednadžbe su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` kut koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Napišimo korijenske formule za svaki od njih.

1. Jednadžba `sin x=a`.

Za `|a|>1` nema rješenja.

S `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Jednadžba `cos x=a`

Za `|a|>1` - kao u slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.

S `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima.

3. Jednadžba `tg x=a`

Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Korijenska formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Jednadžba `ctg x=a`

Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Korijenska formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tablici

Za sinuse:
Za kosinus:
Za tangens i kotangens:
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:

Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi

Rješenje svake trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:

• pomoću pretvaranja u najjednostavniji;
• riješite dobivenu jednostavnu jednadžbu koristeći gornje formule za korijene i tablice.

Razmotrimo glavne metode rješenja koristeći primjere.

algebarska metoda.

U ovoj metodi vrši se zamjena varijable i njena supstitucija u jednakost.

Primjer. Riješite jednadžbu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

izvršite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,

nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primjer. Riješite jednadžbu: `sin x+cos x=1`.

Riješenje. Pomakni ulijevo sve članove jednakosti: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Svođenje na homogenu jednadžbu

Prvo morate ovu trigonometrijsku jednadžbu dovesti u jedan od dva oblika:

`a sin x+b cos x=0` (homogena jednadžba prvog stupnja) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednadžba drugog stupnja).

Zatim podijelite oba dijela s `cos x \ne 0` za prvi slučaj i s `cos^2 x \ne 0` za drugi. Dobivamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje se moraju riješiti poznatim metodama.

Primjer. Riješite jednadžbu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Riješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stupnja, dijeljenjem njenog lijevog i desnog dijela sa `cos^2 x \ne 0`, dobivamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Uvedimo zamjenu `tg x=t`, kao rezultat `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su "t_1=-2" i "t_2=1". Zatim:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \u Z`.

Odgovor. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \u Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \u Z`.

Idi na poluugao

Primjer. Riješite jednadžbu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Riješenje. Primjenom formule dvostrukog kuta rezultat je: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Primjenom gore opisane algebarske metode dobivamo:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Odgovor. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Uvođenje pomoćnog kuta

U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x varijabla, oba dijela dijelimo sa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbroj njihovih kvadrata jednak je 1 i njihov modul nije veći od 1. Označite ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, zatim:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:

Primjer. Riješite jednadžbu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Riješenje. Podijelimo li obje strane jednadžbe sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobivamo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označite `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Budući da je `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni kut. Zatim našu jednakost zapišemo u obliku:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Primjenjujući formulu za zbroj kutova za sinus, svoju jednakost zapisujemo u sljedećem obliku:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovor. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Frakcijsko-racionalne trigonometrijske jednadžbe

To su jednakosti s razlomcima, u čijim su brojnicima i nazivnicima trigonometrijske funkcije.

Primjer. Riješite jednadžbu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Riješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednadžbe s "(1+cos x)". Kao rezultat toga dobivamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

S obzirom da nazivnik ne može biti nula, dobivamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Izjednačite brojnik razlomka s nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Zatim `sin x=0` ili `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.

Odgovor. `x=2\pi n`, `n \u Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \u Z`.

Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i tehnike. Učenje počinje u 10. razredu, zadataka za ispit uvijek ima, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - sigurno će vam dobro doći!

Međutim, ne morate ih čak ni pamtiti, glavna stvar je razumjeti suštinu i moći zaključiti. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se i sami gledajući video.

Pri rješavanju mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe, linearne i kvadratne nejednadžbe, frakcijske jednadžbe te jednadžbe koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih zadataka je sljedeći: potrebno je utvrditi kojoj vrsti pripada problem koji se rješava, zapamtiti potreban redoslijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.

Očito, uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema ovisi uglavnom o tome koliko je ispravno određena vrsta jednadžbe koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran slijed svih faza njezina rješenja. Naravno, u ovom slučaju, potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i izračuna.

Drugačija situacija se događa s trigonometrijske jednadžbe. Nije teško utvrditi činjenicu da je jednadžba trigonometrijska. Poteškoće nastaju pri određivanju slijeda radnji koje bi dovele do točnog odgovora.

Ponekad je teško odrediti njegovu vrstu pojavom jednadžbe. A bez poznavanja vrste jednadžbe, gotovo je nemoguće odabrati pravu među nekoliko desetaka trigonometrijskih formula.

Da bismo riješili trigonometrijsku jednadžbu, moramo pokušati:

1. dovesti sve funkcije uključene u jednadžbu pod "iste kutove";
2. dovesti jednadžbu na "iste funkcije";
3. faktorizirati lijevu stranu jednadžbe, itd.

Smatrati osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

I. Svođenje na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju poznatim komponentama.

Korak 2 Pronađite argument funkcije pomoću formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Ê Z.

3. korak Pronađite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Riješenje.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Ê Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Varijabilna supstitucija

Shema rješenja

Korak 1. Dovedite jednadžbu u algebarski oblik s obzirom na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2 Rezultirajuću funkciju označimo varijablom t (po potrebi uvesti ograničenja na t).

3. korak Zapiši i riješi dobivenu algebarsku jednadžbu.

Korak 4 Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5 Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Riješenje.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5 sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2 ne zadovoljava uvjet |t| ≤ 1.

4) grijeh (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda redukcije reda jednadžbi

Shema rješenja

Korak 1. Zamijenite ovu jednadžbu linearnom pomoću formule za smanjenje snage:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2 Riješite dobivenu jednadžbu metodama I. i II.

Primjer.

cos2x + cos2x = 5/4.

Riješenje.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Homogene jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. Dovedite ovu jednadžbu u oblik

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednadžba prvog stupnja)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednadžba drugog stupnja).

Korak 2 Podijelite obje strane jednadžbe s

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i dobiti jednadžbu za tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3. korak Riješite jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Riješenje.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Neka je tada tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, dakle

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jednadžbe x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula

Shema rješenja

Korak 1. Koristeći sve vrste trigonometrijskih formula, ovu jednadžbu dovedite do jednadžbe koja se može riješiti metodama I, II, III, IV.

Korak 2 Riješite dobivenu jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Riješenje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jednadžbe 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kao rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Odgovor: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Sposobnost i vještine rješavanja trigonometrijskih jednadžbi vrlo su važno, njihov razvoj zahtijeva znatan napor, kako od strane učenika tako i od strane nastavnika.

Uz rješavanje trigonometrijskih jednadžbi povezani su mnogi problemi stereometrije, fizike itd. Proces rješavanja takvih problema, takoreći, sadrži mnoga znanja i vještine koje se stječu proučavanjem elemenata trigonometrije.

Trigonometrijske jednadžbe zauzimaju važno mjesto u procesu nastave matematike i razvoja osobnosti općenito.

Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Za pomoć mentora - prijavite se.
Prvi sat je besplatan!

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

Trigonometrija, kao znanost, nastala je na Starom istoku. Prve trigonometrijske omjere razvili su astronomi kako bi stvorili točan kalendar i orijentirali se prema zvijezdama. Ovi proračuni bili su povezani sa sfernom trigonometrijom, dok su u školski tečaj proučavati omjer stranica i kut ravnog trokuta.

Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosom stranica i kutova trokuta.

Tijekom procvata kulture i znanosti u 1. tisućljeću nove ere, znanje se proširilo od starog istoka do Grčke. Ali glavna otkrića trigonometrije zasluga su ljudi arapskog kalifata. Konkretno, turkmenski znanstvenik al-Marazvi uveo je takve funkcije kao što su tangens i kotangens, sastavio je prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Pojam sinusa i kosinusa uveli su indijski znanstvenici. Puno pažnje posvećeno je trigonometriji u djelima velikih ličnosti antike kao što su Euklid, Arhimed i Eratosten.

Osnovne veličine trigonometrije

Osnovne trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta su sinus, kosinus, tangens i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangens i kotangens.

Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinom teoremu. Školarcima je poznatija u formulaciji: "Pitagorejske hlače, jednake u svim smjerovima", budući da se dokaz daje na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.

Sinus, kosinus i druge ovisnosti uspostavljaju odnos između oštrih kutova i stranica bilo kojeg pravokutnog trokuta. Dajemo formule za izračunavanje ovih veličina za kut A i pratimo odnos trigonometrijskih funkcija:

Kao što vidite, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako krak a predstavimo kao umnožak sin A i hipotenuze c, a krak b kao cos A * c, tada ćemo dobiti sljedeće formule za tangens i kotangens:

trigonometrijski krug

Grafički se odnos navedenih veličina može prikazati na sljedeći način:

Krug, u ovom slučaju, predstavlja sve moguće vrijednosti kuta α - od 0° do 360°. Kao što se može vidjeti sa slike, svaka funkcija ima negativnu ili pozitivnu vrijednost ovisno o kutu. Na primjer, sin α će biti sa znakom "+" ako α pripada I i II četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0 ° do 180 °. Uz α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.

Pokušajmo sastaviti trigonometrijske tablice za određene kutove i saznati značenje količina.

Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih izračunavaju se i prikazuju u obliku posebnih tablica.

Ovi kutovi nisu odabrani slučajno. Oznaka π u tablicama je za radijane. Rad je kut pod kojim duljina kružnog luka odgovara njegovom polumjeru. Ova je vrijednost uvedena kako bi se uspostavio univerzalni odnos; kada se računa u radijanima, stvarna duljina polumjera u cm nije važna.

Kutovi u tablicama za trigonometrijske funkcije odgovaraju vrijednostima radijana:

Dakle, nije teško pogoditi da je 2π puni krug ili 360°.

Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus

Da bismo razmotrili i usporedili osnovna svojstva sinusa i kosinusa, tangensa i kotangensa, potrebno je nacrtati njihove funkcije. To se može učiniti u obliku krivulje koja se nalazi u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu.

Razmotrite usporednu tablicu svojstava za sinusni val i kosinusni val:

sinusoida	kosinusni val
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, za x = πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 0, za x = π/2 + πk, gdje je k ϵ Z
sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 1, za x = 2πk, gdje je k ϵ Z
sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = - 1, za x = π + 2πk, gdje je k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, tj. neparna funkcija	cos (-x) = cos x, tj. funkcija je parna
	funkcija je periodična, najmanji period je 2π
sin x › 0, pri čemu x pripada četvrtinama I i II ili od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, pri čemu x pripada četvrtima I i IV ili od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, pri čemu x pripada četvrtinama III i IV ili od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, pri čemu x pripada četvrtinama II i III ili od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
raste na intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	raste na intervalu [-π + 2πk, 2πk]
opada na intervalima [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	smanjuje u intervalima
izvod (sin x)' = cos x	izvod (cos x)’ = - sin x

Određivanje je li neka funkcija parna ili nije vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa znakovima trigonometrijskih veličina i mentalno "presaviti" graf u odnosu na OX os. Ako su predznaci isti, funkcija je parna; u protivnom je neparna.

Uvođenje radijana i nabrajanje glavnih svojstava sinusoide i kosinusnog vala omogućuju nam da donesemo sljedeći obrazac:

Vrlo je lako provjeriti ispravnost formule. Na primjer, za x = π/2, sinus je jednak 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može obaviti pregledom tablica ili praćenjem krivulja funkcije za dane vrijednosti.

Svojstva tangentoida i kotangentoida

Grafovi funkcija tangensa i kotangensa bitno se razlikuju od sinusoide i kosinusnog vala. Vrijednosti tg i ctg su inverzne jedna drugoj.

1. Y = tgx.
2. Tangens teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne doseže.
3. Najmanji pozitivni period tangentoida je π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, tj. funkcija je neparna.
5. Tg x = 0, za x = πk.
6. Funkcija se povećava.
7. Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivacija (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Razmotrite grafički prikaz kotangentoida u nastavku teksta.

Glavna svojstva kotangentoida:

1. Y = ctgx.
2. Za razliku od funkcija sinusa i kosinusa, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
3. Kotangentoid teži vrijednostima y pri x = πk, ali ih nikada ne doseže.
4. Najmanji pozitivni period kotangentoida je π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, tj. funkcija je neparna.
6. Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
7. Funkcija se smanjuje.
8. Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivacija (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fiks

Pojam rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

• Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, pretvorite je u jednu ili više osnovnih trigonometrijskih jednadžbi. Rješavanje trigonometrijske jednadžbe u konačnici se svodi na rješavanje četiri osnovne trigonometrijske jednadžbe.

Rješenje osnovnih trigonometrijskih jednadžbi.

• Postoje 4 vrste osnovnih trigonometrijskih jednadžbi:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Rješavanje osnovnih trigonometrijskih jednadžbi uključuje promatranje različitih položaja x na jediničnoj kružnici, kao i korištenje tablice za pretvorbu (ili kalkulatora).
• Primjer 1. sin x = 0,866. Pomoću tablice pretvorbe (ili kalkulatora) dobivate odgovor: x = π/3. Jedinični krug daje još jedan odgovor: 2π/3. Zapamtite: sve trigonometrijske funkcije su periodične, odnosno njihove se vrijednosti ponavljaju. Na primjer, periodičnost sin x i cos x je 2πn, a periodičnost tg x i ctg x je πn. Dakle, odgovor je napisan ovako:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Primjer 2 cos x = -1/2. Pomoću tablice pretvorbe (ili kalkulatora) dobivate odgovor: x = 2π/3. Jedinični krug daje drugi odgovor: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Primjer 3. tg (x - π/4) = 0.
• Odgovor: x \u003d π / 4 + πn.
• Primjer 4. ctg 2x = 1.732.
• Odgovor: x \u003d π / 12 + πn.

Transformacije koje se koriste u rješavanju trigonometrijskih jednadžbi.

• Za transformaciju trigonometrijskih jednadžbi koriste se algebarske transformacije (rastavljanje na faktore, redukcija homogenih članova itd.) i trigonometrijski identiteti.
• Primjer 5. Koristeći trigonometrijske identitete, jednadžba sin x + sin 2x + sin 3x = 0 pretvara se u jednadžbu 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Dakle, sljedeće osnovne trigonometrijske jednadžbe treba riješiti: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Pronalaženje kutova iz poznatih vrijednosti funkcija.

  • Prije nego što naučite rješavati trigonometrijske jednadžbe, morate naučiti kako pronaći kutove iz poznatih vrijednosti funkcija. To se može učiniti pomoću tablice pretvorbe ili kalkulatora.
  • Primjer: cos x = 0,732. Kalkulator će dati odgovor x = 42,95 stupnjeva. Jedinični krug će dati dodatne kutove, čiji je kosinus također jednak 0,732.

• Odložite otopinu na jedinični krug.

  • Rješenja trigonometrijske jednadžbe možete staviti na jediničnu kružnicu. Rješenja trigonometrijske jednadžbe na jediničnoj kružnici su vrhovi pravilnog mnogokuta.
  • Primjer: Rješenja x = π/3 + πn/2 na jediničnoj kružnici su vrhovi kvadrata.
  • Primjer: Rješenja x = π/4 + πn/3 na jediničnoj kružnici su vrhovi pravilnog šesterokuta.

• Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

  • Ako navedena trigonometrijska jednadžba sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju, riješite tu jednadžbu kao osnovnu trigonometrijsku jednadžbu. Ako data jednadžba uključuje dvije ili više trigonometrijskih funkcija, tada postoje 2 metode za rješavanje takve jednadžbe (ovisno o mogućnosti njezine transformacije).
    • Metoda 1
  • Transformirajte ovu jednadžbu u jednadžbu oblika: f(x)*g(x)*h(x) = 0, gdje su f(x), g(x), h(x) osnovne trigonometrijske jednadžbe.
  • Primjer 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Riješenje. Koristeći formulu dvostrukog kuta sin 2x = 2*sin x*cos x, zamijenite sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednadžbe: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
  • Primjer 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Rješenje: Koristeći trigonometrijske identitete, transformirajte ovu jednadžbu u jednadžbu oblika: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednadžbe: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
  • Primjer 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Rješenje: Koristeći trigonometrijske identitete, transformirajte ovu jednadžbu u jednadžbu oblika: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednadžbe: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0.
    • Metoda 2
  • Pretvorite danu trigonometrijsku jednadžbu u jednadžbu koja sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju. Zatim tu trigonometrijsku funkciju zamijenite nekom nepoznatom, na primjer t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, itd.).
  • Primjer 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Riješenje. U ovoj jednadžbi zamijenite (cos^2 x) s (1 - sin^2 x) (prema identitetu). Transformirana jednadžba izgleda ovako:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamijenite sin x s t. Sada jednadžba izgleda ovako: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ovo je kvadratna jednadžba s dva korijena: t1 = -1 i t2 = 9/5. Drugi korijen t2 ne zadovoljava raspon funkcije (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Primjer 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Riješenje. Zamijenite tg x s t. Prepišite izvornu jednadžbu na sljedeći način: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Sada pronađite t, a zatim pronađite x za t = tg x.