podrum s podrumom
Kako riješiti razlomljene racionalne jednadžbe. Rješavanje cjelobrojnih i razlomačko racionalnih jednadžbi

Kako riješiti razlomljene racionalne jednadžbe. Rješavanje cjelobrojnih i razlomačko racionalnih jednadžbi

Danas ćemo smisliti kako riješiti frakcijske racionalne jednadžbe.

Da vidimo: iz jednadžbi

(1) 2x + 5 = 3(8 - x),

(3)

(4)

frakcijske racionalne jednadžbe su samo (2) i (4), dok su (1) i (3) cijele jednadžbe.

Predlažem riješiti jednadžbu (4), a zatim formulirati pravilo.

Budući da je jednadžba razlomljena, moramo pronaći zajednički nazivnik. U ovoj jednadžbi ovaj izraz je 6 (x - 12) (x - 6). Zatim pomnožimo obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom:

Nakon redukcije dobivamo cijelu jednadžbu:

6 (x - 6) 2 - 6 (x - 12) 2 \u003d 5 (x - 12) (x - 6).

Nakon rješavanja ove jednadžbe potrebno je provjeriti pretvaraju li dobiveni korijeni nazivnike razlomaka u izvornoj jednadžbi na nulu.

Proširivanje zagrada:
6x 2 - 72x + 216 - 6x 2 + 144x - 864 = 5x 2 - 90x + 360, pojednostavljujemo jednadžbu: 5x 2 - 162x + 1008 = 0.

Pronalaženje korijena jednadžbe
D=6084, √D=78,
x 1 = (162 - 78) / 10 = 84/10 = 8,4 i x 2 = (162 + 78) / 10 = 240/10 = 24.

Kod x = 8,4 i 24, zajednički nazivnik je 6(x - 12)(x - 6) ≠ 0, što znači da su ti brojevi korijeni jednadžbe (4).

Odgovor: 8,4; 24.

Rješavanjem predložene jednadžbe dolazimo do sljedećeg odredbe:

1) Nalazimo zajednički nazivnik.

2) Pomnožite obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom.

3) Rješavamo dobivenu cijelu jednadžbu.

4) Provjeravamo koji od korijena vrte zajednički nazivnik na nulu i isključujemo ih iz rješenja.

Pogledajmo sada primjer kako funkcioniraju rezultirajuće pozicije.

Riješite jednadžbu:

1) Zajednički nazivnik: x 2 - 1

2) Oba dijela jednadžbe pomnožimo zajedničkim nazivnikom, dobivamo cijelu jednadžbu: 6 - 2 (x + 1) \u003d 2 (x 2 - 1) - (x + 4) (x - 1)

3) Rješavamo jednadžbu: 6 - 2x - 2 \u003d 2x 2 - 2 - x 2 - 4x + x + 4

x 2 - x - 2 = 0

x 1 = - 1 i x 2 = 2

4) Kada je x \u003d -1, zajednički nazivnik x 2 - 1 \u003d 0. Broj -1 nije korijen.

Za x \u003d 2, zajednički nazivnik je x 2 - 1 ≠ 0. Broj 2 je korijen jednadžbe.

Odgovor: 2.

Kao što vidite, naše odredbe funkcioniraju. Ne boj se, uspjet ćeš! Najvažniji ispravno pronađite zajednički nazivnik i pažljivo izvršite transformacije. Nadamo se da ćete pri rješavanju razlomljenih racionalnih jednadžbi uvijek dobiti točne odgovore. Ako imate bilo kakvih pitanja ili želite vježbati rješavanje takvih jednadžbi, prijavite se za lekcije kod autorice ovog članka, učiteljice Valentine Galinevskaya.

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

Rješenje razlomljenih racionalnih jednadžbi

Vodič za pomoć

Racionalne jednadžbe su jednadžbe u kojima su i lijeva i desna strana racionalni izrazi.

(Podsjetimo: racionalni izrazi su cijeli brojevi i frakcijski izrazi bez radikala, uključujući operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja ili dijeljenja - na primjer: 6x; (m - n) 2; x / 3y, itd.)

Frakcijsko-racionalne jednadžbe, u pravilu, svode se na oblik:

Gdje P(x) i Q(x) su polinomi.

Da biste riješili takve jednadžbe, pomnožite obje strane jednadžbe s Q(x), što može dovesti do pojave stranih korijena. Stoga je kod rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi potrebno provjeriti pronađene korijene.

Racionalna jednadžba naziva se cjelobrojna ili algebarska, ako nema dijeljenje izrazom koji sadrži varijablu.

Primjeri cijele racionalne jednadžbe:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

Ako u racionalnoj jednadžbi postoji dijeljenje izrazom koji sadrži varijablu (x), tada se jednadžba naziva frakcijsko racionalna.

Primjer frakcijske racionalne jednadžbe:

15
x + - = 5x - 17
x

Razlomljene racionalne jednadžbe obično se rješavaju na sljedeći način:

1) pronaći zajednički nazivnik razlomaka i njime pomnožiti oba dijela jednadžbe;

2) riješiti dobivenu cijelu jednadžbu;

3) isključiti iz njegovih korijena one koji pretvaraju zajednički nazivnik razlomaka u nulu.

Primjeri rješavanja cjelobrojnih i razlomljenih racionalnih jednadžbi.

Primjer 1. Riješite cijelu jednadžbu

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Riješenje:

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog nazivnika. Ovo je 6. Podijelite 6 s nazivnikom i pomnožite rezultat s brojnikom svakog razlomka. Dobivamo jednadžbu ekvivalentnu ovoj:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Budući da je nazivnik isti na lijevoj i desnoj strani, može se izostaviti. Zatim imamo jednostavniju jednadžbu:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Rješavamo ga otvaranjem zagrada i smanjenjem sličnih članova:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Primjer riješen.

Primjer 2. Riješite razlomljenu racionalnu jednadžbu

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x (x - 5)

Nalazimo zajednički nazivnik. Ovo je x(x - 5). Tako:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Sada se ponovno oslobađamo nazivnika, jer je isti za sve izraze. Smanjujemo slične članove, izjednačavamo jednadžbu s nulom i dobivamo kvadratnu jednadžbu:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

Nakon što smo riješili kvadratnu jednadžbu, nalazimo njezine korijene: -2 i 5.

Provjerimo jesu li ovi brojevi korijeni izvorne jednadžbe.

Za x = –2, zajednički nazivnik x(x – 5) ne nestaje. Dakle -2 je korijen izvorne jednadžbe.

Kod x = 5, zajednički nazivnik nestaje, a dva od tri izraza gube svoje značenje. Dakle, broj 5 nije korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor: x = -2

Više primjera

Primjer 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2,2.

Odgovor: -2,2; 6.

Primjer 2

Prezentacija i lekcija na temu: "Racionalne jednadžbe. Algoritam i primjeri za rješavanje racionalnih jednadžbi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna pomagala i simulatori u online trgovini "Integral" za 8. razred
Priručnik za udžbenik Makarychev Yu.N. Priručnik za udžbenik Mordkovich A.G.

Uvod u iracionalne jednadžbe

Dečki, naučili smo kako rješavati kvadratne jednadžbe. Ali matematika nije ograničena samo na njih. Danas ćemo naučiti rješavati racionalne jednadžbe. Pojam racionalnih jednadžbi umnogome je sličan pojmu racionalnih brojeva. Samo što smo pored brojeva sada uveli i neku varijablu $x$. I tako dobivamo izraz u kojem se nalaze operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i dizanja na cjelobrojnu potenciju.

Neka je $r(x)$ racionalno izražavanje. Takav izraz može biti jednostavni polinom u varijabli $x$ ili omjer polinoma (uvodi se operacija dijeljenja, kao za racionalne brojeve).
Poziva se jednadžba $r(x)=0$ racionalna jednadžba.
Svaka jednadžba oblika $p(x)=q(x)$, gdje su $p(x)$ i $q(x)$ racionalni izrazi, također će biti racionalna jednadžba.

Razmotrite primjere rješavanja racionalnih jednadžbi.

Primjer 1
Riješite jednadžbu: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Riješenje.
Pomaknimo sve izraze na lijevu stranu: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Kad bi obični brojevi bili predstavljeni na lijevoj strani jednadžbe, tada bismo dva razlomka doveli na zajednički nazivnik.
Učinimo ovo: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Dobili smo jednadžbu: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Razlomak je nula ako i samo ako je brojnik razlomka nula, a nazivnik različit od nule. Zatim odvojeno izjednačite brojnik s nulom i pronađite korijene brojnika.
$3(x^2+2x-3)=0$ ili $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sada provjerimo nazivnik razlomka: $(x-3)*x≠0$.
Umnožak dvaju brojeva jednak je nuli ako je barem jedan od tih brojeva jednak nuli. Zatim: $x≠0$ ili $x-3≠0$.
$x≠0$ ili $x≠3$.
Dobiveni korijeni u brojniku i nazivniku ne odgovaraju. Dakle, kao odgovor zapisujemo oba korijena brojnika.
Odgovor: $x=1$ ili $x=-3$.

Ako se odjednom jedan od korijena brojnika poklopio s korijenom nazivnika, tada ga treba isključiti. Takvi se korijeni nazivaju stranim!

Algoritam za rješavanje racionalnih jednadžbi:

1. Pomaknite sve izraze sadržane u jednadžbi lijevo od znaka jednakosti.
2. Pretvorite ovaj dio jednadžbe u algebarski razlomak: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Dobiveni brojnik izjednačite s nulom, odnosno riješite jednadžbu $p(x)=0$.
4. Nazivnik izjednači s nulom i riješi dobivenu jednadžbu. Ako se korijeni nazivnika poklapaju s korijenima brojnika, tada ih treba isključiti iz odgovora.

Primjer 2
Riješite jednadžbu: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Riješenje.
Rješavat ćemo prema točkama algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Izjednačite brojnik s nulom: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Izjednačite nazivnik s nulom:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ i $x=-1$.
Jedan od korijena $x=1$ se poklopio s korijenom brojnika, tada ga ne zapisujemo kao odgovor.
Odgovor: $x=-1$.

Pogodno je rješavati racionalne jednadžbe metodom promjene varijabli. Pokažimo to.

Primjer 3
Riješite jednadžbu: $x^4+12x^2-64=0$.

Riješenje.
Uvodimo zamjenu: $t=x^2$.
Tada će naša jednadžba imati oblik:
$t^2+12t-64=0$ je obična kvadratna jednadžba.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Uvedimo inverznu zamjenu: $x^2=4$ ili $x^2=-16$.
Korijeni prve jednadžbe su par brojeva $x=±2$. Drugi nema korijena.
Odgovor: $x=±2$.

Primjer 4
Riješite jednadžbu: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Riješenje.
Uvedimo novu varijablu: $t=x^2+x+1$.
Tada će jednadžba poprimiti oblik: $t=\frac(15)(t+2)$.
Zatim ćemo djelovati prema algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - korijeni se ne poklapaju.
Uvodimo obrnutu zamjenu.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Riješimo svaku jednadžbu zasebno:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ne korijenje.
I druga jednadžba: $x^2+x-2=0$.
Korijeni ove jednadžbe bit će brojevi $x=-2$ i $x=1$.
Odgovor: $x=-2$ i $x=1$.

Primjer 5
Riješite jednadžbu: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Riješenje.
Uvodimo zamjenu: $t=x+\frac(1)(x)$.
Zatim:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ili $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Dobili smo jednadžbu: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Korijeni ove jednadžbe su par:
$t=-3$ i $t=2$.
Uvedimo obrnutu zamjenu:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Odlučit ćemo zasebno.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Riješimo drugu jednadžbu:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Korijen ove jednadžbe je broj $x=1$.
Odgovor: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Zadaci za samostalno rješavanje

Riješite jednadžbe:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Frakcijske jednadžbe. ODZ.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Nastavljamo svladavati jednadžbe. Već znamo kako raditi s linearnim i kvadratnim jednadžbama. Ostaje posljednji pogled frakcijske jednadžbe. Ili se nazivaju i mnogo čvršćim - frakcijske racionalne jednadžbe. Ovo je isto.

Frakcijske jednadžbe.

Kao što naziv implicira, ove jednadžbe nužno sadrže razlomke. Ali ne samo razlomci, nego razlomci koji imaju nepoznato u nazivniku. Barem u jednom. Na primjer:

Da vas podsjetim, ako samo u nazivnicima brojevima, to su linearne jednadžbe.

Kako odlučiti frakcijske jednadžbe? Prije svega, riješite se razlomaka! Nakon toga jednadžba, najčešće, prelazi u linearnu ili kvadratnu. I onda znamo što nam je činiti... U nekim slučajevima može se pretvoriti u identitet, poput 5=5 ili netočan izraz, poput 7=2. Ali to se rijetko događa. U nastavku ću to spomenuti.

Ali kako se riješiti razlomaka!? Jako jednostavno. Primjena svih istih identičnih transformacija.

Trebamo pomnožiti cijelu jednadžbu s istim izrazom. Tako da se svi nazivnici smanje! Sve će odmah postati lakše. Objašnjavam na primjeru. Recimo da trebamo riješiti jednadžbu:

Kako su ih učili u osnovnoj školi? Sve prenosimo u jednom smjeru, svodimo na zajednički nazivnik itd. Zaboravite kako ružno sanjate! To je ono što trebate učiniti kada zbrajate ili oduzimate razlomke. Ili radite s nejednakostima. A u jednadžbama odmah množimo oba dijela s izrazom koji će nam dati priliku svesti sve nazivnike (tj. u biti zajedničkim nazivnikom). A koji je to izraz?

Na lijevoj strani, da biste smanjili nazivnik, trebate pomnožiti s x+2. A s desne strane potrebno je množenje s 2. Dakle, jednadžba se mora pomnožiti s 2(x+2). Množimo:

Ovo je uobičajeno množenje razlomaka, ali ću detaljno napisati:

Imajte na umu da još ne otvaram zagradu. (x + 2)! Dakle, u cijelosti pišem:

S lijeve strane je skroz reduciran (x+2), a u desnoj 2. Po potrebi! Nakon redukcije dobivamo linearni jednadžba:

Svatko može riješiti ovu jednadžbu! x = 2.

Riješimo još jedan primjer, malo kompliciraniji:

Ako se sjetimo da je 3 = 3/1, i 2x = 2x/ 1 se može napisati:

I opet se rješavamo onoga što nam se baš ne sviđa - od razlomaka.

Vidimo da je za smanjenje nazivnika s x potrebno razlomak pomnožiti s (x - 2). A jedinice nam nisu smetnja. Pa, ajmo množiti. svi lijeva strana i svi desna strana:

Opet zagrade (x - 2) ne otkrivam. Radim sa zagradom kao cjelinom, kao da je jedan broj! To se uvijek mora učiniti, inače se ništa neće smanjiti.

S osjećajem dubokog zadovoljstva režemo (x - 2) i dobijemo jednadžbu bez razlomaka, u ravnalu!

A sada otvaramo zagrade:

Dajemo slične, prenosimo sve na lijevu stranu i dobivamo:

Ali prije toga naučit ćemo rješavati druge probleme. Za kamate. One grablje, usput!

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Nastavljamo razgovor o rješenje jednadžbi. U ovom ćemo se članku usredotočiti na racionalne jednadžbe te principe rješavanja racionalnih jednadžbi s jednom varijablom. Prvo, shvatimo koje se jednadžbe nazivaju racionalnim, dajmo definiciju cjelobrojnih racionalnih i frakcijskih racionalnih jednadžbi i dajmo primjere. Nadalje ćemo dobiti algoritme za rješavanje racionalnih jednadžbi i, naravno, razmotriti rješenja tipičnih primjera sa svim potrebnim objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Na temelju zvučnih definicija dajemo nekoliko primjera racionalnih jednadžbi. Na primjer, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , sve su racionalne jednadžbe.

Iz prikazanih primjera vidi se da racionalne jednadžbe, kao i jednadžbe drugih vrsta, mogu biti ili s jednom varijablom, ili s dvije, tri itd. varijable. U sljedećim odlomcima govorit ćemo o rješavanju racionalnih jednadžbi u jednoj varijabli. Rješavanje jednadžbi s dvije varijable a njihov veliki broj zaslužuje posebnu pozornost.

Osim što se racionalne jednadžbe dijele prema broju nepoznatih varijabli, one se također dijele na cjelobrojne i frakcijske. Navedimo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Racionalna jednadžba se zove cijeli, ako su i njegov lijevi i desni dio cjelobrojni racionalni izrazi.

Definicija.

Ako je barem jedan od dijelova racionalne jednadžbe razlomački izraz, tada se takva jednadžba naziva frakciono racionalan(ili frakcijsko racionalno).

Jasno je da cjelobrojne jednadžbe ne sadrže dijeljenje varijablom, naprotiv, razlomljene racionalne jednadžbe nužno sadrže dijeljenje varijablom (ili varijablom u nazivniku). Dakle, 3 x+2=0 i (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 su cijele racionalne jednadžbe, oba njihova dijela su cjelobrojni izrazi. A i x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 primjeri su razlomljenih racionalnih jednadžbi.

Zaključujući ovaj odlomak, obratimo pozornost na činjenicu da su linearne jednadžbe i kvadratne jednadžbe poznate do sada cjelovite racionalne jednadžbe.

Rješavanje cijelih jednadžbi

Jedan od glavnih pristupa rješavanju cijelih jednadžbi je njihovo svođenje na ekvivalent algebarske jednadžbe. To se uvijek može učiniti izvođenjem sljedećih ekvivalentnih transformacija jednadžbe:

prvo, izraz s desne strane originalne cjelobrojne jednadžbe prenosi se na lijevu stranu sa suprotnim predznakom da bi se dobila nula na desnoj strani;
nakon toga, na lijevoj strani jednadžbe, dobiveni standardni oblik.

Rezultat je algebarska jednadžba koja je ekvivalentna izvornoj cijeloj jednadžbi. Dakle, u najjednostavnijim slučajevima, rješavanje cijelih jednadžbi svodi se na rješenje linearnih ili kvadratnih jednadžbi, au općem slučaju - na rješenje algebarske jednadžbe stupnja n. Radi jasnoće, analizirajmo rješenje primjera.

Primjer.

Pronađite korijene cijele jednadžbe 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Riješenje.

Svedimo rješenje cijele ove jednadžbe na rješenje ekvivalentne algebarske jednadžbe. Da bismo to učinili, prvo prenosimo izraz s desne strane na lijevu, kao rezultat dolazimo do jednadžbe 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. I, drugo, transformiramo izraz formiran na lijevoj strani u polinom standardnog oblika čineći potrebno: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Time se rješenje izvorne cjelobrojne jednadžbe svodi na rješenje kvadratne jednadžbe x 2 −5·x−6=0 .

Izračunajte njegovu diskriminantu D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, pozitivna je, što znači da jednadžba ima dva realna korijena, koja nalazimo po formuli korijena kvadratne jednadžbe:

Da budemo potpuno sigurni, učinimo provjera pronađenih korijena jednadžbe. Prvo provjerimo korijen 6, zamijenimo ga umjesto varijable x u izvornoj cjelobrojnoj jednadžbi: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, što je isto, 63=63 . Ovo je važeća numerička jednadžba, tako da je x=6 doista korijen jednadžbe. Sada provjeravamo korijen −1, imamo 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, odakle je 0=0 . Za x=−1, izvorna se jednadžba također pretvorila u pravu numeričku jednakost, stoga je x=−1 također korijen jednadžbe.

Odgovor:

6 , −1 .

Ovdje također treba napomenuti da se pojam "snaga cijele jednadžbe" povezuje s prikazom cijele jednadžbe u obliku algebarske jednadžbe. Dajemo odgovarajuću definiciju:

Definicija.

Stupanj cijele jednadžbe stupanj njemu ekvivalentne algebarske jednadžbe nazvati.

Prema ovoj definiciji cijela jednadžba iz prethodnog primjera ima drugi stupanj.

Na ovome bi se moglo završiti s rješavanjem cijelih racionalnih jednadžbi, ako ne jedne, ali .... Kao što je poznato, rješavanje algebarskih jednadžbi stupnja višeg od drugog povezano je sa značajnim poteškoćama, a za jednadžbe stupnja višeg od četvrtog uopće ne postoje opće formule za korijene. Dakle, riješiti cijele jednadžbe treće, četvrte i više visoki stupnjevičesto moraju posegnuti za drugim metodama rješenja.

U takvim slučajevima ponekad se pristup rješavanju cijelih racionalnih jednadžbi temelji na metoda faktorizacije. Istodobno se slijedi sljedeći algoritam:

prvo nastoje imati nulu na desnoj strani jednadžbe, za to prenose izraz s desne strane cijele jednadžbe na lijevu;
tada je rezultirajući izraz na lijevoj strani predstavljen kao produkt nekoliko faktora, što vam omogućuje da prijeđete na skup nekoliko jednostavnijih jednadžbi.

Gornji algoritam za rješavanje cijele jednadžbe faktorizacijom zahtijeva detaljno objašnjenje pomoću primjera.

Primjer.

Riješite cijelu jednadžbu (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Riješenje.

Prvo, kao i obično, prenesemo izraz s desne strane na lijevu stranu jednadžbe, ne zaboravljajući promijeniti znak, dobivamo (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Ovdje je sasvim očito da nije preporučljivo transformirati lijevu stranu dobivene jednadžbe u polinom standardnog oblika, jer će se time dobiti algebarska jednadžba četvrtog stupnja oblika x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, čije je rješenje teško.

S druge strane, očito je da se x 2 −10·x+13 može naći na lijevoj strani dobivene jednadžbe, čime se predstavlja kao produkt. Imamo (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Rezultirajuća jednadžba je ekvivalentna izvornoj cijeloj jednadžbi, a ona se, pak, može zamijeniti skupom od dvije kvadratne jednadžbe x 2 −10·x+13=0 i x 2 −2·x−1=0 . Pronalaženje njihovih korijena koristeći poznate formule korijena kroz diskriminant nije teško, korijeni su jednaki. Oni su željeni korijeni izvorne jednadžbe.

Odgovor:

Također je koristan za rješavanje cijelih racionalnih jednadžbi. metoda za uvođenje nove varijable. U nekim slučajevima omogućuje prijelaz na jednadžbe čiji je stupanj niži od stupnja izvorne cjelobrojne jednadžbe.

Primjer.

Pronađite prave korijene racionalne jednadžbe (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Riješenje.

Svođenje cijele ove racionalne jednadžbe na algebarsku jednadžbu je, blago rečeno, ne baš dobra ideja, jer ćemo u ovom slučaju doći do potrebe rješavanja jednadžbe četvrtog stupnja koja nema racionalne korijene. Stoga ćete morati potražiti drugo rješenje.

Ovdje je lako vidjeti da možete uvesti novu varijablu y i njome zamijeniti izraz x 2 +3 x. Takva zamjena dovodi nas do cijele jednadžbe (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , koja nakon prijenosa izraza −2 (y−4) na lijevu stranu i naknadne transformacije izraza tamo nastaje , svodi se na jednadžbu y 2 +4 y+3=0 . Korijene ove jednadžbe y=−1 i y=−3 lako je pronaći, na primjer, mogu se pronaći na temelju inverznog teorema Vietinog teorema.

Sada prijeđimo na drugi dio metode uvođenja nove varijable, odnosno na obrnutu zamjenu. Nakon izvođenja obrnute supstitucije, dobivamo dvije jednadžbe x 2 +3 x=−1 i x 2 +3 x=−3 , koje se mogu prepisati kao x 2 +3 x+1=0 i x 2 +3 x+3 =0. Prema formuli korijena kvadratne jednadžbe nalazimo korijene prve jednadžbe. A druga kvadratna jednadžba nema realne korijene, jer je njezina diskriminanta negativna (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Odgovor:

Općenito, kada imamo posla s cijelim jednadžbama visokih stupnjeva, uvijek moramo biti spremni potražiti nestandardnu metodu ili umjetnu tehniku za njihovo rješavanje.

Rješenje razlomačko racionalnih jednadžbi

Prvo, bit će korisno razumjeti kako riješiti frakcijsko racionalne jednadžbe oblika , gdje su p(x) i q(x) racionalni cjelobrojni izrazi. A zatim ćemo pokazati kako svesti rješenje preostalih razlomačko racionalnih jednadžbi na rješenje jednadžbi navedenog oblika.

Jedan od pristupa rješavanju jednadžbe temelji se na sljedećoj tvrdnji: brojčani ulomak u/v, gdje je v broj različit od nule (inače ćemo naići na , koji nije definiran), jednak je nuli ako i samo ako njegov brojnik jednak nuli, tada je, ako i samo ako je u=0 . Na temelju ove tvrdnje, rješenje jednadžbe se svodi na ispunjenje dva uvjeta p(x)=0 i q(x)≠0 .

Ovaj zaključak je u skladu sa sljedećim algoritam za rješavanje frakciono racionalne jednadžbe. Za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe oblika

riješiti cijelu racionalnu jednadžbu p(x)=0 ;
te provjeriti da li je za svaki pronađeni korijen zadovoljen uvjet q(x)≠0, dok

ako je točno, onda je ovaj korijen korijen izvorne jednadžbe;
ako nije, onda je taj korijen tuđi, odnosno nije korijen izvorne jednadžbe.

Analizirajmo primjer korištenja glasovnog algoritma pri rješavanju frakcijske racionalne jednadžbe.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Riješenje.

Ovo je razlomačka racionalna jednadžba oblika , gdje je p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Prema algoritmu za rješavanje frakciono racionalnih jednadžbi ove vrste, prvo trebamo riješiti jednadžbu 3·x−2=0 . to Linearna jednadžba, čiji je korijen x=2/3 .

Preostaje provjeriti postoji li taj korijen, odnosno provjeriti zadovoljava li uvjet 5·x 2 −2≠0 . Zamijenimo broj 2/3 umjesto x u izraz 5 x 2 −2, dobivamo . Uvjet je ispunjen, pa je x=2/3 korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor:

2/3 .

Rješenju razlomljene racionalne jednadžbe može se pristupiti s malo drugačije pozicije. Ova jednadžba je ekvivalentna cijeloj jednadžbi p(x)=0 na varijabli x izvorne jednadžbe. To jest, možete pratiti ovo algoritam za rješavanje frakciono racionalne jednadžbe :

riješiti jednadžbu p(x)=0 ;
pronaći ODZ varijablu x ;
uzmite korijene koji pripadaju području dopuštenih vrijednosti - oni su željeni korijeni izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

Na primjer, riješimo razlomljenu racionalnu jednadžbu pomoću ovog algoritma.

Primjer.

Riješite jednadžbu.

Riješenje.

Prvo rješavamo kvadratnu jednadžbu x 2 −2·x−11=0 . Njegovi korijeni se mogu izračunati pomoću formule za korijen parnog drugog koeficijenta, koju imamo D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, i .

Drugo, nalazimo ODZ varijable x za izvornu jednadžbu. Sastoji se od svih brojeva za koje je x 2 +3 x≠0 , što je isto x (x+3)≠0 , odakle je x≠0 , x≠−3 .

Ostaje provjeriti jesu li korijeni pronađeni u prvom koraku uključeni u ODZ. Očito da. Prema tome, izvorna frakciono racionalna jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Imajte na umu da je ovaj pristup isplativiji od prvog ako se ODZ lako nalazi, a posebno je koristan ako su korijeni jednadžbe p(x)=0 iracionalni, na primjer, ili racionalni, ali s prilično velikim brojnik i/ili nazivnik, na primjer, 127/1101 i -31/59 . To je zbog činjenice da će u takvim slučajevima provjera uvjeta q(x)≠0 zahtijevati značajne računalne napore, a lakše je isključiti vanjske korijene iz ODZ-a.

U ostalim slučajevima, pri rješavanju jednadžbe, posebno kada su korijeni jednadžbe p(x)=0 cijeli brojevi, povoljnije je koristiti prvi od gornjih algoritama. Odnosno, preporučljivo je odmah pronaći korijene cijele jednadžbe p(x)=0 , a zatim provjeriti je li za njih zadovoljen uvjet q(x)≠0, a ne pronaći ODZ, a zatim riješiti jednadžbu p(x)=0 na ovom ODZ . To je zbog činjenice da je u takvim slučajevima obično lakše izvršiti provjeru nego pronaći ODZ.

Razmotrite rješenje dvaju primjera za ilustraciju navedenih nijansi.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Riješenje.

Prvo nalazimo korijene cijele jednadžbe (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, sastavljen pomoću brojnika razlomka. Lijeva strana ove jednadžbe je umnožak, a desna je nula, stoga je prema metodi rješavanja jednadžbi faktorizacijom ova jednadžba ekvivalentna skupu od četiri jednadžbe 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tri od ovih jednadžbi su linearne, a jedna je kvadratna, možemo ih riješiti. Iz prve jednadžbe nalazimo x=1/2, iz druge - x=6, iz treće - x=7, x=−2, iz četvrte - x=−1.

Uz pronađene korijene, prilično ih je lako provjeriti da li nazivnik razlomka koji se nalazi na lijevoj strani izvorne jednadžbe ne nestaje, a nije tako lako odrediti ODZ, budući da će to morati riješiti algebarska jednadžba petog stupnja. Stoga ćemo odbiti pronaći ODZ u korist provjere korijena. Da bismo to učinili, zamijenimo ih redom umjesto varijable x u izrazu x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, dobivenih nakon supstitucije, i usporedite ih s nulom: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Dakle, 1/2, 6 i −2 su željeni korijeni izvorne frakcijsko racionalne jednadžbe, a 7 i −1 su vanjski korijeni.

Odgovor:

1/2 , 6 , −2 .

Primjer.

Pronađite korijene razlomljene racionalne jednadžbe.

Riješenje.

Prvo nalazimo korijene jednadžbe (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Ova jednadžba je ekvivalentna skupu od dvije jednadžbe: kvadratnoj 5·x 2 −7·x−1=0 i linearnoj x−2=0 . Prema formuli korijena kvadratne jednadžbe nalazimo dva korijena, a iz druge jednadžbe imamo x=2.

Provjera nestaje li nazivnik pri pronađenim vrijednostima x prilično je neugodna. A odrediti raspon prihvatljivih vrijednosti varijable x u izvornoj jednadžbi prilično je jednostavno. Stoga ćemo djelovati preko ODZ-a.

U našem slučaju ODZ varijable x izvorne razlomljene racionalne jednadžbe čine svi brojevi osim onih za koje je zadovoljen uvjet x 2 +5·x−14=0. Korijeni ove kvadratne jednadžbe su x=−7 i x=2, iz čega zaključujemo o ODZ: sastoji se od svih x takvih da je .

Ostaje provjeriti pripadaju li pronađeni korijeni i x=2 području dopuštenih vrijednosti. Korijeni - pripadaju, dakle, oni su korijeni izvorne jednadžbe, a x=2 ne pripada, dakle, radi se o stranom korijenu.

Odgovor:

Također će biti korisno posebno se zadržati na slučajevima kada frakcijska racionalna jednadžba oblika sadrži broj u brojniku, odnosno kada je p (x) predstavljen nekim brojem. pri čemu

ako je taj broj različit od nule, tada jednadžba nema korijena, budući da je razlomak nula ako i samo ako je njegov brojnik nula;
ako je taj broj nula, tada je korijen jednadžbe bilo koji broj iz ODZ.

Primjer.

Riješenje.

Budući da u brojniku razlomka na lijevoj strani jednadžbe postoji broj različit od nule, ni za jedan x vrijednost ovog razlomka ne može biti jednaka nuli. Stoga ova jednadžba nema korijena.

Odgovor:

bez korijena.

Primjer.

Riješite jednadžbu.

Riješenje.

Brojnik razlomka na lijevoj strani ove frakcijske racionalne jednadžbe je nula, tako da je vrijednost ovog razlomka nula za bilo koji x za koji ima smisla. Drugim riječima, rješenje ove jednadžbe je bilo koja vrijednost x iz DPV ove varijable.

Ostaje odrediti ovaj raspon prihvatljivih vrijednosti. Uključuje sve takve vrijednosti x za koje je x 4 +5 x 3 ≠0. Rješenja jednadžbe x 4 +5 x 3 \u003d 0 su 0 i −5, budući da je ova jednadžba ekvivalentna jednadžbi x 3 (x + 5) \u003d 0, a ona je zauzvrat ekvivalentna kombinaciji dviju jednadžbi x 3 \u003d 0 i x +5=0 , odakle su ti korijeni vidljivi. Prema tome, željeni raspon prihvatljivih vrijednosti je bilo koji x, osim za x=0 i x=−5.

Dakle, frakciono racionalna jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, koja su bilo koji brojevi osim nula i minus pet.

Odgovor:

Konačno, vrijeme je da razgovaramo o rješavanju proizvoljnih frakcijskih racionalnih jednadžbi. Mogu se napisati kao r(x)=s(x) , gdje su r(x) i s(x) racionalni izrazi, a barem jedan od njih je razlomački. Gledajući unaprijed, kažemo da se njihovo rješenje svodi na rješavanje jednadžbi oblika koji nam je već poznat.

Poznato je da prijenos člana iz jednog dijela jednadžbe u drugi sa suprotnim predznakom dovodi do ekvivalentne jednadžbe, pa je jednadžba r(x)=s(x) ekvivalentna jednadžbi r(x)−s (x)=0.

Također znamo da bilo koji može biti identički jednak ovom izrazu. Dakle, uvijek možemo transformirati racionalni izraz na lijevoj strani jednadžbe r(x)−s(x)=0 u identično jednak racionalni razlomak oblika .

Dakle, idemo od izvorne frakcijske racionalne jednadžbe r(x)=s(x) do jednadžbe , a njezino rješenje, kao što smo saznali gore, svodi se na rješavanje jednadžbe p(x)=0 .

Ali ovdje je potrebno uzeti u obzir činjenicu da se pri zamjeni r(x)−s(x)=0 s , a zatim s p(x)=0 , raspon dopuštenih vrijednosti varijable x može proširiti .

Dakle, izvorna jednadžba r(x)=s(x) i jednadžba p(x)=0 , do koje smo došli, možda nisu ekvivalentne, a rješavanjem jednadžbe p(x)=0 možemo dobiti korijene to će biti vanjski korijeni izvorne jednadžbe r(x)=s(x) . Moguće je identificirati i ne uključiti strane korijene u odgovor, bilo provjerom, bilo provjerom njihove pripadnosti ODZ-u izvorne jednadžbe.

Sažimamo ove podatke u algoritam za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe r(x)=s(x). Za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe r(x)=s(x) , potrebno je

Dobijte nulu s desne strane pomicanjem izraza s desne strane sa suprotnim predznakom.
Izvršite radnje s razlomcima i polinomima na lijevoj strani jednadžbe, čime ga pretvarate u racionalni razlomak oblika.
Riješite jednadžbu p(x)=0 .
Identificirati i isključiti strane korijene, što se radi njihovom zamjenom u izvornu jednadžbu ili provjerom njihove pripadnosti ODZ-u izvorne jednadžbe.

Radi veće jasnoće prikazat ćemo cijeli lanac rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi:
.

Prođimo kroz rješenja nekoliko primjera s detaljnim objašnjenjem rješenja kako bismo pojasnili navedeni blok informacija.

Primjer.

Riješite razlomljenu racionalnu jednadžbu.

Riješenje.

Postupit ćemo u skladu s upravo dobivenim algoritmom rješenja. I prvo prenesemo članove s desne strane jednadžbe na lijevu stranu, kao rezultat prelazimo na jednadžbu.

U drugom koraku trebamo pretvoriti razlomački racionalni izraz na lijevoj strani dobivene jednadžbe u oblik razlomka. Da bismo to učinili, izvodimo svođenje racionalnih razlomaka na zajednički nazivnik i pojednostavljujemo dobiveni izraz: . Tako dolazimo do jednadžbe.

U sljedećem koraku trebamo riješiti jednadžbu −2·x−1=0 . Nađi x=−1/2 .

Preostaje provjeriti je li pronađeni broj −1/2 strani korijen izvorne jednadžbe. Da biste to učinili, možete provjeriti ili pronaći ODZ varijablu x izvorne jednadžbe. Pokažimo oba pristupa.

Počnimo s provjerom. Umjesto varijable x u izvornu jednadžbu zamijenimo broj −1/2, dobijemo , što je isto, −1=−1. Zamjena daje točnu numeričku jednakost, stoga je x=−1/2 korijen izvorne jednadžbe.

Sada ćemo pokazati kako se posljednji korak algoritma izvodi kroz ODZ. Raspon dopuštenih vrijednosti izvorne jednadžbe je skup svih brojeva osim −1 i 0 (kada je x=−1 i x=0, nazivnici razlomaka nestaju). Korijen x=−1/2 pronađen u prethodnom koraku pripada ODZ, stoga je x=−1/2 korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor:

−1/2 .

Razmotrimo još jedan primjer.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Riješenje.

Trebamo riješiti frakciono racionalnu jednadžbu, prođimo kroz sve korake algoritma.

Prvo prenesemo izraz s desne strane na lijevu, dobijemo .

Drugo, transformiramo izraz formiran na lijevoj strani: . Kao rezultat dolazimo do jednadžbe x=0 .

Njegov korijen je očigledan - on je nula.

U četvrtom koraku preostaje otkriti nije li pronađeni korijen vanjski za izvornu frakcijsko racionalnu jednadžbu. Kada se zamijeni u izvornoj jednadžbi, dobije se izraz. Očito nema smisla jer sadrži dijeljenje s nulom. Otuda zaključujemo da je 0 vanjski korijen. Dakle, izvorna jednadžba nema korijena.

7, što dovodi do jednadžbe. Iz ovoga možemo zaključiti da izraz u nazivniku lijeve strane mora biti jednak s desne strane, odnosno . Sada od oba dijela trojke oduzimamo: . Po analogiji, odakle, i dalje.

Provjera pokazuje da su oba pronađena korijena korijeni izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

Odgovor:

Bibliografija.

Algebra: udžbenik za 8 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Dio 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra: 9. razred: udžbenik. za opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-021134-5.