Thème 6 Polynômes arithmétiques. Polynômes dans une variable
MBOU "École ouverte (postée) n°2" de la ville de Smolensk
Travail indépendant
sur le thème : "Polynômes"
7e année
Effectué
professeur de mathématiques
Michchenkova Tatiana Vladimirovna
Travail oral indépendant n°1 (préparatoire)
(réalisé dans le but de préparer les étudiants à maîtriser de nouvelles connaissances sur le thème : « Le polynôme et sa forme standard »)
Option 1.
a) 1,4a + 1– une 2 – 1,4 + b 2 ;
b) un 3 – 3a +b + 2 un B – X;
c)2ab + X – 3 ba – X.
Justifiez votre réponse.
un) 2 un – 3 un +7 un;
b) 3x – 1+2x+7 ;
c) 2x– 3 ans+3X+2 oui.
a) 8xx ;g) – 2a 2 ba
b) 10 nm ;d) 5p 2 * 2p;
à 3aab; e) – 3 p * 1,5 p 3 .
Option 2
1. Nommez des termes similaires dans les expressions suivantes :
une) 8,3x – 7 – x 2 + 4 + oui 2 ;
b)b 4 - 6 un +5 b 2 +2 un – 3 b 4 :
à 3xy + oui – 2 xy – oui.
Justifiez votre réponse.
2. Donnez des termes similaires dans des expressions :
un) 10 d – 3 d – 19 d ;
b) 5x – 8 +4x + 12 ;
c) 2x – 4 ans + 7x + 3 ans.
3. Réduisez les monômes à la forme standard et indiquez le degré du monôme :
a) 10aaa ;
b) 7 millions ;
V) 3 cc;
d) – 5X 2 yx;
e) 8q 2 * 3 q;
e) – 7p * 0>5 q 4 .
La condition du travail indépendant oral est proposée sur écran ou au tableau, mais le texte est gardé fermé avant le début du travail indépendant.
Un travail indépendant est effectué au début du cours. Une fois le travail terminé, un autotest est utilisé à l'aide d'un ordinateur ou d'un tableau.
Travail indépendant n°2
(réalisé dans le but de renforcer les compétences des étudiants pour amener un polynôme à une forme standard et déterminer le degré d'un polynôme)
Option 1
1. Réduisez le polynôme à la forme standard :
une)x 2 y + yxy;
b) 3x 2 6 ans 2 – 5x 2 7 ans ;
à 11 heuresun 5 – 8 un 5 +3 un 5 + un 5 ;
d) 1,9X 3 – 2,9 X 3 – X 3 .
a) 3t 2 – 5 tonnes 2 – 11t – 3t 2 + 5t +11 ;
b) X 2 + 5x – 4 – x 3 – 5x 2 + 4x – 13.
4 X 2 – 1 àX = 2.
4. Tâche supplémentaire.
Au lieu de * écrivez un tel terme pour obtenir un polynôme du cinquième degré.
X 4 + 2 X 3 – X 2 + 1 + *
Option 2
a) bébé + un 2 b;
b) 5x 2 8 ans 2 +7x 2 3 ans ;
à 2 heuresm 6 + 5 m 6 – 8 m 6 – 11 m 6 ;
d) – 3.1oui 2 +2,1 oui 2 – oui 2. .
2. Donnez des termes similaires et indiquez le degré du polynôme :
a)8b 3 – 3b 3 + 17b – 3b 3 – 8b – 5 ;
b) 3h 2 +5hc – 7c 2 + 12h 2 – 6h.
3. Trouvez la valeur du polynôme :
2 X 3 + 4 àX=1.
4. Tâche supplémentaire.
Au lieu de* écrivez un tel terme pour obtenir un polynôme du sixième degré.
X 3 – X 2 + X + * .
Option 3
1. Réduisez les polynômes à la forme standard :
a) 2aa 2 3b + a8b ;
b) 8x3 ans (–5 ans) – 7x 2 4 ans ;
dans 20xy + 5 yx – 17 xy;
d) 8un B 2 –3 un B 2 – 7 un B 2. .
2. Donnez des termes similaires et indiquez le degré du polynôme :
une) 2x 2 + 7xy + 5x 2 – 11xy + 3a 2 ;
b) 4b 2 +un 2 + 6ab – 11b 2 –7ab 2 .
3. Trouvez la valeur du polynôme :
– 4 oui 5 – 3 àoui= –1.
4. Tâche supplémentaire.
Construisez un polynôme du troisième degré contenant une variable.
Travail oral indépendant n°3 (préparatoire)
(réalisé dans le but de préparer les étudiants à maîtriser de nouvelles connaissances sur le thème : « Addition et soustraction de polynômes »)
Option 1
un) la somme de deux expressions 3un+ 1 etun – 4;
b) la différence de deux expressions 5X– 2 et 2X + 4.
3. Développez les parenthèses :
un) oui – ( oui+ z);
b) (X – oui) + ( oui+ z);
V) (un – b) – ( c – un).
4. Trouvez la valeur de l'expression :
un) 13,4 + (8 – 13,4);
b) – 1,5 – (4 – 1,5);
V) (un – b) – ( c – un).
Option 2
1. Écrivez-le sous forme d’expression :
un) la somme de deux expressions 5un– 3 etun + 2;
b) la différence de deux expressions 8oui– 1 et 7oui + 1.
2. Formulez une règle pour ouvrir les parenthèses précédées des signes « + » ou « – ».
3. Développersupports:
une) une – (b+c);
b) (une – b) + (b+une);
V) (X – oui) – ( oui – z).
4. Trouvez la valeur de l'expression :
un) 12,8 + (11 – 12,8);
b) – 8,1 – (4 – 8,1);
c) 10,4 + 3X – ( X+10,4) àX=0,3.
Une fois le travail terminé, un autotest est utilisé à l'aide d'un ordinateur ou d'un tableau.
Travail indépendant n°4
(réalisé dans le but de renforcer les compétences d'addition et de soustraction de polynômes)
Option 1
un) 5 X– 15h et 8houi – 4 X;
b)7X 2 – 5 X+3 et 7X 2 – 5 X.
2. Simplifiez l'expression :
un) (2 un + 5 b) + (8 un – 11 b) – (9 b – 5 un);
* b) (8c 2 + 3 c) + (– 7 c 2 – 11 c + 3) – (–3 c 2 – 4).
3. Tâche supplémentaire.
Écrire un polynôme tel que sa somme avec le polynôme 3x + 1 soit égale à
9x – 4.
Option 2
1. Compilez la somme et la différence des polynômes et mettez-les sous forme standard :
a) 21 ans – 7xEt8x – 4 ans ;
b) 3a 2 + 7a – 5Et3a 2 + 1.
2. Simplifiez l'expression :
un) (3 b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b - 4) – (– b 2 +19);
* b) (3b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b – 4) – (– b 2 + 19).
3. Tâche supplémentaire.
Écrivez un polynôme tel que sa somme avec le polynôme 4x – 5 soit égale à
9x – 12.
Option 3
1. Compilez la somme et la différence des polynômes et mettez-les sous forme standard :
un) 0,5 X+ 6у et 3X – 6 oui;
b)2oui 2 +8 oui– 11 et 3oui 2 – 6 oui + 3.
2. Simplifiez l'expression :
un) (2 X + 3 oui – 5 z) – (6 X –8 oui) + (5 X – 8 oui);
* b) (un 2 – 3 un B + 2 b 2 ) – (– 2 un 2 – 2 un B – b 2 ).
3. Tâche supplémentaire.
Écrire un polynôme tel que sa somme avec le polynôme 7x + 3 soit égale àX 2 + 7 X – 15.
Option 4
1. Compilez la somme et la différence des polynômes et mettez-les sous forme standard :
un) 0,3 X + 2 bet 4X – 2 b;
b) 5oui 2 – 3 ouiet 8oui 2 + 2 oui – 11.
2. Simplifiez l'expression :
a) (3x – 5 ans – 8z) – (2x + 7 ans) + (5z – 11x) ;
* b) (2x 2 –xy + y 2 ) - (X 2 – 2xy – y 2 ).
3. Tâche supplémentaire.
Écrivez un polynôme tel que sa somme avec le polynôme soit 2X 2 + X+ 3 et était égal 2 X + 3.
Un travail indépendant est effectué à la fin du cours. L'enseignant vérifie le travail et détermine s'il est nécessaire d'étudier davantage sur ce sujet.
Travail indépendant n°5
(réalisé dans le but de développer les compétences pour mettre un polynôme entre parenthèses)
Option 1
un , et l'autre ne le contient pas :
a) hache + ay + x + y ;
b)hache 2 + x + a + 1.
Échantillon solutions:
m + un m + n – un = (m+n) + (un m – un).
b
a) bm – bn – m – n ;
b) bx + par + x –y.
Échantillon solutions:
ab – bc – x – y = (ab – bc) – (x + y).
Option 2
1. Imaginez un polynôme comme la somme de deux polynômes dont l'un contient la lettreb , et l'autre ne le contient pas :
a) bx + par +2x + 2y ;
b)bx 2 – x + une – b.
Exemple de solution :
2 m + bm 3 + 3 – b = (2 m+3) + (bm 3 – b).
2. Imaginez un polynôme comme la différence de deux polynômes dont le premier contient la lettreun , et l'autre ne l'est pas (vérifiez le résultat en ouvrant mentalement les parenthèses) :
a) ac – ab – c + b ;
b) un m + une + m – n;
Échantillon solutions:
x + ay – y – ax = (ay – ax) – (–x + y) = (ay – ay) – (y–x).
Option 3
1. Imaginez un polynôme comme la somme de deux polynômes dont l'un contient la lettreb , et l'autre ne le contient pas :
un B 3 –b 2 – b+3a – 1 ;
b) – b 2 -un 2 – 2ab + 2.
Exemple de solution :
– 2 b 2 – m 2 – 3 bm + 7 = (–2 b 2 – 3 bm) + (– m 2 + 7) = (–2 b 2 – 3 bm) + (7– m 2 ).
2. Imaginez un polynôme comme la différence de deux polynômes dont le premier contient la lettreb , et l'autre ne l'est pas (vérifiez le résultat en ouvrant mentalement les parenthèses) :
a) ab + ac – b – c ;
b) 2b + une 2 –b 2 –1;
Exemple de solution :
3 b + m – 1 – 2 b 2 = (3 b – 2 b 2 ) – (1– m).
Option 4
(pour les étudiants forts, donné sans exemple de solution)
1. Imaginez un polynôme comme la somme de deux polynômes à coefficients positifs :
a) hache + par – c – d;
b) 3x –3 ans +z – une.
2. Présentez les expressions en quelque sorte comme la différence entre un binôme et un trinôme :
une)x 4 – 2x 3 – 3x 2 + 5x – 4 ;
b) 3a 5 – 4a 3 + 5a 2 –3a +2.
Un travail indépendant est effectué à la fin du cours. Une fois les travaux terminés, un autotest à l'aide de la clé et une auto-évaluation du travail sont utilisés. Les élèves qui accomplissent la tâche de manière indépendante remettent leurs cahiers à l'enseignant pour vérification.
C travail indépendant n°6
(réalisé dans le but de consolider et d'appliquer les connaissances et compétences de multiplication d'un monôme par un polynôme)
Option 1
1. Effectuez la multiplication :
un) 3 b 2 (b –3);
b) 5X (X 4 + X 2 – 1).
2. Simplifiez les expressions :
a) 4 (x+1) +(x+1);
b) 3a (une – 2) – 5a(une+3).
3. Décider l'équation:
20 +4(2 X–5) =14 X +12.
4. Tâche supplémentaire.
(m+ n) * * = mk + nk.
Option 2
1. Effectuez la multiplication :
un) - 4 X 2 (X 2 –5);
b) -5un (un 2 - 3 un – 4).
2. Simplifiez les expressions :
un) (un–2) – 2(un–2);
b) 3X (8 oui +1) – 8 X(3 oui–5).
3. Résolvez l'équation :
3(7 X–1) – 2 =15 X –1.
4. Tâche supplémentaire.
Quel monôme faut-il saisir à la place du signe * pour que l'égalité soit vérifiée :
(b+ c – m) * * = un B + ca – suis.
Option 3
1. Effectuez la multiplication :
un) – 7 X 3 (X 5 +3);
b)2m 4 (m 5 - m 3 – 1).
2. Simplifiez les expressions :
une) (x–3) – 3(x–3);
b) 3c (c + d) + 3d (c–d).
3. Résolvez l'équation :
9 X – 6(X – 1) =5(X +2).
4. Tâche supplémentaire.
Quel monôme faut-il saisir à la place du signe * pour que l'égalité soit vérifiée :
* * (X 2 – xy) = X 2 oui 2 – xy 3 .
Option 4
1. Effectuez la multiplication :
un) – 5 X 4 (2 X – X 3 );
b)X 2 (X 5 – X 3 + 2 X);
2. Simplifiez les expressions :
un) 2 X(X+1) – 4 X(2– X);
b) 5b (3 un – b) – 3 un(5 b+ un).
3. Résolvez l'équation :
-8(11 – 2 X) +40 =3(5 X - 4).
4. Tâche supplémentaire.
Quel monôme faut-il saisir à la place du signe * pour que l'égalité soit vérifiée :
(X – 1) * * = X 2 oui 2 – xy 2 .
C travail indépendant n°7
(réalisé dans le but de développer des compétences en résolution d'équations et de problèmes)
Option 1
Résous l'équation:
+ = 6
Solution:
(+) * 20 = 6*20,
* 20 – ,
5 X – 4(X – 1) =120,
5 X – 4 X + 4=120,
X=120 – 4,
X=116.
Réponse : 116.
Résous l'équation:
+ = 4
2. Résolvez le problème :
La voiture a mis 1 heure de moins sur le trajet du village à la gare que le cycliste. Trouvez la distance entre le village et la gare si la voiture roulait à une vitesse moyenne de 60 km/h. Et le cycliste roule à 20 km/h.
Option 2
1. À l’aide de l’exemple de solution, terminez la tâche.
Résous l'équation:– = 1
Solution:
(+) * 8 = 1*8,
* 8 – ,
2 X - (X – 3) =8,
2 X – 4 X + 3=8,
X = 8 – 3,
X=5.
Réponse : 5.
Résous l'équation:
+ = 2
2. Résolvez le problème :
Le maître produit 8 pièces de plus par heure que l'apprenti. L'apprenti a travaillé 6 heures et le maître 8 heures, et ensemble ils ont fabriqué 232 pièces. Combien de pièces l’étudiant a-t-il produit par heure ?
Orientations pour la solution :
a) remplissez le tableau ;
8 autres parties
b) écrire une équation ;
c) résoudre l'équation ;
d) vérifiez et notez la réponse.
Option 3
(Pour les étudiants forts, donné sans échantillon)
1. Résolvez l'équation :
– = 2
2. Résolvez le problème :
Les pommes de terre étaient amenées à la salle à manger, emballées dans des sacs de 3 kg. S’il était conditionné en sacs de 5 kg, il faudrait alors 8 sacs de moins. Combien de kilos de pommes de terre ont été apportés à la cantine ?
Un travail indépendant est effectué à la fin du cours. Une fois les travaux terminés, un autotest à l'aide de la clé est utilisé.
En devoirs, les étudiants se voient proposer un travail créatif indépendant :
Pensez à un problème qui peut être résolu à l'aide de l'équation
30 X = 60(X– 4) et résolvez-le.
Travail indépendant n°8
(réalisé dans le but de développer des compétences et des capacités pour sortir le facteur commun entre parenthèses)
Option 1
UN)MX + mon; e)X 5 – X 4 ;
b) 5un B – 5 b; e) 4X 3 – 8 X 2 ;
V) – 4mn + n ; *et) 2c 3 + 4c 2 + c ;
g) 7ab – 14a 2 ; * h)hache 2 +un 2 .
2. Tâche supplémentaire.
2 – 2 18 divisible par 14.
Option 2
1. Retirez le facteur commun entre parenthèses (vérifiez vos actions en multipliant) :
UN) 10x + 10 ans ;d) un 4 +un 3 ;
b) 4x + 20 ans ;e) 2x 6 – 4x 3 ;
V) 9 ab + 3b ; *et)oui 5 + 3 ans 6 + 4 ans 2 ;
g) 5xy 2 + 15 ans ; *h) 5bc 2 + avant JC.
2. Tâche supplémentaire.
Montrer que la valeur de l'expression est 8 5 – 2 11 divisible par 17.
Option 3
1. Retirez le facteur commun entre parenthèses (vérifiez vos actions en multipliant) :
UN) 18ay + 8ax ;d)m 6 +m 5 ;
b) 4ab - 16a ;e) 5z 4 – 10z 2 ;
à 4 heuresminute + 5 n; *g)3X 4 – 6 X 3 + 9 X 2 ;
d) 3X 2 oui– 9 X; *h)xy 2 +4 xy.
2. Tâche supplémentaire.
Montrer que la valeur de l'expression est 79 2 + 79 * 11 est divisible par 30.
Option 4
1. Retirez le facteur commun entre parenthèses (vérifiez vos actions en multipliant) :
une) – 7xy + 7 oui; e)oui 7 - oui 5 ;
b) 8minute + 4 n; e) 16z 5 – 8 z 3 ;
dans 20un 2 + 4 hache; *g)4X 2 – 6 X 3 + 8 X 4 ;
d) 5X 2 oui 2 + 10 X; *h)xy +2 xy 2 .
2. Tâche supplémentaire.
Montrer que la valeur de l'expression est 313 * 299 – 313 2 divisible par 7.
CUn travail indépendant est effectué en début de cours. Une fois les travaux terminés, un contrôle clé est effectué.
École par correspondance 7e année. Tâche n°2.
Manuel méthodologique n°2.
Thèmes :
Polynômes. Somme, différence et produit de polynômes ;
Résoudre des équations et des problèmes ;
Factorisation de polynômes ;
Formules de multiplication abrégées ;
Problèmes pour une solution indépendante.
Polynômes. Somme, différence et produit de polynômes.
Définition. Polynôme s'appelle la somme des monômes.
Définition. Les monômes à partir desquels un polynôme est composé sont appelés membres du polynôme.
Multiplier un monôme par un polynôme .
Pour multiplier un monôme par un polynôme, vous devez multiplier ce monôme par chaque terme du polynôme et additionner les produits résultants.
Multiplier un polynôme par un polynôme .
Pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme d'un autre polynôme et additionner les produits résultants.
Exemples de résolution de problèmes :
Simplifiez l'expression :
Solution.
Solution:
Puisque, par condition, le coefficient à 
doit être égal à zéro, alors
Répondre: -1.
Résoudre des équations et des problèmes.
Définition . Une égalité contenant une variable est appelée équation à une variable ou équation à une inconnue.
Définition . Racine d'une équation (solution d'une équation) est la valeur d'une variable à laquelle l'équation devient vraie.
Résoudre une équation signifie trouver plusieurs racines.
Définition.
Équation de la forme 
, Où X
variable, un
Et b
– certains nombres sont appelés équations linéaires à une variable.
Définition.
Un tas de les racines d’une équation linéaire peuvent :
Exemples de résolution de problèmes:
Le nombre 7 donné est-il la racine de l'équation :
Solution:
Ainsi, x=7 est la racine de l’équation.
Répondre: Oui.
Résolvez les équations :
 |
|||
|
Solution: |
|||
|
Réponse : -12 |
Réponse : -0,4 |
||
Un bateau partait du quai vers la ville à une vitesse de 12 km/h, et une demi-heure plus tard un bateau à vapeur partait dans cette direction à une vitesse de 20 km/h. Quelle est la distance entre l'embarcadère et la ville si le bateau à vapeur arrive en ville 1h30 avant le bateau ?
Solution:
Notons x la distance de la jetée à la ville.
|
Vitesse (km/h) |
Temps (h) |
Chemin (km) |
|
|
Bateau |
|
||
|
bateau à vapeur |
|
Selon les conditions du problème, le bateau a passé 2 heures de plus que le bateau à vapeur (puisque le navire a quitté le quai une demi-heure plus tard et est arrivé en ville 1h30 avant le bateau).
Créons et résolvons l'équation :
60 km – distance de la jetée à la ville.
Réponse : 60 km.
La longueur du rectangle a été réduite de 4 cm et un carré a été obtenu dont l'aire était inférieure de 12 cm² à l'aire du rectangle. Trouvez l'aire du rectangle.
Solution:
Soit x le côté du rectangle.
|
Longueur |
Largeur |
Carré |
|
|
Rectangle |
x(x-4) |
||
|
Carré |
(x-4)(x-4) |
Selon les conditions du problème, l'aire d'un carré est inférieure de 12 cm² à l'aire d'un rectangle.
Créons et résolvons l'équation :
7 cm est la longueur du rectangle.
(cm²) – aire du rectangle.
Réponse : 21 cm².
Les touristes ont parcouru le parcours prévu en trois jours. Le premier jour, ils ont parcouru 35 % du parcours prévu, le deuxième - 3 km de plus que le premier et le troisième - les 21 km restants. Quelle est la longueur du parcours ?
Solution:
Soit x la longueur de l'itinéraire entier.
|
Un jour |
Jour 2 |
Jour 3 |
|
|
Longueur du trajet |
0,35x+3 |
||
|
La longueur totale du chemin était de x km. |
|||
Ainsi, nous créons et résolvons l'équation :
0,35x+0,35x+21=x
0,7x+21=x
0,3x=21
70 km de longueur sur tout le parcours.
Réponse : 70 km.
Factorisation de polynômes.
Définition . Représenter un polynôme comme un produit de deux ou plusieurs polynômes est appelé factorisation.
Sortir le facteur commun des parenthèses .
Exemple :
Méthode de regroupement .
Le regroupement doit être fait de manière à ce que chaque groupe ait un facteur commun ; de plus, après avoir retiré le facteur commun entre parenthèses dans chaque groupe, les expressions résultantes doivent également avoir un facteur commun.
Exemple :
Formules de multiplication abrégées.
Le produit de la différence de deux expressions et de leur somme est égal à la différence des carrés de ces expressions.
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Le carré de la somme de deux expressions est égal au carré de la première expression plus le double du produit de la première et de la deuxième expressions, plus le carré de la deuxième expression. solutions. 1. Trouvez le reste de la division polynôme x6 – 4x4 + x3 ... n'a pas solutions, UN les décisions la seconde est constituée des paires (1 ; 2) et (2 ; 1). Réponse : (1 ; 2) , (2 ; 1). Tâches Pour indépendant solutions. Résolvez le système...
Définition 3.3. Monôme est une expression qui est un produit de nombres, de variables et de puissances avec un exposant naturel.
Par exemple, chacune des expressions, 
,
est un monôme.
On dit que le monôme a vue générale , s'il ne contient en premier lieu qu'un seul facteur numérique et que chaque produit de variables identiques y est représenté par un degré. Le facteur numérique d'un monôme écrit sous forme standard est appelé coefficient du monôme . Par le pouvoir du monôme est appelée la somme des exposants de toutes ses variables.
Définition 3.4. Polynôme appelé la somme des monômes. Les monômes à partir desquels un polynôme est composé sont appelésmembres du polynôme .
Des termes similaires - monômes dans un polynôme - sont appelés termes similaires du polynôme .
Définition 3.5. Polynôme de forme standard appelé polynôme dans lequel tous les termes sont écrits sous forme standard et des termes similaires sont donnés.Degré d'un polynôme de forme standard est appelé la plus grande des puissances des monômes qui y sont inclus.
Par exemple, est un polynôme de forme standard du quatrième degré.
Actions sur les monômes et les polynômes
La somme et la différence des polynômes peuvent être converties en un polynôme de forme standard. Lors de l'addition de deux polynômes, tous leurs termes sont écrits et des termes similaires sont donnés. Lors de la soustraction, les signes de tous les termes du polynôme soustrait sont inversés.
Par exemple:
Les termes d’un polynôme peuvent être divisés en groupes et mis entre parenthèses. Puisqu’il s’agit d’une transformation identique inverse à l’ouverture des parenthèses, on établit ce qui suit règle de parenthèse: si un signe plus est placé avant les parenthèses, alors tous les termes entre parenthèses sont écrits avec leurs signes ; Si un signe moins est placé avant les parenthèses, alors tous les termes entre parenthèses sont écrits avec des signes opposés.
Par exemple,
Règle pour multiplier un polynôme par un polynôme: Pour multiplier un polynôme par un polynôme, il suffit de multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme d'un autre polynôme et d'additionner les produits résultants.
Par exemple,
Définition 3.6. Polynôme à une variable 
degrés 
appelé une expression de la forme
Où 
- tous les numéros appelés coefficients polynomiaux
, et 
,
– entier non négatif.
Si 
, alors le coefficient 
appelé coefficient dominant du polynôme
, monôme 
- son Membre Senior
, coefficient 
–
Membre gratuit
.
Si au lieu d'une variable 
à un polynôme 
remplacer un nombre réel 
, alors le résultat sera un nombre réel 
qui est appelée la valeur du polynôme
à 
.
Définition 3.7.
Nombre 
appeléracine du polynôme
, Si
.
Envisagez de diviser un polynôme par un polynôme, où 
Et 
- des entiers. La division est possible si le degré du dividende polynomial est 
pas moins que le degré du polynôme diviseur 
, c'est 
.
Diviser un polynôme 
à un polynôme 
,
, signifie trouver deux de ces polynômes 
Et 
, à
Dans ce cas, le polynôme 
degrés 
appelé quotient polynomial
,
–
le reste
,
.
Remarque 3.2.
Si le diviseur
–n'est pas un polynôme nul, alors la division 
sur 
,
, est toujours réalisable, et le quotient et le reste sont déterminés de manière unique.
Remarque 3.3.
Au cas où
Devant tout le monde 
, c'est
ils disent que c'est un polynôme
complètement divisé(ou des actions)à un polynôme
.
La division des polynômes s'effectue de la même manière que la division des nombres à plusieurs chiffres : d'abord, le terme principal du polynôme dividende est divisé par le terme principal du polynôme diviseur, puis le quotient de la division de ces termes, qui sera le terme principal du polynôme quotient est multiplié par le polynôme diviseur et le produit résultant est soustrait du polynôme dividende. En conséquence, un polynôme est obtenu - le premier reste, qui est divisé de la même manière par le polynôme diviseur, et le deuxième terme du polynôme quotient est trouvé. Ce processus se poursuit jusqu'à ce qu'un reste nul soit obtenu ou que le degré du polynôme reste soit inférieur au degré du polynôme diviseur.
Lorsque vous divisez un polynôme par un binôme, vous pouvez utiliser le schéma de Horner.
Schéma Horner
Supposons que nous voulions diviser un polynôme
par binôme 
. Notons le quotient de division comme un polynôme
et le reste est 
. Signification 
, coefficients de polynômes 
,
et le reste 
Écrivons-le sous la forme suivante :
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Dans ce schéma, chacun des coefficients
,
,
,
…,
obtenu à partir du nombre précédent dans la ligne du bas en multipliant par le nombre 
et ajouter au résultat résultant le nombre correspondant dans la ligne supérieure au-dessus du coefficient souhaité. Si un diplôme 
est absent dans le polynôme, alors le coefficient correspondant est nul. Après avoir déterminé les coefficients selon le schéma donné, nous écrivons le quotient
et le résultat de la division si 
,
ou ,
Si 
,
Théorème 3.1.
Pour qu'une fraction irréductible 
(
,
)était la racine du polynôme 
à coefficients entiers, il faut que le nombre 
était un diviseur du terme libre 
, et le numéro 
- diviseur du coefficient dominant 
.
Théorème 3.2.
(Théorème de Bezout
)
Reste 
de la division d'un polynôme 
par binôme 
égal à la valeur du polynôme 
à 
, c'est 
.
Lors de la division d'un polynôme 
par binôme 
nous avons l'égalité
Cela est particulièrement vrai lorsque 
, c'est 
.
Exemple 3.2. Diviser par 
.
Solution. Appliquons le schéma de Horner :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ainsi,
Exemple 3.3. Diviser par 
.
Solution. Appliquons le schéma de Horner :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ainsi,
,
Exemple 3.4. Diviser par 
.
Solution.
En conséquence nous obtenons
Exemple 3.5. Diviser 
sur 
.
Solution. Divisons les polynômes par colonne :
|
|
Ensuite, nous obtenons
.
Parfois, il est utile de représenter un polynôme comme un produit égal de deux ou plusieurs polynômes. Une telle transformation identitaire s’appelle factoriser un polynôme . Considérons les principales méthodes d'une telle décomposition.
Retirer le facteur commun des parenthèses. Afin de factoriser un polynôme en sortant le facteur commun entre parenthèses, il faut :
1) trouver le facteur commun. Pour ce faire, si tous les coefficients du polynôme sont des nombres entiers, le plus grand diviseur commun modulo de tous les coefficients du polynôme est considéré comme le coefficient du facteur commun, et chaque variable incluse dans tous les termes du polynôme est prise avec le plus grand exposant qu'il a dans ce polynôme ;
2) trouver le quotient de division d'un polynôme donné par un facteur commun ;
3) écrire le produit du facteur général et le quotient résultant.
Regroupement de membres. Lors de la factorisation d'un polynôme à l'aide de la méthode de regroupement, ses termes sont divisés en deux ou plusieurs groupes afin que chacun d'eux puisse être converti en produit et que les produits résultants aient un facteur commun. Après cela, la méthode consistant à mettre entre parenthèses le facteur commun des termes nouvellement transformés est utilisée.
Application de formules de multiplication abrégées. Dans les cas où le polynôme à développer en facteurs, a la forme du côté droit de toute formule de multiplication abrégée ; sa factorisation est obtenue en utilisant la formule correspondante écrite dans un ordre différent.
Laisser 
, alors ce qui suit est vrai formules de multiplication abrégées :
|
Pour |
|
|
Si |
|
|
Binôme de Newton : Où |
|
:
impair ( 
):
– nombre de combinaisons de 
Par 
.Introduction de nouveaux membres auxiliaires. Cette méthode consiste à remplacer un polynôme par un autre polynôme qui lui est identiquement égal, mais contenant un nombre de termes différent, en introduisant deux termes opposés ou en remplaçant n'importe quel terme par une somme identiquement égale de monômes similaires. Le remplacement est effectué de telle manière que la méthode de regroupement des termes puisse être appliquée au polynôme résultant.
Exemple 3.6..
Solution. Tous les termes d'un polynôme contiennent un facteur commun 
. Ainsi,.
Répondre: .
Exemple 3.7.
Solution. On regroupe séparément les termes contenant le coefficient 
, et les termes contenant 
. En sortant les facteurs communs des groupes entre parenthèses, on obtient :
.
Répondre:
.
Exemple 3.8. Factoriser un polynôme 
.
Solution. En utilisant la formule de multiplication abrégée appropriée, nous obtenons :
Répondre: .
Exemple 3.9. Factoriser un polynôme 
.
Solution. En utilisant la méthode de regroupement et la formule de multiplication abrégée correspondante, on obtient :
.
Répondre: .
Exemple 3.10. Factoriser un polynôme 
.
Solution. Nous remplacerons 
sur 
, regroupez les termes, appliquez les formules de multiplication abrégées :
.
Répondre:
.
Exemple 3.11. Factoriser un polynôme
Solution. Parce que , 
,
, Que
Dans cette partie d'Algèbre 7e année, vous pouvez étudier les cours scolaires sur le thème « Polynômes ». Opérations arithmétiques sur les polynômes."
Cours vidéo pédagogiques sur l'algèbre 7e année « Polynômes. Les opérations arithmétiques sur les polynômes" sont enseignées par Valentin Alekseevich Tarasov, professeur à l'école Logos LV. Vous pouvez également étudier d'autres sujets en algèbre
Degré comme cas particulier d'un polynôme
Dans cette leçon, les concepts et définitions de base seront discutés, la base sera préparée pour l'étude d'un sujet complexe et volumineux, à savoir : nous rappellerons le matériel théorique concernant les diplômes - définitions, propriétés, théorèmes, et résoudrons plusieurs exemples pour consolider la technique .
Réduire les polynômes à la forme standard. Tâches typiques
Dans cette leçon, nous rappellerons les définitions de base de ce sujet et examinerons quelques problèmes typiques, à savoir réduire un polynôme à une forme standard et calculer une valeur numérique pour des valeurs données de variables. Nous résoudrons plusieurs exemples dans lesquels la réduction à une forme standard sera utilisée pour résoudre divers types de problèmes.
Addition et soustraction de polynômes. Tâches typiques
Dans cette leçon, les opérations d'addition et de soustraction de polynômes seront étudiées et les règles d'addition et de soustraction seront formulées. Des exemples sont considérés et certains problèmes et équations typiques sont résolus, et les compétences nécessaires pour effectuer ces opérations sont consolidées.
Multiplier un polynôme par un monôme. Tâches typiques
Dans cette leçon, nous étudierons l'opération de multiplication d'un polynôme par un monôme, qui constitue la base de l'étude de la multiplication des polynômes. Rappelons la loi distributive de la multiplication et formulons la règle pour multiplier tout polynôme par un monôme. Rappelons également quelques propriétés des diplômes. De plus, des erreurs typiques seront formulées lors de l'exécution de divers exemples.
Multiplication de binômes. Tâches typiques
Dans cette leçon, nous nous familiariserons avec l'opération de multiplication des polynômes les plus simples - les binômes, et formulerons la règle de leur multiplication. Dérivons quelques formules de multiplication abrégée en utilisant cette opération. De plus, nous résoudrons un grand nombre d'exemples et de problèmes typiques, à savoir le problème de simplification d'une expression, un problème de calcul et des équations.
Multiplication de trinômes. Tâches typiques
Dans cette leçon, nous examinerons le fonctionnement de la multiplication des trinômes, en déduirons la règle de multiplication des trinômes et, en fait, formulerons la règle de multiplication des polynômes en général. Résolvons quelques exemples liés à ce sujet afin de passer plus en détail à la multiplication des polynômes.
Multiplier un polynôme par un polynôme
Dans cette leçon, nous rappellerons tout ce que nous avons déjà appris sur la multiplication des polynômes, résumerons quelques résultats et formulerons une règle générale. Après cela, nous réaliserons une série d’exemples pour renforcer la technique de multiplication des polynômes.
Multiplication de polynômes dans des problèmes de mots
Dans cette leçon, nous rappellerons la méthode de modélisation mathématique et résoudrons des problèmes avec son aide. Nous apprendrons à composer des polynômes et des expressions avec eux à partir des conditions d'un problème de texte et à résoudre ces problèmes, ce qui signifie appliquer les connaissances acquises sur les polynômes dans des types de travail plus complexes.
Multiplication de polynômes dans des problèmes avec des éléments géométriques
Dans cette leçon, nous apprendrons à résoudre des problèmes verbaux avec des éléments géométriques en utilisant la méthode de modélisation mathématique. Pour ce faire, rappelez d’abord les faits géométriques de base et les étapes de résolution de problèmes.
Formules de multiplication abrégées. Somme au carré et différence au carré
Dans cette leçon, nous allons nous familiariser avec les formules du carré de la somme et du carré de la différence et les dériver. Démontrons géométriquement la formule du carré de la somme. De plus, nous résoudrons de nombreux exemples différents en utilisant ces formules.
Formules de multiplication abrégées. Différence de carrés
Dans cette leçon, nous rappellerons les formules de multiplication abrégées que nous avons apprises plus tôt, à savoir le carré de la somme et le carré de la différence. Dérivons la formule de la différence des carrés et résolvons de nombreux problèmes typiques différents en utilisant cette formule. De plus, nous résoudrons des problèmes impliquant l’application complexe de plusieurs formules.
Formules de multiplication abrégées. Différence de cubes et somme de cubes
Dans cette leçon, nous continuerons à étudier les formules de multiplication abrégées, à savoir, nous considérerons les formules de différence et de somme de cubes. De plus, nous résoudrons divers problèmes typiques à l’aide de ces formules.
Utilisation partagée des formules de multiplication abrégées
Cette leçon vidéo sera utile à tous ceux qui souhaitent étudier de manière indépendante le sujet « Application combinée des formules de multiplication abrégées ». Avec cette conférence vidéo, vous pourrez résumer, approfondir et systématiser les connaissances acquises lors des leçons précédentes. Le professeur vous apprendra à utiliser ensemble des formules de multiplication abrégées.
Formules de multiplication abrégée dans des problèmes de complexité accrue. Partie 1
Dans cette leçon, nous appliquerons nos connaissances des polynômes et des formules de multiplication abrégées pour résoudre un problème géométrique assez complexe. Cela nous permettra de renforcer nos compétences dans le travail avec les polynômes.
Formules de multiplication abrégée dans des problèmes de complexité accrue. Partie 2
Dans cette leçon, nous examinerons des problèmes complexes en utilisant des formules de multiplication abrégées et exécuterons de nombreux exemples différents pour renforcer la technique.
Problème géométrique sur un parallélépipède utilisant la formule de multiplication abrégée
Dans cette leçon vidéo, chacun pourra étudier le sujet « Problème géométrique sur un parallélépipède en utilisant la formule de multiplication abrégée ». Dans cette activité, les élèves s'entraîneront à utiliser la formule de multiplication abrégée d'un parallélépipède. L'enseignant donnera notamment un problème géométrique sur un parallélépipède, qu'il faudra démonter et résoudre.
Diviser un polynôme par un monôme
Dans cette leçon, nous rappellerons la règle de division d'un monôme par un monôme et formulerons les faits de base à l'appui. Ajoutons quelques informations théoriques à ce qui est déjà connu et dérivons la règle de division d'un polynôme par un monôme. Après cela, nous réaliserons un certain nombre d'exemples de complexité variable pour maîtriser la technique de division d'un polynôme par un monôme.
Objectifs: généralisation et consolidation de la matière abordée : répéter la notion de polynôme, la règle de multiplication d'un polynôme par un polynôme et consolider cette règle lors des travaux d'essai, consolider les compétences de résolution d'équations et de problèmes à l'aide d'équations.
Équipement: affiche « Celui qui fait et pense par lui-même dès son plus jeune âge devient plus tard plus fiable, plus fort, plus intelligent » (V. Shukshin). Rétroprojecteur, tableau magnétique, mots croisés, fiches de tests.
Plan de cours.
1. Moment organisationnel.
2. Vérification des devoirs.
3. Exercices oraux (mots croisés).
4. Résoudre des exercices sur le sujet.
5. Test sur le thème : « Polynômes et opérations sur ceux-ci » (4 options).
6. Résumé de la leçon.
7. Devoirs.
Pendant les cours
I. Moment organisationnel
Les élèves de la classe sont répartis en groupes de 4 à 5 personnes, le plus âgé du groupe est sélectionné.
II. Vérification des devoirs.
Les élèves préparent leurs devoirs sur une carte à la maison. Chaque élève vérifie son travail grâce à un rétroprojecteur. L'enseignant propose d'évaluer lui-même les devoirs de l'élève et inscrit une note sur la feuille de rapport en indiquant le critère d'évaluation : « 5 » ─ la tâche a été réalisée correctement et de manière autonome ; « 4 » ─ la tâche a été accomplie correctement et complètement, mais avec l'aide des parents ou des camarades de classe ; « 3 » ─ dans tous les autres cas, si la tâche est terminée. Si la tâche n'est pas terminée, vous pouvez mettre un tiret.
III. Exercices oraux.
1) Pour réviser les questions théoriques, les étudiants se voient proposer des mots croisés. Les mots croisés sont résolus oralement par le groupe et les réponses sont données par les étudiants de différents groupes. Nous attribuons des notes : « 5 » ─ 7 mots corrects, « 4 » ─ 5,6 mots corrects, « 3 » ─ 4 mots corrects.
Questions pour les mots croisés : (voir. Annexe 1)
- La propriété de multiplication utilisée lors de la multiplication d'un monôme par un polynôme ;
- méthode de factorisation d'un polynôme ;
- une égalité qui est vraie pour n'importe quelle valeur de la variable ;
- une expression représentant la somme des monômes ;
- les termes qui ont la même partie de lettre ;
- la valeur de la variable à laquelle l'équation se transforme en une véritable égalité ;
- facteur numérique des monômes.
2) Suivez ces étapes :
3. Si la longueur du rectangle est réduite de 4 cm et sa largeur augmentée de 7 cm, alors vous obtiendrez un carré dont l'aire sera de 100 cm 2 supérieure à l'aire du rectangle. Déterminez le côté du carré. (Le côté du carré mesure 24 cm).
Les élèves résolvent des tâches en groupes, discutent et s'entraident. Lorsque les groupes ont terminé la tâche, ils sont comparés aux solutions écrites au tableau. Après le contrôle, des notes sont attribuées : pour ce travail, les étudiants reçoivent deux notes : une auto-évaluation et une évaluation en groupe. Critère d'évaluation : « 5 » ─ a tout résolu correctement et a aidé ses camarades, « 4 » ─ a fait des erreurs lors de la résolution, mais les a corrigées avec l'aide de ses camarades, « 3 » ─ était intéressé par la solution et a tout résolu avec l'aide de camarades de classe.
V. Travaux d'essai.
Option I
1. Présenter sous forme standard le polynôme 3a – 5a∙a – 5 + 2a 2 – 5a +3.
3. Trouvez la différence entre les polynômes 2x 2 – x + 2 et ─ 3x 2 ─2x + 1.
5. Présentez l’expression sous forme de polynôme : 2 – (3a – 1)(a + 5).
Option II
1. Présenter sous forme standard le polynôme 5x 2 – 5 + 4x ─ 3x∙x + 2 – 2x.
3. Trouvez la différence entre les polynômes 4y 2 – 2y + 3 et - 2y 2 + 3y +2.
5. Résolvez l'équation : ─3x 2 + 5x = 0.
1) x = |
2) x = 0 et x = |
6. Présenter sous forme de produit : 5a 3 – 3a 2 – 10a + 6.
Option III
1. Trouvez la valeur du polynôme ─ 6а 2 – 5аb + b 2 – (─3а 2 – 5аb + b 2) avec а = ─, b=─3.
1) |
2. Simplifiez l'expression : ─8x – (5x – (3x – 7)).
4. Multiplier : ─3x∙(─ 2x 2 + x – 3)
6. Présentez-le sous forme de produit : 3x 3 – 2x 2 – 6x + 4.
1) (x 2 + 2)(3x + 2) |
2) (x 2 – 2)(3x + 2) |
7. Présentez l’expression sous forme de produit : a(x – y) ─2b(y – x)
1) (x – y)(a ─ 2b) |
2) (y – x)(a ─ 2b) |
Option IV
1. Trouvez la valeur du polynôme ─ 8a 2 – 2ax – x 2 – (─4a 2 – 2ax – x 2) avec a= ─, x= ─ 2.
2. Simplifiez l'expression : ─ 5a – (2a – (3a – 5)).
4. Effectuez la multiplication : ─4а ∙ (─5а 2 + 2а – 1).
6. Exprimez-le sous forme de polynôme : (3x – 2)(─x 2 + x – 4).
1) ─3x 3 + 5x 2 – 10x – 8 |
2) ─3x 3 + 3x 2 – 12x |
7. Présentez l’expression sous forme de produit : 2c(b – a) – d(a – b)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
VI. Résumé de la leçon
Pendant le cours, chaque élève reçoit plusieurs notes. L'étudiant évalue lui-même ses connaissances en les comparant avec celles des autres. L'évaluation de groupe est plus efficace car elle est discutée par tous les membres du groupe. Les gars soulignent les lacunes et les lacunes dans le travail des membres du groupe. Toutes les notes sont inscrites sur la fiche de travail par le chef de groupe.
L'enseignant donne la note finale et la communique à toute la classe.
VII. Devoirs:
1. Suivez ces étapes :
une) (une 2 + 3аb─b 2)(2а – b);
b) (x 2 + 2xy – 5y 2)(2x 2 – 3y).
2. Résolvez l'équation :
a) (3x – 1)(2x + 7) ─ (x + 1)(6x – 5) = 16 ;
b) (x – 4)(2x2 – 3x + 5) + (x2 – 5x + 4)(1 – 2x) = 20.
3. Si un côté du carré est réduit de 1,2 m et l'autre de 1,5 m, alors l'aire du rectangle résultant sera inférieure de 14,4 m 2 à l'aire du carré donné. Déterminez le côté du carré.