brique
Tracer une fonction linéaire contenant un module. Comment résoudre des équations avec module : règles de base

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Attention! L'aperçu de la diapositive est fourni à titre informatif uniquement et peut ne pas représenter l'intégralité de la présentation. Si vous êtes intéressé par ce travail, veuillez télécharger la version complète.

Le but de la leçon :

répéter la construction de graphes de fonctions contenant le signe du module ;
se familiariser avec une nouvelle méthode de construction d'un graphique d'une fonction linéaire par morceaux ;
réparer nouvelle méthode lors de la résolution de problèmes.

Équipement:

projecteur multimédia,
affiches.

Pendant les cours

Mise à jour des connaissances

Sur l'écran, diapositive 1 de la présentation.

Quel est le graphe de la fonction y=|x| ? (diapositive 2).

(ensemble de bissectrices de 1 et 2 angles de coordonnées)

Trouvez une correspondance entre les fonctions et les graphes, expliquez votre choix (diapositive 3).

Image 1

Dites l'algorithme pour construire des graphes de fonctions de la forme y=|f(x)| sur l'exemple de la fonction y=|x 2 -2x-3| (diapositive 4)

Élève : pour construire un graphe de cette fonction, il faut

Construire une parabole y=x 2 -2x-3

Figure 2

figure 3

Dites l'algorithme pour construire des graphes de fonctions de la forme y=f(|x|) en utilisant l'exemple de la fonction y=x 2 -2|x|-3 (diapositive 6).

Construire une parabole.

Une partie du graphique à x 0 est enregistrée et affichée en symétrie par rapport à l'axe des ordonnées (diapositive 7)

Figure 4

Dites l'algorithme pour construire des graphes de fonctions de la forme y=|f(|x|)| sur l'exemple de la fonction y=|x 2 -2|x|-3| (diapositive 8).

Étudiant : Pour construire un graphique de cette fonction, vous avez besoin :

Vous devez construire une parabole y \u003d x 2 -2x-3

Nous construisons y \u003d x 2 -2 | x | -3, sauvegardons une partie du graphique et l'affichons symétriquement par rapport au système d'exploitation

Nous sauvegardons la partie au-dessus du OX, et affichons la partie inférieure symétriquement par rapport au OX (diapositive 9)

Figure 5

La tâche suivante est écrite dans des cahiers.

1. Dessinez un graphique d'une fonction linéaire par morceaux y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

Étudiant au tableau commentant :

Nous trouvons les zéros des expressions de sous-module x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3

Décomposer l'axe en intervalles

Pour chaque intervalle, on écrit la fonction

à x< -2, у=-х-4

à -2 x<1, у=х

à 1 fois<3, у = 3х-2

à x 3, y \u003d x + 4

Nous construisons un graphe d'une fonction linéaire par morceaux.

Nous avons construit un graphe de fonction en utilisant la définition du module (diapositive 10).

Figure 6

J'attire votre attention sur la «méthode des sommets», qui vous permet de tracer une fonction linéaire par morceaux (diapositive 11). Les enfants notent l'algorithme de construction dans un cahier.

Méthode vertex

Algorithme:

Trouver les zéros de chaque expression de sous-module
Faisons un tableau dans lequel, en plus des zéros, nous écrivons une valeur de l'argument à gauche et à droite
Plaçons les points sur le plan de coordonnées et connectons-les en série

2. Analysons cette méthode sur la même fonction y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

Le professeur est au tableau, les enfants sont dans leurs cahiers.

Méthode vertex :

Trouvez les zéros de chaque expression de sous-module ;

Faisons un tableau dans lequel, en plus des zéros, nous écrivons une valeur de l'argument à gauche et à droite

Plaçons les points sur le plan de coordonnées et connectons-les en série.

Le graphique d'une fonction linéaire par morceaux est une ligne brisée avec des liens extrêmes infinis (diapositive 12).

Figure 7

Quelle méthode rend le graphique plus rapide et plus facile ?

3. Pour corriger cette méthode, je propose d'effectuer la tâche suivante :

Pour quelles valeurs de x la fonction y=|x-2|-|x+1| prend la plus grande valeur.

Nous suivons l'algorithme; étudiant au tableau noir.

y=|x-2|-|x+1|

x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1

y(3)=1-4=3, connectez les points en série.

4. Tâche supplémentaire

Pour quelles valeurs de a l'équation ||4+x|-|x-2||=a a-t-elle deux racines.

5. Devoirs

a) Pour quelles valeurs de X est la fonction y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| prend la plus petite valeur.

b) Tracez la fonction y=||x-1|-2|-3| .

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répéter la construction de graphes de fonctions contenant le signe du module ;
se familiariser avec une nouvelle méthode de construction d'un graphique d'une fonction linéaire par morceaux ;
consolider la nouvelle méthode de résolution de problèmes.

Équipement:

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Sur l'écran, diapositive 1 de la présentation.

Quel est le graphe de la fonction y=|x| ? (diapositive 2).

(ensemble de bissectrices de 1 et 2 angles de coordonnées)

Trouvez une correspondance entre les fonctions et les graphes, expliquez votre choix (diapositive 3).

Image 1

Dites l'algorithme pour construire des graphes de fonctions de la forme y=|f(x)| sur l'exemple de la fonction y=|x 2 -2x-3| (diapositive 4)

Élève : pour construire un graphe de cette fonction, il faut

Construire une parabole y=x 2 -2x-3

Figure 2

figure 3

Dites l'algorithme pour construire des graphes de fonctions de la forme y=f(|x|) en utilisant l'exemple de la fonction y=x 2 -2|x|-3 (diapositive 6).

Construire une parabole.

Une partie du graphique à x 0 est enregistrée et affichée en symétrie par rapport à l'axe des ordonnées (diapositive 7)

Figure 4

Dites l'algorithme pour construire des graphes de fonctions de la forme y=|f(|x|)| sur l'exemple de la fonction y=|x 2 -2|x|-3| (diapositive 8).

Étudiant : Pour construire un graphique de cette fonction, vous avez besoin :

Vous devez construire une parabole y \u003d x 2 -2x-3

Nous construisons y \u003d x 2 -2 | x | -3, sauvegardons une partie du graphique et l'affichons symétriquement par rapport au système d'exploitation

Nous sauvegardons la partie au-dessus du OX, et affichons la partie inférieure symétriquement par rapport au OX (diapositive 9)

Figure 5

La tâche suivante est écrite dans des cahiers.

1. Dessinez un graphique d'une fonction linéaire par morceaux y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

Étudiant au tableau commentant :

Nous trouvons les zéros des expressions de sous-module x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3

Décomposer l'axe en intervalles

Pour chaque intervalle, on écrit la fonction

à x< -2, у=-х-4

à -2 x<1, у=х

à 1 fois<3, у = 3х-2

à x 3, y \u003d x + 4

Nous construisons un graphe d'une fonction linéaire par morceaux.

Nous avons construit un graphe de fonction en utilisant la définition du module (diapositive 10).

Figure 6

Méthode vertex

Algorithme:

Trouver les zéros de chaque expression de sous-module
Faisons un tableau dans lequel, en plus des zéros, nous écrivons une valeur de l'argument à gauche et à droite
Plaçons les points sur le plan de coordonnées et connectons-les en série

2. Analysons cette méthode sur la même fonction y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

Le professeur est au tableau, les enfants sont dans leurs cahiers.

Méthode vertex :

Trouvez les zéros de chaque expression de sous-module ;

Faisons un tableau dans lequel, en plus des zéros, nous écrivons une valeur de l'argument à gauche et à droite

Plaçons les points sur le plan de coordonnées et connectons-les en série.

Le graphique d'une fonction linéaire par morceaux est une ligne brisée avec des liens extrêmes infinis (diapositive 12).

Figure 7

Quelle méthode rend le graphique plus rapide et plus facile ?

3. Pour corriger cette méthode, je propose d'effectuer la tâche suivante :

Pour quelles valeurs de x la fonction y=|x-2|-|x+1| prend la plus grande valeur.

Nous suivons l'algorithme; étudiant au tableau noir.

y=|x-2|-|x+1|

x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1

y(3)=1-4=3, connectez les points en série.

4. Tâche supplémentaire

Pour quelles valeurs de a l'équation ||4+x|-|x-2||=a a-t-elle deux racines.

5. Devoirs

a) Pour quelles valeurs de X est la fonction y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| prend la plus petite valeur.

b) Tracez la fonction y=||x-1|-2|-3| .

Fonction de la forme y=|x|.
Le graphique de la fonction sur l'intervalle - avec le graphique de la fonction y \u003d -x.

Considérons d'abord le cas le plus simple - la fonction y=|x|. Par définition du module, on a :

Ainsi, pour x≥0 la fonction y=|x| coïncide avec la fonction y \u003d x, et pour x En utilisant cette explication, il est facile de tracer la fonction y \u003d | x | (Fig. 1).

Il est facile de voir que ce graphique est l'union de la partie du graphique de la fonction y \u003d x, qui ne se situe pas en dessous de l'axe OX, et de la ligne obtenue par réflexion miroir autour de l'axe OX, cette partie de celui-ci, qui se trouve sous l'axe OX.
Cette méthode convient également pour tracer le graphe de la fonction y=|kx+b|.
Si le graphe de la fonction y=kx+b est représenté sur la figure 2, alors le graphe de la fonction y=|kx+b| est la ligne représentée sur la figure 3.

(!LANG :Exemple 1. Tracez la fonction y=||1-x 2 |-3|.
Construisons un graphe de la fonction y=1-x 2 et appliquons-lui l'opération "module" (la partie du graphe située sous l'axe OX est réfléchie symétriquement par rapport à l'axe OX).

Décalons le graphique vers le bas de 3.

Appliquons l'opération "module" et obtenons le graphe final de la fonction y=||1-x 2 |-3|

Exemple 2 Tracez la fonction y=||x 2 -2x|-3|.
À la suite de la transformation, nous obtenons y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1|. Construisons un graphe de la fonction y=(x-1) 2 -1 : construisons une parabole y=x 2 et décalons-nous de 1 vers la droite et vers le bas de 1.

Appliquons-lui l'opération "module" (la partie du graphe située sous l'axe OX est réfléchie symétriquement par rapport à l'axe OX).

Décalons le graphique vers le bas de 3 et appliquons l'opération "module", en conséquence, nous obtiendrons le graphique final.

Exemple 3 Tracez la fonction.
Pour étendre un module, nous devons considérer deux cas :
1)x>0, alors le module s'ouvrira avec le signe "+" =
2) x =

Construisons un graphique pour le premier cas.

Écartons la partie du graphique, où x

Construisons un graphique pour le deuxième cas et rejetons de la même manière la partie où x> 0, nous obtenons ainsi.

Combinons les deux graphiques et obtenons le dernier.

Exemple 4 Tracez la fonction.
Construisons d'abord un graphe de la fonction.Pour cela, il est commode de sélectionner la partie entière, nous obtenons. En nous appuyant sur le tableau des valeurs, nous obtenons un graphique.

Appliquons l'opération de module (la partie du graphe située sous l'axe OX est réfléchie symétriquement par rapport à l'axe OX). Nous obtenons le tableau final

Exemple 5 Tracez la fonction y=|-x 2 +6x-8|. Tout d'abord, nous simplifions la fonction en y=1-(x-3) 2 et construisons son graphique

Maintenant, nous appliquons l'opération "module" et reflétons la partie du graphique sous l'axe OX, par rapport à l'axe OX

Exemple 6 Tracez la fonction y=-x 2 +6|x|-8. Nous simplifions également la fonction en y=1-(x-3) 2 et construisons son graphique

Maintenant, nous appliquons l'opération "module" et reflétons la partie du graphique à droite de l'axe oY, sur le côté gauche

Exemple 7 Tracer une fonction . Traçons la fonction

Traçons la fonction

Effectuons un transfert parallèle par 3 segments unitaires vers la droite et 2 vers le haut. Le graphique ressemblera à :

Appliquons l'opération "module" et réfléchissons la partie du graphique à droite de la droite x=3 dans le demi-plan gauche.

Le signe modulo est peut-être l'un des phénomènes les plus intéressants en mathématiques. À cet égard, de nombreux écoliers se posent la question de savoir comment construire des graphes de fonctions contenant un module. Examinons cette question en détail.

1. Fonctions graphiques contenant un module

Exemple 1

Tracez la fonction y = x 2 – 8|x| + 12.

La solution.

Définissons la parité de la fonction. La valeur de y(-x) est la même que la valeur de y(x), donc cette fonction est paire. Alors son graphe est symétrique par rapport à l'axe Oy. Nous construisons un graphique de la fonction y \u003d x 2 - 8x + 12 pour x ≥ 0 et affichons symétriquement le graphique par rapport à Oy pour x négatif (Fig. 1).

Exemple 2

Le graphique suivant est y = |x 2 – 8x + 12|.

– Quelle est la portée de la fonction proposée ? (y ≥ 0).

- Comment est le tableau ? (Au-dessus ou touchant l'axe des x).

Cela signifie que le graphique de la fonction est obtenu comme suit: ils tracent la fonction y \u003d x 2 - 8x + 12, laissent inchangée la partie du graphique située au-dessus de l'axe Ox et la partie du graphique située en dessous l'axe des abscisses est représenté symétriquement par rapport à l'axe Ox (Fig. 2).

Exemple 3

Pour tracer la fonction y = |x 2 – 8|x| + 12| effectuer une combinaison de transformations :

y = X 2 - 8x + 12 → y = X 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Réponse : figure 3.

Les transformations considérées sont valables pour tous les types de fonctions. Faisons un tableau :

2. Fonctions de traçage contenant des "modules imbriqués" dans la formule

Nous avons déjà pris connaissance d'exemples de fonction quadratique contenant un module, ainsi que des règles générales de construction de graphes de fonctions de la forme y = f(|x|), y = |f(x)| et y = |f(|x|)|. Ces transformations nous aideront dans l'examen de l'exemple suivant.

Exemple 4

Considérons une fonction de la forme y = |2 – |1 – |x|||. L'expression qui définit la fonction contient des "modules imbriqués".

La solution.

Nous utilisons la méthode des transformations géométriques.

Ecrivons une chaîne de transformations successives et faisons le dessin correspondant (Fig. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Considérons les cas où les transformations de symétrie et de translation parallèle ne sont pas la principale technique de traçage.

Exemple 5

Construire un graphique d'une fonction de la forme y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

La solution.

Avant de construire un graphique, nous transformons la formule qui définit la fonction et obtenons une autre définition analytique de la fonction (Fig. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Développons le module au dénominateur :

Pour x > -2, y = x - 2, et pour x< -2, y = -(x – 2).

Domaine D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Plage E(y) = (-4 ; +∞).

Points d'intersection du graphique avec l'axe des coordonnées : (0 ; -2) et (2 ; 0).

La fonction diminue pour tout x de l'intervalle (-∞; -2), augmente pour x de -2 à +∞.

Ici, nous avons dû révéler le signe du module et tracer la fonction pour chaque cas.

Exemple 6

Considérons la fonction y = |x + 1| – |x – 2|.

La solution.

En développant le signe du module, il est nécessaire de considérer toutes les combinaisons possibles de signes d'expressions de sous-module.

Il y a quatre cas possibles :

(x + 1 - x + 2 = 3, avec x ≥ -1 et x ≥ 2 ;

(-x - 1 + x - 2 = -3, avec x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, pour x ≥ -1 et x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, avec x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Ensuite, la fonction d'origine ressemblera à :

(3, pour x ≥ 2 ;

y = (-3, à x< -1;

(2x – 1, avec -1 ≤ x< 2.

Nous avons obtenu une fonction donnée par morceaux, dont le graphique est représenté sur la figure 6.

3. Algorithme de construction de graphes de fonctions de la forme

y = une 1 | X – X 1 | + un 2 |x – x 2 | + … + une n |x – x n | + hache + b.

Dans l'exemple précédent, il était assez facile de développer les signes du module. S'il y a plus de sommes de modules, alors il est problématique de considérer toutes les combinaisons possibles de signes d'expressions de sous-modules. Comment représenter graphiquement la fonction dans ce cas ?

Notez que le graphique est une polyligne, avec des sommets aux points ayant des abscisses -1 et 2. Pour x = -1 et x = 2, les expressions de sous-module sont égales à zéro. De manière pratique, nous avons abordé la règle de construction de tels graphes :

Représentation graphique d'une fonction de la forme y = a 1 |x – x 1 | + un 2 |x – x 2 | + … + une n |x – x n | + ax + b est une ligne brisée avec des liens d'extrémité infinis. Pour construire une telle polyligne, il suffit de connaître tous ses sommets (les abscisses des sommets sont les zéros des expressions de sous-module) et un point de contrôle chacun sur les liens infinis gauche et droit.

Une tâche.

Tracez la fonction y = |x| + |x – 1| + |x + 1| et trouver sa plus petite valeur.

La solution:

Zéros des expressions de sous-module : 0 ; -une; 1. Sommets de la polyligne (0 ; 2) ; (-13); (13). Point de contrôle à droite (2 ; 6), à gauche (-2 ; 6). Nous construisons un graphe (Fig. 7). min f(x) = 2.

Avez-vous des questions? Vous ne savez pas comment représenter graphiquement une fonction avec un module ?
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