Tenglamalarni yechish usullari 7. Tenglamalar
Tenglamalar
Tenglamalarni qanday yechish mumkin?
Ushbu bo'limda biz eng elementar tenglamalarni eslaymiz (yoki o'rganamiz - har kimga yoqadi). Xo'sh, tenglama nima? Insoniy tilda gapiradigan bo'lsak, bu tenglik belgisi va noma'lum bo'lgan matematik ifodaning bir turi. Qaysi odatda harf bilan belgilanadi "X". tenglamani yeching ga almashtirilganda shunday x qiymatlarni topishdir boshlang'ich ifoda, bizga to'g'ri shaxsni beradi. Shuni eslatib o'tamanki, o'ziga xoslik matematik bilimlar bilan mutlaqo og'ir bo'lmagan odam uchun ham shubha tug'dirmaydigan iboradir. 2=2, 0=0, ab=ab va boshqalar kabi. Xo'sh, tenglamalarni qanday hal qilasiz? Keling, buni aniqlaylik.
Har xil tenglamalar mavjud (hayron bo'ldim, to'g'rimi?). Ammo ularning barcha cheksiz xilma-xilligini faqat to'rt turga bo'lish mumkin.
4. Boshqa.)
Qolganlarning hammasi, albatta, eng muhimi, ha ...) Bunga kub, eksponent, logarifmik, trigonometrik va boshqalar kiradi. Tegishli bo'limlarda ular bilan yaqindan hamkorlik qilamiz.
Darhol aytishim kerakki, ba'zida dastlabki uchta turdagi tenglamalar shunchalik o'ralganki, siz ularni tanimaysiz ... Hech narsa. Biz ularni qanday qilib tinchlantirishni o'rganamiz.
Va nima uchun bizga bu to'rt tur kerak? Va keyin nima chiziqli tenglamalar bir tarzda hal qilinadi kvadrat boshqalar kasr ratsional - uchinchi, a dam olish umuman hal qilinmadi! Xo'sh, ular umuman qaror qilmayaptilar, men matematikani behuda xafa qildim.) Faqat ularning o'ziga xos texnikasi va usullari bor.
Lekin har qanday uchun (takrorlayman - uchun har qanday!) tenglamalar yechish uchun ishonchli va muammosiz asosdir. Har doim va hamma joyda ishlaydi. Bu tayanch - Qo'rqinchli ko'rinadi, lekin narsa juda oddiy. Va juda (juda!) muhim.
Aslida, tenglamaning yechimi xuddi shu o'zgarishlardan iborat. 99% da. Savollarga javob: " Tenglamalarni qanday yechish mumkin?" yolg'on, faqat shu o'zgarishlarda. Ishora aniqmi?)
Tenglamalarning o'ziga xos o'zgarishlari.
DA har qanday tenglamalar noma'lumni topish uchun asl misolni o'zgartirish va soddalashtirish kerak. Bundan tashqari, tashqi ko'rinishini o'zgartirganda tenglamaning mohiyati o'zgarmadi. Bunday transformatsiyalar deyiladi bir xil yoki ekvivalenti.
E'tibor bering, bu o'zgarishlar faqat tenglamalar uchun. Matematikada hali ham bir xil o'zgarishlar mavjud ifodalar. Bu boshqa mavzu.
Endi biz hamma narsani takrorlaymiz tenglamalarni bir xil o'zgartirishlar.
Asosiy, chunki ular qo'llanilishi mumkin har qanday tenglamalar - chiziqli, kvadrat, kasr, trigonometrik, ko'rsatkichli, logarifmik va boshqalar. va h.k.
Birinchi o'xshash transformatsiya: Har qanday tenglamaning ikkala tomonini qo'shish (ayirish) mumkin har qanday(lekin bir xil!) raqam yoki ifoda (shu jumladan noma'lum ifoda bilan!). Tenglamaning mohiyati o'zgarmaydi.
Aytgancha, siz doimiy ravishda ushbu transformatsiyadan foydalandingiz, faqat ba'zi atamalarni tenglamaning bir qismidan ikkinchisiga belgi o'zgarishi bilan o'tkazyapsiz deb o'ylagansiz. Turi:
Masala tanish, biz ikkilikni o'ngga siljitamiz va biz quyidagilarni olamiz:
Aslida siz olib ketilgan tenglamaning har ikki tomonidan deuce. Natija bir xil:
x+2 - 2 = 3 - 2
Belgini o'zgartirish bilan atamalarni chapdan o'ngga o'tkazish shunchaki birinchi bir xil transformatsiyaning qisqartirilgan versiyasidir. Va nima uchun bizga bunday chuqur bilim kerak? - deb so'rayapsiz. Tenglamalarda hech narsa yo'q. Olloh uchun ko‘chir. Faqat belgini o'zgartirishni unutmang. Ammo tengsizliklarda o'tkazish odati boshi berk ko'chaga olib kelishi mumkin ....
Identifikatsiyaning ikkinchi o'zgarishi: tenglamaning ikkala tomonini bir xilga ko'paytirish (bo'lish) mumkin nolga teng bo'lmagan raqam yoki ifoda. Bu erda tushunarli cheklov allaqachon paydo bo'ladi: nolga ko'paytirish ahmoqlik, lekin umuman bo'lish mumkin emas. Bu qandaydir ajoyib narsaga qaror qilganingizda foydalanadigan transformatsiyadir
Tushunarli, X= 2. Lekin uni qanday topdingiz? Tanlov? Yoki shunchaki yonib ketdimi? Tushunishni olmaslik va kutmaslik uchun siz adolatli ekanligingizni tushunishingiz kerak tenglamaning ikkala tomonini ajrating tomonidan 5. Chap tomonni (5x) bo'lishda beshlik qisqartirildi va sof X qoldirdi. Bu bizga kerak bo'lgan narsa edi. Va (10) ning o'ng tomonini beshga bo'lganda, bu, albatta, ikkilik bo'lib chiqdi.
Ana xolos.
Bu kulgili, lekin bu ikki (faqat ikkita!) bir xil o'zgarishlar yechim asosida yotadi matematikaning barcha tenglamalari. Qanday! Nima va qanday misollarni ko'rib chiqish mantiqiy, to'g'rimi?)
Tenglamalarni bir xil o'zgartirishga misollar. Asosiy muammolar.
dan boshlaylik birinchi bir xil transformatsiya. Chapdan o'ngga siljiting.
Kichkintoylar uchun misol.)
Aytaylik, quyidagi tenglamani yechishimiz kerak:
3-2x = 5-3x
Keling, sehrni eslaylik: "X bilan - chapga, X holda - o'ngga!" Bu afsun birinchi identifikatsiya konvertatsiyasini qo'llash bo'yicha ko'rsatmadir.) O'ng tarafdagi x belgisi qanday ifoda? 3x? Javob noto'g'ri! Bizning o'ngimizda - 3x! Minus uch x! Shuning uchun, chapga o'tishda, belgi plyusga o'zgaradi. Oling:
3-2x+3x=5
Shunday qilib, Xlar birlashtirildi. Keling, raqamlarni qilaylik. Chapda uchta. Qanday belgi? "Hech qanday" javobi qabul qilinmaydi!) Uchlik oldida, haqiqatan ham, hech narsa chizilmaydi. Va bu uchlik oldida ekanligini anglatadi ortiqcha. Shunday qilib, matematiklar rozi bo'lishdi. Hech narsa yozilmagan, shuning uchun ortiqcha. Shuning uchun, uchlik o'ng tomonga o'tkaziladi minus bilan. Biz olamiz:
-2x+3x=5-3
Bo'sh joylar qoldi. Chapda - shunga o'xshashlarni bering, o'ngda - hisoblang. Javob darhol:
Ushbu misolda bitta o'xshash transformatsiya etarli edi. Ikkinchisi kerak emas edi. Ha mayli.)
Kattalar uchun namuna.)
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)
funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Harflar noma'lum raqamni ko'rsatish uchun ishlatiladi. Aynan shu harflarning ma'nosini tenglama yechimlari yordamida izlash kerak.
Tenglamani yechish ustida ishlagan holda, biz birinchi bosqichlarda uni oddiyroq shaklga keltirishga harakat qilamiz, bu bizga oddiy matematik manipulyatsiyalar yordamida natijani olish imkonini beradi. Buning uchun biz atamalarni chap tomondan o'ngga o'tkazamiz, belgilarni o'zgartiramiz, jumla qismlarini bir nechta songa ko'paytiramiz / ajratamiz, qavslarni ochamiz. Ammo biz bu harakatlarning barchasini faqat bitta maqsad bilan bajaramiz - oddiy tenglamani olish.
Tenglamalar \ - bu bitta noma'lum chiziqli ko'rinishga ega tenglama bo'lib, unda r va c raqamli qiymatlar uchun belgidir. Ushbu turdagi tenglamani echish uchun uning shartlarini o'tkazish kerak:
Masalan, quyidagi tenglamani yechishimiz kerak:
Ushbu tenglamaning yechimini uning a'zolarini o'tkazish bilan boshlaymiz: \[x\] dan - chap tomonga, qolganlari - o'ngga. O'tkazishda \[+\] \[-\] ga o'zgarishini unutmang. Biz quyidagilarni olamiz:
\[-2x+3x=5-3\]
Oddiy arifmetik amallarni bajarib, quyidagi natijaga erishamiz:
X bilan tenglamani onlayn qayerda yechish mumkin?
Siz x bilan tenglamani bizning https: // saytimizda onlayn tarzda echishingiz mumkin. Bepul onlayn hal qiluvchi sizga har qanday murakkablikdagi onlayn tenglamani bir necha soniya ichida hal qilish imkonini beradi. Siz qilishingiz kerak bo'lgan yagona narsa ma'lumotlaringizni hal qiluvchiga kiritishdir. Shuningdek, siz bizning veb-saytimizda video ko'rsatmani ko'rishingiz va tenglamani qanday echishni o'rganishingiz mumkin. Va agar sizda biron bir savol bo'lsa, ularni Vkontakte guruhimizdagi http://vk.com/pocketteacher orqali so'rashingiz mumkin. Guruhimizga qo'shiling, biz har doim sizga yordam berishdan xursandmiz.
Ko'rsatkichli tenglamalarni yechish. Misollar.
Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." bo'lganlar uchun.
Va "juda ko'p ..." bo'lganlar uchun)
Nima eksponensial tenglama? Bu noma'lumlar (x) va ular bilan ifodalangan tenglama ko'rsatkichlar ba'zi darajalar. Va faqat u erda! Bu muhim.
Mana qayerda ekansan ko'rsatkichli tenglamalarga misollar:
3 x 2 x = 8 x + 3
Eslatma! Darajalar asoslarida (pastda) - faqat raqamlar. DA ko'rsatkichlar darajalar (yuqorida) - x bilan ifodalangan keng ko'lamli. Agar to'satdan tenglamada indikatordan boshqa joyda x paydo bo'lsa, masalan:
bu aralash turdagi tenglama bo'ladi. Bunday tenglamalar yechishning aniq qoidalariga ega emas. Biz ularni hozircha ko'rib chiqmaymiz. Bu erda biz shug'ullanamiz ko'rsatkichli tenglamalar yechimi eng sof shaklda.
Aslida, hatto sof ko'rsatkichli tenglamalar ham har doim ham aniq echilmaydi. Ammo echilishi mumkin bo'lgan va kerak bo'lgan ko'rsatkichli tenglamalarning ayrim turlari mavjud. Bu biz ko'rib chiqadigan turlar.
Eng oddiy ko'rsatkichli tenglamalarni yechish.
Keling, juda oddiy narsadan boshlaylik. Masalan:
Hech qanday nazariya bo'lmasa ham, oddiy tanlash orqali x = 2 ekanligi ayon bo'ladi. Boshqa hech narsa, to'g'rimi!? Boshqa hech qanday x qiymati roliklari. Endi esa ushbu murakkab eksponensial tenglamaning yechimini ko‘rib chiqamiz:
Biz nima qildik? Biz, aslida, xuddi shu tagliklarni (uchlik) tashladik. To'liq tashqariga tashlangan. Va, nima xursand bo'lsa, belgini bosing!
Haqiqatan ham, agar eksponensial tenglamada chap va o'ng tomonda bo'lsa xuddi shu har qanday darajadagi raqamlar, bu raqamlar olib tashlanishi mumkin va teng ko'rsatkichlar. Matematika imkon beradi. Bu ancha sodda tenglamani yechish uchun qoladi. Bu yaxshi, to'g'rimi?)
Biroq, istehzo bilan eslaylik: siz bazalarni faqat chap va o'ngdagi asosiy raqamlar ajoyib izolyatsiyada bo'lganda olib tashlashingiz mumkin! Hech qanday qo'shnilar va koeffitsientlarsiz. Keling, tenglamalarda aytaylik:
2 x +2 x + 1 = 2 3 yoki
Siz dubllarni olib tashlay olmaysiz!
Xo'sh, biz eng muhim narsani o'zlashtirdik. Qanday qilib yomon eksponensial ifodalardan oddiy tenglamalarga o'tish mumkin.
"Mana o'sha paytlar!" - sen aytasan. "Kim nazorat va imtihonlarga shunday primitiv beradi!?"
rozi bo'lishga majbur. Hech kim qilmaydi. Ammo endi siz chalkash misollarni hal qilishda qaerga borishni bilasiz. Xuddi shu asosiy raqam chapda - o'ngda bo'lganda, buni yodda tutish kerak. Keyin hamma narsa osonroq bo'ladi. Aslida, bu matematikaning klassikasi. Biz asl misolni olamiz va uni kerakli holatga o'tkazamiz Biz aql. Albatta, matematika qoidalariga ko'ra.
Ularni eng oddiy holga keltirish uchun qo'shimcha kuch talab qiladigan misollarni ko'rib chiqing. Keling, ularni chaqiraylik oddiy eksponensial tenglamalar.
Oddiy ko'rsatkichli tenglamalarni yechish. Misollar.
Eksponensial tenglamalarni yechishda asosiy qoidalar quyidagilardir vakolatlari bilan harakatlar. Ushbu harakatlar haqida ma'lumotsiz, hech narsa ishlamaydi.
Darajali harakatlarga shaxsiy kuzatuv va zukkolikni qo'shish kerak. Bizga bir xil asosiy raqamlar kerakmi? Shunday qilib, biz ularni misolda aniq yoki shifrlangan shaklda qidiramiz.
Keling, bu amalda qanday amalga oshirilganini ko'rib chiqaylik?
Keling, bir misol keltiramiz:
2 2x - 8 x+1 = 0
Birinchi qarashda asoslar. Ular... Ular boshqacha! Ikki va sakkiz. Ammo tushkunlikka tushishga hali erta. Buni eslash vaqti keldi
Ikki va sakkiz daraja qarindoshlardir.) Buni yozish juda mumkin:
8 x+1 = (2 3) x+1
Agar formulani kuchlar bilan harakatlardan eslasak:
(a n) m = a nm,
odatda ajoyib ishlaydi:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Asl misol quyidagicha ko'rinadi:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Biz transfer qilamiz 2 3 (x+1) o'ngga (hech kim matematikaning elementar harakatlarini bekor qilmagan!), biz olamiz:
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
Bu deyarli hammasi. Bazalarni olib tashlash:
Biz bu yirtqich hayvonni hal qilamiz va olamiz
Bu to'g'ri javob.
Ushbu misolda ikkita kuchni bilish bizga yordam berdi. Biz aniqlangan sakkizda, shifrlangan deuce. Ushbu uslub (turli raqamlar ostida umumiy bazalarni kodlash) eksponensial tenglamalarda juda mashhur hiyla-nayrangdir! Ha, hatto logarifmlarda ham. Raqamlarda boshqa raqamlarning kuchlarini taniy bilish kerak. Bu eksponensial tenglamalarni yechish uchun juda muhimdir.
Haqiqat shundaki, har qanday raqamni istalgan kuchga ko'tarish muammo emas. Ko'paytiring, hatto qog'oz varag'ida ham, va bu hammasi. Misol uchun, har bir kishi 3 ni beshinchi kuchga ko'tarishi mumkin. Agar siz ko'paytirish jadvalini bilsangiz, 243 chiqadi.) Ammo eksponensial tenglamalarda ko'pincha kuchga ko'tarmaslik kerak, aksincha ... qaysi raqam qay darajada 243 raqamining orqasiga yashirinadi yoki aytaylik, 343 ... Bu erda sizga hech qanday kalkulyator yordam bermaydi.
Ba'zi raqamlarning kuchlarini ko'rish orqali bilishingiz kerak, ha ... Biz mashq qilamizmi?
Qaysi kuchlar va qanday raqamlar raqamlar ekanligini aniqlang:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Javoblar (albatta tartibsizlikda!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Agar diqqat bilan qarasangiz, g'alati faktni ko'rishingiz mumkin. Savollardan ko'ra ko'proq javoblar bor! Xo'sh, shunday bo'ladi ... Masalan, 2 6 , 4 3 , 8 2 hammasi 64 ga teng.
Faraz qilaylik, siz raqamlar bilan tanishish haqidagi ma'lumotga e'tibor qaratdingiz.) Eslatib o'taman, ko'rsatkichli tenglamalarni yechish uchun biz qo'llaymiz. butun matematik bilimlar zaxirasi. Jumladan, quyi va o'rta sinflardan. Siz to'g'ridan-to'g'ri o'rta maktabga bormadingiz, shunday emasmi?
Masalan, eksponensial tenglamalarni yechishda umumiy omilni qavslar ichidan chiqarish juda tez-tez yordam beradi (7-sinfga salom!). Keling, misolni ko'rib chiqaylik:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Va yana, birinchi qarash - maydonchada! Darajalar asoslari har xil ... Uch va to'qqiz. Va biz ular bir xil bo'lishini xohlaymiz. Xo'sh, bu holda istak juda mumkin!) Chunki:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Darajali harakatlar uchun bir xil qoidalarga muvofiq:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
Bu ajoyib, siz yozishingiz mumkin:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Xuddi shu sabablarga ko'ra biz misol keltirdik. Va undan keyin nima!? Uchtasini tashlab bo'lmaydi ... O'lik nuqta?
Umuman yo'q. Eng universal va kuchli qaror qoidasini eslash hammasi matematika vazifalari:
Agar nima qilishni bilmasangiz, qo'lingizdan kelganini qiling!
Qarang, hamma narsa shakllangan).
Ushbu eksponensial tenglamada nima bor mumkin qilmoq? Ha, chap tomon to'g'ridan-to'g'ri qavslar so'raydi! 3 2x umumiy omili bunga aniq ishora qiladi. Keling, sinab ko'raylik, keyin ko'ramiz:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Misol yaxshilanishda davom etmoqda!
Esda tutamizki, bazalarni yo'q qilish uchun bizga hech qanday koeffitsientsiz sof daraja kerak. 70 raqami bizni bezovta qiladi. Shunday qilib, biz tenglamaning ikkala tomonini 70 ga bo'lamiz, biz quyidagilarni olamiz:
Opa! Hammasi yaxshi bo'ldi!
Bu oxirgi javob.
Shu bilan birga, xuddi shu asoslar bo'yicha taksidan chiqishga erishiladi, lekin ularni tugatish emas. Bu boshqa turdagi eksponensial tenglamalarda sodir bo'ladi. Keling, bu turni olaylik.
Ko'rsatkichli tenglamalarni yechishda o'zgaruvchining o'zgarishi. Misollar.
Keling, tenglamani yechamiz:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Birinchisi - odatdagidek. Keling, bazaga o'tamiz. Deuce uchun.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Biz tenglamani olamiz:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Va bu erda biz osamiz. Oldingi fokuslar, uni qanday aylantirsangiz ham, ishlamaydi. Biz arsenaldan boshqa kuchli va ko'p qirrali yo'lni olishimiz kerak. Bu deyiladi o'zgaruvchan almashtirish.
Usulning mohiyati hayratlanarli darajada sodda. Bitta murakkab piktogramma o'rniga (bizning holatda, 2 x) biz boshqa, soddaroq (masalan, t) yozamiz. Bunday ko'rinadigan ma'nosiz almashtirish ajoyib natijalarga olib keladi!) Hamma narsa shunchaki aniq va tushunarli bo'ladi!
Shunday qilib, ruxsat bering
Keyin 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
Tenglamamizdagi barcha kuchlarni x bilan t bilan almashtiramiz:
Xo'sh, tong otyaptimi?) Kvadrat tenglamalarni hali unutmadingizmi? Diskriminant orqali hal qilamiz, biz quyidagilarni olamiz:
Bu erda asosiy narsa to'xtamaslikdir, chunki bu sodir bo'ladi ... Bu hali javob emas, bizga t emas, x kerak. Biz Xs ga qaytamiz, ya'ni. almashtirishni amalga oshirish. t 1 uchun birinchi:
Anavi,
Bitta ildiz topildi. Biz t 2 dan ikkinchisini qidiramiz:
Hm... Chapga 2 x, O'ngga 1... Teshikmi? Ha, umuman emas! Birlik ekanligini eslash kifoya (darajali harakatlardan, ha ...). har qanday raqam nolga. Har qanday. Sizga nima kerak bo'lsa, biz uni qo'yamiz. Bizga ikkita kerak. Ma'nosi:
Endi hammasi shu. 2 ta ildiz bor:
Bu javob.
Da ko'rsatkichli tenglamalarni yechish oxirida, ba'zida noqulay iboralar olinadi. Turi:
Ettidan oddiy daraja orqali deuce ishlamaydi. Ular qarindosh emas... Qanday qilib bu yerda bo'laman? Kimdir sarosimaga tushishi mumkin... Lekin bu saytda “Logarifm nima?” mavzusini o‘qigan odam. , faqat ozgina tabassum qiling va qattiq qo'l bilan mutlaqo to'g'ri javobni yozing:
Imtihondagi "B" topshiriqlarida bunday javob bo'lishi mumkin emas. Muayyan raqam talab qilinadi. Ammo "C" vazifalarida - oson.
Ushbu darsda eng keng tarqalgan ko'rsatkichli tenglamalarni echish misollari keltirilgan. Keling, asosiysini ta'kidlaymiz.
1. Avvalo, biz qaraymiz asoslar daraja. Keling, ularni amalga oshirish mumkin emasligini ko'rib chiqaylik xuddi shu. Keling, faol foydalanish orqali buni qilishga harakat qilaylik vakolatlari bilan harakatlar. Shuni unutmangki, x bo'lmagan raqamlar ham darajalarga aylantirilishi mumkin!
2. Ko'rsatkichli tenglamani chap va o'ng bo'lgan shaklga keltirishga harakat qilamiz xuddi shu har qanday darajada raqamlar. Biz foydalanamiz vakolatlari bilan harakatlar va faktorizatsiya. Raqamlarda nimani hisoblash mumkin - biz hisoblaymiz.
3. Agar ikkinchi maslahat ishlamasa, biz o'zgaruvchan almashtirishni qo'llashga harakat qilamiz. Natijada osongina echiladigan tenglama bo'lishi mumkin. Ko'pincha - kvadrat. Yoki kasr, bu ham kvadratga tushadi.
4. Ko'rsatkichli tenglamalarni muvaffaqiyatli yechish uchun ba'zi sonlarning darajalarini "ko'rish orqali" bilish kerak.
Odatdagidek, dars oxirida sizni bir oz hal qilish taklif etiladi.) O'z-o'zidan. Oddiydan murakkabgacha.
Eksponensial tenglamalarni yechish:
Qiyinroq:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0
Ildiz hosilasi toping:
2 3-x + 2 x = 9
Bo'ldimi?
Xo'sh, unda eng qiyin misol(lekin aql bilan qaror qildim ...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Nima qiziqroq? Unda siz uchun yomon misol. Kattalashgan qiyinchilikda juda torting. Men ushbu misolda zukkolik va barcha matematik vazifalarni hal qilishning eng universal qoidasi tejalishini ta'kidlayman.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Misol oddiyroq, dam olish uchun):
9 2 x - 4 3 x = 0
Va desert uchun. Tenglama ildizlarining yig‘indisini toping:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Ha ha! Bu aralash turdagi tenglama! Biz ushbu darsda ko'rib chiqmaganmiz. Va ularni nima deb hisoblash kerak, ularni hal qilish kerak!) Bu dars tenglamani hal qilish uchun etarli. Xo'sh, zukkolik kerak ... Va ha, ettinchi sinf sizga yordam beradi (bu maslahat!).
Javoblar (tartibsiz, nuqta-vergul bilan ajratilgan):
bitta; 2; 3; to'rtta; echimlar yo'q; 2; -2; -5; to'rtta; 0.
Hammasi muvaffaqiyatlimi? Ajoyib.
Muammo bormi? Muammo yo'q! 555-sonli maxsus bo'limda ushbu eksponensial tenglamalarning barchasi batafsil tushuntirishlar bilan hal qilinadi. Nima, nima uchun va nima uchun. Va, albatta, barcha turdagi eksponensial tenglamalar bilan ishlash bo'yicha qo'shimcha qimmatli ma'lumotlar mavjud. Faqat bular bilan emas.)
Ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan oxirgi qiziqarli savol. Bu darsda biz eksponensial tenglamalar bilan ishladik. Nega men bu yerda ODZ haqida bir og‘iz so‘z aytmadim? Aytgancha, tenglamalarda bu juda muhim narsa ...
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)
funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Chiziqli tenglamalar. Yechim, misollar.
Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." bo'lganlar uchun.
Va "juda ko'p ..." bo'lganlar uchun)
Chiziqli tenglamalar.
Chiziqli tenglamalar maktab matematikasida eng qiyin mavzu emas. Ammo ba'zi hiylalar borki, ular hatto o'qigan talabani ham boshdan kechiradi. Biz buni aniqlaymizmi?)
Chiziqli tenglama odatda quyidagi shakldagi tenglama sifatida aniqlanadi:
bolta + b = 0 qayerda a va b- har qanday raqamlar.
2x + 7 = 0. Bu erda a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Bu erda a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Bu erda a=12, b=1/2
Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi? Ayniqsa, agar siz quyidagi so'zlarni sezmasangiz: "Bu erda a va b har qanday raqamlar"... Va agar e'tibor bersangiz, lekin beparvolik bilan bu haqda o'ylaysizmi?) Axir, agar a=0, b=0(har qanday raqamlar mumkinmi?), keyin biz kulgili iborani olamiz:
Lekin bu hammasi emas! Agar aytaylik, a=0, a b=5, Bu juda absurd narsa bo'lib chiqdi:
Matematikaga bo'lgan ishonchni nima buzadi va susaytiradi, ha ...) Ayniqsa imtihonlarda. Ammo bu g'alati ifodalardan siz X ni ham topishingiz kerak! Bu umuman mavjud emas. Va ajablanarlisi shundaki, bu X ni topish juda oson. Biz buni qanday qilishni o'rganamiz. Bu darsda.
Chiziqli tenglamani tashqi ko'rinishida qanday aniqlash mumkin? Bu qanday ko'rinishga bog'liq.) Ayyorlik shundaki, chiziqli tenglamalar nafaqat shakldagi tenglamalar deb ataladi bolta + b = 0 , balki transformatsiyalar va soddalashtirishlar orqali bu shaklga keltiriladigan har qanday tenglamalar ham. Va u kamayadimi yoki yo'qmi, kim biladi?)
Ba'zi hollarda chiziqli tenglama aniq tan olinishi mumkin. Aytaylik, agar bizda faqat birinchi darajali noma'lumlar mavjud bo'lgan tenglama bo'lsa, ha raqamlar. Va tenglama unday emas ga bo'lingan kasrlar noma'lum , bu muhim! Va bo'linish raqam, yoki sonli kasr - tamom! Masalan:
Bu chiziqli tenglama. Bu erda kasrlar bor, lekin kvadratda, kubda va hokazolarda x mavjud emas va maxrajlarda x mavjud emas, ya'ni. Yo'q x ga bo'linish. Va bu erda tenglama
chiziqli deb atash mumkin emas. Bu erda x ning barchasi birinchi darajada, lekin bor x bilan ifoda bo'yicha bo'lish. Soddalashtirish va o'zgartirishlardan so'ng siz chiziqli tenglamani, kvadratik tenglamani va o'zingiz yoqtirgan narsani olishingiz mumkin.
Ma'lum bo'lishicha, chiziqli tenglamani deyarli yechmaguningizcha, qandaydir murakkab misolda topish mumkin emas. Xafa qiladi. Ammo topshiriqlarda, qoida tariqasida, ular tenglama shakli haqida so'ramaydilar, to'g'rimi? Topshiriqlarda tenglamalar tartiblangan qaror. Bu quvontiradi.)
Chiziqli tenglamalarni yechish. Misollar.
Chiziqli tenglamalarning butun yechimi tenglamalarni bir xil o'zgartirishlardan iborat. Aytgancha, bu o'zgarishlar (ikkitagacha!) echimlar asosida yotadi matematikaning barcha tenglamalari. Boshqacha aytganda, qaror har qanday Tenglama xuddi shu o'zgarishlar bilan boshlanadi. Chiziqli tenglamalar bo'lsa, bu o'zgarishlar bo'yicha u (yechim) to'liq javob bilan tugaydi. Havolaga amal qilish mantiqan to'g'rimi?) Bundan tashqari, chiziqli tenglamalarni yechish misollari ham mavjud.
Eng oddiy misoldan boshlaylik. Hech qanday tuzoqsiz. Aytaylik, quyidagi tenglamani yechishimiz kerak.
x - 3 = 2 - 4x
Bu chiziqli tenglama. X larning barchasi birinchi darajaga tegishli, X ga bo'linish yo'q. Lekin, aslida, tenglama nima ekanligi bizga qiziq emas. Biz buni hal qilishimiz kerak. Bu erda sxema oddiy. Tenglamaning chap tomonida x bo'lgan hamma narsani, o'ngda esa x (raqamlar)siz hamma narsani to'plang.
Buning uchun siz transfer qilishingiz kerak - 4x chap tomonga, belgi o'zgarishi bilan, albatta, lekin - 3 - O'ngga. Aytgancha, bu tenglamalarning birinchi bir xil konvertatsiyasi. Hayron qoldingizmi? Shunday qilib, ular havolaga rioya qilishmadi, lekin behuda ...) Biz olamiz:
x + 4x = 2 + 3
Biz shunga o'xshash narsalarni beramiz, biz ko'rib chiqamiz:
To'liq baxtli bo'lish uchun bizga nima kerak? Ha, chap tomonda toza X bo'lishi uchun! Beshtasi yo'lda to'sqinlik qiladi. Beshtadan qutuling tenglamalarning ikkinchi bir xil transformatsiyasi. Ya'ni, tenglamaning ikkala qismini 5 ga bo'lamiz. Biz tayyor javobni olamiz:
Albatta, oddiy misol. Bu isinish uchun). Ha mayli. Biz buqani shoxlaridan olamiz.) Keling, ta'sirliroq narsani hal qilaylik.
Masalan, bu tenglama:
Qayerdan boshlaymiz? X bilan - chapga, X holda - o'ngga? Shunday bo'lishi mumkin. Uzoq yo'lda kichik qadamlar. Va siz darhol, universal va kuchli tarzda qila olasiz. Albatta, sizning arsenalingizda tenglamalarning bir xil o'zgarishlari mavjud bo'lmasa.
Men sizga asosiy savol beraman: Bu tenglamada sizga ko'proq nima yoqmaydi?
100 kishidan 95 kishi javob beradi: kasrlar ! Javob to'g'ri. Shunday ekan, keling, ulardan qutulaylik. Shunday qilib, biz darhol boshlaymiz ikkinchi bir xil transformatsiya. Chapdagi kasrni maxraj butunlay kamayishi uchun nimaga ko'paytirish kerak? To'g'ri, 3. Va o'ngda? By 4. Lekin matematika bizga ikkala tomonni ko'paytirish imkonini beradi bir xil raqam. Qanday qilib chiqamiz? Keling, ikkala tomonni 12 ga ko'paytiramiz! Bular. umumiy maxrajga. Keyin uchtasi kamayadi va to'rttasi. Har bir qismni ko'paytirish kerakligini unutmang butunlay. Birinchi qadam qanday ko'rinishga ega:
Qavslarni kengaytirish:
Eslatma! Numerator (x+2) Qavs ichida oldim! Buning sababi shundaki, kasrlarni ko'paytirishda hisoblagich butunga ko'paytiriladi, butunlay! Va endi siz kasrlarni kamaytirishingiz va kamaytirishingiz mumkin:
Qolgan qavslarni ochish:
Misol emas, balki sof zavq!) Endi biz quyi sinflardagi afsunni eslaymiz: x bilan - chapga, x holda - o'ngga! Va bu transformatsiyani qo'llang:
Mana bir nechtasi:
Va biz ikkala qismni 25 ga ajratamiz, ya'ni. ikkinchi transformatsiyani yana qo'llang:
Ana xolos. Javob: X=0,16
E'tibor bering: asl chalkash tenglamani yoqimli shaklga keltirish uchun biz ikkitadan (faqat ikkita!) foydalandik. bir xil o'zgarishlar- belgisini o'zgartirish bilan chapdan o'ngga tarjima qilish va tenglamani bir xil raqamga ko'paytirish-bo'lish. Bu universal yo'l! Biz shu tarzda ishlaymiz har qanday tenglamalar! Mutlaqo har qanday. Shuning uchun men bu o'zgarishlarni doimo takrorlayman.)
Ko'rib turganingizdek, chiziqli tenglamalarni echish printsipi oddiy. Biz tenglamani olamiz va javobni olmaguncha uni bir xil o'zgartirishlar yordamida soddalashtiramiz. Bu erda asosiy muammolar yechim tamoyilida emas, balki hisob-kitoblarda.
Lekin ... Eng elementar chiziqli tenglamalarni yechish jarayonida shunday kutilmagan hodisalar mavjudki, ular kuchli stuporga olib kelishi mumkin ...) Yaxshiyamki, bunday kutilmagan hodisalar faqat ikkita bo'lishi mumkin. Keling, ularni maxsus holatlar deb ataylik.
Chiziqli tenglamalarni yechishdagi maxsus holatlar.
Avval ajablantiring.
Aytaylik, siz elementar tenglamaga duch keldingiz, masalan:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Bir oz zerikib, biz X bilan chapga, X holda - o'ngga o'tkazamiz ... Belgining o'zgarishi bilan hamma narsa chin-chinar ... Biz olamiz:
2x-5x+3x=5-2-3
Biz ishonamiz va ... oh! Biz olamiz:
O'z-o'zidan bu tenglik e'tiroz bildirmaydi. Nol haqiqatan ham nolga teng. Ammo X ketdi! Va biz javobda yozishimiz kerak, x nimaga teng. Aks holda, yechim hisoblanmaydi, ha...) Boshi berk ko'cha?
Sokin! Bunday shubhali holatlarda eng umumiy qoidalar qutqaradi. Tenglamalarni qanday yechish mumkin? Tenglamani yechish nimani anglatadi? Bu degani, x ning barcha qiymatlarini toping, ular asl tenglamaga almashtirilganda bizga to'g'ri tenglikni beradi.
Ammo bizda to'g'ri tenglik bor allaqachon sodir bo'ldi! 0=0, qayerda?! Bu qaysi x dan olinganligini aniqlash qoladi. X ning qaysi qiymatlarini almashtirish mumkin boshlang'ich tenglama, agar bu x bo'lsa hali ham nolga qisqaradimi? Kel?)
Ha!!! X ni almashtirish mumkin har qanday! Nima xohlaysiz. Kamida 5, kamida 0,05, kamida -220. Ular hali ham qisqaradi. Agar menga ishonmasangiz, tekshirib ko'rishingiz mumkin.) Istalgan x qiymatini o'rniga qo'ying boshlang'ich tenglama va hisoblash. Har doim sof haqiqat olinadi: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 va hokazo.
Mana sizning javobingiz: x - har qanday raqam.
Javob turli matematik belgilarda yozilishi mumkin, mohiyat o'zgarmaydi. Bu mutlaqo to'g'ri va to'liq javob.
Ikkinchidan ajablanib.
Keling, bir xil elementar chiziqli tenglamani olaylik va undagi faqat bitta raqamni o'zgartiramiz. Buni biz hal qilamiz:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Xuddi shu o'zgarishlardan so'ng biz qiziqarli narsalarni olamiz:
Mana bunday. Chiziqli tenglamani yechish, g'alati tenglikni oldi. Matematik jihatdan aytganda, bizda bor noto'g'ri tenglik. Va gapirish oddiy til, bu haqiqat emas. Rave. Ammo shunga qaramay, bu bema'nilik tenglamani to'g'ri hal qilish uchun juda yaxshi sababdir.)
Yana umumiy qoidalar asosida fikr yuritamiz. Dastlabki tenglamaga almashtirilganda, x bizga nimani beradi to'g'ri tenglik? Ha, yo'q! Bunday xes yo'q. Siz nimani almashtirsangiz ham, hamma narsa kamayadi, bema'nilik qoladi.)
Mana sizning javobingiz: yechimlar yo'q.
Bu ham mutlaqo to'g'ri javobdir. Matematikada bunday javoblar tez-tez uchraydi.
Mana bunday. Endi, umid qilamanki, har qanday (nafaqat chiziqli) tenglamani yechish jarayonida X ning yo'qolishi sizni umuman bezovta qilmaydi. Masala tanish.)
Endi biz chiziqli tenglamalardagi barcha tuzoqlarni ko'rib chiqdik, ularni hal qilish mantiqan.
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)
funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Tenglamalar quyidagilardan biridir qiyin mavzular assimilyatsiya qilish uchun, lekin ayni paytda ular ko'p muammolarni hal qilish uchun etarlicha kuchli vositadir.
Tenglamalar yordamida tabiatda sodir bo'ladigan turli jarayonlar tasvirlanadi. Tenglamalar boshqa fanlarda: iqtisod, fizika, biologiya va kimyoda keng qo'llaniladi.
Ushbu darsda biz eng oddiy tenglamalarning mohiyatini tushunishga harakat qilamiz, noma'lumlarni qanday ifodalashni va bir nechta tenglamalarni echishni o'rganamiz. Yangi materiallarni o'rganganingizda, tenglamalar murakkablashadi, shuning uchun asoslarni tushunish juda muhimdir.
Dastlabki ko'nikmalar Dars mazmuniTenglama nima?
Tenglama - bu qiymati topmoqchi bo'lgan o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglik. Bu qiymat shunday bo'lishi kerakki, u dastlabki tenglamaga almashtirilganda to'g'ri sonli tenglik olinadi.
Masalan, 3 + 2 = 5 ifodasi tenglikdir. Chap tomonni hisoblashda to'g'ri raqamli tenglik olinadi 5 = 5 .
Ammo tenglik 3+ x= 5 - tenglama, chunki u o'zgaruvchini o'z ichiga oladi x, uning qiymatini topish mumkin. Qiymat shunday bo'lishi kerakki, bu qiymat dastlabki tenglamaga almashtirilganda to'g'ri sonli tenglik olinadi.
Boshqacha qilib aytganda, biz tenglik belgisi uning joylashishini oqlaydigan qiymatni topishimiz kerak - chap tomon o'ng tomonga teng bo'lishi kerak.
3+ tenglama x= 5 - elementar. O'zgaruvchan qiymat x 2 raqamiga teng. Boshqa har qanday qiymat uchun tenglik kuzatilmaydi
2 raqami aytiladi ildiz yoki tenglamaning yechimi 3 + x = 5
Ildiz yoki tenglamaning yechimi- tenglama haqiqiy sonli tenglikka aylanadigan o'zgaruvchining qiymati.
Bir nechta ildiz bo'lishi mumkin yoki umuman yo'q. tenglamani yeching uning ildizlarini topish yoki hech qanday ildiz yo'qligini isbotlash demakdir.
Tenglamadagi o'zgaruvchi sifatida ham tanilgan noma'lum. Siz uni xohlaganingizcha chaqirishingiz mumkin. Bu sinonimlar.
Eslatma. ibora "Tenglamani yechish" o'zi uchun gapiradi. Tenglamani yechish degani tenglamani “tenglash” demakdir, ya’ni chap tomoni o‘ng tomonga teng bo‘lishi uchun uni muvozanatlash.
Birini ikkinchisi bilan ifodalang
Tenglamalarni o'rganish an'anaviy ravishda tenglikka kiritilgan bitta raqamni boshqa raqamlar bilan ifodalashni o'rganishdan boshlanadi. Keling, bu an'anani buzmaylik va shunday qilaylik.
Quyidagi ifodani ko'rib chiqing:
8 + 2
Bu ifoda 8 va 2 sonlarining yig'indisidir. Bu ifodaning qiymati 10 ga teng
8 + 2 = 10
Biz tenglikka erishdik. Endi siz ushbu tenglikdan istalgan raqamni bir xil tenglikka kiritilgan boshqa raqamlar bilan ifodalashingiz mumkin. Masalan, 2 raqamini ifodalaylik.
2 raqamini ifodalash uchun siz savol berishingiz kerak: "2 raqamini olish uchun 10 va 8 raqamlari bilan nima qilish kerak." 2 raqamini olish uchun 10 raqamidan 8 raqamini ayirish kerakligi aniq.
Shunday qilamiz. Biz 2 raqamini yozamiz va tenglik belgisi orqali bu 2 raqamini olish uchun biz 10 raqamidan 8 raqamini ayirdik:
2 = 10 − 8
Biz 8 + 2 = 10 tenglamasidan 2 raqamini ifodaladik. Misoldan ko'rinib turibdiki, bu borada murakkab narsa yo'q.
Tenglamalarni echishda, xususan, bitta raqamni boshqalar bilan ifodalashda, tenglik belgisini " so'zi bilan almashtirish qulaydir. u yerda" . Bu iboraning o'zida emas, balki aqliy tarzda amalga oshirilishi kerak.
Shunday qilib, 8 + 2 = 10 tengligidan 2 raqamini ifodalab, biz 2 = 10 - 8 tenglikni oldik. Ushbu tenglamani quyidagicha o'qish mumkin:
2 u yerda 10 − 8
Bu belgi = “bo‘ladi” so‘zi bilan almashtirildi. Bundan tashqari, 2 = 10 - 8 tengligini matematik tildan to'liq huquqli inson tiliga tarjima qilish mumkin. Keyin uni quyidagicha o'qish mumkin:
2 raqami u yerda 10 va 8 o'rtasidagi farq
2 raqami u yerda 10 soni va 8 soni o'rtasidagi farq.
Ammo biz tenglik belgisini "bo'ladi" so'zi bilan almashtirish bilan cheklanamiz va keyin biz buni har doim ham qilmaymiz. Elementar iboralarni matematik tilni inson tiliga tarjima qilmasdan tushunish mumkin.
Olingan 2 = 10 − 8 tenglikni asl holatiga qaytaramiz:
8 + 2 = 10
Bu safar 8 raqamini ifodalaymiz.8 raqamini olish uchun qolgan raqamlar bilan nima qilish kerak? To'g'ri, 10 raqamidan 2 raqamini ayirish kerak
8 = 10 − 2
Olingan 8 = 10 − 2 tengligini asl holatiga qaytaramiz:
8 + 2 = 10
Bu safar biz 10 raqamini ifodalaymiz. Ammo ma'lum bo'lishicha, o'nni ifodalash kerak emas, chunki u allaqachon ifodalangan. Chap va o'ng qismlarni almashtirish kifoya, keyin biz kerakli narsani olamiz:
10 = 8 + 2
2-misol. 8 − 2 = 6 tengligini ko‘rib chiqaylik
Bu tenglikdan 8 raqamini ifodalaymiz.8 raqamini ifodalash uchun qolgan ikkita raqamni qo'shish kerak:
8 = 6 + 2
Olingan 8 = 6 + 2 tengligini asl holatiga qaytaramiz:
8 − 2 = 6
Bu tenglikdan 2 raqamini ifodalaymiz.2 raqamini ifodalash uchun 8 dan 6 ni ayirish kerak.
2 = 8 − 6
3-misol. 3 × 2 = 6 tenglamasini ko'rib chiqing
3 raqamini ifodalash. 3 raqamini ifodalash uchun 6 ni 2 ga bo'lish kerak
Olingan tenglikni asl holatiga qaytaramiz:
3 x 2 = 6
Shu tenglikdan 2 raqamini ifodalaymiz.2 sonni ifodalash uchun 3 ni 6 ga bo'lish kerak.
4-misol. Tenglikni hisobga oling
Bu tenglikdan 15 raqamini ifodalaymiz.15 sonini ifodalash uchun 3 va 5 sonlarini ko'paytirish kerak.
15 = 3 x 5
Olingan 15 = 3 × 5 tengligini asl holatiga qaytaramiz:
Bu tenglikdan 5 raqamini ifodalaymiz.5 sonni ifodalash uchun 15 ni 3 ga bo'lish kerak.
Noma'lumlarni topish qoidalari
Noma'lumlarni topish uchun bir nechta qoidalarni ko'rib chiqing. Ehtimol, ular sizga tanishdir, lekin ularni yana takrorlash zarar qilmaydi. Kelajakda ularni unutish mumkin, chunki biz ushbu qoidalarni qo'llamasdan tenglamalarni echishni o'rganamiz.
Oldingi mavzuda ko'rib chiqqan birinchi misolga qaytaylik, bu erda 8 + 2 = 10 tenglamasida 2 raqamini ifodalash talab qilingan.
8 + 2 = 10 tenglamasida 8 va 2 raqamlari hadlar, 10 soni esa yig'indidir.
2 raqamini ifodalash uchun biz quyidagilarni bajardik:
2 = 10 − 8
Ya'ni 10 ning yig'indisidan 8 atamasi ayirildi.
Endi tasavvur qiling-a, 8 + 2 = 10 tenglamasida 2 raqami o'rniga o'zgaruvchi mavjud. x
8 + x = 10
Bunda 8 + 2 = 10 tenglama 8 + tenglamasiga aylanadi x= 10 va o'zgaruvchi x noma'lum atama
Bizning vazifamiz bu noma'lum atamani topish, ya'ni 8+ tenglamasini yechishdir x= 10. Noma'lum atamani topish uchun quyidagi qoida taqdim etiladi:
Noma'lum sonni topish uchun yig'indidan ma'lum sonni ayirish kerak.
Biz 8 + 2 = 10 tenglamasida ikkalasini ifodalaganimizda, asosan, shunday qildik. 2-sonni ifodalash uchun 10 yig‘indisidan yana 8 sonni ayirdik
2 = 10 − 8
Va endi noma'lum atamani topish uchun x, biz 10 yig'indisidan ma'lum 8 sonni ayirishimiz kerak:
x = 10 − 8
Agar siz hosil bo'lgan tenglikning o'ng tomonini hisoblasangiz, unda siz o'zgaruvchining nimaga teng ekanligini bilib olishingiz mumkin x
x = 2
Biz tenglamani yechdik. O'zgaruvchan qiymat x 2 ga teng. O'zgaruvchining qiymatini tekshirish uchun x asl tenglamaga yuborilgan 8 + x= 10 va o'rniga qo'ying x. Buni har qanday hal qilingan tenglama bilan qilish maqsadga muvofiqdir, chunki siz tenglama to'g'ri echilganiga ishonchingiz komil emas:
Natijada
Agar noma'lum atama birinchi raqam 8 bo'lsa, xuddi shu qoida qo'llaniladi.
x + 2 = 10
Ushbu tenglamada x noma'lum had, 2 - ma'lum had, 10 - yig'indi. Noma'lum atamani topish uchun x, siz 10 yig'indisidan ma'lum bo'lgan 2 sonni ayirishingiz kerak
x = 10 − 2
x = 8
Oldingi mavzudagi ikkinchi misolga qaytaylik, bu erda 8 − 2 = 6 tenglamada 8 raqamini ifodalash talab qilingan.
8 − 2 = 6 tenglamada 8 soni minuend, 2 soni ayirma, 6 soni farq hisoblanadi.
8 raqamini ifodalash uchun biz quyidagilarni bajardik:
8 = 6 + 2
Ya'ni, ular 6 ning farqini va 2 ni ayirishni qo'shdilar.
Endi tasavvur qiling-a, 8 − 2 = 6 tenglamada 8 raqami o‘rniga o‘zgaruvchi mavjud. x
x − 2 = 6
Bunday holda, o'zgaruvchi x deb atalmish rolni oladi noma'lum minut
Noma'lum minuendni topish uchun quyidagi qoida taqdim etiladi:
Noma'lum minuendni topish uchun farqga subtrahend qo'shishingiz kerak.
Biz 8 − 2 = 6 tenglamasida 8 raqamini ifodalaganimizda shunday qildik. Minuend 8ni ifodalash uchun biz 6 ning farqiga 2 ko'paytirishni qo'shdik.
Va endi, noma'lum minuendni topish uchun x, biz farq 6 ga 2 subtraendini qo'shishimiz kerak
x = 6 + 2
Agar siz o'ng tomonni hisoblasangiz, unda siz o'zgaruvchining nimaga teng ekanligini bilib olishingiz mumkin x
x = 8
Endi tasavvur qiling-a, 8 − 2 = 6 tenglamada 2 raqami o‘rniga o‘zgaruvchi mavjud. x
8 − x = 6
Bunday holda, o'zgaruvchi x rol o'ynaydi noma'lum ayirboshlash
Noma'lum subtraendni topish uchun quyidagi qoida taqdim etiladi:
Noma'lum ayirmani topish uchun minuenddan farqni ayirish kerak.
8 − 2 = 6 tenglamada 2 raqamini ifodalaganimizda shunday qildik. 2 raqamini ifodalash uchun biz kamaytirilgan 8 dan 6 farqini ayirdik.
Va endi, noma'lum subtraendni topish uchun x, siz yana 6 ni kamaytirilgan 8 dan farqni ayirishingiz kerak
x = 8 − 6
O'ng tomonni hisoblang va qiymatni toping x
x = 2
Oldingi mavzudagi uchinchi misolga qaytaylik, bu erda 3 × 2 = 6 tenglamasida biz 3 raqamini ifodalashga harakat qildik.
3 × 2 = 6 tenglamada 3 soni ko'paytiruvchi, 2 soni ko'paytiruvchi, 6 soni ko'paytma hisoblanadi.
3 raqamini ifodalash uchun biz quyidagilarni bajardik:
Ya'ni, 6 ning ko'paytmasini 2 ga bo'ling.
Endi tasavvur qiling-a, 3 × 2 = 6 tenglamasida 3 raqami o'rniga o'zgaruvchi mavjud. x
x×2=6
Bunday holda, o'zgaruvchi x rol o'ynaydi noma'lum ko'paytma.
Noma'lum ko'paytuvchini topish uchun quyidagi qoida taqdim etiladi:
Noma'lum ko'paytmani topish uchun ko'paytmani koeffitsientga bo'lish kerak.
Biz 3 × 2 = 6 tenglamasidan 3 raqamini ifodalaganimizda shunday qildik. Biz 6 ning ko'paytmasini 2 koeffitsientiga ajratdik.
Va endi noma'lum multiplikatorni topish uchun x, siz 6 ning ko'paytmasini 2 ga bo'lishingiz kerak.
O'ng tomonni hisoblash o'zgaruvchining qiymatini topishga imkon beradi x
x = 3
Agar o'zgaruvchi bo'lsa, xuddi shu qoida qo'llaniladi x ko'paytma emas, ko'paytma o'rnida joylashgan. Tasavvur qiling-a, 3 × 2 = 6 tenglamasida 2 raqami o'rniga o'zgaruvchi mavjud x.
Bunday holda, o'zgaruvchi x rol o'ynaydi noma'lum multiplikator. Noma'lum omilni topish uchun noma'lum ko'paytuvchini topish, ya'ni mahsulotni ma'lum omilga bo'lish bilan bir xil narsa taqdim etiladi:
Noma'lum omilni topish uchun mahsulotni ko'paytmaga bo'lish kerak.
Biz 3 × 2 = 6 tenglamasidan 2 raqamini ifodalaganimizda shunday qildik. Keyin 2 raqamini olish uchun biz 6 ning ko'paytmasini 3 ga ko'paytirdik.
Va endi noma'lum omilni topish uchun x biz 6 ning ko'paytmasini 3 ning ko'paytmasiga ajratdik.
Tenglamaning o'ng tomonini hisoblash x ning nimaga teng ekanligini aniqlash imkonini beradi
x = 2
Ko'paytiruvchi va ko'paytiruvchi birgalikda omillar deyiladi. Ko'paytiruvchi va ko'paytuvchini topish qoidalari bir xil bo'lgani uchun biz formula qilishimiz mumkin umumiy qoida noma'lum omilni topish:
Noma'lum omilni topish uchun mahsulotni ma'lum omilga bo'lish kerak.
Masalan, 9 × tenglamani yechamiz x= 18. O'zgaruvchan x noma’lum omil hisoblanadi. Ushbu noma'lum omilni topish uchun mahsulot 18 ni ma'lum bo'lgan 9 koeffitsientiga bo'lish kerak
Keling, tenglamani yechamiz x× 3 = 27. O'zgaruvchan x noma’lum omil hisoblanadi. Ushbu noma'lum omilni topish uchun siz 27 ko'paytmani ma'lum bo'lgan 3 omilga bo'lishingiz kerak
Oldingi mavzudagi to'rtinchi misolga qaytaylik, bu erda tenglikda 15 raqamini ifodalash talab qilingan.Bu tenglikda 15 soni dividend, 5 soni bo'linuvchi, 3 soni bo'linuvchi hisoblanadi.
15 raqamini ifodalash uchun biz quyidagilarni bajardik:
15 = 3 x 5
Ya'ni, 3 ning qismini 5 ning bo'luvchisiga ko'paytiring.
Endi tasavvur qiling-a, tenglikda 15 raqami o'rniga o'zgaruvchi bor x
Bunday holda, o'zgaruvchi x rol o'ynaydi noma'lum dividend.
Noma'lum dividendni topish uchun quyidagi qoida nazarda tutilgan:
Noma'lum dividendni topish uchun siz qismni bo'linuvchiga ko'paytirishingiz kerak.
Biz tenglikdan 15 raqamini ifodalaganimizda shunday qildik. 15 raqamini ifodalash uchun biz 3 ning bo'linmasini 5 ning bo'luvchisiga ko'paytirdik.
Va endi, noma'lum dividendni topish uchun x, siz 3 ning qismini 5 ning bo'luvchisiga ko'paytirishingiz kerak
x= 3 × 5
x .
x = 15
Endi tasavvur qiling-a, tenglikda 5 raqami o'rniga o'zgaruvchi bor x .
Bunday holda, o'zgaruvchi x rol o'ynaydi noma'lum bo'luvchi.
Noma'lum bo'luvchini topish uchun quyidagi qoida berilgan:
Tenglikdan 5 raqamini ifodalaganimizda shunday qildik. 5 raqamini ifodalash uchun biz dividend 15 ni 3 qismga ajratdik.
Va endi noma'lum bo'luvchini topish uchun x, siz dividend 15 ni 3 ga bo'lishingiz kerak
Olingan tenglikning o'ng tomonini hisoblaylik. Shunday qilib, biz o'zgaruvchining nimaga teng ekanligini bilib olamiz x .
x = 5
Shunday qilib, noma'lumlarni topish uchun biz quyidagi qoidalarni o'rganib chiqdik:
- Noma'lum hadni topish uchun yig'indidan ma'lum sonni ayirish kerak;
- Noma'lum minuendni topish uchun farqga subtrahendni qo'shishingiz kerak;
- Noma'lum ayirmani topish uchun minuenddan farqni ayirish kerak;
- Noma'lum ko'paytmani topish uchun ko'paytmani koeffitsientga bo'lish kerak;
- Noma'lum omilni topish uchun mahsulotni ko'paytmaga bo'lish kerak;
- Noma'lum dividendni topish uchun ko'rsatkichni bo'linuvchiga ko'paytirish kerak;
- Noma'lum bo'luvchini topish uchun dividendni ko'rsatkichga bo'lish kerak.
Komponentlar
Komponentlarni biz tenglikka kiritilgan raqamlar va o'zgaruvchilar deb ataymiz
Shunday qilib, qo'shishning tarkibiy qismlari shartlari va so'm
Ayirish komponentlari minuend, ayirboshlash va farq
Ko'paytirishning komponentlari ko'paytma, omil va ish
Bo'lishning tarkibiy qismlari dividend, bo'luvchi va qismdir.
Qaysi komponentlar bilan shug'ullanayotganimizga qarab, noma'lumlarni topish uchun tegishli qoidalar qo'llaniladi. Ushbu qoidalarni biz avvalgi mavzuda o'rganib chiqdik. Tenglamalarni yechishda ushbu qoidalarni yoddan bilish maqsadga muvofiqdir.
1-misol. 45+ tenglamaning ildizini toping x = 60
45 - muddatli, x noma'lum atama, 60 - yig'indi. Biz qo'shimcha komponentlar bilan shug'ullanamiz. Eslatib o'tamiz, noma'lum atamani topish uchun yig'indidan ma'lum atamani ayirish kerak:
x = 60 − 45
O'ng tomonni hisoblang, qiymatni oling x 15 ga teng
x = 15
Demak, tenglamaning ildizi 45+ ga teng x= 60 15 ga teng.
Ko'pincha noma'lum atama uni ifodalash mumkin bo'lgan shaklga keltirilishi kerak.
2-misol. tenglamani yeching
Bu erda, oldingi misoldan farqli o'laroq, noma'lum atamani darhol ifodalab bo'lmaydi, chunki u 2 koeffitsientini o'z ichiga oladi. Bizning vazifamiz bu tenglamani ifodalashimiz mumkin bo'lgan shaklga keltirishdir. x
Ushbu misolda biz qo'shimchaning tarkibiy qismlari - atamalar va yig'indi bilan shug'ullanamiz. 2 x birinchi had, 4 ikkinchi had, 8 yig'indi.
Bunday holda, atama 2 x o‘zgaruvchini o‘z ichiga oladi x. O'zgaruvchining qiymatini topgandan so'ng x muddat 2 x boshqacha ko‘rinishga ega bo‘ladi. Shuning uchun atama 2 x noma'lum muddat uchun butunlay olinishi mumkin:
Endi biz noma'lum atamani topish qoidasini qo'llaymiz. Yig'indidan ma'lum atamani ayiring:
Olingan tenglamaning o'ng tomonini hisoblaymiz:
Bizda yangi tenglama bor. Endi biz ko'paytirishning tarkibiy qismlari bilan shug'ullanamiz: ko'paytma, ko'paytma va mahsulot. 2 - multiplikator, x- multiplikator, 4 - mahsulot
Shu bilan birga, o'zgaruvchi x shunchaki omil emas, balki noma'lum omil
Ushbu noma'lum omilni topish uchun siz mahsulotni ko'paytmaga bo'lishingiz kerak:
O'ng tomonni hisoblang, o'zgaruvchining qiymatini oling x
Topilgan ildizni tekshirish uchun uni asl tenglamaga yuboring va o'rniga almashtiring x
3-misol. tenglamani yeching 3x+ 9x+ 16x= 56
Noma'lum narsani ifoda eting x bu taqiqlangan. Avval siz ushbu tenglamani ifodalash mumkin bo'lgan shaklga keltirishingiz kerak.
Biz ushbu tenglamaning chap tomonida:
Biz ko'paytirishning komponentlari bilan shug'ullanamiz. 28 - multiplikator, x- multiplikator, 56 - mahsulot. Qayerda x noma’lum omil hisoblanadi. Noma'lum omilni topish uchun siz mahsulotni ko'paytmaga bo'lishingiz kerak:
Bu yerdan x 2 hisoblanadi
Ekvivalent tenglamalar
Oldingi misolda, tenglamani yechishda 3x + 9x + 16x = 56 , biz tenglamaning chap tomonida o'xshash shartlarni berdik. Natijada yangi tenglama 28 x= 56. eski tenglama 3x + 9x + 16x = 56 va olingan yangi tenglama 28 x= 56 chaqirildi ekvivalent tenglamalar chunki ularning ildizlari bir.
Tenglamalar ildizlari bir xil bo'lsa, ekvivalent deyiladi.
Keling, buni tekshirib ko'ramiz. Tenglama uchun 3x+ 9x+ 16x= 56 2 ga teng ildizni topdik. Bu ildizni birinchi navbatda tenglamaga almashtiring 3x+ 9x+ 16x= 56 , va keyin 28- tenglamaga o'ting x= 56 , bu avvalgi tenglamaning chap tomonidagi o'xshash atamalarning qisqarishi natijasida paydo bo'ldi. Biz to'g'ri raqamli tenglikni olishimiz kerak
Amallar tartibiga ko'ra, birinchi navbatda ko'paytirish amalga oshiriladi:
28-ikkinchi tenglamadagi ildiz 2 o‘rniga qo‘ying x= 56
Ikkala tenglamaning ildizlari bir xil ekanligini ko'ramiz. Shunday qilib, tenglamalar 3x+ 9x+ 16x= 56 va 28 x= 56 haqiqatan ham ekvivalentdir.
Tenglamani yechish uchun 3x+ 9x+ 16x= 56 biz o'xshash atamalarni qisqartirishdan birini ishlatdik. Tenglamani to'g'ri o'zgartirish bizga 28 ekvivalent tenglamani olish imkonini berdi. x= 56, bu hal qilish osonroq.
Bir xil o'zgarishlardan hozirgi vaqtda biz faqat kasrlarni qisqartirishimiz, o'xshash atamalarni keltirishimiz, umumiy ko'rsatkichni qavsdan chiqarishimiz, shuningdek qavslarni ochishimiz mumkin. Siz bilishingiz kerak bo'lgan boshqa o'zgarishlar mavjud. Ammo tenglamalarning bir xil o'zgarishi haqida umumiy tasavvur uchun biz o'rgangan mavzular etarli.
Ekvivalent tenglamani olish imkonini beruvchi ba'zi o'zgarishlarni ko'rib chiqing
Agar siz tenglamaning ikkala tomoniga bir xil sonni qo'shsangiz, berilgan tenglamaga ekvivalent tenglamani olasiz.
va shunga o'xshash:
Agar tenglamaning ikkala tomonidan bir xil son ayirilsa, berilgan tenglamaga ekvivalent tenglama olinadi.
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, tenglamaga bir xil son qo'shilsa (yoki ikkala tomondan ayirilsa) tenglamaning ildizi o'zgarmaydi.
1-misol. tenglamani yeching 
Tenglamaning ikkala tomonidan 10 raqamini ayiring
5-tenglama oldim x= 10. Biz ko'paytirishning komponentlari bilan shug'ullanamiz. Noma'lum omilni topish uchun x, siz 10 ning mahsulotini ma'lum bo'lgan 5 koeffitsientiga bo'lishingiz kerak.
va uning o'rniga almashtiring x topilgan qiymat 2
Biz to'g'ri raqamni oldik. Shunday qilib, tenglama to'g'ri.
Tenglamani yechish tenglamaning har ikki tomonidan 10 raqamini ayirdik. Natijada ekvivalent tenglama olinadi. Bu tenglamaning ildizi tenglamalar kabi ham 2 ga teng
2-misol. 4-tenglamani yeching( x+ 3) = 16
Tenglamaning ikkala tomonidan 12 raqamini ayiring
Chap tomoni 4 bo'ladi x, va o'ng tomonda 4 raqami
Tenglama 4 bor x= 4. Biz ko'paytirishning komponentlari bilan shug'ullanamiz. Noma'lum omilni topish uchun x, mahsulot 4 ni ma'lum bo'lgan 4 omilga bo'lishingiz kerak
Keling, asl tenglamaga qaytaylik 4( x+ 3) = 16 va o'rniga o'zgartiring x topilgan qiymat 1
Biz to'g'ri raqamni oldik. Shunday qilib, tenglama to'g'ri.
4-tenglamani yechish( x+ 3) = 16 tenglamaning har ikki tomonidan 12 raqamini ayirdik. Natijada biz 4-ekvivalent tenglamani oldik x= 4. Ushbu tenglamaning ildizi, shuningdek, tenglamalar 4( x+ 3) = 16 ham 1 ga teng
3-misol. tenglamani yeching 
Keling, tenglamaning chap tomonidagi qavslarni kengaytiramiz:
Keling, tenglamaning ikkala tomoniga 8 raqamini qo'shamiz
Biz tenglamaning ikkala qismida o'xshash atamalarni keltiramiz:
Chap tomoni 2 bo'ladi x, va o'ng tomonda 9 raqami
Olingan tenglamada 2 x= 9 noma'lum atamani ifodalaymiz x
Asl tenglamaga qaytish va uning o'rniga almashtiring x topilgan qiymat 4.5
Biz to'g'ri raqamni oldik. Shunday qilib, tenglama to'g'ri.
Tenglamani yechish tenglamaning ikkala tomoniga 8 raqamini qo‘shdik.Natijada ekvivalent tenglamaga ega bo‘ldik. Bu tenglamaning ildizi tenglamalar kabi ham 4,5 ga teng
Ekvivalent tenglamani olish imkonini beruvchi keyingi qoida quyidagicha
Agar tenglamada atamani belgisini o'zgartirib, bir qismdan ikkinchi qismga o'tkazsak, biz berilgan tenglamaga ekvivalentni olamiz.
Ya’ni, tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga hadni belgisini o‘zgartirib o‘tkazsak, tenglamaning ildizi o‘zgarmaydi. Bu xususiyat eng muhim va tenglamalarni yechishda eng ko'p qo'llaniladigan xususiyatlardan biridir.
Quyidagi tenglamani ko'rib chiqing:
Bu tenglamaning ildizi 2. o‘rniga almashtiring x bu ildiz va to'g'ri sonli tenglik olinganligini tekshiring
To'g'ri tenglik chiqadi. Demak, 2 raqami haqiqatda tenglamaning ildizidir.
Keling, ushbu tenglamaning shartlarini bir qismdan ikkinchi qismga o'tkazish, belgilarini o'zgartirish bilan tajriba o'tkazishga harakat qilaylik.
Masalan, 3-son x tenglamaning chap tomonida joylashgan. Keling, belgini teskarisiga o'zgartirib, uni o'ng tomonga o'tkazamiz:
Bu tenglama chiqdi 12 = 9x − 3x . Ushbu tenglamaning o'ng tomonida:
x noma’lum omil hisoblanadi. Keling, ushbu ma'lum omilni topamiz:
Bu yerdan x= 2 . Ko'rib turganingizdek, tenglamaning ildizi o'zgarmadi. Shunday qilib, 12 + 3 tenglamalar x = 9x va 12 = 9x − 3x ekvivalentdir.
Aslida, bu transformatsiya avvalgi o'zgartirishning soddalashtirilgan usuli bo'lib, unda tenglamaning ikkala qismiga bir xil raqam qo'shilgan (yoki ayirilgan).
Biz buni 12 + 3 tenglamasida aytdik x = 9x muddat 3 x belgisini o'zgartirib, o'ng tomonga ko'chirildi. Haqiqatda shunday bo'ldi: 3 atamasi tenglamaning har ikki tomonidan ayirildi x
Keyin chap tomonda shunga o'xshash atamalar berilgan va tenglama olingan 12 = 9x − 3x. Keyin yana shunga o'xshash atamalar berildi, lekin o'ng tomonda va 12 = 6 tenglama olindi x.
Ammo "o'tkazish" deb ataladigan narsa bunday tenglamalar uchun qulayroqdir, shuning uchun u juda keng tarqaldi. Tenglamalarni echishda biz ko'pincha ushbu maxsus transformatsiyadan foydalanamiz.
12 + 3 tenglamalari ham ekvivalentdir x= 9x va 3x - 9x= −12 . Bu safar 12 + 3 tenglamasida x= 9x 12-term o'ng tomonga, 9-telektsiya ko'chirildi x Chapga. Shuni unutmaslik kerakki, bu atamalarning belgilari transfer paytida o'zgartirildi
Ekvivalent tenglamani olish imkonini beruvchi keyingi qoida quyidagicha:
Agar tenglamaning ikkala qismi ham nolga teng bo'lmagan bir xil songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, berilgan tenglamaga ekvivalent tenglama olinadi.
Boshqacha qilib aytganda, agar ikkala tomon ham bir xil songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, tenglamaning ildizlari o'zgarmaydi. Ushbu harakat ko'pincha kasr ifodalarini o'z ichiga olgan tenglamani echish kerak bo'lganda qo'llaniladi.
Birinchidan, tenglamaning ikkala tomoni bir xil songa ko'paytiriladigan misollarni ko'rib chiqing.
1-misol. tenglamani yeching
Kasr ifodalarini o'z ichiga olgan tenglamalarni yechishda birinchi navbatda bu tenglamani soddalashtirish odatiy holdir.
Bunday holda, biz aynan shunday tenglama bilan shug'ullanamiz. Ushbu tenglamani soddalashtirish uchun ikkala tomonni 8 ga ko'paytirish mumkin:
Esda tutamizki, uchun berilgan kasrning payini shu raqamga ko'paytirish kerak. Bizda ikkita kasr bor va ularning har biri 8 raqamiga ko'paytiriladi. Bizning vazifamiz kasrlarning sonlarini shu 8 raqamiga ko'paytirishdir.
Endi eng qiziq narsa sodir bo'ladi. Ikkala kasrning soni va maxrajida 8 koeffitsient mavjud bo'lib, uni 8 ga kamaytirish mumkin. Bu kasr ifodasidan xalos bo'lishga imkon beradi:
Natijada, eng oddiy tenglama qoladi
Xo'sh, bu tenglamaning ildizi 4 ekanligini taxmin qilish oson
x topilgan qiymat 4
To'g'ri raqamli tenglik chiqadi. Shunday qilib, tenglama to'g'ri.
Bu tenglamani yechishda uning ikkala qismini 8 ga ko'paytirdik. Natijada tenglamaga erishdik. Bu tenglamaning ildizi, xuddi tenglamalar kabi, 4. Demak, bu tenglamalar ekvivalentdir.
Tenglamaning ikkala qismi ko'paytiriladigan ko'paytma odatda tenglama qismidan oldin yoziladi, lekin undan keyin emas. Shunday qilib, tenglamani yechib, ikkala qismni 8 koeffitsientga ko'paytirdik va quyidagi yozuvni oldik:
Bundan tenglamaning ildizi o'zgarmadi, lekin agar biz buni maktabda qilganimizda, bizni eslatib o'tgan bo'lardik, chunki algebrada koeffitsientni ko'paytiriladigan ifodadan oldin yozish odat tusiga kiradi. Shunday qilib, tenglamaning ikkala tomonini 8 koeffitsientga ko'paytirishni quyidagicha qayta yozish maqsadga muvofiqdir:
2-misol. tenglamani yeching 
Chap tomonda 15 omillarni 15 ga, o'ng tomonda esa 15 va 5 faktorlarni 5 ga kamaytirish mumkin.
Keling, tenglamaning o'ng tomonidagi qavslarni ochamiz:
Keling, atamani ko'chiraylik x belgisini o'zgartirish orqali tenglamaning chap tomonidan o'ng tomoniga. Va tenglamaning o'ng tomonidagi 15 atamasi yana belgini o'zgartirib, chap tomonga o'tkaziladi:
Ikkala qismda ham o'xshash atamalarni keltiramiz, olamiz
Biz ko'paytirishning komponentlari bilan shug'ullanamiz. O'zgaruvchan x
Asl tenglamaga qaytish va uning o'rniga almashtiring x topilgan qiymat 5
To'g'ri raqamli tenglik chiqadi. Shunday qilib, tenglama to'g'ri. Ushbu tenglamani yechishda ikkala tomonni 15 ga ko'paytirdik. Keyinchalik, bir xil o'zgarishlarni amalga oshirib, biz 10 = 2 tenglamani oldik x. Bu tenglamaning ildizi tenglamalar kabi 5 ga teng. Demak, bu tenglamalar ekvivalentdir.
3-misol. tenglamani yeching
Chap tomonda ikkita uchlikni kamaytirish mumkin, o'ng tomon esa 18 ga teng bo'ladi
Eng oddiy tenglama qoladi. Biz ko'paytirishning komponentlari bilan shug'ullanamiz. O'zgaruvchan x noma’lum omil hisoblanadi. Keling, ushbu ma'lum omilni topamiz:
Keling, asl tenglamaga qaytaylik va uning o'rniga almashtiramiz x topilgan qiymat 9
To'g'ri raqamli tenglik chiqadi. Shunday qilib, tenglama to'g'ri.
4-misol. tenglamani yeching 
Tenglamaning ikkala tomonini 6 ga ko'paytiring
Tenglamaning chap tomonidagi qavslarni oching. O'ng tomonda 6 omilni hisoblagichga ko'tarish mumkin:
Biz tenglamalarning ikkala qismida kamaytirilishi mumkin bo'lgan narsalarni kamaytiramiz:
Bizda qolgan narsalarni qayta yozamiz:
Biz shartlarni uzatishdan foydalanamiz. Noma'lumni o'z ichiga olgan atamalar x, biz tenglamaning chap tomoniga, noma'lum shartlarni esa o'ngga guruhlaymiz:
Biz ikkala qismda o'xshash atamalarni taqdim etamiz:
Endi o'zgaruvchining qiymatini topamiz x. Buning uchun 28 ko'paytmani ma'lum bo'lgan 7 koeffitsientiga ajratamiz
Bu yerdan x= 4.
Asl tenglamaga qaytish va uning o'rniga almashtiring x topilgan qiymat 4
To'g'ri raqamli tenglik chiqdi. Shunday qilib, tenglama to'g'ri.
5-misol. tenglamani yeching 
Keling, iloji bo'lsa, tenglamaning ikkala qismidagi qavslarni ochamiz:
Tenglamaning ikkala tomonini 15 ga ko'paytiring
Keling, tenglamaning ikkala qismidagi qavslarni ochamiz:
Keling, tenglamaning ikkala qismida ham kamaytiraylik, nimani kamaytirish mumkin:
Bizda qolgan narsalarni qayta yozamiz:
Qavslarni iloji boricha ochamiz:
Biz shartlarni uzatishdan foydalanamiz. Noma'lumni o'z ichiga olgan atamalar tenglamaning chap tomonida, noma'lumlardan ozod qilingan atamalar o'ng tomonida guruhlangan. Esda tutingki, transfer paytida shartlar o'z belgilarini aksincha o'zgartiradi:
Biz tenglamaning ikkala qismida o'xshash atamalarni keltiramiz:
Keling, qiymatni topamiz x
Olingan javobda siz butun qismni tanlashingiz mumkin:
Keling, asl tenglamaga qaytaylik va uning o'rniga almashtiramiz x topilgan qiymat
Bu juda og'ir ifoda bo'lib chiqadi. Keling, o'zgaruvchilardan foydalanamiz. Tenglikning chap tomonini o'zgaruvchiga qo'yamiz A, va tenglikning o'ng tomoni o'zgaruvchiga B
Bizning vazifamiz chap tomonning o'ng tomonga teng bo'lishiga ishonch hosil qilishdir. Boshqacha qilib aytganda, A = B tengligini isbotlang
A o‘zgaruvchidagi ifoda qiymatini toping.
O'zgaruvchan qiymat LEKIN teng. Endi o'zgaruvchining qiymatini topamiz B. Tengligimizning o‘ng tomonining qadri ham shunda. ga teng bo'lsa, tenglama to'g'ri yechilgan bo'ladi
Biz o'zgaruvchining qiymatini ko'ramiz B, shuningdek, o'zgaruvchining qiymati A teng. Bu chap tomonning o'ng tomoniga teng ekanligini anglatadi. Bundan biz tenglama to'g'ri echilgan degan xulosaga kelamiz.
Endi tenglamaning ikkala tomonini bir xil songa ko‘paytirmay, bo‘lishga harakat qilaylik.
Tenglamani ko'rib chiqing 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Biz uni odatdagi usulda hal qilamiz: tenglamaning chap tomonida noma'lumlarni o'z ichiga olgan atamalarni, o'ngda esa noma'lumlardan ozod bo'lgan shartlarni guruhlaymiz. Keyinchalik, ma'lum bir xil o'zgarishlarni amalga oshirib, biz qiymatni topamiz x
Topilgan qiymat o‘rniga 2 ni qo‘ying x asl tenglamaga:
Endi tenglamaning barcha shartlarini ajratishga harakat qilaylik 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 Bu tenglamaning barcha hadlari umumiy koeffitsient 2 ga ega ekanligini ta'kidlaymiz. Har bir atamani unga ajratamiz:
Keling, har bir muddatda qisqartiraylik:
Bizda qolgan narsalarni qayta yozamiz:
Biz ushbu tenglamani ma'lum bir xil o'zgartirishlar yordamida echamiz:
Biz ildiz 2 ni oldik. Shunday qilib, tenglamalar 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 va 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 ekvivalentdir.
Tenglamaning ikkala tomonini bir xil raqamga bo'lish noma'lumni koeffitsientdan ozod qilish imkonini beradi. Oldingi misolda, biz 7 tenglamani olganimizda x= 14 , biz 14 ko'paytmani ma'lum koeffitsient 7 ga bo'lishimiz kerak edi. Lekin agar chap tomondagi 7 koeffitsientdan noma'lumni bo'shatib qo'ysak, ildiz darhol topiladi. Buning uchun ikkala qismni 7 ga bo'lish kifoya edi
Biz ham bu usuldan tez-tez foydalanamiz.
Minus birga ko'paytiring
Agar tenglamaning ikkala tomoni minus birga ko'paytirilsa, berilgan tenglamaga ekvivalent tenglama olinadi.
Bu qoida tenglamaning ikkala qismini bir xil songa ko'paytirish (yoki bo'lish) natijasida bu tenglamaning ildizi o'zgarmasligidan kelib chiqadi. Bu shuni anglatadiki, agar uning ikkala qismi ham -1 ga ko'paytirilsa, ildiz o'zgarmaydi.
Ushbu qoida tenglamaga kiritilgan barcha komponentlarning belgilarini o'zgartirishga imkon beradi. Bu nima uchun? Shunga qaramay, echish osonroq bo'lgan ekvivalent tenglamani olish uchun.
Tenglamani ko'rib chiqing. Bu tenglamaning ildizi nima?
Keling, tenglamaning ikkala tomoniga 5 raqamini qo'shamiz
Mana shunga o'xshash atamalar:
Va endi eslaylik. Tenglamaning chap tomoni nima. Bu minus bir va o'zgaruvchining mahsulotidir x
Ya'ni, o'zgaruvchining oldidagi minus x, o'zgaruvchining o'ziga ishora qilmaydi x, lekin biz ko'rmaydigan birlikka, chunki 1 koeffitsientini yozmaslik odatiy holdir. Bu shuni anglatadiki, tenglama aslida quyidagicha ko'rinadi:
Biz ko'paytirishning komponentlari bilan shug'ullanamiz. Topmoq X, mahsulotni -5 ni ma'lum omil -1 ga bo'lishingiz kerak.
yoki tenglamaning ikkala tomonini -1 ga bo'ling, bu esa undan ham osonroq
Demak, tenglamaning ildizi 5 ga teng. Tekshirish uchun biz uni asl tenglamaga almashtiramiz. Asl tenglamada o'zgaruvchining oldida minus borligini unutmang x ko'rinmas birlikka ishora qiladi
To'g'ri raqamli tenglik chiqdi. Shunday qilib, tenglama to'g'ri.
Endi tenglamaning ikkala tomonini minus birga ko'paytirishga harakat qilaylik:
Qavslar ochilgandan so'ng, chap tomonda ifoda hosil bo'ladi, o'ng tomoni esa 10 ga teng bo'ladi.
Bu tenglamaning ildizi, xuddi tenglama kabi, 5 ga teng
Shunday qilib, tenglamalar ekvivalentdir.
2-misol. tenglamani yeching
Ushbu tenglamada barcha komponentlar manfiydir. Salbiy qismlarga qaraganda ijobiy komponentlar bilan ishlash qulayroq, shuning uchun tenglamaga kiritilgan barcha komponentlarning belgilarini o'zgartiraylik. Buning uchun bu tenglamaning ikkala tomonini -1 ga ko'paytiramiz.
Ko'rinib turibdiki, -1 ga ko'paytirilgandan so'ng, har qanday son o'z belgisini teskarisiga o'zgartiradi. Shuning uchun -1 ga ko'paytirish va qavslarni ochish protsedurasining o'zi batafsil tavsiflanmagan, lekin qarama-qarshi belgilarga ega bo'lgan tenglamaning tarkibiy qismlari darhol yoziladi.
Shunday qilib, tenglamani -1 ga ko'paytirishni quyidagicha batafsil yozish mumkin:
yoki faqat barcha komponentlarning belgilarini o'zgartirishingiz mumkin:
Xuddi shunday bo'ladi, lekin farq shundaki, biz o'z vaqtimizni tejaymiz.
Shunday qilib, tenglamaning ikkala tomonini -1 ga ko'paytirsak, biz tenglamani olamiz. Keling, bu tenglamani yechamiz. Ikkala qismdan 4 raqamini ayirib, ikkala qismni 3 ga bo'ling
Ildiz topilganda, o'zgaruvchi odatda chap tomonda, uning qiymati esa o'ng tomonda yoziladi, biz buni qildik.
3-misol. tenglamani yeching
Tenglamaning ikkala tomonini -1 ga ko'paytiring. Keyin barcha komponentlar o'z belgilarini qarama-qarshi tomonga o'zgartiradi:
Olingan tenglamaning har ikki tomonidan 2 ni ayiring x va shunga o'xshash shartlarni qo'shing:
Biz tenglamaning ikkala qismiga birlik qo'shamiz va shunga o'xshash shartlarni beramiz: 
Nolga tenglashtirish
Yaqinda bilib oldikki, agar tenglamada atamani belgisini o'zgartirib, bir qismdan ikkinchi qismga o'tkazsak, berilgan tenglamaga ekvivalentni olamiz.
Va agar biz bir qismdan ikkinchisiga bir atama emas, balki barcha shartlarni o'tkazsak nima bo'ladi? To'g'ri, barcha shartlar olingan qismida nol qoladi. Boshqacha aytganda, hech narsa qolmaydi.
Misol tariqasida tenglamani olaylik. Biz odatdagidek bu tenglamani yechamiz - noma'lumlarni o'z ichiga olgan atamalarni bir qismda guruhlaymiz, ikkinchisida esa sonli hadlarni noma'lumlarsiz qoldiramiz. Keyinchalik, ma'lum bir xil o'zgarishlarni amalga oshirib, biz o'zgaruvchining qiymatini topamiz x
Endi bir xil tenglamani uning barcha komponentlarini nolga tenglashtirib yechishga harakat qilaylik. Buning uchun biz barcha shartlarni o'ngdan chapga o'tkazamiz, belgilarni o'zgartiramiz:
Mana chap tomonda o'xshash shartlar:
Keling, ikkala qismga 77 ni qo'shamiz va ikkala qismni 7 ga bo'lamiz
Noma'lumlarni topish qoidalariga muqobil
Shubhasiz, tenglamalarning bir xil o'zgarishlarini bilgan holda, noma'lumlarni topish qoidalarini yodlab bo'lmaydi.
Masalan, tenglamada noma'lumni topish uchun biz 10 ko'paytmani ma'lum koeffitsient 2 ga bo'ldik
Ammo tenglamada ikkala qism ham 2 ga bo'linsa, ildiz darhol topiladi. Tenglamaning chap tomonida hisoblagichdagi 2 koeffitsienti va maxrajdagi 2 koeffitsienti 2 ga kamaytiriladi. O'ng tomoni esa 5 ga teng bo'ladi.
Noma'lum atamani ifodalash orqali biz tenglamalarni yechdik:
Ammo siz bugungi kunda biz o'rgangan bir xil o'zgarishlardan foydalanishingiz mumkin. Tenglamada 4-term belgini o'zgartirish orqali o'ng tomonga o'tkazilishi mumkin:
Tenglamaning chap tomonida ikkita ikkilik kamayadi. O'ng tomoni 2 ga teng bo'ladi. Demak .
Yoki tenglamaning har ikki tomonidan 4 ni ayirish mumkin bo‘lsa, quyidagini olasiz:
Shaklning tenglamalari holatida mahsulotni ma'lum koeffitsientga bo'lish qulayroqdir. Keling, ikkala yechimni solishtiramiz:
Birinchi yechim ancha qisqa va toza. Agar siz boshingizda bo'linishni qilsangiz, ikkinchi yechim sezilarli darajada qisqartirilishi mumkin.
Biroq, siz ikkala usulni ham bilishingiz kerak va shundan keyingina sizga eng yoqqanidan foydalaning.
Bir nechta ildizlar mavjud bo'lganda
Tenglama bir nechta ildizga ega bo'lishi mumkin. Masalan, tenglama x(x + 9) = 0 ikkita ildizga ega: 0 va -9 .
Tenglamada x(x + 9) = 0 bunday qiymatni topish kerak edi x buning uchun chap tomon nolga teng bo'ladi. Ushbu tenglamaning chap tomonida ifodalar mavjud x va (x + 9) omillar hisoblanadi. Ko'paytirish qonunlaridan shuni bilamizki, agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa (birinchi koeffitsient yoki ikkinchisi) mahsulot nolga teng.
Ya'ni, tenglamada x(x + 9) = 0 tenglikka erishiladi, agar x nol bo'ladi yoki (x + 9) nolga teng bo'ladi.
x= 0 yoki x + 9 = 0
Bu ikkala ifodani nolga tenglashtirib, tenglamaning ildizlarini topishimiz mumkin x(x + 9) = 0 . Birinchi ildiz, misoldan ko'rinib turibdiki, darhol topildi. Ikkinchi ildizni topish uchun elementar tenglamani yechish kerak x+ 9 = 0. Bu tenglamaning ildizi -9 ekanligini taxmin qilish oson. Tekshirish ildizning to'g'ri ekanligini ko'rsatadi:
−9 + 9 = 0
2-misol. tenglamani yeching
Bu tenglama ikkita ildizga ega: 1 va 2. Tenglamaning chap tomoni ifodalar hosilasi ( x− 1) va ( x− 2) . Va agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng bo'ladi (yoki omil ( x− 1) yoki omil ( x − 2) ).
Keling, topamiz x ostidagi iboralar ( x− 1) yoki ( x− 2) g‘oyib bo‘lmoq:
Biz topilgan qiymatlarni navbat bilan asl tenglamaga almashtiramiz va ushbu qiymatlar bilan chap tomon nolga teng ekanligiga ishonch hosil qilamiz:
Cheksiz ko'p ildizlar mavjud bo'lganda
Tenglama cheksiz ko'p ildizlarga ega bo'lishi mumkin. Ya'ni, bunday tenglamaga istalgan sonni qo'yish orqali biz to'g'ri sonli tenglikni olamiz.
1-misol. tenglamani yeching 
Bu tenglamaning ildizi har qanday sondir. Agar siz tenglamaning chap tomonidagi qavslarni ochsangiz va o'xshash shartlarni keltirsangiz, siz 14 \u003d 14 tengligini olasiz. Bu tenglik har qanday kishi uchun olinadi x
2-misol. tenglamani yeching
Bu tenglamaning ildizi har qanday sondir. Agar siz tenglamaning chap tomonidagi qavslarni ochsangiz, siz tenglikni olasiz 10x + 12 = 10x + 12. Bu tenglik har qanday kishi uchun olinadi x
Ildizlar yo'q bo'lganda
Bundan tashqari, tenglamaning yechimlari umuman yo'q, ya'ni uning ildizlari yo'q. Masalan, tenglamaning ildizlari yo'q, chunki har qanday qiymat uchun x, tenglamaning chap tomoni o'ng tomoniga teng bo'lmaydi. Masalan, keling. Keyin tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi
2-misol. tenglamani yeching
Keling, tenglamaning chap tomonidagi qavslarni kengaytiramiz:
Mana shunga o'xshash atamalar:
Biz chap tomonning o'ng tomoniga teng emasligini ko'ramiz. Va shuning uchun har qanday qiymat uchun bo'ladi y. Masalan, keling y = 3 .
Harf tenglamalari
Tenglama nafaqat o'zgaruvchilari bo'lgan raqamlarni, balki harflarni ham o'z ichiga olishi mumkin.
Masalan, tezlikni topish formulasi so'zma-so'z tenglamadir:
Bu tenglama tananing bir tekis tezlashtirilgan harakatdagi tezligini tavsiflaydi.
Foydali mahorat - bu harf tenglamasiga kiritilgan har qanday komponentni ifodalash qobiliyati. Masalan, tenglamadan masofani aniqlash uchun o'zgaruvchini ifodalash kerak s .
Keling, tenglamaning ikkala tomonini ga ko'paytiramiz t
O'ng tomonda o'zgaruvchilar t tomonidan kamaytiring t
Olingan tenglamada chap va o'ng qismlar almashtiriladi:
Biz ilgari o'rgangan masofani topish formulasini oldik.
Keling, tenglamadan vaqtni aniqlashga harakat qilaylik. Buning uchun siz o'zgaruvchini ifodalashingiz kerak t .
Keling, tenglamaning ikkala tomonini ga ko'paytiramiz t
O'ng tomonda o'zgaruvchilar t tomonidan kamaytiring t va bizda qolgan narsalarni qayta yozing:
Olingan tenglamada v × t = s ikkala qismga bo'ling v
Chapdagi o'zgaruvchilar v tomonidan kamaytiring v va bizda qolgan narsalarni qayta yozing:
Biz ilgari o'rgangan vaqtni aniqlash formulasini oldik.
Faraz qilaylik, poyezd tezligi 50 km/soat
v= 50 km/soat
Va masofa 100 km
s= 100 km
Keyin harfiy tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi
Ushbu tenglamadan siz vaqtni topishingiz mumkin. Buning uchun siz o'zgaruvchini ifodalay bilishingiz kerak t. Noma'lum bo'luvchini topish qoidasidan dividendni qismga bo'lish orqali ishlatishingiz va shu bilan o'zgaruvchining qiymatini aniqlashingiz mumkin. t
yoki bir xil o'zgarishlardan foydalanishingiz mumkin. Avval tenglamaning ikkala tomonini ko'paytiring t
Keyin ikkala qismni 50 ga bo'ling
2-misol x
Tenglamaning har ikki tomonidan ayirish a
Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling b
a + bx = c, keyin biz tayyor yechimga ega bo'lamiz. Unga kerakli qiymatlarni almashtirish kifoya. Harflar o'rnini bosadigan qiymatlar a, b, c chaqirdi parametrlari. Va shakldagi tenglamalar a + bx = c chaqirdi parametrlari bilan tenglama. Parametrlarga qarab, ildiz o'zgaradi.
2+4 tenglamani yeching x= 10. Bu so'zma-so'z tenglamaga o'xshaydi a + bx = c. Bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish o'rniga, biz tayyor echimdan foydalanishimiz mumkin. Keling, ikkala yechimni taqqoslaylik:
Ikkinchi yechim ancha sodda va qisqaroq ekanligini ko'ramiz.
Tayyor yechim uchun siz kichik bir eslatma qilishingiz kerak. Parametr b nolga teng bo'lmasligi kerak (b ≠ 0), chunki nolga bo'lish mumkin emas.
3-misol. Literal tenglama berilgan. Bu tenglamadan ifodalang x
Keling, tenglamaning ikkala qismidagi qavslarni ochamiz
Biz shartlarni uzatishdan foydalanamiz. O'zgaruvchini o'z ichiga olgan parametrlar x, biz tenglamaning chap tomonida guruhlaymiz va bu o'zgaruvchidan ozod bo'lgan parametrlar - o'ngda.
Chap tomonda biz omilni chiqaramiz x
Ikkala qismni ifodaga ajrating a-b
Chap tomonda hisoblagich va maxrajni kamaytirish mumkin a-b. Shunday qilib, o'zgaruvchi nihoyat ifodalanadi x
Endi, agar biz shaklning tenglamasiga duch kelsak a(x − c) = b(x + d), keyin biz tayyor yechimga ega bo'lamiz. Unga kerakli qiymatlarni almashtirish kifoya.
Aytaylik, bizga tenglama berilgan 4(x - 3) = 2(x+ 4) . Bu tenglamaga o'xshaydi a(x − c) = b(x + d). Biz uni ikki yo'l bilan hal qilamiz: bir xil o'zgarishlardan foydalanish va tayyor echimdan foydalanish:
Qulaylik uchun biz tenglamadan chiqaramiz 4(x - 3) = 2(x+ 4) parametr qiymatlari a, b, c, d . Bu bizga almashtirishda xato qilmaslik imkonini beradi:
Oldingi misoldagidek, bu erda maxraj nolga teng bo'lmasligi kerak ( a - b ≠ 0) . Shaklning tenglamasiga duch kelsak a(x − c) = b(x + d) qaysi parametrlar a va b bir xil bo'lsa, biz buni yechmasdan aytishimiz mumkinki, bu tenglamaning ildizlari yo'q, chunki bir xil sonlarning farqi nolga teng.
Masalan, tenglama 2(x − 3) = 2(x + 4) shakldagi tenglamadir a(x − c) = b(x + d). Tenglamada 2(x − 3) = 2(x + 4) variantlari a va b xuddi shu. Agar biz uni hal qilishni boshlasak, chap tomon o'ng tomonga teng bo'lmaydi degan xulosaga kelamiz:
4-misol. Literal tenglama berilgan. Bu tenglamadan ifodalang x
Biz tenglamaning chap tomonini umumiy maxrajga keltiramiz:
Ikkala tomonni ko'paytiring a
Chap tomonda x uni qavslardan chiqarib oling
Ikkala qismni (1 -.) ifoda bilan ajratamiz a)
Bitta noma'lum chiziqli tenglamalar
Ushbu darsda ko'rib chiqilgan tenglamalar deyiladi bitta noma'lumli birinchi darajali chiziqli tenglamalar.
Agar tenglama birinchi darajali berilgan bo'lsa, noma'lumga bo'linmasa, shuningdek, noma'lumdan ildizlar bo'lmasa, uni chiziqli deb atash mumkin. Biz hali daraja va ildizlarni o'rganmaganmiz, shuning uchun hayotimizni murakkablashtirmaslik uchun "chiziqli" so'zini "oddiy" deb tushunamiz.
Ushbu darsda echilgan tenglamalarning aksariyati mahsulot ma'lum omilga bo'linishi kerak bo'lgan eng oddiy tenglamaga keltirildi. Masalan, tenglama 2( x+ 3) = 16 . Keling, buni hal qilaylik.
Tenglamaning chap tomonidagi qavslarni ochamiz, biz 2 ni olamiz x+ 6 = 16. Belgini o'zgartirib, 6 hadni o'ng tomonga o'tkazamiz. Keyin biz 2 ni olamiz x= 16 - 6. O'ng tomonni hisoblang, biz 2 ni olamiz x= 10. Topmoq x, mahsulot 10 ni ma'lum koeffitsient 2 ga bo'lamiz. Demak x = 5.
Tenglama 2( x+ 3) = 16 chiziqli. 2 tenglamaga tushirildi x= 10 , uning ildizini topish uchun mahsulotni ma'lum koeffitsientga bo'lish kerak edi. Ushbu oddiy tenglama deyiladi kanonik shaklda bitta noma'lum bo'lgan birinchi darajali chiziqli tenglama. “Kanonik” so‘zi “oddiy” yoki “normal” so‘zlari bilan sinonimdir.
Kanonik ko'rinishdagi noma'lum birinchi darajali chiziqli tenglama shakl tenglamasi deyiladi. ax = b.
Bizning tenglama 2 x= 10 - kanonik shaklda bitta noma'lum bo'lgan birinchi darajali chiziqli tenglama. Bu tenglama birinchi darajaga ega, bitta noma'lum, u noma'lumga bo'linmaydi va noma'lumdan ildizlarni o'z ichiga olmaydi va u kanonik shaklda, ya'ni eng oddiy shaklda taqdim etiladi, bunda uni aniqlash oson. qiymat x. Parametrlar o'rniga a va b Bizning tenglamamiz 2 va 10 raqamlarini o'z ichiga oladi. Ammo shunga o'xshash tenglama boshqa raqamlarni o'z ichiga olishi mumkin: musbat, manfiy yoki nolga teng.
Agar chiziqli tenglamada bo'lsa a= 0 va b= 0 bo'lsa, tenglama cheksiz ko'p ildizlarga ega. Haqiqatan ham, agar a nolga teng va b nolga teng, keyin chiziqli tenglama bolta= b 0 shaklini oladi x= 0. Har qanday qiymat uchun x chap tomoni o'ng tomonga teng bo'ladi.
Agar chiziqli tenglamada bo'lsa a= 0 va b≠ 0 bo'lsa, tenglamaning ildizlari yo'q. Haqiqatan ham, agar a nolga teng va b nolga teng bo'lmagan ba'zi bir songa teng, 5 raqamini ayting, keyin tenglama ax=b 0 shaklini oladi x= 5. Chap tomoni nol, o'ng tomoni esa besh bo'ladi. Va nol beshga teng emas.
Agar chiziqli tenglamada bo'lsa a≠ 0 , va b har qanday songa teng bo'lsa, tenglama bitta ildizga ega bo'ladi. Parametrni bo'lish yo'li bilan aniqlanadi b har bir parametr uchun a
Haqiqatan ham, agar a nolga teng bo'lmagan ba'zi sonlarga teng, deylik 3 raqami va b ba'zi songa teng bo'lsa, 6 raqamini ayting, keyin tenglama shaklni oladi.
Bu yerdan.
Bir noma'lumli birinchi darajali chiziqli tenglamani yozishning yana bir shakli mavjud. Bu shunday ko'rinadi: bolta - b= 0. Bu tenglama bilan bir xil ax=b
Dars sizga yoqdimi?
Bizning yangi Vkontakte guruhimizga qo'shiling va yangi darslar haqida bildirishnomalarni olishni boshlang