Sankt-Peterburgdagi 149-sonli GBOU o'rta maktabi

Dars xulosasi

Novikova Olga Nikolaevna

2016 yil

Mavzu: “Ko‘rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar tizimi”.

Dars maqsadlari:

tarbiyaviy:

Tenglamalar va tengsizliklar tizimidagi ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklarni echish bo'yicha bilimlarni umumlashtirish va mustahkamlash.

rivojlanmoqda: faollashtirish kognitiv faoliyat; o'z-o'zini nazorat qilish va o'z-o'zini baholash, o'z faoliyatini o'z-o'zini tahlil qilish ko'nikmalarini rivojlantirish.

tarbiyaviy: mustaqil ishlash ko'nikmalarini shakllantirish; qarorlar qabul qilish va xulosalar chiqarish; o'z-o'zini tarbiyalash va o'z-o'zini takomillashtirishga intilishni tarbiyalash.

Dars turi : birlashtirilgan.

Dars turi: amaliy dars.

Darslar davomida

I. Tashkiliy vaqt(1 daqiqa)

Sinf maqsadini shakllantirish: tenglamalar va tengsizliklar tizimidagi ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklarni echish bo'yicha bilimlarni umumlashtirish va mustahkamlash. ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatlariga asoslanadi.

II. Og'zaki ish (1 daqiqa)

Ko'rsatkichli tenglamaning ta'rifi.
Ko'rsatkichli tenglamalarni yechish usullari.
Ko'rsatkichli tengsizliklarni yechish algoritmi.

III . Imtihon Uy ishi(3 daqiqa)

Talabalar o'z joylarida. O'qituvchi javoblarni tekshiradi va ko'rgazmali tenglamalar va tengsizliklarni qanday yechish kerakligini so'raydi. №228-231 (toq)

IV. Asosiy bilimlarni yangilash. "Aqliy hujum": (3 daqiqa)

Savollar talabalar stolida "Ko'rsatkichlar, tenglamalar, tengsizliklar" bosilgan varaqlar ko'rsatiladi va talabalarga joyidan og'zaki javob berish uchun taklif etiladi.

1. Qanday funktsiya ko'rsatkichli deb ataladi?

2. Funksiyaning amal qilish doirasi nimadan iborat y= 0,5x?

3. Ko‘rsatkichli funksiyaning aniqlanish sohasi nima?

4. Funksiyaning amal qilish doirasi nimadan iborat y= 0,5x?

5. Funksiya qanday xossalarga ega bo‘lishi mumkin?

6. Ko‘rsatkich funksiya qanday sharoitda ortib boradi?

7. Ko‘rsatkichli funksiya qanday sharoitda kamayib boradi?

8. Ko'rsatkichning ortishi yoki kamayishi

9. Qanday tenglama ko‘rsatkichli tenglama deyiladi?

Amaliy malakalarning shakllanish darajasi diagnostikasi.

10-topshiriq yechimini daftarlarga yozing. (7 daqiqa)

10. O'suvchi va kamayuvchi ko'rsatkichli funksiyaning xossalarini bilib, tengsizliklarni yeching

2 3 < 2 X ;
; 3 X < 81 ; 3 X < 3 4

11 . Tenglamani yeching: 3 x = 1

12 . 7,8 0 ni hisoblang; 9,8 0

13 . Eksponensial tenglamalarni yechish usulini belgilang va uni yechish:

Tugatgandan so'ng, juftliklar barglarni o'zgartiradilar. Men bir-birimni qadrlayman. Doskadagi mezonlar. Fayldagi varaqlardagi yozuvlarni tekshirish.

Shunday qilib, ko'rsatkichli funktsiyaning xossalarini, ko'rsatkichli tenglamalarni yechish usullarini takrorladik.

O`qituvchi tanlab 2-3 o`quvchining ishini oladi va baholaydi.

Yechimlar bo'yicha seminar tizimlari eksponensial tenglamalar va tengsizliklar: (23 daqiqa)

Ko‘rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar sistemalarining ko‘rsatkichli funksiya xossalariga asoslangan yechimini ko‘rib chiqing.

Ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar tizimlarini echishda algebraik tenglamalar va tengsizliklar tizimlarini echishda bir xil usullar qo'llaniladi (almashtirish usuli, qo'shish usuli, yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli). Ko'pgina hollarda, u yoki bu yechim usulini qo'llashdan oldin, tizimning har bir tenglamasini (tengsizligini) eng oddiy shaklga o'tkazish kerak.

Misollar.

1.

Yechim:

Javob: (-7; 3); (1; -1).

2.

Yechim:

2-ni belgilang X= u, 3 y= v. Keyin tizim quyidagicha yoziladi:

Ushbu tizimni almashtirish usuli yordamida hal qilaylik:

Tenglama 2 X= -2 hech qanday yechimga ega emas, chunki -2<0, а 2 X> 0.

b)

Javob: (2;1).

№244(1)

Javob: 1,5; 2

Xulosa qilish. Reflektsiya. (5 daqiqa)

Darsning qisqacha mazmuni: Bugun biz ko‘rsatkichli funksiya xossalari asosida tizimlardagi ko‘rsatkichli tenglamalar va tengsizliklarni yechish usullari haqidagi bilimlarni takrorladik va umumlashtirdik.

Bolalarga o'z navbatida quyidagi iboralardan iborani tanlash va davom ettirish taklif etiladi.

Ko'zgu:

bugun bilib oldim...

qiyin edi...

Men buni tushunaman…

Men o'rgandim ...

Imkonim bor edi)…

Buni bilish qiziq edi...

meni hayratda qoldirdi...

Men xohlardim…

Uy vazifasi. (2 daqiqa)

240-242-son (toq) 86-bet

Ushbu darsda biz murakkabroq ko'rsatkichli tenglamalarning echimini ko'rib chiqamiz, eksponensial funktsiyaga oid asosiy nazariy qoidalarni eslaymiz.

1. Ko‘rsatkichli funksiyaning ta’rifi va xossalari, eng oddiy ko‘rsatkichli tenglamalarni yechish texnikasi.

Ko'rsatkichli funktsiyaning ta'rifi va asosiy xususiyatlarini eslang. Barcha ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklarning yechimi aynan xossalarga asoslanadi.

Eksponensial funktsiya shaklning funksiyasi , bu yerda asos daraja va Bu yerda x mustaqil o'zgaruvchi, argument; y - bog'liq o'zgaruvchi, funktsiya.

Guruch. 1. Ko‘rsatkichli funksiyaning grafigi

Grafik ortib borayotgan va kamayuvchi ko'rsatkichni ko'rsatadi, ko'rsatkich funksiyasini mos ravishda birdan katta va birdan kichik, lekin noldan katta bo'lgan asosda tasvirlaydi.

Ikkala egri chiziq (0;1) nuqtadan o'tadi.

Ko'rsatkichli funktsiyaning xossalari:

Domen: ;

Qiymatlar diapazoni: ;

Funktsiya monotonik, kabi ortadi, kabi kamayadi.

Monotonik funktsiya o'zining har bir qiymatini argumentning bitta qiymati bilan oladi.

Argument minusdan plyus cheksizgacha oshganda, funktsiya noldan, jumladan, ortiqcha cheksizlikka oshadi. Aksincha, argument minusdan plyus cheksizgacha oshganda, funktsiya cheksizlikdan nolga, jumladan, kamayadi.

2. Tipik ko‘rsatkichli tenglamalarni yechish

Eng oddiy ko'rsatkichli tenglamalarni qanday yechish kerakligini eslang. Ularning yechimi eksponensial funksiyaning monotonligiga asoslanadi. Deyarli barcha murakkab ko'rsatkichli tenglamalar bunday tenglamalarga keltiriladi.

Asoslari teng ko‘rsatkichlarning tengligi ko‘rsatkichli funksiyaning xossasi, ya’ni monotonligi bilan bog‘liq.

Yechim usuli:

Darajalar asoslarini tenglashtiring;

Teng ko‘rsatkichlar.

Keling, yanada murakkab ko'rsatkichli tenglamalarga o'taylik, bizning maqsadimiz ularning har birini eng oddiyiga qisqartirishdir.

Keling, chap tomondagi ildizdan xalos bo'laylik va darajalarni bir xil asosga kamaytiramiz:

Murakkab eksponensial tenglamani oddiyga qisqartirish uchun ko'pincha o'zgaruvchilarning o'zgarishi qo'llaniladi.

Keling, daraja xususiyatidan foydalanamiz:

Biz almashtirishni taqdim etamiz. Unda ruxsat bering

Olingan tenglamani ikkiga ko'paytiramiz va barcha shartlarni chap tomonga o'tkazamiz:

Birinchi ildiz y qiymatlari oralig'ini qanoatlantirmaydi, biz uni o'chirib tashlaymiz. Biz olamiz:

Keling, darajalarni bir xil ko'rsatkichga keltiramiz:

Biz almashtirishni taqdim etamiz:

Unda ruxsat bering . Ushbu almashtirish bilan y qat'iy ijobiy qiymatlarni olishi aniq. Biz olamiz:

Biz shunga o'xshash kvadrat tenglamalarni qanday echishni bilamiz, javobni yozamiz:

Ildizlarning to'g'ri topilganligiga ishonch hosil qilish uchun siz Vyeta teoremasi bo'yicha tekshirishingiz mumkin, ya'ni ildizlarning yig'indisini va ularning mahsulotini toping va tenglamaning tegishli koeffitsientlari bilan tekshiring.

Biz olamiz:

3. Ikkinchi darajali bir jinsli ko'rsatkichli tenglamalarni yechish texnikasi

Keling, ko'rsatkichli tenglamalarning quyidagi muhim turini o'rganamiz:

Bu tipdagi tenglamalar f va g funksiyalarga nisbatan ikkinchi darajali bir jinsli tenglamalar deyiladi. Uning chap tomonida g parametrli f ga nisbatan kvadrat trinomial yoki f parametrli g ga nisbatan kvadrat trinomial mavjud.

Yechim usuli:

Bu tenglamani kvadrat shaklida yechish mumkin, ammo buni aksincha qilish osonroq. Ikki holatni ko'rib chiqish kerak:

Birinchi holda, biz olamiz

Ikkinchi holda, biz eng yuqori darajaga bo'lish huquqiga egamiz va biz quyidagilarni olamiz:

O'zgaruvchilarning o'zgarishini kiritishingiz kerak, biz y uchun kvadrat tenglamani olamiz:

E'tibor bering, f va g funktsiyalari ixtiyoriy bo'lishi mumkin, ammo bizni bu ko'rsatkichli funktsiyalar bo'lgan holat qiziqtiradi.

4. Bir jinsli tenglamalarni yechishga misollar

Keling, barcha shartlarni tenglamaning chap tomoniga o'tkazamiz:

Eksponensial funktsiyalar qat'iy ijobiy qiymatlarga ega bo'lganligi sababli, biz quyidagi holatlarni ko'rib chiqmasdan tenglamani darhol ga bo'lish huquqiga egamiz:

Biz olamiz:

Biz almashtirishni taqdim etamiz: (eksponensial funktsiyaning xususiyatlariga ko'ra)

Biz kvadrat tenglamani oldik:

Veta teoremasi bo'yicha biz ildizlarni aniqlaymiz:

Birinchi ildiz y qiymatlari oralig'ini qanoatlantirmaydi, biz uni o'chirib tashlaymiz, biz olamiz:

Keling, darajaning xususiyatlaridan foydalanamiz va barcha darajalarni oddiy asoslarga keltiramiz:

f va g funksiyalarini payqash oson:

Tenglamalar sistemasini yechish usullari

Boshlash uchun, keling, tenglamalar tizimini echishning qanday usullari odatda mavjudligini qisqacha eslaylik.

Mavjud to'rtta asosiy yo'l Tenglamalar sistemalarining yechimlari:

O'zgartirish usuli: bu tenglamalardan istalgan birini olib, $y$ ni $x$ shaklida ifodalang, so'ngra $y$ $x.$ o'zgaruvchisi topilgan tizim tenglamasiga almashtiriladi.Shundan so'ng biz osongina qila olamiz. $y.$ o'zgaruvchisini hisoblang

Qo'shish usuli: bu usulda bir yoki ikkala tenglamani raqamlarga ko'paytirish kerak, shunda ikkalasi ham qo'shilganda, o'zgaruvchilardan biri "yo'qoladi".

Grafik usul: tizimning ikkala tenglamasi tasvirlangan koordinata tekisligi va ularning kesishish nuqtasini toping.

Yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli: bu usulda biz tizimni soddalashtirish uchun ba'zi ifodalarni almashtiramiz va keyin yuqoridagi usullardan birini qo'llaymiz.

Ko'rsatkichli tenglamalar sistemalari

Ta'rif 1

Ko'rsatkichli tenglamalardan tashkil topgan tenglamalar sistemalari ko'rsatkichli tenglamalar tizimi deyiladi.

Ko‘rsatkichli tenglamalar sistemalarining yechimini misollar yordamida ko‘rib chiqamiz.

1-misol

Tenglamalar sistemasini yeching

1-rasm.

Yechim.

Ushbu tizimni hal qilish uchun birinchi usuldan foydalanamiz. Birinchidan, birinchi tenglamada $y$ ni $x$ shaklida ifodalaymiz.

2-rasm.

$y$ ni ikkinchi tenglamaga almashtiring:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Javob: $(-4,6)$.

2-misol

Tenglamalar sistemasini yeching

3-rasm

Yechim.

Ushbu tizim tizimga teng

4-rasm

Tenglamalarni yechish uchun to'rtinchi usulni qo'llaymiz. $2^x=u\ (u >0)$ va $3^y=v\ (v >0)$ boʻlsin, biz quyidagilarni olamiz:

5-rasm

Olingan tizimni qo'shish usuli bilan hal qilamiz. Keling, tenglamalarni qo'shamiz:

\ \

Keyin ikkinchi tenglamadan biz buni olamiz

O'zgartirishga qaytib, men yangi eksponensial tenglamalar tizimini oldim:

6-rasm

Biz olamiz:

7-rasm

Javob: $(0,1)$.

Ko'rsatkichli tengsizliklar sistemalari

Ta'rif 2

Ko'rsatkichli tenglamalardan tashkil topgan tengsizliklar sistemalari ko'rsatkichli tengsizliklar tizimi deyiladi.

Ko‘rsatkichli tengsizliklar sistemalarining yechimini misollar yordamida ko‘rib chiqamiz.

3-misol

Tengsizliklar sistemasini yeching

8-rasm

Yechim:

Bu tengsizliklar tizimi sistemaga ekvivalentdir

9-rasm

Birinchi tengsizlikni yechish uchun eksponensial tengsizliklar uchun quyidagi ekvivalentlik teoremasini eslang:

Teorema 1.$a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $ tengsizligi, bu yerda $a >0,a\ne 1$ ikkita tizim toʻplamiga ekvivalentdir.

\}