Завдання фігур на координатній площині рівняннями та нерівностями. Завдання фігур на координатній площині рівняннями та нерівностями Як зобразити множину на координатній площині

Часто доводиться зображати на координатній площині безліч розв'язків нерівності з двома змінними. Рішенням нерівності з двома змінними називають пару значень цих змінних, яка звертає цю нерівність у правильну числову нерівність.

2у+ Зх< 6.

Спочатку збудуємо пряму. Для цього запишемо нерівність у вигляді рівняння 2у+ Зх = 6 і висловимо y.Таким чином, отримаємо: y=(6-3x)/2.

Ця пряма розбиває безліч всіх точок координатної площини на точки, розташовані вище за неї, і точки, розташовані нижче за неї.

Візьмемо з кожної області по контрольній точцінаприклад А (1;1) і В (1; 3)

Координати точки А задовольняють цій нерівності 2у + Зх< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Координати точки В незадовольняють цій нерівності 2∙3 + 3∙1< 6.

Так як ця нерівність може змінити знак на прямий 2у + Зх = 6, то нерівності задовольняє безліч точок тієї області, де розташована точка А. Заштрихуємо цю область.

Таким чином, ми зобразили безліч розв'язків нерівності 2у + Зх< 6.

приклад

Зобразимо безліч розв'язків нерівності х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1> 0 на координатній площині.

Побудуємо спочатку графік рівняння х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 = 0. Виділимо в цьому рівнянні рівняння кола: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 - 4у + 4) = 4, або (х + 1) 2 + (у - 2) 2 = 2 2 .

Це рівняння кола з центром у точці 0 (-1; 2) і радіусом R = 2. Побудуємо це коло.

Так як ця нерівність суворе і точки, що лежать на самому колі, нерівності не задовольняють, то будуємо коло пунктирною лінією.

Легко перевірити, що координати центру Про коло цієї нерівності не задовольняють. Вираз х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 змінює свій знак на побудованому колі. Тоді нерівності задовольняють точки, розташовані поза коло. Ці точки заштриховані.

приклад

Зобразимо на координатній площині безліч розв'язків нерівності

(у - х 2)(у - х - 3)< 0.

Спочатку побудуємо графік рівняння (у - х 2)(у - х - 3) = 0. Їм є парабола у = х 2 і пряма у = х + 3. Побудуємо ці лінії і відзначимо, що зміна знака виразу (у - х 2) (у - х - 3) відбувається тільки на цих лініях. Для точки А (0; 5) визначимо знак цього виразу: (5-3) > 0 (тобто дана нерівність не виконується). Тепер легко відзначити безліч точок, для яких дана нерівність виконана (ці області заштриховані).

Алгоритм розв'язання нерівностей із двома змінними

1. Наведемо нерівність до виду f (х; у)< 0 (f (х; у) >0; f (х; у) ≤ 0; f (х; у) ≥ 0;)

2. Записуємо рівність f(х; у) = 0

3. Розпізнаємо графіки, записані у лівій частині.

4. Будуємо ці графіки. Якщо нерівність сувора (f(х; у))< 0 или f (х; у) >0), то - штрихами, якщо нерівність не сувора (f (х; у) ≤ 0 або f (х; у) ≥ 0), то - суцільною лінією.

5. Визначаємо, наскільки частин графіки розбили координатну площину

6. Вибираємо в одній із цих частин контрольну точку. Визначаємо знак виразу f(х; у)

7. Розставляємо знаки в інших частинах площини з урахуванням чергування (як методом інтервалів)

8. Вибираємо потрібні нам частини відповідно до знаку нерівності, яку ми вирішуємо, та наносимо штрихування

Нехай поставлено рівняння з двома змінними F(x; y). Ви вже познайомилися зі способами розв'язання таких рівнянь аналітично. Безліч рішень таких рівнянь можна уявити і як графіка.

Графіком рівняння F(x; y) називають безліч точок координатної площини xOy, координати яких задовольняють рівняння.

Для побудови графіка рівняння із двома змінними спочатку виражають у рівнянні змінну y через змінну x.

Напевно, ви вже вмієте будувати різноманітні графіки рівнянь із двома змінними: ax + b = c – пряма, yx = k – гіпербола, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – коло, радіус якого дорівнює R, а центр знаходиться у точці O(a; b).

приклад 1.

Побудувати графік рівняння x2 – 9y2 = 0.

Рішення.

Розкладемо на множники ліву частину рівняння.

(x - 3y) (x + 3y) = 0, тобто y = x/3 або y = -x/3.

Відповідь: рисунок 1.

p align="justify"> Особливе місце займає завдання фігур на площині рівняннями, що містять знак абсолютної величини, на яких ми докладно зупинимося. Розглянемо етапи побудови графіків рівнянь виду | y | = f(x) та |y| = | f (x) |.

Перше рівняння рівносильне системі

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) або y = -f(x).

Тобто його графік складається з графіків двох функцій: y = f(x) та y = -f(x), де f(x) ≥ 0.

Для побудови графіка другого рівняння будують графіки двох функцій: y = f(x) та y = -f(x).

приклад 2.

Побудувати графік рівняння | y | = 2+х.

Рішення.

Задане рівняння рівносильне системі

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 або y = -x - 2).

Будуємо безліч точок.

Відповідь: рисунок 2.

приклад 3.

Побудувати графік рівняння | y - x | = 1.

Рішення.

Якщо y ≥ x то y = x + 1, якщо y ≤ x, то y = x – 1.

Відповідь: рисунок 3.

При побудові графіків рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, зручно та раціонально використовувати метод областей, заснований на розбиття координатної площини на частини, у яких кожне підмодульне вираз зберігає свій знак.

приклад 4.

Побудувати графік рівняння x + | x | + y + | y ​​| = 2.

Рішення.

У цьому прикладі знак кожного підмодульного виразу залежить від координатної чверті.

1) У першій координатній чверті x ≥ 0 та y ≥ 0. Після розкриття модуля задане рівняння матиме вигляд:

2x + 2y = 2, а після спрощення x + y = 1.

2) У другій чверті, де х< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) У третій чверті x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) У четвертій чверті, за x ≥ 0, а y< 0 получим, что x = 1.

Графік цього рівняння будуватимемо по чвертях.

Відповідь: рисунок 4.

Приклад 5.

Зобразити безліч точок, які координати задовольняють рівності |x – 1| + | y ​​- 1 | = 1.

Рішення.

Нулі підмодульних виразів x = 1 та y = 1 розбивають координатну площину на чотири області. Розкриємо модулі по областях. Оформимо це у вигляді таблиці.

Область
Знак підмодульного виразу
Отримане рівняння після розкриття модуля
I x ≥ 1 та y ≥ 1 x + y = 3
II x< 1 и y ≥ 1 -x + y = 1
III x< 1 и y < 1 x + y = 1
IV x ≥ 1 та y< 1 x - y = 1

Відповідь: рисунок 5.

На координатній площині фігури можуть задаватися і нерівностями.

Графіком нерівностііз двома змінними називається безліч усіх точок координатної площини, координати яких є рішеннями цієї нерівності.

Розглянемо алгоритм побудови моделі розв'язків нерівності з двома змінними:

  1. Записати рівняння, що відповідає нерівності.
  2. Побудувати графік рівняння із пункту 1.
  3. Вибрати довільну точку в одній із напівплощин. Перевірити, чи задовольняють координати обраної точки даної нерівності.
  4. Зобразити графічно множину всіх розв'язків нерівності.

Розглянемо, перш за все, нерівність ax + bx + c > 0. Рівняння ax + bx + c = 0 задає пряму площину, що розбиває, на дві напівплощини. У кожному їх функція f(x) = ax + bx + c зберігає знак. Для визначення цього знака достатньо взяти будь-яку точку, що належить напівплощині, та обчислити значення функції у цій точці. Якщо знак функції збігається зі знаком нерівності, то ця напівплощина і буде розв'язанням нерівності.

Розглянемо приклади графічного розв'язання нерівностей, що найчастіше зустрічаються, з двома змінними.

1) ax + bx + c ≥ 0. Малюнок 6.

2) |х| ≤ a, a > 0. Малюнок 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Малюнок 8.

4) y ≥ x 2 . Малюнок 9.

5) xy ≤ 1. Малюнок 10.

Якщо у вас виникли питання або ви хочете попрактикуватися зображати на площині моделі безлічі всіх розв'язків нерівностей із двома змінними за допомогою математичного моделювання, ви можете провести безкоштовне 25-хвилинне заняття з онлайн репетиторомпісля того, як зареєструєтесь. Для подальшої роботи з викладачем у вас буде можливість обрати відповідний тарифний план.

Залишились питання? Не знаєте як зобразити фігуру на координатній площині?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Назвемо (х, у)упорядкованої парою, а хі у- Компонентами цієї пари. При цьому вважають, що (х 1 у 1 ) = (х 2 .у 2 ), якщо х 1 = х 2 та у 1 = у 2 .

__________________________________________________________________

Визначення 9. Декартовим твором множин А та В називають множину АВ, елементами якого є всі пари(х,у), такі, що хА, уВ ті. АВ = ((х,у)/хА, уУ).

_____________________________________________________________________________________________

Знайдемо, наприклад, декартове твір множин А = (1,3} і У = (2,4,6).

АУ= {(1, 2);(1, 4);(1, 6);(3, 2);(3, 4);(3, 6)}.

Операцію, за допомогою якої знаходять декартове твір, називають декартовим множенням множин.

Декартове множення множин не володіє ні властивістю комутативності, ні властивістю асоціативності, але пов'язане з операціями об'єднання та віднімання множин дистрибутивними властивостями:

для будь-яких множин А, В, Смають місце рівності:

(Ав)З = (АС)(ВС),

(А\В)З= (АС) \ (ВЗ).

Для наочного уявлення декартового твори числових множин часто використовують прямокутну систему координат.

Нехай Аі В –числові множини. Тоді елементами декартового твору цих множин будуть упорядковані пари чисел. Зобразивши кожну пару чисел крапкою на координатній площині, отримаємо фігуру, яка і буде наочно представляти декартове твір множин Аі Ст.

Зобразимо на координатній площині декартове твір множин Аі В,якщо:

a) A = {2, 6}; B ={1,4}, б) А = (2,6}; У= , в) А =;B =.

У разі а) дані множини кінцеві і можна перерахувати елементи декартового твору.

АВ ={(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)}. Побудуємо осі координат та на осі ОХвідзначимо елементи множини А, а на осі ОУ –елементи множини Ст.Потім зобразимо кожну пару чисел множини АВ точках на координатній площині (рис.7). Отримана фігура з чотирьох точок і наочно представлятиме декартове твір цих множин Аі Ст.

У разі б) перерахувати всі елементи декартового добутку множин неможливо, т.к. безліч У– нескінченне, але можна уявити процес утворення цього декартового твору: у кожній парі перша компонента чи 2 , або 6 , а друга компонента – дійсне число із проміжку .

Усі пари, перша компонента яких є число 2 , а друга пробігає значення від 1 до 4 включно, зображуються точками відрізка ЦД,а пари, перша компонента яких є число 6 , а друга – будь-яке дійсне число з проміжку , – точками відрізка РS (Рис.8). Таким чином, у випадку б) декартове твір множин Аі Уна координатній площині зображується у вигляді відрізка ЦДі РS.

Рис. 7 Мал. 8 Мал. 9

Випадок в) відрізняється від випадку б) тим, що тут нескінченно не лише безліч В,але і безліч А,тому, першою компонентою пар, що належать безлічі АВ,є будь-яке число з проміжку . Точки, що зображують елементи декартового твору множин Аі В,утворюють квадрат ДЕL (Рис. 9). Щоб підкреслити, що елементи декартового твору зображуються точками квадрата, його можна заштрихувати.

Контрольні питання

    Покажіть, що вирішення наступних завдань призводить до утворення декартового твору множин:

а) Запишіть усі дроби, чисельником яких є число з множини А ={3, 4} , а знаменником - число з множини В = (5,6, 7}.

б) Запишіть різні двоцифрові числа, використовуючи числа 1, 2, 3, 4.

    Доведіть, що для будь-яких множин А, В, Ссправедлива рівність (АУ)С = (АС)(ВЗ).Проілюструйте його здійсненність для множин А= {2, 4, 6}, В=(1,3, 5), С = (0, 1).

    Яку фігуру утворюють точки на координатній площині, якщо їх координати є елементами декартового твору множин А= (– 3, 3) та У= R

    Визначте, декартове твір яких множин Аі Узображено малюнку 10.

Рис. 10

Вправи

112. Запишіть усі двоцифрові числа, цифри десятків яких належать множині А= {1, 3, 5} , а цифри одиниць – безлічі У = (2,4,6).

113. Напишіть усі дроби, чисельники яких вибираються з множини А = (3,5, 7}, а знаменник - з множини В={4, 6, 8}.

114. Напишіть усі правильні дроби, чисельники яких вибираються з множини А =(3, 5,7), а знаменник - з множини В = (4, 6,8}.

115. Дані множини Р ={1, 2, 3}, К = (а,b}. Знайдіть всі декартові твори множин РДоі KР.

116. Відомо що АУ= ((1, 2); (3, 2); (1, 4); (3, 4); (1, 6); (3, 6)). Встановіть, з яких елементів складаються множини Аі Ст.

117. Запишіть безліч (Ав)Зі А(ВС)перерахуванням пар , якщо А=(а,b}, B = {3}, C={4, 6}

118. Складіть безліч АВ, ВА,якщо:

a )А = (а,b, С), В = (d},

б) A = { a, b}, B = ,

в) А = (т, п,k), В = А,

г) A = { x, y, z}, B = { k, n}

119. Відомо, що АВ = ((2,3), (2,5), (2,6), (3,3), (3,5), (3,6)).Встановіть, з яких елементів складаються множини Аі У.

120. Знайдіть декартове твір множин А = {5, 9, 4} і У= {7, 8, 6} і виділіть із нього підмножину пар, у яких:

а) перша компонента більша за другу; б) перша компонента дорівнює 5; в) друга компонента дорівнює 7.

121. Перерахуйте елементи, що належать декартовому добутку множини А, Ві З,якщо:

а) А = (2, 3}, В = (7, 8, 9}, З= {1, 0};

б) А = В= З= {2, 3};

в) А= {2, 3}, B = {7, 8, 9}, З =

122. Зобразіть на координатній площині елементи декартового твору множин А і В,якщо:

а) А = (х/х N,2 < х< 4}, У= (х/х N, х< 3};

б) А = (х/х R, 2 < х < 4}, В = {х/х N, х< 3};

в) А= ; У= .

123. Усі елементи декартового твору двох множин Aі Bзображені точками у прямокутній системі координат. Запишіть безліч Aі У(Рис. 11).

Рис. 13

124. Зобразіть на координатній площині елементи декартового твору множин X та Y, якщо:

а) Х = (-1,0, 1,2),Y={2, 3,4};

б) Х = (-1,0, 1,2),Y=;

в) Х = [-1; 2],Y = {2, 3, 4};

г) Х= , Y = ;

д) X = [–3; 2], Y = ;

ж) Х = ]–3;2[, Y= R;

з) Х = (2),Y= R;

і) Х =R, Y = {–3}.

125. Фігури, наведені на рис. 14 є результатом зображення на координатній площині декартового твору множин X і Y. Вкажіть для кожної фігури ці множини.

Рис. 14

126. З'ясуйте, декартове добуток яких двох множин зображується на координатній площині у вигляді напівплощини. Розгляньте всі випадки.

127. Встановіть, декартове добуток яких двох множин зображується на координатній площині у вигляді прямого кута, який утворюється при перетині координатних осей.

128. На координатній площині збудуйте пряму, паралельну осі ОХі проходить через точку Р(–2, 3).

129. На координатній площині збудуйте пряму, паралельну осі ПроYі проходить через точку Р(–2, 3). Встановіть, декартове твір яких двох множин зображується на координатній площині у вигляді цієї прямої.

130. На координатній площині збудуйте смугу, обмежену прямими, що проходять через точки (–2, 0) і (2, 0) та паралельними осі ПроY. Опишіть безліч точок, що належать до цієї смуги.

131. На координатній площині побудуйте прямокутник, вершинами якого є точки А(–3, 5), У(–3, 8), З(7, 5), D (7, 8). Опишіть безліч точок прямокутника.

132. Побудуйте на координатній площині безліч точок, координати яких задовольняють умову:

а) х R, у= 5;

б) х= –3, у R;

в) хR, |у| = 2;

г) | x| = 3, у R;

д) х R, y≥ 4;

е) x R, y 4;

ж) хR, |у| 4;

з) | x| 4, |у| 3 ;

і) |х| ≥1, |у| ≥ 4;

к) |х| ≥ 2, у R.

133. На координатній площині зобразіть елементи декартового твору множини X і Y, якщо:

а) X = R, Y = {3}; б) X = R, Y = [–3; 3]; в) X = .

134. На координатній площині побудуйте фігуру F, якщо

а) F= ((х, у)| х = 2, у R}

б) F= ((х, у) |x R, у = -3);

в) F= ((х, у) | х2, у R};

г) F= ((х, у) | хДо,y≥ – 3};

д) F= ((х, у) | | х | = 2, у R};

е) F=((х,у) |х R, |у| = 3).

135. Побудуйте прямокутник із вершинами у точках (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). Вкажіть характерну властивість точок, що належать цьому прямокутнику.

136. На координатній площині побудуйте прямі, паралельні осі ОХ і через точки (2, 3) і (2, –1). Встановіть, декартове добуток яких двох множин зображується на координатній площині у вигляді смуги, укладеної між побудованими прямими.

137. На координатній площині побудуйте прямі, паралельні осі ОY, що проходять через точки (2, 3) та (–2, 3). Встановіть, декартове добуток яких двох множин зображується на координатній площині у вигляді смуги, укладеної між побудованими прямими.

138. Зобразіть у прямокутній системі координат безліч XY, якщо:

a) X = R; Y ={ yу R, |у| < 3},

б) Х= {x/ x R, |х| > 2}; Y= (у/в R, |у| > 4}.

За темою цього розділу студент повинен вміти:

Задавати безліч різними способами;

Встановлювати відносини між множинами та зображати їх за допомогою діаграм Ейлера-Венна;

Доводити рівність двох множин;

Виконувати операції над множинами та геометрично їх ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера-Венна;

Розбивати безліч на класи за допомогою однієї або декількох властивостей; оцінювати правильність виконаної класифікації