Тема 6 - багаточлени арифметичні. Багаточлени від однієї змінної

МБОУ «Відкрита (змінна) школа №2» міста Смоленська

Самостійні роботи

на тему: «Многочлени»

7 клас

Виконала

вчитель математики

Міщенкова Тетяна Володимирівна

Усна самостійна робота №1 (підготовча)

(Проводиться з метою підготовки учнів до засвоєння нових знань на тему: «Многочлен та його стандартний вид»)

Варіант 1.

а) 1,4а + 1-а 2 – 1,4 + b 2 ;

б) а 3 - 3а +b + 2 ab – x;

в) 2аb + x – 3 ba – x.

Відповідь обґрунтуйте.

a) 2 a – 3 a +7 a;

б) 3х – 1+2х+7;

в) 2х-3у+3x+2 y.

a) 8xx;г) – 2a 2 ba

б) 10nmm;д) 5p 2 * 2p;

у 3aab; e) – 3 p * 1,5 p 3 .

Варіант 2

1. Назвіть такі доданки в таких виразах:

а) 8,3х - 7 - х 2 + 4 + у 2 ;

б)b 4 - 6 a +5 b 2 +2 a – 3 b 4 :

у 3xy + y – 2 xy – y.

Відповідь обґрунтуйте.

2. Наведіть такі члени у виразах:

a) 10 d – 3 d – 19 d ;

б) 5х - 8+4х + 12;

в) 2х - 4у + 7х + 3у.

3. Приведіть одночлени до стандартного вигляду та вкажіть ступінь одночлена:

a) 10aaa;

б) 7mnn;

в) 3 cca;

г) – 5x 2 yx;

д) 8q 2 * 3 q;

е) – 7p * 0>5 q 4 .

Умова самостійної роботи пропонується на екрані або на дошці, але текст до початку самостійної роботи тримається закритим.

Самостійна робота проводиться на початку уроку. Після роботи використовується самоперевірка за допомогою комп'ютера або класної дошки.

Самостійна робота №2

(Проводиться з метою закріплення умінь та навичок учнів приводити багаточлен до стандартного вигляду та визначати ступінь багаточлена)

Варіант 1

1. Наведіть багаточлен до стандартного вигляду:

a) x 2 y + yxy;

б) 3x 2 6y 2 - 5x 2 7y;

об 11a 5 – 8 a 5 +3 a 5 + a 5 ;

г) 1,9x 3 – 2,9 x 3 – x 3 .

a) 3t 2 - 5t 2 - 11t - 3t 2 + 5t +11;

б) x 2 + 5x – 4 – x 3 - 5x 2 + 4x - 13.

4 x 2 - 1 приx = 2.

4. Додаткове завдання.

Замість * запишіть такий член, щоб вийшов багаточлен п'ятого ступеня.

x 4 + 2 x 3 – x 2 + 1 + *

Варіант 2

a) bab + a 2 b;

б) 5x 2 8y 2 + 7x 2 3y;

в 2m 6 + 5 m 6 – 8 m 6 – 11 m 6 ;

г) – 3,1y 2 +2,1 y 2 – y 2. .

2. Наведіть подібні члени та вкажіть ступінь багаточлена:

a) 8b 3 – 3b 3 + 17b - 3b 3 - 8b - 5;

б) 3h 2 +5hc – 7c 2 + 12h 2 - 6hc.

3. Знайти значення багаточлена:

2 x 3 + 4 приx=1.

4. Додаткове завдання.

Замість* запишіть такий член, щоб вийшов багаточлен шостого ступеня.

x 3 – x 2 + x + * .

Варіант 3

1. Наведіть багаточлени до стандартного вигляду:

a) 2aa 2 3b + a8b;

б) 8x3y (–5y) – 7x 2 4y;

в) 20xy + 5 yx – 17 xy;

г) 8ab 2 –3 ab 2 – 7 ab 2. .

2. Наведіть подібні члени та вкажіть ступінь багаточлена:

a) 2x 2 + 7xy + 5x 2 - 11xy + 3y 2 ;

б) 4b 2 + a 2 + 6ab - 11b 2 -7ab 2 .

3. Знайти значення багаточлена:

– 4 y 5 – 3 приy= –1.

4. Додаткове завдання.

Складіть багаточлен третього ступеня, що містить одну змінну.

Усна самостійна робота №3 (підготовча)

(Проводиться з метою підготовки учнів до засвоєння нових знань на тему: «Складання та віднімання багаточленів»)

Варіант 1

a) суму двох виразів 3a+ 1 таa – 4;

б) різниця двох виразів 5x– 2 та 2x + 4.

3. Розкрийте дужки:

a) y – ( y+ z);

б) (x – y) + ( y+ z);

в) (a – b) – ( c – a).

4. Знайти значення виразу:

a) 13,4 + (8 – 13,4);

б) - 1,5 - (4 - 1,5);

в) (a – b) – ( c – a).

Варіант 2

1. Запишіть у вигляді виразу:

a) суму двох виразів 5a– 3 таa + 2;

б) різниця двох виразів 8y– 1 та 7y + 1.

2. Сформулюйте правило розкриття дужок, перед якими стоять знаки "+" або "-".

3. Розкрийтедужки:

a) a – (b+c);

б) (a - b) + (b + a);

в) (x – y) – ( y – z).

4. Знайти значення виразу:

a) 12,8 + (11 – 12,8);

б) - 8,1 - (4 - 8,1);

в) 10,4+3x – ( x+10,4) приx=0,3.

Після роботи використовується самоперевірка за допомогою комп'ютера або класної дошки.

Самостійна робота №4

(Проводиться з метою закріплення умінь і навичок складання та віднімання багаточленів)

Варіант 1

a) 5 x– 15у та 8y – 4 x;

б) 7x 2 – 5 x+3 та 7x 2 – 5 x.

2. Спростіть вираз:

a) (2 a + 5 b) + (8 a – 11 b) – (9 b – 5 a);

* б) (8c 2 + 3 c) + (– 7 c 2 – 11 c + 3) – (–3 c 2 – 4).

3. Додаткове завдання.

Запишіть такий багаточлен, щоб його сума з багаточленом 3х + 1 дорівнювала

9х - 4.

Варіант 2

1. Складіть суму та різницю багаточленів і приведіть до стандартного вигляду:

a) 21y – 7xі8x - 4y;

б) 3a 2 + 7a – 5і3a 2 + 1.

2. Спростіть вираз:

a) (3 b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b - 4) – (– b 2 +19);

* б) (3b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b – 4) – (– b 2 + 19).

3. Додаткове завдання.

Запишіть такий багаточлен, щоб його сума з багаточленом 4х – 5 дорівнювала

9х - 12.

Варіант 3

1. Складіть суму та різницю багаточленів і приведіть до стандартного вигляду:

a) 0,5 x+ 6у та 3x – 6 y;

б) 2y 2 +8 y– 11 та 3y 2 – 6 y + 3.

2. Спростіть вираз:

a) (2 x + 3 y – 5 z) – (6 x –8 y) + (5 x – 8 y);

* б) (a 2 – 3 ab + 2 b 2 ) – (– 2 a 2 – 2 ab – b 2 ).

3. Додаткове завдання.

Запишіть такий багаточлен, щоб його сума з багаточленом 7х + 3 дорівнювалаx 2 + 7 x – 15.

Варіант 4

1. Складіть суму та різницю багаточленів і приведіть до стандартного вигляду:

a) 0,3 x + 2 bта 4x – 2 b;

б) 5y 2 – 3 yта 8y 2 + 2 y – 11.

2. Спростіть вираз:

a) (3x - 5y - 8z) - (2x + 7y) + (5z - 11x);

* б) (2x 2 -xy + y 2 ) – (x 2 - 2xy - y 2 ).

3. Додаткове завдання.

Запишіть такий багаточлен, щоб його сума з багаточленом 2x 2 + x+ 3 і дорівнювала 2 x + 3.

Самостійна робота проводиться наприкінці уроку. Роботу перевіряє вчитель, виявляючи, чи потрібно займатися додатково з цієї теми.

Самостійна робота №5

(Проводиться з метою формування умінь та навичок укладати багаточлен у дужки)

Варіант 1

a , а інший її не містить:

a) ax + ay + x + y;

б) ax 2 + x + a + 1.

Зразок рішення:

m + am + n - an = (m + n) + (am - an).

b

a) bm – bn – m – n;

б) bx + by + x -y.

Зразок рішення:

ab – bc – x – y = (ab – bc) – (x + y).

Варіант 2

1. Подайте багаточлен у вигляді суми двох багаточленів, один з яких містить буквуb , а інший її не містить:

a) bx + by +2x + 2y;

б) bx 2 - x + a - b.

Зразок рішення:

2 m + bm 3 + 3 – b = (2 m+3) + (bm 3 – b).

2. Подайте багаточлен у вигляді різниці двох багаточленів, перший з яких містить літеруa , а інший - ні (перевірте результат, розкривши подумки дужки):

a) ac - ab - c + b;

б) am + an + m - n;

Зразок рішення:

x + ay - y - ax = (ay - ax) - (-x + y) = (ay - ay) - (y-x).

Варіант 3

1. Подайте багаточлен у вигляді суми двох багаточленів, один з яких містить буквуb , а інший її не містить:

a) b 3 - b 2 - b + 3y - 1;

б) – b 2 - a 2 - 2ab + 2.

Зразок рішення:

– 2 b 2 – m 2 – 3 bm + 7 = (–2 b 2 – 3 bm) + (– m 2 + 7) = (–2 b 2 – 3 bm) + (7– m 2 ).

2. Подайте багаточлен у вигляді різниці двох багаточленів, перший з яких містить літеруb , а інший - ні (перевірте результат, розкривши подумки дужки):

a) ab + ac – b – c;

б) 2b + a 2 - b 2 –1;

Зразок рішення:

3 b + m – 1 – 2 b 2 = (3 b – 2 b 2 ) – (1– m).

Варіант 4

(Для сильних учнів, дано без зразка рішення)

1. Подайте багаточлен у вигляді суми двох багаточленів з позитивними коефіцієнтами:

a) ax + by – c – d;

б) 3x -3y +z – a.

2. Подайте вирази якимось способом у вигляді різниці двочлена та тричлена:

a) x 4 - 2x 3 - 3x 2 + 5x - 4;

б) 3a 5 – 4a 3 + 5a 2 -3a +2.

Самостійна робота проводиться наприкінці уроку. Після виконання роботи використовується самоперевірка за ключем та самооцінка роботи. Учні, які самостійно впоралися із завданням, віддають зошити на перевірку вчителю.

C амостійна робота №6

(Проводиться з метою закріплення та застосування знань та умінь множення одночлена на многочлен)

Варіант 1

1. Виконайте множення:

a) 3 b 2 (b –3);

б) 5x (x 4 + x 2 – 1).

2. Спростіть вирази:

a) 4 (x+1) +(x+1);

б) 3a (a – 2) – 5a(a+3).

3. Вирішіть рівняння:

20 +4(2 x–5) =14 x +12.

4. Додаткове завдання.

(m+ n) * * = mk + nk.

Варіант 2

1. Виконайте множення:

a) - 4 x 2 (x 2 –5);

б) -5a (a 2 - 3 a – 4).

2. Спростіть вирази:

a) (a–2) – 2(a–2);

б) 3x (8 y +1) – 8 x(3 y–5).

3. Розв'яжіть рівняння:

3(7 x–1) – 2 =15 x –1.

4. Додаткове завдання.

Який одночлен потрібно вписати замість знака *, щоб виконувалася рівність:

(b+ c – m) * * = ab + ac – am.

Варіант 3

1. Виконайте множення:

a) – 7 x 3 (x 5 +3);

б) 2m 4 (m 5 - m 3 – 1).

2. Спростіть вирази:

a) (x-3) - 3(x-3);

б) 3c (c + d) + 3d (c-d).

3. Розв'яжіть рівняння:

9 x – 6(x – 1) =5(x +2).

4. Додаткове завдання.

Який одночлен потрібно вписати замість знака *, щоб виконувалася рівність:

* * (x 2 – xy) = x 2 y 2 – xy 3 .

Варіант 4

1. Виконайте множення:

a) – 5 x 4 (2 x – x 3 );

б)x 2 (x 5 – x 3 + 2 x);

2. Спростіть вирази:

a) 2 x(x+1) – 4 x(2– x);

б) 5b (3 a – b) – 3 a(5 b+ a).

3. Розв'яжіть рівняння:

-8(11 – 2 x) +40 =3(5 x - 4).

4. Додаткове завдання.

Який одночлен потрібно вписати замість знака *, щоб виконувалася рівність:

(x – 1) * * = x 2 y 2 – xy 2 .

C амостійна робота №7

(Проводиться з метою формування умінь та навичок вирішення рівнянь та завдань)

Варіант 1

Розв'яжіть рівняння:

+ = 6

Рішення:

(+) * 20 = 6*20,

* 20 – ,

5 x – 4(x – 1) =120,

5 x – 4 x + 4=120,

x=120 – 4,

x=116.

Відповідь: 116.

Розв'яжіть рівняння:

+ = 4

2. Розв'яжіть задачу:

На шлях від селища до станції автомобіль витратив на годину менше, ніж велосипедист. Знайдіть відстань від селища до станції, якщо автомобіль проїхав його із середньою швидкістю 60 км/год. А велосипедист 20 км/год.

Варіант 2

1. Використовуючи зразок рішення, виконайте завдання.

Розв'яжіть рівняння:

– = 1

Рішення:

(+) * 8 = 1*8,

* 8 – ,

2 x - (x – 3) =8,

2 x – 4 x + 3=8,

x = 8 – 3,

x=5.

Відповідь: 5.

Розв'яжіть рівняння:

+ = 2

2. Розв'яжіть задачу:

Майстер виготовляє на 8 деталей за годину більше, ніж учень. Учень працював 6 годин, а майстер 8 годин, разом вони виготовили 232 деталі. Скільки деталей за годину виготовив учень?

Вказівки до рішення:

а) заповніть таблицю;

На 8 деталей більше

б) складіть рівняння;

в) розв'яжіть рівняння;

г) зробіть перевірку та запишіть відповідь.

Варіант 3

(Для сильних учнів, дано без зразка)

1. Розв'яжіть рівняння:

– = 2

2. Розв'яжіть задачу:

У їдальню привезли картоплю, упаковану у пакети по 3 кг. Якби він був запакований у пакети по 5 кг, то знадобилося б на 8 пакетів менше. Скільки кілограмів картоплі привезли до їдальні?

Самостійна робота проводиться наприкінці уроку. Після роботи використовується самоперевірка по ключу.

Як домашнє завдання учням пропонується творча самостійна робота:

Придумайте завдання, яке вирішується за допомогою рівняння

30 x = 60(x- 4) і вирішіть її.

Самостійна робота №8

(Проводиться з метою формування умінь та навичок винесення загального множника за дужки)

Варіант 1

а)mx + my; д)x 5 – x 4 ;

б) 5ab – 5 b; е) 4x 3 – 8 x 2 ;

в) - 4mn + n; *ж) 2c 3 + 4c 2 + c;

г) 7ab - 14a 2 ; * з) ax 2 + a 2 .

2. Додаткове завдання.

2 – 2 18 ділиться на 14 років.

Варіант 2

1. Винесіть загальний множник за дужки (перевірте свої дії множенням):

а) 10x + 10y;д) a 4 + a 3 ;

б) 4x + 20y;е) 2x 6 - 4x 3 ;

в) 9 ab + 3b; *ж) y 5 + 3y 6 + 4y 2 ;

г) 5xy 2 + 15y; *з) 5bc 2 + bc.

2. Додаткове завдання.

Доведіть, що значення виразу 8 5 – 2 11 ділиться на 17.

Варіант 3

1. Винесіть загальний множник за дужки (перевірте свої дії множенням):

а) 18ay + 8ax;д) m 6 +m 5 ;

б) 4ab - 16a;е) 5z 4 - 10z 2 ;

в 4mn + 5 n; * ж) 3x 4 – 6 x 3 + 9 x 2 ;

г) 3x 2 y– 9 x; * з)xy 2 +4 xy.

2. Додаткове завдання.

Доведіть, що значення виразу 79 2 + 79 * 11 поділяється на 30.

Варіант 4

1. Винесіть загальний множник за дужки (перевірте свої дії множенням):

а) – 7xy + 7 y; д)y 7 - y 5 ;

б) 8mn + 4 n; е) 16z 5 – 8 z 3 ;

в) – 20a 2 + 4 ax; * ж) 4x 2 – 6 x 3 + 8 x 4 ;

г) 5x 2 y 2 + 10 x; * з)xy +2 xy 2 .

2. Додаткове завдання.

Доведіть, що значення виразу 313 * 299 – 313 2 ділиться на 7.

CАмостійна робота проводиться на початку уроку. Після роботи використовується перевірка по ключу.

Заочна школа 7 клас. Завдання №2.

Методичний посібник №2.

Теми:

    Багаточлени. Сума, різниця та добуток багаточленів;

    Розв'язання рівнянь та завдань;

    Розкладання багаточленів на множники;

    Формули скороченого множення;

    Завдання для самостійного вирішення.

    Багаточлени. Сума, різниця та добуток багаточленів.

Визначення. Багаточленомназивається сума одночленів.

Визначення. Одночлени, з яких складено багаточлен, називають членами багаточлена.

Розмноження одночлена на багаточлен .

    Щоб помножити одночлен на багаточлен, треба помножити цей одночлен на кожен член багаточлена та отримані твори скласти.

Множення багаточлена на багаточлен .

    Щоб помножити багаточлен на багаточлен, треба кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена та отримані твори скласти.

Приклади вирішення завдань:

    Спростіть вираз:

Рішення.

Рішення:

Оскільки, за умовою коефіцієнт при повинен дорівнювати нулю, то

Відповідь: -1.

    Розв'язання рівнянь та завдань.

Визначення . Рівність, що містить змінну, називається рівнянням з однією змінноюабо рівнянням з одним невідомим.

Визначення . Коренем рівняння (рішенням рівняння)називається значення змінної, у якому рівняння перетворюється на правильне рівність.

Вирішити рівняння - значить знайти безліч коренів.

Визначення. Рівняння виду
, де х змінна, a і b - Деякі числа, називають лінійним рівнянням з однією змінною.

Визначення.

Безлічкоренів лінійного рівняння може:


Приклади вирішення завдань:

    Чи є це число 7 коренем рівняння:

Рішення:

Таким чином, х = 7 - корінь рівняння.

Відповідь: так.

    Розв'яжіть рівняння:

Рішення:

Відповідь: -12

Відповідь: -0,4

    Від пристані до міста вирушив човен зі швидкістю 12км/год, а за півгодини у цьому напрямку вирушив пароплав зі швидкістю 20 км/год. Яка відстань від пристані до міста, якщо пароплав прийшов до міста раніше човна на 1,5 год.

Рішення:

Позначимо за х – відстань від пристані до міста.

Швидкість (км/год)

Час (год)

Шлях (км)

Човен

Пароплав

За умовою завдання, човен витратив часу на 2 години більше, ніж пароплав (оскільки пароплав вийшов від пристані на півгодини пізніше і прибув до міста на 1,5 год раніше за човен).

Складемо і розв'яжемо рівняння:

60 км - відстань від пристані до міста.

Відповідь: 60 км.

    Довжину прямокутника зменшили на 4 см і отримали квадрат, площа якого менша за площу прямокутника на 12см².

Рішення:

Знайдіть площу прямокутника.

Довжина

Ширина

Площа

Прямокутник

х(х-4)

Квадрат

(х-4)(х-4)

За умовою завдання площа квадрата менша за площу прямокутника на 12см².

Складемо і розв'яжемо рівняння:

7 см – довжина прямокутника.

(см²) – площа прямокутника.

Відповідь: 21 см².

    Туристи пройшли запланований маршрут за три дні.

Рішення:

У перший день вони пройшли 35% наміченого маршруту, у другий – на 3 км більше, ніж у перший, а в третій – 21 км, що залишилися. Яка довжина маршруту?

Нехай х довжина всього маршруту.

1 день

2 день

3 день

Довжина колії

0,35х+3

Усього довжина колії склала х км.

Таким чином, складемо і розв'яжемо рівняння:

0,35 х +0,35 х +21 = х

0,7 х + 21 = х

0,3 х = 21

70 км. довжина всього маршруту.

    Відповідь: 70 км.

Визначення Розкладання многочленів на множники.

    . Подання многочлена як твори двох чи кількох многочленів називають розкладанням на множники. .

Винесення загального множника за дужки :

    приклад .

Спосіб угруповання

Винесення загального множника за дужки :

    Угруповання потрібно проводити так, щоб у кожній групі виявився загальний множник, крім того, після винесення загального множника за дужки в кожній групі, отримані вирази повинні мати загальний множник.

    Формули скороченого множення.

    Твір різниці двох виразів та його суми дорівнює різниці квадратів цих выражений. рішенняКвадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого і другого виразів, плюс квадрат другого виразу. . 1. Знайдіть залишок під час поділубагаточлена х6 - 4х4 + х3 ... не маєрішень , арішеннями другою служать пари (1; 2) та (2; 1). Відповідь: (1; 2), (2; 1). Завдання для рішеннясамостійного

  • . Вирішіть систему...

    Зразкова навчальна програма з алгебри та початків аналізу для 10 -11 класів (профільний рівень) Пояснювальна записка

    Програма У кожному параграфі дається необхідна кількість Завдання для рішеннязавдань . 1. Знайдіть залишок під час поділуу порядку підвищення їхньої складності. ... алгоритм розкладання за ступенями двочлена;багаточлени за ступенями двочлена;із комплексними коефіцієнтами;

  • із дійсними...

    Елективний курс «Рішення нестандартних завдань. 9 клас» Виконав учитель математики

    Елективний курс за ступенями двочлена;Рівняння рівносильне рівнянню Р(х) = Q(X), де Р(х) і Q(x) – деякі з однією змінною х. Переносячи Q (x) в ліву частину ... = . ВІДПОВІДЬ: х1 = 2, х2 = -3, хз =, х4 = . ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГОРІШЕННЯ

  • . Вирішити наступні рівняння: х4 – 8х...

    Зразкова навчальна програма з алгебри та початків аналізу для 10 -11 класів (профільний рівень) Пояснювальна записка

    Програма факультативу з математики для 8 класу ЗавданняТеорему алгебри, теорему Вієта Завдання . 1. Знайдіть залишок під час поділуквадратного тричлена та У кожному параграфі дається необхідна кількість Завдання для рішеннядовільного ступеня, теорему про раціональні... матеріал. Надається не тільки список

, Але й завдання зробити модель-розгортку. називають вираз, що є добутком чисел, змінних і ступенів з натуральним показником.

Наприклад, кожен із виразів ,
,
є одночленом.

Кажуть, що одночлен має стандартний вигляд якщо він містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, а кожен добуток однакових змінних у ньому представлений ступенем. Числовий множник одночлена, записного у стандартному вигляді, називають коефіцієнтом одночлена . ступенем одночлена називають суму показників ступенів усіх його змінних.

Визначення 3.4. Багаточленом називають суму одночленів. Одночлени, з яких складено багаточлен, називаютьчленами багаточлена .

Подібні доданки – одночлени у багаточлені – називають подібними членами багаточлена .

Визначення 3.5. Багаточлен стандартного виду називають багаточлен, у якому всі доданки записані у стандартному вигляді та наведені подібні члени.Ступенем багаточлена стандартного вигляду називають найбільшу зі ступенів одночленів, що входять до нього.

Наприклад, багаточлен стандартного виду четвертого ступеня.

Дії над одночленами та багаточленами

Суму і різницю багаточленів можна перетворити на багаточлен стандартного виду. При складанні двох многочленів записуються всі члени і наводяться подібні члени. При відніманні знаки всіх членів багаточлена, що віднімається, змінюються на протилежні.

Наприклад:

Члени багаточлена можна розбивати на групи та укладати у дужки. Оскільки це тотожне перетворення, зворотне розкриття дужок, то встановлюється таке правило укладання в дужки: якщо перед дужками ставиться знак «плюс», то всі члени, що укладаються в дужки, записують зі своїми знаками; якщо перед дужками ставиться знак «мінус», всі члени, укладені в дужки, записують із протилежними знаками.

Наприклад,

Правило множення багаточлену на багаточлен: щоб помножити багаточлен на багаточлен, достатньо кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена та отримані твори скласти.

Наприклад,

Визначення 3.6. Багаточленом від однієї змінної ступеня називають вираз виду

де
– будь-які числа, які називають коефіцієнтами багаточлена , причому
,- ціле невід'ємне число.

Якщо
, то коефіцієнт називають старшим коефіцієнтом багаточлена
, одночлен
- Його старшим членом , коефіцієнт – вільним членом .

Якщо замість змінної у багаточлен
підставити дійсне число , то в результаті вийде дійсне число
, яке називають значенням багаточлена
при
.

Визначення 3.7. Число називаютькорінням багаточлена
, якщо
.

Розглянемо поділ багаточлена на багаточлен, де
і - натуральні числа. Поділ можливий, якщо ступінь багаточлена-ділимого
не менше ступеня багаточлена-ділителя
, тобто
.

Розділити багаточлен
на багаточлен
,
, - значить знайти два таких багаточлени
і
, щоб

При цьому багаточлен
ступеня
називають багаточленом-приватним ,
– залишком ,
.

Зауваження 3.2. Якщо дільник
–не нуль-багаточлен, то поділ
на
,
, завжди можна здійснити, а приватне і залишок визначаються однозначно.

Зауваження 3.3. У випадку, коли
при всіх , тобто

кажуть, що багаточлен
націло ділиться(або ділиться)на багаточлен
.

Поділ багаточленів виконується аналогічно поділу багатозначних чисел: спочатку старший член багаточлена-ділимого ділять на старший член багаточлена-ділителя, потім приватне від поділу цих членів, яке буде старшим членом багаточлена-приватного, множать на багаточлен-ділитель і отриманий твір віднімають з багаточлена-ділимого . В результаті одержують багаточлен – перший залишок, який ділять на багаточлен-ділитель аналогічним чином та знаходять другий член багаточлена-приватного. Цей процес продовжують доти, поки вийде нульовий залишок або ступінь багаточлена залишку буде меншим від ступеня багаточлена-ділителя.

При поділі багаточлена на двочлен можна скористатися схемою Горнера.

Схема Горнера

Нехай потрібно розділити багаточлен

на двочлен
. Позначимо приватне від поділу як багаточлен

а залишок – . Значення , коефіцієнти багаточленів
,
та залишок запишемо в наступній формі:

У цій схемі кожен із коефіцієнтів
,
,
, …,виходить із попереднього числа нижнього рядка множенням на число та додаванням до отриманого результату відповідного числа верхнього рядка, що стоїть над шуканим коефіцієнтом. Якщо якийсь ступінь в многочлен відсутня, то відповідний коефіцієнт дорівнює нулю. Визначивши коефіцієнти за наведеною схемою, записуємо приватне

і результат поділу, якщо
,

або ,

якщо
,

Теорема 3.1. Для того щоб нескоротний дріб (

,

)була коренем багаточлена
з цілими коефіцієнтами, необхідно, щоб число було дільником вільного члена , а число - дільником старшого коефіцієнта .

Теорема 3.2. (Теорема Безу ) Залишок від поділу багаточлена
на двочлен
дорівнює значенню многочлена
при
, тобто
.

При розподілі багаточлена
на двочлен
маємо рівність

Воно справедливе, зокрема, при
, тобто
.

Приклад 3.2.Поділити на
.

Рішення.Застосуємо схему Горнера:

Отже,

Приклад 3.3.Поділити на
.

Рішення.Застосуємо схему Горнера:

Отже,

,

Приклад 3.4.Поділити на
.

Рішення.

У результаті отримуємо

приклад 3.5.Розділити
на
.

Рішення.Проведемо поділ багаточленів стовпчиком:

Тоді отримуємо

.

Іноді буває корисним уявлення многочлена як рівного йому твори двох чи кількох многочленов. Таке тотожне перетворення називають розкладанням багаточлена на множники . Розглянемо основні методи такого розкладання.

Винесення загального множника за дужки. Для того, щоб розкласти багаточлен на множники способом винесення загального множника за дужки, необхідно:

1) знайти загальний множник. Для цього, якщо всі коефіцієнти багаточлена – цілі числа, як коефіцієнт загального множника розглядають найбільший за модулем загальний дільник усіх коефіцієнтів багаточлена, а кожну змінну, що входить у всі члени багаточлена, беруть з найбільшим показником, який вона має в даному багаточлені;

2) знайти приватне від розподілу даного многочлена на загальний множник;

3) записати твір загального множника та отриманого приватного.

Угруповання членів. При розкладанні многочлена на множники способом угруповання його члени розбиваються на дві або більше груп з таким розрахунком, щоб кожну з них можна було перетворити на твір, і отримані твори мали б загальний множник. Після цього застосовується спосіб винесення за дужки загального множника новостворених членів.

Застосування формул скороченого множення. У тих випадках, коли багаточлен, що підлягає розкладанню на множники має вигляд правої частини будь-якої формули скороченого множення, його розкладання на множники досягається застосуванням відповідної формули, записаної в іншому порядку.

Нехай

тоді справедливі наступні формули скороченого множення:

Для

:

Якщо непарне (

):

Біном Ньютона:

де
- Число поєднань з по .

Запровадження нових допоміжних членів. Даний спосіб полягає в тому, що багаточлен замінюється іншим багаточленом, тотожно рівним йому, але містить інше число членів, шляхом введення двох протилежних членів або заміни якогось члена тотожно рівною йому сумою подібних одночленів. Заміна проводиться з таким розрахунком, щоб до отриманого багаточлена можна було застосувати спосіб угруповання членів.

Приклад 3.6..

Рішення.Усі члени многочлена містять спільний множник
. Отже.

Відповідь: .

Приклад 3.7.

Рішення.Групуємо окремо члени, що містять коефіцієнт , та члени, що містять . Виносячи за дужки загальні множники груп, отримуємо:

.

Відповідь:
.

Приклад 3.8.Розкласти на множники багаточлен
.

Рішення.Використовуючи відповідну формулу скороченого множення, отримуємо:

Відповідь: .

Приклад 3.9.Розкласти на множники багаточлен
.

Рішення.Використовуючи спосіб угруповання та відповідну формулу скороченого множення, отримуємо:

.

Відповідь: .

Приклад 3.10.Розкласти на множники багаточлен
.

Рішення.Замінимо на
, згрупуємо члени, застосуємо формули скороченого множення:

.

Відповідь:
.

Приклад 3.11.Розкласти на множники багаточлен

Рішення.Так як ,
,
, то

У цій частині Алгебри 7 клас Ви зможете вивчити шкільні уроки на тему «Многочлени. Арифметичні операції над багаточленами.

Навчальні відео уроки з Алгебри 7 клас «Многочлени. Арифметичні операції над багаточленами» викладає вчитель школи Логос ЛВ Тарасов Валентин Олексійович. Також можете вивчити інші теми з алгебри

Ступінь як окремий випадок многочлена

На даному уроці будуть розглянуті основні поняття та визначення, підготовлено основу для вивчення складної та об'ємної теми, а саме: ми пригадаємо теоретичний матеріал, що стосується ступенів – визначення, властивості, теореми, та вирішимо кілька прикладів для закріплення техніки.

Приведення багаточленів до стандартного вигляду. Типові завдання

На даному уроці ми згадаємо основні визначення даної теми та розглянемо деякі типові завдання, а саме приведення багаточлена до стандартного вигляду та обчислення чисельного значення при заданих змінних змінах. Ми вирішимо кілька прикладів, у яких застосовуватиметься приведення до стандартного виду для вирішення різноманітних завдань.

Складання та віднімання багаточленів. Типові завдання

На даному уроці будуть вивчені операції додавання та віднімання багаточленів, сформульовані правила для складання та віднімання. Розглянуто приклади та вирішено деякі типові завдання та рівняння, закріплено навички виконання цих операцій.

Множення багаточлена на одночлен. Типові завдання

На даному уроці буде вивчено операцію множення багаточлена на одночлен, яка є основою вивчення множення багаточленів. Згадаймо розподільчий закон множення та сформулюємо правило множення будь-якого багаточлена на одночлен. Також згадаємо деякі властивості ступенів. Крім того, буде сформульовано типові помилки при виконанні різних прикладів.

Розмноження двочленів. Типові завдання

На цьому уроці ми познайомимося з операцією множення найпростіших багаточленів – двочленів, сформулюємо правило їх множення. Виведемо деякі формули скороченого множення за допомогою цієї операції. Крім того, вирішимо велику кількість прикладів і типових завдань, а саме завдання на спрощення виразу, обчислювальну задачу та рівняння.

Розмноження тричленів. Типові завдання

На даному уроці ми розглянемо операцію множення тричленів, виведемо правило множення тричленів, по суті сформулюємо правило множення багаточленів в цілому. Вирішимо кілька прикладів, що стосуються цієї теми, щоб надалі детальніше перейти до множення багаточленів.

Множення багаточлена на багаточлен

На цьому уроці ми згадаємо все, що вже вивчили про множення многочленів, підіб'ємо певний підсумок і сформулюємо загальне правило. Після цього виконаємо низку прикладів для закріплення техніки множення багаточленів.

Розмноження багаточленів у текстових задачах

На цьому уроці ми згадаємо метод математичного моделювання і вирішуватимемо завдання з його допомогою. Ми навчимося складати багаточлени та висловлювання з ними з умови текстового завдання та вирішувати ці завдання, а отже, застосовувати отримані знання про багаточлени у більш складних видах роботи.

Розмноження багаточленів у задачах з елементами геометрії

На цьому уроці ми навчимося вирішувати текстові завдання з елементами геометрії, застосовуючи метод математичного моделювання. Для цього спочатку згадаємо опорні геометричні факти та етапи розв'язання задач.

Формули скороченого множення. Квадрат суми та квадрат різниці

На цьому уроці ми познайомимося з формулами квадрата суми та квадрата різниці та виведемо їх. Формулу квадрата суми доведемо геометрично. Крім того, вирішимо багато різних прикладів із застосуванням цих формул.

Формули скороченого множення. Різниця квадратів

На цьому уроці ми згадаємо вивчені раніше формули скороченого множення, саме квадрата суми і квадрата різниці. Виведемо формулу різниці квадратів і вирішимо багато різних типових завдань застосування цієї формули. Крім того, вирішимо задачі на комплексне застосування кількох формул.

Формули скороченого множення. Різниця кубів та сума кубів

На цьому уроці ми продовжимо вивчати формули скороченого множення, а саме розглянемо формули різниці та суми кубів. Крім того, ми вирішимо різні типові завдання застосування даних формул.

Спільне застосування формул скороченого множення

Цей відеоурок буде корисним для всіх, хто хоче самостійно пройти тему «Спільне застосування формул скороченого множення». За допомогою цієї відеолекції ви зможете підсумувати, поглибити та систематизувати знання, отримані на минулих уроках. Вчитель навчить вас спільного застосування формул скороченого множення.

Формули скороченого множення у задачах підвищеної складності. Ч.1

На цьому уроці ми застосуємо наші знання про багаточлени та формули скороченого множення для вирішення досить складного геометричного завдання. Це дозволить нам закріпити навички роботи з багаточленами.

Формули скороченого множення у задачах підвищеної складності. Ч.2

На цьому уроці ми розглянемо ускладнені завдання застосування формул скороченого множення, виконаємо багато різних прикладів закріплення техніки.

Геометричне завдання на паралелепіпед із застосуванням формули скороченого множення

На цьому відеоуроці всі охочі зможуть вивчити тему «Геометричне завдання на паралелепіпед із застосуванням формули скороченого множення». У ході цього заняття учні зможуть потренуватися у використанні формули скороченого множення для паралелепіпеда. Зокрема, вчитель дасть геометричне завдання на паралелепіпед, яке необхідно розібрати та вирішити.

Розподіл багаточлена на одночлен

На цьому уроці ми згадаємо правило поділу одночлена на одночлен і сформулюємо основні опорні факти. Додамо деякі теоретичні відомості до відомих і виведемо правило поділу многочлена на одночлен. Після цього виконаємо ряд прикладів різної складності для оволодіння технікою поділу багаточлена на одночлен.

Цілі:узагальнення та закріплення пройденого матеріалу: повторити поняття багаточлена, правило множення багаточлена на багаточлен та закріпити це правило в ході виконання тестової роботи, закріпити навички розв'язання рівнянь та завдань за допомогою рівнянь.

Обладнання:плакат «Хто змолоду робить і думає сам, той і стає потім надійнішим, міцнішим, розумнішим» (В. Шукшин). Кодоскоп, магнітна дошка, кросворд, картки-тести.

План уроку.

1. Організаційний момент.
2. Перевірка домашнього завдання.
3. Усні вправи (розгадування кросворду).
4. Рішення вправ на тему.
5. Тест за темою: «Багаточлени та дії над ними» (4 варіанти).
6. Підсумки уроку.
7. Домашнє завдання.

Хід уроку

I. Організаційний момент

Учні класу діляться групи по 4-5 людина, вибирається старший групи.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Домашнє завдання учні готують на картці будинку. Кожен учень перевіряє свою роботу через кодоскоп. Вчитель пропонує оцінити домашню роботу самому учневі та поставить оцінку у відомості, повідомляючи критерій оцінки: «5» ─ завдання виконане правильно та самостійно; «4» ─ завдання виконане вірно та повністю, але за допомогою батьків чи однокласників; «3» ─ в інших випадках, якщо завдання виконано. Якщо завдання не виконане, можна встановити прочерк.

ІІІ. Усні вправи.

1) Для повторення теоретичних питань учням пропонується кросворд. Кросворд вирішують групою усно, і відповіді дають учні з різних груп. Виставляємо оцінки: «5» – 7 вірних слів, «4» – 5,6 вірних слів, «3» – 4 вірних слова.

Запитання для кросворду: (див. Додаток 1)

  1. Властивість множення, що використовується при множенні одночлена на багаточлен;
  2. спосіб розкладання многочлена на множники;
  3. рівність, правильна при будь-яких значеннях змінної;
  4. вираз, що є сумою одночленів;
  5. доданки, що мають одну і ту ж літерну частину;
  6. значення змінної, у якому рівняння перетворюється на правильне рівність;
  7. числовий множник у одночленів.

2) Виконайте дії:

3. Якщо довжину прямокутника зменшити на 4 см, а ширину його збільшити на 7 см, то вийде квадрат, площа якого буде на 100 см 2 більша за площу прямокутника. Визначити сторону квадрата. (сторона квадрата дорівнює 24 см).

Учні вирішують завдання у групах, обговорюючи, допомагаючи одне одному. Коли групи виконали завдання, здійснюється перевірка на рішення, записані на дошці. Після перевірки виставляються оцінки: за цю роботу учні отримують дві оцінки: самооцінка та оцінка групи. Критерій оцінки: «5» – все вирішив правильно, і допомагав товаришам, «4» – припустився помилок при вирішенні, але виправив їх за допомогою товаришів, «3» – цікавився рішенням і все вирішив за допомогою однокласників.

V. Тестова робота.

I варіант

1. Подайте у стандартному вигляді багаточлен 3а – 5а∙а – 5 + 2а 2 – 5а +3.

3. Знайдіть різницю багаточленів 2х 2 – х + 2 та ─ 3х 2 ─2х + 1.

5. Подайте у вигляді багаточлена вираз: 2 – (3а – 1)(а + 5).

II варіант

1. Подайте у стандартному вигляді багаточлен 5х 2 – 5 + 4х ─ 3х∙х + 2 – 2х.

3. Знайдіть різницю багаточленів 4у 2 – 2у + 3 і - 2у 2 + 3у +2.

5. Розв'яжіть рівняння: ─3х 2 + 5х = 0.

1) х =
3) х = 0 та х = ─

2) х = 0 та х =
4) х = 0

6. Подайте у вигляді твору: 5а 3 – 3а 2 – 10а + 6.

III варіант

1. Знайдіть значення багаточлена ─ 6а 2 – 5аb + b 2 – (─3а 2 – 5аb + b 2) при а = ─ , b=─3.


1)

2. Спростіть вираз: ─8х – (5х – (3х – 7)).

4. Виконайте множення: ─3х∙(─ 2х 2 + х – 3)

6. Подайте у вигляді твору: 3х 3 – 2х 2 – 6х + 4.

1) (х 2 + 2) (3х + 2)
3) (х 2 + 2) (3х - 2)

2) (х 2 - 2) (3х + 2)
4) (х 2 - 2) (3х - 2)

7. Подайте у вигляді твору вираз: а(х – у) ─2b(у – х)

1) (х – у) (а ─ 2b)
3) (х - у) (а + 2b)

2) (у - х) (а ─ 2b)
4) (у - х) (а + 2)

IV варіант

1. Знайдіть значення багаточлена ─ 8а 2 – 2ах – х 2 – (─4а 2 – 2ах – х 2) при а= ─, х= ─ 2 .

2. Спростіть вираз: ─ 5а – (2а – (3а – 5)).

4. Виконайте множення: ─4а ∙ (─5а 2 + 2а – 1).

6. Подайте у вигляді багаточлена: (3х – 2)(─x 2 + х – 4).

1) ─3х 3 + 5х 2 – 10х – 8
3) ─3х 3 + 3х 2 – 14х + 8

2) ─3х 3 + 3х 2 – 12х
4) ─3х 3 + 5х 2 – 14х + 8

7. Подайте у вигляді твору вираз: 2с(b – а) – d(а – b)

1) (а – b) (2с – d)
3) (b – а) (2с – d)

2) (b - а) (2с + d)
4) (а - b) (2с + d)

№ завдання

№ варіанта

VI. Підсумки уроку

Під час уроку кожен учень отримує кілька оцінок. Учень сам оцінює свої знання, порівнюючи їх із знаннями інших. Оцінка групи ефективніша, оскільки ця оцінка обговорюється усіма членами групи. Діти вказують на недоліки та недоліки у роботі членів групи. Усі оцінки заносяться до робочої карти старшим за групою.

Вчитель виставляє підсумкову оцінку, повідомляючи її всьому класу.

VII. Домашнє завдання:

1. Виконайте дії:

а) (а 2 + 3аb-b 2) (2а - b);
б) (х 2 + 2ху - 5у 2) (2х 2 - 3у).

2. Розв'яжіть рівняння:

а) (3х - 1) (2х + 7) - (х + 1) (6х - 5) = 16;
б) (х - 4) (2х2 - 3х + 5) + (х2 - 5х + 4) (1 - 2х) = 20.

3. Якщо одну сторону квадрата зменшити на 1,2 м, а іншу на 1,5 м, то площа одержаного прямокутника буде на 14,4 м 2 менша за площу даного квадрата. Визначити сторону квадрата.