ДБОУ ЗОШ №149 м. Санкт-Петербурга

Конспект уроку

Новікова Ольга Миколаївна

2016р.

Тема: "Система показових рівнянь та нерівностей".

Цілі уроку:

освітні:

узагальнити та закріпити знання про способи розв'язання показових рівнянь та нерівностей, що містяться в системах рівнянь та нерівностей

розвиваючі: активізація пізнавальної діяльності; розвиток навичок самоконтролю та самооцінки, самоаналізу своєї діяльності.

виховні: формування умінь працювати самостійно; приймати рішення та робити висновки; виховання спрямованості до самоосвіти та самовдосконалення.

Тип уроку : комбінований.

Вигляд уроку: урок-практикум.

Хід уроку

I. Організаційний момент(1 хвилина)

Формулювання мети класу: Узагальнити та закріпити знання про способи розв'язання показових рівнянь та нерівностей, що містяться в системах рівнянь та нерівностейз урахуванням властивостей показової функції.

ІІ. Усна робота (1 хвилина)

Визначення показового рівняння.
Способи розв'язання показових рівнянь.
Алгоритм розв'язання показових нерівностей.

III . Перевірка домашнього завдання(3 хв)

Учні у своїх місцях. Вчитель проводить перевірку відповідей та опитування способів розв'язання показових рівнянь та нерівностей. №228-231(непарно)

IV. Актуалізація опорних знань. "Мозковий штурм": (3 хв)

Запитання показано надруковані аркуші на партах учнів «Показові функції, рівняння, нерівності» та пропонуються учням для усних відповідей з місця.

1. Яка функція називається показовою?

2. Яка область визначення функції y= 0,5x?

3. Яка область визначення показової функції?

4. Яка область значення функції y= 0,5x?

5. Якими властивостями може мати функція?

6. За якої умови показова функція зростає?

7. За якої умови показова функція є спадною?

8. Зростає чи зменшується показова функція

9. Яке рівняння називається показовим?

Діагностика рівня формування практичних навиків.

10 завдання записати рішення у зошитах. (7 хв)

10. Знаючи властивості зростаючої та спадної показової функції, розв'яжіть нерівності

2 3 < 2 х ;
; 3 х < 81 ; 3 х < 3 4

11 . Розв'яжіть рівняння: 3 x = 1

12 . Обчислити 7,8 0; 9,8 0

13 . Вказати спосіб розв'язання показових рівнянь та розв'язати його:

Після виконання пари змінюються листочками. Оцінюю один одного. Критерії на дошці. Перевірка записів на аркушах у файлі.

Отже, ми повторили властивості показової функції, методи розв'язання показових рівнянь.

Вчитель вибірково бере та оцінює роботи у 2-3 учнів.

Практикум за рішенням систем показових рівнянь та нерівностей: (23 хв)

Розглянемо розв'язання систем показових рівнянь та нерівностей на основі властивостей показової функції.

При розв'язанні систем показових рівнянь і нерівностей, застосовуються самі прийоми, що у розв'язанні систем алгебраїчних рівнянь і нерівностей (метод підстановки, метод складання, метод запровадження нових змінних). У багатьох випадках, перш ніж застосувати той чи інший метод розв'язання, слід перетворити кожне рівняння (нерівність) системи до більш простого вигляду.

приклади.

1.

Рішення:

Відповідь: (-7; 3); (1; -1).

2.

Рішення:

Позначимо 2 х= u, 3 y= v. Тоді система запишеться так:

Вирішимо цю систему способом підстановки:

Рівняння 2 х= -2 рішень немає, т.к. -2<0, а 2 х> 0.

b)

Відповідь: (2;1).

№244(1)

Відповідь: 1,5; 2

Підведення підсумків. Рефлексія. (5 хв)

Підсумок уроку: Сьогодні ми з вами повторили та узагальнили знання методів розв'язання показових рівнянь та нерівностей, що містяться в системах, на основі властивостей показової функції.

Дітям по черзі пропонується взяти з нижче поданих словосполучень вибрати та продовжити фразу.

Рефлексія:

сьогодні я дізнався(ла)...

було тяжко…

я зрозуміла що…

я навчив(ла)ся…

я змогла)…

було цікаво дізнатися, що…

мене здивувало…

мені захотілось…

Домашнє завдання. (2 хв)

№ 240-242 (непарний) с.86

На цьому уроці ми розглянемо розв'язання складніших показових рівнянь, пригадаємо основні теоретичні положення щодо показової функції.

1. Визначення та властивості показової функції, методика вирішення найпростіших показових рівнянь

Нагадаємо визначення та основні властивості показової функції. Саме на властивостях базується розв'язання всіх показових рівнянь та нерівностей.

Показова функція- це функція виду , де основа ступеня і тут х - незалежна змінна, аргумент; у – залежна змінна, функція.

Рис. 1. Графік показової функції

На графіці показані зростаюча та спадна експоненти, що ілюструють показову функцію при підставі більшої одиниці та меншої одиниці, але більшим за нуль відповідно.

Обидві криві проходять через точку (0; 1)

Властивості показової функції:

Область визначення: ;

Область значень: ;

Функція монотонна, при зростає, при зменшується.

Монотонна функція набуває кожного свого значення при єдиному значенні аргументу.

Коли аргумент зростає від мінус до плюс нескінченності, функція зростає від нуля не включно до плюс нескінченності. При навпаки, коли аргумент зростає від мінус до плюс нескінченності, функція зменшується від нескінченності до нуля не включно.

2. Вирішення типових показових рівнянь

Нагадаємо, як вирішувати найпростіші показові рівняння. Їхнє рішення ґрунтується на монотонності показової функції. До таких рівнянь зводяться практично всі складні показові рівняння.

Рівність показників ступеня за рівних підстав зумовлено властивістю показової функції, саме її монотонністю.

Методика розв'язання:

Зрівняти основи ступенів;

Зрівняти показники ступенів.

Перейдемо до розгляду складніших показових рівнянь, наша мета – звести кожне з них до найпростішого.

Звільнимось від кореня в лівій частині і наведемо ступеня до однакової основи:

Для того, щоб звести складне показове рівняння до найпростіших, часто використовується заміна змінних.

Скористаємося властивістю ступеня:

Вводимо заміну. Нехай тоді

Помножимо отримане рівняння на два і перенесемо всі складові в ліву частину:

Перший корінь не задовольняє проміжку значень, відкидаємо його. Отримуємо:

Наведемо ступеня до однакового показника:

Вводимо заміну:

Нехай тоді . При такій заміні очевидно, що вона набуває строго позитивних значень. Отримуємо:

Вирішувати подібні квадратні рівняння ми вміємо, випишемо відповідь:

Щоб переконатися в правильності знаходження коренів, можна виконати перевірку за теоремою Вієта, тобто знайти суму коренів та їх добуток та звірити з відповідними коефіцієнтами рівняння.

Отримуємо:

3. Методика вирішення однорідних показових рівнянь другого ступеня

Вивчимо наступний важливий тип показових рівнянь:

Рівняння такого типу називають однорідними другого ступеня щодо функцій f та g. У лівій його частині стоїть квадратний тричлен щодо f з параметром g або квадратний тричлен щодо g з параметром f.

Методика розв'язання:

Це рівняння можна вирішувати як квадратне, але легше вчинити по-іншому. Слід розглянути два випадки:

У першому випадку отримуємо

У другому випадку маємо право розділити на старший ступінь та отримуємо:

Слід ввести заміну змінних , отримаємо квадратне рівняння щодо:

Зауважимо, що функції f і g можуть бути будь-якими, але нас цікавить той випадок, коли це показові функції.

4. Приклади розв'язання однорідних рівнянь

Перенесемо всі складові в ліву частину рівняння:

Оскільки показові функції набувають строго позитивних значень, маємо право відразу ділити рівняння на , не розглядаючи випадок, коли :

Отримуємо:

Вводимо заміну: (згідно з властивостями показової функції)

Отримали квадратне рівняння:

Визначаємо коріння за теоремою Вієта:

Перший корінь не задовольняє проміжку значень у, відкидаємо його, отримуємо:

Скористаємося властивостями ступеня та приведемо всі ступеня до простих підстав:

Неважко помітити функції f і g:

Способи розв'язання систем рівнянь

Спочатку коротко згадаємо, які взагалі існують способи розв'язання систем рівнянь.

Існують чотири основні способирозв'язування систем рівнянь:

Спосіб підстановки: береться будь-яке з даних рівнянь і виражається $y$ через $x$, потім $y$ підставляється в рівняння системи, звідки і знаходиться змінна $x.$ Після цього ми легко можемо обчислити змінну $y.$

Спосіб складання: в даному способі необхідно множити одне або обидва рівняння на такі числа, щоб при додаванні разом обох одна зі змінних «зникла».

Графічний спосіб: обидва рівняння системи зображується на координатної площиниі знаходиться точка їхнього перетину.

Спосіб введення нових змінних: у цьому способі ми робимо заміну будь-яких виразів для спрощення системи, а потім застосовуємо один із зазначених способів.

Системи показових рівнянь

Визначення 1

Системи рівнянь, які з показових рівнянь, називаються системою показових рівнянь.

Розв'язання систем показових рівнянь розглядатимемо на прикладах.

Приклад 1

Розв'язати систему рівнянь

Малюнок 1.

Рішення.

Користуватимемося першим способом для вирішення даної системи. Для початку виразимо у першому рівнянні $y$ через $x$.

Малюнок 2.

Підставимо $y$ у друге рівняння:

[-2-x=2]

Відповідь: $(-4,6)$.

Приклад 2

Розв'язати систему рівнянь

Малюнок 3.

Рішення.

Ця система рівносильна системі

Малюнок 4.

Застосуємо четвертий спосіб розв'язання рівнянь. Нехай $2^x=u\ (u >0)$, а $3^y=v\ (v >0)$, отримаємо:

Малюнок 5.

Вирішимо отриману систему шляхом додавання. Складемо рівняння:

\ \

Тоді з другого рівняння отримаємо, що

Повертаючись до заміни, отримав нову систему показових рівнянь:

Малюнок 6.

Отримуємо:

Малюнок 7.

Відповідь: $(0,1)$.

Системи показових нерівностей

Визначення 2

Системи нерівностей, що складаються з показових рівнянь, називаються системою показових нерівностей.

Вирішення систем показових нерівностей будемо розглядати на прикладах.

Приклад 3

Розв'язати систему нерівностей

Малюнок 8.

Рішення:

Ця система нерівностей рівносильна системі

Малюнок 9.

Для вирішення першої нерівності згадаємо наступну теорему рівносильності показових нерівностей:

Теорема 1.Нерівність $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, де $a >0,a\ne 1$ рівносильна сукупності двох систем

\}