Elemanlarının kesik konisinin tanımını formüle edin. Hayal kırıklığı
Konik yüzey belirli bir eğrinin her noktasından ve eğrinin dışındaki bir noktadan geçen tüm düz çizgilerin oluşturduğu yüzeydir (Şekil 32).
Bu eğri denir rehber , dümdüz - şekillendirme , nokta - tepe konik yüzey.
Düz dairesel konik yüzey Belirli bir dairenin her noktasından geçen tüm düz çizgilerin ve dairenin düzlemine dik olan ve merkezinden geçen düz bir çizgi üzerindeki bir noktanın oluşturduğu yüzeydir. Aşağıda bu yüzeyi kısaca adlandıracağız. konik yüzey (Şek. 33).
Koni (düz dairesel koni ) konik bir yüzey ve kılavuz dairenin düzlemine paralel bir düzlemle sınırlanan geometrik bir gövdedir (Şekil 34).
 |
|||
Pirinç. 32 Şek. 33 Şek. 34
Koni, bir dik üçgenin, üçgenin bacaklarından birini içeren bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cisim olarak düşünülebilir.
Bir koniyi çevreleyen daireye denir temel . Konik bir yüzeyin tepe noktasına denir tepe koni Koninin tepe noktası ile tabanının merkezini birleştiren doğru parçasına ne ad verilir? yükseklik koni Konik bir yüzey oluşturan parçalara denir. şekillendirme koni Eksen Bir koninin üst kısmından ve tabanının merkezinden geçen düz bir çizgidir. Eksenel bölüm koninin ekseninden geçen bölüme denir. Yan yüzey geliştirme Yarıçapı koninin generatrisinin uzunluğuna eşit olan ve sektörün yayının uzunluğu koninin tabanının çevresine eşit olan bir koniye sektör denir.
Bir koni için doğru formüller şunlardır:
Nerede R– taban yarıçapı;
H- yükseklik;
ben– generatrix'in uzunluğu;
S tabanı– üs alanı;
S tarafı
S dolu
V– koninin hacmi.
Kesik koni koninin taban ile kesme düzlemi arasında kalan ve koninin tabanına paralel olan kısmına denir (Şekil 35).
 |
Kesik bir koni, dikdörtgen bir yamuğun tabanlara dik olan kenarını içeren bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir gövde olarak düşünülebilir.
Bir koniyi çevreleyen iki daireye onun adı verilir sebepler . Yükseklik kesik koninin tabanları arasındaki mesafedir. Kesik bir koninin konik yüzeyini oluşturan parçalara denir. şekillendirme . Tabanların merkezlerinden geçen doğruya denir eksen kesik koni. Eksenel bölüm kesik koninin ekseninden geçen kesite denir.
Kesik koni için doğru formüller şunlardır:
(8)
Nerede R– alt tabanın yarıçapı;
R– üst tabanın yarıçapı;
H– yükseklik, l – generatriksin uzunluğu;
S tarafı– yan yüzey alanı;
S dolu- toplam yüzey alanı;
V– kesik koninin hacmi.
Örnek 1. Koninin tabana paralel kesiti, yüksekliği üstten sayılarak 1:3 oranında böler. Tabanın yarıçapı ve koninin yüksekliği 9 cm ve 12 cm ise kesik koninin yan yüzey alanını bulun.
Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 36).
Kesik bir koninin yan yüzeyinin alanını hesaplamak için formül (8) kullanıyoruz. Tabanların yarıçaplarını bulalım Yaklaşık 1A Ve Yaklaşık 1V ve şekillendirme AB.
Benzer üçgenleri düşünün SO2B Ve SO 1 A, benzerlik katsayısı, o zaman 
Buradan 
O zamandan beri 
Kesik bir koninin yan yüzey alanı şuna eşittir:
Cevap: .
Örnek 2.Çeyrek yarıçaplı daire konik bir yüzeye katlanır. Tabanın yarıçapını ve koninin yüksekliğini bulun.
Çözüm.Çemberin çeyreği koninin yan yüzeyinin gelişimidir. Haydi belirtelim R– tabanının yarıçapı, H - yükseklik. Yan yüzey alanını aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayalım: . Çeyrek dairenin alanına eşittir: . İki bilinmeyenli bir denklem elde ediyoruz R Ve ben(bir koni oluşturarak). Bu durumda genatrix çeyrek dairenin yarıçapına eşittir R Bu, aşağıdaki denklemi elde ettiğimiz anlamına gelir: Tabanın ve üretecin yarıçapını bilerek koninin yüksekliğini buluruz:
Cevap: 2cm, .
Örnek 3. Dar açısı 45 O, tabanı 3 cm daha küçük ve eğik kenarı eşit olan dikdörtgen bir yamuk, tabanlara dik bir kenar etrafında dönmektedir. Ortaya çıkan dönme gövdesinin hacmini bulun.
Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 37).
Döndürme sonucunda kesik bir koni elde ediyoruz, hacmini bulmak için daha büyük tabanın yarıçapını ve yüksekliğini hesaplıyoruz. Trapezde Ç 1 Ç 2 AB biz yöneteceğiz AC^O 1B. B elimizde: bu, bu üçgenin ikizkenar olduğu anlamına gelir AC.=M.Ö.=3cm.
Cevap:
Örnek 4. Kenarları 13 cm, 37 cm ve 40 cm olan bir üçgen, büyük kenara paralel olan ve ondan 3 cm uzaklıkta bulunan bir dış eksen etrafında dönmektedir (eksen üçgenin düzleminde yer almaktadır). Ortaya çıkan dönme gövdesinin yüzey alanını bulun.
Çözüm
.
Bir çizim yapalım (Şek. 38).
Ortaya çıkan dönüş gövdesinin yüzeyi, iki kesik koninin yan yüzeylerinden ve bir silindirin yan yüzeyinden oluşur. Bu alanları hesaplamak için koninin ve silindirin tabanlarının yarıçaplarını bilmek gerekir ( OLMAK Ve OC), konileri oluşturan ( M.Ö. Ve AC.) ve silindir yüksekliği ( AB). Bilinmeyen tek şey CO. 
bu, üçgenin kenarından dönme eksenine olan mesafedir. Bulacağız DC. Bir taraftaki ABC üçgeninin alanı, AB kenarının yarısı ile ona çekilen yüksekliğin çarpımına eşittir. DCÖte yandan üçgenin tüm kenarlarını bildiğimiz için alanını Heron formülünü kullanarak hesaplıyoruz.
giriiş
Pirinç. 1. Kesilmiş ko-nu-sa şeklindeki hayattan nesneler
Geometride yeni figürlerin nereden geldiğini düşünüyorsunuz? Her şey çok basit: Hayattaki bir kişi benzer nesnelere sahip olur ve sanki onları çağırıyormuş gibi gelir. Sirkteki aslanların oturduğu dolaba, biz hemen yanındayken hasat edilen bir parça havuca, onun bir parçasına, aktif bir yanardağa ve örneğin fo-na-ri'den gelen ışığa bakalım. ka (bkz. Şekil 1).
Kesik koni, elemanları ve eksenel bölümü
Pirinç. 2. Geo-met-ri-che-fi-gu-ry
Tüm bu şekillerin benzer bir şekle sahip olduğunu görüyoruz - hem aşağıdan hem de yukarıdan dairelerle sınırlanmışlar, ancak yukarıya doğru daralıyorlar ( bkz. Şekil 2).
Pirinç. 3. Co-nu-sa'nın üst kısmından
Bir koniye benziyor. Yeterince sessiz değil. Zihinsel olarak bir koni aldığımızı ve keskin bir kılıcın tek bir vuruşuyla üst kısmını ondan çıkardığımızı hayal ediyoruz (bkz. Şekil 3).
Pirinç. 4. Kesik koni
Bu tam olarak bizim şeklimizdir, buna kesik koni denir (bkz. Şekil 4).
Pirinç. 5. Se-che-nie, paralel-os-no-va-niyu ko-nu-sa
Bir koni verilsin. Bir düzlem, bu eş-nu-sa'nın eksenine paralel bir düzlem ve kesişen bir koni oluşturalım (bkz. Şekil 5).
Koniyi iki gövdeye bölecektir: bunlardan biri daha küçük boyutlu bir konidir ve ikincisine kesik koni denir ( bkz. Şekil 6).
Pirinç. 6. Paralel kesitte elde edilen gövdeler
Böylece kesik koni, koninin ana gövdesi ile paralel ana gövdesi arasına bağlanan fakat düz olan bir parçasıdır. Koni durumunda olduğu gibi, kesik koninin de tabanı bir daireye sahip olabilir - bu durumda buna daire denir. Orijinal koni düzse, kesik koniye düz denir. Ko-nu-sa-mi örneğinde olduğu gibi tuşlara bakacağız ancak düz dairesel kesik ko-nu-s sy, eğer özellikle belirtilmemişse dolaylı kesik bir ko-nu-se'den bahsettiğimiz veya temelinde daire yoktur.
Pirinç. 7. Dikdörtgen tuzağın dönüşü
Küresel temamız rotasyon organlarıdır. Kesik koni bir istisna değildir! Bir co-nu-sa elde etmek için dikdörtgen bir üçgen smo-mat-ri-va-li yapıp onu ka-te-ta? etrafında döndürdüğümüzü hatırlayalım. Ortaya çıkan koni eksene paralel bir düzlemle kesilirse, -mo-coal-trape-tion üçgeninden geriye düz bir çizgi kalmayacaktır. Küçük kenar etrafındaki dönüşü bize kesik bir koni verecektir. Açıkça sadece doğrudan dairesel bir birliktelikten bahsettiğimizi bir kez daha belirtelim (bkz. Şekil 7).
Pirinç. 8. Os-no-va-niya kesik-hayır ko-nu-sa
Birkaç hazırlık yapacağım. Yarı-ko-nu-sa ve dairenin temeli, ko-nu-sa dairesinin bölümündeki yarı-cha-yu-shay, on- os-no-va-ni-ya-mi olarak adlandırılıyor kesikli ko-nu-sa (alt ve üst) (bkz. Şekil 8).
Pirinç. 9. Ob-ra-zu-yu-schi kesik ko-nu-sa
Os-but-va-ni-mi kesik-but-go ko-nu-sa arasına bağlanan co-nu-sa'nın ra-zu-yu-shih yarısının kesimlerinden, yaklaşık-ra- diyorlar zu-yu-schi-mi kesik-hayır ko-nu-sa. Tüm eğitimsel sonuçlar eşit olduğundan ve tüm eğitimsel sonuçlar aynı olduğundan eşit olduğundan, ob-ra-zu-yu kesik co-nu-sa eşittir (kesik ve kesik olanı karıştırmayın!). Buradan bölümün ekseninin tra-pezyonunun eşitliği gelir (bkz. Şekil 9).
Kesik co-nu-sa'nın içine alınmış dönme ekseninden, buna kesik eksen ko-nu-sa'nın ekseni adını verirler. Bu yeniden kesilmiş ra-zu-me-et-sya, temellerinin merkezlerini birleştiriyor (bkz. Şekil 10).
Pirinç. 10. Kesik ko-nu-sa'nın ekseni
You-so-ta kesik ko-nu-sa, os-no-vaniya'nın bir noktasından başka bir tabana kadar pro-ve-den olan bir per-pen-di-ku-lyar'dır. Çoğu zaman, sizin kaliteniz nedeniyle onun eksenini kestiniz.
Pirinç. 11. Ose-voe se-che-nie kesik-no-go-ko-nu-sa
Kesik bir eş-nu-sa'nın eksenel bölümü, kendi ekseninden geçen bölümdür. Yamuk şeklindedir, biraz sonra eşitliğini göstereceğiz (bkz. Şekil 11).
Bir kesik koninin yanal ve toplam yüzeylerinin alanları
Pirinç. 12. Tanıtılan sembollerin bulunduğu koni
Kesik ko-nu-sa'nın tepesindeki bo-co-voy'un alanını bulalım. Kesik co-nu-sa'nın tabanlarının yarıçapları ve olsun ve ob-ra-zu-yu eşit olsun (bkz. Şekil 12).
Pirinç. 13.-se-chen-no-th ko-nu-sa'dan ob-ra-zu-yu-shchei'nin tanımı
Üstteki bo-ko-voy'ların alanındaki fark olarak kesik co-nu-sa'nın üstündeki bo-ko-voy alanını bulalım-ama-ste-khod-no-go ko-nu-sa ve from-se-chen-no-go. Bunu yapmak için ko-nu-sa'nın oluşumu yoluyla belirtiyoruz (bkz. Şekil 13).
O zaman is-ko-may.
Pirinç. 14. Benzer üçgenler
Geriye kalan tek şey bunu çözmek.
Po-do-biy tri-corn-ni-kov'dan, evet'e kadar olduğunu not edelim (bkz. Şekil 14).
Bunu yarıçaplar arasındaki farka bölerek ifade etmek mümkün olabilir ama buna ihtiyacımız yok çünkü ifadede tam olarak fi-gu-ri-ru-et pro-iz-ve- de-nie. Bunun yerine ikame ettiğimizde, sonunda şunu elde ederiz: .
Artık tam yüzey alanı için şekil almak zor değil. Bunu yapmak için, tabanların iki dairesinin alanını tam olarak ekleyin: .
Görev
Pirinç. 15. for-da-che'nin illüstrasyonu
Kesik koninin, yüksekliği etrafında dikdörtgen bir tuzak tarafından döndürülmesine izin verin. Yamuğun orta çizgisi eşittir ve büyük tarafı eşittir (bkz. Şekil 15). Kesik ko-nu-sa'nın üst-no-sti'sindeki bo-co-voy alanını bulun.
Çözüm
Formülden şunu biliyoruz 
.
Ko-nu-sa'nın oluşumu yüz roluk büyük bir tra-pe-tion olacaktır, yani Ra-di-u-sy ko-well-sa - tra-pe-tenin temeli budur pe-tion. Onları bulamıyoruz. Ancak buna ihtiyacımız yok: sadece toplamlarına ihtiyacımız var ve bir yamuğun tabanlarının toplamı orta çizgisinin iki katı kadardır, yani eşittir. Daha sonra .
Kesik koniler ve piramitler arasındaki benzerlikler
Co-nu-se hakkında konuştuğumuzda, onunla pi -ra-mi-doy arasında konuştuğumuza dikkat edin - formüller benzerdi. Burada da durum aynıdır, çünkü kesik koni kesik pi-ra-mi-du'ya çok benzer, bu nedenle alan formülleri büyüktür ve tam üst-not-stey kesik ko-nu-sa ve pi-ra-mi -dy (ve yakında hacim formülleri de olacak) analog-mantık-biz.
Görev
Pirinç. 1.-da-che için illüstrasyon
ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa eşittir ve ve ob-ra-zu-yu-shchaya eşittir. Kesik ko-nu-sa'yı ve ekseninin alanını bulun (bkz. Şekil 1).
Bir noktadan (koninin tepesinden) çıkan ve düz bir yüzeyden geçenler.
Bir koninin, sınırlı bir hacme sahip olan ve düz bir yüzeyin tepe noktasını ve noktalarını birleştiren her bir bölümün birleştirilmesiyle elde edilen bir gövdenin parçası olduğu görülür. İkincisi, bu durumda, koninin tabanı ve koninin bu tabana dayandığı söyleniyor.
Koninin tabanı çokgen olduğunda zaten piramit .
|
Dairesel koni- bu, bir daireden (koninin tabanı), bu dairenin düzleminde yer almayan bir noktadan (koninin tepesi ve koninin tepesini koninin noktalarına bağlayan tüm bölümlerden) oluşan bir gövdedir. temel). Koninin tepe noktası ile taban çemberinin noktalarını birleştiren doğru parçalarına denir. koni oluşturma. Koninin yüzeyi bir taban ve bir yan yüzeyden oluşur. |
Yan yüzey alanı doğrudur N-bir koninin içine yazılmış bir karbon piramidi:
S n =½P n l n,
Nerede P n- piramidin tabanının çevresi ve ben n- özlü söz.
Aynı prensibe göre: taban yarıçaplı kesik koninin yan yüzey alanı için R1, R2 ve şekillendirme ben aşağıdaki formülü elde ederiz:
S=(R1 +R2)l.
Eşit taban ve yüksekliğe sahip düz ve eğik dairesel koniler. Bu cisimler aynı hacme sahiptir:
Bir koninin özellikleri.
- Taban alanının bir limiti olması, koninin hacminin de bir limiti olması ve yüksekliğin taban alanı ile çarpımının üçte birine eşit olması anlamına gelir.
Nerede S- üs alanı, H- yükseklik.
Böylece bu tabana oturan ve tabana paralel bir düzlemde tepe noktası bulunan her koninin, yükseklikleri aynı olduğundan eşit hacme sahiptir.
- Hacmi limitli olan her koninin ağırlık merkezi tabandan yüksekliğin dörtte biri kadardır.
- Dik dairesel bir koninin tepe noktasındaki katı açı aşağıdaki formülle ifade edilebilir:
Nerede α - koni açılma açısı.
- Böyle bir koninin yan yüzey alanı, formül:
ve toplam yüzey alanı (yani yan yüzey ve taban alanlarının toplamı), formül:
S=πR(l+R),
Nerede R- tabanın yarıçapı, ben- generatrix'in uzunluğu.
- Dairesel koninin hacmi, formül:
- Kesik bir koni için (sadece düz veya dairesel değil), hacim, formül:
Nerede S1 Ve S2- üst ve alt tabanların alanı,
H Ve H- üst ve alt tabanın düzleminden tepeye kadar olan mesafeler.
- Bir düzlemin dik dairesel bir koniyle kesişimi konik bölümlerden biridir.
Geometri, uzaydaki yapıları ve aralarındaki ilişkileri inceleyen bir matematik dalıdır. Buna karşılık bölümlerden oluşur ve bunlardan biri stereometridir. Uzayda bulunan üç boyutlu şekillerin özelliklerinin incelenmesini içerir: küp, piramit, top, koni, silindir vb.
Koni, Öklid uzayında konik bir yüzey ve jeneratörlerinin uçlarının bulunduğu düzlemle sınırlanan bir cisimdir. Oluşumu, dik bir üçgenin bacaklarından herhangi birinin etrafında dönmesi sırasında meydana gelir, bu nedenle devrim cisimlerine aittir.
Bir koninin bileşenleri
Aşağıdaki koni türleri vardır: eğik (veya eğimli) ve düz. Eğik, ekseni tabanının merkezi ile dik açıyla kesişmeyen bir yapıdır. Bu nedenle böyle bir konideki yükseklik, gövdenin üst kısmından taban düzlemine 90° açıyla indirilen bir parça olduğundan eksenle çakışmaz.
Ekseni tabanına dik olan koniye düz denir. Böyle bir geometrik gövdedeki eksen ve yükseklik, içindeki tepe noktasının taban çapının merkezinin üzerinde yer alması nedeniyle çakışmaktadır.
Koni aşağıdaki unsurlardan oluşur:
- Onun temeli olan daire.
- Yanal yüzey.
- Koninin tepe noktası adı verilen, taban düzleminde olmayan bir noktaya.
- Geometrik bir cismin tabanına ait dairenin noktalarını ve tepe noktasını birleştiren bölümler.
Tüm bu bölümler koninin jeneratörleridir. Geometrik gövdenin tabanına eğimlidirler ve sağ koni durumunda, tepe noktası taban dairesinin noktalarından eşit uzaklıkta olduğundan çıkıntıları eşittir. Böylece, normal (düz) bir konide jeneratörlerin eşit olduğu, yani aynı uzunluğa sahip oldukları ve eksen (veya yükseklik) ve taban ile aynı açıları oluşturdukları sonucuna varabiliriz.
Eğik (veya eğimli) bir dönme gövdesinde tepe noktası taban düzleminin merkezine göre kaydırıldığından, böyle bir gövdedeki jeneratörler farklı uzunluklara ve çıkıntılara sahiptir, çünkü bunların her biri herhangi iki noktadan farklı bir mesafede bulunmaktadır. tabanın çemberi. Ayrıca aralarındaki açılar ve koninin yüksekliği de farklı olacaktır.
Düz bir konideki generatrislerin uzunluğu
Daha önce yazıldığı gibi, dönel bir geometrik cismin yüksekliği taban düzlemine diktir. Böylece tabanın cinsi, yüksekliği ve yarıçapı konide bir dik üçgen oluşturur.
Yani, taban yarıçapını ve yüksekliğini bilerek, Pisagor teoremindeki formülü kullanarak, taban yarıçapı ve yüksekliğinin karelerinin toplamına eşit olacak olan generatrisin uzunluğunu hesaplayabilirsiniz:
l 2 = r 2 + h 2 veya l = √r 2 + h 2
burada l jeneratördür;
r - yarıçap;
h - yükseklik.
Eğimli bir koni içindeki jeneratör
Eğik veya eğimli bir konideki jeneratörlerin aynı uzunluğa sahip olmadığı gerçeğine dayanarak, ek yapılar ve hesaplamalar olmadan bunları hesaplamak mümkün olmayacaktır.
Öncelikle yüksekliği, eksen uzunluğunu ve taban yarıçapını bilmeniz gerekir.
r 1 = √k 2 - h 2
burada r1 yarıçapın eksen ile yükseklik arasındaki kısmıdır;
k - eksen uzunluğu;
h - yükseklik.
Yarıçapın (r) ve eksen ile yükseklik (r 1) arasında kalan kısmının eklenmesi sonucunda, koninin oluşturulan generatrisini, yüksekliğini ve çapın bir kısmını öğrenebilirsiniz:
burada R, yükseklik, jeneratör ve taban çapının bir kısmı tarafından oluşturulan bir üçgenin ayağıdır;
r - tabanın yarıçapı;
r 1 - eksen ile yükseklik arasındaki yarıçapın bir kısmı.
Pisagor teoremindeki aynı formülü kullanarak koninin generatrisinin uzunluğunu bulabilirsiniz:
l = √h2 + R2
veya R'yi ayrı ayrı hesaplamadan iki formülü tek bir formülde birleştirin:
l = √h 2 + (r + r 1) 2.
Koninin düz veya eğik olup olmadığına ve girdi verilerinin ne olduğuna bakılmaksızın, genel çizginin uzunluğunu bulmak için kullanılan tüm yöntemler her zaman tek bir sonuca varır - Pisagor teoreminin kullanımı.
Koni bölümü
Eksenel, ekseni veya yüksekliği boyunca geçen bir düzlemdir. Düz bir konide, böyle bir bölüm, üçgenin yüksekliğinin gövdenin yüksekliği, yanlarının jeneratörler ve tabanın tabanın çapı olduğu bir ikizkenar üçgendir. Eşkenar geometrik bir gövdede eksenel bölüm bir eşkenar üçgendir, çünkü bu konide tabanın ve jeneratörlerin çapı eşittir.
Düz bir koninin eksenel bölümünün düzlemi simetri düzlemidir. Bunun nedeni, üst kısmının tabanının merkezinin üzerinde yer alması, yani eksenel bölümün düzleminin koniyi iki özdeş parçaya bölmesidir.
Eğik hacimsel bir gövdede yükseklik ve eksen çakışmadığı için eksenel kesit düzlemi yüksekliği içermeyebilir. Böyle bir konide çok sayıda eksenel bölüm oluşturulabiliyorsa, bunun için yalnızca bir koşulun karşılanması gerektiğinden - yalnızca eksenden geçmesi gerekir, o zaman bu koninin yüksekliğinin ait olacağı düzlemin eksenel bölümü yalnızca çizilebilir. Bir, çünkü koşulların sayısı artıyor ve bilindiği gibi iki düz çizgi (birlikte) yalnızca bir düzleme ait olabiliyor.
Kesit alanı
Koninin daha önce bahsedilen eksenel bölümü bir üçgendir. Buna dayanarak, alanı bir üçgenin alanı formülü kullanılarak hesaplanabilir:
S = 1/2 * d * sa veya S = 1/2 * 2r * sa
burada S kesit alanıdır;
d - taban çapı;
r - yarıçap;
h - yükseklik.
Eğik veya eğik bir konide eksen boyunca kesit de bir üçgen olduğundan içindeki kesit alanı da benzer şekilde hesaplanır.
Hacim
Koni, üç boyutlu uzayda üç boyutlu bir şekil olduğundan hacmi hesaplanabilir. Bir koninin hacmi, bu cismi hacim biriminde, yani m3 cinsinden karakterize eden bir sayıdır. Bu iki vücut tipinin formülleri farklı olmadığından hesaplama, düz veya eğik (eğik) olmasına bağlı değildir.
Daha önce belirtildiği gibi, sağ koninin oluşumu, dik üçgenin bacaklarından biri boyunca dönmesi nedeniyle meydana gelir. Eğimli veya eğik bir koni, yüksekliği gövde taban düzleminin merkezinden uzağa kaydırıldığı için farklı şekilde oluşturulur. Bununla birlikte, yapıdaki bu tür farklılıklar, hacmini hesaplama yöntemini etkilemez.
Hacim hesaplaması
Herhangi bir koni şuna benzer:
V = 1/3 * π * h * r2
burada V koninin hacmidir;
h - yükseklik;
r - yarıçap;
π 3,14'e eşit bir sabittir.
Bir cismin yüksekliğini hesaplamak için tabanın yarıçapını ve generatrisinin uzunluğunu bilmeniz gerekir. Yarıçap, yükseklik ve üreteç bir dik üçgende birleştirildiğinden, yükseklik Pisagor teoremindeki formül kullanılarak hesaplanabilir (a 2 + b 2 = c 2 veya bizim durumumuzda h 2 + r 2 = l 2, burada l jeneratördür). Yükseklik, hipotenüsün kareleri ile diğer kenarın kareleri arasındaki farkın karekökü alınarak hesaplanacaktır:
a = √c 2 - b 2
Yani, koninin yüksekliği, generatrix uzunluğunun karesi ile taban yarıçapının karesi arasındaki farkın karekökü alındıktan sonra elde edilen değere eşit olacaktır:
h = √l 2 - r 2
Bu yöntemi kullanarak yüksekliği hesaplayarak ve tabanının yarıçapını bilerek koninin hacmini hesaplayabilirsiniz. Jeneratör bu durumda hesaplamalarda yardımcı eleman görevi gördüğünden önemli bir rol oynar.
Benzer şekilde, eğer bir cismin yüksekliği ve cinsinin uzunluğu biliniyorsa, cinsinin karesi ile yüksekliğin karesi arasındaki farkın karekökü alınarak tabanının yarıçapı bulunabilir:
r = √l 2 - h 2
Daha sonra yukarıdaki formülü kullanarak koninin hacmini hesaplayın.
Eğik koninin hacmi
Bir koninin hacminin formülü tüm dönme cisimleri türleri için aynı olduğundan, hesaplamasındaki fark yükseklik arayışıdır.
Eğik bir koninin yüksekliğini bulmak için girdi verilerinin genel çizginin uzunluğunu, tabanın yarıçapını ve tabanın merkezi ile gövde yüksekliğinin düzlemle kesişimi arasındaki mesafeyi içermesi gerekir. onun tabanından. Bunu bilerek, taban çapının bir dik üçgenin tabanı olacak kısmını (yükseklik, genatrix ve taban düzleminden oluşan) kolayca hesaplayabilirsiniz. Daha sonra yine Pisagor teoremini kullanarak koninin yüksekliğini ve ardından hacmini hesaplayın.
Pirinç. 1. Kesik koni şeklindeki hayattan nesneler
Geometride yeni şekillerin nereden geldiğini düşünüyorsunuz? Her şey çok basit: Bir kişi hayatta benzer nesnelerle karşılaşır ve onlara bir isim bulur. Bir sirkte aslanların oturduğu bir standı, sadece bir kısmını kestiğimizde elde edilen bir parça havucu, aktif bir yanardağı ve örneğin bir el fenerinin ışığını düşünün (bkz. Şekil 1).
Pirinç. 2. Geometrik şekiller
Tüm bu şekillerin benzer bir şekle sahip olduğunu görüyoruz - hem alttan hem de üstten dairelerle sınırlandırılmışlar, ancak yukarı doğru sivriliyorlar (bkz. Şekil 2).
Pirinç. 3. Koninin üst kısmının kesilmesi
Bir koniye benziyor. Sadece üst kısmı eksik. Zihinsel olarak bir koni aldığımızı ve keskin bir kılıcın tek bir vuruşuyla üst kısmını kestiğimizi hayal edelim (bkz. Şekil 3).
Pirinç. 4. Kesik koni
Sonuç tam olarak şeklimizdir, buna kesik koni denir (bkz. Şekil 4).
Pirinç. 5. Koninin tabanına paralel kesit
Bir koni verilsin. Bu koninin taban düzlemine paralel ve koniyle kesişen bir düzlem çizelim (bkz. Şekil 5).
Koniyi iki gövdeye bölecektir: bunlardan biri daha küçük bir konidir ve ikincisine kesik koni adı verilmektedir (bkz. Şekil 6).
Pirinç. 6. Paralel kesitli ortaya çıkan gövdeler
Bu nedenle, kesik bir koni, tabanı ile tabana paralel bir düzlem arasında yer alan bir koninin bir parçasıdır. Bir konide olduğu gibi, kesik bir koninin tabanında bir daire olabilir, bu durumda buna dairesel denir. Orijinal koni düzse, kesik koniye düz denir. Konilerde olduğu gibi, dolaylı bir kesik koniden bahsettiğimiz veya tabanlarının daire olmadığı özellikle belirtilmediği sürece, yalnızca düz dairesel kesik konileri ele alacağız.
Pirinç. 7. Dikdörtgen bir yamuğun dönüşü
Küresel konumuz devrim bedenleri. Kesik koni bir istisna değildir! Bir koni elde etmek için dik bir üçgeni göz önüne aldığımızı ve onu bir bacağın etrafında döndürdüğümüzü hatırlayalım. Ortaya çıkan koni tabana paralel bir düzlemle kesişirse, üçgen dikdörtgen bir yamuk olarak kalacaktır. Küçük kenar etrafındaki dönüşü bize kesik bir koni verecektir. Elbette sadece düz dairesel bir koniden bahsettiğimizi tekrar belirtelim (bkz. Şekil 7).
Pirinç. 8. Kesik koninin tabanları
Birkaç yorum yapalım. Tam bir koninin tabanı ve koninin bir kesitinden bir düzlemle elde edilen daireye kesik koninin tabanları (alt ve üst) denir (bkz. Şekil 8).
Pirinç. 9. Kesik koninin jeneratörleri
Kesik bir koninin tabanları arasına alınmış tam bir koninin jeneratörlerinin bölümlerine kesik koninin jeneratörleri denir. Orijinal koninin tüm jeneratörleri eşit olduğundan ve kesme konisinin tüm jeneratörleri eşit olduğundan, kesik koninin jeneratörleri eşittir (kesilmiş ve kesik olanı karıştırmayın!). Bu, yamuğun eksenel bölümünün ikizkenar olduğu anlamına gelir (bkz. Şekil 9).
Kesik bir koninin içindeki dönme ekseninin parçasına kesik koninin ekseni denir. Bu segment elbette tabanlarının merkezlerini birbirine bağlar (bkz. Şekil 10).
Pirinç. 10. Kesik koninin ekseni
Bir kesik koninin yüksekliği, tabanlardan birinin bir noktasından diğer tabana çizilen diktir. Çoğu zaman, kesik koninin yüksekliğinin ekseni olduğu kabul edilir.
Pirinç. 11. Kesik koninin eksenel kesiti
Kesik koninin eksenel kesiti, kendi ekseninden geçen kesittir. Yamuk şeklindedir, biraz sonra ikizkenar olduğunu kanıtlayacağız (bkz. Şekil 11).
Pirinç. 12. Gösterimlerin tanıtıldığı koni
Kesik koninin yan yüzeyinin alanını bulalım. Kesik koninin tabanlarının yarıçapları ve , ve generatrix eşit olsun (bkz. Şekil 12).
Pirinç. 13. Kesme konisinin generatrisinin belirlenmesi
Kesik koninin yan yüzeyinin alanını, orijinal koninin yan yüzeylerinin alanları ile kesilen koninin yan yüzeylerinin alanları arasındaki fark olarak bulalım. Bunu yapmak için kesme konisinin generatrisini gösterelim (bkz. Şekil 13).
O halde aradığınız şey.
Pirinç. 14. Benzer üçgenler
Geriye sadece ifade etmek kalıyor.
Üçgenlerin benzerliğinden buna dikkat edin (bkz. Şekil 14).
Yarıçap farkına bölerek ifade etmek mümkün olabilir ama buna ihtiyacımız yok çünkü aradığımız çarpım aradığımız ifadede görünüyor. yerine koyarsak sonunda şunu elde ederiz: .
Toplam yüzey alanı için formül elde etmek artık çok kolay. Bunu yapmak için tabanların iki dairesinin alanını eklemeniz yeterlidir: .
Pirinç. 15. Problemin gösterimi
Dikdörtgen bir yamuğun yüksekliği etrafında döndürülmesiyle kesik bir koni elde edilsin. Yamuğun orta çizgisi eşittir ve büyük yan tarafı eşittir (bkz. Şekil 15). Ortaya çıkan kesik koninin yan yüzey alanını bulun.
Çözüm
Formülden şunu biliyoruz 
.
Koninin generatrisi orijinal yamuğun daha büyük tarafı olacaktır, yani koninin yarıçapları yamuğun tabanlarıdır. Onları bulamıyoruz. Ancak buna ihtiyacımız yok: sadece toplamlarına ihtiyacımız var ve bir yamuğun tabanlarının toplamı orta çizgisinin iki katı kadardır, yani eşittir. Daha sonra .
Lütfen koni hakkında konuştuğumuzda onunla piramit arasında paralellikler çizdiğimizi unutmayın - formüller benzerdi. Burada da durum aynıdır, çünkü kesik koni kesik piramite çok benzer, dolayısıyla kesik koni ve piramidin yanal ve toplam yüzeylerinin alanlarına ilişkin formüller (ve yakında hacim formülleri de bulunacaktır) benzerdir.
Pirinç. 1. Sorunun gösterimi
Kesik koninin tabanlarının yarıçapları eşittir ve ve generatrix eşittir. Kesik koninin yüksekliğini ve eksenel bölümünün alanını bulun (bkz. Şekil 1).