Desen eğrilerinin yapımı şu şekilde gerçekleştirilir:

Öncelikle eğriye ait noktalar belirlenir ve ardından bir örüntü kullanılarak birleştirilir. Desen eğrileri, bir parabolün, hiperbolün, dairesel bir koninin bir düzlemle kesilmesiyle elde edilen elips, kıvrım, sinüzoid ve diğerlerinin konik bölümlerini içerir.

1. Bir elipsin oluşturulması.

2. Elips odağı

3. Bir parabolün inşası

6. Desen eğrilerinin çizilmesi.

Elips, desen eğrileri olarak adlandırılan konik bir bölümdür. Elips, hiperbol ve parabol, düzlem, sinüzoid, kıvrımlı ve diğer eğrilerle dairesel bir koninin kesilmesiyle elde edilir.

Şekil 41. Bir koninin bir elips (a) ve bir elips (b) boyunca bir düzlemle kesişmesi.

Desen eğrileri (parabol, elips, hiperbol) oluşturmak için eğriye ait noktalar belirlenir ve ardından tüm noktalar bir desen kullanılarak birleştirilir. Dairesel bir koninin yüzeyinin, eğimli düzlemin dairesel koninin tüm yüzeylerini kesecek şekilde eğimli bir düzlem -P ile kesilmesi durumunda, kesit düzleminin kendisinde bir elips oluşur (bkz. Şekil 41). ).

Elips, her bir noktasının (M'nin belirli iki F1 ve F2 noktasına) mesafelerinin toplamının sabit bir değer olduğu düz kapalı bir eğridir. Bu sabit değer elipsin asal eksenine eşittir MF1 + MF2 = AB Elipsin alt ekseni CD ile asal ekseni AB birbirine diktir ve bir eksen diğerini ikiye böler.

Şekil 42. Eksenler boyunca bir elipsin oluşturulması


Böylece eksenler elips eğrisini ikili simetrik dört eşit parçaya böler. CD küçük ekseninin uçlarından, merkezlerden olduğu gibi, R=OA=OB elipsinin ana ekseninin yarısına eşit yarıçaplı bir daire yayını tanımlarsak, bu yay onu F1 ve F2 noktalarında kesecektir. bunlara odak denir.

Şekil 42, eksenleri boyunca bir elips oluşturmanın bir örneğini göstermektedir. Verilen AB ve CD eksenleri üzerinde, çaplarda olduğu gibi, merkezi O noktasında olan iki eşmerkezli daire oluşturuyoruz. Büyük daireyi isteğe bağlı sayıda parçaya bölüyoruz ve birleştiriyoruz. elde edilen noktalar O merkezine doğru düz çizgilerle gösterilir.

1 numaralı kesişim noktasından; 2; 3; 4; yardımcı dairelerle, elipse ait E, F, K, M noktalarında birbirleriyle kesişene kadar yatay ve dikey çizgi parçaları çizeriz. Daha sonra, bir desen kullanılarak düzgün bir eğrinin oluşturulan noktaları birleştirilir ve sonuç bir elips olur.

Desen eğrilerinin inşası, parabol

Şekil 43. Bir koninin bir parabol boyunca bir düzlemle kesişimi. Odak ve doğrultmanı kullanarak bir parabol oluşturma.

Eğik düzlemi P olan, genatrislerinden birine paralel dairesel bir koni keserseniz, kesit düzleminde bir parabol oluşur (bkz. Şekil 43 a). Bir parabol, açık, düz, eğri bir çizgidir. Parabolün her noktası, verilen -MN düz çizgisinden ve -F odağından aynı mesafede bulunur.

MN düz çizgisi bir kılavuzdur ve parabolün eksenine dik olarak yerleştirilmiştir. -MN kılavuzu ile -F odağı arasında, A parabolünün tepe noktası tam ortada bulunur. Odak ve belirli bir kılavuz, odak noktası -F aracılığıyla, -X parabolünün eksenini, dik kılavuz -MN'yi çizin.

EF segmentini ikiye bölün ve parabol-A'nın tepe noktasını alın. Parabolün tepe noktasından keyfi bir mesafede, parabolün eksenine dik düz çizgiler çizin. -L mesafesine eşit yarıçaplı -F noktasından, karşılık gelen düz çizgiden kılavuza, örneğin CB'ye, buna düz bir çizgi yapıyoruz. Bu durumda C ve B noktaları.

Böylece birkaç çift simetrik nokta oluşturduktan sonra, bir desen kullanarak bunların içinden düzgün bir eğri çiziyoruz. Şekil (43c), A ve B noktalarındaki iki OA ve OB düz çizgisine teğet bir parabol oluşturma örneğini göstermektedir. OA ve OB segmentleri aynı sayıda eşit parçaya bölünmüştür (örneğin sekize bölünmüştür). Bundan sonra, ortaya çıkan bölme noktaları numaralandırılır ve 1-1 düz çizgilerle bağlanır; 2-2; 3-3 (bkz. Şekil 43, c) vb. Bu çizgiler parabolik eğriye teğettir. Daha sonra düz çizgilerin oluşturduğu kontura düzgün bir teğet parabol eğrisi yazılır.

Doğrudan ve ters konileri, iki generatrisine paralel veya belirli bir durumda eksene paralel bir düzlemle keserseniz, kesit düzleminde iki simetrik daldan oluşan bir hiperbol elde edersiniz (bkz. Şekil 45, a) .

Şekil 45. Bir koninin bir hiperbol (a) boyunca bir düzlemle kesişmesi ve bir hiperbolün (b) oluşturulması.

Bir hiperbol (Şekil 45,b), her bir noktasından odak adı verilen iki F1 ve F2 noktasına olan uzaklık farkının sabit bir değer olduğu ve a ve b köşeleri arasındaki mesafeye eşit olduğu düz bir eğridir, örneğin SF1-SF2=ab. Bir hiperbolün iki simetri ekseni vardır: gerçek AB ve hayali CD.

Hiperbolün O merkezinden geçen ve dallarına sonsuzda değen iki düz çizgi KL ve K1 L1'e asimptot denir. Verilen a ve b köşelerinden ve F1 ve F2 odaklarından bir hiperbol oluşturulabilir. Hiperbolün köşelerini, çapta olduğu gibi odak uzaklığında (F1 ve F2 segmenti) oluşturulan bir daireye bir dikdörtgen yazarak belirleriz.

AB gerçek ekseninde F2 odağının sağında isteğe bağlı 1, 2, 3, 4, ... işaretliyoruz F1 ve F2 odaklarından önce yarıçapı a-1, sonra b-1 olan daire yayları çiziyoruz hiperbolün gerçek ekseninin her iki tarafında karşılıklı kesişim. Daha sonra, bir sonraki yay çiftinin yarıçapları a-2 ve b-2 (S noktası) vb. ile karşılıklı kesişimini gerçekleştireceğiz.

Yayların sonuçta ortaya çıkan kesişme noktaları hiperbolün sağ dalına aittir. Sol dalın noktaları, hayali CD eksenine göre oluşturulan noktalara simetrik olacaktır.

Sinüzoid, silindirik bir sarmal boyunca hareket eden bir noktanın yörüngesinin silindir eksenine paralel bir düzleme izdüşümüdür. Bir noktanın hareketi, düzgün bir dönme hareketinden (silindirin ekseni etrafında) ve düzgün bir öteleme hareketinden (silindire paralel) oluşur.

Şekil 46. Bir sinüzoidin yapısı

Sinüs dalgası, açının büyüklüğündeki değişime bağlı olarak trigonometrik sinüs fonksiyonundaki değişimi gösteren düz bir eğridir. bir sinüzoid oluşturmak için (Şekil 46), çapı D olan bir dairenin O merkezi boyunca, bir OX düz çizgisi çizin ve üzerine dairenin uzunluğuna eşit bir O1 A parçasını çizin π D. Bu parçayı ve daireyi aynı sayıda eşit parçaya bölüyoruz. Elde edilen ve numaralandırılan noktalardan karşılıklı dik düz çizgiler çiziyoruz. Bu çizgilerin ortaya çıkan kesişme noktalarını düzgün bir eğri deseni kullanarak birleştireceğiz.

Desen eğrilerinin çizilmesi

Desen eğrileri noktalarla oluşturulur. Bu noktalar, önce elle bir eğri çizilerek desenler kullanılarak bağlanır. Bir eğrinin ayrı noktalarını birleştirme ilkesi aşağıdaki gibidir:

Desen yayının, ana hatları çizilen eğrinin en fazla sayıda noktasıyla en iyi örtüşen kısmını seçiyoruz. Daha sonra, desenle örtüşen eğrinin yayının tamamını değil, yalnızca orta kısmını çizeceğiz. Bundan sonra, desenin başka bir bölümünü seçeceğiz, ancak bu bölüm çizilen eğrinin yaklaşık üçte birine ve eğrinin en az sonraki iki noktasına dokunacak şekilde vb. Bu, eğrinin bireysel yayları arasında yumuşak bir geçiş sağlar.

Makaleyi sosyal ağlarda yeniden yayınlamanızı TAVSİYE EDİYORUZ!

Bir elipsin inşaatı

Elips, her bir noktanın ana eksen üzerinde yer alan odak adı verilen iki noktaya olan uzaklıklarının toplamı sabit ve ana eksenin uzunluğuna eşit olan kapalı, düz bir dışbükey eğridir. İki eksen boyunca bir ovalin inşası (Şekil 23) şu şekilde gerçekleştirilir:

• - elipsin ana ve küçük eksenlerine eşit olan AB ve CD bölümlerinin O kesişim noktasından simetrik olarak yerleştirildiği eksenel çizgiler çizin;
• - eksenlerin kesişme noktasında merkezi olan elipsin eksenlerinin yarısına eşit yarıçaplara sahip iki daire oluşturun;
• - daireyi on iki eşit parçaya bölün. Dairenin bölünmesi paragraf 2.3'te gösterildiği gibi gerçekleştirilir;
• -çaplı ışınlar elde edilen noktalardan çizilir;
• - ışınların kesişme noktalarından, elipsin eksenlerine paralel karşılık gelen dairelerle, elipsin üzerinde yatan noktalarda birbirleriyle kesişene kadar düz çizgiler çizilir;
• - ortaya çıkan noktalar, desenler kullanılarak düzgün bir kavisli çizgiyle bağlanır. Desen eğri çizgisi oluşturulurken desenin en az dört ila beş noktanın birbirine bağlanacağı şekilde seçilmesi ve konumlandırılması gerekir.

Elips oluşturmanın başka yolları da vardır.

Bir parabol oluşturmak

Bir parabol, her bir noktası, parabolün simetri eksenine dik olan düz bir çizgi olan DD 1 direktrisinden ve simetri ekseninde bulunan bir nokta olan F odağından eşit uzaklıkta olan düz kavisli bir çizgidir. Doğrultman ile odak arasındaki KF mesafesine parabol parametresi denir. P.

Şekil 24, O tepe noktası, OK ekseni ve CD akoru boyunca bir parabol çizmenin bir örneğini göstermektedir. İnşaat şu şekilde gerçekleştirilir:

• - O köşesinin işaretlendiği ve OK ekseninin çizildiği yatay bir düz çizgi çizin;
• - K noktasından, parabol kirişinin uzunluğunun yukarı ve aşağı simetrik olarak çizildiği bir dik çizin;
• - bir tarafının eksene ve diğer tarafının parabol kirişine eşit olduğu bir ABCD dikdörtgeni oluşturun;
• - BC tarafı birkaç eşit parçaya bölünür ve KC aynı sayıda eşit parçaya bölünür;
• - O parabolünün tepe noktasından, ışınlar 1, 2 vb. noktalardan ve 1 1, 2 1 vb. noktalardan çizilir;
• - eksenlere paralel düz çizgiler çizin ve ışınların karşılık gelen paralel çizgilerle kesişme noktalarını belirleyin; örneğin, O1 ışınının parabolün ait olduğu O1 1 düz çizgisiyle kesişme noktası;
• - ortaya çıkan noktalar, desenin altındaki düzgün kavisli bir çizgiyle birleştirilir. Parabolün ikinci dalı da benzer şekilde inşa edilmiştir.

Parabol oluşturmanın başka yolları da var.

Bir parabol nasıl inşa edilir? İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini çizmenin birkaç yolu vardır. Her birinin artıları ve eksileri vardır. İki yolu ele alalım.

y=x²+bx+c ve y= -x²+bx+c formunda ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini çizerek başlayalım.

Örnek.

y=x²+2x-3 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm:

y=x²+2x-3 ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları yukarı doğru olan bir paraboldür. Parabolün köşe koordinatları

(-1;-4) köşesinden y=x² parabolünün bir grafiğini oluşturuyoruz (koordinatların kökeninden itibaren. (0;0) - köşe noktası (-1;-4) yerine. (-1;'den; -4) 1 birim sağa ve 1 birim yukarıya, sonra 1 birim sola ve 1 birim yukarıya gidiyoruz; ayrıca: 2 - sağ, 4 - yukarı, 2 - sol, 4 - yukarı; yukarı, 3 - sola, 9 - yukarıya. Bu 7 puan yeterli değilse, o zaman 4 sağa, 16 yukarıya vb.).

İkinci dereceden y= -x²+bx+c fonksiyonunun grafiği, dalları aşağı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür. Bir grafik oluşturmak için tepe noktasının koordinatlarını ararız ve bundan bir y= -x² parabolünü oluştururuz.

Örnek.

y= -x²+2x+8 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm:

y= -x²+2x+8 ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları aşağı doğru olan bir paraboldür. Parabolün köşe koordinatları

Yukarıdan bir y= -x² parabol oluşturuyoruz (1 - sağa, 1 - aşağı; 1 - sola, 1 - aşağı; 2 - sağa, 4 - aşağı; 2 - sola, 4 - aşağı, vb.):

Bu yöntem hızlı bir şekilde parabol oluşturmanıza olanak tanır ve y=x² ve y= -x² fonksiyonlarının grafiğini nasıl çizeceğinizi biliyorsanız zorluk yaratmaz. Dezavantaj: Tepe noktasının koordinatları kesirli sayılar ise, grafik oluşturmak pek uygun değildir. Grafiğin Ox ekseni ile kesişme noktalarının kesin değerlerini bilmeniz gerekiyorsa, ek olarak x²+bx+c=0 (veya -x²+bx+c=0) denklemini çözmeniz gerekecektir, bu noktalar doğrudan çizimden belirlenebilse bile.

Bir parabol oluşturmanın başka bir yolu da noktalardır, yani grafikte birkaç nokta bulabilir ve bunların içinden bir parabol çizebilirsiniz (x=xₒ çizgisinin simetri ekseni olduğunu dikkate alarak). Genellikle bunun için parabolün tepe noktasını, grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını ve 1-2 ek noktayı alırlar.

y=x²+5x+4 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm:

y=x²+5x+4 ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları yukarı doğru olan bir paraboldür. Parabolün köşe koordinatları

yani parabolün tepe noktası (-2,5; -2,25) noktasıdır.

Arıyoruz. Ox ekseni ile kesişme noktasında y=0: x²+5x+4=0. İkinci dereceden denklemin kökleri x1=-1, x2=-4 yani grafikte (-1; 0) ve (-4; 0) olmak üzere iki nokta elde ettik.

Grafiğin Oy ekseni x=0 ile kesiştiği noktada: y=0²+5∙0+4=4. (0; 4) noktasını aldık.

Grafiği netleştirmek için ek bir nokta bulabilirsiniz. X=1 alalım, sonra y=1²+5∙1+4=10 yani grafikteki bir diğer nokta (1; 10) olur. Bu noktaları koordinat düzleminde işaretliyoruz. Parabolün tepe noktasından geçen çizgiye göre simetrisini hesaba katarak iki noktayı daha işaretliyoruz: (-5; 6) ve (-6; 10) ve bunların içinden bir parabol çiziyoruz:

y= -x²-3x fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm:

y= -x²-3x ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları aşağı doğru olan bir paraboldür. Parabolün köşe koordinatları

Tepe noktası (-1,5; 2,25) parabolün ilk noktasıdır.

Grafiğin x ekseni y=0 ile kesiştiği noktalarda yani -x²-3x=0 denklemini çözüyoruz. Kökleri x=0 ve x=-3'tür, yani (0;0) ve (-3;0) - grafikte iki nokta daha. (o; 0) noktası aynı zamanda parabolün ordinat ekseniyle kesişme noktasıdır.

x=1 y=-1²-3∙1=-4'te, yani (1; -4) çizim için ek bir noktadır.

Noktalardan parabol oluşturmak ilkine göre daha emek yoğun bir yöntemdir. Parabol Ox eksenini kesmiyorsa daha fazla ek noktaya ihtiyaç duyulacaktır.

y=ax²+bx+c formundaki ikinci dereceden fonksiyonların grafiklerini oluşturmaya devam etmeden önce, geometrik dönüşümleri kullanarak fonksiyonların grafiklerinin oluşturulmasını ele alalım. Ayrıca bu dönüşümlerden birini (paralel çeviri) kullanarak y=x²+c formundaki fonksiyonların grafiklerini oluşturmak en uygunudur.

Kategori: |

Parabol oluşturmak, iyi bilinen matematiksel işlemlerden biridir. Çoğu zaman sadece bilimsel amaçlar için değil, aynı zamanda tamamen pratik amaçlar için de kullanılır. Excel uygulama araçlarını kullanarak bu işlemin nasıl gerçekleştirileceğini öğrenelim.

Bir parabol, aşağıdaki türde ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğidir f(x)=ax^2+bx+c. Dikkate değer özelliklerinden biri, bir parabolün, doğrultmana eşit uzaklıktaki bir dizi noktadan oluşan simetrik bir şekil biçimine sahip olmasıdır. Genel olarak Excel'de bir parabol oluşturmak, bu programdaki herhangi bir grafiği oluşturmaktan pek farklı değildir.

Tablo oluşturma

Öncelikle bir parabol oluşturmaya başlamadan önce, onun oluşturulacağı temele göre bir tablo oluşturmalısınız. Örneğin, bir fonksiyonun grafiğinin yapımını ele alalım. f(x)=2x^2+7.

Grafik çizme

Yukarıda belirtildiği gibi, şimdi grafiğin kendisini oluşturmamız gerekiyor.

Grafiği düzenleme

Artık ortaya çıkan grafiği biraz düzenleyebilirsiniz.

Ek olarak, elde edilen parabolün adını ve eksen adlarını değiştirmek de dahil olmak üzere diğer her türlü düzenlemeyi gerçekleştirebilirsiniz. Bu düzenleme teknikleri, Excel'de diğer diyagram türleriyle çalışmanın kapsamının ötesine geçmez.

Gördüğünüz gibi, Excel'de bir parabol oluşturmak, aynı programda başka türde bir grafik veya diyagram oluşturmaktan temel olarak farklı değildir. Tüm eylemler önceden oluşturulmuş bir tabloya göre gerçekleştirilir. Ek olarak, dağılım diyagramının bir parabol oluşturmak için en uygun diyagram olduğunu dikkate almanız gerekir.

Elips. Dairesel bir koninin yüzeyini eğik bir düzlemle keserseniz R tüm üreteçlerini kesecek şekilde kesit düzleminde bir elips elde edilecektir (Şekil 65).

Şekil 65

Elips(Şekil 66) – herhangi bir noktasından (örneğin bir noktadan) uzaklıkların toplamının bulunduğu düz kapalı bir eğri M ) verilen iki noktaya kadar F1 Ve F2 – elipsin odakları – ana ekseninin uzunluğuna eşit sabit bir değer vardır AB (Örneğin, F 1 M + F2M = AB ).Çizgi segmenti AB elipsin ana ekseni denir ve segmenti CD – onun küçük ekseni. Elipsin eksenleri bir noktada kesişir Ö- elipsin merkezi ve boyutu, büyük ve küçük eksenlerin uzunluklarını belirler. Puanlar F1 Ve F2 ana eksen üzerinde yer alan AB noktaya göre simetrik Ö ve küçük eksenin uçlarından kaldırılır (noktalar İLE Ve D ) elipsin ana ekseninin yarısına eşit bir mesafeye .

Şekil 66

Bir elips oluşturmanın birkaç yolu vardır. En kolay yol, yardımcı daireler kullanarak iki ekseni boyunca bir elips oluşturmaktır (Şekil 67). Bu durumda elipsin merkezi belirtilir - nokta Ö ve içinden karşılıklı iki dik düz çizgi çizilir (Şekil 67, a). noktadan HAKKINDA Yarıçapı büyük ve küçük eksenlerin yarısına eşit olan iki daireyi tanımlayın. Büyük daire 12 eşit parçaya bölünür ve bölme noktaları noktaya bağlanır. HAKKINDA . Çizilen çizgiler aynı zamanda küçük daireyi de 12 eşit parçaya bölecektir. Daha sonra, küçük dairenin bölme noktalarından yatay çizgiler (veya elipsin ana eksenine paralel düz çizgiler) çizilir ve bölme noktalarından dikey çizgiler (veya elipsin küçük eksenine paralel düz çizgiler) çizilir. daha büyük dairenin. Kesişme noktaları (örneğin, nokta M ) elipse aittir. Ortaya çıkan noktaların düzgün bir eğri ile birleştirilmesiyle bir elips elde edilir (Şekil 67, b).

Şekil 67

Parabol. Dairesel bir koni bir düzlem tarafından kesilirse R , cinslerinden birine paralel olursa kesit düzleminde bir parabol elde edilecektir (Şekil 68).

Şekil 68

Parabol(Şekil 69) – her noktası belirli bir düz çizgiden aynı uzaklıkta olan düz bir eğri GG 1 , isminde müdire ve puanlar F - bir parabolün odağı. Örneğin bir noktaya M bölümler MN (müdüre olan mesafe) ve M.F. (odaklanma mesafesi) eşittir, yani. MN = M.F. .

Bir parabol, parabolün odağından (nokta) geçen bir simetri eksenine sahip açık bir eğri şeklindedir. F ve yönetmene dik olarak yerleştirilmiştir GG 1 .Kesin A , segmentin ortasında yer alıyor İLE İLGİLİ , isminde parabolün tepe noktası. Odaktan direktrix'e olan mesafe - segment İLE İLGİLİ = 2'OA – bir harfle belirtilir R ve Çağrı yap parabol parametresi. Parametre ne kadar büyükse R , parabolün dalları ekseninden ne kadar keskin uzaklaşırsa. Bir parabolün eksenine göre simetrik olarak yerleştirilmiş iki nokta arasında kalan bir parçaya denir. akor(örneğin akor MK ).

Şekil 69

DD 1 direktrisinden ve F odağından bir parabol oluşturma(Şekil 70, a) . Nokta yoluyla F parabolün eksenini, doğrultmanla şu noktada kesişinceye kadar doğrultmana dik çizin HAKKINDA. Çizgi segmenti İLE İLGİLİ = P ikiye böl ve bir puan al A - parabolün tepesi. Nokta parabolünün ekseninde A kademeli olarak artan birkaç bölüm yerleştirin. Bölme noktaları aracılığıyla 1, 2, 3 BT. D. doğrultmana paralel düz çizgiler çizin. Parabolün odağını merkez alarak yarıçaplı yayları tanımlarlar. R1 =L1 1 ,yarıçap R2 = L2 bir noktadan geçen bir çizgiyle kesişene kadar 2 , vb. Ortaya çıkan noktalar parabole aittir. İlk önce elle ince, düz bir çizgiyle bağlanırlar, ardından desen boyunca izlenirler.

Kendi ekseni, A tepe noktası ve M ara noktası boyunca bir parabolün oluşturulması(Şekil 70, b).Üstten A parabolün eksenine dik ve noktadan geçen düz bir çizgi çizin M - eksene paralel düz bir çizgi. Her iki doğru da bir noktada kesişiyor B . Segmentler AB Ve B.M. aynı sayıda eşit parçaya bölünür ve bölme noktaları oklarla gösterilen yönlerde numaralandırılır. Üst kısımdan A ve noktalar 1 , 2 , 3 , 4 ışınları iletmek ve noktalardan BEN , II , III ,IV – parabolün eksenine paralel düz çizgiler. Aynı numara ile işaretlenen doğruların kesişme noktalarında parabole ait noktalar bulunmaktadır. Parabolün her iki dalı da aynıdır, dolayısıyla diğer dal akorlar kullanılarak ilkine simetrik olarak oluşturulur.

Şekil 70

Üzerinde verilen A ve B noktalarında OA ve OB iki düz çizgiye teğet bir parabolün oluşturulması(Şekil 71,b). Segmentler O.A. Ve doğum günü aynı sayıda eşit parçaya bölünmüştür (örneğin 8 parçaya). Ortaya çıkan bölme noktaları numaralandırılır ve aynı adı taşıyan noktalar düz çizgilerle bağlanır. 1–1 , 2 –2 , 3 –3 vesaire . D . Bu çizgiler parabolik eğriye teğettir. Daha sonra, düz çizgilerin oluşturduğu kontura düzgün bir teğet eğri (bir parabol) yazılır. .

Şekil 71

Hiperbol. Doğrudan ve ters konileri, iki generatrisine paralel veya belirli bir durumda eksene paralel bir düzlemle keserseniz, kesit düzleminde iki simetrik daldan oluşan bir hiperbol elde edersiniz (Şekil 72, a).

Abartı(Şekil 72,b) noktalar kümesinden oluşan açık düzlem eğri olarak adlandırılır, verilen iki noktaya olan uzaklık farkı sabit bir değerdir.

Şekil 72

Sabit noktalar F1 Ve F2 arandı hileler , ve aralarındaki mesafe odak uzaklığı . Doğru parçaları ( F 1 M Ve F 2 M ), herhangi bir noktayı bağlamak ( M ) odaklı eğriye denir yarıçap vektörleri abartılar . Nokta ve odak mesafeleri arasındaki fark F1 Ve F2 sabit bir değerdir ve köşeler arasındaki mesafeye eşittir A Ve B abartı; örneğin bir noktaya kadar M sahip olacak: F 1 M -F 2 M = ab. Bir hiperbol iki açık daldan oluşur ve birbirine dik iki eksene sahiptir: geçerli AB Ve hayali CD. Doğrudan pq Ve rs, merkezden geçen Ö ,arandı asimptotlar .

Bu asimptotları kullanarak bir hiperbol oluşturmak pq Ve rs, hileler F1 Ve F2 Şekil 72'de gösterilmiştir, b.

Gerçek eksen AB hiperbol asimptotların oluşturduğu açının açıortayıdır. Hayali eksen CD dik AB ve noktadan geçer HAKKINDA. Hile sahibi olmak F1 Ve F2, köşeleri tanımla A Ve B hiperboller, neden bir segmentte F 1 F 2 asimptotları noktalarda kesen bir yarım daire oluşturun M Ve P. Bu noktalardan dikeyler eksene indirilir AB ve onunla kesiştiği noktada köşeler elde ederiz A Ve B abartı.

Bir doğru üzerinde hiperbolün sağ dalını oluşturmak için AB odaklamanın sağında F1 rastgele noktaları işaretleyin 1 , 2 , 3 , ..., 5. Puanlar V Ve V1 segmenti alırsak hiperboller elde edilir a5 yarıçapın ötesinde ve noktadan F2 noktasından işaretlenmiş bir daire yayı çizin F1, yarıçap eşittir b5. Hiperbolün geri kalan noktaları, açıklananlara benzetme yoluyla oluşturulmuştur.

Bazen asimptotları eşit olan bir hiperbol oluşturmanız gerekir. AH Ve OY karşılıklı olarak diktir (Şekil 73). Bu durumda gerçek ve sanal eksenler bis olacaktır. İle dik açıların ektrikleri. Oluşturmak için hiperbolün noktalarından biri belirtilir, örneğin nokta A.

Şekil 73

Nokta yoluyla A doğrudan gerçekleştirmek AK Ve sabah , eksenlere paralel Ah Ve sen .Noktadan Ö tekrar İle ilgili kavramlar İle ona doğrudan veriyorlar İle düz çizgiler sabah Ve AK noktalarda 1 , 2 , 3 , 4 Ve 1" , 2" , 3" , 4" . Daha sonra bu çizgilerin kesiştiği noktalardan, noktalarda birbirleriyle kesişinceye kadar dikey ve yatay bölümler çizilir. I, II, III, IV vb. Hiperbolün ortaya çıkan noktaları bir model kullanılarak bağlanır . Puanlar 1, 2, 3, 4 dikey bir çizgide bulunanlar keyfi olarak alınır .

Bir dairenin kıvrımı veya bir dairenin geliştirilmesi. Bir dairenin kıvrımı Bu düz çizgi sabit bir daire (bir dairenin noktalarının yayılması ve düzleştirilmesiyle oluşturulan yörüngesi) boyunca kaymadan yuvarlanıyorsa, düz bir çizginin her noktasıyla tanımlanan düz bir eğri olarak adlandırılır (Şekil 74).

Bir kıvrım oluşturmak için dairenin çapını belirtmek yeterlidir D ve noktanın başlangıç ​​konumu A (nokta 0 ). Nokta yoluyla 0 daireye bir teğet çizin ve verilen dairenin uzunluğunu bunun üzerine çizin D . Ortaya çıkan parça ve daire aynı sayıda parçaya bölünür ve ona teğetler dairenin bölme noktalarından tek yönde çizilir. Her teğet üzerine yatay çizgiden alınan ve buna karşılık gelen eşit parçalar döşenir 1A 1 = Bir 0 1 , 2A 2 = V Bir 0 2 , 3A 3 = Bir 0 3 vesaire.; Ortaya çıkan noktalar desene göre birleştirilir.

Şekil 74

Arşimet sarmalı- bir nokta tarafından tanımlanan düz bir eğri A sabit bir nokta etrafında düzgün bir şekilde dönen, direkler HAKKINDA ve aynı zamanda ondan eşit şekilde uzaklaşıyor (Şekil 75). Düz bir çizgiyi 360° döndürürken bir noktanın kat ettiği mesafeye spiral adımı denir. Arşimet spiraline ait noktalar, dönüş adımını ve yönünü belirten eğrinin tanımına göre oluşturulur.

Belirli bir adım (segment OA) ve saat yönünde dönüş yönü kullanılarak bir Arşimet spiralinin oluşturulması(Şekil 75). Bir noktadan geçerek HAKKINDA düz bir çizgi çizin ve üzerindeki spiral adımı işaretleyin O.A. ve bunu yarıçap olarak alarak bir daire tanımlayın. Daire ve segment O.A. 12 eşit parçaya bölünmüştür. Yarıçaplar dairenin bölme noktalarından çizilir O1 , O2 , O3 vb. ve onlar üzerinde HAKKINDA dairenin yarıçapının sırasıyla 1/12, 2/12, 3/12 vb. yayları kullanılarak döşenir. Ortaya çıkan noktalar düzgün bir eğriye sahip bir desen boyunca bağlanır.

Arşimet spirali açık bir eğridir ve gerekirse onun dönüşlerini istediğiniz sayıda oluşturabilirsiniz. İkinci dönüşü oluşturmak için yarıçapı olan bir daire tanımlayın R = 2 OA ve önceki tüm yapıları tekrarlayın.

Şekil 75

Sinüs dalgası.Sinüs dalgası hareket eden noktanın yörüngesinin izdüşümüne denir İle Ben silindirik biriyim İle silindir eksenine paralel bir düzlemde bulunan sarmal . Bir noktanın hareketi düzgün dönme hareketinden (silindir ekseni etrafında) ve düzgün öteleme hareketinden (silindir eksenine paralel) oluşur. . Sinüs dalgası, açıdaki değişime bağlı olarak trigonometrik sinüs fonksiyonundaki değişimi gösteren düz bir eğridir. .

Merkezden geçen bir sinüzoid (Şekil 76) oluşturmak için HAKKINDA daire çapı D doğrudan gerçekleştirmek AH ve üzerine bir bölüm döşendi Ç 1 A , çevreye eşit D. Bu parça ve daire aynı sayıda eşit parçaya bölünmüştür. Elde edilen ve numaralandırılan noktalardan karşılıklı dik düz çizgiler çizilir. Bu çizgilerin ortaya çıkan kesişme noktaları düzgün bir eğri deseni kullanılarak bağlanır.

Şekil 76

Kardioid. Kardioid(Şekil 77) çağrılar İle Ben bir daire içindeki bir noktanın kapalı bir yörüngesiyim İle Aynı yarıçaptaki sabit bir daire boyunca kaymadan yuvarlanan .

Şekil 77

Merkezden HAKKINDA belirli bir yarıçapta bir daire çizin ve üzerinde isteğe bağlı bir nokta alın M. Bu noktadan bir dizi sekant çizilir. Her sekantta, daire ile kesişme noktasının her iki tarafına dairenin çapına eşit bölümler döşenir M1. Evet, sekant III3МIII 1 çemberi bir noktada keser 3 ;segmentler bu noktadan itibaren işten çıkarılır 3III Ve 3III1, çapa eşit M1. Puanlar III Ve III 1 , kardiyoide ait . Benzer şekilde, İle akım IV4MIV 1 tekrar İle daire bir noktada 4; bölümler bu noktadan itibaren döşenir IV4 Ve 4IV 1, çapa eşit M1, puan kazanmak, toplamak IV Ve IV 1 vesaire.

Bulunan noktalar Şekil 77'de gösterildiği gibi bir eğri ile bağlanır.

Sikloidal eğriler. Sikloidler – Düz bir çizgi veya daire boyunca kaymadan yuvarlanan bir daireye ait bir noktayla tanımlanan düzlemsel kavisli çizgiler . Daire düz bir çizgide yuvarlanıyorsa, nokta adı verilen bir eğriyi tanımlar. sikloid.

Bir daire, onun dışında (dışbükey kısım boyunca) başka bir daire boyunca yuvarlanıyorsa, o zaman nokta, adı verilen bir eğriyi tanımlar. episikloid .

Bir daire, onun içinde (içbükey kısım boyunca) başka bir daire boyunca yuvarlanıyorsa, o zaman nokta, adı verilen bir eğriyi tanımlar. hiposikloid . Noktanın bulunduğu çembere denir üreten . Çemberin yuvarlandığı çizgiye denir rehber .

Bir sikloid oluşturmak için(Şekil 78) belirli bir yarıçapta bir daire çizin R ; bunun başlangıç ​​noktasını al A ve bir kılavuz çizgisi çizin AB, çemberin yuvarlandığı yer .

Şekil 78

Verilen daireyi 12 eşit parçaya bölün (noktalar) 1" , 2" , 3" , ..., 12"). Eğer nokta A değiştirmek İle baştankara İle bir pozisyondayım 12 , ardından segment AA 12 verilen çevresel uzunluğa eşit olacaktır İle ty, yani . Bir merkez çizgisi çizin Ç – Ç 12 çevresel olarak üretmek İle ti, eşit , ve 12 eşit parçaya bölüyoruz. Puan kazanmak, toplamak Ç 1 ,O2 ,Ç 3 ,..., Ç 12 üreten çemberin merkezleri olan İle Sen . Bu noktalardan bir daire çizin İle ty (veya etrafındaki yaylar) İle tey) belirli bir yarıçapın R , çizgiye dokunan AB noktalarda 1,2, 3, ..., 12. Her temas noktasından karşılık gelen daire üzerine noktanın hareket ettiği miktara eşit bir yay uzunluğu çizersek A sonra sikloide ait noktaları elde ederiz. Örneğin, bir puan almak için 5 sikloidler merkezden takip eder Ç 5 temas noktasından bir daire çizin 5 çevrenin etrafına bir yay çizin A5, eşittir A5", veya noktadan 5" paralel bir düz çizgi çizin AB, noktasındaki kavşakta 5 çizilmiş bir daire ile . Sikloidin diğer tüm noktaları benzer şekilde inşa edilmiştir. .

Episikloid aşağıdaki gibi inşa edilmiştir.Şekil 79, üreten daire yarıçapını göstermektedir İle A R merkezi ile Ç 0 , başlangıç ​​noktası A üzerinde ve etrafındaki kılavuzun yayı İle sen radyo İle A R1 onun boyunca yuvarlanıyor İle Ben bir çemberim. Bir episikloidin yapısı bir sikloidin yapımına benzer, yani: belirli bir daireyi 12 eşit parçaya bölün (noktalar) 1" , 2" , 3" , ...,12"), bu dairenin her bir parçası bir noktadan ayrılıyor A bir yay boyunca AB 12 kez (noktalar 1 , 2 , 3 , ..., 12) ve yay uzunluğunu elde edin AA 12 . Bu uzunluk açı kullanılarak belirlenebilir. .

Merkezden daha uzakta HAKKINDA yarıçap eşittir OOO 0 , üreten dairenin merkezlerinin bir çizgisini çizin ve yarıçapları çizin 01 , 02 , 03 , ...,012 , merkezlerin çizgisiyle kesişene kadar devam etti, merkezleri elde etti Ç 1, Ç 2, ..., Ç 12 çember oluşturma . Yarıçapı eşit olan bu merkezlerden R üzerine inşa ettikleri daireleri veya daire yaylarını çizin ve İle eğrinin hangi noktaları; Yani, asıl noktayı anlamak için 4 sn kontrol edilmeli İle etrafında yay İle te yarıçapı O4" merkezden çizilen bir daireyle kesişene kadar O4. Diğer noktalar da benzer şekilde oluşturulur ve bunlar daha sonra düzgün bir eğri ile bağlanır. .

Şekil 79

İlgili bilgi.