ให้แสดงสมการแล้วแทน การแก้ระบบสมการโดยวิธีการแทนค่า

2. วิธีการบวกพีชคณิต
3. วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ (วิธีการเปลี่ยนตัวแปร)

คำนิยาม:ระบบสมการหมายถึงสมการหลายตัวในตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่ต้องทำพร้อมกัน กล่าวคือ ด้วยค่าตัวแปรเท่ากันทุกสมการ สมการในระบบจะถูกรวมเข้ากับเครื่องหมายของระบบ - วงเล็บปีกกา
ตัวอย่างที่ 1:

เป็นระบบสมการสองสมการที่มีตัวแปรสองตัว xและ y.
การแก้ปัญหาของระบบคือราก เมื่อแทนค่าเหล่านี้ สมการจะกลายเป็นตัวตนที่แท้จริง:

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น

วิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาระบบคือวิธีการทดแทน

วิธีการทดแทน

วิธีการทดแทนสำหรับการแก้ระบบสมการประกอบด้วยการแสดงตัวแปรบางตัวจากสมการหนึ่งของระบบในรูปของตัวแปรอื่น และการแทนที่นิพจน์นี้ลงในสมการที่เหลือของระบบแทนที่จะเป็นตัวแปรที่แสดง
ตัวอย่างที่ 2:
แก้ระบบสมการ:

วิธีการแก้:
ระบบของสมการถูกกำหนดและจำเป็นต้องแก้ไขโดยวิธีการแทนค่า
มาแสดงตัวแปรกัน yจากสมการที่สองของระบบ
ความคิดเห็น:"แสดงตัวแปร" หมายถึงการแปลงค่าความเท่าเทียมกันเพื่อให้ตัวแปรนี้ยังคงอยู่ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 และพจน์อื่นๆ ทั้งหมดจะอยู่ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน
สมการที่สองของระบบ:

ปล่อยไว้ทางซ้าย y:

และแทนที่ (นั่นคือที่มาของชื่อวิธีการ) ลงในสมการแรกแทน ที่นิพจน์ที่เท่ากับ นั่นคือ .
สมการแรก:

ทดแทน :

ลองแก้สมการกำลังสองซ้ำซากนี้ สำหรับคนที่ลืมวิธีทำไปแล้ว มีบทความ การแก้สมการกำลังสอง .

ดังนั้นค่าของตัวแปร xพบ.
แทนที่ค่าเหล่านี้ลงในนิพจน์สำหรับตัวแปร y. มีสองค่าที่นี่ x, เช่น. สำหรับแต่ละคนจำเป็นต้องหาค่า y .
1) ให้
แทนที่ในนิพจน์

2) ให้
แทนที่ในนิพจน์

ทุกอย่างสามารถตอบได้:
ความคิดเห็น:ในกรณีนี้ คำตอบควรเขียนเป็นคู่ เพื่อไม่ให้สับสนว่าค่าของตัวแปร y ตรงกับค่าของตัวแปร x ใด
ตอบ:
ความคิดเห็น:ในตัวอย่างที่ 1 มีเพียงคู่เดียวเท่านั้นที่ระบุว่าเป็นโซลูชันของระบบ นั่นคือ คู่นี้เป็นทางออกของระบบ แต่ไม่ใช่คู่ที่สมบูรณ์ ดังนั้น วิธีแก้สมการหรือระบบ หมายถึง การระบุคำตอบและแสดงว่าไม่มีคำตอบอื่น และนี่ก็เป็นอีกคู่หนึ่ง

มาทำให้การแก้ปัญหาของระบบนี้เป็นทางการในแบบโรงเรียนกันเถอะ:

ความคิดเห็น:เครื่องหมาย "" หมายถึง "เทียบเท่า" เช่น ระบบหรือนิพจน์ต่อไปนี้เทียบเท่ากับระบบก่อนหน้า

ย้อนกลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้นและอาจไม่ได้แสดงถึงขอบเขตทั้งหมดของการนำเสนอ หากคุณสนใจงานนี้ โปรดดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม

สถานที่เรียนในระบบบทเรียน:บทเรียนที่สามของการศึกษาหัวข้อ “ระบบสอง สมการเชิงเส้นด้วยสองตัวแปร"

ประเภทบทเรียน:การเรียนรู้ความรู้ใหม่ๆ

เทคโนโลยีการศึกษา:การพัฒนาการคิดอย่างมีวิจารณญาณผ่านการอ่านและการเขียน

วิธีการสอน:ศึกษา

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:เชี่ยวชาญอีกวิธีหนึ่งในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยตัวแปรสองตัว - วิธีการบวก

งาน:

• เรื่อง: การพัฒนาทักษะเชิงปฏิบัติในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีการแทนค่า
• meta subject: พัฒนาความคิด การรับรู้อย่างมีสติของสื่อการศึกษา
• ส่วนตัว: การศึกษากิจกรรมความรู้ความเข้าใจ วัฒนธรรมการสื่อสาร และการปลูกฝังความสนใจในเรื่อง

เป็นผลให้นักเรียน:

• รู้คำจำกัดความของระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว
• รู้ว่าการแก้ระบบสมการเชิงเส้นในสองตัวแปรหมายความว่าอย่างไร
• สามารถเขียนระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรได้
• ทำความเข้าใจว่าระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวสามารถมีได้กี่คำตอบ
• สามารถระบุได้ว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ และถ้ามี มีกี่วิธี
• รู้อัลกอริธึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการแทนที่ การบวกพีชคณิต วิธีกราฟิก

คำถามปัญหา:“จะแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรได้อย่างไร”

คำถามสำคัญ:เราใช้สมการในชีวิตอย่างไรและทำไม?

อุปกรณ์:การนำเสนอ; โปรเจ็กเตอร์มัลติมีเดีย หน้าจอ; คอมพิวเตอร์, สมุดงานพีชคณิต : ป.7 : สู่หนังสือเรียน by A.G. Mordkovich และอื่น ๆ "พีชคณิต - 7" 2012

แหล่งข้อมูล (ที่มาของข้อมูลในหัวข้อ: หนังสือ ตำราเรียน อินเทอร์เน็ต ฯลฯ):ตำรา "พีชคณิต - 7" 2012, A.G. มอร์ดโควิช

รูปแบบการจัดกิจกรรมการศึกษาของนักเรียน (กลุ่ม, กลุ่มคู่, หน้าผาก, ฯลฯ ):ส่วนตัว, หน้าผากบางส่วน, ห้องอบไอน้ำบางส่วน

เกณฑ์การประเมิน:

• เอ - ความรู้ความเข้าใจ +
• B - การประยุกต์ใช้และการใช้เหตุผล
• C - ข้อความ +
• D - การสะท้อนกลับและการประเมิน

พื้นที่ของการโต้ตอบ:

• ATL - สามารถใช้เวลาอย่างมีประสิทธิภาพ วางแผนกิจกรรมของคุณตามเป้าหมายและวัตถุประสงค์ที่ตั้งไว้ กำหนดลำดับกิจกรรมที่มีเหตุผลมากที่สุด ความสามารถในการตอบคำถาม โต้แย้ง โต้แย้ง เพื่อให้สามารถวิเคราะห์และประเมินกิจกรรมการศึกษาและความรู้ความเข้าใจของตนเอง เพื่อหาแนวทางในการแก้ปัญหา
• นักเรียน HI สำรวจผลของกิจกรรมของมนุษย์

ระหว่างเรียน

I. การจัดบทเรียน

ครั้งที่สอง การตรวจสอบการฝึกตนเอง

ก) หมายเลข 12.2(b, c)

คำตอบ: (5; 3) คำตอบ: (2; 3)

คำตอบ: (4;2)

แสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่ง:

• p \u003d p / (g * h) - ความหนาแน่นของของเหลว
• p \u003d g * p * h - แรงดันของเหลวที่ด้านล่างของภาชนะ
• ชั่วโมง = p / (g * p) - ความสูง
• p = m / V - ความหนาแน่น
• m = V * p -มวล
• p = m / V - ความหนาแน่น

อัลกอริธึมสำหรับการแก้ระบบสมการสองสมการด้วยสองตัวแปรโดยใช้วิธีการแทนค่า:

1. แสดง y ในรูปของ x จากสมการแรก (หรือที่สอง) ของระบบ
2. แทนที่นิพจน์ที่ได้รับในขั้นตอนแรกแทนที่จะเป็น y ลงในสมการที่สอง (แรก) ของระบบ
3. แก้สมการที่ได้รับในขั้นตอนที่สองสำหรับ x
4. แทนค่าของ x ที่พบในขั้นตอนที่สามลงในนิพจน์ y ถึง x ที่ได้รับในขั้นตอนแรก
5. เขียนคำตอบเป็นคู่ของค่า (x; y) ที่พบในขั้นตอนที่สามและสี่ตามลำดับ

งานอิสระ:

ในสมุดงาน หน้า 46 - 47

• บน “3” หมายเลข 6(a);
• ใน “4” หมายเลข 6(b);
• ถึง "5" หมายเลข 7

สาม. อัพเดทความรู้พื้นฐาน

ระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวคืออะไร?

ระบบสมการคือสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปซึ่งจำเป็นต้องหาคำตอบร่วมกันทั้งหมด

คำตอบของระบบสมการที่มีตัวแปรสองตัวคืออะไร?

คำตอบของระบบสมการสองสมการที่มีสองไม่ทราบค่าคือคู่ของตัวเลข (x, y) ซึ่งหากแทนที่ตัวเลขเหล่านี้ลงในสมการของระบบ สมการของระบบแต่ละสมการจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

ระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวมีคำตอบได้กี่คำตอบ

ถ้าความชันเท่ากัน เส้นจะขนานกัน จะไม่มีราก

หากความชันไม่เท่ากัน เส้นจะตัดกัน หนึ่งรูต (พิกัดของจุดตัด)

ถ้าความชันเท่ากัน เส้นตรงก็แสดงว่ารากนั้นไม่มีที่สิ้นสุด

IV. การเรียนรู้วัสดุใหม่

กรอกข้อมูลในช่องว่าง: ภาคผนวก 1 (ตามด้วยการทดสอบตัวเองด้วยสไลด์)

V. ทำงานในหัวข้อของบทเรียน

ในชั้นเรียน: หมายเลข 13.2(a, d), 13.3(a, d)

หก. การบ้าน

ย่อหน้าที่ 13 - ตำราเรียน; พจนานุกรม; หมายเลข 13.2(b,c), 13.3(b,c).

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว สรุปบทเรียน

• ไชโย!!! ฉันเข้าใจทุกอย่าง!
• มีบางอย่างที่ฉันต้องทำงาน!
• มีความล้มเหลว แต่ฉันจะเอาชนะทุกสิ่ง!

แปด. การแก้ปัญหาองค์ประกอบทางทหาร

รถถังต่อสู้หลัก T-80

นำมาใช้ในปี 1976 ถังอนุกรมแรกของโลกที่มีโรงไฟฟ้าหลักที่ใช้เครื่องยนต์กังหันก๊าซ

ข้อมูลยุทธวิธีและทางเทคนิคพื้นฐาน (TTD):

น้ำหนัก t - 46

ความเร็วกม. / ชม. - 70

สำรองพลังงานกม. - 335-370

อาวุธยุทโธปกรณ์: ปืนเจาะเรียบ 125 มม. (กระสุน 40 ชิ้น);

ปืนกล 12.7 มม. (บรรจุกระสุน 300 ชิ้น)

ปืนกล PKT ขนาด 7.62 มม. (บรรจุกระสุน 2,000 ชิ้น)

รถถัง T-80 สามารถเคลื่อนที่ได้นานแค่ไหนโดยไม่ต้องเติมน้ำมัน?

ในกรณีนี้ สะดวกในการแสดง x ถึง y จากสมการที่สองของระบบ และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์แทน x ลงในสมการแรก:

สมการแรกคือสมการที่มีตัวแปร y ตัวเดียว มาแก้กัน:

5(7-3y)-2y = -16

ค่าผลลัพธ์ของ y ถูกแทนที่ในนิพจน์สำหรับ x:

คำตอบ: (-2; 3)

ในระบบนี้ ง่ายกว่าในการแสดง y ในรูปของ x จากสมการแรกและแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์แทน y ในสมการที่สอง:

สมการที่สองคือสมการที่มีตัวแปร x ตัวเดียว มาแก้กัน:

3x-4(-1.5-3.5x)=23

ในนิพจน์สำหรับ y แทนที่จะเป็น x เราแทนที่ x=1 และค้นหา y:

คำตอบ: (1; -5)

ที่นี่สะดวกกว่าในการแสดง y ในรูปของ x จากสมการที่สอง (เนื่องจากการหารด้วย 10 ง่ายกว่าการหารด้วย 4, -9 หรือ 3):

เราแก้สมการแรก:

4x-9(1.6-0.3x)= -1

4x-14.4+2.7x=-1

แทนที่ x=2 และหา y:

คำตอบ: (2; 1).

ก่อนใช้วิธีทดแทน ระบบนี้ควรทำให้ง่ายขึ้น ทั้งสองส่วนของสมการแรกสามารถคูณด้วยตัวส่วนร่วมที่น้อยที่สุด ในสมการที่สอง เราเปิดวงเล็บและให้พจน์ที่คล้ายกัน:

เราได้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว ตอนนี้ ลองใช้การทดแทนกัน สะดวกในการแสดง a ในรูปของ b จากสมการที่สอง:

เราแก้สมการแรกของระบบ:

3(21.5 + 2.5b) - 7b = 63

มันยังคงค้นหาค่าของ:

ตามกฎการจัดรูปแบบ เราเขียนคำตอบในวงเล็บโดยคั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาคตามลำดับตัวอักษร

คำตอบ: (14; -3)

เมื่อแสดงตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรอื่น บางครั้งก็สะดวกกว่าที่จะปล่อยให้มันมีค่าสัมประสิทธิ์บางอย่าง

ระบบสมการใช้กันอย่างแพร่หลายในอุตสาหกรรมเศรษฐศาสตร์ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการต่างๆ ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้ปัญหาการจัดการและการวางแผนการผลิต เส้นทางการขนส่ง (ปัญหาการขนส่ง) หรือการจัดวางอุปกรณ์

ระบบสมการไม่เพียงแต่ใช้ในสาขาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในสาขาฟิสิกส์ เคมี และชีววิทยาในการแก้ปัญหาการหาขนาดประชากรด้วย

ระบบสมการเชิงเส้นคือคำศัพท์สำหรับสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปที่มีตัวแปรหลายตัวซึ่งจำเป็นต้องหาคำตอบร่วมกัน ลำดับของตัวเลขดังกล่าวซึ่งสมการทั้งหมดกลายเป็นความเท่าเทียมกันจริงหรือพิสูจน์ว่าไม่มีลำดับ

สมการเชิงเส้น

สมการของรูปแบบ ax+by=c เรียกว่าเส้นตรง การกำหนด x, y คือค่าที่ไม่ทราบค่าซึ่งจะต้องหาค่า b, a คือสัมประสิทธิ์ของตัวแปร, c คือพจน์ว่างของสมการ
การแก้สมการโดยการพล็อตกราฟจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง ซึ่งทุกจุดเป็นคำตอบของพหุนาม

ประเภทของระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร X และ Y สองตัว

F1(x, y) = 0 และ F2(x, y) = 0 โดยที่ F1,2 เป็นฟังก์ชันและ (x, y) เป็นตัวแปรฟังก์ชัน

แก้ระบบสมการ - หมายถึงการหาค่าดังกล่าว (x, y) ซึ่งระบบจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือเพื่อสร้างว่าไม่มีค่าที่เหมาะสมของ x และ y

ค่าคู่หนึ่ง (x, y) เขียนเป็นพิกัดจุด เรียกว่า คำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

หากระบบมีวิธีแก้ปัญหาร่วมกันเพียงข้อเดียวหรือไม่มีวิธีแก้ปัญหา จะเรียกว่าเทียบเท่า

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการเชิงเส้นคือระบบที่มีด้านขวาเท่ากับศูนย์ หากส่วนขวาหลังเครื่องหมาย "เท่ากับ" มีค่าหรือแสดงโดยฟังก์ชัน ระบบดังกล่าวจะไม่เท่ากัน

จำนวนของตัวแปรสามารถมีได้มากว่า 2 ตัว จากนั้นเราควรพูดถึงตัวอย่างของระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป

เมื่อต้องเผชิญกับระบบ เด็กนักเรียนคิดว่าจำนวนสมการต้องตรงกับจำนวนที่ไม่รู้จัก แต่ก็ไม่เป็นเช่นนั้น จำนวนของสมการในระบบไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปร อาจมีจำนวนมากตามอำเภอใจ

วิธีที่ง่ายและซับซ้อนในการแก้ระบบสมการ

ไม่มีวิธีการวิเคราะห์ทั่วไปในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว วิธีการทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข ที่ หลักสูตรโรงเรียนคณิตศาสตร์อธิบายรายละเอียดวิธีการต่างๆ เช่น การเรียงสับเปลี่ยน การบวกพีชคณิต การแทนที่ ตลอดจนวิธีกราฟิกและเมทริกซ์ การแก้ปัญหาโดยวิธีเกาส์

งานหลักในการสอนวิธีการแก้ปัญหาคือการสอนวิธีวิเคราะห์ระบบอย่างถูกต้องและค้นหาอัลกอริธึมการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับแต่ละตัวอย่าง สิ่งสำคัญไม่ใช่การจดจำระบบของกฎและการกระทำสำหรับแต่ละวิธี แต่เพื่อทำความเข้าใจหลักการของการใช้วิธีการเฉพาะ

การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นของชั้น 7 ของโปรแกรม โรงเรียนมัธยมค่อนข้างง่ายและอธิบายอย่างละเอียด ในตำราเรียนคณิตศาสตร์ส่วนนี้ได้รับความสนใจเพียงพอ การแก้ปัญหาของตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธี Gauss และ Cramer มีการศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมในหลักสูตรแรกของสถาบันอุดมศึกษา

การแก้ปัญหาของระบบโดยวิธีการทดแทน

การกระทำของวิธีการทดแทนมีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงค่าของตัวแปรหนึ่งผ่านวินาที นิพจน์จะถูกแทนที่ในสมการที่เหลือ จากนั้นลดลงเป็นรูปแบบตัวแปรเดียว การกระทำซ้ำขึ้นอยู่กับจำนวนของสิ่งที่ไม่รู้จักในระบบ

ยกตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นของคลาส 7 โดยวิธีการแทนที่:

ดังที่เห็นจากตัวอย่าง ตัวแปร x ถูกแสดงผ่าน F(X) = 7 + Y นิพจน์ผลลัพธ์ แทนที่สมการที่ 2 ของระบบแทน X ช่วยให้ได้ตัวแปร Y หนึ่งตัวในสมการที่ 2 . การแก้ปัญหาของตัวอย่างนี้ไม่ทำให้เกิดปัญหาและช่วยให้คุณได้รับค่า Y ขั้นตอนสุดท้ายคือการตรวจสอบค่าที่ได้รับ

เป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะแก้ตัวอย่างของระบบสมการเชิงเส้นโดยการแทนที่ สมการอาจซับซ้อนและการแสดงออกของตัวแปรในแง่ของไม่ทราบลำดับที่สองจะยุ่งยากเกินไปสำหรับการคำนวณเพิ่มเติม เมื่อมีสิ่งที่ไม่รู้จักมากกว่า 3 รายการในระบบ วิธีแก้ปัญหาการแทนที่ก็ไม่สามารถทำได้เช่นกัน

คำตอบของตัวอย่างระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น:

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การบวกพีชคณิต

เมื่อค้นหาคำตอบของระบบด้วยวิธีการบวก จะมีการบวกระยะต่อเทอมและการคูณสมการด้วยตัวเลขต่างๆ เป้าหมายสูงสุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์คือสมการที่มีตัวแปรเดียว

การประยุกต์ใช้วิธีนี้ต้องอาศัยการฝึกฝนและการสังเกต การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการบวกที่มีจำนวนตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไปไม่ใช่เรื่องง่าย การบวกพีชคณิตมีประโยชน์เมื่อสมการมีเศษส่วนและเลขทศนิยม

อัลกอริธึมการดำเนินการของโซลูชัน:

1. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนหนึ่ง จากการคำนวณทางคณิตศาสตร์ สัมประสิทธิ์ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจะต้องเท่ากับ 1
2. เพิ่มพจน์ของนิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ตามเทอมและค้นหานิพจน์ที่ไม่รู้จักตัวใดตัวหนึ่ง
3. แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการที่ 2 ของระบบเพื่อหาตัวแปรที่เหลือ

วิธีการแก้โดยแนะนำตัวแปรใหม่

ตัวแปรใหม่สามารถนำมาใช้ได้หากระบบต้องการหาคำตอบสำหรับสมการไม่เกินสองสมการ จำนวนไม่ทราบค่าไม่ควรเกินสองสมการ

วิธีการนี้ใช้เพื่อทำให้สมการใดสมการหนึ่งง่ายขึ้นโดยการแนะนำตัวแปรใหม่ สมการใหม่จะได้รับการแก้ไขโดยเทียบกับค่าที่ไม่รู้จักที่ป้อน และค่าผลลัพธ์จะถูกใช้เพื่อกำหนดตัวแปรดั้งเดิม

จะเห็นได้จากตัวอย่างที่ว่าโดยการแนะนำตัวแปรใหม่ t เป็นไปได้ที่จะลดสมการที่ 1 ของระบบลงเป็นไตรโนเมียลกำลังสองมาตรฐาน คุณสามารถแก้พหุนามได้โดยการหา discriminant

จำเป็นต้องหาค่าของ discriminant โดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี: D = b2 - 4*a*c โดยที่ D คือค่า discriminant ที่ต้องการ b, a, c คือตัวคูณของพหุนาม ในตัวอย่างที่กำหนด a=1, b=16, c=39 ดังนั้น D=100 ถ้า discriminant มีค่ามากกว่าศูนย์ แสดงว่ามีวิธีแก้ปัญหาสองทาง: t = -b±√D / 2*a หาก discriminant น้อยกว่าศูนย์ แสดงว่ามีวิธีแก้ปัญหาเดียวเท่านั้น: x= -b / 2*a

วิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบผลลัพธ์นั้นพบได้โดยวิธีการเพิ่มเติม

วิธีการมองเห็นสำหรับการแก้ปัญหาระบบ

เหมาะสำหรับระบบที่มี 3 สมการ วิธีการประกอบด้วยการพล็อตกราฟของสมการแต่ละสมการที่รวมอยู่ในระบบบนแกนพิกัด พิกัดของจุดตัดของเส้นโค้งและจะเป็น วิธีแก้ปัญหาทั่วไประบบต่างๆ

วิธีกราฟิกมีความแตกต่างกันหลายประการ ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นหลายแบบด้วยภาพ

ดังที่เห็นจากตัวอย่าง มีการสร้างจุดสองจุดสำหรับแต่ละบรรทัด ค่าของตัวแปร x ถูกเลือกโดยพลการ: 0 และ 3 ตามค่าของ x พบค่าสำหรับ y: 3 และ 0 จุดที่มีพิกัด (0, 3) และ (3, 0) ถูกทำเครื่องหมายบนกราฟและเชื่อมต่อด้วยเส้น

ต้องทำซ้ำขั้นตอนสำหรับสมการที่สอง จุดตัดของเส้นคือคำตอบของระบบ

ในตัวอย่างต่อไปนี้ จำเป็นต้องค้นหาคำตอบแบบกราฟิกของระบบสมการเชิงเส้น: 0.5x-y+2=0 และ 0.5x-y-1=0

ดังจะเห็นได้จากตัวอย่าง ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจากกราฟขนานกันและไม่ตัดกันตามความยาวทั้งหมด

ระบบจากตัวอย่างที่ 2 และ 3 มีความคล้ายคลึงกัน แต่เมื่อสร้างแล้ว จะเห็นได้ชัดว่าวิธีแก้ปัญหาต่างกัน ควรจำไว้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะบอกว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ก็จำเป็นต้องสร้างกราฟเสมอ

เมทริกซ์และความหลากหลายของมัน

เมทริกซ์ใช้เพื่อเขียนระบบสมการเชิงเส้นสั้นๆ เมทริกซ์คือตารางชนิดพิเศษที่เต็มไปด้วยตัวเลข n*m มี n - แถวและ m - คอลัมน์

เมทริกซ์เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อจำนวนคอลัมน์และแถวเท่ากัน เมทริกซ์-เวกเตอร์คือเมทริกซ์แบบคอลัมน์เดียวที่มีจำนวนแถวที่เป็นไปได้อย่างไม่จำกัด เมทริกซ์ที่มีหน่วยตามเส้นทแยงมุมและองค์ประกอบศูนย์อื่นๆ เรียกว่า เอกลักษณ์

เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์ดังกล่าว เมื่อคูณโดยที่เมทริกซ์เดิมกลายเป็นหน่วยหนึ่ง เมทริกซ์ดังกล่าวจะมีอยู่สำหรับสแควร์หนึ่งดั้งเดิมเท่านั้น

กฎการเปลี่ยนระบบสมการเป็นเมทริกซ์

สำหรับระบบสมการ สัมประสิทธิ์และสมาชิกอิสระของสมการเขียนเป็นตัวเลขของเมทริกซ์ สมการหนึ่งคือหนึ่งแถวของเมทริกซ์

แถวเมทริกซ์เรียกว่าไม่เป็นศูนย์ถ้าองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งแถวไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น หากจำนวนตัวแปรต่างกันในสมการใด ๆ ก็จำเป็นต้องป้อนศูนย์แทนค่าที่ไม่ทราบค่าที่หายไป

คอลัมน์ของเมทริกซ์ต้องสอดคล้องกับตัวแปรอย่างเคร่งครัด ซึ่งหมายความว่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x สามารถเขียนได้ในคอลัมน์เดียวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น คอลัมน์แรก ค่าสัมประสิทธิ์ของ y ที่ไม่รู้จัก - เฉพาะในคอลัมน์ที่สอง

เมื่อคูณเมทริกซ์ องค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดจะถูกคูณด้วยตัวเลขตามลำดับ

ตัวเลือกในการหาเมทริกซ์ผกผัน

สูตรในการหาเมทริกซ์ผกผันนั้นค่อนข้างง่าย: K -1 = 1 / |K| โดยที่ K -1 คือเมทริกซ์ผกผันและ |K| - ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ |K| จะต้องไม่เท่ากับศูนย์ จากนั้นระบบจะมีวิธีแก้ปัญหา

ดีเทอร์มีแนนต์คำนวณได้ง่ายสำหรับเมทริกซ์ขนาด 2 คูณ 2 จำเป็นต้องคูณองค์ประกอบในแนวทแยงเข้าหากันเท่านั้น สำหรับตัวเลือก "สามคูณสาม" มีสูตร |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . คุณสามารถใช้สูตร หรือจำไว้ว่าคุณต้องนำองค์ประกอบหนึ่งรายการจากแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์ เพื่อไม่ให้หมายเลขคอลัมน์และแถวขององค์ประกอบซ้ำกันในผลิตภัณฑ์

คำตอบของตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีเมทริกซ์

วิธีเมทริกซ์ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาทำให้สามารถลดสัญลักษณ์ที่ยุ่งยากเมื่อแก้ระบบด้วย ปริมาณมากตัวแปรและสมการ

ในตัวอย่าง nm คือสัมประสิทธิ์ของสมการ เมทริกซ์คือเวกเตอร์ x n คือตัวแปร และ b n คือพจน์อิสระ

การแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีเกาส์

ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง วิธีเกาส์ได้รับการศึกษาร่วมกับวิธีแครมเมอร์ และกระบวนการในการหาคำตอบของระบบเรียกว่าวิธีแก้เกาส์-แครมเมอร์ วิธีการเหล่านี้ใช้เพื่อค้นหาตัวแปรของระบบที่มีสมการเชิงเส้นจำนวนมาก

วิธีเกาส์เซียนคล้ายกันมากกับการแทนที่และการบวกพีชคณิต แต่เป็นระบบมากกว่า ในหลักสูตรของโรงเรียน สารละลายเกาส์เซียนใช้สำหรับระบบสมการ 3 และ 4 จุดประสงค์ของวิธีการนี้คือการนำระบบไปอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูคว่ำ โดยการแปลงและการแทนที่เชิงพีชคณิต ค่าของตัวแปรหนึ่งจะพบได้ในสมการใดสมการหนึ่งของระบบ สมการที่สองคือนิพจน์ที่มี 2 นิรนาม และ 3 และ 4 - พร้อมตัวแปร 3 และ 4 ตามลำดับ

หลังจากนำระบบไปสู่รูปแบบที่อธิบายไว้แล้ว วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมจะลดลงเป็นการแทนที่ตามลำดับของตัวแปรที่ทราบในสมการของระบบ

ในหนังสือเรียนของโรงเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัวอย่างของวิธีแก้ปัญหาแบบเกาส์เซียนอธิบายไว้ดังนี้:

ดังจะเห็นได้จากตัวอย่าง ในขั้นตอนที่ (3) จะได้สมการสองสมการ 3x 3 -2x 4 =11 และ 3x 3 +2x 4 =7 การแก้สมการใด ๆ จะทำให้คุณสามารถหาตัวแปร x n ตัวใดตัวหนึ่งได้

ทฤษฎีบท 5 ซึ่งกล่าวถึงในข้อความระบุว่าหากสมการใดสมการหนึ่งของระบบถูกแทนที่ด้วยสมการที่เท่ากัน ระบบที่ได้ก็จะเทียบเท่ากับสมการเดิมด้วย

วิธีเกาส์นั้นยากสำหรับนักเรียนระดับมัธยมต้นที่จะเข้าใจ แต่เป็นวิธีที่น่าสนใจที่สุดวิธีหนึ่งในการพัฒนาความเฉลียวฉลาดของเด็กที่เรียนในโปรแกรมการศึกษาขั้นสูงในชั้นเรียนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์

เพื่อความสะดวกในการบันทึกการคำนวณ ให้ทำดังนี้

ค่าสัมประสิทธิ์สมการและพจน์อิสระเขียนในรูปของเมทริกซ์ โดยที่แต่ละแถวของเมทริกซ์จะสอดคล้องกับหนึ่งในสมการของระบบ แยกด้านซ้ายของสมการออกจากด้านขวา เลขโรมันแสดงถึงจำนวนสมการในระบบ

ขั้นแรก พวกเขาเขียนเมทริกซ์ที่จะใช้ทำงาน จากนั้นการกระทำทั้งหมดที่ทำกับแถวใดแถวหนึ่ง เมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกเขียนหลังเครื่องหมาย "ลูกศร" และดำเนินการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นต่อไปจนกว่าจะได้ผลลัพธ์

เป็นผลให้ควรได้เมทริกซ์โดยที่หนึ่งในเส้นทแยงมุมคือ 1 และสัมประสิทธิ์อื่น ๆ ทั้งหมดเท่ากับศูนย์นั่นคือเมทริกซ์จะลดลงเป็นรูปแบบเดียว เราต้องไม่ลืมทำการคำนวณด้วยตัวเลขทั้งสองข้างของสมการ

สัญกรณ์นี้มีความยุ่งยากน้อยกว่าและช่วยให้คุณไม่ต้องฟุ้งซ่านด้วยการแสดงรายการที่ไม่รู้จักมากมาย

แอปพลิเคชั่นฟรีของวิธีการแก้ปัญหาใด ๆ จะต้องได้รับการดูแลและประสบการณ์จำนวนหนึ่ง ไม่ได้ใช้วิธีการทั้งหมด บางวิธีในการค้นหาวิธีแก้ปัญหานั้นเป็นที่นิยมมากกว่าในด้านใดด้านหนึ่งของกิจกรรมของมนุษย์ ในขณะที่วิธีอื่นๆ มีไว้เพื่อจุดประสงค์ในการเรียนรู้

การใช้สมการแพร่หลายในชีวิตของเรา ใช้ในการคำนวณ การก่อสร้างโครงสร้าง และแม้กระทั่งกีฬา มนุษย์ใช้สมการมาตั้งแต่สมัยโบราณและนับแต่นั้นมาการใช้สมการก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น วิธีการแทนที่ทำให้ง่ายต่อการแก้ระบบสมการเชิงเส้นของความซับซ้อนใดๆ สาระสำคัญของวิธีการคือ โดยใช้นิพจน์แรกของระบบ เราแสดง "y" จากนั้นเราแทนที่นิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ลงในสมการที่สองของระบบแทนที่จะเป็น "y" เนื่องจากสมการนั้นไม่ได้มีไม่ทราบสองตัวอยู่แล้ว แต่มีเพียงตัวเดียว เราจึงสามารถหาค่าของตัวแปรนี้ได้อย่างง่ายดาย จากนั้นจึงใช้เพื่อกำหนดค่าของตัวที่สอง

สมมติว่าเราได้รับระบบสมการเชิงเส้นในรูปแบบต่อไปนี้:

\[\left\(\begin(matrix) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]

ด่วน \

\[\left\(\begin(matrix) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]

แทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการที่ 2:

\[\left\(\begin(matrix) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end(matrix)\right.\]

ค้นหาค่า \

ลดความซับซ้อนและแก้สมการโดยเปิดวงเล็บและคำนึงถึงกฎสำหรับการโอนเงื่อนไข:

ตอนนี้เรารู้ค่าของ \ ลองใช้สิ่งนี้เพื่อหาค่าของ \

คำตอบ: \[(4;2).\]

ฉันจะแก้ระบบสมการออนไลน์โดยใช้วิธีการแทนที่ได้ที่ไหน

คุณสามารถแก้ระบบสมการบนเว็บไซต์ของเรา โปรแกรมแก้ปัญหาออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณแก้สมการออนไลน์ของความซับซ้อนใด ๆ ในไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงแค่ป้อนข้อมูลของคุณลงในโปรแกรมแก้ไข คุณสามารถเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเราได้ และหากคุณมีคำถามใดๆ คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม Vkontakte ของเรา