สมการ

จะแก้สมการได้อย่างไร?

ในส่วนนี้ เราจะจำ (หรือศึกษา - อย่างที่ใครๆ ก็ชอบ) สมการพื้นฐานที่สุด แล้วสมการคืออะไร? เมื่อพูดถึงมนุษย์ นี่คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง ซึ่งมีเครื่องหมายเท่ากับและไม่ทราบ ซึ่งมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร "เอ็กซ์". แก้สมการคือการหาค่า x ดังกล่าวซึ่งเมื่อแทนค่าเป็น อักษรย่อการแสดงออกจะทำให้เราระบุตัวตนที่ถูกต้อง ผมขอเตือนคุณว่าตัวตนคือการแสดงออกที่ไม่ก่อให้เกิดความสงสัยแม้แต่กับคนที่ไม่มีภาระกับความรู้ทางคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน เช่น 2=2, 0=0, ab=ab เป็นต้น แล้วจะแก้สมการยังไง?ลองคิดออก

มีสมการทุกประเภท (ฉันประหลาดใจใช่ไหม) แต่ความหลากหลายที่ไม่มีที่สิ้นสุดทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสี่ประเภทเท่านั้น

4. อื่น.)

ที่เหลือ ที่สำคัญที่สุด ใช่เลย ...) ซึ่งรวมถึงลูกบาศก์ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และอื่นๆ ทุกประเภท เราจะทำงานอย่างใกล้ชิดกับพวกเขาในส่วนที่เกี่ยวข้อง

ฉันต้องบอกทันทีว่าบางครั้งสมการของสามประเภทแรกนั้นซับซ้อนจนคุณจำไม่ได้ ... ไม่มีอะไร เราจะเรียนรู้วิธีคลายมัน

และทำไมเราถึงต้องการสี่ประเภทนี้? แล้วไงต่อ สมการเชิงเส้นแก้ได้ทางเดียว สี่เหลี่ยมคนอื่น เศษส่วนเหตุผล - ที่สามเอ พักผ่อนไม่แก้เลย! ไม่ใช่ว่าพวกเขาไม่ได้ตัดสินใจเลย ฉันทำให้คณิตศาสตร์ขุ่นเคืองอย่างไร้ประโยชน์) เพียงเพราะพวกเขามีเทคนิคและวิธีการพิเศษของตัวเอง

แต่สำหรับใด ๆ (ฉันขอย้ำ - สำหรับ ใดๆ!) สมการเป็นพื้นฐานที่เชื่อถือได้และปราศจากปัญหาในการแก้ ทำงานได้ทุกที่และทุกเวลา ฐานนี้ - ฟังดูน่ากลัว แต่สิ่งนี้ง่ายมาก และมาก (มาก!)สำคัญ.

ที่จริงแล้ว คำตอบของสมการประกอบด้วยการแปลงแบบเดียวกันนี้ ที่ 99%. ตอบคำถาม: " จะแก้สมการได้อย่างไร?" โกหก แค่ในการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ คำใบ้ชัดเจนไหม?)

การแปลงเอกลักษณ์ของสมการ

ที่ สมการใด ๆเพื่อค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก จำเป็นต้องแปลงและทำให้ตัวอย่างเดิมง่ายขึ้น ยิ่งไปกว่านั้น เพื่อที่ว่าเมื่อเปลี่ยนรูปลักษณ์ สาระสำคัญของสมการไม่เปลี่ยนแปลงการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่า เหมือนกันหรือเทียบเท่า.

โปรดทราบว่าการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้คือ สำหรับสมการเท่านั้นในวิชาคณิตศาสตร์ ยังคงมีการแปลงเหมือนกัน นิพจน์นี่เป็นอีกหัวข้อหนึ่ง

ตอนนี้เราจะทำซ้ำ all-all-all พื้นฐาน การแปลงสมการที่เหมือนกัน

พื้นฐานเพราะใช้ได้กับ ใดๆสมการ - เชิงเส้น, สมการกำลังสอง, เศษส่วน, ตรีโกณมิติ, เลขชี้กำลัง, ลอการิทึม ฯลฯ เป็นต้น

การแปลงที่เหมือนกันครั้งแรก: สามารถบวกทั้งสองข้างของสมการใดก็ได้ (ลบออก) ใดๆ(แต่เหมือนกัน!) ตัวเลขหรือนิพจน์ (รวมถึงนิพจน์ที่ไม่รู้จัก!) สาระสำคัญของสมการไม่เปลี่ยนแปลง

อีกอย่าง คุณใช้การแปลงนี้เป็นประจำ คุณแค่คิดว่าคุณย้ายพจน์บางพจน์จากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย พิมพ์:

เรื่องคุ้นเคยเราย้ายผีไปทางขวาและเราได้รับ:

จริงๆแล้วคุณ เอาออกไปจากทั้งสองข้างของสมการดิวซ์ ผลลัพธ์จะเหมือนกัน:

x+2 - 2 = 3 - 2

การโอนเงื่อนไขไปทางซ้าย-ขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นเพียงรูปแบบย่อของการแปลงที่เหมือนกันครั้งแรก และทำไมเราถึงต้องการความรู้ที่ลึกซึ้งเช่นนี้? - คุณถาม. ไม่มีอะไรในสมการ ย้ายมันเพื่อประโยชน์ของพระเจ้า อย่าลืมเปลี่ยนป้าย แต่ในความไม่เท่าเทียม นิสัยชอบเปลี่ยนใจ อาจนำไปสู่ทางตัน ....

การแปลงเอกลักษณ์ครั้งที่สอง: สมการทั้งสองข้างสามารถคูณ (หาร) ได้เท่ากัน ไม่ใช่ศูนย์ตัวเลขหรือนิพจน์ ข้อจำกัดที่เข้าใจได้ปรากฏขึ้นแล้ว: มันโง่ที่จะคูณด้วยศูนย์ แต่ไม่สามารถหารได้เลย นี่คือการเปลี่ยนแปลงที่คุณใช้เมื่อคุณตัดสินใจบางอย่างที่เจ๋งเช่น

เข้าใจได้, X= 2. แต่คุณพบมันได้อย่างไร? การคัดเลือก? หรือเพียงแค่สว่างขึ้น? เพื่อไม่ให้รับและรอความเข้าใจคุณต้องเข้าใจว่าคุณเป็นเพียง หารทั้งสองข้างของสมการโดย 5. เมื่อหารด้านซ้าย (5x) ห้าลดลงเหลือ X บริสุทธิ์ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการ และเมื่อหารด้านขวาของ (10) ด้วยห้า มันกลับกลายเป็นผีสาง

นั่นคือทั้งหมดที่

เป็นเรื่องตลก แต่การแปลงที่เหมือนกันทั้งสอง (เพียงสอง!) นั้นรองรับวิธีแก้ปัญหา สมการคณิตศาสตร์ทั้งหมดยังไง! มันสมเหตุสมผลที่จะดูตัวอย่างว่าอะไรและอย่างไรใช่ไหม)

ตัวอย่างการแปลงสมการที่เหมือนกัน ปัญหาหลัก.

มาเริ่มกันที่ แรกการแปลงที่เหมือนกัน เลื่อนซ้าย-ขวา.

เป็นตัวอย่างให้น้องๆ)

สมมติว่าเราต้องแก้สมการต่อไปนี้:

3-2x=5-3x

จำคาถา: "ด้วย X - ทางซ้าย, ไม่มี X - ทางขวา!"คาถานี้เป็นคำสั่งในการใช้การแปลงเอกลักษณ์ครั้งแรก) นิพจน์ที่มี x ทางด้านขวาคืออะไร? 3x? คำตอบคือผิด! ทางขวามือของเรา - 3x! ลบสาม x! ดังนั้นเมื่อเลื่อนไปทางซ้ายเครื่องหมายจะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายบวก รับ:

3-2x+3x=5

ดังนั้น X's จึงถูกรวมเข้าด้วยกัน มาทำตัวเลขกันเถอะ สามทางซ้าย. ด้วยเครื่องหมายอะไร? คำตอบ "ไม่มี" ไม่เป็นที่ยอมรับ!) ต่อหน้าทั้งสาม ไม่มีอะไรถูกดึงออกมา และนี่หมายความว่าข้างหน้าสามคือ เป็นบวก.นักคณิตศาสตร์จึงเห็นด้วย ไม่มีอะไรเขียน ดังนั้น เป็นบวก.ดังนั้นทริปเปิ้ลจะถูกโอนไปทางด้านขวา ด้วยเครื่องหมายลบเราได้รับ:

-2x+3x=5-3

มีพื้นที่ว่างเหลืออยู่ ทางด้านซ้าย - ให้สิ่งที่คล้ายกันทางด้านขวา - นับ คำตอบคือทันที:

ในตัวอย่างนี้ การแปลงที่เหมือนกันเพียงครั้งเดียวก็เพียงพอแล้ว อันที่สองไม่จำเป็น โอเค.)

เป็นแบบอย่างแก่ผู้ใหญ่)

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ตัวอักษรใช้เพื่อแสดงถึงตัวเลขที่ไม่รู้จัก มันคือความหมายของตัวอักษรเหล่านี้ที่เราต้องมองหาโดยใช้คำตอบของสมการ

ในการแก้สมการ เราพยายามในขั้นตอนแรกเพื่อให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า ซึ่งช่วยให้เราได้ผลลัพธ์โดยใช้การจัดการทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย ในการทำเช่นนี้ เราดำเนินการโอนเงื่อนไขจากด้านซ้ายไปด้านขวา เปลี่ยนเครื่องหมาย คูณ / หารส่วนของประโยคด้วยจำนวนหนึ่ง เปิดวงเล็บ แต่เราดำเนินการทั้งหมดเหล่านี้โดยมีเป้าหมายเดียว - เพื่อให้ได้สมการง่ายๆ

สมการ \ - เป็นสมการที่มีรูปแบบเชิงเส้นที่ไม่รู้จักรูปแบบหนึ่ง โดยที่ r และ c เป็นสัญลักษณ์สำหรับค่าตัวเลข ในการแก้สมการประเภทนี้ จำเป็นต้องถ่ายโอนเงื่อนไขของมัน:

ตัวอย่างเช่น เราต้องแก้สมการต่อไปนี้:

เราเริ่มต้นการแก้สมการนี้โดยการย้ายสมาชิก: จาก \[x\] - ไปทางซ้าย ส่วนที่เหลือ - ไปทางขวา เมื่อทำการโอนโปรดจำไว้ว่า \[+\] เปลี่ยนเป็น \[-.\] เราได้รับ:

\[-2x+3x=5-3\]

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย เราได้รับผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

ฉันจะแก้สมการด้วย x ออนไลน์ได้ที่ไหน

คุณสามารถแก้สมการด้วย x ออนไลน์บนเว็บไซต์ของเรา https://site. โปรแกรมแก้ปัญหาออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณแก้สมการออนไลน์ของความซับซ้อนใด ๆ ในไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงแค่ป้อนข้อมูลของคุณลงในโปรแกรมแก้ไข คุณสามารถชมวิดีโอการสอนและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา และหากคุณมีคำถามใดๆ คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม Vkontakte ของเรา http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีที่จะช่วยเหลือคุณเสมอ

แก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

อะไร สมการเลขชี้กำลัง? นี่คือสมการที่นิรนาม (x) และนิพจน์ที่อยู่ใน ตัวชี้วัดบางองศา และที่นั่นเท่านั้น! มันเป็นสิ่งสำคัญ

นั่นแหละ ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง:

3 x 2 x = 8 x + 3

บันทึก! ในฐานขององศา (ด้านล่าง) - เฉพาะตัวเลข. ที่ ตัวชี้วัดองศา (ด้านบน) - การแสดงออกที่หลากหลายด้วย x หากทันใดนั้น x ปรากฏในสมการที่อื่นที่ไม่ใช่ตัวบ่งชี้ เช่น

นี่จะเป็นสมการแบบผสม สมการดังกล่าวไม่มีกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนในการแก้ เราจะไม่พิจารณาพวกเขาในตอนนี้ ที่นี่เราจะจัดการกับ แก้สมการเลขชี้กำลังในรูปแบบที่บริสุทธิ์ที่สุด

อันที่จริง แม้แต่สมการเลขชี้กำลังล้วนๆ ก็ไม่ได้ถูกแก้อย่างชัดเจนเสมอไป แต่มีสมการเลขชี้กำลังบางประเภทที่สามารถและควรแก้ได้ เหล่านี้คือประเภทที่เราจะดู

คำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

เริ่มจากสิ่งที่พื้นฐานมาก ตัวอย่างเช่น:

แม้จะไม่มีทฤษฎีใด ๆ ก็ตาม โดยการเลือกอย่างง่าย ๆ เป็นที่ชัดเจนว่า x = 2 ไม่มีอะไรมากใช่มั้ย!? ไม่มีม้วนค่า x อื่น ๆ ทีนี้มาดูคำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนนี้กัน:

เราทำอะไรลงไปบ้าง? อันที่จริงเราเพิ่งโยนก้นเดียวกันออก (สามเท่า) โยนทิ้งให้หมด และสิ่งที่พอใจ ตีเครื่องหมาย!

แท้จริงแล้วถ้าในสมการเลขชี้กำลังทางซ้ายและทางขวาคือ เหมือนตัวเลขในระดับใด ๆ ตัวเลขเหล่านี้สามารถลบออกและเลขชี้กำลังเท่ากัน คณิตศาสตร์ช่วยให้ มันยังคงแก้สมการที่ง่ายกว่ามาก มันดีใช่มั้ย?)

อย่างไรก็ตาม ขอให้จำไว้อย่างแดกดัน: คุณสามารถลบฐานได้ก็ต่อเมื่อตัวเลขฐานทางด้านซ้ายและด้านขวาอยู่ในการแยกที่ยอดเยี่ยมเท่านั้น!โดยไม่มีเพื่อนบ้านและสัมประสิทธิ์ใดๆ สมมติว่าในสมการ:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , หรือ

ลบดับเบิ้ลไม่ได้!

เราเข้าใจสิ่งที่สำคัญที่สุดแล้ว วิธีเปลี่ยนจากนิพจน์เลขชี้กำลังที่ชั่วร้ายไปเป็นสมการที่ง่ายกว่า

“นี่มันยุคสมัยนี่นะ!” คุณพูด. "ใครจะให้ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการควบคุมและการสอบ!"

บังคับให้ตกลง ไม่มีใครจะ แต่ตอนนี้ คุณรู้แล้วว่าจะต้องไปที่ใดเมื่อต้องแก้ตัวอย่างที่สับสน จำเป็นต้องคำนึงถึงเมื่อเลขฐานเดียวกันอยู่ทางซ้าย - ทางขวา แล้วทุกอย่างจะง่ายขึ้น อันที่จริงนี่คือความคลาสสิกของคณิตศาสตร์ เรานำตัวอย่างดั้งเดิมและแปลงเป็นที่ต้องการ เราจิตใจ. ตามกฎของคณิตศาสตร์แน่นอน

พิจารณาตัวอย่างที่ต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมเพื่อให้ง่ายที่สุด มาเรียกพวกเขาว่า เรียบง่าย สมการเลขชี้กำลัง.

คำตอบของสมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย ตัวอย่าง.

เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง กฎหลักคือ การกระทำที่มีอำนาจหากปราศจากความรู้เกี่ยวกับการกระทำเหล่านี้ ก็จะไม่มีอะไรเกิดขึ้น

ในการดำเนินการกับองศา เราต้องเพิ่มการสังเกตส่วนบุคคลและความเฉลียวฉลาด เราต้องการเลขฐานเดียวกันหรือไม่? ดังนั้นเราจึงมองหาพวกเขาในตัวอย่างในรูปแบบที่ชัดเจนหรือเข้ารหัส

เรามาดูวิธีการทำในทางปฏิบัติ?

ให้เรายกตัวอย่าง:

2 2x - 8 x+1 = 0

แวบแรกที่ บริเวณพวกเขา... พวกเขาแตกต่างกัน! สองและแปด แต่มันเร็วเกินไปที่จะท้อแท้ ถึงเวลาต้องจำไว้

สองและแปดเป็นญาติกันในระดับปริญญา) ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะเขียน:

8 x+1 = (2 3) x+1

หากเราจำสูตรจากการกระทำที่มีอำนาจ:

(n) m = นาโนเมตร ,

โดยทั่วไปแล้วใช้งานได้ดี:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

ตัวอย่างเดิมมีลักษณะดังนี้:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

เราโอน 2 3 (x+1)ทางด้านขวา (ไม่มีใครยกเลิกการกระทำเบื้องต้นของคณิตศาสตร์!) เราได้รับ:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

นั่นคือทั้งหมดที่ การถอดฐาน:

เราแก้สัตว์ประหลาดตัวนี้และรับ

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง

ในตัวอย่างนี้ การรู้ถึงพลังของทั้งสองช่วยเราได้ เรา ระบุในแปด ผีสางที่เข้ารหัส เทคนิคนี้ (การเข้ารหัสฐานทั่วไปภายใต้ตัวเลขต่างกัน) เป็นเคล็ดลับที่นิยมอย่างมากในสมการเลขชี้กำลัง! ใช่ แม้แต่ในลอการิทึม ต้องสามารถรับรู้พลังของตัวเลขอื่น ๆ เป็นตัวเลขได้ นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง

ความจริงก็คือการเพิ่มจำนวนใด ๆ ให้กับกำลังใด ๆ นั้นไม่ใช่ปัญหา ทวีคูณ แม้กระทั่งบนแผ่นกระดาษ แค่นั้นเอง ตัวอย่างเช่น ทุกคนสามารถยกกำลัง 3 ยกกำลัง 5 ได้ 243 จะกลายเป็นถ้าคุณรู้ตารางการคูณ) แต่ในสมการเลขชี้กำลัง บ่อยครั้งไม่จำเป็นต้องยกกำลัง แต่ในทางกลับกัน ... เลขอะไร ขนาดไหนซ่อนอยู่หลังหมายเลข 243 หรือพูด 343... ไม่มีเครื่องคิดเลขจะช่วยคุณที่นี่

คุณต้องรู้พลังของตัวเลขบางตัวด้วยสายตา ใช่ ... เรามาฝึกกันไหม?

กำหนดว่าอำนาจใดและตัวเลขใดเป็นตัวเลข:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

คำตอบ (แน่นอน!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

หากสังเกตดีๆ จะพบข้อเท็จจริงที่แปลกประหลาด มีคำตอบมากกว่าคำถาม! มันเกิดขึ้น... ตัวอย่างเช่น 2 6 , 4 3 , 8 2 คือ 64 ทั้งหมด

สมมติว่าคุณได้จดบันทึกข้อมูลเกี่ยวกับความคุ้นเคยกับตัวเลขแล้ว) ฉันขอเตือนคุณด้วยว่าเราใช้สำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง ทั้งหมดนี้คลังความรู้ทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งจากชนชั้นกลางตอนล่าง คุณไม่ได้ตรงไปโรงเรียนมัธยมใช่ไหม?

ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง การใส่ตัวประกอบร่วมในวงเล็บมักจะช่วยได้มาก (สวัสดีถึงเกรด 7!) มาดูตัวอย่างกัน:

3 2x+4 -11 9 x = 210

และอีกครั้งกับลุคแรก - บนสนาม! ฐานขององศาต่างกัน ... สามและเก้า และเราต้องการให้พวกเขาเหมือนกัน ในกรณีนี้ความปรารถนาค่อนข้างเป็นไปได้!) เพราะ:

9 x = (3 2) x = 3 2x

ตามกฎเดียวกันสำหรับการกระทำที่มีองศา:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

เยี่ยมมาก คุณสามารถเขียน:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

เรายกตัวอย่างด้วยเหตุผลเดียวกัน แล้วยังไงต่อ!? คุณไม่สามารถทิ้งแฝดสาม... ทางตัน?

ไม่เลย. จดจำกฎการตัดสินใจที่เป็นสากลและทรงพลังที่สุด ทั้งหมดงานคณิตศาสตร์:

ถ้าไม่รู้จะทำอะไรก็ทำไปเลย!

คุณดูทุกอย่างเกิดขึ้น)

อะไรอยู่ในสมการเลขชี้กำลังนี้ สามารถทำ? ใช่ ทางซ้ายขอวงเล็บโดยตรง! ปัจจัยทั่วไปของ 3 2x บ่งบอกถึงสิ่งนี้อย่างชัดเจน มาลองดูกัน แล้วเราจะเห็นว่า:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

ตัวอย่างดีขึ้นเรื่อยๆ!

เราจำได้ว่าเพื่อที่จะกำจัดฐาน เราจำเป็นต้องมีระดับบริสุทธิ์ โดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ใดๆ เลข 70 กวนใจเรา เราหารสมการทั้งสองข้างด้วย 70 เราจะได้:

โอปป้า! ทุกอย่างเป็นไปด้วยดี!

นี่คือคำตอบสุดท้าย

อย่างไรก็ตาม มันเกิดขึ้นที่การแล่นออกนอกพื้นที่เดียวกัน แต่การชำระบัญชีไม่ได้เกิดขึ้น สิ่งนี้เกิดขึ้นในสมการเลขชี้กำลังประเภทอื่น มาประเภทนี้กันเถอะ

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในการแก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.

มาแก้สมการกัน:

4 x - 3 2 x +2 = 0

ครั้งแรก - ตามปกติ ไปที่ฐานกันเถอะ ไปที่ผีสาง

4 x = (2 2) x = 2 2x

เราได้รับสมการ:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

และที่นี่เราจะแขวน เทคนิคก่อนหน้านี้จะไม่ทำงาน ไม่ว่าคุณจะหมุนอย่างไร เราจะต้องได้รับจากคลังแสงของวิธีที่มีประสิทธิภาพและหลากหลายวิธีอื่น ก็เรียกว่า การแทนที่ตัวแปร

สาระสำคัญของวิธีการนั้นง่ายอย่างน่าประหลาดใจ แทนที่จะเป็นหนึ่งไอคอนที่ซับซ้อน (ในกรณีของเราคือ 2 x) เราเขียนอีกอันหนึ่งที่ง่ายกว่า (เช่น t) การแทนที่ที่ดูเหมือนไร้ความหมายเช่นนี้นำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์!) ทุกอย่างชัดเจนและเข้าใจได้!

ดังนั้นให้

จากนั้น 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

เราแทนที่สมการกำลังทั้งหมดด้วย x ด้วย t:

มันเช้าแล้วเหรอ?) ยังไม่ลืมสมการกำลังสองเหรอ? เราแก้ไขผ่านการเลือกปฏิบัติ เราได้รับ:

ที่นี่สิ่งสำคัญคือไม่หยุดเมื่อมันเกิดขึ้น ... นี่ไม่ใช่คำตอบเราต้องการ x ไม่ใช่ t เรากลับไปที่ Xs นั่นคือ ทำการทดแทน ครั้งแรกสำหรับเสื้อ 1:

นั่นคือ,

พบหนึ่งราก เรากำลังมองหาอันที่สองจาก t 2:

อืม... ซ้าย 2 x ขวา 1... มีปัญหา? ใช่ไม่เลย! ก็เพียงพอแล้วที่จะจำ (จากการกระทำที่มีองศาใช่ ... ) ว่าความสามัคคีคือ ใดๆตัวเลขเป็นศูนย์ ใดๆ. สิ่งที่คุณต้องการ เราจัดให้ เราต้องการสอง วิธี:

ตอนนี้นั่นคือทั้งหมด มี 2 ​​ราก:

นี่คือคำตอบ

ที่ การแก้สมการเลขชี้กำลังในตอนท้ายบางครั้งมีการแสดงออกที่น่าอึดอัดใจ พิมพ์:

จากเจ็ดคนผีผ่านระดับง่าย ๆ ไม่ทำงาน พวกเขาไม่ใช่ญาติ ... ฉันจะอยู่ที่นี่ได้อย่างไร บางคนอาจสับสน ... แต่ผู้ที่อ่านหัวข้อ "ลอการิทึมคืออะไร" ในไซต์นี้ ยิ้มเท่าที่จำเป็นและจดคำตอบที่ถูกต้องอย่างแน่นอน:

ไม่มีคำตอบดังกล่าวในงาน "B" ในการสอบ มีจำนวนเฉพาะที่ต้องการ แต่ในงาน "C" - ได้อย่างง่ายดาย

บทเรียนนี้แสดงตัวอย่างการแก้สมการเลขชี้กำลังที่พบบ่อยที่สุด มาเน้นที่ตัวหลักกัน

เคล็ดลับการปฏิบัติ:

1. ก่อนอื่นเราดูที่ บริเวณองศา มาดูกันว่าทำไม่ได้ เหมือน.ลองทำสิ่งนี้โดยใช้อย่างแข็งขัน การกระทำที่มีอำนาจอย่าลืมว่าตัวเลขที่ไม่มี x ก็เปลี่ยนเป็นองศาได้เช่นกัน!

2. เรากำลังพยายามนำสมการเลขชี้กำลังมาอยู่ในรูปเมื่อด้านซ้ายและขวาเป็น เหมือนตัวเลขในระดับใดก็ได้ เราใช้ การกระทำที่มีอำนาจและ การแยกตัวประกอบสิ่งที่สามารถนับเป็นตัวเลขได้ - เรานับ

3. หากคำแนะนำที่สองไม่ได้ผล เราพยายามใช้การแทนที่ตัวแปร ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นสมการที่แก้ได้ง่าย บ่อยที่สุด - สี่เหลี่ยม หรือเศษส่วนซึ่งยังลดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

4. ในการแก้สมการเลขชี้กำลังให้สำเร็จ คุณต้องรู้องศาของตัวเลขบางตัว "จากการมอง"

ตามปกติ เมื่อสิ้นสุดบทเรียน คุณจะได้รับเชิญให้แก้ไขเล็กน้อย) ด้วยตัวคุณเอง จากง่ายไปซับซ้อน

แก้สมการเลขชี้กำลัง:

ยากขึ้น:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

ค้นหาผลิตภัณฑ์จากราก:

2 3-x + 2 x = 9

เกิดขึ้น?

ดีละถ้าอย่างนั้น ตัวอย่างที่ยากที่สุด(มันถูกกำหนดไว้แล้วในใจ ... ):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

อะไรน่าสนใจกว่ากัน? นี่เป็นตัวอย่างที่ไม่ดีสำหรับคุณ ค่อนข้างดึงยากขึ้น ฉันจะบอกใบ้ว่าในตัวอย่างนี้ ความเฉลียวฉลาดและกฎที่เป็นสากลที่สุดสำหรับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะช่วยประหยัดได้)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

ตัวอย่างง่ายกว่าเพื่อการผ่อนคลาย):

9 2 x - 4 3 x = 0

และสำหรับขนม หาผลรวมของรากของสมการ:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

ใช่ ๆ! นี่คือสมการแบบผสม! ซึ่งเราไม่ได้พิจารณาในบทเรียนนี้ และสิ่งที่ต้องพิจารณาพวกเขาจะต้องแก้ไข!) บทเรียนนี้ค่อนข้างเพียงพอที่จะแก้สมการ ต้องใช้ความฉลาด ... และใช่เกรดเจ็ดจะช่วยคุณได้ (นี่เป็นคำใบ้!)

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย คั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค):

หนึ่ง; 2; 3; สี่; ไม่มีวิธีแก้ปัญหา 2; -2; -5; สี่; 0.

ทุกอย่างประสบความสำเร็จหรือไม่? ยอดเยี่ยม.

มีปัญหา? ไม่มีปัญหา! ในส่วนพิเศษ 555 สมการเลขชี้กำลังเหล่านี้ได้รับการแก้ไขพร้อมคำอธิบายโดยละเอียด อะไร ทำไม และทำไม และแน่นอนว่ายังมีข้อมูลที่มีค่าเพิ่มเติมเกี่ยวกับการทำงานกับสมการเลขชี้กำลังทุกประเภท ไม่เพียงแต่กับสิ่งเหล่านี้)

คำถามสุดท้ายที่น่าพิจารณา ในบทนี้ เราทำงานกับสมการเลขชี้กำลัง ทำไมฉันไม่พูดอะไรเกี่ยวกับ ODZ ที่นี่ในสมการนี่เป็นสิ่งสำคัญมาก อย่างไรก็ตาม ...

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

สมการเชิงเส้น โซลูชันตัวอย่าง

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นไม่ใช่หัวข้อที่ยากที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แต่มีกลอุบายบางอย่างที่สามารถไขปริศนาได้แม้กระทั่งนักเรียนที่ได้รับการฝึกฝน เรามาทำความเข้าใจกันดีไหม?)

สมการเชิงเส้นมักจะถูกกำหนดเป็นสมการของรูปแบบ:

ขวาน + ข = 0 ที่ไหน a และ b- ตัวเลขใด ๆ

2x + 7 = 0 ที่นี่ ก=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 ที่นี่ ก=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 ที่นี่ ก=12, b=1/2

ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณไม่สังเกตคำ: "โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขใดๆ"... และถ้าคุณสังเกตแต่คิดอย่างไม่ระมัดระวัง?) ท้ายที่สุดถ้า ก=0, b=0(ตัวเลขใด ๆ ที่เป็นไปได้?) จากนั้นเราก็ได้รับสำนวนตลก ๆ :

แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ถ้าพูดว่า ก=0,เอ ข=5,ปรากฎว่าค่อนข้างไร้สาระ:

สิ่งที่สายพันธุ์และบ่อนทำลายความมั่นใจในวิชาคณิตศาสตร์ใช่ ... ) โดยเฉพาะในการสอบ แต่สำหรับสำนวนแปลกๆ เหล่านี้ คุณต้องหา X ด้วย! ซึ่งไม่มีอยู่เลย และน่าประหลาดใจที่ X ตัวนี้หาได้ง่ายมาก เราจะเรียนรู้วิธีการทำ ในบทเรียนนี้

วิธีการรับรู้สมการเชิงเส้นในลักษณะที่ปรากฏ? ขึ้นอยู่กับลักษณะที่ปรากฏ) เคล็ดลับคือสมการเชิงเส้นไม่ได้เรียกว่าสมการของรูปแบบเท่านั้น ขวาน + ข = 0 แต่ยังรวมถึงสมการใดๆ ที่ลดขนาดลงสู่รูปแบบนี้ด้วยการแปลงและการทำให้เข้าใจง่ายด้วย และใครจะรู้ว่าลดได้หรือเปล่า?)

ในบางกรณีสามารถจำสมการเชิงเส้นได้อย่างชัดเจน สมมุติว่าถ้าเรามีสมการที่ค่าดีกรีแรกมีเฉพาะค่าที่ไม่รู้จัก ใช่จำนวน และสมการไม่ได้ เศษส่วนหารด้วย ไม่รู้จัก , มันเป็นสิ่งสำคัญ! และหารด้วย ตัวเลข,หรือเศษส่วนตัวเลข - เท่านั้น! ตัวอย่างเช่น:

นี่คือสมการเชิงเส้น มีเศษส่วนอยู่ที่นี่ แต่ไม่มี x อยู่ในกำลังสอง ในลูกบาศก์ ฯลฯ และไม่มี x อยู่ในตัวส่วน กล่าวคือ ไม่ หารด้วย x. และนี่คือสมการ

เรียกว่าเชิงเส้นไม่ได้ x ทั้งหมดอยู่ในดีกรีแรก แต่มี หารด้วยนิพจน์ด้วย x. หลังจากการทำให้เข้าใจง่ายและการแปลง คุณจะได้สมการเชิงเส้น สมการกำลังสอง และอะไรก็ได้ที่คุณชอบ

ปรากฎว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะหาสมการเชิงเส้นในตัวอย่างที่ซับซ้อนบางตัวอย่าง จนกว่าคุณจะแก้มันเกือบหมด มันอารมณ์เสีย แต่ในงาน ตามกฎแล้ว จะไม่ถามถึงรูปแบบของสมการใช่ไหม ในงานจะเรียงลำดับสมการ ตัดสินใจ.มันทำให้ฉันมีความสุข)

แก้สมการเชิงเส้น ตัวอย่าง.

คำตอบทั้งหมดของสมการเชิงเส้นประกอบด้วยการแปลงสมการเหมือนกัน ยังไงก็ตาม การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ (มากถึงสอง!) รองรับการแก้ปัญหา สมการคณิตศาสตร์ทั้งหมดกล่าวอีกนัยหนึ่งการตัดสินใจ ใดๆสมการเริ่มต้นด้วยการแปลงแบบเดียวกันนี้ ในกรณีของสมการเชิงเส้น มัน (คำตอบ) ของการแปลงเหล่านี้ลงท้ายด้วยคำตอบที่สมบูรณ์ มันสมเหตุสมผลที่จะไปตามลิงก์ใช่ไหม) นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างการแก้สมการเชิงเส้นด้วย

เริ่มจากตัวอย่างที่ง่ายที่สุดกันก่อน โดยไม่มีข้อผิดพลาดใดๆ สมมุติว่าเราต้องแก้สมการต่อไปนี้

x - 3 = 2 - 4x

นี่คือสมการเชิงเส้น X ล้วนเป็นยกกำลังแรก ไม่มีการหารด้วย X แต่ที่จริงแล้ว เราไม่สนใจว่าสมการคืออะไร เราจำเป็นต้องแก้ปัญหานี้ โครงการที่นี่เป็นเรื่องง่าย รวบรวมทุกอย่างที่มี x อยู่ทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน ทุกอย่างที่ไม่มี x (ตัวเลข) อยู่ทางขวา

ในการดำเนินการนี้ คุณต้องโอน - 4x ไปทางซ้ายพร้อมเครื่องหมายเปลี่ยนแน่นอน แต่ - 3 - ไปทางขวา. อนึ่ง นี่คือ การแปลงสมการที่เหมือนกันครั้งแรกน่าประหลาดใจ? ดังนั้นพวกเขาไม่ได้ตามลิงค์ แต่ไร้ประโยชน์ ... ) เราได้รับ:

x + 4x = 2 + 3

เราให้สิ่งที่คล้ายกันเราพิจารณา:

เราต้องการอะไรเพื่อจะมีความสุขอย่างสมบูรณ์? ใช่เพื่อให้มี X ที่สะอาดอยู่ทางด้านซ้าย! ห้าได้รับในทาง กำจัดห้าด้วย การแปลงสมการที่เหมือนกันที่สองกล่าวคือเราหารทั้งสองส่วนของสมการด้วย 5 เราจะได้คำตอบสำเร็จรูป:

ตัวอย่างเบื้องต้นแน่นอน นี่เป็นการวอร์มอัพ) ไม่ชัดเจนนักว่าทำไมฉันถึงจำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันที่นี่ ตกลง. เราจับวัวโดยเขา) ตัดสินใจสิ่งที่น่าประทับใจกว่านี้กันเถอะ

ตัวอย่างเช่น นี่คือสมการนี้:

เราจะเริ่มต้นที่ไหน ด้วย X - ทางซ้าย, ไม่มี X - ทางขวา? อาจจะเป็นเช่นนั้น ก้าวเล็กๆ ไปตามถนนสายยาว และคุณสามารถทำได้ทันที ในแบบที่เป็นสากลและทรงพลัง แน่นอนว่าในคลังแสงของคุณจะมีการแปลงสมการเหมือนกัน

ฉันถามคำถามสำคัญกับคุณ: คุณไม่ชอบอะไรมากที่สุดเกี่ยวกับสมการนี้

95 คนจาก 100 คนจะตอบว่า: เศษส่วน ! คำตอบที่ถูกต้อง มากำจัดพวกมันกันเถอะ ดังนั้นเราจึงเริ่มทันทีด้วย การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันครั้งที่สอง. คุณต้องคูณเศษส่วนทางซ้ายด้วยอะไรเพื่อให้ตัวส่วนลดลงอย่างสมบูรณ์? ถูกแล้ว 3. และทางขวา? ด้วย 4. แต่คณิตศาสตร์ทำให้เราคูณทั้งสองข้างด้วย เบอร์เดียวกัน. เราจะออกไปได้อย่างไร? ลองคูณทั้งสองข้างด้วย 12! เหล่านั้น. ถึงตัวส่วนร่วม จากนั้นสามจะลดลงและสี่ อย่าลืมว่าคุณต้องคูณแต่ละส่วน ทั้งหมด. นี่คือลักษณะขั้นตอนแรก:

การขยายวงเล็บ:

บันทึก! เศษ (x+2)ฉันเอาวงเล็บ! นี่เป็นเพราะเมื่อคูณเศษส่วน ตัวเศษจะถูกคูณด้วยทั้งหมดทั้งหมด! และตอนนี้คุณสามารถลดเศษส่วนและลด:

เปิดวงเล็บที่เหลือ:

ไม่ใช่ตัวอย่าง แต่เป็นความสุขอย่างแท้จริง!) ตอนนี้เราจำคาถาจากระดับที่ต่ำกว่า: ด้วย x - ทางซ้ายไม่มี x - ทางขวา!และใช้การเปลี่ยนแปลงนี้:

นี่คือบางส่วนเช่น:

และเราหารทั้งสองส่วนด้วย 25 นั่นคือ ใช้การแปลงครั้งที่สองอีกครั้ง:

นั่นคือทั้งหมดที่ ตอบ: X=0,16

จดบันทึก: เพื่อนำสมการที่สับสนดั้งเดิมมาอยู่ในรูปแบบที่น่าพอใจ เราใช้สอง (เพียงสองเท่านั้น!) การแปลงที่เหมือนกัน- แปลซ้าย-ขวา โดยเปลี่ยนเครื่องหมายและคูณหารของสมการด้วยตัวเลขเดียวกัน นี่เป็นวิธีสากล! เราจะทำงานในลักษณะนี้ ใดๆ สมการ! แต่อย่างใด นั่นคือเหตุผลที่ฉันยังคงทำซ้ำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันเหล่านี้ตลอดเวลา)

อย่างที่คุณเห็น หลักการแก้สมการเชิงเส้นนั้นง่าย เราใช้สมการและทำให้ง่ายขึ้นด้วยความช่วยเหลือของการแปลงที่เหมือนกันจนกว่าเราจะได้คำตอบ ปัญหาหลักอยู่ที่การคำนวณ ไม่ใช่ในหลักการของการแก้ปัญหา

แต่ ... มีความประหลาดใจในกระบวนการแก้สมการเชิงเส้นพื้นฐานที่สุดที่พวกเขาสามารถผลักดันไปสู่อาการมึนงงที่รุนแรง ... ) โชคดีที่มีเพียงสองเรื่องที่น่าประหลาดใจเท่านั้น ให้เรียกว่ากรณีพิเศษ

กรณีพิเศษในการแก้สมการเชิงเส้น

เซอร์ไพรส์ก่อนเลย

สมมติว่าคุณเจอสมการเบื้องต้น เช่น

2x+3=5x+5 - 3x - 2

เบื่อเล็กน้อยเราโอนด้วย X ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา ... ด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมายทุกอย่างเป็น chinar ... เราได้รับ:

2x-5x+3x=5-2-3

เราเชื่อและ ... โอ้โห! เราได้รับ:

ในตัวของมันเอง ความเท่าเทียมกันนี้ไม่น่ารังเกียจ ศูนย์เป็นศูนย์จริงๆ แต่ X หาย! และเราต้องเขียนคำตอบว่า x เท่ากับอะไรมิฉะนั้นวิธีแก้ปัญหาจะไม่นับใช่...) ทางตัน?

ความสงบ! ในกรณีที่น่าสงสัยดังกล่าว กฎทั่วไปส่วนใหญ่จะบันทึกไว้ จะแก้สมการได้อย่างไร? การแก้สมการหมายความว่าอย่างไร นี่หมายความว่า หาค่า x ทั้งหมดซึ่งเมื่อแทนสมการเดิมแล้วจะได้ค่าความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

แต่เรามีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง แล้วเกิดขึ้น! 0=0 ที่ไหนจริง! มันยังคงต้องหาว่า x นี่ได้อะไรมา ค่าของ x ใดที่สามารถแทนค่าได้ อักษรย่อสมการถ้า x เหล่านี้ ยังคงหดตัวเป็นศูนย์?มาเร็ว?)

ใช่!!! Xs ใช้แทนกันได้ ใดๆ!คุณต้องการอะไร. อย่างน้อย 5 อย่างน้อย 0.05 อย่างน้อย -220 พวกเขาจะยังคงหดตัว ไม่เชื่อก็เช็คได้) แทนค่า x ใดๆ ใน อักษรย่อสมการและการคำนวณ จะได้รับความจริงที่บริสุทธิ์ตลอดเวลา: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 และอื่นๆ

นี่คือคำตอบของคุณ: x คือจำนวนใดๆ

คำตอบสามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน สาระสำคัญไม่เปลี่ยนแปลง นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องและครบถ้วนสมบูรณ์

เซอร์ไพรส์ที่สอง

ลองใช้สมการเชิงเส้นเบื้องต้นแบบเดียวกันแล้วเปลี่ยนเลขตัวเดียวในนั้น นี่คือสิ่งที่เราจะตัดสินใจ:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

หลังจากการแปลงที่เหมือนกัน เราได้สิ่งที่น่าสนใจ:

แบบนี้. แก้สมการเชิงเส้น ได้ความเท่าเทียมกันแปลก ๆ ในทางคณิตศาสตร์ เรามี ความเท่าเทียมกันที่ผิดและการพูด ภาษาธรรมดา, นี่ไม่เป็นความจริง. เรฟ. แต่อย่างไรก็ตาม เรื่องไร้สาระนี้เป็นเหตุผลที่ดีสำหรับการแก้ปัญหาสมการที่ถูกต้อง)

อีกครั้งที่เราคิดบนพื้นฐานของกฎทั่วไป เมื่อแทนค่า x ลงในสมการเดิมจะได้อะไร ถูกต้องความเท่าเทียมกัน? ใช่ไม่มี! ไม่มี xes ดังกล่าว อะไรก็ตามที่คุณทดแทน ทุกสิ่งทุกอย่างจะลดลง เรื่องไร้สาระจะยังคงอยู่)

นี่คือคำตอบของคุณ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องสมบูรณ์เช่นกัน ในวิชาคณิตศาสตร์ คำตอบดังกล่าวมักเกิดขึ้น

แบบนี้. ฉันหวังว่าการสูญเสีย Xs ในกระบวนการแก้สมการใดๆ (ไม่ใช่แค่เชิงเส้น) จะไม่รบกวนคุณเลย เรื่องคุ้นเคย)

ตอนนี้เราได้จัดการกับหลุมพรางทั้งหมดในสมการเชิงเส้นแล้ว มันสมเหตุสมผลที่จะแก้มัน

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

สมการเป็นหนึ่งใน หัวข้อยากสำหรับการดูดซึม แต่ในขณะเดียวกันก็เป็นเครื่องมือที่ทรงพลังเพียงพอสำหรับการแก้ปัญหาส่วนใหญ่

ด้วยความช่วยเหลือของสมการจะอธิบายกระบวนการต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในธรรมชาติ สมการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์อื่น ๆ เช่น เศรษฐศาสตร์ ฟิสิกส์ ชีววิทยา และเคมี

ในบทนี้ เราจะพยายามทำความเข้าใจแก่นแท้ของสมการที่ง่ายที่สุด เรียนรู้วิธีแสดงความไม่รู้และแก้สมการหลายตัว เมื่อคุณเรียนรู้เนื้อหาใหม่ๆ สมการจะซับซ้อนมากขึ้น ดังนั้นการเข้าใจพื้นฐานจึงสำคัญมาก

ทักษะเบื้องต้น เนื้อหาบทเรียน

สมการคืออะไร?

สมการคือความเท่าเทียมกันที่มีตัวแปรที่มีค่าที่คุณต้องการค้นหา ค่านี้จะต้องเป็นแบบที่ว่าเมื่อแทนค่าลงในสมการเดิม จะได้ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง

ตัวอย่างเช่น นิพจน์ 3 + 2 = 5 คือความเท่าเทียมกัน เมื่อคำนวณด้านซ้าย จะได้ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง 5 = 5 .

แต่ความเท่าเทียมกัน 3 + x= 5 เป็นสมการเพราะประกอบด้วยตัวแปร xซึ่งสามารถหาค่าได้ ค่าจะต้องเป็นแบบที่ว่าเมื่อค่านี้ถูกแทนที่ลงในสมการดั้งเดิม จะได้ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องหาค่าที่เครื่องหมายเท่ากับจะปรับตำแหน่งของมัน - ด้านซ้ายควรเท่ากับด้านขวา

สมการ 3+ x= 5 เป็นระดับประถมศึกษา ค่าตัวแปร xเท่ากับเลข 2 ส่วนค่าอื่นใดจะไม่สังเกตความเท่าเทียมกัน

เลข 2 ว่า รากหรือ แก้สมการ 3 + x = 5

รากหรือ แก้สมการคือค่าของตัวแปรที่สมการกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง

อาจมีหลายรากหรือไม่มีเลย แก้สมการคือการหารากหรือพิสูจน์ว่าไม่มีราก

ตัวแปรในสมการเรียกอีกอย่างว่า ไม่รู้จัก. คุณมีอิสระที่จะเรียกมันว่าอะไรก็ได้ที่คุณต้องการ เหล่านี้เป็นคำพ้องความหมาย

บันทึก. วลี "แก้สมการ"พูดเพื่อตัวเอง การแก้สมการหมายถึงการ "เทียบ" สมการ—เพื่อให้สมดุลโดยให้ด้านซ้ายเท่ากับด้านขวา

แสดงหนึ่งผ่านอื่น ๆ

การศึกษาสมการเริ่มด้วยการเรียนรู้การแสดงจำนวนหนึ่งที่รวมอยู่ในความเท่าเทียมกันในแง่ของจำนวนอื่น ๆ อย่าทำลายประเพณีนี้และทำแบบเดียวกัน

พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้:

8 + 2

นิพจน์นี้คือผลรวมของตัวเลข 8 และ 2 ค่าของนิพจน์นี้คือ 10

8 + 2 = 10

เราได้รับความเท่าเทียมกัน ตอนนี้คุณสามารถแสดงจำนวนใด ๆ จากความเท่าเทียมกันนี้ในแง่ของจำนวนอื่น ๆ ที่รวมอยู่ในความเท่าเทียมกันเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ลองแสดงหมายเลข 2

ในการแสดงหมายเลข 2 คุณต้องถามคำถาม: "ต้องทำอะไรกับตัวเลข 10 และ 8 เพื่อให้ได้หมายเลข 2" เป็นที่ชัดเจนว่าการจะได้เลข 2 คุณต้องลบเลข 8 ออกจากเลข 10

ดังนั้นเราจึงทำ เราเขียนเลข 2 และเครื่องหมายเท่ากับที่เราบอกว่าเพื่อให้ได้เลข 2 นี้ เราลบเลข 8 ออกจากเลข 10:

2 = 10 − 8

เราแสดงหมายเลข 2 จากสมการ 8 + 2 = 10 . ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่าง ไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับเรื่องนี้

เมื่อแก้สมการโดยเฉพาะเมื่อแสดงตัวเลขหนึ่งในรูปของอื่น ๆ จะสะดวกที่จะแทนที่เครื่องหมายเท่ากับด้วยคำว่า " มี" . สิ่งนี้ต้องทำด้วยจิตใจไม่ใช่ในการแสดงออก

ดังนั้น แสดงหมายเลข 2 จากความเท่าเทียมกัน 8 + 2 = 10 เราได้ความเท่าเทียมกัน 2 = 10 − 8 . สมการนี้สามารถอ่านได้ดังนี้:

2 มี 10 − 8

นั่นคือเครื่องหมาย = แทนที่ด้วยคำว่า "เป็น" นอกจากนี้ ความเท่าเทียมกัน 2 = 10 − 8 สามารถแปลจากภาษาคณิตศาสตร์เป็นภาษามนุษย์ที่ครบถ้วน จากนั้นสามารถอ่านได้ดังนี้:

หมายเลข 2 มีความแตกต่างระหว่าง 10 และ 8

หมายเลข 2 มีความแตกต่างระหว่างหมายเลข 10 และหมายเลข 8

แต่เราจะจำกัดตัวเองให้แทนที่เครื่องหมายเท่ากับด้วยคำว่า "คือ" แล้วเราจะไม่ทำเช่นนี้เสมอไป นิพจน์เบื้องต้นสามารถเข้าใจได้โดยไม่ต้องแปลภาษาคณิตศาสตร์เป็นภาษามนุษย์

ให้ผลลัพธ์ที่ได้เท่ากับ 2 = 10 − 8 กลับสู่สถานะเดิม:

8 + 2 = 10

คราวนี้เอาเลข 8 มาลง จะทำอย่างไรกับตัวเลขที่เหลือเพื่อให้ได้เลข 8? ถูกแล้ว คุณต้องลบเลข 2 ออกจากเลข 10

8 = 10 − 2

ให้คืนค่าความเท่าเทียมกันของผลลัพธ์ 8 = 10 − 2 กลับเป็นสถานะเดิม:

8 + 2 = 10

คราวนี้เราจะแสดงเลข 10 แต่ปรากฎว่าสิบนั้นไม่จำเป็นต้องแสดง เพราะมันแสดงอยู่แล้ว การสลับส่วนซ้ายและขวาก็เพียงพอแล้วเราจะได้สิ่งที่ต้องการ:

10 = 8 + 2

ตัวอย่าง 2. พิจารณาความเท่าเทียมกัน 8 − 2 = 6

แสดงเลข 8 จากความเท่าเทียมกันนี้ เพื่อแสดงหมายเลข 8 ต้องเพิ่มตัวเลขอีกสองตัว:

8 = 6 + 2

คืนค่าความเท่าเทียมกันของผลลัพธ์ 8 = 6 + 2 กลับเป็นสถานะดั้งเดิม:

8 − 2 = 6

เราแสดงหมายเลข 2 จากความเท่าเทียมกันนี้ เพื่อแสดงหมายเลข 2 เราต้องลบ 6 จาก 8

2 = 8 − 6

ตัวอย่างที่ 3. พิจารณาสมการ 3 × 2 = 6

แสดงหมายเลข 3 เพื่อแสดงหมายเลข 3 คุณต้องหาร 6 ด้วย 2

ให้คืนความเท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์กลับเป็นสถานะเดิม:

3 x 2 = 6

ลองแทนเลข 2 จากความเท่าเทียมกันนี้ เพื่อแสดงเลข 2 คุณต้องหาร 3 ด้วย 6

ตัวอย่างที่ 4. พิจารณาความเท่าเทียมกัน

เราแสดงหมายเลข 15 จากความเท่าเทียมกันนี้ เพื่อแสดงหมายเลข 15 คุณต้องคูณตัวเลข 3 และ 5

15 = 3 x 5

คืนค่าความเท่าเทียมกันของผลลัพธ์ 15 = 3 × 5 กลับเป็นสถานะดั้งเดิม:

เราแสดงหมายเลข 5 จากความเท่าเทียมกันนี้ เพื่อแสดงหมายเลข 5 คุณต้องหาร 15 ด้วย 3

กฎสำหรับการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก

พิจารณากฎหลายข้อในการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก บางทีพวกเขาอาจคุ้นเคยกับคุณ แต่ก็ไม่เจ็บที่จะทำซ้ำอีกครั้ง ในอนาคตพวกเขาอาจถูกลืมเพราะเราจะเรียนรู้การแก้สมการโดยไม่ต้องใช้กฎเหล่านี้

กลับไปที่ตัวอย่างแรกซึ่งเราพิจารณาในหัวข้อก่อนหน้าซึ่งในสมการ 8 + 2 = 10 จำเป็นต้องแสดงหมายเลข 2

ในสมการ 8 + 2 = 10 ตัวเลข 8 และ 2 เป็นพจน์ และหมายเลข 10 คือผลรวม

เพื่อแสดงหมายเลข 2 เราทำดังต่อไปนี้:

2 = 10 − 8

นั่นคือ เทอม 8 ถูกลบออกจากผลรวมของ 10

ทีนี้ลองนึกดูว่าในสมการ 8 + 2 = 10 แทนที่จะเป็นเลข 2 จะมีตัวแปร x

8 + x = 10

ในกรณีนี้ สมการ 8 + 2 = 10 จะกลายเป็นสมการ 8 + x= 10 และตัวแปร x ไม่รู้จักคำศัพท์

หน้าที่ของเราคือหาพจน์ที่ไม่รู้จักนี้ นั่นคือ แก้สมการ 8 + x= 10 . ในการค้นหาคำที่ไม่รู้จัก ให้กฎต่อไปนี้:

หากต้องการหาพจน์ที่ไม่รู้จัก ให้ลบพจน์ที่ทราบออกจากผลรวม

ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วสิ่งที่เราทำเมื่อเราแสดงทั้งสองในสมการ 8 + 2 = 10 เพื่อแสดงเทอม 2 เราลบอีกเทอม 8 จากผลรวม 10

2 = 10 − 8

และตอนนี้เพื่อค้นหาคำศัพท์ที่ไม่รู้จัก xเราต้องลบพจน์ที่รู้จัก 8 จากผลรวม 10:

x = 10 − 8

หากคุณคำนวณด้านขวาของผลลัพธ์ที่เท่ากัน คุณจะพบว่าตัวแปรมีค่าเท่ากับอะไร x

x = 2

เราได้แก้สมการแล้ว ค่าตัวแปร xเท่ากับ 2 . เพื่อตรวจสอบค่าของตัวแปร xส่งไปยังสมการเดิม 8 + x= 10 และแทนที่ด้วย xควรทำสิ่งนี้กับสมการที่แก้ไขแล้ว เนื่องจากคุณไม่สามารถแน่ใจได้ว่าสมการนั้นแก้ได้ถูกต้อง:

ผลที่ตามมา

จะใช้กฎเดียวกันนี้หากคำที่ไม่รู้จักเป็นเลข 8 ตัวแรก

x + 2 = 10

ในสมการนี้ xคือพจน์ที่ไม่รู้จัก 2 คือพจน์ที่ทราบ 10 คือผลรวม เพื่อค้นหาคำศัพท์ที่ไม่รู้จัก xคุณต้องลบเทอมที่รู้จัก 2 จากผลรวม 10

x = 10 − 2

x = 8

กลับไปที่ตัวอย่างที่สองจากหัวข้อก่อนหน้า โดยในสมการ 8 − 2 = 6 จำเป็นต้องแสดงตัวเลข 8

ในสมการที่ 8 − 2 = 6 เลข 8 คือค่าต่ำสุด เลข 2 คือ subtrahend เลข 6 คือผลต่าง

เพื่อแสดงหมายเลข 8 เราทำดังต่อไปนี้:

8 = 6 + 2

นั่นคือพวกเขาบวกผลต่างของ 6 และลบ 2

ทีนี้ลองนึกดูว่าในสมการ 8 − 2 = 6 แทนที่จะเป็นเลข 8 จะมีตัวแปร x

x − 2 = 6

ในกรณีนี้ ตัวแปร xสวมบทบาทที่เรียกว่า minuend ที่ไม่รู้จัก

ในการค้นหา minuend ที่ไม่รู้จัก ให้กฎต่อไปนี้:

หากต้องการหา minuend ที่ไม่รู้จัก คุณต้องเพิ่ม subtrahend ลงในส่วนต่าง

ซึ่งเป็นสิ่งที่เราทำเมื่อเราแสดงเลข 8 ในสมการ 8 − 2 = 6 เพื่อแสดง minuend 8 เราได้เพิ่ม subtrahend 2 ให้กับผลต่างของ 6

และตอนนี้เพื่อค้นหา minuend ที่ไม่รู้จัก xเราต้องเพิ่ม subtrahend 2 ให้กับผลต่าง 6

x = 6 + 2

หากคุณคำนวณด้านขวา คุณจะพบว่าตัวแปรมีค่าเท่ากับอะไร x

x = 8

ทีนี้ลองนึกดูว่าในสมการ 8 − 2 = 6 แทนที่จะเป็นเลข 2 จะมีตัวแปร x

8 − x = 6

ในกรณีนี้ ตัวแปร xรับหน้าที่ ไม่รู้จัก subtrahend

ในการค้นหา subtrahend ที่ไม่รู้จัก ให้กฎต่อไปนี้:

ในการหา subtrahend ที่ไม่รู้จัก คุณต้องลบส่วนต่างออกจาก minuend

นี่คือสิ่งที่เราทำเมื่อเราแสดงตัวเลข 2 ในสมการ 8 − 2 = 6 เพื่อแสดงหมายเลข 2 เราลบผลต่าง 6 ออกจากค่าที่ลดลง 8

และตอนนี้เพื่อค้นหา subtrahend ที่ไม่รู้จัก xคุณต้องการอีกครั้งเพื่อลบส่วนต่าง 6 จากค่าที่ลดลง 8

x = 8 − 6

คำนวณด้านขวาและหาค่า x

x = 2

กลับไปที่ตัวอย่างที่สามจากหัวข้อก่อนหน้าซึ่งในสมการ 3 × 2 = 6 เราพยายามแสดงตัวเลข 3

ในสมการ 3 × 2 = 6 เลข 3 คือตัวคูณ เลข 2 คือตัวคูณ เลข 6 คือผลคูณ

เพื่อแสดงหมายเลข 3 เราทำดังต่อไปนี้:

นั่นคือ หารผลคูณของ 6 ด้วยตัวประกอบของ 2

ทีนี้ลองนึกดูว่าในสมการ 3 × 2 = 6 แทนที่จะเป็นเลข 3 จะมีตัวแปร x

x× 2 = 6

ในกรณีนี้ ตัวแปร xรับหน้าที่ ตัวคูณที่ไม่รู้จัก.

ในการค้นหาตัวคูณที่ไม่รู้จัก ให้กฎต่อไปนี้:

ในการหาตัวคูณที่ไม่รู้จัก คุณต้องหารผลคูณด้วยตัวประกอบ

ซึ่งเป็นสิ่งที่เราทำเมื่อเราแสดงเลข 3 จากสมการ 3 × 2 = 6 เราหารผลคูณของ 6 ด้วยตัวประกอบของ 2

และตอนนี้เพื่อค้นหาตัวคูณที่ไม่รู้จัก xคุณต้องหารผลคูณของ 6 ด้วยตัวประกอบของ 2

การคำนวณทางด้านขวาทำให้เราสามารถหาค่าของตัวแปรได้ x

x = 3

กฎเดียวกันนี้ใช้กับตัวแปร xจะอยู่แทนตัวคูณ ไม่ใช่ตัวคูณ ลองนึกภาพว่าในสมการ 3 × 2 = 6 แทนที่จะเป็นเลข 2 จะมีตัวแปร x .

ในกรณีนี้ ตัวแปร xรับหน้าที่ ตัวคูณที่ไม่รู้จัก. ในการหาปัจจัยที่ไม่รู้จัก ให้เหมือนกับการหาตัวคูณที่ไม่รู้จัก กล่าวคือ หารผลคูณด้วยปัจจัยที่ทราบ:

ในการหาปัจจัยที่ไม่รู้จัก คุณต้องหารผลคูณด้วยตัวคูณ

ซึ่งเป็นสิ่งที่เราทำเมื่อเราแสดงเลข 2 จากสมการ 3 × 2 = 6 จากนั้น เพื่อให้ได้เลข 2 เราหารผลคูณของ 6 ด้วยตัวคูณ 3

และตอนนี้เพื่อค้นหาปัจจัยที่ไม่รู้จัก xเราหารผลคูณของ 6 ด้วยตัวคูณของ 3

การคำนวณทางด้านขวาของสมการช่วยให้คุณหาว่า x เท่ากับอะไร

x = 2

ตัวคูณและตัวคูณรวมกันเรียกว่าตัวประกอบ เนื่องจากกฎการหาตัวคูณและตัวคูณเหมือนกัน เราจึงกำหนดได้ กฎทั่วไปค้นหาปัจจัยที่ไม่รู้จัก:

ในการหาปัจจัยที่ไม่รู้จัก คุณต้องหารผลคูณด้วยปัจจัยที่ทราบ

ตัวอย่างเช่น ลองแก้สมการ 9 × x= 18 . ตัวแปร xเป็นปัจจัยที่ไม่รู้จัก ในการหาปัจจัยที่ไม่รู้จักนี้ คุณต้องหารผลคูณ 18 ด้วยตัวประกอบที่ทราบ 9

มาแก้สมการกัน x× 3 = 27 . ตัวแปร xเป็นปัจจัยที่ไม่รู้จัก ในการหาตัวประกอบที่ไม่รู้จักนี้ คุณต้องหารผลคูณ 27 ด้วยตัวประกอบที่ทราบ 3

กลับไปที่ตัวอย่างที่สี่จากหัวข้อก่อนหน้า ซึ่งจำเป็นต้องแสดงหมายเลข 15 ในความเท่าเทียมกัน ในความเท่าเทียมกันนี้ หมายเลข 15 คือเงินปันผล หมายเลข 5 คือตัวหาร หมายเลข 3 คือผลหาร

เพื่อแสดงหมายเลข 15 เราทำดังต่อไปนี้:

15 = 3 x 5

นั่นคือ คูณผลหารของ 3 ด้วยตัวหารของ 5

ทีนี้ลองนึกดูว่าในความเท่าเทียมกัน แทนที่จะเป็นเลข 15 มีตัวแปร x

ในกรณีนี้ ตัวแปร xรับหน้าที่ เงินปันผลที่ไม่รู้จัก.

ในการหาเงินปันผลที่ไม่รู้จัก มีกฎดังต่อไปนี้:

ในการหาเงินปันผลที่ไม่รู้จัก คุณต้องคูณผลหารด้วยตัวหาร

ซึ่งเป็นสิ่งที่เราทำเมื่อเราแสดงเลข 15 จากความเท่าเทียมกัน เพื่อแสดงจำนวน 15 เราได้คูณผลหารของ 3 ด้วยตัวหารของ 5

และตอนนี้เพื่อหาเงินปันผลที่ไม่รู้จัก xคุณต้องคูณผลหารของ 3 ด้วยตัวหารของ 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

ทีนี้ลองนึกดูว่าในความเท่าเทียมกันแทนที่จะเป็นเลข 5 มีตัวแปร x .

ในกรณีนี้ ตัวแปร xรับหน้าที่ ตัวหารที่ไม่รู้จัก.

ในการหาตัวหารที่ไม่รู้จัก ให้กฎต่อไปนี้:

ซึ่งเป็นสิ่งที่เราทำเมื่อเราแสดงเลข 5 จากความเท่าเทียมกัน เพื่อแสดงหมายเลข 5 เราหารเงินปันผล 15 ด้วยผลหาร 3

และตอนนี้เพื่อค้นหาตัวหารที่ไม่รู้จัก xคุณต้องหารเงินปันผล 15 ด้วยผลหาร 3

ให้เราคำนวณทางด้านขวาของผลลัพธ์ที่เท่ากัน ดังนั้นเราจึงหาว่าตัวแปรนั้นเท่ากับอะไร x .

x = 5

ดังนั้น เพื่อค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก เราศึกษากฎต่อไปนี้:

• ในการหาคำที่ไม่รู้จัก คุณต้องลบคำที่รู้จักออกจากผลรวม
• หากต้องการค้นหา minuend ที่ไม่รู้จัก คุณต้องเพิ่ม subtrahend ลงในส่วนต่าง
• ในการหา subtrahend ที่ไม่รู้จัก คุณต้องลบส่วนต่างออกจาก minuend
• ในการหาตัวคูณที่ไม่รู้จัก คุณต้องหารผลคูณด้วยตัวประกอบ
• ในการหาปัจจัยที่ไม่รู้จัก คุณต้องหารผลคูณด้วยตัวคูณ
• ในการหาเงินปันผลที่ไม่รู้จัก คุณต้องคูณผลหารด้วยตัวหาร
• ในการหาตัวหารที่ไม่รู้จัก คุณต้องหารเงินปันผลด้วยผลหาร

ส่วนประกอบ

ส่วนประกอบเราจะเรียกตัวเลขและตัวแปรที่รวมอยู่ในความเท่าเทียมกัน

ดังนั้น ส่วนประกอบของการบวกคือ เงื่อนไขและ ผลรวม

ส่วนประกอบการลบคือ minuend, subtrahendและ ความแตกต่าง

องค์ประกอบของการคูณคือ ตัวคูณ, ปัจจัยและ งาน

องค์ประกอบของการหาร ได้แก่ เงินปันผล ตัวหาร และผลหาร

กฎที่เกี่ยวข้องสำหรับการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จักจะถูกนำไปใช้ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับองค์ประกอบที่เรากำลังเผชิญอยู่ เราได้ศึกษากฎเหล่านี้ในหัวข้อที่แล้ว เมื่อแก้สมการ พึงรู้กฎเหล่านี้ด้วยใจ

ตัวอย่างที่ 1. หารากของสมการ 45+ x = 60

45 - เทอม xเป็นพจน์ที่ไม่รู้จัก 60 คือผลรวม เรากำลังจัดการกับองค์ประกอบเพิ่มเติม เราจำได้ว่าในการหาคำที่ไม่รู้จัก คุณต้องลบคำที่รู้จักออกจากผลรวม:

x = 60 − 45

คำนวณด้านขวารับค่า xเท่ากับ 15

x = 15

ดังนั้นรากของสมการคือ 45 + x= 60 เท่ากับ 15

ส่วนใหญ่แล้ว คำที่ไม่รู้จักจะต้องถูกลดขนาดลงให้อยู่ในรูปแบบที่สามารถแสดงออกได้

ตัวอย่าง 2. แก้สมการ

ซึ่งแตกต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ คำที่ไม่รู้จักไม่สามารถแสดงได้ทันที เนื่องจากมีสัมประสิทธิ์เป็น 2 หน้าที่ของเราคือนำสมการนี้มาอยู่ในรูปแบบที่เราสามารถแสดงออกได้ x

ในตัวอย่างนี้ เรากำลังจัดการกับองค์ประกอบของการบวก - เงื่อนไขและผลรวม 2 xคือเทอมแรก 4 คือเทอมที่สอง 8 คือผลรวม

ในกรณีนี้ คำว่า 2 xมีตัวแปร x. หลังจากหาค่าของตัวแปรได้แล้ว xเทอม 2 xจะอยู่ในรูปแบบอื่น ดังนั้น เทอม2 xสามารถใช้เป็นคำที่ไม่รู้จักได้อย่างสมบูรณ์:

ตอนนี้เราใช้กฎในการหาคำที่ไม่รู้จัก ลบคำที่รู้จักออกจากผลรวม:

ลองคำนวณด้านขวาของสมการที่ได้:

เรามีสมการใหม่ ตอนนี้เรากำลังจัดการกับองค์ประกอบของการคูณ: ตัวคูณ ตัวคูณ และผลิตภัณฑ์ 2 - ตัวคูณ x- ตัวคูณ 4 - สินค้า

ในขณะเดียวกันตัวแปร xไม่ได้เป็นเพียงปัจจัย แต่เป็นปัจจัยที่ไม่รู้จัก

ในการหาปัจจัยที่ไม่รู้จักนี้ คุณต้องหารผลคูณด้วยตัวคูณ:

คำนวณด้านขวา รับค่าของตัวแปร x

หากต้องการตรวจสอบรูทที่พบ ให้ส่งไปที่สมการเดิมแล้วเปลี่ยนแทน x

ตัวอย่างที่ 3. แก้สมการ 3x+ 9x+ 16x= 56

แสดงความไม่รู้จัก xเป็นสิ่งต้องห้าม ก่อนอื่นคุณต้องนำสมการนี้ไปอยู่ในรูปแบบที่สามารถแสดงได้

เรานำเสนอทางด้านซ้ายของสมการนี้:

เรากำลังจัดการกับองค์ประกอบของการคูณ 28 - ตัวคูณ x- ตัวคูณ 56 - สินค้า โดยที่ xเป็นปัจจัยที่ไม่รู้จัก ในการหาปัจจัยที่ไม่รู้จัก คุณต้องหารผลคูณด้วยตัวคูณ:

จากที่นี่ xคือ2

สมการเทียบเท่า

ในตัวอย่างที่แล้ว เมื่อแก้สมการ 3x + 9x + 16x = 56 เราได้ให้พจน์เหมือนกันทางด้านซ้ายของสมการ ผลลัพธ์คือสมการใหม่ 28 x= 56 . สมการเก่า 3x + 9x + 16x = 56 และได้สมการใหม่ 28 x= 56 เรียกว่า สมการเทียบเท่าเพราะรากของพวกเขาเหมือนกัน

กล่าวกันว่าสมการจะเท่ากันหากรากของพวกมันเหมือนกัน

ลองตรวจสอบดู สำหรับสมการ 3x+ 9x+ 16x= 56 เราพบรูตเท่ากับ 2 แทนที่รูทนี้ก่อนในสมการ 3x+ 9x+ 16x= 56 แล้วเข้าสมการ 28 x= 56 ซึ่งเป็นผลมาจากการลดเงื่อนไขที่คล้ายกันทางด้านซ้ายของสมการก่อนหน้า เราต้องได้ค่าความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง

ตามลำดับของการดำเนินการ การคูณจะดำเนินการก่อน:

แทนที่ราก 2 ในสมการที่สอง 28 x= 56

เราจะเห็นว่าสมการทั้งสองมีรากเหมือนกัน ดังนั้นสมการ 3x+ 9x+ 16x= 56 และ 28 x= 56 เทียบเท่ากันจริงๆ

เพื่อแก้สมการ 3x+ 9x+ 16x= 56 เราใช้หนึ่งใน — การลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน การแปลงเอกลักษณ์ที่ถูกต้องของสมการทำให้เราได้สมการเทียบเท่า28 x= 56 ซึ่งแก้ได้ง่ายกว่า

จากการแปลงที่เหมือนกัน ขณะนี้เราสามารถลดเศษส่วน นำพจน์ที่เหมือนกัน นำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ และวงเล็บเปิดด้วย มีการเปลี่ยนแปลงอื่นๆ ที่คุณควรทราบ แต่สำหรับแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับการแปลงสมการที่เหมือนกัน หัวข้อที่เราศึกษามาก็เพียงพอแล้ว

พิจารณาการเปลี่ยนแปลงบางอย่างที่ช่วยให้เราได้สมการที่เท่ากัน

หากคุณบวกเลขเดียวกันทั้งสองข้างของสมการ คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับตัวเลขที่ให้มา

และในทำนองเดียวกัน:

หากจำนวนเดียวกันถูกลบออกจากสมการทั้งสองข้าง จะได้สมการที่เทียบเท่ากับจำนวนที่ให้มา

กล่าวอีกนัยหนึ่ง รากของสมการจะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการเพิ่มตัวเลขเดียวกัน (หรือลบออกจากทั้งสองข้างของ) สมการ

ตัวอย่างที่ 1. แก้สมการ

ลบเลข 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

ได้สมการ 5 x= 10 . เรากำลังจัดการกับองค์ประกอบของการคูณ เพื่อค้นหาปัจจัยที่ไม่รู้จัก xคุณต้องหารผลคูณของ 10 ด้วยตัวประกอบที่รู้จัก 5

และทดแทนแทน xพบค่า2

เราได้หมายเลขที่ถูกต้อง สมการจึงถูกต้อง

การแก้สมการ เราลบเลข 10 ออกจากสมการทั้งสองข้าง ผลที่ได้คือสมการที่เท่ากัน รากของสมการนี้ เหมือนกับสมการ ก็เท่ากับ2

ตัวอย่าง 2. แก้สมการ 4( x+ 3) = 16

ลบเลข 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

ด้านซ้ายจะเป็น4 xและทางด้านขวาหมายเลข 4

ได้สมการ 4 x= 4 . เรากำลังจัดการกับองค์ประกอบของการคูณ เพื่อค้นหาปัจจัยที่ไม่รู้จัก xคุณต้องหารผลคูณ 4 ด้วยตัวประกอบที่ทราบ 4

กลับไปที่สมการเดิม 4( x+ 3) = 16 และแทนที่แทน xพบค่า1

เราได้หมายเลขที่ถูกต้อง สมการจึงถูกต้อง

การแก้สมการ 4( x+ 3) = 16 เราลบเลข 12 ออกจากสมการทั้งสองข้างแล้ว เป็นผลให้เราได้รับสมการเทียบเท่า4 x= 4 . รากของสมการนี้ เช่นเดียวกับสมการ 4( x+ 3) = 16 ก็เท่ากับ 1 . ด้วย

ตัวอย่างที่ 3. แก้สมการ

มาขยายวงเล็บทางด้านซ้ายของสมการกัน:

ลองบวกเลข 8 ทั้งสองข้างของสมการกัน

เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในทั้งสองส่วนของสมการ:

ด้านซ้ายจะเป็น2 xและด้านขวามีเลข 9

ในสมการผลลัพธ์ 2 x= 9 เราแสดงคำที่ไม่รู้จัก x

กลับสู่สมการเดิม และทดแทนแทน xพบค่า4.5

เราได้หมายเลขที่ถูกต้อง สมการจึงถูกต้อง

การแก้สมการ เราบวกเลข 8 ทั้งสองข้างของสมการ ดังนั้น เราได้สมการที่เท่ากัน รากของสมการนี้ เหมือนกับสมการ ก็เท่ากับ4.5

กฎข้อถัดไป ซึ่งช่วยให้คุณได้สมการที่เท่ากันมีดังนี้

หากในสมการเราย้ายเทอมจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย เราก็จะได้สมการที่เทียบเท่ากับส่วนที่ให้มา

นั่นคือรากของสมการจะไม่เปลี่ยนแปลงหากเราย้ายเทอมจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยการเปลี่ยนเครื่องหมาย คุณสมบัตินี้เป็นหนึ่งในคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดและใช้บ่อยที่สุดในการแก้สมการ

พิจารณาสมการต่อไปนี้:

รากของสมการนี้คือ 2 แทนที่ xรูทนี้และตรวจสอบว่าได้ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้องหรือไม่

มันกลับกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ดังนั้นเลข 2 จึงเป็นรากของสมการจริงๆ

ทีนี้ เรามาลองทดสอบเงื่อนไขของสมการนี้กัน ย้ายพวกมันจากส่วนหนึ่งไปอีกส่วนหนึ่ง เปลี่ยนเครื่องหมาย

ตัวอย่างเช่น เทอม 3 xอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ ลองย้ายไปทางด้านขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม:

มันกลับกลายเป็นสมการ 12 = 9x − 3x . ทางด้านขวาของสมการนี้:

xเป็นปัจจัยที่ไม่รู้จัก ลองหาปัจจัยที่ทราบนี้:

จากที่นี่ x= 2 . อย่างที่คุณเห็น รากของสมการไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น สมการ 12 + 3 x = 9xและ 12 = 9x − 3x มีค่าเท่ากัน

อันที่จริง การแปลงนี้เป็นวิธีการแบบง่ายของการแปลงครั้งก่อน โดยเพิ่ม (หรือลบ) จำนวนเดียวกันทั้งสองข้างของสมการ

เราบอกว่าในสมการ 12 + 3 x = 9xเทอม 3 xถูกย้ายไปทางด้านขวาโดยเปลี่ยนป้าย อันที่จริง สิ่งต่อไปนี้เกิดขึ้น: เทอม 3 ถูกลบออกจากสมการทั้งสองข้าง x

จากนั้นให้คำศัพท์ที่คล้ายกันทางด้านซ้ายและได้สมการ 12 = 9x − 3x จากนั้นให้คำที่คล้ายกันอีกครั้ง แต่ทางด้านขวาและได้สมการ 12 = 6 x

แต่สิ่งที่เรียกว่า "การถ่ายโอน" นั้นสะดวกกว่าสำหรับสมการดังกล่าวซึ่งเป็นสาเหตุที่แพร่หลายมาก เมื่อแก้สมการ เรามักจะใช้การแปลงเฉพาะนี้

สมการ 12 + 3 ก็เท่ากัน x= 9xและ 3x - 9x= −12 . คราวนี้ในสมการ 12 + 3 x= 9xเทอม 12 ถูกย้ายไปทางด้านขวา และเทอม 9 xไปทางซ้าย. ไม่ควรลืมว่าสัญญาณของข้อกำหนดเหล่านี้มีการเปลี่ยนแปลงระหว่างการโอน

กฎข้อถัดไป ซึ่งช่วยให้คุณได้สมการที่เท่ากันมีดังนี้:

หากทั้งสองส่วนของสมการคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่เท่ากับศูนย์ จะได้สมการที่เทียบเท่ากับส่วนที่ให้มา

กล่าวอีกนัยหนึ่ง รากของสมการจะไม่เปลี่ยนแปลงหากทั้งสองข้างคูณหรือหารด้วยจำนวนเท่ากัน การดำเนินการนี้มักใช้เมื่อคุณต้องการแก้สมการที่มีนิพจน์เศษส่วน

อันดับแรก ลองพิจารณาตัวอย่างที่จะคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 1. แก้สมการ

เมื่อแก้สมการที่มีนิพจน์เศษส่วน เป็นเรื่องปกติอันดับแรกที่จะทำให้สมการนี้ง่ายขึ้น

ในกรณีนี้ เรากำลังจัดการกับสมการดังกล่าว ในการทำให้สมการนี้ง่ายขึ้น ทั้งสองข้างสามารถคูณด้วย 8:

เราจำได้ว่าสำหรับ คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนที่กำหนดด้วยตัวเลขนี้ เรามีเศษส่วนสองส่วน และแต่ละตัวคูณด้วยเลข 8 หน้าที่ของเราคือคูณตัวเศษของเศษส่วนด้วยเลข 8 นี้

ตอนนี้สิ่งที่น่าสนใจที่สุดก็เกิดขึ้น ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองมีตัวประกอบเป็น 8 ซึ่งสามารถลดลงได้ 8 ซึ่งจะทำให้เราสามารถกำจัดนิพจน์เศษส่วนได้:

เป็นผลให้สมการที่ง่ายที่สุดยังคงอยู่

มันง่ายที่จะเดาว่ารากของสมการนี้คือ 4

xพบค่า4

มันกลับกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง สมการจึงถูกต้อง

เมื่อแก้สมการนี้ เราคูณทั้งสองส่วนด้วย 8 ดังนั้นเราจึงได้สมการ รากของสมการนี้ ก็เหมือนกับสมการ คือ 4 สมการเหล่านี้จึงเท่ากัน

ตัวคูณที่ใช้คูณทั้งสองส่วนของสมการมักจะเขียนก่อนส่วนของสมการ ไม่ใช่หลังสมการ ในการแก้สมการ เราคูณทั้งสองส่วนด้วยตัวประกอบเป็น 8 และรับค่าต่อไปนี้:

จากนี้ไป รากของสมการก็ไม่เปลี่ยนแปลง แต่ถ้าเราทำสิ่งนี้ในขณะที่เรียนอยู่ เราก็จะถูกตั้งข้อสังเกต เนื่องจากในพีชคณิต เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนตัวประกอบก่อนนิพจน์ที่จะคูณ ดังนั้นการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวประกอบเป็น 8 จึงควรเขียนใหม่ดังนี้

ตัวอย่าง 2. แก้สมการ

ทางด้านซ้ายปัจจัย 15 สามารถลดลงได้ 15 และทางด้านขวาปัจจัย 15 และ 5 สามารถลดลงได้ 5

เปิดวงเล็บทางด้านขวาของสมการกัน:

ย้ายคำ xจากด้านซ้ายของสมการไปทางด้านขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย และเทอมที่ 15 จากด้านขวาของสมการจะถูกย้ายไปทางด้านซ้าย โดยเปลี่ยนเครื่องหมายอีกครั้ง:

เรานำคำที่คล้ายกันมาทั้งสองส่วนเราจะได้

เรากำลังจัดการกับองค์ประกอบของการคูณ ตัวแปร x

กลับสู่สมการเดิม และทดแทนแทน xพบค่า5

มันกลับกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง สมการจึงถูกต้อง เมื่อแก้สมการนี้ เราคูณทั้งสองข้างด้วย 15 นอกจากนี้ เมื่อทำการแปลงที่เหมือนกัน เราได้สมการ 10 = 2 x. รากของสมการนี้ เหมือนกับสมการ เท่ากับ 5 . ดังนั้นสมการเหล่านี้จึงเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 3. แก้สมการ

ทางด้านซ้ายสามารถลดสามเท่าได้และด้านขวาจะเท่ากับ18

สมการที่ง่ายที่สุดยังคงอยู่ เรากำลังจัดการกับองค์ประกอบของการคูณ ตัวแปร xเป็นปัจจัยที่ไม่รู้จัก ลองหาปัจจัยที่ทราบนี้:

กลับไปที่สมการเดิมแทน xพบค่า9

มันกลับกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง สมการจึงถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 4. แก้สมการ

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6

เปิดวงเล็บทางด้านซ้ายของสมการ ทางด้านขวา ตัวประกอบ 6 สามารถยกขึ้นเป็นตัวเศษได้:

เราลดสมการทั้งสองส่วนที่สามารถลดลงได้:

มาเขียนสิ่งที่เราเหลือ:

เราใช้การโอนเงื่อนไข คำศัพท์ที่ประกอบด้วยสิ่งที่ไม่รู้จัก xเราจัดกลุ่มทางด้านซ้ายของสมการและคำศัพท์ที่ไม่มีค่าไม่ทราบ - ทางด้านขวา:

เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในทั้งสองส่วน:

ทีนี้มาหาค่าของตัวแปรกัน x. ในการทำเช่นนี้ เราหารผลคูณ 28 ด้วยตัวประกอบที่ทราบ 7

จากที่นี่ x= 4.

กลับสู่สมการเดิม และทดแทนแทน xพบค่า4

มันกลับกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง สมการจึงถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 5. แก้สมการ

ให้เปิดวงเล็บทั้งสองส่วนของสมการที่เป็นไปได้:

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15

เปิดวงเล็บทั้งสองส่วนของสมการ:

ลองลดทั้งสองส่วนของสมการกัน สิ่งที่สามารถลดลงได้:

มาเขียนสิ่งที่เราเหลือ:

ให้เปิดวงเล็บถ้าเป็นไปได้:

เราใช้การโอนเงื่อนไข คำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักจะถูกจัดกลุ่มไว้ทางด้านซ้ายของสมการ และคำศัพท์ที่ไม่มีค่านิรนามจะถูกจัดกลุ่มทางด้านขวา อย่าลืมว่าระหว่างการโอนเงื่อนไขจะเปลี่ยนสัญญาณเป็นตรงกันข้าม:

เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในทั้งสองส่วนของสมการ:

มาหาค่ากัน x

ในคำตอบที่ได้ คุณสามารถเลือกส่วนทั้งหมดได้:

กลับไปที่สมการเดิมแทน xพบคุณค่า

กลายเป็นการแสดงออกที่ค่อนข้างยุ่งยาก ลองใช้ตัวแปร เราใส่ด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันในตัวแปร อาและด้านขวาของความเท่าเทียมกันเป็นตัวแปร บี

งานของเราคือต้องแน่ใจว่าด้านซ้ายเท่ากับด้านขวา กล่าวอีกนัยหนึ่งพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน A = B

ค้นหาค่าของนิพจน์ในตัวแปร A

ค่าตัวแปร แต่เท่ากับ ทีนี้มาหาค่าของตัวแปรกัน บี. นั่นคือค่าทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันของเรา ถ้าเท่ากับ , ก็จะแก้สมการได้ถูกต้อง

เราจะเห็นว่าค่าของตัวแปร บีเช่นเดียวกับค่าของตัวแปร อาเท่ากับ ซึ่งหมายความว่าด้านซ้ายเท่ากับด้านขวา จากนี้เราสรุปได้ว่าสมการนั้นแก้ได้ถูกต้อง

ทีนี้ พยายามอย่าคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนเดียวกัน แต่ให้หารด้วย

พิจารณาสมการ 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . เราแก้ปัญหาด้วยวิธีปกติ: เราจัดกลุ่มคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักทางด้านซ้ายของสมการ และคำศัพท์ที่ไม่มีค่าไม่ทราบอยู่ทางด้านขวา นอกจากนี้ เมื่อทำการแปลงที่เหมือนกันที่ทราบแล้ว เราจะพบค่า x

แทนที่ค่าที่พบ 2 แทน xลงในสมการเดิม:

ทีนี้มาลองแยกเงื่อนไขทั้งหมดของสมการกัน 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 ด้วยจำนวนหนึ่ง เราสังเกตว่าพจน์ทั้งหมดของสมการนี้มีตัวประกอบร่วม 2 เราหารแต่ละเทอมด้วย:

เราดำเนินการลดในแต่ละเทอม:

มาเขียนสิ่งที่เราเหลือ:

เราแก้สมการนี้โดยใช้การแปลงที่เหมือนกันที่ทราบ:

เราได้รูท 2 ดังนั้นสมการ 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 และ 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 มีค่าเท่ากัน

การหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนเดียวกันจะทำให้คุณสามารถปลดปล่อยค่าที่ไม่รู้จักออกจากสัมประสิทธิ์ได้ ในตัวอย่างที่แล้ว เมื่อเราได้สมการ 7 x= 14 เราต้องหารผลคูณ 14 ด้วยตัวประกอบที่รู้จัก 7 แต่ถ้าเราปล่อยสิ่งที่ไม่รู้จักออกจากสัมประสิทธิ์ 7 ทางด้านซ้าย ก็จะพบรากทันที การทำเช่นนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะหารทั้งสองส่วนด้วย7

เราจะใช้วิธีนี้บ่อยๆ

คูณด้วยลบหนึ่ง

หากทั้งสองข้างของสมการคูณด้วยลบหนึ่ง จะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่ให้มา

กฎนี้เป็นไปตามข้อเท็จจริงที่ว่าจากการคูณ (หรือหาร) ทั้งสองส่วนของสมการด้วยจำนวนเดียวกัน รากของสมการนี้จะไม่เปลี่ยนแปลง ซึ่งหมายความว่ารากจะไม่เปลี่ยนแปลงหากทั้งสองส่วนคูณด้วย -1

กฎนี้อนุญาตให้คุณเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนประกอบทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการ มีไว้เพื่ออะไร? อีกครั้งเพื่อให้ได้สมการเทียบเท่าที่แก้ง่ายกว่า

พิจารณาสมการ รากของสมการนี้คืออะไร?

ลองบวกเลข 5 ทั้งสองข้างของสมการกัน

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

และตอนนี้เรามาจำเกี่ยวกับ ด้านซ้ายของสมการคืออะไร นี่คือผลคูณของลบหนึ่งและตัวแปร x

นั่นคือ ลบหน้าตัวแปร เอ็กซ์,ไม่ได้อ้างอิงถึงตัวแปรเอง xแต่สำหรับหน่วยที่เราไม่เห็น เนื่องจากเป็นธรรมเนียมที่จะไม่จดค่าสัมประสิทธิ์ 1 ซึ่งหมายความว่าสมการจะมีลักษณะดังนี้:

เรากำลังจัดการกับองค์ประกอบของการคูณ การค้นหา Xคุณต้องหารผลคูณ −5 ด้วยตัวประกอบที่ทราบ −1

หรือหารสมการทั้งสองข้างด้วย -1 ซึ่งง่ายกว่า

ดังนั้นรากของสมการคือ 5 ในการตรวจสอบ เราแทนที่มันลงในสมการเดิม อย่าลืมว่าในสมการเดิม ลบหน้าตัวแปร xหมายถึงหน่วยที่มองไม่เห็น

มันกลับกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง สมการจึงถูกต้อง

ทีนี้ ลองคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยลบหนึ่ง:

หลังจากเปิดวงเล็บ นิพจน์จะเกิดขึ้นทางด้านซ้าย และด้านขวาจะเท่ากับ 10

รากของสมการนี้ ก็เหมือนกับสมการ คือ 5

ดังนั้นสมการจึงเท่ากัน

ตัวอย่าง 2. แก้สมการ

ในสมการนี้ ส่วนประกอบทั้งหมดเป็นค่าลบ การทำงานกับส่วนประกอบที่เป็นบวกจะสะดวกกว่าส่วนประกอบที่เป็นค่าลบ ดังนั้น เรามาเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนประกอบทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการกัน ในการทำสิ่งนี้ เราคูณทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย -1

เป็นที่ชัดเจนว่าหลังจากการคูณด้วย -1 ตัวเลขใดๆ จะเปลี่ยนเครื่องหมายไปทางตรงกันข้าม ดังนั้นขั้นตอนการคูณด้วย -1 และการเปิดวงเล็บจึงไม่ได้อธิบายอย่างละเอียด แต่องค์ประกอบของสมการที่มีเครื่องหมายตรงข้ามจะถูกเขียนลงทันที

ดังนั้น การคูณสมการด้วย -1 สามารถเขียนโดยละเอียดได้ดังนี้

หรือคุณสามารถเปลี่ยนสัญญาณของส่วนประกอบทั้งหมดได้:

มันจะออกมาเหมือนเดิม แต่ความแตกต่างคือเราจะประหยัดเวลา

ดังนั้น คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย -1 เราจะได้สมการ ลองแก้สมการนี้กัน ลบเลข 4 จากทั้งสองส่วนแล้วหารทั้งสองส่วนด้วย 3

เมื่อพบรูท ตัวแปรมักจะเขียนทางด้านซ้าย และค่าทางด้านขวา ซึ่งเราทำ

ตัวอย่างที่ 3. แก้สมการ

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย -1 จากนั้นส่วนประกอบทั้งหมดจะเปลี่ยนสัญญาณเป็นตรงกันข้าม:

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการผลลัพธ์ xและเพิ่มคำที่ชอบ:

เราเพิ่มความสามัคคีให้กับทั้งสองส่วนของสมการและให้พจน์ที่คล้ายกัน:

เท่ากับศูนย์

เมื่อเร็ว ๆ นี้ เราได้เรียนรู้ว่าหากในสมการที่เราโอนเทอมจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยการเปลี่ยนเครื่องหมาย เราจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่ให้มา

และจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราย้ายจากส่วนหนึ่งไปยังอีกภาคหนึ่ง ไม่ใช่เทอมเดียว แต่เป็นเงื่อนไขทั้งหมด? ถูกต้องแล้ว ในส่วนที่เอาเงื่อนไขทั้งหมดมา ศูนย์จะยังคงอยู่ กล่าวอีกนัยหนึ่งจะไม่เหลืออะไรเลย

ลองใช้สมการเป็นตัวอย่าง เราแก้สมการนี้ตามปกติ - เราจัดกลุ่มคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักไว้ในส่วนหนึ่ง และปล่อยให้คำศัพท์ที่เป็นตัวเลขไม่มีค่าที่ไม่ทราบในอีกส่วนหนึ่ง นอกจากนี้ เมื่อทำการแปลงที่เหมือนกันที่ทราบแล้ว เราจะพบค่าของตัวแปร x

ทีนี้ลองแก้สมการเดียวกันโดยให้ส่วนประกอบทั้งหมดเท่ากับศูนย์ ในการทำเช่นนี้ เราจะโอนเงื่อนไขทั้งหมดจากด้านขวาไปด้านซ้าย โดยเปลี่ยนเครื่องหมาย:

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกันทางด้านซ้าย:

ลองบวก 77 ทั้งสองส่วนแล้วหารทั้งสองส่วนด้วย 7

ทางเลือกแทนกฎสำหรับการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก

แน่นอน เมื่อรู้เกี่ยวกับการแปลงสมการที่เหมือนกันแล้ว เราไม่สามารถจำกฎในการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้ได้

ตัวอย่างเช่น ในการหาค่าที่ไม่รู้จักในสมการ เราหารผลคูณ 10 ด้วยตัวประกอบที่ทราบ 2

แต่ถ้าในสมการทั้งสองส่วนหารด้วย 2 จะพบรูททันที ทางด้านซ้ายของสมการ ตัวประกอบ 2 ในตัวเศษและตัวหาร 2 ในตัวส่วนจะลดลง 2 และด้านขวาจะเท่ากับ 5

เราแก้สมการของแบบฟอร์มโดยแสดงพจน์ที่ไม่รู้จัก:

แต่คุณสามารถใช้การแปลงแบบเดียวกับที่เราศึกษาวันนี้ได้ ในสมการ เทอม 4 สามารถย้ายไปทางด้านขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย:

ที่ด้านซ้ายของสมการ ดิวซ์สองตัวจะลดลง ด้านขวาจะเท่ากับ 2 ดังนั้น

หรือคุณอาจลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการก็ได้ จากนั้น คุณจะได้ดังนี้:

ในกรณีของสมการของแบบฟอร์ม จะสะดวกกว่าในการหารผลคูณด้วยปัจจัยที่ทราบ ลองเปรียบเทียบทั้งสองวิธี:

วิธีแก้ปัญหาแรกสั้นกว่าและเรียบร้อยกว่ามาก วิธีที่สองสามารถย่อให้สั้นลงได้อย่างมากหากคุณแบ่งส่วนในหัวของคุณ

อย่างไรก็ตาม คุณต้องรู้ทั้งสองวิธี แล้วใช้วิธีที่คุณชอบที่สุดเท่านั้น

เมื่อมีหลายราก

สมการสามารถมีหลายรากได้ เช่น สมการ x(x + 9) = 0 มีสองราก: 0 และ −9 .

ในสมการ x(x + 9) = 0 จำเป็นต้องหาค่าดังกล่าว xโดยที่ด้านซ้ายจะเท่ากับศูนย์ ด้านซ้ายของสมการนี้มีนิพจน์ xและ (x + 9)ซึ่งเป็นปัจจัย จากกฎการคูณ เรารู้ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์ถ้าตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ (ตัวประกอบตัวแรกหรือตัวที่สอง)

นั่นคือในสมการ x(x + 9) = 0 จะบรรลุความเท่าเทียมกันถ้า xจะเป็นศูนย์หรือ (x + 9)จะเป็นศูนย์

x= 0 หรือ x + 9 = 0

ให้สมการทั้งสองนี้เป็นศูนย์ เราจะหารากของสมการได้ x(x + 9) = 0 . พบรูทแรกดังที่เห็นในตัวอย่างทันที ในการหารากที่สอง คุณต้องแก้สมการเบื้องต้น x+ 9 = 0 . เดาได้ง่ายว่ารากของสมการนี้คือ −9 การตรวจสอบแสดงว่ารูทถูกต้อง:

−9 + 9 = 0

ตัวอย่าง 2. แก้สมการ

สมการนี้มีสองราก: 1 และ 2 ด้านซ้ายของสมการเป็นผลคูณของนิพจน์ ( x− 1) และ ( x− 2) . และผลิตภัณฑ์จะเท่ากับศูนย์หากตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ (หรือตัวประกอบ ( x− 1) หรือตัวประกอบ ( x − 2) ).

มาหากัน xโดยที่นิพจน์ ( x− 1) หรือ ( x− 2) หายตัวไป:

เราแทนที่ค่าที่พบลงในสมการดั้งเดิมและตรวจสอบให้แน่ใจว่าด้วยค่าเหล่านี้ทางด้านซ้ายเท่ากับศูนย์:

เมื่อรากมีมากมายนับไม่ถ้วน

สมการสามารถมีรากได้มากมายนับไม่ถ้วน นั่นคือการแทนจำนวนใดๆ ลงในสมการนั้น เราจะได้ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 1. แก้สมการ

รากของสมการนี้คือจำนวนใดๆ หากคุณเปิดวงเล็บทางด้านซ้ายของสมการและนำพจน์ที่เหมือนกันมา คุณจะได้ค่าเท่ากัน 14 \u003d 14 ความเท่าเทียมกันนี้จะได้รับสำหรับใดๆ x

ตัวอย่าง 2. แก้สมการ

รากของสมการนี้คือจำนวนใดๆ หากคุณเปิดวงเล็บทางด้านซ้ายของสมการ คุณจะได้ค่าเท่ากัน 10x + 12 = 10x + 12. ความเท่าเทียมกันนี้จะได้รับสำหรับใดๆ x

เมื่อไม่มีราก

นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นที่สมการไม่มีคำตอบเลย นั่นคือไม่มีราก ตัวอย่างเช่น สมการไม่มีรากเพราะสำหรับค่าใด ๆ xด้านซ้ายของสมการจะไม่เท่ากับด้านขวา ตัวอย่างเช่น ให้ จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้

ตัวอย่าง 2. แก้สมการ

มาขยายวงเล็บทางด้านซ้ายของสมการกัน:

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

เราจะเห็นว่าด้านซ้ายไม่เท่ากับด้านขวา และมันจะเป็นค่าใดๆ y. ตัวอย่างเช่น ให้ y = 3 .

สมการอักษร

สมการไม่เพียงแต่ประกอบด้วยตัวเลขที่มีตัวแปรเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวอักษรด้วย

ตัวอย่างเช่น สูตรการหาความเร็วคือสมการตามตัวอักษร:

สมการนี้อธิบายความเร็วของร่างกายในการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งอย่างสม่ำเสมอ

ทักษะที่มีประโยชน์คือความสามารถในการแสดงองค์ประกอบใดๆ ที่รวมอยู่ในสมการตัวอักษร ตัวอย่างเช่น ในการกำหนดระยะทางจากสมการ คุณต้องแสดงตัวแปร ส .

ให้เราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย t

ตัวแปรทางด้านขวา tลดโดย t

ในสมการผลลัพธ์ ชิ้นส่วนซ้ายและขวาจะถูกสับเปลี่ยนกัน:

เราได้สูตรการหาระยะทางที่เราศึกษามาก่อนหน้านี้แล้ว

ลองหาเวลาจากสมการกัน ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแสดงตัวแปร t .

ให้เราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย t

ตัวแปรทางด้านขวา tลดโดย tและเขียนสิ่งที่เราได้ทิ้งไว้ใหม่:

ในสมการผลลัพธ์ วี × เสื้อ = sแบ่งทั้งสองส่วนออกเป็น วี

ตัวแปรทางด้านซ้าย วีลดโดย วีและเขียนสิ่งที่เราได้ทิ้งไว้ใหม่:

เราได้สูตรการกำหนดเวลาซึ่งเราศึกษามาก่อนหน้านี้แล้ว

สมมติว่าความเร็วของรถไฟคือ 50 กม./ชม

วี= 50 กม./ชม

และระยะทาง 100 km

ส= 100 กม.

จากนั้นสมการตามตัวอักษรจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้

จากสมการนี้ คุณสามารถหาเวลาได้ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องสามารถแสดงตัวแปรได้ t. คุณสามารถใช้กฎในการหาตัวหารที่ไม่รู้จักโดยการหารเงินปันผลด้วยผลหารแล้วจึงกำหนดค่าของตัวแปร t

หรือคุณสามารถใช้การแปลงที่เหมือนกัน ขั้นแรกให้คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย t

จากนั้นหารทั้งสองส่วนด้วย50

ตัวอย่าง 2 x

ลบจากทั้งสองข้างของสมการ เอ

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย ข

a + bx = cแล้วเราจะมีวิธีแก้ปัญหาแบบสำเร็จรูป มันจะเพียงพอที่จะแทนที่ค่าที่จำเป็นลงไป ค่าเหล่านั้นที่จะแทนที่ตัวอักษร ก, ข, คเรียกว่า พารามิเตอร์. และสมการของรูป a + bx = cเรียกว่า สมการกับพารามิเตอร์. รูทจะเปลี่ยนไปขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์

แก้สมการ 2 + 4 x= 10 . ดูเหมือนสมการตามตัวอักษร a + bx = c. แทนที่จะทำการแปลงที่เหมือนกัน เราสามารถใช้โซลูชันสำเร็จรูปได้ ลองเปรียบเทียบทั้งสองวิธี:

เราเห็นว่าวิธีที่สองนั้นง่ายและสั้นกว่ามาก

สำหรับวิธีแก้ปัญหาที่เสร็จสิ้นแล้ว คุณต้องมีข้อสังเกตเล็กน้อย พารามิเตอร์ ขต้องไม่เป็นศูนย์ (ข ≠ 0)เนื่องจากไม่อนุญาตให้หารด้วยศูนย์

ตัวอย่างที่ 3. ให้สมการตามตัวอักษร แสดงจากสมการนี้ x

มาเปิดวงเล็บทั้งสองส่วนของสมการกัน

เราใช้การโอนเงื่อนไข พารามิเตอร์ที่มีตัวแปร xเราจัดกลุ่มทางด้านซ้ายของสมการ และพารามิเตอร์ปลอดจากตัวแปรนี้ - ทางด้านขวา

ทางด้านซ้ายเราเอาตัวประกอบออก x

แบ่งทั้งสองส่วนออกเป็นนิพจน์ a-b

ทางด้านซ้าย ตัวเศษและส่วนสามารถลดลงได้ a-b. ตัวแปรจึงถูกแสดงออกมาในที่สุด x

ทีนี้ ถ้าเราเจอสมการของรูป a(x - c) = b(x + d)แล้วเราจะมีวิธีแก้ปัญหาแบบสำเร็จรูป มันจะเพียงพอที่จะแทนที่ค่าที่จำเป็นลงไป

สมมติว่าเราได้รับสมการ 4(x - 3) = 2(x+ 4) . ดูเหมือนสมการ a(x - c) = b(x + d). เราแก้ปัญหาได้สองวิธี: ใช้การแปลงที่เหมือนกันและใช้โซลูชันสำเร็จรูป:

เพื่อความสะดวกเราแยกจากสมการ 4(x - 3) = 2(x+ 4) ค่าพารามิเตอร์ เอ, ข, ค, d . สิ่งนี้จะช่วยให้เราไม่ทำผิดพลาดเมื่อแทนที่:

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ตัวส่วนที่นี่ไม่ควรเท่ากับศูนย์ ( a - b ≠ 0) . หากเราเจอสมการของรูปแบบ a(x - c) = b(x + d)ซึ่งพารามิเตอร์ เอและ ขเหมือนกัน เราสามารถพูดได้โดยไม่ต้องแก้สมการนี้ว่าสมการนี้ไม่มีราก เนื่องจากผลต่างของจำนวนที่เหมือนกันเป็นศูนย์

ตัวอย่างเช่น สมการ 2(x − 3) = 2(x + 4)เป็นสมการของรูป a(x - c) = b(x + d). ในสมการ 2(x − 3) = 2(x + 4)ตัวเลือก เอและ ขเหมือน. หากเราเริ่มแก้ก็จะได้ข้อสรุปว่าด้านซ้ายจะไม่เท่ากับด้านขวา:

ตัวอย่างที่ 4. ให้สมการตามตัวอักษร แสดงจากสมการนี้ x

เรานำด้านซ้ายของสมการมาเป็นตัวส่วนร่วม:

คูณทั้งสองข้างด้วย เอ

ทางด้านซ้ายมือ xเอาออกจากวงเล็บ

เราหารทั้งสองส่วนด้วยนิพจน์ (1 − เอ)

สมการเชิงเส้นหนึ่งไม่ทราบค่า

สมการที่พิจารณาในบทเรียนนี้เรียกว่า สมการเชิงเส้นของดีกรีที่หนึ่งโดยไม่ทราบค่าหนึ่งค่า.

หากสมการได้รับในระดับแรก ไม่มีการหารโดยไม่ทราบค่า และไม่มีรากจากค่าที่ไม่รู้จักด้วย ก็สามารถเรียกว่าเชิงเส้นได้ เรายังไม่ได้ศึกษาองศาและรากเหง้า ดังนั้นเพื่อไม่ให้ชีวิตเราซับซ้อน เราจะเข้าใจคำว่า "เส้นตรง" ว่า "เรียบง่าย"

สมการส่วนใหญ่ที่แก้ได้ในบทเรียนนี้ถูกลดทอนเป็นสมการที่ง่ายที่สุด โดยต้องหารผลคูณด้วยปัจจัยที่ทราบ ตัวอย่างเช่น สมการ 2( x+ 3) = 16 . มาแก้กัน

เปิดวงเล็บทางด้านซ้ายของสมการ เราจะได้ 2 x+ 6 = 16. ย้ายเทอม 6 ไปทางด้านขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย จากนั้นเราจะได้2 x= 16 − 6. คำนวณด้านขวา เราจะได้ 2 x= 10. หา xเราหารผลคูณ 10 ด้วยตัวประกอบที่รู้จัก 2 ดังนั้น x = 5.

สมการ 2( x+ 3) = 16 เป็นเส้นตรง มันลดลงเป็นสมการ2 x= 10 สำหรับการค้นหารากซึ่งจำเป็นต้องแบ่งผลคูณด้วยปัจจัยที่ทราบ สมการง่ายๆนี้เรียกว่า สมการเชิงเส้นของดีกรีที่หนึ่งโดยไม่ทราบค่าหนึ่งในรูปแบบบัญญัติ. คำว่า "canonical" มีความหมายเหมือนกันกับคำว่า "simple" หรือ "normal"

สมการเชิงเส้นของดีกรีแรกที่ไม่ทราบค่าหนึ่งในรูปแบบบัญญัติเรียกว่าสมการของรูปแบบ ขวาน = ข

สมการของเรา 2 x= 10 เป็นสมการเชิงเส้นของดีกรีแรกโดยไม่ทราบค่าหนึ่งในรูปแบบบัญญัติ สมการนี้มีดีกรีแรก ไม่ทราบค่าหนึ่ง ไม่มีการหารโดยไม่ทราบค่า และไม่มีรากจากค่าที่ไม่ทราบ และนำเสนอในรูปแบบบัญญัติ นั่นคือ ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดซึ่งง่ายต่อการกำหนด ค่า x. แทนพารามิเตอร์ เอและ ขสมการของเราประกอบด้วยตัวเลข 2 และ 10 แต่สมการที่คล้ายกันสามารถมีตัวเลขอื่นๆ ได้: บวก ลบ หรือเท่ากับศูนย์

ถ้าอยู่ในสมการเชิงเส้น เอ= 0 และ ข= 0 แล้วสมการก็มีหลายรากเป็นอนันต์ แท้จริงแล้วถ้า เอเป็นศูนย์และ ขเท่ากับศูนย์ แล้วสมการเชิงเส้น ขวาน= ขจะอยู่ในรูปแบบ 0 x= 0 . สำหรับค่าใด ๆ xด้านซ้ายจะเท่ากับด้านขวา

ถ้าอยู่ในสมการเชิงเส้น เอ= 0 และ ข≠ 0 แล้วสมการไม่มีราก แท้จริงแล้วถ้า เอเป็นศูนย์และ ขเท่ากับจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์บางตัว ให้พูดเลข 5 แล้วตามด้วยสมการ ขวาน=bจะอยู่ในรูปแบบ 0 x= 5 . ด้านซ้ายจะเป็นศูนย์และด้านขวาห้า และศูนย์ไม่เท่ากับห้า

ถ้าอยู่ในสมการเชิงเส้น เอ≠ 0 , และ ขเท่ากับจำนวนใดๆ แล้วสมการจะมีหนึ่งรูท ถูกกำหนดโดยการหารพารามิเตอร์ ขต่อพารามิเตอร์ เอ

แท้จริงแล้วถ้า เอเท่ากับจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ พูดเลข 3 และ ขเท่ากับตัวเลขบางตัว พูดเป็นเลข 6 แล้วสมการจะอยู่ในรูปแบบ .
จากที่นี่.

มีรูปแบบอื่นในการเขียนสมการเชิงเส้นของดีกรีแรกโดยไม่ทราบค่าหนึ่ง ดูเหมือนว่านี้: ขวาน − b= 0 . นี่คือสมการเดียวกับ ขวาน=b

คุณชอบบทเรียนหรือไม่?
เข้าร่วมกลุ่ม Vkontakte ใหม่ของเราและเริ่มรับการแจ้งเตือนบทเรียนใหม่