http://:www.svkspb.nm.ru

Caracteristicile geometrice ale secțiunilor plate

Pătrat: , dF - platformă elementară.

Momentul static al unui element de zonădF raportat la axa 0x
- produsul elementului de zonă cu distanța „y” față de axa 0x: dS x = ydF

După ce am însumat (integrat) astfel de produse pe întreaga zonă a figurii, obținem momente statice raportat la axele y și x:
;
[cm 3, m 3 etc.].

Coordonatele centrului de greutate:
. Momente statice relative axele centrale(axele care trec prin centrul de greutate al secțiunii) sunt egale cu zero. Când se calculează momentele statice ale unei figuri complexe, aceasta este împărțită în părți simple, cu zone cunoscute F i și coordonatele centrelor de greutate x i, y i. Momentul static al ariei întregii figuri = suma momentele statice ale fiecăreia dintre părțile sale:
.

Coordonatele centrului de greutate al unei figuri complexe:

M
Momente de inerție a secțiunii

Axial(ecuatorial) momentul de inerție al secțiunii- suma produselor ariilor elementare dF cu pătratele distanțelor lor față de axă.

;
[cm 4, m 4 etc.].

Momentul polar de inerție al unei secțiuni față de un anumit punct (pol) este suma produselor ariilor elementare prin pătratele distanțelor lor față de acest punct.
; [cm 4, m 4 etc.]. J y + J x = J p .

Momentul de inerție centrifugal al secțiunii- suma produselor ariilor elementare și a distanțelor acestora față de două axe reciproc perpendiculare.
.

Momentul de inerție centrifugal al secțiunii în raport cu axele, dintre care una sau ambele coincid cu axele de simetrie, este egal cu zero.

Momentele de inerție axiale și polare sunt întotdeauna pozitive; momentele de inerție centrifuge pot fi pozitive, negative sau zero.

Momentul de inerție al unei figuri complexe este egal cu suma momentelor de inerție ale părților sale constitutive.

Momentele de inerție ale secțiunilor de formă simplă

P
secţiune dreptunghiulară Cerc

LA


inel

T
triunghi

R
izofemurală

Dreptunghiular

T
triunghi

H sfert de cerc

J y = J x = 0,055R 4

J xy =0,0165R 4

în fig. (-)

Semicerc

M

Momentele de inerție ale profilelor standard se regăsesc din tabelele de sortiment:

D
vutavr Canal Colţ

M

Momente de inerție față de axele paralele:

J x1 =J x + a 2 F;

J y1 =J y + b 2 F;

momentul de inerție față de orice axă este egal cu momentul de inerție față de axa centrală paralelă cu cea dată, plus produsul dintre aria figurii și pătratul distanței dintre axe. J y1x1 =J yx + abF; („a” și „b” sunt substituite în formulă ținând cont de semnul lor).

Dependenta intre momente de inerție la rotirea axelor:

J x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Unghiul >0, dacă trecerea de la sistemul de coordonate vechi la cel nou are loc în sens invers acelor de ceasornic. J y1 + J x1 = J y + J x

Se numesc valori extreme (maximum și minim) ale momentelor de inerție principalele momente de inerție. Se numesc axele despre care momentele axiale de inerție au valori extreme axele principale de inerție. Principalele axe de inerție sunt reciproc perpendiculare. Momentele de inerție centrifuge în jurul axelor principale = 0, i.e. axe principale de inerție - axe în jurul cărora momentul de inerție centrifugal = 0. Dacă una dintre axe coincide sau ambele coincid cu axa de simetrie, atunci acestea sunt principalele. Unghi care definește poziția axelor principale:
, dacă  0 >0  axele se rotesc în sens invers acelor de ceasornic. Axa maximă face întotdeauna un unghi mai mic cu cel al axelor față de care momentul de inerție are o valoare mai mare. Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate principalele axe centrale de inerție. Momente de inerție despre aceste axe:

J max + J min = J x + J y . Momentul de inerție centrifugal relativ la principalele axele centrale de inerție este egal cu 0. Dacă sunt cunoscute momentele principale de inerție, atunci formulele de tranziție la axele rotite sunt:

J x1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min)sin2;

Scopul final al calculării caracteristicilor geometrice ale secțiunii este de a determina principalele momente centrale de inerție și poziția principalelor axe centrale de inerție. R raza de inerție -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Dacă J x și J y sunt momentele principale de inerție, atunci i x și i y - razele principale de inerție. Se numește o elipsă construită pe razele principale de inerție ca pe semiaxele elipsa de inertie. Folosind elipsa de inerție, puteți găsi grafic raza de inerție i x1 pentru orice axă x1. Pentru a face acest lucru, trebuie să desenați o tangentă la elipsă, paralelă cu axa x1 și să măsurați distanța de la această axă la tangentă. Cunoscând raza de inerție, puteți găsi momentul de inerție al secțiunii în raport cu axa x 1:
. Pentru secțiunile cu mai mult de două axe de simetrie (de exemplu: cerc, pătrat, inel etc.), momentele axiale de inerție în jurul tuturor axelor centrale sunt egale între ele, J xy = 0, elipsa de inerție se transformă într-o cerc de inerție.

Momente de rezistență.

Momentul axial de rezistență- raportul dintre momentul de inerție în jurul axei și distanța de la aceasta până la punctul cel mai îndepărtat al secțiunii.
[cm 3, m 3]

Deosebit de importante sunt momentele de rezistență raportate la principalele axe centrale:

dreptunghi:
; cerc: W x =W y =
,

secțiune tubulară (inel): W x =W y =
, unde = d N /d B .

Momentul polar de rezistență - raportul dintre momentul polar de inerție și distanța de la pol până la punctul cel mai îndepărtat al secțiunii:
.

Pentru un cerc W р =
.

Momentul de inerție axial (sau ecuatorial) al unei secțiuni în raport cu o anumită axă este suma produselor ariilor elementare luate pe întreaga sa arie F de pătratele distanțelor lor față de această axă, adică.

Momentul polar de inerție al unei secțiuni în raport cu un anumit punct (pol) este suma produselor ariilor elementare luate pe întreaga sa arie F de pătratele distanțelor lor față de acest punct, adică.

Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni în raport cu două axe reciproc perpendiculare este suma produselor ariilor elementare luate pe întreaga ei zonă F și a distanțelor acestora față de aceste axe, de exemplu.

Momentele de inerție sunt exprimate în etc.

Momentele de inerție axiale și polare sunt întotdeauna pozitive, deoarece expresiile lor sub semnele integrale includ valorile ariilor (întotdeauna pozitive) și pătratele distanțelor acestor zone de la o axă sau pol dat.

În fig. 9.5, a prezintă o secțiune cu aria F și arată axele y și z. Momentele axiale de inerție ale acestei secțiuni în raport cu axele y:

Suma acestor momente de inerție

prin urmare

Astfel, suma momentelor de inerție axiale ale unei secțiuni în raport cu două axe reciproc perpendiculare este egală cu momentul polar de inerție al acestei secțiuni în raport cu punctul de intersecție al acestor axe.

Momentele de inerție centrifuge pot fi pozitive, negative sau zero. De exemplu, momentul de inerție centrifugal al secțiunii prezentate în Fig. 9.5, a, în raport cu axele y și este pozitivă, deoarece pentru partea principală a acestei secțiuni, situată în primul cadran, valorile lui și, prin urmare, sunt pozitive.

Dacă schimbați direcția pozitivă a axei y sau direcția opusă (Fig. 9.5, b) sau rotiți ambele axe cu 90° (Fig. 9.5, c), atunci momentul de inerție centrifugal va deveni negativ (sa valoarea absolută nu se va modifica), deoarece partea principală a secțiunii va fi apoi situată într-un cadran pentru care coordonatele y sunt pozitive și coordonatele z sunt negative. Dacă schimbați direcțiile pozitive ale ambelor axe în sens opus, acest lucru nu va schimba nici semnul, nici mărimea momentului de inerție centrifugal.

Să considerăm o figură care este simetrică față de una sau mai multe axe (Fig. 10.5). Să desenăm axele astfel încât cel puțin una dintre ele (în acest caz, axa y) să coincidă cu axa de simetrie a figurii. În acest caz, fiecare platformă situată la dreapta axei corespunde aceleiași platforme situate simetric față de prima, dar la stânga axei y. Momentul de inerție centrifugal al fiecărei perechi de astfel de platforme situate simetric este egal cu:

Prin urmare,

Astfel, momentul de inerție centrifugal al secțiunii în raport cu axele, dintre care una sau ambele coincid cu axele sale de simetrie, este egal cu zero.

Momentul de inerție axial al unei secțiuni complexe față de o anumită axă este egal cu suma momentelor de inerție axiale ale părților sale constitutive față de aceeași axă.

În mod similar, momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni complexe față de oricare două axe reciproc perpendiculare este egal cu suma momentelor de inerție centrifuge ale părților sale constitutive în raport cu aceleași axe. De asemenea, momentul polar de inerție al unei secțiuni complexe față de un anumit punct este egal cu suma momentelor polare de inerție ale părților sale constitutive față de același punct.

Trebuie avut în vedere că momentele de inerție calculate pe diferite axe și puncte nu pot fi însumate.

Când verificăm rezistența unor părți ale structurilor, trebuie să întâlnim secțiuni de forme destul de complexe, pentru care este imposibil să calculăm momentul de inerție într-un mod atât de simplu cum am folosit pentru un dreptunghi și un cerc.

O astfel de secțiune ar putea fi, de exemplu, o bară în T (Fig. 5 A) secțiune inelară a unei țevi supusă îndoirii (structuri de aeronave) (Fig. 5, b), secțiune inelară a fusului arborelui sau secțiuni chiar mai complexe. Toate aceste secțiuni pot fi împărțite în unele simple, precum dreptunghiuri, triunghiuri, cercuri etc. Se poate arăta că momentul de inerție al unei figuri atât de complexe este suma momentelor de inerție ale părților în care o împărțim.

Fig.5. Secțiuni de tip T - a) și inel b)

Se știe că momentul de inerție al oricărei figuri în raport cu axa la— la egal cu:

Unde z— distanța tampoanelor elementare față de axă la—la.

Să împărțim zona luată în patru părți: , , și . Acum, atunci când calculați momentul de inerție, puteți grupa termenii în funcția integrand astfel încât să efectuați separat însumarea pentru fiecare dintre cele patru zone selectate și apoi adăugați aceste sume. Acest lucru nu va schimba valoarea integralei.

Integrala noastră va fi împărțită în patru integrale, fiecare dintre ele va acoperi una dintre zone, și:

Fiecare dintre aceste integrale reprezintă momentul de inerție al părții corespunzătoare a ariei în raport cu axa la— la; De aceea

unde este momentul de inerție față de axă la — la zonă, - la fel pentru zonă etc.

Rezultatul obţinut poate fi formulat astfel: momentul de inerţie al unei figuri complexe este egal cu suma momentelor de inerţie ale părţilor sale constitutive. Astfel, trebuie să putem calcula momentul de inerție al oricărei figuri în raport cu orice axă situată în planul său.

Soluția la această problemă este conținutul acestui și al următoarelor două interviuri.

Momente de inerție față de axele paralele.

Sarcina de a obține cele mai simple formule pentru calcularea momentului de inerție al oricărei figuri în raport cu orice axă va fi rezolvată în mai multe etape. Dacă luăm o serie de axe paralele între ele, se dovedește că putem calcula cu ușurință momentele de inerție ale unei figuri în raport cu oricare dintre aceste axe, cunoscându-i momentul de inerție față de o axă care trece prin centrul de greutate al figurii. paralel cu axele alese.

Fig.1. Model de calcul pentru determinarea momentelor de inerție pentru axe paralele.

Vom numi axele care trec prin centrul de greutate axele centrale. Să luăm (Fig. 1) o cifră arbitrară. Să desenăm axa centrală OU, vom numi momentul de inerție în jurul acestei axe . Să desenăm o axă în planul figurii paralel topoare la la distanţă de ea. Să găsim relația dintre și - momentul de inerție față de axă. Pentru a face acest lucru, vom scrie expresii pentru și . Să împărțim aria figurii în zone; distanţele fiecărei astfel de platforme faţă de axe lași hai să sunăm și . Apoi

Din fig. 1 avem:

Prima dintre aceste trei integrale este momentul de inerție în jurul axei centrale OU. Al doilea este momentul static pe aceeași axă; este egal cu zero, deoarece axa la trece prin centrul de greutate al figurii. În cele din urmă, a treia integrală este egală cu aria figurii F. Prin urmare,

(1)

adică momentul de inerție în jurul oricărei axe este egal cu momentul de inerție în jurul axei centrale paralele cu cea dată, plus produsul dintre aria figurii și pătratul distanței dintre axe.

Aceasta înseamnă că sarcina noastră a fost acum redusă la calcularea doar a momentelor centrale de inerție; dacă le cunoaștem, putem calcula momentul de inerție față de orice altă axă. Din formula (1) rezultă că central momentul de inerție este cel mai mic dintre momentele de inerție față de axele paralele și pentru aceasta obținem:

Să găsim și momentul de inerție centrifugal în jurul axelor paralele cu cele centrale, dacă se cunoaște (Fig. 1). Deoarece prin definiţie

unde: , apoi urmează

Deoarece ultimele două integrale reprezintă momente statice de arie în jurul axelor centrale OUȘi Oz apoi dispar și, prin urmare:

(2)

Momentul de inerție centrifugal față de un sistem de axe reciproc perpendiculare paralele cu cele centrale este egal cu momentul de inerție centrifugal față de aceste axe centrale plus produsul dintre suprafața figurii și coordonatele centrului său de greutate raportat la noile axe.

Relația dintre momentele de inerție la rotirea axelor.

Puteți desena câte axe centrale doriți. Se pune întrebarea dacă este posibil să se exprime momentul de inerție despre orice axă centrală în funcție de momentul de inerție despre una sau două anumit topoare. Pentru a face acest lucru, să vedem cum momentele de inerție se vor schimba în jurul a două axe reciproc perpendiculare atunci când sunt rotite cu un unghi.

Să luăm o figură și să o desenăm prin centrul de greutate DESPRE două axe reciproc perpendiculare OUȘi Oz(Fig.2).

Fig.2. Model de calcul pentru determinarea momentelor de inerție pentru axele rotite.

Să ne cunoaștem momentele de inerție axiale despre aceste axe, precum și momentul de inerție centrifugal. Să desenăm un al doilea sistem de axe de coordonate și înclinat față de primul într-un unghi; vom lua în considerare direcția pozitivă a acestui unghi la rotirea axelor în jurul punctului DESPREîn sens invers acelor de ceasornic. Origine DESPRE Salvați. Să exprimăm momentele relativ la cel de-al doilea sistem de axe de coordonate și , prin momentele de inerție cunoscute și .

Să scriem expresii pentru momentele de inerție despre aceste axe:

De asemenea:

Pentru a rezolva probleme, este posibil să aveți nevoie de formule pentru trecerea de la o axă la altele pentru momentul de inerție centrifugal. La rotirea axelor (Fig. 2) avem:

unde și sunt calculate folosind formulele (14.10); Apoi

După transformări obținem:

(7)

Astfel, pentru a calcula momentul de inerție față de orice axă centrală, trebuie să cunoașteți momentele de inerție despre sistemul oricăror două axe centrale reciproc perpendiculare. OUȘi Oz, momentul de inerție centrifugal față de aceleași axe și unghiul de înclinare al axei față de axă la.

Pentru a calcula valorile >, trebuie să alegeți astfel de axele laȘi zși împărțiți aria figurii în astfel de părți componente pentru a putea face acest calcul, folosind numai formule pentru trecerea de la axele centrale ale fiecăreia dintre părțile componente la axele paralele cu acestea. Cum să faceți acest lucru în practică va fi prezentat mai jos folosind un exemplu. Rețineți că în acest calcul, figurile complexe trebuie împărțite în astfel de părți elementare pentru care, dacă este posibil, sunt cunoscute valorile momentelor centrale de inerție în raport cu sistemul de axe reciproc perpendiculare.

Rețineți că progresul derivării și rezultatele obținute nu s-ar fi schimbat dacă originea coordonatelor ar fi fost luată nu în centrul de greutate al secțiunii, ci în orice alt punct. DESPRE. Astfel, formulele (6) și (7) sunt formule pentru trecerea de la un sistem de axe reciproc perpendiculare la altul, rotite cu un anumit unghi, indiferent dacă acestea sunt sau nu axe centrale.

Din formulele (6) se poate obține o altă relație între momentele de inerție la rotirea axelor. Adăugând expresiile pentru și obținem

adică suma momentelor de inerție în jurul oricăror axe reciproc perpendiculare laȘi z nu se schimbă atunci când sunt rotite. Înlocuind ultima expresie în loc de și valorile acestora, obținem:

unde este distanța site-urilor dF din punct DESPRE. Mărimea este, după cum se știe deja, momentul polar de inerție al secțiunii față de punct DESPRE.

Astfel, momentul polar de inerție al unei secțiuni în raport cu orice punct este egal cu suma momentelor de inerție axiale raportate la axele reciproc perpendiculare care trec prin acest punct. Prin urmare, această sumă rămâne constantă atunci când axele sunt rotite. Această dependență (14.16) poate fi folosită pentru a simplifica calculul momentelor de inerție.

Deci, pentru un cerc:

Deoarece prin simetrie pentru un cerc atunci

care a fost obţinut mai sus prin integrare.

În mod similar, pentru o secțiune inelară cu pereți subțiri se poate obține:

Axele principale de inerție și momentele principale de inerție.

După cum se știe deja, cunoscând momentele centrale de inerție, și pentru o cifră dată, puteți calcula momentul de inerție față de orice altă axă.

În acest caz, este posibil să luăm ca sistem principal de axe un astfel de sistem în care formulele sunt simplificate semnificativ. Și anume, este posibil să găsim un sistem de axe de coordonate pentru care momentul de inerție centrifugal este egal cu zero. De fapt, momentele de inerție sunt întotdeauna pozitive, ca suma termenilor pozitivi, dar momentul centrifug

poate fi atât pozitiv, cât și negativ, deoarece termenii zydF poate fi de semn diferit în funcție de semne zȘi la pentru un site sau altul. Aceasta înseamnă că poate fi egal cu zero.

Se numesc axele în jurul cărora dispare momentul de inerție centrifugal axele principale inerţie. Dacă începutul unui astfel de sistem este plasat în centrul de greutate al figurii, atunci acestea vor fi axele centrale principale. Vom nota aceste axe și ; pentru ei

Să aflăm în ce unghi sunt înclinate axele principale față de axele centrale y și z (Fig. 198).

Fig.1. Model de calcul pentru determinarea poziției principalelor axe de inerție.

În expresia binecunoscută pentru deplasarea din axe yz la axe, pentru momentul de inerție centrifugal dăm unghiului valoarea; atunci axele și vor coincide cu cele principale, iar momentul de inerție centrifugal va fi egal cu zero:

(1)

Această ecuație este satisfăcută de două valori ale lui , care diferă cu 180°, sau două valori ale lui , care diferă cu 90°. Deci această ecuație ne oferă poziția două axe, formând un unghi drept între ele. Acestea vor fi principalele axe centrale și , pentru care .

Folosind această formulă, le puteți folosi pe cele cunoscute pentru a obține formule pentru momentele principale de inerție și . Pentru a face acest lucru, folosim din nou expresiile pentru momentele de inerție axiale de poziție generală. Ele determină valorile și dacă înlocuim

(2)

Relațiile rezultate pot fi folosite pentru a rezolva probleme. Unul dintre principalele momente de inerție este, altul.

Formulele (2) pot fi transformate într-o formă fără valoarea . Exprimând și prin și substituind valorile lor în prima formulă (2), obținem, în timp ce facem simultan substituția din formula (1):

Înlocuind aici fracția din formula (1) cu

primim

(3)

La aceeași expresie se poate ajunge făcând o transformare similară a celei de-a doua formule (3).

Pentru sistemul principal de axe centrale, din care se poate trece la oricare altul, se poate lua OUȘi Oz, și axele principale și ; atunci momentul de inerție centrifugal () nu va apărea în formule. Să notăm unghiul făcut de axa , (Fig. 2) cu axa principală , cu . Pentru a calcula , și , deplasându-vă de la axele și , trebuie să înlocuiți unghiul prin , a , și în expresiile găsite anterior pentru , și , și , și . Ca rezultat obținem:

În aparență, aceste formule sunt complet similare cu formulele pentru tensiunile normale și de forfecare de-a lungul a două zone reciproc perpendiculare într-un element supus tensiunii în două direcții. Vom indica doar o formulă care ne permite să selectăm din două valori unghiulare pe cea care corespunde abaterii primei axe principale (dând max. J) din poziţia iniţială a axei la:

Acum putem formula în sfârșit ce trebuie făcut pentru a putea calcula în cel mai simplu mod momentul de inerție al unei figuri în raport cu orice axă. Este necesar să desenați axe prin centrul de greutate al figurii OUȘi Oz astfel încât, împărțind figura în părțile sale cele mai simple, putem calcula cu ușurință momentele care trec la distanță (Fig. 2) de centrul de greutate:

În multe cazuri, este posibil să desenați imediat axele principale ale figurii; dacă o figură are o axă de simetrie, atunci aceasta va fi una dintre axele principale. De fapt, la derivarea formulei, ne-am ocupat deja de integrală, care este momentul de inerție centrifugal al secțiunii în raport cu axele. laȘi z; s-a dovedit că dacă axa Oz este axa de simetrie, această integrală dispare.

Prin urmare, în acest caz axele OUȘi Oz sunt principal axele centrale de inerție ale secțiunii. Prin urmare, axa de simetrie- intotdeauna axa centrala principala; al doilea Acasă axa centrală trece prin centrul de greutate perpendicular pe axa de simetrie.

Exemplu. Aflați momentele de inerție ale dreptunghiului (Fig. 3) în raport cu axele și sunt egale cu:

Momentele de inerție față de axe și sunt egale cu:

Momentul de inerție centrifugal este egal cu.

Metoda de calcul a momentelor de inerție a secțiunilor complexe se bazează pe faptul că orice integrală poate fi considerată o sumă de integrale și, prin urmare, momentul de inerție al oricărei secțiuni poate fi calculat ca suma momentelor de inerție ale părțile sale individuale.

Prin urmare, pentru a calcula momentele de inerție, o secțiune complexă este împărțită într-un număr de părți simple (figuri), astfel încât caracteristicile geometrice ale acestora să poată fi calculate folosind formule cunoscute sau găsite folosind tabele speciale de referință.

În unele cazuri, la împărțirea în cifre simple pentru a reduce numărul sau a simplifica forma acestora, este recomandabil să completați secțiunea complexă cu unele zone. Deci, de exemplu, atunci când se determină caracteristicile geometrice ale secțiunii prezentate în Fig. 22.5, a, este recomandabil să îl adăugați la un dreptunghi și apoi să scădeți caracteristicile părții adăugate din caracteristicile geometrice ale acestui dreptunghi. Faceți același lucru dacă există găuri (Fig. 22.5, b).

După împărțirea unei secțiuni complexe în părți simple, pentru fiecare dintre ele este selectat un sistem de coordonate dreptunghiular, în raport cu care trebuie determinate momentele de inerție ale părții corespunzătoare. Toate aceste sisteme de coordonate sunt considerate paralele între ele, astfel încât apoi, prin translația paralelă a axelor, să fie posibil să se calculeze momentele de inerție ale tuturor părților în raport cu sistemul de coordonate comun întregii secțiuni complexe.

De regulă, sistemul de coordonate pentru fiecare figură simplă este considerat central, adică originea sa coincide cu centrul de greutate al acestei figuri. În acest caz, calculul ulterior al momentelor de inerție la trecerea la alte axe paralele este simplificat, deoarece formulele de trecere de la axele centrale au o formă mai simplă decât de la axele necentrale.

Următorul pas este de a calcula ariile fiecărei figuri simple, precum și momentele de inerție axiale și centrifuge ale acesteia în raport cu axele sistemului de coordonate ales pentru aceasta. Momentele statice ale acestor axe sunt, de regulă, egale cu zero, deoarece pentru fiecare parte a secțiunii aceste axe sunt de obicei centrale. În cazurile în care acestea sunt axe necentrale, este necesar să se calculeze momentele statice.

Momentul polar de inerție se calculează numai pentru o secțiune circulară (solidă sau inelară) folosind formule gata făcute; pentru secțiuni de alte forme, această caracteristică geometrică nu are nicio semnificație, deoarece nu este utilizată în calcule.

Momentele de inerție axiale și centrifugale ale fiecărei figuri simple în raport cu axele sistemului de coordonate sunt calculate folosind formulele sau tabelele disponibile pentru o astfel de figură. Pentru unele cifre, formulele și tabelele disponibile nu ne permit să determinăm momentele de inerție axiale și centrifuge necesare; în aceste cazuri este necesar să se utilizeze formule pentru trecerea la noi axe (de obicei pentru cazul rotației axelor).

Tabelele de sortiment nu indică valorile momentelor de inerție centrifuge pentru unghiuri. Metoda de determinare a acestor momente de inerție este discutată în exemplul 4.5.

În marea majoritate a cazurilor, scopul final al calculării caracteristicilor geometrice ale unei secțiuni este de a determina principalele sale momente centrale de inerție și poziția principalelor axe centrale de inerție. Prin urmare, următoarea etapă a calculului este de a determina coordonatele centrului de greutate al unei secțiuni date [folosind formulele (6.5) și (7.5)] într-un sistem de coordonate arbitrar (aleatoriu). Prin acest centru de greutate al secțiunii , axele centrale auxiliare (nu principale) sunt trasate paralel cu axele sistemului de coordonate al figurilor simple.

Apoi, folosind formule care stabilesc relațiile dintre momentele de inerție pentru axe paralele (vezi § 5.5), se determină momentele de inerție ale fiecărei figuri simple în raport cu axele auxiliare, centrale.Prin însumarea momentelor de inerție ale fiecărei figuri simple relative. la axe se determină momentele de inerție ale întregii secțiuni complexe în raport cu aceste axe; în acest caz se scad momentele de inerție ale găurilor sau plăcuțelor adăugate.

Momentele de inerție ale secțiunilor se numesc integrale de următoarea formă:

la;

– momentul de inerție axial al secțiunii față de ax z;

– momentul de inerție centrifugal al secțiunii;

– momentul polar de inerție al secțiunii.

3.2.1. Proprietățile momentelor de inerție ale secțiunii

Dimensiunea momentelor de inerție este [lungimea 4 ], de obicei [ m 4 ] sau [ cm 4 ].

Momentele axiale și polare de inerție sunt întotdeauna pozitive. Momentul de inerție centrifugal poate fi pozitiv, negativ sau zero.

Se numesc axe în jurul cărora momentul de inerție centrifugal este zero axele principale de inerție secțiuni.

Axele de simetrie sunt întotdeauna principalele. Dacă cel puțin una dintre cele două axe reciproc perpendiculare este o axă de simetrie, atunci ambele axe sunt principale.

Momentul de inerție al unei secțiuni compozite este egal cu suma momentelor de inerție ale elementelor acestei secțiuni.

Momentul polar de inerție este egal cu suma momentelor axiale de inerție.

Să demonstrăm ultima proprietate. In sectiune cu suprafata A pentru un site elementar dA vectorul rază ρ și coordonatele laȘi z(Fig. 6) sunt legate după teorema lui Pitagora: ρ 2 = la 2 + z 2. Apoi

Orez. 6. Relația dintre coordonatele polare și carteziene

site elementar

3.2.2. Momentele de inerție ale celor mai simple figuri

ÎN secțiune dreptunghiulară(Fig. 7) selectați o platformă elementară dA cu coordonate yȘi z si zona dA = dydz.

Orez. 7. Secțiune dreptunghiulară

Momentul de inerție axial față de axă la

.

În mod similar, obținem momentul de inerție în jurul axei z:

Deoarece laȘi z– axa de simetrie, apoi momentul centrifugal D zy = 0.

Pentru cerc diametru d calculele sunt simplificate dacă luăm în considerare simetria circulară și folosim coordonatele polare. Să luăm ca platformă elementară un inel infinit subțire cu raza ρ și grosimea dρ (Fig. 8). Zona sa dA= 2πρ dρ. Atunci momentul polar de inerție este:

.

Orez. 8. Secțiune rotundă

După cum se arată mai sus, momentele axiale de inerție în jurul oricărei axe centrale sunt aceleași și egale

.

Moment de inerție inele găsim ca diferență între momentele de inerție a două cercuri - cel exterior (cu un diametru D) și interioare (cu un diametru d):

Moment de inerție eu z triunghi o vom defini relativ la axa care trece prin centrul de greutate (Fig. 9). Evident, lățimea unei benzi elementare situată la distanță la din axa z, este egal

Prin urmare,

Orez. 9. Secțiune triunghiulară

3.3. Dependențe între momentele de inerție față de axele paralele

Cu valori cunoscute ale momentelor de inerție față de axe zȘi la sa determinam momentele de inertie fata de alte axe z 1 și y 1 paralel cu cele date. Folosind formula generală pentru momentele axiale de inerție, găsim

Dacă axele zȘi y central, atunci
, Și

Din formulele obținute reiese clar că momentele de inerție față de axele centrale (când
) au cele mai mici valori în comparație cu momentele de inerție față de orice alte axe paralele.

3.4. Axele principale și momentele principale de inerție

Când axele sunt rotite printr-un unghi α, momentul de inerție centrifugal devine egal cu

.

Să determinăm poziția principalelor axe de inerție u, v referitor la care

,

unde α 0 este unghiul cu care trebuie rotite axele yȘi z astfel încât să devină principalele.

Deoarece formula dă două valori de unghi Și
, atunci există două axe principale reciproc perpendiculare. Axa maximă face întotdeauna un unghi mai mic ( ) cu cea a axelor ( z sau y), față de care momentul axial de inerție are o importanță mai mare. Amintiți-vă că unghiurile pozitive sunt îndepărtate de axă z în sens invers acelor de ceasornic.

Se numesc momentele de inerție față de axele principale principalele momente de inerție. Se poate demonstra că ei

.

Semnul plus din fața celui de-al doilea termen se referă la momentul maxim de inerție, semnul minus la minim.