Cum se rezolvă ecuații raționale fracționale. Rezolvarea ecuațiilor raționale întregi și fracționale

Astăzi ne vom da seama cum să rezolvăm ecuații raționale fracționale.

Să vedem: din ecuații

(1) 2x + 5 = 3(8 - x),

(3)

(4)

ecuațiile raționale fracționale sunt doar (2) și (4), în timp ce (1) și (3) sunt ecuații întregi.

Propun să rezolvăm ecuația (4) și apoi să formulez regula.

Deoarece ecuația este fracțională, trebuie să găsim un numitor comun. În această ecuație, această expresie este 6 (x - 12) (x - 6). Apoi înmulțim ambele părți ale ecuației cu un numitor comun:

După reducere, obținem întreaga ecuație:

6 (x - 6) 2 - 6 (x - 12) 2 \u003d 5 (x - 12) (x - 6).

După rezolvarea acestei ecuații, este necesar să se verifice dacă rădăcinile obținute transformă numitorii fracțiilor din ecuația inițială la zero.

Extinderea parantezelor:
6x 2 - 72x + 216 - 6x 2 + 144x - 864 = 5x 2 - 90x + 360, simplificăm ecuația: 5x 2 - 162x + 1008 = 0.

Găsirea rădăcinilor ecuației
D=6084, √D=78,
x 1 = (162 - 78) / 10 = 84/10 = 8,4 și x 2 = (162 + 78) / 10 = 240/10 = 24.

La x = 8,4 și 24, numitorul comun este 6(x - 12)(x - 6) ≠ 0, ceea ce înseamnă că aceste numere sunt rădăcinile ecuației (4).

Răspuns: 8,4; 24.

Rezolvând ecuația propusă ajungem la următoarele prevederi:

1) Găsim un numitor comun.

2) Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un numitor comun.

3) Rezolvăm întreaga ecuație rezultată.

4) Verificăm care dintre rădăcini transformă numitorul comun la zero și le excludem din soluție.

Să ne uităm acum la un exemplu despre cum funcționează pozițiile rezultate.

Rezolvați ecuația:

1) Numitor comun: x 2 - 1

2) Înmulțim ambele părți ale ecuației cu un numitor comun, obținem întreaga ecuație: 6 - 2 (x + 1) \u003d 2 (x 2 - 1) - (x + 4) (x - 1)

3) Rezolvăm ecuația: 6 - 2x - 2 \u003d 2x 2 - 2 - x 2 - 4x + x + 4

x 2 - x - 2 = 0

x 1 = - 1 și x 2 = 2

4) Când x \u003d -1, numitorul comun x 2 - 1 \u003d 0. Numărul -1 nu este o rădăcină.

Pentru x \u003d 2, numitorul comun este x 2 - 1 ≠ 0. Numărul 2 este rădăcina ecuației.

Răspuns: 2.

După cum puteți vedea, prevederile noastre funcționează. Nu-ți fie teamă, vei reuși! Cel mai important găsiți corect numitorul comunși faceți transformările cu grijă. Sperăm că atunci când rezolvați ecuații raționale fracționale, veți obține întotdeauna răspunsurile corecte. Dacă aveți întrebări sau doriți să exersați rezolvarea unor astfel de ecuații, înscrieți-vă la lecții cu autorul acestui articol, tutorele Valentina Galinevskaya.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale

Ghid de ajutor

Ecuațiile raționale sunt ecuații în care atât partea stângă, cât și cea dreaptă sunt expresii raționale.

(Reamintim: expresiile raționale sunt expresii întregi și fracționale fără radicali, inclusiv operațiile de adunare, scădere, înmulțire sau împărțire - de exemplu: 6x; (m - n) 2; x / 3y etc.)

Ecuațiile fracționale-raționale, de regulă, sunt reduse la forma:

Unde P(X) și Q(X) sunt polinoame.

Pentru a rezolva astfel de ecuații, înmulțiți ambele părți ale ecuației cu Q(x), ceea ce poate duce la apariția rădăcinilor străine. Prin urmare, la rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale, este necesar să se verifice rădăcinile găsite.

O ecuație rațională se numește întreg, sau algebrică, dacă nu are o împărțire printr-o expresie care conține o variabilă.

Exemple de ecuație rațională întreagă:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

Dacă într-o ecuație rațională există o împărțire printr-o expresie care conține variabila (x), atunci ecuația se numește rațional fracțional.

Un exemplu de ecuație rațională fracțională:

15
x + - = 5x - 17
X

Ecuațiile raționale fracționale sunt de obicei rezolvate după cum urmează:

1) găsiți un numitor comun al fracțiilor și înmulțiți ambele părți ale ecuației cu acesta;

2) rezolvați întreaga ecuație rezultată;

3) excludeți din rădăcinile sale pe cele care transformă numitorul comun al fracțiilor la zero.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor raționale întregi și fracționale.

Exemplul 1. Rezolvați întreaga ecuație

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Decizie:

Găsirea celui mai mic numitor comun. Acesta este 6. Împărțiți 6 la numitor și înmulțiți rezultatul cu numărătorul fiecărei fracții. Obținem o ecuație echivalentă cu aceasta:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Deoarece numitorul este același pe părțile din stânga și din dreapta, acesta poate fi omis. Atunci avem o ecuație mai simplă:

3(x - 1) + 4x = 5x.

O rezolvăm deschizând paranteze și reducând termenii similari:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Exemplu rezolvat.

Exemplul 2. Rezolvați o ecuație rațională fracțională

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)

Găsim un numitor comun. Acesta este x(x - 5). Asa de:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Acum scăpăm din nou de numitor, deoarece este același pentru toate expresiile. Reducem termeni similari, echivalăm ecuația cu zero și obținem o ecuație pătratică:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

După ce am rezolvat ecuația pătratică, găsim rădăcinile acesteia: -2 și 5.

Să verificăm dacă aceste numere sunt rădăcinile ecuației originale.

Pentru x = –2, numitorul comun x(x – 5) nu dispare. Deci -2 este rădăcina ecuației inițiale.

La x = 5, numitorul comun dispare, iar două dintre cele trei expresii își pierd sensul. Deci numărul 5 nu este rădăcina ecuației originale.

Răspuns: x = -2

Mai multe exemple

Exemplul 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2,2.

Răspuns: -2,2; 6.

Exemplul 2

Prezentare și lecție pe tema: "Ecuații raționale. Algoritm și exemple de rezolvare a ecuațiilor raționale"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a VIII-a
Manual pentru manualul Makarychev Yu.N. Manual pentru manualul Mordkovich A.G.

Introducere în ecuațiile iraționale

Băieți, am învățat cum să rezolvăm ecuații patratice. Dar matematica nu se limitează la ei. Astăzi vom învăța cum să rezolvăm ecuații raționale. Conceptul de ecuații raționale este în multe privințe similar cu conceptul de numere raționale. Doar pe lângă numere, acum am introdus o variabilă $x$. Și astfel obținem o expresie în care există operații de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la o putere întreagă.

Fie $r(x)$ expresie rațională. O astfel de expresie poate fi un polinom simplu în variabila $x$ sau un raport de polinoame (se introduce operația de împărțire, ca și pentru numerele raționale).
Se numește ecuația $r(x)=0$ ecuație rațională.
Orice ecuație de forma $p(x)=q(x)$, unde $p(x)$ și $q(x)$ sunt expresii raționale, va fi de asemenea ecuație rațională.

Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor raționale.

Exemplul 1
Rezolvați ecuația: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Decizie.
Să mutăm toate expresiile în partea stângă: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Dacă numerele obișnuite ar fi reprezentate în partea stângă a ecuației, atunci am aduce două fracții la un numitor comun.
Să facem asta: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Obținem ecuația: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

O fracție este zero dacă și numai dacă numărătorul fracției este zero și numitorul este diferit de zero. Apoi egalați separat numărătorul cu zero și găsiți rădăcinile numărătorului.
$3(x^2+2x-3)=0$ sau $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Acum să verificăm numitorul fracției: $(x-3)*x≠0$.
Produsul a două numere este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre aceste numere este egal cu zero. Apoi: $x≠0$ sau $x-3≠0$.
$x≠0$ sau $x≠3$.
Rădăcinile obținute la numărător și numitor nu se potrivesc. Deci, ca răspuns, notăm ambele rădăcini ale numărătorului.
Răspuns: $x=1$ sau $x=-3$.

Dacă dintr-o dată, una dintre rădăcinile numărătorului a coincis cu rădăcina numitorului, atunci ar trebui exclusă. Astfel de rădăcini se numesc străine!

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale:

1. Mutați toate expresiile conținute în ecuație la stânga semnului egal.
2. Convertiți această parte a ecuației în fracție algebrică: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Echivalează numărătorul rezultat cu zero, adică rezolvă ecuația $p(x)=0$.
4. Echivalează numitorul cu zero și rezolvă ecuația rezultată. Dacă rădăcinile numitorului au coincis cu rădăcinile numărătorului, atunci acestea ar trebui excluse din răspuns.

Exemplul 2
Rezolvați ecuația: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Decizie.
Vom rezolva în funcție de punctele algoritmului.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Echivalează numărătorul cu zero: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Echivalează numitorul cu zero:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ și $x=-1$.
Una dintre rădăcinile $x=1$ a coincis cu rădăcina numărătorului, apoi nu o scriem ca răspuns.
Răspuns: $x=-1$.

Este convenabil să se rezolve ecuații raționale folosind metoda schimbării variabilelor. Să o demonstrăm.

Exemplul 3
Rezolvați ecuația: $x^4+12x^2-64=0$.

Decizie.
Introducem un înlocuitor: $t=x^2$.
Atunci ecuația noastră va lua forma:
$t^2+12t-64=0$ este o ecuație pătratică obișnuită.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Să introducem o înlocuire inversă: $x^2=4$ sau $x^2=-16$.
Rădăcinile primei ecuații sunt o pereche de numere $x=±2$. Al doilea nu are rădăcini.
Răspuns: $x=±2$.

Exemplul 4
Rezolvați ecuația: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Decizie.
Să introducem o nouă variabilă: $t=x^2+x+1$.
Atunci ecuația va lua forma: $t=\frac(15)(t+2)$.
În continuare, vom acționa conform algoritmului.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - rădăcinile nu se potrivesc.
Introducem o substituție inversă.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Să rezolvăm fiecare ecuație separat:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nu rădăcini.
Și a doua ecuație: $x^2+x-2=0$.
Rădăcinile acestei ecuații vor fi numerele $x=-2$ și $x=1$.
Răspuns: $x=-2$ și $x=1$.

Exemplul 5
Rezolvați ecuația: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Decizie.
Introducem o înlocuire: $t=x+\frac(1)(x)$.
Atunci:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ sau $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Obținem ecuația: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Rădăcinile acestei ecuații sunt perechea:
$t=-3$ și $t=2$.
Să introducem înlocuirea inversă:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Vom decide separat.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Să rezolvăm a doua ecuație:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Rădăcina acestei ecuații este numărul $x=1$.
Răspuns: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Sarcini pentru soluție independentă

Rezolvarea ecuațiilor:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Ecuații fracționale. ODZ.

Atenţie!
Există suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Continuăm să stăpânim ecuațiile. Știm deja cum să lucrăm cu ecuații liniare și pătratice. Ultima vedere rămâne ecuații fracționale. Sau sunt numite și mult mai solide - ecuații raționale fracționale. Asta e lafel.

Ecuații fracționale.

După cum sugerează și numele, aceste ecuații conțin în mod necesar fracții. Dar nu doar fracții, ci fracții care au necunoscut la numitor. Cel puțin într-una. De exemplu:

Permiteți-mi să vă reamintesc, dacă numai în numitori numere, acestea sunt ecuații liniare.

Cum să decizi ecuații fracționale? În primul rând, scapă de fracții! După aceea, ecuația, cel mai adesea, se transformă într-una liniară sau pătratică. Și atunci știm ce să facem... În unele cazuri, se poate transforma într-o identitate, gen 5=5 sau o expresie incorectă, precum 7=2. Dar asta se întâmplă rar. Mai jos o voi aminti.

Dar cum să scapi de fracții!? Foarte simplu. Aplicând toate aceleași transformări identice.

Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu aceeași expresie. Pentru ca toți numitorii să scadă! Totul va deveni imediat mai ușor. explic cu un exemplu. Să presupunem că trebuie să rezolvăm ecuația:

Cum au fost predate în școala elementară? Transferăm totul într-o singură direcție, îl reducem la un numitor comun etc. Uită cât de urât vis! Acesta este ceea ce trebuie să faceți atunci când adăugați sau scădeți expresii fracționale. Sau lucrează cu inegalități. Și în ecuații, înmulțim imediat ambele părți printr-o expresie care ne va oferi posibilitatea de a reduce toți numitorii (adică, în esență, cu un numitor comun). Și care este această expresie?

În partea stângă, pentru a reduce numitorul, trebuie să înmulțiți cu x+2. Și în dreapta este necesară înmulțirea cu 2. Deci, ecuația trebuie înmulțită cu 2(x+2). Înmulțim:

Aceasta este înmulțirea obișnuită a fracțiilor, dar voi scrie în detaliu:

Vă rugăm să rețineți că încă nu deschid paranteza. (x + 2)! Deci, în întregime, o scriu:

În partea stângă, este redus în întregime (x+2), iar în dreapta 2. După cum este necesar! După reducere obținem liniar ecuația:

Oricine poate rezolva această ecuație! x = 2.

Să rezolvăm un alt exemplu, puțin mai complicat:

Dacă ne amintim că 3 = 3/1, și 2x = 2x/ 1 se poate scrie:

Și din nou scăpăm de ceea ce nu ne place cu adevărat - din fracții.

Vedem că pentru a reduce numitorul cu x, este necesar să înmulțim fracția cu (x - 2). Și unitățile nu sunt o piedică pentru noi. Ei bine, hai să ne înmulțim. Toate partea stângă și toate partea dreapta:

Din nou paranteze (x - 2) Nu dezvălui. Lucrez cu paranteza ca un întreg, de parcă ar fi un număr! Acest lucru trebuie făcut întotdeauna, altfel nimic nu va fi redus.

Cu un sentiment de profundă satisfacție, tăiem (x - 2)și obținem ecuația fără fracții, într-o riglă!

Și acum deschidem parantezele:

Dăm altele similare, transferăm totul în partea stângă și obținem:

Dar înainte de asta, vom învăța să rezolvăm alte probleme. Pentru interes. Greblele alea, apropo!

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Continuăm să vorbim despre rezolvarea ecuatiilor. În acest articol, ne vom concentra asupra ecuații raționaleși principii pentru rezolvarea ecuațiilor raționale cu o variabilă. Mai întâi, să ne dăm seama ce fel de ecuații sunt numite raționale, să dăm o definiție a ecuațiilor raționale întregi și a ecuațiilor raționale fracționale și să dăm exemple. În plus, vom obține algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor raționale și, desigur, vom lua în considerare soluțiile exemplelor tipice cu toate explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Pe baza definițiilor sunate, dăm câteva exemple de ecuații raționale. De exemplu, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , sunt toate ecuații raționale.

Din exemplele prezentate, se poate observa că ecuațiile raționale, precum și ecuațiile de alte tipuri, pot fi fie cu o variabilă, fie cu două, trei etc. variabile. În paragrafele următoare, vom vorbi despre rezolvarea ecuațiilor raționale într-o variabilă. Rezolvarea ecuațiilor cu două variabile iar numărul lor mare merită o atenție deosebită.

Pe lângă împărțirea ecuațiilor raționale la numărul de variabile necunoscute, ele sunt, de asemenea, împărțite în întregi și fracționale. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiție.

Ecuația rațională se numește întreg, dacă ambele părți din stânga și din dreapta sunt expresii raționale întregi.

Definiție.

Dacă cel puțin una dintre părțile unei ecuații raționale este o expresie fracțională, atunci o astfel de ecuație se numește fracționat rațional(sau rațional fracțional).

Este clar că ecuațiile întregi nu conțin împărțirea printr-o variabilă; dimpotrivă, ecuațiile raționale fracționale conțin în mod necesar împărțirea printr-o variabilă (sau o variabilă în numitor). Deci 3 x+2=0 și (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 sunt ecuații raționale întregi, ambele părți sunt expresii întregi. A și x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sunt exemple de ecuații raționale fracționale.

Încheind acest paragraf, să acordăm atenție faptului că ecuațiile liniare și ecuațiile pătratice cunoscute până în acest moment sunt ecuații raționale întregi.

Rezolvarea ecuațiilor întregi

Una dintre principalele abordări pentru rezolvarea ecuațiilor întregi este reducerea lor la echivalent ecuații algebrice. Acest lucru se poate realiza întotdeauna prin efectuarea următoarelor transformări echivalente ale ecuației:

• mai întâi, expresia din partea dreaptă a ecuației întregi originale este transferată în partea stângă cu semnul opus pentru a obține zero în partea dreaptă;
• după aceea, în partea stângă a ecuației, forma standard rezultată.

Rezultatul este o ecuație algebrică care este echivalentă cu întreaga ecuație originală. Deci, în cele mai simple cazuri, soluția ecuațiilor întregi se reduce la soluția ecuațiilor liniare sau pătratice, iar în cazul general - la soluția unei ecuații algebrice de gradul n. Pentru claritate, să analizăm soluția exemplului.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile întregii ecuații 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Decizie.

Să reducem soluția întregii ecuații la soluția unei ecuații algebrice echivalente. Pentru a face acest lucru, în primul rând, transferăm expresia din partea dreaptă în stânga, ca urmare ajungem la ecuație 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Și, în al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă într-un polinom al formei standard făcând ceea ce este necesar: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Astfel, soluția ecuației întregi inițiale este redusă la soluția ecuației pătratice x 2 −5·x−6=0 .

Calculați discriminantul acestuia D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, este pozitiv, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale, pe care le găsim prin formula rădăcinilor ecuației pătratice:

Pentru a fi complet sigur, hai să facem verificarea rădăcinilor găsite ale ecuației. Mai întâi, verificăm rădăcina 6, înlocuim-o în loc de variabila x din ecuația întregă originală: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, care este același, 63=63 . Aceasta este o ecuație numerică validă, deci x=6 este într-adevăr rădăcina ecuației. Acum verificăm rădăcina −1 , avem 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, de unde, 0=0 . Pentru x=−1, ecuația originală s-a transformat de asemenea într-o egalitate numerică adevărată, prin urmare, x=−1 este și rădăcina ecuației.

Răspuns:

6 , −1 .

Aici trebuie remarcat și faptul că termenul „putere a unei ecuații întregi” este asociat cu reprezentarea unei ecuații întregi sub forma unei ecuații algebrice. Dăm definiția corespunzătoare:

Definiție.

Gradul întregii ecuații numiți gradul unei ecuații algebrice echivalent cu acesta.

Conform acestei definiții, întreaga ecuație din exemplul precedent are gradul doi.

Pe aceasta s-ar putea termina cu rezolvarea unor ecuații raționale întregi, dacă nu pentru una, dar .... După cum se știe, soluția ecuațiilor algebrice de grad mai mare decât al doilea este asociată cu dificultăți semnificative, iar pentru ecuațiile de grad mai mare decât a patra, nu există deloc formule generale pentru rădăcini. Prin urmare, pentru a rezolva ecuații întregi ale a treia, a patra și mai mult grade înalte de multe ori trebuie să recurgă la alte metode de soluţionare.

În astfel de cazuri, uneori abordarea de a rezolva ecuații raționale întregi pe baza metoda factorizării. În același timp, se urmărește următorul algoritm:

• mai întâi ei caută să aibă zero în partea dreaptă a ecuației, pentru aceasta transferă expresia din partea dreaptă a întregii ecuații la stânga;
• apoi, expresia rezultată din partea stângă este prezentată ca un produs al mai multor factori, ceea ce vă permite să mergeți la un set de mai multe ecuații mai simple.

Algoritmul de mai sus pentru rezolvarea întregii ecuații prin factorizare necesită o explicație detaliată folosind un exemplu.

Exemplu.

Rezolvați întreaga ecuație (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Decizie.

Mai întâi, ca de obicei, transferăm expresia din partea dreaptă în partea stângă a ecuației, fără a uita să schimbăm semnul, obținem (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Este destul de evident aici că nu este recomandabil să transformați partea stângă a ecuației rezultate într-un polinom de forma standard, deoarece aceasta va da o ecuație algebrică de gradul al patrulea al formei. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, a cărui soluție este dificilă.

Pe de altă parte, este evident că x 2 −10·x+13 poate fi găsit în partea stângă a ecuației rezultate, reprezentând-o astfel ca un produs. Avem (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ecuația rezultată este echivalentă cu întreaga ecuație originală și, la rândul său, poate fi înlocuită cu un set de două ecuații pătratice x 2 −10·x+13=0 și x 2 −2·x−1=0 . Găsirea rădăcinilor lor folosind formulele rădăcinilor cunoscute prin discriminant nu este dificilă, rădăcinile sunt egale. Ele sunt rădăcinile dorite ale ecuației originale.

Răspuns:

De asemenea, este util pentru rezolvarea ecuațiilor raționale întregi. metoda de introducere a unei noi variabile. În unele cazuri, permite trecerea la ecuații al căror grad este mai mic decât gradul ecuației întregi originale.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile reale ale unei ecuații raționale (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Decizie.

Reducerea acestei ecuații raționale la o ecuație algebrică este, ca să spunem ușor, nu o idee foarte bună, deoarece în acest caz vom ajunge la necesitatea de a rezolva o ecuație de gradul al patrulea care nu are rădăcini raționale. Prin urmare, va trebui să cauți o altă soluție.

Este ușor de observat aici că puteți introduce o nouă variabilă y și puteți înlocui expresia x 2 +3 x cu ea. O astfel de înlocuire ne conduce la întreaga ecuație (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , care după transferarea expresiei −2 (y−4) în partea stângă și transformarea ulterioară a expresiei formate acolo , se reduce la ecuația y 2 +4 y+3=0 . Rădăcinile acestei ecuații y=−1 și y=−3 sunt ușor de găsit, de exemplu, ele pot fi găsite pe baza teoremei inverse a teoremei lui Vieta.

Acum să trecem la a doua parte a metodei de introducere a unei noi variabile, adică la efectuarea unei substituții inverse. După efectuarea substituției inverse, obținem două ecuații x 2 +3 x=−1 și x 2 +3 x=−3 , care pot fi rescrise ca x 2 +3 x+1=0 și x 2 +3 x+3 =0 . După formula rădăcinilor ecuației pătratice, găsim rădăcinile primei ecuații. Și a doua ecuație pătratică nu are rădăcini reale, deoarece discriminantul ei este negativ (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Răspuns:

În general, atunci când avem de-a face cu ecuații întregi de grade înalte, trebuie să fim întotdeauna gata să căutăm o metodă non-standard sau o tehnică artificială pentru rezolvarea lor.

Rezolvarea ecuațiilor fracționale raționale

În primul rând, va fi util să înțelegem cum să rezolvăm ecuații fracționale raționale de forma , unde p(x) și q(x) sunt expresii întregi raționale. Și apoi vom arăta cum să reducem soluția ecuațiilor raționale fracționale rămase la soluția ecuațiilor de forma indicată.

Una dintre abordările de rezolvare a ecuației se bazează pe următoarea afirmație: fracția numerică u/v, unde v este un număr diferit de zero (altfel vom întâlni , care nu este definit), este egală cu zero dacă și numai dacă numărătorul său este egal cu zero, atunci este, dacă și numai dacă u=0 . În virtutea acestei afirmații, soluția ecuației se reduce la îndeplinirea a două condiții p(x)=0 și q(x)≠0 .

Această concluzie este în concordanță cu următoarele algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale. Pentru a rezolva o ecuație rațională fracțională de forma

• rezolvați întreaga ecuație rațională p(x)=0 ;
• și verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru fiecare rădăcină găsită, în timp ce
• dacă este adevărată, atunci această rădăcină este rădăcina ecuației originale;
• dacă nu, atunci această rădăcină este străină, adică nu este rădăcina ecuației originale.

Să analizăm un exemplu de utilizare a algoritmului vocal atunci când rezolvăm o ecuație rațională fracțională.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Decizie.

Aceasta este o ecuație fracțională rațională de forma , unde p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Conform algoritmului de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale de acest fel, trebuie mai întâi să rezolvăm ecuația 3·x−2=0 . Acest ecuație liniară, a cărui rădăcină este x=2/3 .

Rămâne să verificăm această rădăcină, adică să verificăm dacă îndeplinește condiția 5·x 2 −2≠0 . Inlocuim numarul 2/3 in loc de x in expresia 5 x 2 −2, obtinem . Condiția este îndeplinită, deci x=2/3 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

2/3 .

Soluția unei ecuații raționale fracționale poate fi abordată dintr-o poziție ușor diferită. Această ecuație este echivalentă cu întreaga ecuație p(x)=0 pe variabila x a ecuației inițiale. Adică poți urmări asta algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale :

• se rezolva ecuatia p(x)=0 ;
• găsiți variabila ODZ x ;
• luați rădăcinile care aparțin regiunii valorilor admisibile - sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale.

De exemplu, să rezolvăm o ecuație rațională fracțională folosind acest algoritm.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Decizie.

Mai întâi, rezolvăm ecuația pătratică x 2 −2·x−11=0 . Rădăcinile sale pot fi calculate folosind formula rădăcinii pentru un al doilea coeficient chiar, avem D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, și .

În al doilea rând, găsim ODZ a variabilei x pentru ecuația originală. Este format din toate numerele pentru care x 2 +3 x≠0 , care este același x (x+3)≠0 , de unde x≠0 , x≠−3 .

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite la primul pas sunt incluse în ODZ. Evident ca da. Prin urmare, ecuația rațională fracțională originală are două rădăcini.

Răspuns:

Rețineți că această abordare este mai profitabilă decât prima dacă ODZ este ușor de găsit și este mai ales benefică dacă rădăcinile ecuației p(x)=0 sunt iraționale, de exemplu, , sau raționale, dar cu o valoare destul de mare. numărător și/sau numitor, de exemplu, 127/1101 și -31/59 . Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, verificarea condiției q(x)≠0 va necesita eforturi de calcul semnificative și este mai ușor să excludeți rădăcinile străine din ODZ.

În alte cazuri, la rezolvarea ecuației, mai ales când rădăcinile ecuației p(x)=0 sunt numere întregi, este mai avantajos să se folosească primul algoritm de mai sus. Adică, este recomandabil să găsiți imediat rădăcinile întregii ecuații p(x)=0 și apoi să verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru ele și să nu găsiți ODZ și apoi să rezolvați ecuația p(x)=0 pe acest ODZ. Acest lucru se datorează faptului că în astfel de cazuri este de obicei mai ușor să faceți o verificare decât să găsiți ODZ.

Luați în considerare soluția a două exemple pentru a ilustra nuanțele stipulate.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Decizie.

Mai întâi găsim rădăcinile întregii ecuații (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, compilat folosind numărătorul fracției. Partea stângă a acestei ecuații este un produs, iar partea dreaptă este zero, prin urmare, conform metodei de rezolvare a ecuațiilor prin factorizare, această ecuație este echivalentă cu mulțimea de patru ecuații 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Trei dintre aceste ecuații sunt liniare și una pătratică, le putem rezolva. Din prima ecuație găsim x=1/2, din a doua - x=6, din a treia - x=7, x=−2, din a patra - x=−1.

Cu rădăcinile găsite, este destul de ușor să le verificați pentru a vedea dacă numitorul fracției situate în partea stângă a ecuației inițiale nu dispare și nu este atât de ușor să determinați ODZ, deoarece aceasta va trebui rezolvată. o ecuație algebrică de gradul cinci. Prin urmare, vom refuza să găsim ODZ în favoarea verificării rădăcinilor. Pentru a face acest lucru, le înlocuim pe rând în loc de variabila x din expresie x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obținut după înlocuire și comparați-le cu zero: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Astfel, 1/2, 6 și -2 sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale, iar 7 și -1 sunt rădăcini străine.

Răspuns:

1/2 , 6 , −2 .

Exemplu.

Găsiți rădăcinile unei ecuații raționale fracționale.

Decizie.

Mai întâi găsim rădăcinile ecuației (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Această ecuație este echivalentă cu o mulțime de două ecuații: pătratul 5·x 2 −7·x−1=0 și liniarul x−2=0 . După formula rădăcinilor ecuației pătratice, găsim două rădăcini, iar din a doua ecuație avem x=2.

Verificarea dacă numitorul nu dispare la valorile găsite ale lui x este destul de neplăcută. Și pentru a determina intervalul de valori acceptabile ale variabilei x în ecuația originală este destul de simplu. Prin urmare, vom acționa prin intermediul ODZ.

În cazul nostru, ODZ a variabilei x a ecuației raționale fracționale inițiale este alcătuită din toate numerele, cu excepția celor pentru care condiția x 2 +5·x−14=0 este îndeplinită. Rădăcinile acestei ecuații pătratice sunt x=−7 și x=2, din care concluzionăm despre ODZ: este alcătuită din tot x astfel încât .

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite și x=2 aparțin regiunii valorilor admisibile. Rădăcinile - aparțin, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației originale, iar x=2 nu aparține, prin urmare, este o rădăcină străină.

Răspuns:

De asemenea, va fi util să ne oprim separat asupra cazurilor în care o ecuație rațională fracțională de formă conține un număr la numărător, adică atunci când p (x) este reprezentat de un număr. în care

• dacă acest număr este diferit de zero, atunci ecuația nu are rădăcini, deoarece fracția este zero dacă și numai dacă numărătorul ei este zero;
• dacă acest număr este zero, atunci rădăcina ecuației este orice număr din ODZ.

Exemplu.

Decizie.

Deoarece există un număr diferit de zero în numărătorul fracției din partea stângă a ecuației, pentru nu x valoarea acestei fracții poate fi egală cu zero. Prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Răspuns:

fara radacini.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Decizie.

Numătorul fracției din partea stângă a acestei ecuații raționale fracționale este zero, deci valoarea acestei fracții este zero pentru orice x pentru care are sens. Cu alte cuvinte, soluția acestei ecuații este orice valoare a lui x din DPV a acestei variabile.

Rămâne de determinat acest interval de valori acceptabile. Include toate astfel de valori x pentru care x 4 +5 x 3 ≠0. Soluțiile ecuației x 4 +5 x 3 \u003d 0 sunt 0 și -5, deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația x 3 (x + 5) \u003d 0 și, la rândul său, este echivalentă cu combinația a două ecuații x 3 \u003d 0 și x +5=0 , de unde sunt vizibile aceste rădăcini. Prin urmare, intervalul dorit de valori acceptabile este orice x, cu excepția x=0 și x=−5.

Astfel, o ecuație rațională fracțională are infinit de soluții, care sunt orice numere, cu excepția zero și minus cinci.

Răspuns:

În cele din urmă, este timpul să vorbim despre rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale arbitrare. Ele pot fi scrise ca r(x)=s(x) , unde r(x) și s(x) sunt expresii raționale și cel puțin una dintre ele este fracțională. Privind în perspectivă, spunem că soluția lor se reduce la rezolvarea ecuațiilor de formă deja familiară nouă.

Se știe că transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus duce la o ecuație echivalentă, deci ecuația r(x)=s(x) este echivalentă cu ecuația r(x)−s (x)=0.

De asemenea, știm că orice poate fi identic egal cu această expresie. Astfel, putem transforma întotdeauna expresia rațională din partea stângă a ecuației r(x)−s(x)=0 într-o fracție rațională identic egală de forma .

Deci trecem de la ecuația rațională fracțională inițială r(x)=s(x) la ecuația , iar soluția ei, așa cum am aflat mai sus, se reduce la rezolvarea ecuației p(x)=0 .

Dar aici este necesar să se țină seama de faptul că la înlocuirea r(x)−s(x)=0 cu , și apoi cu p(x)=0 , intervalul de valori admisibile ale variabilei x se poate extinde .

Prin urmare, ecuația inițială r(x)=s(x) și ecuația p(x)=0 , la care am ajuns, pot să nu fie echivalente, iar prin rezolvarea ecuației p(x)=0 , putem obține rădăcini care vor fi rădăcini străine ale ecuației originale r(x)=s(x) . Este posibil să se identifice și să nu includă rădăcini străine în răspuns, fie prin verificare, fie prin verificarea apartenenței acestora la ODZ a ecuației inițiale.

Rezum aceste informații în algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale r(x)=s(x). Pentru a rezolva ecuația rațională fracțională r(x)=s(x) , trebuie

• Obțineți zero în partea dreaptă mutând expresia din partea dreaptă cu semnul opus.
• Efectuați acțiuni cu fracții și polinoame din partea stângă a ecuației, transformând-o astfel într-o fracție rațională a formei.
• Rezolvați ecuația p(x)=0 .
• Identificați și excludeți rădăcinile străine, ceea ce se face prin înlocuirea lor în ecuația originală sau prin verificarea apartenenței lor la ODZ a ecuației originale.

Pentru o mai mare claritate, vom arăta întregul lanț de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale:
.

Să parcurgem soluțiile mai multor exemple cu o explicație detaliată a soluției pentru a clarifica blocul de informații dat.

Exemplu.

Rezolvați o ecuație rațională fracțională.

Decizie.

Vom acționa în conformitate cu algoritmul de soluție tocmai obținut. Și mai întâi transferăm termenii din partea dreaptă a ecuației în partea stângă, ca rezultat trecem la ecuația .

În al doilea pas, trebuie să convertim expresia rațională fracțională din partea stângă a ecuației rezultate în forma unei fracții. Pentru a face acest lucru, efectuăm reducerea fracțiilor raționale la un numitor comun și simplificăm expresia rezultată: . Așa că ajungem la ecuație.

În pasul următor, trebuie să rezolvăm ecuația −2·x−1=0 . Aflați x=−1/2 .

Rămâne de verificat dacă numărul găsit −1/2 este o rădăcină străină a ecuației originale. Pentru a face acest lucru, puteți verifica sau găsi variabila ODZ x a ecuației originale. Să demonstrăm ambele abordări.

Să începem cu o verificare. Înlocuim numărul −1/2 în loc de variabila x în ecuația originală, obținem , care este același, −1=−1. Substituția dă egalitatea numerică corectă, prin urmare, x=−1/2 este rădăcina ecuației originale.

Acum vom arăta cum se realizează ultimul pas al algoritmului prin ODZ. Gama de valori admisibile ale ecuației originale este mulțimea tuturor numerelor, cu excepția −1 și 0 (când x=−1 și x=0, numitorii fracțiilor dispar). Rădăcina x=−1/2 găsită la pasul anterior aparține ODZ, prin urmare, x=−1/2 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

−1/2 .

Să luăm în considerare un alt exemplu.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Decizie.

Trebuie să rezolvăm o ecuație fracțională rațională, să parcurgem toți pașii algoritmului.

Mai întâi, transferăm termenul din partea dreaptă în stânga, obținem .

În al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă: . Ca rezultat, ajungem la ecuația x=0 .

Rădăcina sa este evidentă - este zero.

La al patrulea pas, rămâne să aflăm dacă rădăcina găsită nu este una exterioară pentru ecuația rațională fracțională inițială. Când este substituită în ecuația originală, se obține expresia. Evident, nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. De unde concluzionăm că 0 este o rădăcină străină. Prin urmare, ecuația originală nu are rădăcini.

7 , ceea ce duce la ecuația . Din aceasta putem trage concluzia că expresia din numitorul laturii stângi trebuie să fie egală cu din partea dreaptă, adică . Acum scădem din ambele părți ale tripluului: . Prin analogie, de unde și mai departe.

Verificarea arată că ambele rădăcini găsite sunt rădăcinile ecuației raționale fracționale originale.

Răspuns:

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.