Ceea ce se numește valoarea unei fracții algebrice. Noțiuni de bază
Când un elev trece la liceu, matematica este împărțită în 2 materii: algebră și geometrie. Există tot mai multe concepte, sarcinile devin din ce în ce mai dificile. Unii oameni au dificultăți în înțelegerea fracțiilor. Am ratat prima lecție pe acest subiect și voila. fractii? O întrebare care va chinui pe tot parcursul vieții școlare.
Conceptul de fracție algebrică
Să începem cu o definiție. Sub fracție algebrică Sunt înțelese expresii P/Q, unde P este numărătorul și Q este numitorul. Un număr, o expresie numerică, o expresie numeric-alfabetică pot fi ascunse sub o intrare alfabetică.
Înainte de a vă întreba cum să rezolvați fracțiile algebrice, trebuie mai întâi să înțelegeți că o astfel de expresie face parte dintr-un întreg.
De regulă, întregul este 1. Numărul din numitor arată în câte părți a fost împărțită unitatea. Numărătorul este necesar pentru a afla câte elemente sunt luate. Bara fracțională corespunde semnului diviziunii. Este permisă înregistrarea unei expresii fracționale ca operație matematică „Diviziune”. În acest caz, numărătorul este dividendul, numitorul este divizorul.
Regula de bază pentru fracțiile comune
Atunci când elevii parcurg acest subiect la școală, li se oferă exemple pentru a le consolida. Pentru a le rezolva corect și a găsi diferite căi de ieșire din situații dificile, trebuie să aplicați proprietatea de bază a fracțiilor.
Sună așa: dacă înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr sau expresie (alta decât zero), atunci valoarea unei fracții obișnuite nu se va schimba. Un caz special al acestei reguli este împărțirea ambelor părți ale expresiei în același număr sau polinom. Astfel de transformări se numesc egalități identice.
Mai jos vom analiza cum se rezolvă adunarea și scăderea fracțiilor algebrice, pentru a efectua înmulțirea, împărțirea și reducerea fracțiilor.
Operatii matematice cu fractii
Luați în considerare cum să rezolvați proprietatea principală a unei fracții algebrice, cum să o aplicați în practică. Dacă trebuie să înmulțiți două fracții, să le adunați, să le împărțiți una la alta sau să scădeți, trebuie să respectați întotdeauna regulile.
Deci, pentru operația de adunare și scădere, ar trebui găsit un factor suplimentar pentru a aduce expresiile la un numitor comun. Dacă inițial fracțiile sunt date cu aceleași expresii Q, atunci trebuie să omiteți acest element. Când se găsește un numitor comun, cum se rezolvă fracțiile algebrice? Adunarea sau scăderea numărătorilor. Dar! Trebuie reținut că, dacă există un semn „-” în fața fracției, toate semnele din numărător sunt inversate. Uneori nu ar trebui să efectuați substituții și operații matematice. Este suficient să schimbi semnul în fața fracției.
Termenul este adesea folosit ca reducerea fracției. Aceasta înseamnă următoarele: dacă numărătorul și numitorul sunt împărțite cu o altă expresie decât unitate (aceeași pentru ambele părți), atunci se obține o nouă fracție. Dividendele și divizorul sunt mai mici decât înainte, dar datorită regulii de bază a fracțiilor, rămân egale cu exemplul original.
Scopul acestei operații este obținerea unei noi expresii ireductibile. Această problemă poate fi rezolvată prin reducerea numărătorului și numitorului cu cel mai mare divizor comun. Algoritmul de operare constă din două puncte:
- Găsirea GCD pentru ambele părți ale unei fracții.
- Împărțirea numărătorului și numitorului la expresia găsită și obținerea unei fracții ireductibile egale cu cea anterioară.
Tabelul de mai jos prezintă formulele. Pentru comoditate, îl puteți imprima și îl puteți purta cu dvs. într-un caiet. Cu toate acestea, pentru ca în viitor, la rezolvarea unui test sau examen, să nu existe dificultăți în problema modului de rezolvare a fracțiilor algebrice, aceste formule trebuie învățate pe de rost.
Câteva exemple cu soluții
Din punct de vedere teoretic, se ia în considerare problema cum se rezolvă fracțiile algebrice. Exemplele date în articol vă vor ajuta să înțelegeți mai bine materialul.
1. Convertiți fracțiile și aduceți-le la un numitor comun.
2. Convertiți fracțiile și aduceți-le la un numitor comun.
După studierea părții teoretice și luarea în considerare a aspectelor practice, nu ar trebui să mai apară întrebări.
Această lecție discută conceptul de fracție algebrică. O persoană întâlnește fracții în cele mai simple situații de viață: atunci când este necesar să împarți un obiect în mai multe părți, de exemplu, să tai un tort în mod egal pentru zece persoane. Evident, toată lumea va primi o bucată din tort. În acest caz, ne confruntăm cu conceptul de fracție numerică, dar este posibilă o situație când un obiect este împărțit într-un număr necunoscut de părți, de exemplu, de x. În acest caz, apare conceptul de expresie fracțională. Ați întâlnit deja expresii întregi (care nu conțin împărțirea în expresii cu variabile) și proprietățile lor în clasa a 7-a. În continuare, vom lua în considerare conceptul de fracție rațională, precum și valorile admisibile ale variabilelor.
Temă:Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice
Lecţie:Noțiuni de bază
1. Definiție și exemple de fracții algebrice
Expresiile raționale sunt împărțite în expresii întregi și fracționale.
Definiție. fracție rațională este o expresie fracțională de forma , unde sunt polinoame. - numărătorul numitor.
Exemple expresii raționale:
- expresii fracționale; sunt expresii întregi. În prima expresie, de exemplu, numărătorul este , iar numitorul este .
Sens fracție algebrică, ca oricare expresie algebrica, depinde de valoarea numerică a variabilelor care sunt incluse în acesta. În special, în primul exemplu, valoarea fracției depinde de valorile variabilelor și , iar în al doilea numai de valoarea variabilei.
2. Calculul valorii unei fracții algebrice și două probleme de bază pe fracții
Luați în considerare prima sarcină tipică: calcularea valorii fracție rațională la valori diferite variabilele incluse în acesta.
Exemplul 1. Calculați valoarea unei fracții pentru a), b), c)
Decizie. Înlocuiți valorile variabilelor în fracția indicată: a), b), c) - nu există (pentru că nu puteți împărți la zero).
Răspuns: 3; 1; nu exista.
După cum vedem, sunt două sarcini tipice pentru orice fracție: 1) calcularea fracției, 2) constatarea valori valide și invalide variabile literale.
Definiție. Valori variabile valide sunt valorile variabilelor pentru care expresia are sens. Se numește setul tuturor valorilor admisibile ale variabilelor ODZ sau domeniu.
3. Valori permise (ODZ) și invalide ale variabilelor în fracții cu o variabilă
Valoarea variabilelor literale poate fi invalidă dacă numitorul fracției pentru aceste valori este zero. În toate celelalte cazuri, valorile variabilelor sunt valabile, deoarece fracția poate fi calculată.
Exemplul 2. Determinați la ce valori ale variabilei fracția nu are sens.
Decizie. Pentru ca această expresie să aibă sens, este necesar și suficient ca numitorul fracției să nu fie egal cu zero. Astfel, numai acele valori ale variabilei pentru care numitorul va fi egal cu zero vor fi invalide. Numitorul fracției, deci rezolvăm ecuația liniară:
Prin urmare, pentru valoarea variabilei, fracția nu are sens.
Din soluția exemplului, urmează regula pentru găsirea valorilor nevalide ale variabilelor - numitorul fracției este egal cu zero și se găsesc rădăcinile ecuației corespunzătoare.
Să ne uităm la câteva exemple similare.
Exemplul 3. Determinați la ce valori ale variabilei fracția nu are sens.
Decizie. .
Răspuns. .
Exemplul 4. Determinați la ce valori ale variabilei fracția nu are sens.
Decizie..
Există și alte formulări ale acestei probleme - a găsi domeniu sau interval de valori valide de expresie (ODZ). Aceasta înseamnă - găsiți toate valorile valide ale variabilelor. În exemplul nostru, toate acestea sunt valori, cu excepția . Domeniul definiției este descris în mod convenabil pe axa numerică.
Pentru a face acest lucru, vom tăia un punct pe el, așa cum se arată în figură:
În acest fel, domeniul fracțiunii vor fi toate numerele cu excepția 3.
Răspuns..
Exemplul 5. Determinați la ce valori ale variabilei fracția nu are sens.
Decizie..
Să descriem soluția rezultată pe axa numerică:
Răspuns..
4. Reprezentarea grafică a zonei permisibile (ODZ) și a valorilor invalide ale variabilelor în fracții
Exemplul 6. Determinați la ce valori ale variabilelor fracția nu are sens.
Rezolvare.. Am obtinut egalitatea a doua variabile, vom da exemple numerice: sau, etc.
Să reprezentăm această soluție pe un grafic în sistemul de coordonate carteziene:
Orez. 3. Graficul unei funcții.
Coordonatele oricărui punct aflat pe acest grafic nu sunt incluse în zona valorilor admisibile ale fracției.
Răspuns. .
5. Cazul cum ar fi „diviziunea la zero”
În exemplele luate în considerare, ne-am confruntat cu o situație în care a avut loc o împărțire la zero. Acum luați în considerare cazul când există mai multe situatie interesanta cu tip de diviziune .
Exemplul 7. Determinați la ce valori ale variabilelor fracția nu are sens.
Decizie..
Se dovedește că fracția nu are sens când . Dar se poate argumenta că nu este cazul, deoarece: 
.
Se poate părea că dacă expresia finală este egală cu 8 pentru , atunci expresia originală poate fi calculată și, prin urmare, are sens pentru . Cu toate acestea, dacă o înlocuim în expresia originală, obținem - nu are sens.
Răspuns..
Pentru a înțelege acest exemplu mai detaliat, rezolvăm următoarea problemă: pentru ce valori este fracția indicată egală cu zero?
(o fracție este zero când numărătorul ei este zero) 
. Dar este necesar să se rezolve ecuația inițială cu o fracție și nu are sens pentru , deoarece cu această valoare a variabilei, numitorul este zero. Deci această ecuație are o singură rădăcină.
6. Regula de găsire a ODZ
Astfel, putem formula regula exactă pentru găsirea intervalului de valori admisibile ale unei fracții: pentru a găsi ODZfractii este necesar și suficient să echivalăm numitorul său cu zero și să găsim rădăcinile ecuației rezultate.
Am luat în considerare două sarcini principale: calcularea valorii unei fracții pentru valorile specificate ale variabilelor și aflarea ariei valorilor admisibile ale unei fracții.
Să luăm acum în considerare câteva probleme care pot apărea atunci când lucrăm cu fracții.
7. Sarcini și concluzii diverse
Exemplul 8. Demonstrați că pentru orice valoare a variabilei, fracția .
Dovada. Numătorul este un număr pozitiv. . Ca urmare, atât numărătorul, cât și numitorul sunt numere pozitive, prin urmare, fracția este și un număr pozitiv.
Dovedit.
Exemplul 9. Se știe că , găsiți .
Decizie. Să împărțim fracția termen cu termen. Avem dreptul de a reduce cu, ținând cont de ceea ce este o valoare invalidă a variabilei pentru această fracție.
Răspuns..
În această lecție, ne-am uitat la conceptele de bază legate de fracții. În următoarea lecție, ne vom uita la proprietatea de baza a fractiei.
Bibliografie
1. Bashmakov M. I. Algebră clasa a VIII-a. - M.: Iluminismul, 2004.
2. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovici E. A. și colab., Algebra 8. - ed. a V-a. - M.: Educație, 2010.
3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra clasa a VIII-a. Manual pentru instituțiile de învățământ. - M.: Educație, 2006.
1. Festivalul ideilor pedagogice.
2. Scoala veche.
3. Portalul de internet lib2.podelise. ru.
Teme pentru acasă
1. Nr. 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovici E. A. și colab., Algebra 8. - ed. a 5-a. - M.: Educație, 2010.
2. Notați o fracție rațională, al cărei domeniu este: a) o mulțime, b) o mulțime, c) întreaga axă numerică.
3. Demonstrați că pentru toate valorile admisibile ale variabilei valoarea fracției este nenegativă.
4. Găsiți domeniul de aplicare al expresiei. Sugestie: luați în considerare două cazuri separat: când numitorul fracției inferioare este egal cu zero și când numitorul fracției inițiale este egal cu zero.
În § 42 s-a spus că dacă împărțirea polinoamelor nu poate fi realizată complet, atunci câtul se scrie ca o expresie fracțională în care dividendul este numărătorul și divizorul este numitorul.
Exemple de expresii fracționale:
Numătorul și numitorul unei expresii fracționale pot fi ele însele expresii fracționale, de exemplu:
Dintre expresiile algebrice fracționale, de multe ori trebuie să ne ocupăm de acelea în care numărătorul și numitorul sunt polinoame (în special, monomii). Fiecare astfel de expresie se numește fracție algebrică.
Definiție. O expresie algebrică care este o fracție al cărei numărător și numitor sunt polinoame se numește fracție algebrică.
Ca și în aritmetică, numărătorul și numitorul unei fracții algebrice se numesc termeni ai fracției.
În viitor, după ce am studiat acțiunile asupra fracțiilor algebrice, putem transforma orice expresie fracțională cu ajutorul transformărilor identice într-o fracție algebrică.
Exemple de fracții algebrice:
Rețineți că întreaga expresie, adică polinomul, poate fi scrisă ca fracție, pentru aceasta este suficient să scrieți această expresie la numărător și 1 la numitor. De exemplu:
2. Valori valide ale literelor.
Literele incluse doar în numărător pot lua orice valoare (dacă nu sunt introduse restricții suplimentare de condiția problemei).
Pentru literele incluse în numitor sunt valabile doar acele valori care nu transformă numitorul la zero. Prin urmare, în cele ce urmează vom presupune întotdeauna că numitorul unei fracții algebrice nu este egal cu zero.