Cum se rezolvă ecuații 7. Ecuații
Ecuații
Cum se rezolvă ecuațiile?
În această secțiune vom reaminti (sau studiem, în funcție de cine alegeți) cele mai elementare ecuații. Deci care este ecuația? În limbajul uman, acesta este un fel de expresie matematică în care există un semn egal și o necunoscută. Care este de obicei notat cu litera "X". Rezolvați ecuația- aceasta este pentru a găsi astfel de valori ale lui x care, atunci când sunt substituite în original expresia ne va da identitatea corectă. Permiteți-mi să vă reamintesc că identitatea este o expresie fără îndoială chiar și pentru o persoană care nu este absolut împovărată cu cunoștințe matematice. Ca 2=2, 0=0, ab=ab etc. Deci, cum se rezolvă ecuațiile? Să ne dăm seama.
Există tot felul de ecuații (sunt surprins, nu?). Dar toată varietatea lor infinită poate fi împărțită în doar patru tipuri.
4. Alte.)
Toate restul, desigur, mai ales, da...) Aceasta include cubice, exponențiale, logaritmice, trigonometrice și tot felul de altele. Vom lucra îndeaproape cu ei în secțiunile corespunzătoare.
O să spun imediat că uneori ecuațiile primelor trei tipuri sunt atât de încurcate încât nici nu le vei recunoaște... Nimic. Vom învăța cum să le relaxăm.
Și de ce avem nevoie de aceste patru tipuri? Si apoi, ce ecuatii lineare rezolvată într-un fel pătrat alții, raționale fracționale - a treia, A odihnă Nu îndrăznesc deloc! Ei bine, nu este că ei nu pot decide deloc, ci că m-am înșelat cu matematica.) Doar că au propriile lor tehnici și metode speciale.
Dar pentru orice (repet - pentru orice!) ecuațiile oferă o bază fiabilă și sigură pentru rezolvare. Funcționează peste tot și întotdeauna. Acest fond de ten - Sună înfricoșător, dar este foarte simplu. Si foarte (Foarte!) important.
De fapt, soluția ecuației constă în aceste transformări. 99% Răspunde la întrebare: " Cum se rezolvă ecuațiile?" stă tocmai în aceste transformări. Este indiciu clar?)
Transformări identice ale ecuațiilor.
ÎN orice ecuații Pentru a găsi necunoscutul, trebuie să transformați și să simplificați exemplul original. Și pentru ca atunci când aspectul se schimbă esența ecuației nu s-a schimbat. Astfel de transformări se numesc identic sau echivalent.
Rețineți că aceste transformări se aplică în special la ecuaţii. Există și transformări identitare în matematică expresii. Acesta este un alt subiect.
Acum vom repeta toate, toate, toate de bază transformări identice ale ecuațiilor.
De bază pentru că pot fi aplicate orice ecuații - liniare, pătratice, fracționale, trigonometrice, exponențiale, logaritmice etc. și așa mai departe.
Prima transformare a identității: puteți adăuga (scădea) la ambele părți ale oricărei ecuații orice(dar unul și același!) număr sau expresie (inclusiv o expresie cu o necunoscută!). Acest lucru nu schimbă esența ecuației.
Apropo, ai folosit constant această transformare, doar ai crezut că transferi niște termeni dintr-o parte a ecuației în alta cu o schimbare de semn. Tip:
Cazul este familiar, le mutăm pe cele două spre dreapta și obținem:
De fapt tu luat din ambele părți ale ecuației este doi. Rezultatul este același:
x+2 - 2 = 3 - 2
Mutarea termenilor la stânga și la dreapta cu o schimbare de semn este pur și simplu o versiune prescurtată a primei transformări de identitate. Și de ce avem nevoie de cunoștințe atât de profunde? - tu intrebi. Nimic în ecuații. Pentru numele lui Dumnezeu, suportă. Doar nu uitați să schimbați semnul. Dar în inegalități, obiceiul de a transfera poate duce la o fundătură...
A doua transformare de identitate: ambele părți ale ecuației pot fi înmulțite (împărțite) cu același lucru diferit de zero număr sau expresie. Aici apare deja o limitare de înțeles: înmulțirea cu zero este o prostie, iar împărțirea este complet imposibilă. Aceasta este transformarea pe care o folosești când rezolvi ceva genial
Este clar X= 2. Cum ai găsit-o? Prin selecție? Sau tocmai ți-a răsărit? Pentru a nu selecta și a nu aștepta o perspectivă, trebuie să înțelegi că ești drept împărțit ambele părți ale ecuației cu 5. La împărțirea părții stângi (5x), cele cinci au fost reduse, lăsând X pur. Care este exact ceea ce aveam nevoie. Și când împărțim partea dreaptă a lui (10) la cinci, rezultatul este, desigur, doi.
Asta e tot.
E amuzant, dar aceste două (doar două!) transformări identice stau la baza soluției toate ecuațiile matematicii. Wow! Are sens să privim exemple de ce și cum, nu?)
Exemple de transformări identice de ecuații. Principalele probleme.
Sa incepem cu primul transformarea identităţii. Transfer stânga-dreapta.
Un exemplu pentru cei mai tineri.)
Să presupunem că trebuie să rezolvăm următoarea ecuație:
3-2x=5-3x
Să ne amintim vraja: "cu X - la stânga, fără X - la dreapta!" Această vrajă este instrucțiuni pentru utilizarea primei transformări de identitate.) Ce expresie cu un X este în dreapta? 3x? Răspunsul este incorect! În dreapta noastră - 3x! Minus trei x! Prin urmare, atunci când vă deplasați spre stânga, semnul se va schimba în plus. Se va dovedi:
3-2x+3x=5
Deci, X-urile au fost adunate într-o grămadă. Să intrăm în cifre. Există un trei în stânga. Cu ce semn? Răspunsul „cu niciunul” nu este acceptat!) În fața celor trei, într-adevăr, nu se desenează nimic. Și asta înseamnă că înaintea celor trei există la care se adauga. Deci matematicienii au fost de acord. Nimic nu este scris, ceea ce înseamnă la care se adauga. Prin urmare, triplul va fi transferat în partea dreaptă cu un minus. Primim:
-2x+3x=5-3
Au mai rămas doar fleacuri. În stânga - aduceți altele asemănătoare, în dreapta - numărați. Răspunsul vine imediat:
În acest exemplu, o singură transformare de identitate a fost suficientă. Al doilea nu era nevoie. Ei bine, bine.)
Un exemplu pentru copiii mai mari.)
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Literele sunt folosite pentru a indica un număr necunoscut. Este sensul acestor litere care trebuie căutat folosind soluții ale ecuației.
Când lucrăm la rezolvarea unei ecuații, încercăm în primele etape să o aducem într-o formă mai simplă, ceea ce ne permite să obținem rezultatul folosind manipulări matematice simple. Pentru a face acest lucru, transferăm termeni din partea stângă la dreapta, schimbăm semnele, înmulțim/împărțim părți ale propoziției cu un număr și deschidem parantezele. Dar efectuăm toate aceste acțiuni cu un singur scop - obținerea unei ecuații simple.
Ecuații \ - este o ecuație cu o formă liniară necunoscută, în care r și c sunt notația pentru valori numerice. Pentru a rezolva o ecuație de acest tip, este necesar să îi transferăm termenii:
De exemplu, trebuie să rezolvăm următoarea ecuație:
Începem să rezolvăm această ecuație prin mutarea termenilor ei: de la \[x\] - în partea stângă, restul - la dreapta. Când transferați, amintiți-vă că \[+\] se modifică în \[-.\] Obținem:
\[-2х+3х=5-3\]
Efectuând operații aritmetice simple, obținem următorul rezultat:
Unde pot rezolva ecuația cu x online?
Puteți rezolva ecuația cu X online pe site-ul nostru https://site. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiuni video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Alăturați-vă grupului nostru, suntem întotdeauna bucuroși să vă ajutăm.
Rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.
Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Ce s-a întâmplat ecuație exponențială? Aceasta este o ecuație în care se află necunoscutele (x-urile) și expresiile cu acestea indicatori unele grade. Și numai acolo! Este important.
Iată-te exemple de ecuații exponențiale:
3 x 2 x = 8 x+3
Notă! În bazele de grade (mai jos) - doar numere. ÎN indicatori grade (mai sus) - o mare varietate de expresii cu un X. Dacă, brusc, un X apare în ecuație în altă parte decât un indicator, de exemplu:
aceasta va fi deja o ecuație de tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare pentru rezolvarea lor. Nu le vom lua în considerare deocamdată. Aici ne vom ocupa rezolvarea ecuațiilor exponențialeîn forma sa cea mai pură.
De fapt, chiar și ecuațiile exponențiale pure nu sunt întotdeauna rezolvate clar. Dar există anumite tipuri de ecuații exponențiale care pot și ar trebui rezolvate. Acestea sunt tipurile pe care le vom lua în considerare.
Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple.
Mai întâi, să rezolvăm ceva foarte simplu. De exemplu:
Chiar și fără teorii, prin simpla selecție este clar că x = 2. Nimic mai mult, nu!? Nicio altă valoare a lui X nu funcționează. Acum să ne uităm la soluția acestei ecuații exponențiale complicate:
Ce am făcut? Noi, de fapt, pur și simplu am aruncat aceleași baze (triple). Complet aruncat afară. Și, vestea bună este că ne-am lovit în cui!
Într-adevăr, dacă într-o ecuație exponențială există stânga și dreapta aceeași numere în orice putere, aceste numere pot fi eliminate și exponenții pot fi egalați. Matematica permite. Rămâne de rezolvat o ecuație mult mai simplă. Grozav, nu?)
Cu toate acestea, să ne amintim cu fermitate: Puteți elimina bazele numai atunci când numerele de bază din stânga și dreapta sunt într-o izolare splendidă! Fără vecini și coeficienți. Să spunem în ecuații:
2 x +2 x+1 = 2 3 sau
doi nu pot fi eliminati!
Ei bine, am stăpânit cel mai important lucru. Cum să treceți de la expresii exponențiale malefice la ecuații mai simple.
„Acestea sunt vremurile!” - tu spui. „Cine ar da o lecție atât de primitivă despre teste și examene!?”
Trebuie să fiu de acord. Nimeni nu o va face. Dar acum știi unde să țintești atunci când rezolvi exemple dificile. Trebuie adus la forma în care se află același număr de bază în stânga și în dreapta. Atunci totul va fi mai ușor. De fapt, acesta este un clasic al matematicii. Luăm exemplul original și îl transformăm în cel dorit S.U.A minte. După regulile matematicii, desigur.
Să ne uităm la exemple care necesită un efort suplimentar pentru a le reduce la cele mai simple. Să-i numim simplu ecuații exponențiale.
Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple. Exemple.
La rezolvarea ecuațiilor exponențiale, regulile principale sunt acţiuni cu grade. Fără cunoașterea acestor acțiuni, nimic nu va funcționa.
La acțiunile cu grade, trebuie să adăugați observație personală și ingeniozitate. Avem nevoie de aceleași numere de bază? Așa că le căutăm în exemplu în formă explicită sau criptată.
Să vedem cum se face acest lucru în practică?
Să ni se dea un exemplu:
2 2x - 8 x+1 = 0
Prima privire atentă este la temeiuri. Ei... Sunt diferiti! Doi și opt. Dar este prea devreme pentru a te descuraja. Este timpul să ne amintim asta
Doi și opt sunt rude în grad.) Este foarte posibil să scrieți:
8 x+1 = (2 3) x+1
Dacă ne amintim formula din operații cu grade:
(a n) m = a nm ,
asta merge grozav:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Exemplul original a început să arate astfel:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Noi transferam 2 3 (x+1) la dreapta (nimeni nu a anulat operațiile elementare ale matematicii!), obținem:
2 2x = 2 3(x+1)
Asta e practic tot. Scoaterea bazelor:
Rezolvăm acest monstru și obținem
Acesta este răspunsul corect.
În acest exemplu, cunoașterea puterilor a doi ne-a ajutat. Noi identificatîn opt există un criptat doi. Această tehnică (codificarea bazelor comune sub numere diferite) este o tehnică foarte populară în ecuațiile exponențiale! Da, și în logaritmi. Trebuie să fii capabil să recunoști puterile altor numere în numere. Acest lucru este extrem de important pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.
Faptul este că ridicarea oricărui număr la orice putere nu este o problemă. Înmulțiți, chiar și pe hârtie, și atât. De exemplu, oricine poate ridica 3 la puterea a cincea. 243 va merge dacă cunoașteți tabla înmulțirii.) Dar în ecuațiile exponențiale, mult mai des nu este necesar să ridicați la o putere, ci invers... Aflați ce număr în ce măsură este ascuns în spatele numărului 243 sau, să zicem, 343... Nici un calculator nu vă va ajuta aici.
Trebuie să cunoști puterile unor numere din vedere, nu... Să exersăm?
Stabiliți ce puteri și ce numere sunt numerele:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Răspunsuri (în mizerie, desigur!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Dacă te uiți cu atenție, poți vedea un fapt ciudat. Există mult mai multe răspunsuri decât sarcini! Ei bine, se întâmplă... De exemplu, 2 6, 4 3, 8 2 - asta sunt tot 64.
Să presupunem că ați luat notă de informațiile despre familiaritatea cu numerele.) Permiteți-mi să vă reamintesc și că pentru a rezolva ecuații exponențiale folosim toate stoc de cunoștințe matematice. Inclusiv cei din clasele junioare și mijlocii. Nu ai mers direct la liceu, nu?)
De exemplu, atunci când rezolvați ecuații exponențiale, scoaterea factorului comun dintre paranteze ajută adesea (bună ziua a 7-a!). Să ne uităm la un exemplu:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Și din nou, prima privire este către fundații! Bazele gradelor sunt diferite... Trei și nouă. Dar vrem să fie la fel. Ei bine, în acest caz dorința este complet împlinită!) Pentru că:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Folosind aceleași reguli pentru tratarea diplomelor:
3 2x+4 = 3 2x ·3 4
Este grozav, o poți scrie:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Am dat un exemplu din aceleași motive. Deci, ce urmează!? Nu poți să arunci trei... O fundătură?
Deloc. Amintiți-vă de cea mai universală și puternică regulă de decizie toata lumea sarcini de matematica:
Dacă nu știi de ce ai nevoie, fă ce poți!
Uite, totul se va rezolva).
Ce este în această ecuație exponențială Poate sa do? Da, în partea stângă se roagă doar să fie scos din paranteze! Multiplicatorul general de 3 2x indică clar acest lucru. Să încercăm și apoi vom vedea:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Exemplul este din ce în ce mai bun!
Ne amintim că pentru a elimina temeiuri avem nevoie de un grad pur, fără coeficienți. Ne deranjează numărul 70. Deci împărțim ambele părți ale ecuației la 70, obținem:
Hopa! Totul a devenit mai bine!
Acesta este răspunsul final.
Se întâmplă, însă, să se realizeze taximetrie pe aceeași bază, dar eliminarea lor nu este posibilă. Acest lucru se întâmplă în alte tipuri de ecuații exponențiale. Să stăpânim acest tip.
Înlocuirea unei variabile în rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.
Să rezolvăm ecuația:
4 x - 3 2 x +2 = 0
În primul rând - ca de obicei. Să trecem la o bază. La un doi.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Obtinem ecuatia:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Și aici stăm. Tehnicile anterioare nu vor funcționa, indiferent de modul în care le privești. Va trebui să scoatem din arsenalul nostru o altă metodă puternică și universală. Se numeste înlocuire variabilă.
Esența metodei este surprinzător de simplă. În loc de o pictogramă complexă (în cazul nostru - 2 x) scriem alta, mai simplă (de exemplu - t). O astfel de înlocuire aparent lipsită de sens duce la rezultate uimitoare!) Totul devine pur și simplu clar și de înțeles!
Asa ca lasa
Atunci 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
În ecuația noastră înlocuim toate puterile cu x cu t:
Ei bine, ți se pare?) Ai uitat încă ecuațiile pătratice? Rezolvând prin discriminant, obținem:
Principalul lucru aici este să nu ne oprim, așa cum se întâmplă... Acesta nu este încă răspunsul, avem nevoie de x, nu de t. Să revenim la X, adică. facem o înlocuire inversă. Mai întâi pentru t 1:
Acesta este,
S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:
Hm... 2 x în stânga, 1 în dreapta... Problemă? Deloc! Este suficient să ne amintim (din operațiuni cu puteri, da...) că o unitate este orice număr la puterea zero. Orice. Orice este nevoie, îl vom instala. Avem nevoie de doi. Mijloace:
Asta e acum. Avem 2 rădăcini:
Acesta este răspunsul.
La rezolvarea ecuațiilor exponențiale la final, uneori, ajungi cu un fel de expresie incomodă. Tip:
Șapte nu pot fi convertiți în doi printr-o simplă putere. Nu sunt rude... Cum putem fi? Cineva poate fi confuz... Dar persoana care a citit pe acest site subiectul „Ce este un logaritm?” , doar zâmbește ușor și notează cu o mână fermă răspunsul absolut corect:
Nu poate exista un astfel de răspuns în sarcinile „B” la examenul unificat de stat. Acolo este necesar un anumit număr. Dar în sarcinile „C” este ușor.
Această lecție oferă exemple de rezolvare a celor mai comune ecuații exponențiale. Să subliniem punctele principale.
1. În primul rând, ne uităm la temeiuri grade. Ne întrebăm dacă este posibil să le facem identic. Să încercăm să facem acest lucru utilizând activ acţiuni cu grade. Nu uitați că numerele fără x pot fi, de asemenea, convertite în puteri!
2. Încercăm să aducem ecuația exponențială la forma când în stânga și în dreapta sunt aceeași numere în orice putere. Folosim acţiuni cu gradeȘi factorizarea. Ceea ce poate fi numărat în cifre, noi numărăm.
3. Dacă al doilea sfat nu funcționează, încercați să utilizați înlocuirea variabilă. Rezultatul poate fi o ecuație care poate fi rezolvată cu ușurință. Cel mai adesea - pătrat. Sau fracțional, care se reduce și la pătrat.
4. Pentru a rezolva cu succes ecuații exponențiale, trebuie să cunoști puterile unor numere din vedere.
Ca de obicei, la sfârșitul lecției ești invitat să te hotărăști puțin.) Pe cont propriu. De la simplu la complex.
Rezolvați ecuații exponențiale:
Mai dificil:
2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0
Găsiți produsul rădăcinilor:
2 3 + 2 x = 9
S-a întâmplat?
In regula, atunci cel mai complicat exemplu(hotărât, totuși, în minte...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Ce este mai interesant? Atunci iată un exemplu rău pentru tine. Destul de tentant pentru dificultate crescută. Permiteți-mi să vă sugerez că, în acest exemplu, ceea ce vă salvează este ingeniozitatea și cea mai universală regulă pentru rezolvarea tuturor problemelor matematice.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Un exemplu mai simplu, pentru relaxare):
9 2 x - 4 3 x = 0
Si pentru desert. Aflați suma rădăcinilor ecuației:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Da Da! Aceasta este o ecuație de tip mixt! Pe care nu le-am luat în considerare în această lecție. De ce să le luați în considerare, trebuie rezolvate!) Această lecție este suficientă pentru a rezolva ecuația. Ei bine, ai nevoie de ingeniozitate... Și să te ajute clasa a șaptea (acesta este un indiciu!).
Răspunsuri (în dezordine, separate prin punct și virgulă):
1; 2; 3; 4; nu există soluții; 2; -2; -5; 4; 0.
Este totul reușit? Grozav.
Există o problemă? Nici o problemă! Secțiunea specială 555 rezolvă toate aceste ecuații exponențiale cu explicații detaliate. Ce, de ce și de ce. Și, desigur, există informații suplimentare valoroase despre lucrul cu tot felul de ecuații exponențiale. Nu doar acestea.)
O ultimă întrebare amuzantă de luat în considerare. În această lecție am lucrat cu ecuații exponențiale. De ce nu am spus un cuvânt despre ODZ aici?În ecuații, acesta este un lucru foarte important, apropo...
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Ecuatii lineare. Soluție, exemple.
Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Ecuatii lineare.
Ecuațiile liniare nu sunt subiectul cel mai dificil în matematica școlară. Dar există câteva trucuri acolo care pot deruta chiar și un student instruit. Să ne dăm seama?)
De obicei, o ecuație liniară este definită ca o ecuație de forma:
topor + b = 0 Unde a și b– orice numere.
2x + 7 = 0. Aici a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Aici a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Aici a=12, b=1/2
Nimic complicat, nu? Mai ales dacă nu observi cuvintele: „unde a și b sunt numere”... Și dacă observi și te gândești nepăsător la asta?) La urma urmei, dacă a=0, b=0(este posibile numere?), atunci obținem o expresie amuzantă:
Dar asta nu este tot! Dacă, să zicem, a=0, A b=5, Acesta se dovedește a fi ceva complet ieșit din comun:
Ceea ce este enervant și subminează încrederea în matematică, da...) Mai ales în timpul examenelor. Dar din aceste expresii ciudate trebuie să găsești și X! Care nu există deloc. Și, surprinzător, acest X este foarte ușor de găsit. Vom învăța să facem asta. În această lecție.
Cum se recunoaște o ecuație liniară după aspectul ei? Depinde de aspect.) Trucul este că ecuațiile liniare nu sunt doar ecuații de formă topor + b = 0 , dar și orice ecuații care pot fi reduse la această formă prin transformări și simplificări. Și cine știe dacă scade sau nu?)
O ecuație liniară poate fi recunoscută clar în unele cazuri. Să zicem, dacă avem o ecuație în care există doar necunoscute de gradul întâi și numere. Și în ecuație nu există fracții împărțite la necunoscut , este important! Și împărțirea după număr, sau o fracție numerică - binevenit! De exemplu:
Aceasta este o ecuație liniară. Există fracții aici, dar nu există x-uri în pătrat, cub etc. și nici x în numitori, adică. Nu împărțirea cu x. Și aici este ecuația
nu poate fi numit liniar. Aici X-urile sunt toate de gradul I, dar există împărțirea prin expresie cu x. După simplificări și transformări, puteți obține o ecuație liniară, o ecuație pătratică sau orice doriți.
Se pare că este imposibil să recunoști ecuația liniară într-un exemplu complicat până când aproape că o rezolvi. Acest lucru este supărător. Dar în teme, de regulă, ei nu întreabă despre forma ecuației, nu? Sarcinile cer ecuații decide. Asta ma face fericit.)
Rezolvarea ecuațiilor liniare. Exemple.
Întreaga soluție a ecuațiilor liniare constă din transformări identice ale ecuațiilor. Apropo, aceste transformări (două dintre ele!) stau la baza soluțiilor toate ecuațiile matematicii. Cu alte cuvinte, soluția orice ecuația începe chiar cu aceste transformări. În cazul ecuațiilor liniare, aceasta (soluția) se bazează pe aceste transformări și se termină cu un răspuns complet. Are sens să urmați linkul, nu?) Mai mult decât atât, există și exemple de rezolvare a ecuațiilor liniare acolo.
Mai întâi, să ne uităm la cel mai simplu exemplu. Fara capcane. Să presupunem că trebuie să rezolvăm această ecuație.
x - 3 = 2 - 4x
Aceasta este o ecuație liniară. X-urile sunt toate în prima putere, nu există nicio împărțire cu X. Dar, de fapt, nu contează pentru noi ce fel de ecuație este. Trebuie să o rezolvăm. Schema de aici este simplă. Strângeți totul cu X în partea stângă a ecuației, totul fără X (numerele) în dreapta.
Pentru a face acest lucru, trebuie să transferați - 4x în partea stângă, cu o schimbare de semn, desigur, și - 3 - La dreapta. Apropo, asta este prima transformare identică a ecuaţiilor. Uimit? Asta înseamnă că nu ai urmat linkul, dar în zadar...) Primim:
x + 4x = 2 + 3
Iată altele asemănătoare, luăm în considerare:
De ce avem nevoie pentru fericirea deplină? Da, ca să fie un X pur în stânga! Cinci este în cale. Scapa de cei cinci cu ajutorul a doua transformare identică a ecuaţiilor.Și anume, împărțim ambele părți ale ecuației la 5. Obținem un răspuns gata:
Un exemplu elementar, desigur. Aceasta este pentru încălzire.) Nu este foarte clar de ce mi-am amintit transformări identice aici? BINE. Să luăm taurul de coarne.) Să hotărâm ceva mai solid.
De exemplu, iată ecuația:
De unde începem? Cu X - la stânga, fără X - la dreapta? Ar putea fi așa. Pași mici de-a lungul unui drum lung. Sau o poți face imediat, într-un mod universal și puternic. Dacă, desigur, aveți transformări identice de ecuații în arsenalul dvs.
Vă pun o întrebare cheie: Ce îți displace cel mai mult la această ecuație?
95 din 100 de persoane vor răspunde: fractii ! Răspunsul este corect. Deci hai să scăpăm de ei. Prin urmare, începem imediat cu a doua transformare a identităţii. Cu ce aveți nevoie pentru a înmulți fracția din stânga, astfel încât numitorul să fie complet redus? Așa e, la 3. Și în dreapta? Prin 4. Dar matematica ne permite să înmulțim ambele părți cu acelasi numar. Cum putem ieși? Să înmulțim ambele părți cu 12! Acestea. la un numitor comun. Atunci atât cele trei, cât și cele patru vor fi reduse. Nu uitați că trebuie să înmulțiți fiecare parte în întregime. Iată cum arată primul pas:
Extinderea parantezelor:
Notă! Numărător (x+2) L-am pus intre paranteze! Acest lucru se datorează faptului că la înmulțirea fracțiilor, întregul numărător este înmulțit! Acum puteți reduce fracțiile:
Extindeți parantezele rămase:
Nu un exemplu, ci pură plăcere!) Acum să ne amintim o vrajă din școala elementară: cu un X - la stânga, fără un X - la dreapta!Și aplicați această transformare:
Iată câteva asemănătoare:
Și împărțiți ambele părți la 25, adică. aplica din nou a doua transformare:
Asta e tot. Răspuns: X=0,16
Vă rugăm să rețineți: pentru a aduce ecuația originală confuză într-o formă frumoasă, am folosit două (doar două!) transformări identitare– translație stânga-dreapta cu schimbare de semn și înmulțire-împărțire a unei ecuații cu același număr. Aceasta este o metodă universală! Vom lucra în acest fel cu orice ecuatii! Absolut oricine. De aceea repet obositor despre aceste transformări identice tot timpul.)
După cum puteți vedea, principiul rezolvării ecuațiilor liniare este simplu. Luăm ecuația și o simplificăm folosind transformări identice până când obținem răspunsul. Principalele probleme aici sunt în calcule, nu în principiul soluției.
Dar... Există astfel de surprize în procesul de rezolvare a celor mai elementare ecuații liniare, încât te pot duce într-o puternică stupoare...) Din fericire, nu pot exista decât două astfel de surprize. Să le numim cazuri speciale.
Cazuri speciale în rezolvarea ecuațiilor liniare.
Prima surpriză.
Să presupunem că întâlniți o ecuație foarte simplă, ceva de genul:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Puțin plictisit, o mutăm cu un X la stânga, fără un X - la dreapta... Cu schimbare de semn totul este perfect... Obținem:
2x-5x+3x=5-2-3
Numărăm și... hopa!!! Primim:
Această egalitate în sine nu este inacceptabilă. Zero este într-adevăr zero. Dar X lipsește! Și trebuie să scriem în răspuns, cu ce este x egal? Altfel, soluția nu contează, nu...) Blocaj?
Calm! În astfel de cazuri îndoielnice, regulile cele mai generale vă vor salva. Cum se rezolvă ecuațiile? Ce înseamnă să rezolvi o ecuație? Acest lucru înseamnă, găsiți toate valorile lui x care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, ne vor oferi egalitatea corectă.
Dar avem egalitate adevărată deja s-a întâmplat! 0=0, cu cât mai precis?! Rămâne să ne dăm seama ce x se întâmplă asta. În ce valori ale lui X pot fi înlocuite original ecuația dacă aceste x-uri vor fi totusi reduse la zero? Haide?)
Da!!! X-urile pot fi înlocuite orice! Pe care le vrei? Cel puțin 5, cel puțin 0,05, cel puțin -220. Se vor micșora în continuare. Dacă nu mă credeți, puteți verifica.) Înlocuiți orice valori ale lui X în original ecuație și calculează. Tot timpul vei obține adevărul pur: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 și așa mai departe.
Iată răspunsul tău: x - orice număr.
Răspunsul poate fi scris în diferite simboluri matematice, esența nu se schimbă. Acesta este un răspuns complet corect și complet.
A doua surpriză.
Să luăm aceeași ecuație liniară elementară și să schimbăm doar un număr din ea. Iată ce vom decide:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
După aceleași transformări identice, obținem ceva intrigant:
Ca aceasta. Am rezolvat o ecuație liniară și am obținut o egalitate ciudată. În termeni matematici, am primit falsă egalitate.Și vorbind într-un limbaj simplu, nu este adevarat. Rave. Dar, cu toate acestea, această prostie este un motiv foarte bun pentru rezolvarea corectă a ecuației.)
Din nou gândim pe baza unor reguli generale. Ce x, atunci când sunt substituite în ecuația originală, ne vor da Adevărat egalitate? Da, niciunul! Nu există astfel de X-uri. Indiferent ce ai pune, totul se va reduce, vor rămâne doar prostii.)
Iată răspunsul tău: nu exista solutii.
Acesta este, de asemenea, un răspuns complet complet. În matematică, astfel de răspunsuri sunt adesea găsite.
Ca aceasta. Acum, sper că dispariția lui X în procesul de rezolvare a oricărei ecuații (nu doar liniare) nu vă va deruta deloc. Aceasta este deja o chestiune familiară.)
Acum că ne-am ocupat de toate capcanele din ecuațiile liniare, este logic să le rezolvăm.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Ecuațiile sunt una dintre subiecte dificile ușor de învățat, dar în același timp sunt un instrument suficient de puternic pentru rezolvarea majorității problemelor.
Folosind ecuații, sunt descrise diferite procese care au loc în natură. Ecuațiile sunt utilizate pe scară largă în alte științe: economie, fizică, biologie și chimie.
În această lecție vom încerca să înțelegem esența celor mai simple ecuații, să învățăm să exprimăm necunoscute și să rezolvăm mai multe ecuații. Pe măsură ce înveți materiale noi, ecuațiile vor deveni mai complexe, așa că înțelegerea elementelor de bază este foarte importantă.
Abilități preliminare Conținutul lecțieiCe este o ecuație?
O ecuație este o egalitate care conține o variabilă a cărei valoare doriți să o găsiți. Această valoare trebuie să fie astfel încât, atunci când este înlocuită în ecuația originală, să se obțină egalitatea numerică corectă.
De exemplu, expresia 3 + 2 = 5 este o egalitate. Când se calculează partea stângă, se obține egalitatea numerică corectă 5 = 5.
Dar egalitatea este 3 + X= 5 este o ecuație deoarece conține o variabilă X, a cărui valoare poate fi găsită. Valoarea trebuie să fie astfel încât la înlocuirea acestei valori în ecuația originală să se obțină egalitatea numerică corectă.
Cu alte cuvinte, trebuie să găsim o valoare la care semnul egal să-și justifice locația - partea stângă trebuie să fie egală cu partea dreaptă.
Ecuația 3 + X= 5 este elementar. Valoare variabilă X este egal cu numărul 2. Pentru orice altă valoare, egalitatea nu va fi respectată
Ei spun că numărul 2 este rădăcină sau rezolvarea ecuației 3 + X = 5
Rădăcină sau soluția ecuației- aceasta este valoarea variabilei la care ecuația se transformă într-o egalitate numerică adevărată.
Pot exista mai multe rădăcini sau deloc. Rezolvați ecuațiaînseamnă a-i găsi rădăcinile sau a dovedi că nu există rădăcini.
Variabila inclusă în ecuație se numește altfel necunoscut. Ai dreptul să-i spui așa cum preferi. Acestea sunt sinonime.
Notă. Colocare "rezolvați ecuația" vorbeste de la sine. Rezolvarea unei ecuații înseamnă „egalizarea” ecuației - făcând-o echilibrată astfel încât partea stângă să fie egală cu partea dreaptă.
Exprimați un lucru prin celălalt
Studiul ecuațiilor începe în mod tradițional cu învățarea de a exprima un număr inclus într-o egalitate printr-un număr de altele. Să nu încălcăm această tradiție și să facem la fel.
Luați în considerare următoarea expresie:
8 + 2
Această expresie este suma numerelor 8 și 2. Valoarea acestei expresii este 10
8 + 2 = 10
Avem egalitate. Acum puteți exprima orice număr din această egalitate prin alte numere incluse în aceeași egalitate. De exemplu, să exprimăm numărul 2.
Pentru a exprima numărul 2, trebuie să puneți întrebarea: „ce trebuie făcut cu numerele 10 și 8 pentru a obține numărul 2”. Este clar că pentru a obține numărul 2, trebuie să scazi numărul 8 din numărul 10.
Asta facem. Notăm numărul 2 și prin semnul egal spunem că pentru a obține acest număr 2 am scăzut numărul 8 din numărul 10:
2 = 10 − 8
Am exprimat numărul 2 din egalitatea 8 + 2 = 10. După cum se poate vedea din exemplu, nu este nimic complicat în acest sens.
Când rezolvați ecuații, în special când exprimați un număr în termenii altora, este convenabil să înlocuiți semnul egal cu cuvântul „ Există" . Acest lucru trebuie făcut mental, și nu în expresia în sine.
Deci, exprimând numărul 2 din egalitatea 8 + 2 = 10, obținem egalitatea 2 = 10 − 8. Această egalitate poate fi citită după cum urmează:
2 Există 10 − 8
Acesta este un semn = înlocuit cu cuvântul „este”. În plus, egalitatea 2 = 10 - 8 poate fi tradusă din limbajul matematic în limbajul uman cu drepturi depline. Apoi se poate citi după cum urmează:
Numarul 2 Există diferența dintre numărul 10 și numărul 8
Numarul 2 Există diferența dintre numărul 10 și numărul 8.
Dar ne vom limita doar să înlocuim semnul egal cu cuvântul „este” și nu vom face întotdeauna acest lucru. Expresiile elementare pot fi înțelese fără a traduce limbajul matematic în limbajul uman.
Să returnăm egalitatea rezultată 2 = 10 − 8 la starea inițială:
8 + 2 = 10
Să exprimăm de data aceasta numărul 8. Ce trebuie făcut cu numerele rămase pentru a obține numărul 8? Așa este, trebuie să scazi 2 din numărul 10
8 = 10 − 2
Să returnăm egalitatea rezultată 8 = 10 − 2 la starea inițială:
8 + 2 = 10
De data aceasta vom exprima numărul 10. Dar se dovedește că nu este nevoie să exprimăm zece, deoarece este deja exprimat. Este suficient să schimbăm părțile din stânga și din dreapta, apoi obținem ceea ce ne trebuie:
10 = 8 + 2
Exemplul 2. Se consideră egalitatea 8 − 2 = 6
Să exprimăm din această egalitate numărul 8. Pentru a exprima numărul 8, trebuie adăugate celelalte două numere:
8 = 6 + 2
Să returnăm egalitatea rezultată 8 = 6 + 2 la starea inițială:
8 − 2 = 6
Să exprimăm din această egalitate numărul 2. Pentru a exprima numărul 2, trebuie să scazi 6 din 8
2 = 8 − 6
Exemplul 3. Luați în considerare egalitatea 3 × 2 = 6
Să exprimăm numărul 3. Pentru a exprima numărul 3, ai nevoie de 6 împărțit la 2
Să readucem egalitatea rezultată la starea inițială:
3 × 2 = 6
Să exprimăm din această egalitate numărul 2. Pentru a exprima numărul 2, ai nevoie de 6 împărțit la 3
Exemplul 4. Luați în considerare egalitatea
Să exprimăm din această egalitate numărul 15. Pentru a exprima numărul 15, trebuie să înmulțiți numerele 3 și 5.
15 = 3 × 5
Să returnăm egalitatea rezultată 15 = 3 × 5 la starea inițială:
Să exprimăm din această egalitate numărul 5. Pentru a exprima numărul 5, ai nevoie de 15 împărțit la 3
Reguli pentru găsirea necunoscutelor
Să luăm în considerare câteva reguli pentru găsirea necunoscutelor. S-ar putea să vă fie familiare, dar nu strica să le repetați din nou. În viitor, ele pot fi uitate, deoarece învățăm să rezolvăm ecuații fără a aplica aceste reguli.
Să revenim la primul exemplu, pe care l-am analizat în subiectul anterior, unde în egalitatea 8 + 2 = 10 trebuia să exprimăm numărul 2.
În egalitatea 8 + 2 = 10, numerele 8 și 2 sunt termenii, iar numărul 10 este suma.
Pentru a exprima numărul 2, am făcut următoarele:
2 = 10 − 8
Adică din suma de 10 am scăzut termenul 8.
Acum imaginați-vă că în egalitatea 8 + 2 = 10, în loc de numărul 2, există o variabilă X
8 + X = 10
În acest caz, egalitatea 8 + 2 = 10 devine ecuația 8 + X= 10 și variabila X termen necunoscut
Sarcina noastră este să găsim acest termen necunoscut, adică să rezolvăm ecuația 8 + X= 10 . Pentru a găsi un termen necunoscut, este prevăzută următoarea regulă:
Pentru a găsi termenul necunoscut, trebuie să scădeți termenul cunoscut din sumă.
Ceea ce este practic ceea ce am făcut când am exprimat doi în egalitatea 8 + 2 = 10. Pentru a exprima termenul 2, am scăzut un alt termen 8 din suma 10
2 = 10 − 8
Acum, pentru a găsi termenul necunoscut X, trebuie să scădem termenul cunoscut 8 din suma 10:
X = 10 − 8
Dacă calculați partea dreaptă a egalității rezultate, puteți afla cu ce este egală variabila X
X = 2
Am rezolvat ecuația. Valoare variabilă X este egal cu 2. Pentru a verifica valoarea unei variabile X trimis la ecuația inițială 8 + X= 10 și înlocuiți X. Este recomandabil să faceți acest lucru cu orice ecuație rezolvată, deoarece nu puteți fi absolut sigur că ecuația a fost rezolvată corect:
Ca urmare
Aceeași regulă s-ar aplica dacă termenul necunoscut ar fi primul număr 8.
X + 2 = 10
În această ecuație X este termenul necunoscut, 2 este termenul cunoscut, 10 este suma. Pentru a găsi un termen necunoscut X, trebuie să scădeți termenul cunoscut 2 din suma 10
X = 10 − 2
X = 8
Să revenim la al doilea exemplu din subiectul anterior, unde în egalitatea 8 − 2 = 6 a fost necesar să se exprime numărul 8.
În egalitatea 8 − 2 = 6, numărul 8 este minuend, numărul 2 este subtrahendul și numărul 6 este diferența
Pentru a exprima numărul 8, am făcut următoarele:
8 = 6 + 2
Adică am adăugat diferența de 6 și am scăzut 2.
Acum imaginați-vă că în egalitatea 8 − 2 = 6, în loc de numărul 8, există o variabilă X
X − 2 = 6
În acest caz variabila X preia rolul așa-zisului minuend necunoscut
Pentru a găsi un minuend necunoscut, este prevăzută următoarea regulă:
Pentru a găsi minuend necunoscut, trebuie să adăugați subtraendul la diferență.
Aceasta este ceea ce am făcut când am exprimat numărul 8 în egalitatea 8 − 2 = 6. Pentru a exprima minuendul lui 8, am adăugat subtraendul lui 2 la diferența lui 6.
Acum, pentru a găsi minunul necunoscut X, trebuie să adăugăm diferența 6 subtraend 2
X = 6 + 2
Dacă calculezi partea dreaptă, poți afla cu ce este egală variabila X
X = 8
Acum imaginați-vă că în egalitatea 8 − 2 = 6, în loc de numărul 2, există o variabilă X
8 − X = 6
În acest caz variabila X preia rolul subtraend necunoscut
Pentru a găsi un subtraend necunoscut, este prevăzută următoarea regulă:
Pentru a găsi subtraend necunoscut, trebuie să scădeți diferența din minuend.
Aceasta este ceea ce am făcut când am exprimat numărul 2 în egalitatea 8 − 2 = 6. Pentru a exprima numărul 2, am scăzut diferența 6 din minuend 8.
Acum, pentru a găsi subtraend necunoscut X, trebuie din nou să scădeți diferența 6 din minuend 8
X = 8 − 6
Calculăm partea dreaptă și găsim valoarea X
X = 2
Să revenim la al treilea exemplu din subiectul anterior, unde în egalitatea 3 × 2 = 6 am încercat să exprimăm numărul 3.
În egalitatea 3 × 2 = 6, numărul 3 este multiplicatorul, numărul 2 este multiplicatorul, numărul 6 este produsul
Pentru a exprima numărul 3 am făcut următoarele:
Adică, am împărțit produsul lui 6 la factorul 2.
Acum imaginați-vă că în egalitatea 3 × 2 = 6, în loc de numărul 3 există o variabilă X
X× 2 = 6
În acest caz variabila X preia rolul multiplicand necunoscut.
Pentru a găsi un multiplicand necunoscut, se oferă următoarea regulă:
Pentru a găsi un multiplicand necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la factor.
Aceasta este ceea ce am făcut când am exprimat numărul 3 din egalitatea 3 × 2 = 6. Am împărțit produsul 6 la factorul 2.
Acum pentru a găsi multiplicand necunoscut X, trebuie să împărțiți produsul 6 la factorul 2.
Calcularea părții drepte ne permite să găsim valoarea unei variabile X
X = 3
Aceeași regulă se aplică dacă variabila X se află în locul multiplicatorului, nu al multiplicatorului. Să ne imaginăm că în egalitatea 3 × 2 = 6, în loc de numărul 2 există o variabilă X.
În acest caz variabila X preia rolul multiplicator necunoscut. Pentru a găsi un factor necunoscut, este prevăzută aceeași procedură ca și pentru găsirea unui multiplicand necunoscut, și anume, împărțirea produsului la un factor cunoscut:
Pentru a găsi un factor necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la multiplicand.
Aceasta este ceea ce am făcut când am exprimat numărul 2 din egalitatea 3 × 2 = 6. Apoi, pentru a obține numărul 2, am împărțit produsul lui 6 la înmulțirea lui 3.
Acum să găsim factorul necunoscut X Am împărțit produsul lui 6 la înmulțirea lui 3.
Calcularea părții drepte a egalității vă permite să aflați cu ce este egal x
X = 2
Multiplicatorul și multiplicatorul împreună se numesc factori. Deoarece regulile pentru găsirea unui multiplicand și a unui multiplicator sunt aceleași, putem formula regula generala găsirea factorului necunoscut:
Pentru a găsi un factor necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la factorul cunoscut.
De exemplu, să rezolvăm ecuația 9 × X= 18. Variabil X este un factor necunoscut. Pentru a găsi acest factor necunoscut, trebuie să împărțiți produsul 18 la factorul cunoscut 9
Să rezolvăm ecuația X× 3 = 27. Variabil X este un factor necunoscut. Pentru a găsi acest factor necunoscut, trebuie să împărțiți produsul 27 la factorul cunoscut 3
Să revenim la al patrulea exemplu din subiectul anterior, unde într-o egalitate trebuia să exprimăm numărul 15. În această egalitate, numărul 15 este dividendul, numărul 5 este divizorul, iar numărul 3 este câtul.
Pentru a exprima numărul 15 am făcut următoarele:
15 = 3 × 5
Adică am înmulțit câtul lui 3 cu divizorul lui 5.
Acum imaginați-vă că în egalitate, în loc de numărul 15, există o variabilă X
În acest caz variabila X preia rolul dividend necunoscut.
Pentru a găsi un dividend necunoscut, este prevăzută următoarea regulă:
Pentru a găsi dividendul necunoscut, trebuie să înmulțiți coeficientul cu divizorul.
Asta am făcut când am exprimat numărul 15 din egalitate. Pentru a exprima numărul 15, înmulțim câtul lui 3 cu divizorul lui 5.
Acum, pentru a găsi dividendul necunoscut X, trebuie să înmulțiți câtul 3 cu divizorul 5
X= 3 × 5
X .
X = 15
Acum imaginați-vă că în egalitate, în loc de numărul 5, există o variabilă X .
În acest caz variabila X preia rolul divizor necunoscut.
Pentru a găsi un divizor necunoscut, este prevăzută următoarea regulă:
Asta am făcut când am exprimat numărul 5 din egalitate. Pentru a exprima numărul 5, împărțim dividendul 15 la câtul 3.
Acum să găsim divizorul necunoscut X, trebuie să împărțiți dividendul 15 la câtul 3
Să calculăm partea dreaptă a egalității rezultate. Astfel aflăm cu ce este egală variabila X .
X = 5
Deci, pentru a găsi necunoscute, am studiat următoarele reguli:
- Pentru a găsi termenul necunoscut, trebuie să scădeți termenul cunoscut din sumă;
- Pentru a găsi minuend necunoscut, trebuie să adăugați subtraendul la diferență;
- Pentru a găsi subtraend necunoscut, trebuie să scădeți diferența din minuend;
- Pentru a găsi un multiplicand necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la factor;
- Pentru a găsi un factor necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la multiplicand;
- Pentru a găsi un dividend necunoscut, trebuie să înmulțiți coeficientul cu divizorul;
- Pentru a găsi un divizor necunoscut, trebuie să împărțiți dividendul la cât.
Componente
Vom numi componente numerele și variabilele incluse în egalitate
Deci, componentele adăugării sunt termeniȘi sumă
Componentele de scădere sunt descăzut, descăzutȘi diferență
Componentele înmulțirii sunt deînmulţit, factorȘi muncă
Componentele diviziunii sunt dividendul, divizorul și coeficientul.
În funcție de componentele cu care avem de-a face, se vor aplica regulile corespunzătoare pentru găsirea necunoscutelor. Am studiat aceste reguli în subiectul anterior. Când rezolvați ecuații, este indicat să cunoașteți aceste reguli pe de rost.
Exemplul 1. Aflați rădăcina ecuației 45 + X = 60
45 - termen, X- termen necunoscut, 60 - suma. Avem de-a face cu componentele adăugării. Ne amintim că pentru a găsi un termen necunoscut, trebuie să scădeți termenul cunoscut din suma:
X = 60 − 45
Să calculăm partea dreaptă și să obținem valoarea X egal cu 15
X = 15
Deci rădăcina ecuației este 45 + X= 60 este egal cu 15.
Cel mai adesea, un termen necunoscut trebuie redus la o formă în care să poată fi exprimat.
Exemplul 2. Rezolvați ecuația
Aici, spre deosebire de exemplul anterior, termenul necunoscut nu poate fi exprimat imediat, deoarece conține un coeficient de 2. Sarcina noastră este să aducem această ecuație într-o formă în care ar putea fi exprimată. X
În acest exemplu, avem de-a face cu componentele adunării — termenii și suma. 2 X este primul termen, 4 este al doilea termen, 8 este suma.
În acest caz, termenul 2 X conţine o variabilă X. După aflarea valorii variabilei X termenul 2 X va avea o privire diferită. Prin urmare, termenul 2 X poate fi luat complet ca un termen necunoscut:
Acum aplicăm regula pentru găsirea termenului necunoscut. Scădeți termenul cunoscut din suma:
Să calculăm partea dreaptă a ecuației rezultate:
Avem o nouă ecuație. Acum avem de-a face cu componentele înmulțirii: multiplicantul, multiplicatorul și produsul. 2 - multiplicand, X- multiplicator, 4 - produs
În acest caz, variabila X nu este doar un multiplicator, ci un multiplicator necunoscut
Pentru a găsi acest factor necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la multiplicand:
Să calculăm partea dreaptă și să obținem valoarea variabilei X
Pentru a verifica, trimiteți rădăcina găsită la ecuația originală și înlocuiți-o X
Exemplul 3. Rezolvați ecuația 3X+ 9X+ 16X= 56
Exprimă imediat necunoscutul X este interzis. Mai întâi trebuie să aduceți această ecuație într-o formă în care ar putea fi exprimată.
Prezentăm în partea stângă a acestei ecuații:
Avem de-a face cu componentele înmulțirii. 28 - multiplicand, X- multiplicator, 56 - produs. în care X este un factor necunoscut. Pentru a găsi un factor necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la multiplicand:
De aici X este egal cu 2
Ecuații echivalente
În exemplul anterior, la rezolvarea ecuației 3X + 9X + 16X = 56 , am dat termeni similari în partea stângă a ecuației. Ca rezultat, am obținut o nouă ecuație 28 X= 56 . Veche ecuație 3X + 9X + 16X = 56 iar noua ecuație rezultată 28 X= 56 este numit ecuații echivalente, deoarece rădăcinile lor coincid.
Ecuațiile se numesc echivalente dacă rădăcinile lor coincid.
Hai să verificăm. Pentru ecuație 3X+ 9X+ 16X= 56 am găsit rădăcina egală cu 2. Să înlocuim mai întâi această rădăcină în ecuație 3X+ 9X+ 16X= 56 , și apoi în ecuația 28 X= 56, care a fost obținut prin aducerea de termeni similari în partea stângă a ecuației anterioare. Trebuie să obținem egalitățile numerice corecte
După ordinea operațiilor, înmulțirea se efectuează mai întâi:
Să înlocuim rădăcina 2 în a doua ecuație 28 X= 56
Vedem că ambele ecuații au aceleași rădăcini. Deci ecuațiile 3X+ 9X+ 16X= 56 și 28 X= 56 sunt într-adevăr echivalente.
Pentru a rezolva ecuația 3X+ 9X+ 16X= 56 Am folosit unul dintre ei - reducerea termenilor similari. Transformarea corectă de identitate a ecuației ne-a permis să obținem ecuația echivalentă 28 X= 56, care este mai ușor de rezolvat.
Dintre transformările identice, momentan știm doar să reducem fracții, să aducem termeni similari, să scoatem factorul comun din paranteze și, de asemenea, să deschidem paranteze. Există și alte conversii de care ar trebui să fii conștient. Dar pentru o idee generală a transformărilor identice ale ecuațiilor, subiectele pe care le-am studiat sunt destul de suficiente.
Să luăm în considerare câteva transformări care ne permit să obținem ecuația echivalentă
Dacă adăugați același număr la ambele părți ale ecuației, obțineți o ecuație echivalentă cu cea dată.
si asemanator:
Dacă scadeți același număr din ambele părți ale unei ecuații, obțineți o ecuație echivalentă cu cea dată.
Cu alte cuvinte, rădăcina ecuației nu se va schimba dacă același număr este adăugat la (sau scădere din ambele părți) același număr.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația 
Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației
Avem ecuația 5 X= 10 . Avem de-a face cu componentele înmulțirii. Pentru a găsi un factor necunoscut X, trebuie să împărțiți produsul 10 la factorul cunoscut 5.
și înlocuitor X a gasit valoarea 2
Am obținut egalitatea numerică corectă. Aceasta înseamnă că ecuația este rezolvată corect.
Rezolvarea ecuației am scăzut numărul 10 din ambele părți ale ecuației. Ca rezultat, am obținut o ecuație echivalentă. Rădăcina acestei ecuații, ca și ecuația este de asemenea egal cu 2
Exemplul 2. Rezolvați ecuația 4( X+ 3) = 16
Scădeți numărul 12 din ambele părți ale ecuației
Vor rămâne 4 pe partea stângă X, iar în partea dreaptă numărul 4
Avem ecuația 4 X= 4 . Avem de-a face cu componentele înmulțirii. Pentru a găsi un factor necunoscut X, trebuie să împărțiți produsul 4 la factorul cunoscut 4
Să revenim la ecuația inițială 4( X+ 3) = 16 și înlocuiți X a găsit valoarea 1
Am obținut egalitatea numerică corectă. Aceasta înseamnă că ecuația este rezolvată corect.
Rezolvarea ecuației 4( X+ 3) = 16 am scăzut numărul 12 din ambele părți ale ecuației. Ca rezultat, am obținut ecuația echivalentă 4 X= 4 . Rădăcina acestei ecuații, ca și ecuația 4( X+ 3) = 16 este, de asemenea, egal cu 1
Exemplul 3. Rezolvați ecuația 
Să extindem parantezele din partea stângă a egalității:
Adăugați numărul 8 de ambele părți ale ecuației
Să prezentăm termeni similari de ambele părți ale ecuației:
Vor rămâne 2 pe partea stângă X, iar în partea dreaptă numărul 9
În ecuația rezultată 2 X= 9 exprimăm termenul necunoscut X
Să revenim la ecuația inițială și înlocuitor X valoarea găsită 4,5
Am obținut egalitatea numerică corectă. Aceasta înseamnă că ecuația este rezolvată corect.
Rezolvarea ecuației am adăugat numărul 8 la ambele părți ale ecuației. Ca rezultat, am obținut o ecuație echivalentă. Rădăcina acestei ecuații, ca și ecuația egal cu 4,5
Următoarea regulă care ne permite să obținem o ecuație echivalentă este următoarea
Dacă mutați un termen dintr-o ecuație dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, veți obține o ecuație echivalentă cu cea dată.
Adică, rădăcina ecuației nu se va schimba dacă mutăm un termen dintr-o parte a ecuației în alta, schimbându-i semnul. Această proprietate este una dintre cele mai importante și una dintre cele mai des folosite la rezolvarea ecuațiilor.
Luați în considerare următoarea ecuație:
Rădăcina acestei ecuații este egală cu 2. Să înlocuim X această rădăcină și verificați dacă egalitatea numerică este corectă
Rezultatul este o egalitate corectă. Aceasta înseamnă că numărul 2 este într-adevăr rădăcina ecuației.
Acum să încercăm să experimentăm cu termenii acestei ecuații, deplasându-i dintr-o parte în alta, schimbând semnele.
De exemplu, termenul 3 X este situat în partea stângă a ecuației. Să-l mutăm în partea dreaptă, schimbând semnul pe opus:
Rezultatul este o ecuație 12 = 9X − 3X . în partea dreaptă a acestei ecuații:
X este un factor necunoscut. Să găsim acest factor binecunoscut:
De aici X= 2 . După cum puteți vedea, rădăcina ecuației nu s-a schimbat. Deci ecuațiile sunt 12 + 3 X = 9XȘi 12 = 9X − 3X sunt echivalente.
De fapt, această transformare este o metodă simplificată a transformării anterioare, în care același număr a fost adăugat (sau scăzut) de ambele părți ale ecuației.
Am spus că în ecuația 12 + 3 X = 9X termenul 3 X a fost mutat în partea dreaptă, schimbând semnul. În realitate, s-a întâmplat următoarele: termenul 3 a fost scăzut din ambele părți ale ecuației X
Apoi au fost dați termeni similari în partea stângă și s-a obținut ecuația 12 = 9X − 3X. Apoi s-au dat din nou termeni similari, dar pe partea dreaptă, și s-a obținut ecuația 12 = 6 X.
Dar așa-numitul „transfer” este mai convenabil pentru astfel de ecuații, motiv pentru care a devenit atât de răspândit. Când rezolvăm ecuații, vom folosi adesea această transformare specială.
Ecuațiile 12 + 3 sunt de asemenea echivalente X= 9XȘi 3x− 9X= −12 . De data aceasta, ecuația este 12 + 3 X= 9X termenul 12 a fost mutat în partea dreaptă, iar termenul 9 X La stânga. Nu trebuie să uităm că semnele acestor termeni au fost schimbate în timpul transferului
Următoarea regulă care ne permite să obținem o ecuație echivalentă este următoarea:
Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, diferit de zero, obțineți o ecuație echivalentă cu cea dată.
Cu alte cuvinte, rădăcinile unei ecuații nu se vor schimba dacă ambele părți sunt înmulțite sau împărțite cu același număr. Această acțiune este adesea folosită atunci când trebuie să rezolvați o ecuație care conține expresii fracționale.
Mai întâi, să ne uităm la exemple în care ambele părți ale ecuației vor fi înmulțite cu același număr.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația
Când se rezolvă ecuații care conțin expresii fracționale, se obișnuiește să se simplifice mai întâi ecuația.
În acest caz, avem de-a face doar cu o astfel de ecuație. Pentru a simplifica această ecuație, ambele părți pot fi înmulțite cu 8:
Ne amintim că pentru , trebuie să înmulțim numărătorul unei fracții date cu acest număr. Avem două fracții și fiecare dintre ele este înmulțită cu numărul 8. Sarcina noastră este să înmulțim numărătorii fracțiilor cu acest număr 8.
Acum se întâmplă partea interesantă. Numătorii și numitorii ambelor fracții conțin un factor de 8, care poate fi redus cu 8. Acest lucru ne va permite să scăpăm de expresia fracțională:
Ca urmare, rămâne cea mai simplă ecuație
Ei bine, nu este greu de ghicit că rădăcina acestei ecuații este 4
X a gasit valoarea 4
Rezultatul este o egalitate numerică corectă. Aceasta înseamnă că ecuația este rezolvată corect.
Când rezolvăm această ecuație, am înmulțit ambele părți cu 8. Ca rezultat, am obținut ecuația. Rădăcina acestei ecuații, ca și ecuația, este 4. Aceasta înseamnă că aceste ecuații sunt echivalente.
Factorul cu care sunt înmulțite ambele părți ale ecuației este de obicei scris înaintea părții ecuației și nu după aceasta. Deci, rezolvând ecuația, am înmulțit ambele părți cu un factor de 8 și am obținut următoarea intrare:
Acest lucru nu a schimbat rădăcina ecuației, dar dacă am fi făcut asta în timpul școlii, am fi fost mustrați, deoarece în algebră se obișnuiește să scrie un factor înaintea expresiei cu care se înmulțește. Prin urmare, este recomandabil să rescrieți înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un factor de 8, după cum urmează:
Exemplul 2. Rezolvați ecuația 
În partea stângă, factorii lui 15 pot fi redusi cu 15, iar în partea dreaptă, factorii lui 15 și 5 pot fi redusi cu 5
Să deschidem parantezele din partea dreaptă a ecuației:
Să mutăm termenul X din partea stângă a ecuației în partea dreaptă, schimbând semnul. Și mutăm termenul 15 din partea dreaptă a ecuației în partea stângă, schimbând din nou semnul:
Prezentăm termeni similari în ambele părți, obținem
Avem de-a face cu componentele înmulțirii. Variabil X
Să revenim la ecuația inițială și înlocuitor X a găsit valoarea 5
Rezultatul este o egalitate numerică corectă. Aceasta înseamnă că ecuația este rezolvată corect. Când rezolvăm această ecuație, am înmulțit ambele părți cu 15. Efectuând în continuare transformări identice, am obținut ecuația 10 = 2 X. Rădăcina acestei ecuații, ca și ecuația este egal cu 5. Aceasta înseamnă că aceste ecuații sunt echivalente.
Exemplul 3. Rezolvați ecuația
Pe partea stângă puteți reduce doi trei, iar partea dreaptă va fi egală cu 18
Cea mai simplă ecuație rămâne. Avem de-a face cu componentele înmulțirii. Variabil X este un factor necunoscut. Să găsim acest factor binecunoscut:
Să revenim la ecuația inițială și să înlocuim X a găsit valoarea 9
Rezultatul este o egalitate numerică corectă. Aceasta înseamnă că ecuația este rezolvată corect.
Exemplul 4. Rezolvați ecuația 
Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6
Să deschidem parantezele din partea stângă a ecuației. În partea dreaptă, factorul 6 poate fi ridicat la numărător:
Să reducem ceea ce poate fi redus de ambele părți ale ecuațiilor:
Să rescriem ce ne-a mai rămas:
Să folosim transferul de termeni. Termeni care conțin necunoscut X, grupăm în partea stângă a ecuației, iar termenii fără necunoscute - în dreapta:
Să prezentăm termeni similari în ambele părți:
Acum să găsim valoarea variabilei X. Pentru a face acest lucru, împărțiți produsul 28 la factorul cunoscut 7
De aici X= 4.
Să revenim la ecuația inițială și înlocuitor X a gasit valoarea 4
Rezultatul este o ecuație numerică corectă. Aceasta înseamnă că ecuația este rezolvată corect.
Exemplul 5. Rezolvați ecuația 
Să deschidem parantezele de pe ambele părți ale ecuației acolo unde este posibil:
Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 15
Să deschidem parantezele de pe ambele părți ale ecuației:
Să reducem ceea ce poate fi redus de ambele părți ale ecuației:
Să rescriem ce ne-a mai rămas:
Să extindem parantezele acolo unde este posibil:
Să folosim transferul de termeni. Grupăm termenii care conțin necunoscutul în partea stângă a ecuației, iar termenii fără necunoscute în dreapta. Nu uitați că în timpul transferului, termenii își schimbă semnele în sens invers:
Să prezentăm termeni similari de ambele părți ale ecuației:
Să găsim valoarea X
Răspunsul rezultat poate fi împărțit într-o parte întreagă:
Să revenim la ecuația inițială și să înlocuim X valoare găsită
Se dovedește a fi o expresie destul de greoaie. Să folosim variabile. Să punem partea stângă a egalității într-o variabilă A, iar partea dreaptă a egalității într-o variabilă B
Sarcina noastră este să ne asigurăm dacă partea stângă este egală cu dreapta. Cu alte cuvinte, demonstrați egalitatea A = B
Să găsim valoarea expresiei în variabila A.
Valoare variabilă A egal cu . Acum să găsim valoarea variabilei B. Adică valoarea părții drepte a egalității noastre. Dacă este și egală, atunci ecuația va fi rezolvată corect
Vedem că valoarea variabilei B, ca și valoarea variabilei A egal cu . Aceasta înseamnă că partea stângă este egală cu partea dreaptă. De aici concluzionăm că ecuația este rezolvată corect.
Acum să încercăm să nu înmulțim ambele părți ale ecuației cu același număr, ci să împărțim.
Luați în considerare ecuația 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 . Să o rezolvăm folosind metoda obișnuită: grupăm termeni care conțin necunoscute în partea stângă a ecuației și termeni fără necunoscute - în dreapta. În continuare, efectuând transformările identitare cunoscute, găsim valoarea X
Să înlocuim în schimb valoarea găsită 2 Xîn ecuația inițială:
Acum să încercăm să separăm toți termenii ecuației 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 cu un anumit număr.Remarcăm că toți termenii acestei ecuații au un factor comun de 2. Împărțim fiecare termen la acesta:
Să efectuăm o reducere în fiecare termen:
Să rescriem ce ne-a mai rămas:
Să rezolvăm această ecuație folosind transformările de identitate binecunoscute:
Avem root 2. Deci ecuațiile 15X+ 7X+ 7 = 35x− 20X+ 21 Și 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 sunt echivalente.
Împărțirea ambelor părți ale ecuației la același număr vă permite să eliminați necunoscutul din coeficient. În exemplul anterior, când am obținut ecuația 7 X= 14, trebuia să împărțim produsul 14 la factorul cunoscut 7. Dar dacă am fi eliberat necunoscutul de factorul 7 din partea stângă, rădăcina ar fi fost găsită imediat. Pentru a face acest lucru, a fost suficient să împărțiți ambele părți la 7
Vom folosi și această metodă des.
Înmulțirea cu minus unu
Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite cu minus unu, obțineți o ecuație echivalentă cu aceasta.
Această regulă rezultă din faptul că înmulțirea (sau împărțirea) ambelor părți ale unei ecuații cu același număr nu schimbă rădăcina ecuației date. Aceasta înseamnă că rădăcina nu se va schimba dacă ambele părți ale sale sunt înmulțite cu -1.
Această regulă vă permite să schimbați semnele tuturor componentelor incluse în ecuație. Pentru ce este? Din nou, pentru a obține o ecuație echivalentă care este mai ușor de rezolvat.
Luați în considerare ecuația. Care este rădăcina acestei ecuații?
Adăugați numărul 5 de ambele părți ale ecuației
Să ne uităm la termeni similari:
Acum să ne amintim despre. Care este partea stângă a ecuației? Acesta este produsul dintre minus unu și o variabilă X
Adică semnul minus în fața variabilei X, nu se referă la variabila în sine X, dar la unul, pe care nu îl vedem, deoarece coeficientul 1 nu se notează de obicei. Aceasta înseamnă că ecuația arată de fapt astfel:
Avem de-a face cu componentele înmulțirii. A găsi X, trebuie să împărțiți produsul −5 la factorul cunoscut −1.
sau împărțiți ambele părți ale ecuației la −1, ceea ce este și mai simplu
Deci rădăcina ecuației este 5. Pentru a verifica, să o înlocuim în ecuația originală. Nu uitați că în ecuația originală minusul se află în fața variabilei X se referă la o unitate invizibilă
Rezultatul este o ecuație numerică corectă. Aceasta înseamnă că ecuația este rezolvată corect.
Acum să încercăm să înmulțim ambele părți ale ecuației cu minus unu:
După deschiderea parantezelor, expresia se formează pe partea stângă, iar partea dreaptă va fi egală cu 10
Rădăcina acestei ecuații, ca și ecuația, este 5
Aceasta înseamnă că ecuațiile sunt echivalente.
Exemplul 2. Rezolvați ecuația
În această ecuație, toate componentele sunt negative. Este mai convenabil să lucrezi cu componente pozitive decât cu cele negative, așa că haideți să schimbăm semnele tuturor componentelor incluse în ecuație. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale acestei ecuații cu −1.
Este clar că atunci când este înmulțit cu −1, orice număr își va schimba semnul în opus. Prin urmare, procedura de înmulțire cu −1 și de deschidere a parantezelor nu este descrisă în detaliu, dar componentele ecuației cu semne opuse sunt imediat notate.
Astfel, înmulțirea unei ecuații cu −1 poate fi scrisă în detaliu după cum urmează:
sau puteți schimba pur și simplu semnele tuturor componentelor:
Rezultatul va fi același, dar diferența va fi că ne vom economisi timp.
Deci, înmulțind ambele părți ale ecuației cu −1, obținem ecuația. Să rezolvăm această ecuație. Scădeți 4 din ambele părți și împărțiți ambele părți la 3
Când se găsește rădăcina, variabila este de obicei scrisă în partea stângă, iar valoarea ei în dreapta, ceea ce am făcut.
Exemplul 3. Rezolvați ecuația
Să înmulțim ambele părți ale ecuației cu −1. Apoi, toate componentele își vor schimba semnele în semne opuse:
Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației rezultate Xși dați termeni similari:
Să adăugăm unul la ambele părți ale ecuației și să dăm termeni similari: 
Echivalând cu zero
Am aflat recent că dacă mutăm un termen dintr-o ecuație dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, vom obține o ecuație echivalentă cu cea dată.
Ce se întâmplă dacă treci de la o parte la alta nu doar un termen, ci toți termenii? Așa e, în partea în care au fost luați toți termenii, va rămâne zero. Cu alte cuvinte, nu va mai rămâne nimic.
Ca exemplu, luați în considerare ecuația. Să rezolvăm această ecuație ca de obicei - vom grupa termenii care conțin necunoscute într-o parte și vom lăsa termenii numerici fără necunoscute în cealaltă. În continuare, efectuând transformările de identitate cunoscute, găsim valoarea variabilei X
Acum să încercăm să rezolvăm aceeași ecuație echivalând toate componentele sale la zero. Pentru a face acest lucru, mutăm toți termenii din partea dreaptă spre stânga, schimbând semnele:
Să prezentăm termeni similari în partea stângă:
Adăugați 77 pe ambele părți și împărțiți ambele părți la 7
O alternativă la regulile pentru găsirea necunoscutelor
Evident, știind despre transformările identice ale ecuațiilor, nu trebuie să memorați regulile pentru găsirea necunoscutelor.
De exemplu, pentru a găsi necunoscutul într-o ecuație, am împărțit produsul 10 la factorul cunoscut 2
Dar dacă împărțiți ambele părți ale ecuației la 2, rădăcina va fi găsită imediat. În partea stângă a ecuației la numărător factorul 2 și la numitor factorul 2 se va reduce cu 2. Iar partea dreaptă va fi egală cu 5
Am rezolvat ecuații de forma exprimând termenul necunoscut:
Dar puteți folosi transformările identice pe care le-am studiat astăzi. În ecuație, termenul 4 poate fi mutat în partea dreaptă prin schimbarea semnului:
În partea stângă a ecuației, doi doi se vor anula. Partea dreaptă va fi egală cu 2. Prin urmare .
Sau ați putea scădea 4 din ambele părți ale ecuației, apoi veți obține următoarele:
În cazul ecuațiilor de formă, este mai convenabil să se împartă produsul la un factor cunoscut. Să comparăm ambele soluții:
Prima soluție este mult mai scurtă și mai îngrijită. A doua soluție poate fi scurtată semnificativ dacă faci împărțirea în cap.
Cu toate acestea, este necesar să cunoști ambele metode și abia apoi să o folosești pe cea pe care o preferi.
Când există mai multe rădăcini
O ecuație poate avea mai multe rădăcini. De exemplu, ecuația X(x+ 9) = 0 are două rădăcini: 0 și −9.
În Ec. X(x+ 9) = 0 a fost necesar să se găsească o astfel de valoare X la care partea stângă ar fi egală cu zero. Partea stângă a acestei ecuații conține expresiile XȘi (x+9), care sunt factori. Din legile înmulțirii știm că un produs este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero (fie primul factor, fie al doilea).
Adică în ecuație X(x+ 9) = 0 egalitatea se va realiza dacă X va fi egal cu zero sau (x+9) va fi egal cu zero.
X= 0 sau X + 9 = 0
Setând ambele expresii la zero, putem găsi rădăcinile ecuației X(x+ 9) = 0 . Prima rădăcină, după cum se vede din exemplu, a fost găsită imediat. Pentru a găsi a doua rădăcină trebuie să rezolvați ecuația elementară X+ 9 = 0 . Este ușor de ghicit că rădăcina acestei ecuații este −9. Verificarea arată că rădăcina este corectă:
−9 + 9 = 0
Exemplul 2. Rezolvați ecuația
Această ecuație are două rădăcini: 1 și 2. Partea stângă a ecuației este produsul expresiilor ( X− 1) și ( X− 2) . Și produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero (sau factorul ( X− 1) sau factor ( X − 2) ).
Să găsim așa ceva X sub care expresiile ( X− 1) sau ( X− 2) devin zero:
Înlocuim valorile găsite una câte una în ecuația originală și ne asigurăm că pentru aceste valori partea din stânga este egală cu zero:
Când există infinit de rădăcini
O ecuație poate avea infinit de rădăcini. Adică, înlocuind orice număr într-o astfel de ecuație, obținem egalitatea numerică corectă.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația 
Rădăcina acestei ecuații este orice număr. Dacă deschideți parantezele din partea stângă a ecuației și adăugați termeni similari, obțineți egalitatea 14 = 14. Această egalitate va fi obținută pentru orice X
Exemplul 2. Rezolvați ecuația
Rădăcina acestei ecuații este orice număr. Dacă deschideți parantezele din partea stângă a ecuației, obțineți egalitatea 10X + 12 = 10X + 12. Această egalitate va fi obținută pentru orice X
Când nu există rădăcini
De asemenea, se întâmplă ca ecuația să nu aibă deloc soluții, adică să nu aibă rădăcini. De exemplu, ecuația nu are rădăcini, deoarece pentru orice valoare X, partea stângă a ecuației nu va fi egală cu partea dreaptă. De exemplu, să fie . Atunci ecuația va lua următoarea formă
Exemplul 2. Rezolvați ecuația
Să extindem parantezele din partea stângă a egalității:
Să ne uităm la termeni similari:
Vedem că partea stângă nu este egală cu partea dreaptă. Și acesta va fi cazul pentru orice valoare y. De exemplu, lasa y = 3 .
Ecuații de litere
O ecuație poate conține nu numai numere cu variabile, ci și litere.
De exemplu, formula pentru găsirea vitezei este o ecuație literală:
Această ecuație descrie viteza unui corp în timpul mișcării accelerate uniform.
O abilitate utilă este abilitatea de a exprima orice componentă inclusă într-o ecuație de litere. De exemplu, pentru a determina distanța de la o ecuație, trebuie să exprimați variabila s .
Să înmulțim ambele părți ale ecuației cu t
Variabile în partea dreaptă t hai să o tăiem t
În ecuația rezultată, schimbăm părțile din stânga și din dreapta:
Avem o formulă pentru găsirea distanței, pe care am studiat-o mai devreme.
Să încercăm să determinăm timpul din ecuație. Pentru a face acest lucru, trebuie să exprimați variabila t .
Să înmulțim ambele părți ale ecuației cu t
Variabile în partea dreaptă t hai să o tăiem tși rescrie ce ne-a mai rămas:
În ecuația rezultată v×t = sîmpărțiți ambele părți în v
Variabile în stânga v hai să o tăiem vși rescrie ce ne-a mai rămas:
Avem formula pentru determinarea timpului, pe care am studiat-o mai devreme.
Să presupunem că viteza trenului este de 50 km/h
v= 50 km/h
Și distanța este de 100 km
s= 100 km
Atunci ecuația literală va lua următoarea formă
Timpul poate fi găsit din această ecuație. Pentru a face acest lucru, trebuie să fiți capabil să exprimați variabila t. Puteți folosi regula pentru găsirea unui divizor necunoscut, împărțind dividendul la cât și determinând astfel valoarea variabilei t
sau puteți folosi transformări identice. Mai întâi înmulțiți ambele părți ale ecuației cu t
Apoi împărțiți ambele părți la 50
Exemplul 2 X
Scădeți din ambele părți ale ecuației A
Să împărțim ambele părți ale ecuației cu b
a + bx = c, atunci vom avea o soluție gata făcută. Va fi suficient să înlocuiți valorile necesare în el. Acele valori care vor fi înlocuite cu literele a, b, c numit de obicei parametrii. Și ecuații ale formei a + bx = c numit ecuație cu parametri. În funcție de parametri, rădăcina se va schimba.
Să rezolvăm ecuația 2 + 4 X= 10 . Arată ca o ecuație de litere a + bx = c. În loc să efectuăm transformări identice, putem folosi o soluție gata făcută. Să comparăm ambele soluții:
Vedem că a doua soluție este mult mai simplă și mai scurtă.
Pentru o soluție gata făcută, este necesar să faceți o mică remarcă. Parametru b nu trebuie să fie egal cu zero (b ≠ 0), deoarece împărțirea la zero cu este permisă.
Exemplul 3. Este dată o ecuație literală. Exprimați din această ecuație X
Să deschidem parantezele de pe ambele părți ale ecuației
Să folosim transferul de termeni. Parametri care conțin o variabilă X, grupăm în partea stângă a ecuației, iar parametrii liberi de această variabilă - în dreapta.
În partea stângă, scoatem factorul din paranteze X
Să împărțim ambele părți după expresie a−b
În partea stângă, numărătorul și numitorul pot fi reduse cu a−b. Așa se exprimă în final variabila X
Acum, dacă întâlnim o ecuație a formei a(x − c) = b(x + d), atunci vom avea o soluție gata făcută. Va fi suficient să înlocuiți valorile necesare în el.
Să presupunem că ni se dă ecuația 4(x− 3) = 2(X+ 4) . Arată ca o ecuație a(x − c) = b(x + d). Să o rezolvăm în două moduri: folosind transformări identice și folosind o soluție gata făcută:
Pentru comoditate, să o scoatem din ecuație 4(x− 3) = 2(X+ 4) valorile parametrilor A, b, c, d . Acest lucru ne va permite să nu facem o greșeală când înlocuim:
Ca și în exemplul anterior, numitorul de aici nu ar trebui să fie egal cu zero ( a − b ≠ 0) . Dacă întâlnim o ecuație de formă a(x − c) = b(x + d)în care parametrii AȘi b va fi la fel, putem spune fără a o rezolva că această ecuație nu are rădăcini, deoarece diferența dintre numere identice este zero.
De exemplu, ecuația 2(x − 3) = 2(x + 4) este o ecuație a formei a(x − c) = b(x + d). În Ec. 2(x − 3) = 2(x + 4) Opțiuni AȘi b aceeași. Dacă începem să o rezolvăm, vom ajunge la concluzia că partea stângă nu va fi egală cu partea dreaptă:
Exemplul 4. Este dată o ecuație literală. Exprimați din această ecuație X
Să aducem partea stângă a ecuației la un numitor comun:
Să înmulțim ambele părți cu A
Pe partea stângă a X hai să-l scoatem din paranteze
Împărțiți ambele părți la expresia (1 − A)
Ecuații liniare cu o necunoscută
Ecuațiile discutate în această lecție sunt numite ecuații liniare de gradul I cu o necunoscută.
Dacă ecuația este dată de gradul întâi, nu conține diviziune cu necunoscut și, de asemenea, nu conține rădăcini din necunoscut, atunci poate fi numită liniară. Nu am studiat încă puterile și rădăcinile, așa că pentru a nu ne complica viața, vom înțelege cuvântul „liniar” drept „simplu”.
Cele mai multe dintre ecuațiile rezolvate în această lecție s-au rezumat în cele din urmă la o ecuație simplă în care trebuia să împărțiți produsul cu un factor cunoscut. De exemplu, aceasta este ecuația 2( X+ 3) = 16 . Să rezolvăm.
Să deschidem parantezele din partea stângă a ecuației, obținem 2 X+ 6 = 16. Să mutăm termenul 6 în partea dreaptă, schimbând semnul. Apoi obținem 2 X= 16 − 6. Calculați partea dreaptă, obținem 2 X= 10. A găsi X, se împarte produsul 10 la factorul cunoscut 2. Prin urmare X = 5.
Ecuația 2( X+ 3) = 16 este liniar. Se reduce la ecuația 2 X= 10, pentru a găsi rădăcina căreia a fost necesar să se împartă produsul cu un factor cunoscut. Aceasta cea mai simpla ecuatie se numeste ecuație liniară de gradul I cu o necunoscută în formă canonică. Cuvântul „canonic” este sinonim cu cuvintele „simplu” sau „normal”.
O ecuație liniară de gradul întâi cu o necunoscută în formă canonică se numește ecuație de formă ax = b.
Ecuația noastră rezultată 2 X= 10 este o ecuație liniară de gradul I cu o necunoscută în formă canonică. Această ecuație are gradul I, una necunoscută, nu conține împărțirea la necunoscut și nu conține rădăcini din necunoscut, și se prezintă sub formă canonică, adică în cea mai simplă formă în care valoarea poate fi ușor determinată. X. În loc de parametri AȘi b ecuația noastră conține numerele 2 și 10. Dar o astfel de ecuație poate conține și alte numere: pozitive, negative sau egale cu zero.
Dacă într-o ecuație liniară A= 0 și b= 0, atunci ecuația are infinit de rădăcini. Într-adevăr, dacă A egal cu zero şi b este egal cu zero, apoi ecuația liniară topor= b va lua forma 0 X= 0 . Pentru orice valoare X partea stângă va fi egală cu partea dreaptă.
Dacă într-o ecuație liniară A= 0 și b≠ 0, atunci ecuația nu are rădăcini. Într-adevăr, dacă A egal cu zero şi b este egal cu un număr care nu este egal cu zero, să spunem numărul 5, apoi ecuația ax = b va lua forma 0 X= 5 . Partea stângă va fi zero, iar partea dreaptă va fi cinci. Și zero nu este egal cu cinci.
Dacă într-o ecuație liniară A≠ 0 și b este egal cu orice număr, atunci ecuația are o rădăcină. Se determină prin împărțirea parametrului b pe parametru A
Într-adevăr, dacă A egal cu un număr care nu este zero, să spunem numărul 3, și b egal cu un anumit număr, să spunem numărul 6, atunci ecuația va lua forma .
De aici.
Există o altă formă de scriere a unei ecuații liniare de gradul întâi cu o necunoscută. Arata cam asa: ax−b= 0 . Aceasta este aceeași ecuație ca ax = b
Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup VKontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții