Escola secundária GBOU nº 149 de São Petersburgo

Resumo da lição

Novikova Olga Nikolaevna

2016

Tema: "Sistema de equações exponenciais e desigualdades".

Lições objetivas:

educacional:

generalizar e consolidar conhecimentos sobre como resolver equações exponenciais e inequações contidas em sistemas de equações e inequações

em desenvolvimento: ativação atividade cognitiva; desenvolvimento de habilidades de autocontrole e autoavaliação, autoanálise de suas atividades.

educacional: formação de habilidades para trabalhar de forma independente; tomar decisões e tirar conclusões; educação de aspiração à auto-educação e auto-aperfeiçoamento.

Tipo de lição : combinado.

Tipo de aula: aula prática.

Durante as aulas

EU. Organizando o tempo(1 minuto)

Formulação do objetivo para a aula: Generalizar e consolidar conhecimentos sobre como resolver equações exponenciais e inequações contidas em sistemas de equações e inequações com base nas propriedades da função exponencial.

II. Trabalho oral (1 minuto)

Definição de uma equação exponencial.
Métodos de resolução de equações exponenciais.
Algoritmo para resolver inequações exponenciais.

III . Exame trabalho de casa(3 minutos)

Alunos em seus lugares. O professor verifica as respostas e pergunta como resolver equações demonstrativas e desigualdades. №228-231 (ímpar)

EUV. Atualização de conhecimentos básicos. "Chuva de ideias": (3 minutos)

As perguntas são apresentadas em folhas impressas nas carteiras dos alunos "Funções exponenciais, equações, desigualdades" e são oferecidas aos alunos para respostas orais no local.

1. Que função é chamada de exponencial?

2. Qual é o escopo da função y= 0,5x?

3. Qual é o domínio da função exponencial?

4. Qual é o escopo da função y= 0,5x?

5. Que propriedades uma função pode ter?

6. Sob que condição a função exponencial é crescente?

7. Sob que condição a função exponencial está diminuindo?

8. Função exponencial crescente ou decrescente

9. Que equação é chamada de exponencial?

Diagnóstico do nível de formação de competências práticas.

Tarefa 10 anote a solução em cadernos. (7 minutos)

10. Conhecendo as propriedades de uma função exponencial crescente e decrescente, resolva as desigualdades

2 3 < 2 X ;
; 3 X < 81 ; 3 X < 3 4

11 . Resolva a equação: 3 x = 1

12 . Calcule 7,8 0 ; 9,8 0

13 . Especifique um método para resolver equações exponenciais e resolva-o:

Após a conclusão, os pares mudam de folha. Eu aprecio um ao outro. Critérios no quadro. Verificação de registros em folhas em um arquivo.

Assim, repetimos as propriedades da função exponencial, métodos para resolver equações exponenciais.

O professor seleciona e avalia seletivamente o trabalho de 2-3 alunos.

Workshop de Soluções sistemas equações exponenciais e desigualdades: (23 minutos)

Considere a solução de sistemas de equações exponenciais e desigualdades com base nas propriedades da função exponencial.

Ao resolver sistemas de equações e desigualdades exponenciais, as mesmas técnicas são usadas para resolver sistemas de equações e desigualdades algébricas (método de substituição, método de adição, método de introdução de novas variáveis). Em muitos casos, antes de aplicar um ou outro método de solução, é necessário transformar cada equação (desigualdade) do sistema na forma mais simples possível.

Exemplos.

1.

Solução:

Responda: (-7; 3); (1; -1).

2.

Solução:

Denote 2 X= você, 3 y= v. Então o sistema será escrito assim:

Vamos resolver este sistema usando o método de substituição:

Equação 2 X= -2 não tem soluções, porque -2<0, а 2 X> 0.

b)

Responda: (2;1).

№244(1)

Resposta: 1,5; 2

Resumindo. Reflexão. (5 minutos)

Resumo da lição: Hoje repetimos e resumimos o conhecimento de métodos para resolver equações exponenciais e desigualdades contidas em sistemas baseados nas propriedades da função exponencial.

As crianças, por sua vez, são convidadas a tomar as seguintes frases para escolher e continuar a frase.

Reflexão:

hoje eu descobri...

foi difícil…

Eu entendi aquilo…

Eu aprendi...

Eu pudesse)…

Foi interessante saber disso...

me surpreendeu...

Eu queria…

Trabalho de casa. (2 minutos)

Nº 240-242 (ímpar) p.86

Nesta lição, consideraremos a solução de equações exponenciais mais complexas, relembrando as principais provisões teóricas sobre a função exponencial.

1. Definição e propriedades de uma função exponencial, uma técnica para resolver as equações exponenciais mais simples

Lembre-se da definição e das principais propriedades de uma função exponencial. É nas propriedades que se baseia a solução de todas as equações e desigualdades exponenciais.

Função exponencialé uma função da forma , onde a base é o grau e Aqui x é uma variável independente, um argumento; y - variável dependente, função.

Arroz. 1. Gráfico da função exponencial

O gráfico mostra um expoente crescente e decrescente, ilustrando a função exponencial em uma base maior que um e menor que um, mas maior que zero, respectivamente.

Ambas as curvas passam pelo ponto (0;1)

Propriedades da função exponencial:

Domínio: ;

Faixa de valores: ;

A função é monótona, aumenta à medida que , diminui à medida que .

Uma função monotônica recebe cada um de seus valores com um único valor do argumento.

Quando o argumento aumenta de menos para mais infinito, a função aumenta de zero, inclusive, para mais infinito. Pelo contrário, quando o argumento aumenta de menos para mais infinito, a função diminui de infinito para zero, inclusive.

2. Solução de equações exponenciais típicas

Lembre-se de como resolver as equações exponenciais mais simples. Sua solução é baseada na monotonicidade da função exponencial. Quase todas as equações exponenciais complexas são reduzidas a tais equações.

A igualdade de expoentes com bases iguais deve-se à propriedade da função exponencial, nomeadamente a sua monotonicidade.

Método de solução:

Equalizar as bases dos graus;

Equacionar expoentes.

Vamos passar para equações exponenciais mais complexas, nosso objetivo é reduzir cada uma delas ao mais simples.

Vamos nos livrar da raiz do lado esquerdo e reduzir os graus para a mesma base:

Para reduzir uma equação exponencial complexa a uma simples, uma mudança de variáveis ​​é frequentemente usada.

Vamos usar a propriedade de grau:

Apresentamos um substituto. Vamos então

Multiplicamos a equação resultante por dois e transferimos todos os termos para o lado esquerdo:

A primeira raiz não satisfaz o intervalo de valores de y, nós a descartamos. Nós temos:

Vamos trazer os graus para o mesmo indicador:

Apresentamos uma substituição:

Vamos então . Com esta substituição, é óbvio que y assume valores estritamente positivos. Nós temos:

Sabemos como resolver equações quadráticas semelhantes, escrevemos a resposta:

Para ter certeza de que as raízes foram encontradas corretamente, você pode verificar de acordo com o teorema de Vieta, ou seja, encontrar a soma das raízes e seu produto e verificar com os coeficientes correspondentes da equação.

Nós temos:

3. Técnica para resolver equações exponenciais homogêneas de segundo grau

Vamos estudar o seguinte tipo importante de equações exponenciais:

Equações desse tipo são chamadas de homogêneas de segundo grau em relação às funções f e g. Em seu lado esquerdo há um trinômio quadrado em relação a f com parâmetro g ou um trinômio quadrado em relação a g com parâmetro f.

Método de solução:

Essa equação pode ser resolvida como quadrática, mas é mais fácil fazer o contrário. Dois casos devem ser considerados:

No primeiro caso, obtemos

No segundo caso, temos o direito de dividir pelo grau mais alto e obtemos:

Você deve introduzir uma mudança de variáveis, obtemos uma equação quadrática para y:

Observe que as funções f e g podem ser arbitrárias, mas estamos interessados ​​no caso em que são funções exponenciais.

4. Exemplos de resolução de equações homogêneas

Vamos mover todos os termos para o lado esquerdo da equação:

Como as funções exponenciais adquirem valores estritamente positivos, temos o direito de dividir imediatamente a equação por , sem considerar o caso em que:

Nós temos:

Apresentamos uma substituição: (de acordo com as propriedades da função exponencial)

Temos uma equação quadrática:

Determinamos as raízes de acordo com o teorema de Vieta:

A primeira raiz não satisfaz o intervalo de valores de y, nós a descartamos, temos:

Vamos usar as propriedades do grau e reduzir todos os graus a bases simples:

É fácil notar as funções f e g:

Formas de resolver sistemas de equações

Para começar, vamos relembrar brevemente quais métodos de resolução de sistemas de equações geralmente existem.

Existir quatro maneiras principais soluções de sistemas de equações:

Método de substituição: pegue qualquer uma dessas equações e expresse $y$ em termos de $x$, então $y$ é substituído na equação do sistema, de onde a variável $x.$ é encontrada. calcule a variável $y.$

Método de adição: neste método, uma ou ambas as equações devem ser multiplicadas por números de tal forma que quando ambas são somadas, uma das variáveis ​​“desaparece”.

Método gráfico: ambas as equações do sistema são representadas em plano coordenado e encontre seu ponto de interseção.

O método de introdução de novas variáveis: neste método, fazemos a substituição de algumas expressões para simplificar o sistema e, em seguida, aplicamos um dos métodos acima.

Sistemas de equações exponenciais

Definição 1

Sistemas de equações que consistem em equações exponenciais são chamados de sistema de equações exponenciais.

Consideraremos a solução de sistemas de equações exponenciais usando exemplos.

Exemplo 1

Resolver um sistema de equações

Imagem 1.

Solução.

Usaremos o primeiro método para resolver este sistema. Primeiro, vamos expressar $y$ na primeira equação em termos de $x$.

Figura 2.

Substitua $y$ na segunda equação:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Responda: $(-4,6)$.

Exemplo 2

Resolver um sistema de equações

Figura 3

Solução.

Este sistema é equivalente ao sistema

Figura 4

Aplicamos o quarto método para resolver equações. Seja $2^x=u\ (u >0)$ e $3^y=v\ (v >0)$, temos:

Figura 5

Resolvemos o sistema resultante pelo método de adição. Vamos adicionar as equações:

\ \

Então, da segunda equação, obtemos que

Voltando à substituição, recebi um novo sistema de equações exponenciais:

Figura 6

Nós temos:

Figura 7

Responda: $(0,1)$.

Sistemas de desigualdades exponenciais

Definição 2

Sistemas de desigualdades que consistem em equações exponenciais são chamados de sistemas de desigualdades exponenciais.

Consideraremos a solução de sistemas de desigualdades exponenciais usando exemplos.

Exemplo 3

Resolva o sistema de inequações

Figura 8

Solução:

Este sistema de desigualdades é equivalente ao sistema

Figura 9

Para resolver a primeira desigualdade, lembre-se do seguinte teorema de equivalência para desigualdades exponenciais:

Teorema 1. A desigualdade $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, onde $a >0,a\ne 1$ é equivalente ao conjunto de dois sistemas

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