Especificando figuras no plano de coordenadas por equações e desigualdades. Definindo figuras no plano coordenado com equações e desigualdades Como representar um conjunto no plano coordenado

Muitas vezes é necessário representar no plano coordenado o conjunto de soluções para uma inequação com duas variáveis. Uma solução para uma desigualdade com duas variáveis ​​é um par de valores dessas variáveis ​​que transforma a desigualdade dada em uma verdadeira desigualdade numérica.

2 anos+ Zx< 6.

Vamos desenhar uma linha reta primeiro. Para fazer isso, escrevemos a desigualdade como uma equação 2 anos+ Zx = 6 e expressar sim Assim, obtemos: y=(6-3x)/2.

Esta linha divide o conjunto de todos os pontos do plano coordenado em pontos acima dele e pontos abaixo dele.

Pegue um meme de cada área posto de controle, por exemplo A (1; 1) e B (1; 3)

As coordenadas do ponto A satisfazem a desigualdade dada 2y + 3x< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Coordenadas do ponto B não satisfaça esta desigualdade 2∙3 + 3∙1< 6.

Como essa desigualdade pode mudar o sinal da reta 2y + Zx = 6, então a desigualdade satisfaz o conjunto de pontos da área onde está localizado o ponto A. Vamos sombrear essa área.

Assim, descrevemos o conjunto de soluções para a desigualdade 2y + Zx< 6.

Exemplo

Descrevemos o conjunto de soluções para a desigualdade x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 no plano coordenado.

Primeiro, construímos um gráfico da equação x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0. Dividimos a equação do círculo nesta equação: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) \u003d 4, ou (x + 1) 2 + (y - 2) 2 \u003d 2 2.

Esta é a equação de um círculo centrado no ponto 0 (-1; 2) e raio R = 2. Vamos construir este círculo.

Como essa desigualdade é estrita e os pontos do próprio círculo não satisfazem a desigualdade, construímos o círculo com uma linha pontilhada.

É fácil verificar que as coordenadas do centro O do círculo não satisfazem esta desigualdade. A expressão x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 muda de sinal no círculo construído. Então a desigualdade é satisfeita por pontos localizados fora do círculo. Esses pontos estão sombreados.

Exemplo

Vamos representar no plano coordenado o conjunto de soluções da inequação

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

Primeiro, construímos um gráfico da equação (y - x 2) (y - x - 3) \u003d 0. É uma parábola y \u003d x 2 e uma linha reta y \u003d x + 3. Construímos essas linhas e observe que a mudança no sinal da expressão (y - x 2) (y - x - 3) ocorre apenas nessas linhas. Para o ponto A (0; 5), determinamos o sinal desta expressão: (5-3) > 0 (ou seja, esta desigualdade não é satisfeita). Agora é fácil marcar o conjunto de pontos para os quais essa desigualdade é satisfeita (essas áreas estão sombreadas).

Algoritmo para Resolver Desigualdades com Duas Variáveis

1. Reduzimos a desigualdade para a forma f (x; y)< 0 (f (х; у) >0; f (x; y) ≤ 0; f (x; y) ≥ 0 ;)

2. Escrevemos a igualdade f (x; y) = 0

3. Reconheça os gráficos registrados no lado esquerdo.

4. Construímos esses gráficos. Se a desigualdade for estrita (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0), então - com traços, se a desigualdade não for estrita (f (x; y) ≤ 0 ou f (x; y) ≥ 0), então - com uma linha sólida.

5. Determine quantas partes dos gráficos são divididas no plano de coordenadas

6. Escolha uma dessas partes posto de controle. Determine o sinal da expressão f (x; y)

7. Organizamos sinais em outras partes do plano, levando em consideração a alternância (como pelo método de intervalos)

8. Selecionamos as peças que precisamos de acordo com o sinal da desigualdade que estamos resolvendo e aplicamos a hachura

Deixe dado equação com duas variáveis ​​F(x; y). Você já aprendeu a resolver essas equações analiticamente. O conjunto de soluções de tais equações também pode ser representado na forma de um gráfico.

O gráfico da equação F(x; y) é o conjunto de pontos do plano coordenado xOy cujas coordenadas satisfazem a equação.

Para plotar uma equação de duas variáveis, primeiro expresse a variável y em termos da variável x na equação.

Certamente você já sabe como construir vários gráficos de equações com duas variáveis: ax + b \u003d c é uma linha reta, yx \u003d k é uma hipérbole, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 é um círculo cujo raio é R, e o centro está no ponto O(a; b).

Exemplo 1

Plote a equação x 2 - 9y 2 = 0.

Solução.

Vamos fatorar o lado esquerdo da equação.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, ou seja, y = x/3 ou y = -x/3.

Resposta: Figura 1.

Um lugar especial é ocupado pela atribuição de figuras no plano por equações contendo o sinal do valor absoluto, sobre as quais nos deteremos em detalhes. Considere os estágios de plotagem de equações da forma |y| = f(x) e |y| = |f(x)|.

A primeira equação é equivalente ao sistema

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) ou y = -f(x).

Ou seja, seu gráfico consiste em gráficos de duas funções: y = f(x) e y = -f(x), onde f(x) ≥ 0.

Para plotar o gráfico da segunda equação, gráficos de duas funções são plotados: y = f(x) ey = -f(x).

Exemplo 2

Plote a equação |y| = 2 + x.

Solução.

A equação dada é equivalente ao sistema

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 ou y = -x - 2.

Construímos um conjunto de pontos.

Resposta: figura 2.

Exemplo 3

Trace a equação |y – x| = 1.

Solução.

Se y ≥ x, então y = x + 1, se y ≤ x, então y = x - 1.

Resposta: figura 3.

Ao construir gráficos de equações contendo uma variável sob o sinal do módulo, é conveniente e racional usar método de área, com base na divisão do plano de coordenadas em partes nas quais cada expressão de submódulo retém seu sinal.

Exemplo 4

Plote a equação x + |x| + y + |y| = 2.

Solução.

Neste exemplo, o sinal de cada expressão de submódulo depende do quadrante de coordenadas.

1) No primeiro quarto de coordenadas x ≥ 0 e y ≥ 0. Após expandir o módulo, a equação dada ficará assim:

2x + 2y = 2, e após simplificação x + y = 1.

2) No segundo trimestre, onde x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) No terceiro trimestre x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) No quarto trimestre, para x ≥ 0 e y< 0 получим, что x = 1.

Vamos plotar esta equação em trimestres.

Resposta: Figura 4.

Exemplo 5

Desenhe um conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem a igualdade |x – 1| + |s – 1| = 1.

Solução.

Os zeros das expressões do submódulo x = 1 e y = 1 dividem o plano coordenado em quatro regiões. Vamos dividir os módulos por região. Vamos colocar isso na forma de uma tabela.

Região	Sinal de expressão do submódulo	A equação resultante depois de expandir o módulo
EU	x ≥ 1 e y ≥ 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
4	x ≥ 1 e y< 1	x – y = 1

Resposta: Figura 5.

No plano de coordenadas, as figuras podem ser especificadas e desigualdades.

Gráfico de desigualdade com duas variáveis ​​é o conjunto de todos os pontos do plano coordenado cujas coordenadas são soluções desta desigualdade.

Considerar algoritmo para construir um modelo para resolver uma desigualdade com duas variáveis:

1. Escreva a equação correspondente à inequação.
2. Plote a equação do passo 1.
3. Escolha um ponto arbitrário em um dos semiplanos. Verifique se as coordenadas do ponto selecionado satisfazem a desigualdade dada.
4. Desenhe graficamente o conjunto de todas as soluções da inequação.

Considere, em primeiro lugar, a desigualdade ax + bx + c > 0. A equação ax + bx + c = 0 define uma linha reta dividindo o plano em dois semiplanos. Em cada um deles, a função f(x) = ax + bx + c é preservadora de sinal. Para determinar esse sinal, basta pegar qualquer ponto pertencente ao semiplano e calcular o valor da função nesse ponto. Se o sinal da função coincidir com o sinal da inequação, então este semiplano será a solução da inequação.

Considere exemplos de soluções gráficas para as desigualdades mais comuns com duas variáveis.

1) ax + bx + c ≥ 0. Figura 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Figura 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Figura 8.

4) y ≥ x2. Figura 9

5) xy ≤ 1. Figura 10.

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Vamos ligar (x, y) par ordenado, e X e no são os componentes deste par. Ao mesmo tempo, consideram que (X 1 no 1 ) = (x 2 .y 2 ), se x 1 = x 2 e no 1 = no 2 .

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Definição 9. O produto cartesiano dos conjuntos A e B é chamado de conjunto A B, cujos elementos são todos pares (x, y) tais que x Ah, você B, ou seja MAS B \u003d ((x, y) / x Ah, você NO).

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Encontre, por exemplo, o produto cartesiano de conjuntos A = (1,3} e B = (2,4,6).

MAS NO= {(1, 2);(1, 4);(1, 6);(3, 2);(3, 4);(3, 6)}.

A operação pela qual um produto cartesiano é encontrado é chamada de multiplicação cartesiana de conjuntos.

A multiplicação cartesiana de conjuntos não tem a propriedade de comutatividade nem a propriedade de associatividade, mas está associada às operações de união e subtração de conjuntos por propriedades distributivas:

para qualquer conjunto A, B, C igualdades ocorrem:

(MAS NO) C = (A A PARTIR DE) (NO A PARTIR DE),

(A\B) A PARTIR DE= (MAS C)\(B A PARTIR DE).

Para uma representação visual do produto cartesiano de conjuntos numéricos, um sistema de coordenadas retangulares é frequentemente usado.

Deixar MAS e NO - conjuntos de números. Então os elementos do produto cartesiano desses conjuntos serão pares de números ordenados. Descrevendo cada par de números como um ponto no plano coordenado, obtemos uma figura que representará visualmente o produto cartesiano de conjuntos MAS e NO.

Vamos representar no plano coordenado o produto cartesiano de conjuntos MAS e NO, E se:

a) UMA = {2, 6}; B ={1,4}, b) A = (2,6}; NO= , dentro) A = ;B =.

No caso a) esses conjuntos são finitos e é possível enumerar os elementos do produto cartesiano.

MAS B ={(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)}. Construímos os eixos coordenados e nos eixos OH marque os elementos do conjunto MAS, e no eixo UO - definir elementos NO. Em seguida, descrevemos cada par de números no conjunto АВ como pontos no plano coordenado (Fig. 7). A figura resultante de quatro pontos representará visualmente o produto cartesiano desses conjuntos MAS e NO.

No caso b) é impossível enumerar todos os elementos do produto cartesiano de conjuntos, porque vários NO- infinito, mas você pode imaginar o processo de formação desse produto cartesiano: em cada par, o primeiro componente ou 2 , ou 6 , e o segundo componente é um número real do intervalo .

Todos os pares cujo primeiro componente é um número 2 , e o segundo executa o valor de 1 antes da 4 inclusive, são representados por pontos de segmento SD, e pares cujo primeiro componente é um número 6 , e o segundo é qualquer número real do intervalo , – pontos de segmento RS (Fig. 8). Assim, no caso b) o produto cartesiano de conjuntos MAS e NO no plano de coordenadas é representado como um segmento SD e RS.

Arroz. 7 Fig. 8 Fig. 9

O caso c) difere do caso b) porque aqui não apenas o conjunto NO, mas também muitos MAS,é por isso, o primeiro componente de pares pertencentes ao conjunto MAS NO,é qualquer número do intervalo . Pontos representando elementos do produto cartesiano de conjuntos MAS e NO, formar um quadrado SVUeu (Fig. 9). Para enfatizar que os elementos do produto cartesiano são representados pelos pontos do quadrado, ele pode ser sombreado.

perguntas do teste

Mostre que a resolução dos seguintes problemas leva à formação de um produto cartesiano de conjuntos:

a) Escreva todas as frações cujo numerador é um número do conjunto A ={3, 4} , e o denominador é um número do conjunto B = (5,6, 7}.

b) Escreva diferentes números de dois dígitos usando números 1, 2, 3, 4.

Prove que para quaisquer conjuntos A, B, C igualdade justa (MAS NO)С = (MAS A PARTIR DE) (NO A PARTIR DE). Ilustre sua satisfatibilidade para conjuntos MAS= {2, 4, 6}, B=(1,3, 5), C = (0, 1).

Que forma os pontos formam no plano de coordenadas se suas coordenadas são elementos do produto cartesiano de conjuntos MAS= (– 3, 3) e NO= R

Determine o produto cartesiano de quais conjuntos MAS e NO mostrado na Figura 10.

Arroz. dez

Exercícios

112. Anote todos os números de dois dígitos cujos dígitos das dezenas pertencem ao conjunto MAS= {1, 3, 5} , e os dígitos das unidades - para o conjunto B = (2,4,6).

113. Escreva todas as frações cujos numeradores são escolhidos do conjunto A=(3,5, 7}, e o denominador é do conjunto B={4, 6, 8}.

114. Escreva tudo frações próprias, cujos numeradores são escolhidos do conjunto A =(3, 5,7), e o denominador é do conjunto B= (4, 6,8}.

115. Os conjuntos são fornecidos P ={1, 2, 3}, K \u003d (a,b}. Encontre todos os produtos cartesianos de conjuntos R Para e K R.

116. Sabe-se que MAS NO= ((1, 2); (3, 2); (1, 4);(3, 4); (1, 6); (3, 6)). Determine de quais elementos os conjuntos consistem MAS e NO.

117. Conjuntos de gravação (MAS NO) A PARTIR DE e MAS (NO A PARTIR DE) transferir vapor , E se MAS=(uma,b}, B = {3}, C={4, 6}

118. Faça conjuntos MAS B, B MAS, E se:

uma )A = (a,b,s),B=(d},

b) UMA = { uma, b}, B =  ,

dentro) A \u003d (t, p,k), B = A,

G) UMA = { x, y, z}, B = { k, n}

119. Sabe-se que MAS B = ((2,3), (2,5), (2,6), (3,3), (3,5), (3,6)). Determine de quais elementos os conjuntos consistem MAS e NO.

120. Encontre o Produto Cartesiano dos Conjuntos A = {5, 9, 4} e NO= {7, 8, 6} e selecione a partir dele um subconjunto de pares em que:

a) o primeiro componente é maior que o segundo; b) o primeiro componente é 5; c) o segundo componente é 7.

121. Liste os elementos que pertencem ao produto cartesiano de conjuntos A, B e A PARTIR DE, E se:

a) A = (2, 3}, B = (7, 8, 9}, A PARTIR DE= {1, 0};

b) A = B= A PARTIR DE= {2, 3};

dentro) MAS= {2, 3}, B = {7, 8, 9}, C = 

122. Desenhe no plano coordenado os elementos do produto cartesiano de conjuntos A e B E se:

a) A \u003d (x / x N,2 < X< 4}, NO= (x/x N, x< 3};

b) A \u003d (x / x R, 2 < х < 4}, В = {х/х  N, x< 3};

dentro) MAS= ; NO= .

123. Todos os elementos do produto cartesiano de dois conjuntos UMA e B são mostrados como pontos em um sistema de coordenadas retangulares. Conjuntos de gravação UMA e NO(Fig. 11).

Arroz. 13

124. Desenhe no plano coordenado os elementos do produto cartesiano dos conjuntos X e Y se:

a) Х=(–1,0, 1,2),S={2, 3,4};

b) Х=(–1,0, 1,2),S=;

dentro) Х = [–1;2],S = {2, 3, 4};

G) X= , S = ;

e) X = [–3; 2], S = ;

e) X = ]–3;2[, S= R;

h) X=(2),S= R;

e) X=R, S = {–3}.

125. As figuras mostradas na fig. 14 são o resultado da imagem no plano de coordenadas do produto cartesiano dos conjuntos X e Y. Especifique esses conjuntos para cada figura.

Arroz. quatorze

126. Descubra qual produto cartesiano de dois conjuntos está representado no plano coordenado como um semiplano. Considere todos os casos.

127. Defina o produto cartesiano do qual dois conjuntos são representados no plano coordenado como um ângulo reto, que é formado quando os eixos coordenados se cruzam.

128. No plano de coordenadas, construa uma linha paralela ao eixo OH e passando pelo ponto R(–2, 3).

129. No plano de coordenadas, construa uma linha paralela ao eixo OS e passando pelo ponto R(–2, 3). Determine o produto cartesiano do qual dois conjuntos são representados no plano coordenado como esta linha reta.

130. No plano coordenado, construa uma faixa delimitada por linhas retas que passam por pontos (–2, 0) e (2, 0) e paralelo ao eixo OS. Descreva o conjunto de pontos pertencentes a esta faixa.

131. Construa um retângulo no plano coordenado, cujos vértices são pontos MAS(–3, 5), NO(–3, 8), A PARTIR DE(7, 5), D (7, 8). Descreva o conjunto de pontos desse retângulo.

132. Construa no plano de coordenadas um conjunto de pontos cujas coordenadas satisfaçam a condição:

a) X R, e= 5;

b) X= –3, no R;

dentro) X R, |y| = 2;

G) | x| = 3, no R;

e) X R, y≥ 4;

e) x  R, y  4;

e) X R, |y| 4;

h) | x|  4, |y| 3 ;

e) |x| ≥1, |y| ≥ 4;

para) |x| ≥ 2, y R.

133. Desenhe os elementos do produto cartesiano de conjuntos no plano coordenado X e S, E se:

a) X = R, S = {3}; b) X = R, S = [–3; 3]; dentro) X = .

134. No plano coordenado, construa uma figura F se

a) F= ((x, y)| x = 2, y R}

b) F= ((x, y) |x R, y = –3);

dentro) F= ((x, y) | x 2, você R};

G) F= ((x, y) | x PARA,y≥ – 3};

e) F= ((x, y) | |x| = 2, y R};

e) F=((x,y) |x R, |y| = 3).

135. Construa um retângulo com vértices em pontos (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). Especifique a propriedade característica dos pontos pertencentes a este retângulo.

136. No plano coordenado, construa retas paralelas ao eixo OX e passando pelos pontos (2, 3) e (2, -1). Defina o produto cartesiano do qual dois conjuntos são exibidos no plano de coordenadas como uma faixa entre as linhas construídas.

137. No plano coordenado, construa linhas paralelas ao eixo OY e passando pelos pontos (2, 3) e (–2, 3). Defina o produto cartesiano do qual dois conjuntos são exibidos no plano de coordenadas como uma faixa entre as linhas construídas.

138. Desenhe um conjunto em um sistema de coordenadas retangulares X S, E se:

a) X = R; S ={ y no R, |no| < 3},

b) X= {x/ x R, |X| > 2}; S= (a/a R, |no| > 4}.

Para este capítulo, o aluno deverá ser capaz de:

Defina conjuntos de diferentes maneiras;

Estabelecer relações entre conjuntos e descrevê-los usando diagramas de Euler-Venn;

Prove a igualdade de dois conjuntos;

Realizar operações em conjuntos e ilustrá-los geometricamente usando diagramas de Euler-Venn;

Divida o conjunto em classes usando uma ou mais propriedades; avaliar a correção da classificação realizada.