Pirâmide. Teoria detalhada

Definição 1. Uma pirâmide é chamada regular se sua base for um polígono regular e o topo de tal pirâmide for projetado no centro de sua base.

Definição 2. Uma pirâmide é chamada de regular se sua base for um polígono regular e sua altura passar pelo centro da base.

Elementos de uma pirâmide regular

  • A altura de uma face lateral desenhada de seu vértice é chamada apótema. Na figura é designado como segmento ON
  • O ponto que liga as arestas laterais e não está no plano da base é chamado topo da pirâmide(O)
  • Triângulos que têm um lado comum com a base e um dos vértices coincidentes com o vértice são chamados faces laterais(AOD, DOC, COB, AOB)
  • O segmento da perpendicular traçada pelo topo da pirâmide até o plano de sua base é chamado de altura da pirâmide(OK)
  • Seção diagonal de uma pirâmide- esta é a seção que passa pelo topo e pela diagonal da base (AOC, BOD)
  • Um polígono que não tem um vértice de pirâmide é chamado a base da pirâmide(ABCD)

Se na base pirâmide correta encontra-se um triângulo, quadrilátero, etc. então se chama triangular regular , quadrangular etc.

Uma pirâmide triangular é um tetraedro - um tetraedro.

Propriedades de uma pirâmide regular

Para resolver problemas, é necessário conhecer as propriedades dos elementos individuais, que geralmente são omitidos na condição, pois acredita-se que o aluno deva saber isso desde o início.

  • costelas laterais são iguais entre eles mesmos
  • apótemas são iguais
  • faces laterais são iguais entre si (ao mesmo tempo, suas áreas, lados e bases são iguais, respectivamente), ou seja, são triângulos iguais
  • todas as faces laterais são triângulos isósceles congruentes
  • em qualquer pirâmide regular, você pode tanto inscrever quanto descrever uma esfera ao seu redor
  • se os centros das esferas inscrita e circunscrita coincidem, então a soma dos ângulos planos no topo da pirâmide é π, e cada um deles é π/n, respectivamente, onde n é o número de lados do polígono de base
  • a área da superfície lateral de uma pirâmide regular é igual à metade do produto do perímetro da base e do apótema
  • um círculo pode ser circunscrito perto da base de uma pirâmide regular (veja também o raio do círculo circunscrito de um triângulo)
  • todas as faces laterais formam ângulos iguais com o plano de base de uma pirâmide regular
  • todas as alturas das faces laterais são iguais entre si

Instruções para resolver problemas. As propriedades listadas acima devem ajudar em uma solução prática. Se você precisar encontrar os ângulos de inclinação das faces, sua superfície, etc., a técnica geral é dividir toda a figura tridimensional em figuras planas separadas e usar suas propriedades para encontrar elementos individuais da pirâmide, pois muitos elementos são comuns a várias figuras.

É necessário quebrar toda a figura tridimensional em elementos separados - triângulos, quadrados, segmentos. Além disso, aplicar o conhecimento do curso de planimetria a elementos individuais, o que simplifica muito a busca da resposta.

Fórmulas para a pirâmide correta

Fórmulas para encontrar volume e área de superfície lateral:

Notação:
V - volume da pirâmide
S - área de base
h - a altura da pirâmide
Sb - área de superfície lateral
a - apótema (não confundir com α)
P - perímetro da base
n - número de lados da base
b - comprimento da costela lateral
α - ângulo plano no topo da pirâmide

Esta fórmula para encontrar o volume pode ser usada só por pirâmide correta:

, Onde

V - volume de uma pirâmide regular
h - a altura da pirâmide regular
n é o número de lados do polígono regular que é a base da pirâmide regular
a - comprimento do lado de um polígono regular

Pirâmide truncada correta

Se desenharmos uma seção paralela à base da pirâmide, o corpo fechado entre esses planos e a superfície lateral é chamado pirâmide truncada. Esta seção para uma pirâmide truncada é uma de suas bases.

A altura da face lateral (que é um trapézio isósceles) é chamada - apótema de uma pirâmide truncada regular.

Uma pirâmide truncada é chamada de correta se a pirâmide da qual foi obtida estiver correta.

  • A distância entre as bases de uma pirâmide truncada é chamada altura da pirâmide truncada
  • Tudo faces de uma pirâmide truncada regular são trapézios isósceles (isósceles)

Notas

Veja também: casos especiais (fórmulas) para uma pirâmide regular:

Como usar os materiais teóricos fornecidos aqui para resolver seu problema:

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  • apótema- a altura da face lateral de uma pirâmide regular, que é desenhada de seu topo (além disso, o apótema é o comprimento da perpendicular, que é abaixado do meio de um polígono regular para 1 de seus lados);
  • faces laterais (ASB, BSC, CSD, DSA) - triângulos que convergem no topo;
  • costelas laterais ( COMO , BS , CS , D.S. ) - lados comuns das faces laterais;
  • topo da pirâmide (v. S) - um ponto que liga as arestas laterais e que não se encontra no plano da base;
  • altura ( ASSIM ) - um segmento da perpendicular, que é desenhado através do topo da pirâmide até o plano de sua base (as extremidades de tal segmento serão o topo da pirâmide e a base da perpendicular);
  • seção diagonal de uma pirâmide- seção da pirâmide, que passa pelo topo e pela diagonal da base;
  • base (ABCD) é um polígono ao qual o topo da pirâmide não pertence.

propriedades da pirâmide.

1. Quando todas as bordas laterais tiverem o mesmo tamanho, então:

  • perto da base da pirâmide é fácil descrever um círculo, enquanto o topo da pirâmide será projetado no centro desse círculo;
  • as nervuras laterais formam ângulos iguais com o plano de base;
  • além disso, a recíproca também é verdadeira, ou seja. quando as arestas laterais formam ângulos iguais com o plano de base, ou quando um círculo pode ser descrito perto da base da pirâmide e o topo da pirâmide for projetado no centro desse círculo, então todas as arestas laterais da pirâmide têm o mesmo tamanho.

2. Quando as faces laterais tiverem um ângulo de inclinação em relação ao plano da base de mesmo valor, então:

  • perto da base da pirâmide, é fácil descrever um círculo, enquanto o topo da pirâmide será projetado no centro desse círculo;
  • as alturas das faces laterais são de igual comprimento;
  • a área da superfície lateral é ½ do produto do perímetro da base e a altura da face lateral.

3. Uma esfera pode ser descrita perto da pirâmide se a base da pirâmide for um polígono em torno do qual um círculo pode ser descrito (uma condição necessária e suficiente). O centro da esfera será o ponto de intersecção dos planos que passam pelos pontos médios das arestas da pirâmide perpendiculares a eles. A partir deste teorema concluímos que uma esfera pode ser descrita tanto em torno de qualquer pirâmide triangular quanto em torno de qualquer pirâmide regular.

4. Uma esfera pode ser inscrita em uma pirâmide se as bissetrizes dos ângulos diedros internos da pirâmide se cruzam no 1º ponto (condição necessária e suficiente). Este ponto se tornará o centro da esfera.

A pirâmide mais simples.

De acordo com o número de cantos da base da pirâmide, eles são divididos em triangulares, quadrangulares e assim por diante.

A pirâmide vai triangular, quadrangular, e assim por diante, quando a base da pirâmide é um triângulo, um quadrilátero e assim por diante. Uma pirâmide triangular é um tetraedro - um tetraedro. Quadrangular - pentaedro e assim por diante.