Fórmulas trigonométricas como resolver. Equações trigonométricas - fórmulas, soluções, exemplos

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Uma igualdade contendo uma incógnita sob o sinal de uma função trigonométrica (`sin x, cos x, tan x` ou `ctg x`) é chamada de equação trigonométrica, e são suas fórmulas que consideraremos mais adiante.

As equações mais simples são `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, onde `x` é o ângulo a ser encontrado, `a` é qualquer número. Vamos escrever as fórmulas raiz de cada um deles.

1. Equação `sen x=a`.

Para `|a|>1` não tem soluções.

Quando `|a| \leq 1` tem um número infinito de soluções.

Fórmula raiz: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Equação `cos x=a`

Para `|a|>1` - como no caso do seno, não possui soluções entre números reais.

Quando `|a| \leq 1` tem um número infinito de soluções.

Fórmula raiz: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Casos especiais para seno e cosseno em gráficos.

3. Equação `tg x=a`

Possui um número infinito de soluções para quaisquer valores de `a`.

Fórmula raiz: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Equação `ctg x=a`

Também possui um número infinito de soluções para quaisquer valores de `a`.

Fórmula raiz: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Fórmulas para as raízes das equações trigonométricas na tabela

Para seno:
Para cosseno:
Para tangente e cotangente:
Fórmulas para resolver equações contendo funções trigonométricas inversas:

Métodos para resolver equações trigonométricas

A resolução de qualquer equação trigonométrica consiste em duas etapas:

• com a ajuda de transformá-lo no mais simples;
• resolva a equação mais simples obtida usando as fórmulas de raiz e tabelas escritas acima.

Vejamos os principais métodos de solução usando exemplos.

Método algébrico.

Este método envolve substituir uma variável e substituí-la em uma igualdade.

Exemplo. Resolva a equação: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

faça uma substituição: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, então `2y^2-3y+1=0`,

encontramos as raízes: `y_1=1, y_2=1/2`, das quais seguem dois casos:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac\pi 6+2\pi n`.

Resposta: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Fatoração.

Exemplo. Resolva a equação: `sen x+cos x=1`.

Solução. Vamos mover todos os termos da igualdade para a esquerda: `sen x+cos x-1=0`. Usando , transformamos e fatoramos o lado esquerdo:

`sen x — 2sen^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sen x/2 (cos x/2-sen x/2)=0`,

1. `sen x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Resposta: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redução a uma equação homogênea

Primeiro, você precisa reduzir esta equação trigonométrica a uma das duas formas:

`a sen x+b cos x=0` (equação homogênea de primeiro grau) ou `a sen^2 x + b sen x cos x +c cos^2 x=0` (equação homogênea de segundo grau).

Em seguida, divida ambas as partes por `cos x \ne 0` - para o primeiro caso, e por `cos^2 x \ne 0` - para o segundo. Obtemos equações para `tg x`: `a tg x+b=0` e `a tg^2 x + b tg x +c =0`, que precisam ser resolvidas usando métodos conhecidos.

Exemplo. Resolva a equação: `2 sen^2 x+sen x cos x - cos^2 x=1`.

Solução. Vamos escrever o lado direito como `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sen^2 x+sen x cos x — cos^2 x=` `sen^2 x+cos^2 x`,

`2 sen ^ 2 x + sen x cos x - cos ^ 2 x -` ` sen ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sen^2 x+sen x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Esta é uma equação trigonométrica homogênea de segundo grau, dividimos seus lados esquerdo e direito por `cos^2 x \ne 0`, obtemos:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. Vamos introduzir a substituição `tg x=t`, resultando em `t^2 + t - 2=0`. As raízes desta equação são `t_1=-2` e `t_2=1`. Então:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Responder. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Movendo para meio ângulo

Exemplo. Resolva a equação: `11 sen x - 2 cos x = 10`.

Solução. Vamos aplicar as fórmulas de ângulo duplo, resultando em: `22 sen (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sen^2 x/2=` `10 sen^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Aplicando o método algébrico descrito acima, obtemos:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Responder. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introdução do ângulo auxiliar

Na equação trigonométrica `a sin x + b cos x =c`, onde a,b,c são coeficientes e x é uma variável, divida ambos os lados por `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Os coeficientes do lado esquerdo têm as propriedades de seno e cosseno, ou seja, a soma dos seus quadrados é igual a 1 e os seus módulos não são maiores que 1. Vamos denotá-los da seguinte forma: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, então:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Vamos dar uma olhada mais de perto no seguinte exemplo:

Exemplo. Resolva a equação: `3 sen x+4 cos x=2`.

Solução. Divida ambos os lados da igualdade por `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, obtemos:

`\frac (3 sen x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2))`

`3/5 sen x+4/5 cos x=2/5`.

Vamos denotar `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Como `\varphi=arcsin 4/5`, `cos \varphi>0`, então tomamos `\varphi=arcsin 4/5` como um ângulo auxiliar. Então escrevemos nossa igualdade na forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Aplicando a fórmula da soma dos ângulos do seno, escrevemos nossa igualdade na seguinte forma:

`pecado (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arco seno 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arco seno 2/5-` `arco seno 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Responder. `x=(-1)^n arco seno 2/5-` `arco seno 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Equações trigonométricas racionais fracionárias

Estas são igualdades com frações cujos numeradores e denominadores contêm funções trigonométricas.

Exemplo. Resolva a equação. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Solução. Multiplique e divida o lado direito da igualdade por `(1+cos x)`. Como resultado obtemos:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sen x)(1+cos x)=` `\frac (sen^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sen x)(1+cos x)-` `\frac (sen^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Considerando que o denominador não pode ser igual a zero, obtemos `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Vamos igualar o numerador da fração a zero: `sen x-sin^2 x=0`, `sen x(1-sin x)=0`. Então `sen x=0` ou `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Dado que ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, as soluções são `x=2\pi n, n \in Z` e `x=\pi /2+2\pi n` , `n\em Z`.

Responder. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

A trigonometria, e as equações trigonométricas em particular, são usadas em quase todas as áreas da geometria, física e engenharia. O estudo começa no 10º ano, sempre há tarefas para o Exame Estadual Unificado, então tente se lembrar de todas as fórmulas das equações trigonométricas - elas com certeza serão úteis para você!

Porém, você nem precisa memorizá-los, o principal é entender a essência e poder derivá-la. Não é tão difícil quanto parece. Veja você mesmo assistindo ao vídeo.

Ao resolver muitos problemas matemáticos, especialmente aquelas que ocorrem antes da 10ª série, a ordem das ações realizadas que levarão ao objetivo está claramente definida. Tais problemas incluem, por exemplo, equações lineares e quadráticas, desigualdades lineares e quadráticas, equações fracionárias e equações que se reduzem a quadráticas. O princípio para resolver com sucesso cada um dos problemas mencionados é o seguinte: você precisa estabelecer que tipo de problema você está resolvendo, lembrar a sequência necessária de ações que levarão ao resultado desejado, ou seja, responda e siga estes passos.

É óbvio que o sucesso ou o fracasso na resolução de um determinado problema depende principalmente de quão corretamente é determinado o tipo de equação a ser resolvida, de quão corretamente é reproduzida a sequência de todas as etapas de sua solução. Claro, neste caso é necessário ter habilidades para realizar transformações e cálculos idênticos.

A situação é diferente com equações trigonométricas. Não é nada difícil estabelecer o fato de que a equação é trigonométrica. Surgem dificuldades na determinação da sequência de ações que levaria à resposta correta.

Às vezes é difícil determinar seu tipo com base na aparência de uma equação. E sem conhecer o tipo de equação, é quase impossível escolher a correta entre várias dezenas de fórmulas trigonométricas.

Para resolver uma equação trigonométrica, você precisa tentar:

1. trazer todas as funções incluídas na equação para “os mesmos ângulos”;
2. trazer a equação para “funções idênticas”;
3. fatorar o lado esquerdo da equação, etc.

Vamos considerar métodos básicos para resolver equações trigonométricas.

I. Redução às equações trigonométricas mais simples

Diagrama de solução

Passo 1. Expresse uma função trigonométrica em termos de componentes conhecidos.

Passo 2. Encontre o argumento da função usando as fórmulas:

cos x = uma; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

pecado x = uma; x = (-1) n arco seno a + πn, n Є Z.

tan x = uma; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcoctg a + πn, n Є Z.

Etapa 3. Encontre a variável desconhecida.

Exemplo.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solução.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Resposta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Substituição de variável

Diagrama de solução

Passo 1. Reduza a equação à forma algébrica em relação a uma das funções trigonométricas.

Passo 2. Denote a função resultante pela variável t (se necessário, introduza restrições em t).

Etapa 3. Escreva e resolva a equação algébrica resultante.

Passo 4. Faça uma substituição reversa.

Etapa 5. Resolva a equação trigonométrica mais simples.

Exemplo.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Solução.

1) 2(1 – sen 2 (x/2)) – 5 sen (x/2) – 5 = 0;

2pecado 2 (x/2) + 5pecado (x/2) + 3 = 0.

2) Seja sin (x/2) = t, onde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ou e = -3/2, não satisfaz a condição |t| ≤ 1.

4) pecado (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Resposta: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Método de redução de ordem de equação

Diagrama de solução

Passo 1. Substitua esta equação por uma linear, usando a fórmula para reduzir o grau:

sen 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Passo 2. Resolva a equação resultante usando os métodos I e II.

Exemplo.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Solução.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 porque 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Resposta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

4. Equações homogêneas

Diagrama de solução

Passo 1. Reduza esta equação para a forma

a) a sen x + b cos x = 0 (equação homogênea de primeiro grau)

ou para a vista

b) a sen 2 x + b sen x · cos x + c cos 2 x = 0 (equação homogênea de segundo grau).

Passo 2. Divida ambos os lados da equação por

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

e obtenha a equação para tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Etapa 3. Resolva a equação usando métodos conhecidos.

Exemplo.

5sen 2 x + 3sen x cos x – 4 = 0.

Solução.

1) 5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;

5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4sen² x – 4cos 2 x = 0;

sen 2 x + 3sen x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Seja tg x = t, então

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ou t = -4, o que significa

tg x = 1 ou tg x = -4.

Da primeira equação x = π/4 + πn, n Є Z; da segunda equação x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.

Resposta: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Método de transformação de uma equação usando fórmulas trigonométricas

Diagrama de solução

Passo 1. Usando todas as fórmulas trigonométricas possíveis, reduza esta equação a uma equação resolvida pelos métodos I, II, III, IV.

Passo 2. Resolva a equação resultante usando métodos conhecidos.

Exemplo.

sen x + sen 2x + sen 3x = 0.

Solução.

1) (sen x + sen 3x) + sen 2x = 0;

2sen 2x cos x + sen 2x = 0.

2) sen 2x (2cos x + 1) = 0;

sen 2x = 0 ou 2cos x + 1 = 0;

Da primeira equação 2x = π/2 + πn, n Є Z; da segunda equação cos x = -1/2.

Temos x = π/4 + πn/2, n Є Z; da segunda equação x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Como resultado, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Resposta: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

A capacidade e habilidade para resolver equações trigonométricas é muito importante, o seu desenvolvimento exige um esforço significativo, tanto por parte do aluno como por parte do professor.

Muitos problemas de estereometria, física, etc. estão associados à solução de equações trigonométricas.O processo de resolução de tais problemas incorpora muitos dos conhecimentos e habilidades que são adquiridos pelo estudo dos elementos da trigonometria.

As equações trigonométricas ocupam um lugar importante no processo de aprendizagem da matemática e no desenvolvimento pessoal em geral.

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A trigonometria, como ciência, originou-se no Antigo Oriente. As primeiras razões trigonométricas foram derivadas por astrônomos para criar um calendário preciso e orientação pelas estrelas. Esses cálculos relacionados à trigonometria esférica, enquanto em curso escolar estudar as proporções entre lados e ângulos de um triângulo plano.

A trigonometria é um ramo da matemática que trata das propriedades das funções trigonométricas e das relações entre os lados e ângulos dos triângulos.

Durante o apogeu da cultura e da ciência no primeiro milénio dC, o conhecimento espalhou-se do Antigo Oriente para a Grécia. Mas as principais descobertas da trigonometria são mérito dos homens do Califado Árabe. Em particular, o cientista turcomano al-Marazwi introduziu funções como tangente e cotangente e compilou as primeiras tabelas de valores para senos, tangentes e cotangentes. Os conceitos de seno e cosseno foram introduzidos por cientistas indianos. A trigonometria recebeu muita atenção nas obras de grandes figuras da antiguidade como Euclides, Arquimedes e Eratóstenes.

Quantidades básicas de trigonometria

As funções trigonométricas básicas de um argumento numérico são seno, cosseno, tangente e cotangente. Cada um deles possui seu próprio gráfico: seno, cosseno, tangente e cotangente.

As fórmulas para cálculo dos valores dessas quantidades são baseadas no teorema de Pitágoras. A formulação: “As calças pitagóricas são iguais em todas as direções” é mais conhecida pelos escolares, pois a prova é dada usando o exemplo de um triângulo retângulo isósceles.

Seno, cosseno e outras relações estabelecem a relação entre os ângulos agudos e os lados de qualquer triângulo retângulo. Vamos apresentar fórmulas para calcular essas quantidades para o ângulo A e traçar as relações entre funções trigonométricas:

Como você pode ver, tg e ctg são funções inversas. Se imaginarmos a perna a como o produto do sen A e a hipotenusa c, e a perna b como cos A * c, obtemos as seguintes fórmulas para tangente e cotangente:

Círculo trigonométrico

Graficamente, a relação entre as grandezas mencionadas pode ser representada da seguinte forma:

O círculo, neste caso, representa todos os valores possíveis do ângulo α – de 0° a 360°. Como pode ser visto na figura, cada função assume um valor negativo ou positivo dependendo do ângulo. Por exemplo, sen α terá sinal “+” se α pertencer ao 1º e 2º quadrantes do círculo, ou seja, estiver na faixa de 0° a 180°. Para α de 180° a 360° (quartos III e IV), sen α só pode ser um valor negativo.

Vamos tentar construir tabelas trigonométricas para ângulos específicos e descobrir o significado das quantidades.

Valores de α iguais a 30°, 45°, 60°, 90°, 180° e assim por diante são chamados de casos especiais. Os valores das funções trigonométricas para eles são calculados e apresentados na forma de tabelas especiais.

Esses ângulos não foram escolhidos aleatoriamente. A designação π nas tabelas é para radianos. Rad é o ângulo no qual o comprimento do arco de um círculo corresponde ao seu raio. Este valor foi introduzido para estabelecer uma dependência universal, no cálculo em radianos não importa o comprimento real do raio em cm.

Os ângulos nas tabelas para funções trigonométricas correspondem a valores em radianos:

Portanto, não é difícil adivinhar que 2π é um círculo completo ou 360°.

Propriedades das funções trigonométricas: seno e cosseno

Para considerar e comparar as propriedades básicas de seno e cosseno, tangente e cotangente, é necessário traçar suas funções. Isso pode ser feito na forma de uma curva localizada em um sistema de coordenadas bidimensional.

Considere a tabela comparativa de propriedades para seno e cosseno:

Onda senoidal	Cosseno
y = pecado x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sen x = 0, para x = πk, onde k ϵ Z	cos x = 0, para x = π/2 + πk, onde k ϵ Z
sen x = 1, para x = π/2 + 2πk, onde k ϵ Z	cos x = 1, em x = 2πk, onde k ϵ Z
sen x = - 1, em x = 3π/2 + 2πk, onde k ϵ Z	cos x = - 1, para x = π + 2πk, onde k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, ou seja, a função é ímpar	cos (-x) = cos x, ou seja, a função é par
	a função é periódica, o menor período é 2π
sen x › 0, com x pertencente ao 1º e 2º trimestres ou de 0° a 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, com x pertencente aos trimestres I e IV ou de 270° a 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sen x ‹ 0, com x pertencente ao terceiro e quarto trimestres ou de 180° a 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, sendo x pertencente ao 2º e 3º trimestres ou de 90° a 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
aumenta no intervalo [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	aumenta no intervalo [-π + 2πk, 2πk]
diminui em intervalos [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	diminui nos intervalos
derivada (sen x)’ = cos x	derivada (cos x)’ = - sen x

Determinar se uma função é par ou não é muito simples. Basta imaginar um círculo trigonométrico com sinais de grandezas trigonométricas e “dobrar” mentalmente o gráfico em relação ao eixo OX. Se os sinais coincidirem, a função é par, caso contrário, é ímpar.

A introdução dos radianos e a listagem das propriedades básicas das ondas senoidais e cosseno permitem-nos apresentar o seguinte padrão:

É muito fácil verificar se a fórmula está correta. Por exemplo, para x = π/2, o seno é 1, assim como o cosseno de x = 0. A verificação pode ser feita consultando tabelas ou traçando curvas de função para determinados valores.

Propriedades de tangentsóides e cotangentsóides

Os gráficos das funções tangente e cotangente diferem significativamente das funções seno e cosseno. Os valores tg e ctg são recíprocos entre si.

1. Y = bronzeado x.
2. A tangente tende aos valores de y em x = π/2 + πk, mas nunca os atinge.
3. O menor período positivo da tangentóide é π.
4. Tg (- x) = - tg x, ou seja, a função é ímpar.
5. Tg x = 0, para x = πk.
6. A função está aumentando.
7. Tg x › 0, para x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, para x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivada (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Considere a imagem gráfica do cotangentoide abaixo no texto.

Principais propriedades dos cotangentoides:

1. Y = berço x.
2. Ao contrário das funções seno e cosseno, na tangenteide Y pode assumir os valores do conjunto de todos os números reais.
3. O cotangentoide tende aos valores de y em x = πk, mas nunca os atinge.
4. O menor período positivo de um cotangentoide é π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, ou seja, a função é ímpar.
6. Ctg x = 0, para x = π/2 + πk.
7. A função está diminuindo.
8. Ctg x › 0, para x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, para x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivada (ctg x)’ = - 1/sen 2 ⁡x Correto

Conceito de resolução de equações trigonométricas.

• Para resolver uma equação trigonométrica, converta-a em uma ou mais equações trigonométricas básicas. Resolver uma equação trigonométrica se resume, em última análise, a resolver as quatro equações trigonométricas básicas.

Resolvendo equações trigonométricas básicas.

• Existem 4 tipos de equações trigonométricas básicas:
• pecado x = uma; porque x = uma
• tan x = uma; ctg x = a
• Resolver equações trigonométricas básicas envolve observar diferentes posições x no círculo unitário, bem como usar uma tabela de conversão (ou calculadora).
• Exemplo 1. sen x = 0,866. Usando uma tabela de conversão (ou calculadora) você obterá a resposta: x = π/3. O círculo unitário dá outra resposta: 2π/3. Lembre-se: todas as funções trigonométricas são periódicas, ou seja, seus valores se repetem. Por exemplo, a periodicidade de sin x e cos x é 2πn, e a periodicidade de tg x e ​​ctg x é πn. Portanto a resposta é escrita da seguinte forma:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Exemplo 2. cos x = -1/2. Usando uma tabela de conversão (ou calculadora) você obterá a resposta: x = 2π/3. O círculo unitário dá outra resposta: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Exemplo 3. tg (x - π/4) = 0.
• Resposta: x = π/4 + πn.
• Exemplo 4. ctg 2x = 1,732.
• Resposta: x = π/12 + πn.

Transformações usadas na resolução de equações trigonométricas.

• Para transformar equações trigonométricas, são utilizadas transformações algébricas (fatoração, redução de termos homogêneos, etc.) e identidades trigonométricas.
• Exemplo 5: Usando identidades trigonométricas, a equação sin x + sin 2x + sin 3x = 0 é convertida na equação 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Assim, as seguintes equações trigonométricas básicas precisa ser resolvido: cos x = 0; pecado(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Encontrar ângulos usando valores de funções conhecidos.

  • Antes de aprender como resolver equações trigonométricas, você precisa aprender como encontrar ângulos usando valores de funções conhecidos. Isso pode ser feito usando uma tabela de conversão ou calculadora.
  • Exemplo: cos x = 0,732. A calculadora dará a resposta x = 42,95 graus. O círculo unitário fornecerá ângulos adicionais, cujo cosseno também é 0,732.

• Reserve a solução no círculo unitário.

  • Você pode traçar soluções para uma equação trigonométrica no círculo unitário. As soluções para uma equação trigonométrica no círculo unitário são os vértices de um polígono regular.
  • Exemplo: As soluções x = π/3 + πn/2 no círculo unitário representam os vértices do quadrado.
  • Exemplo: As soluções x = π/4 + πn/3 no círculo unitário representam os vértices de um hexágono regular.

• Métodos para resolver equações trigonométricas.

  • Se uma determinada equação trigonométrica contém apenas uma função trigonométrica, resolva essa equação como uma equação trigonométrica básica. Se uma determinada equação inclui duas ou mais funções trigonométricas, existem 2 métodos para resolver tal equação (dependendo da possibilidade de sua transformação).
    • Método 1.
  • Transforme esta equação em uma equação da forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, onde f(x), g(x), h(x) são as equações trigonométricas básicas.
  • Exemplo 6. 2cos x + sen 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Solução. Usando a fórmula de ângulo duplo sen 2x = 2*sen x*cos x, substitua sen 2x.
  • 2cos x + 2*sen x*cos x = 2cos x*(sen x + 1) = 0. Agora resolva as duas equações trigonométricas básicas: cos x = 0 e (sen x + 1) = 0.
  • Exemplo 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Solução: Usando identidades trigonométricas, transforme esta equação em uma equação da forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Agora resolva as duas equações trigonométricas básicas: cos 2x = 0 e (2cos x + 1) = 0.
  • Exemplo 8. sen x - sen 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Solução: Usando identidades trigonométricas, transforme esta equação em uma equação da forma: -cos 2x*(2sen x + 1) = 0. Agora resolva as duas equações trigonométricas básicas: cos 2x = 0 e (2sen x + 1) = 0 .
    • Método 2.
  • Converta a equação trigonométrica dada em uma equação contendo apenas uma função trigonométrica. Em seguida, substitua esta função trigonométrica por alguma desconhecida, por exemplo, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, etc.).
  • Exemplo 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Solução. Nesta equação, substitua (cos^2 x) por (1 - sin^2 x) (de acordo com a identidade). A equação transformada é:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Substitua sen x por t. Agora a equação se parece com: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Esta é uma equação quadrática que tem duas raízes: t1 = -1 e t2 = 9/5. A segunda raiz t2 não satisfaz o intervalo da função (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Exemplo 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Solução. Substitua tg x por t. Reescreva a equação original da seguinte forma: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Agora encontre t e depois encontre x para t = tan x.