Sformułuj definicję ściętego stożka jego elementów. Stożek ścięty

Powierzchnia stożkowa to powierzchnia utworzona przez wszystkie linie proste przechodzące przez każdy punkt danej krzywej i punkt poza krzywą (ryc. 32).

Ta krzywa nazywa się przewodnik , prosty - formowanie , kropka - szczyt powierzchnia stożkowa.

Prosta okrągła powierzchnia stożkowa to powierzchnia utworzona przez wszystkie linie proste przechodzące przez każdy punkt danego okręgu oraz punkt na linii prostej, która jest prostopadła do płaszczyzny okręgu i przechodzi przez jego środek. W dalszej części będziemy krótko nazywać tę powierzchnię powierzchnia stożkowa (ryc. 33).

Stożek (prosty okrągły stożek ) to bryła geometryczna ograniczona powierzchnią stożkową i płaszczyzną równoległą do płaszczyzny okręgu prowadzącego (ryc. 34).


Ryż. 32 Ryc. 33 Ryc. 34

Stożek można uznać za bryłę uzyskaną przez obrót trójkąta prostokątnego wokół osi zawierającej jedną z nóg trójkąta.

Okrąg otaczający stożek nazywa się jego podstawa . Nazywa się wierzchołek powierzchni stożkowej szczyt stożek Nazywa się odcinek łączący wierzchołek stożka ze środkiem jego podstawy wysokość stożek Segmenty tworzące powierzchnię stożkową nazywane są formowanie stożek Oś stożka to linia prosta przechodząca przez wierzchołek stożka i środek jego podstawy. Sekcja osiowa zwany odcinkiem przechodzącym przez oś stożka. Zagospodarowanie powierzchni bocznej Stożek nazywa się sektorem, którego promień jest równy długości tworzącej stożka, a długość łuku sektora jest równa obwodowi podstawy stożka.

Prawidłowe wzory na stożek to:

Gdzie R– promień podstawy;

H- wysokość;

l– długość tworzącej;

Baza S– powierzchnia podstawy;

Strona S

Pełny

V– objętość stożka.

Ścięty stożek nazywana częścią stożka zamkniętą między podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy stożka (ryc. 35).


Stożek ścięty można uznać za bryłę uzyskaną przez obrót prostokątnego trapezu wokół osi zawierającej bok trapezu prostopadły do ​​podstaw.

Dwa koła otaczające stożek nazywane są jego powodów . Wysokość ściętego stożka to odległość między jego podstawami. Nazywa się segmenty tworzące powierzchnię stożkową ściętego stożka formowanie . Nazywa się prostą przechodzącą przez środki podstaw oś ścięty stożek. Sekcja osiowa nazywany przekrojem przechodzącym przez oś ściętego stożka.

W przypadku stożka ściętego prawidłowe wzory to:

(8)

Gdzie R– promień podstawy dolnej;

R– promień podstawy górnej;

H– wysokość, l – długość tworzącej;

Strona S– powierzchnia boczna;

Pełny– powierzchnia całkowita;

V– objętość ściętego stożka.

Przykład 1. Przekrój stożka równoległy do ​​podstawy dzieli wysokość w stosunku 1:3, licząc od góry. Znajdź pole powierzchni bocznej ściętego stożka, jeśli promień podstawy i wysokość stożka wynoszą 9 cm i 12 cm.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 36).

Aby obliczyć pole powierzchni bocznej stożka ściętego, używamy wzoru (8). Znajdźmy promienie podstaw Około 1 A I Około 1 V i formowanie AB.

Rozważ podobne trójkąty SO2B I TAK 1 A, wówczas współczynnik podobieństwa

Stąd

Od tego czasu

Pole powierzchni bocznej ściętego stożka jest równe:

Odpowiedź: .

Przykład 2.Ćwierć okręgu o promieniu złożono w stożkową powierzchnię. Znajdź promień podstawy i wysokość stożka.

Rozwiązanie. Kwadrant koła to rozwinięcie powierzchni bocznej stożka. Oznaczmy R– promień podstawy, H - wysokość. Obliczmy pole powierzchni bocznej korzystając ze wzoru: . Jest równy obszarowi ćwierćkola: . Otrzymujemy równanie z dwiema niewiadomymi R I l(tworząc stożek). W tym przypadku tworząca jest równa promieniowi ćwiartki koła R, co oznacza, że ​​otrzymujemy następujące równanie: , skąd Znając promień podstawy i generator, znajdujemy wysokość stożka:

Odpowiedź: 2 cm, .

Przykład 3. Prostokątny trapez o kącie ostrym 45 O, mniejszej podstawie 3 cm i nachylonym boku równym , obraca się wokół boku prostopadłego do podstaw. Znajdź objętość powstałego ciała obrotowego.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 37).

W wyniku obrotu otrzymujemy ścięty stożek, aby znaleźć jego objętość, obliczamy promień większej podstawy i wysokość. W trapezie O 1 O 2 AB przeprowadzimy AC^O 1 B. B mamy: oznacza to, że ten trójkąt jest równoramienny AC=PNE.=3cm.

Odpowiedź:

Przykład 4. Trójkąt o bokach 13 cm, 37 cm i 40 cm obraca się wokół osi zewnętrznej, równoległej do większego boku i oddalonej od niego o 3 cm (oś leży w płaszczyźnie trójkąta). Znajdź pole powierzchni powstałego ciała obrotowego.

Rozwiązanie . Zróbmy rysunek (ryc. 38).

Powierzchnia powstałego korpusu obrotowego składa się z powierzchni bocznych dwóch ściętych stożków i powierzchni bocznej cylindra. Aby obliczyć te pola, należy znać promienie podstaw stożków i walca ( BYĆ I OC), tworząc szyszki ( PNE. I AC) i wysokość cylindra ( AB). Jedyną niewiadomą jest WSPÓŁ. jest to odległość od boku trójkąta do osi obrotu. Znajdziemy DC. Pole trójkąta ABC po jednej stronie jest równe iloczynowi połowy boku AB i wysokości do niego narysowanej DC, natomiast znając wszystkie boki trójkąta, obliczamy jego pole ze wzoru Herona.

Wstęp

Ryż. 1. Przedmioty życia, które mają kształt ściętego ko-nu-sa

Jak myślisz, skąd pochodzą nowe figury w geometrii? Wszystko jest bardzo proste: osoba w życiu stała się podobnymi przedmiotami i przychodzi, jakby je wołała. Spójrzmy na szafkę, na której siedzą lwy w cyrku, kawałek marchewki, którą zbiera się, gdy już jesteśmy -jego część, aktywny wulkan i np. światło z fo-na-ri- ka (patrz ryc. 1).

Stożek ścięty, jego elementy i przekrój osiowy

Ryż. 2. Geo-met-ri-che-fi-gu-ry

Widzimy, że wszystkie te figury mają podobny kształt - zarówno od dołu, jak i od góry są ograniczone okręgami, ale zwężają się ku górze (patrz ryc. 2).

Ryż. 3. Z górnej części co-nu-sa

Wygląda jak stożek. Po prostu za mało najwyższej ciszy. W myślach wyobrażamy sobie, że bierzemy stożek i usuwamy z niego górną część jednym zamachem ostrego miecza (patrz ryc. 3).

Ryż. 4. Stożek ścięty

To jest dokładnie nasza figura, nazywa się ją ściętym stożkiem (patrz ryc. 4).

Ryż. 5. Se-che-nie, równolegle-os-no-va-niyu ko-nu-sa

Niech zostanie podany stożek. Stwórzmy płaszczyznę, płaszczyznę równoległą do osi tego co-nu-sa i stożek przecinający (patrz ryc. 5).

Podzieli stożek na dwa ciała: jeden z nich to stożek o mniejszych rozmiarach, a drugi nazywany jest stożkiem ściętym (patrz ryc. 6).

Ryż. 6. Uzyskane ciała w przekroju równoległym

Zatem stożek ścięty jest częścią stożka, połączoną pomiędzy jego głównym korpusem a równoległym głównym korpusem, ale płaską. Podobnie jak w przypadku stożka, stożek ścięty może mieć za podstawę okrąg - w tym przypadku nazywany jest kołem. Jeśli oryginalny stożek był prosty, wówczas stożek ścięty nazywa się prostym. Podobnie jak w przypadku ko-nu-sa-mi, przyjrzymy się klawiszom, ale prostym okrągłym obciętym ko-nu-s sy, jeśli nie jest wyraźnie zaznaczone, że mówimy o pośrednim ściętym co-nu-se lub w jego podstawie nie ma kół.

Ryż. 7. Obrót pułapki prostokątnej

Naszym globalnym tematem są ciała obrotowe. Ścięty stożek nie jest wyjątkiem! Pamiętajmy, że aby otrzymać co-nu-sa, smo-mat-ri-va-li prostokątny trójkąt i obracamy go wokół kat-te-ta? Jeśli powstały stożek zostanie przecięty płaszczyzną równoległą do osi, wówczas z trójkąta -mo-coal-trape-tion nie pozostanie żadna linia prosta. Jego obrót wokół mniejszego boku da nam ścięty stożek. Zauważmy jeszcze raz, że mówimy oczywiście tylko o bezpośrednim co-nu-se kołowym (patrz rys. 7).

Ryż. 8. Os-no-va-niya obcięta-no-go ko-nu-sa

Zrobię kilka przygotowań. Podstawa pół-ko-nu-sa i koła, pół-cha-yu-shay w części mieszkania ko-nu-sa, na- nazywają os-no-va-ni-ya-mi obcięte ko-nu-sa (dolny i górny) (patrz ryc. 8).

Ryż. 9. Ob-ra-zu-yu-schi obcięte ko-nu-sa

Z sadzonek ra-zu-yu-shih połowy co-nu-sa, połączonych pomiędzy os-but-va-ni-mi obciętym-ale-go ko-nu-sa, nazywają about-ra- zu-yu-schi-mi obcięty-no-go ko-nu-sa. Ponieważ wszystkie efekty edukacyjne są równe i wszystkie efekty edukacyjne są takie same, wówczas ob-ra-zu-yu obcięte co-nu-sa są równe (nie mylić obciętego z obciętym!). Stąd wynika równość trakcji osi przekroju (patrz ryc. 9).

Od osi obrotu, zamkniętej w ściętym co-nu-sa, nazywają ją osią ściętej osi ko-nu-sa. To przekrojone ra-zu-me-et-sya jednoczy centra swoich podstaw (patrz ryc. 10).

Ryż. 10. Oś obciętego ko-nu-sa

You-so-ta skrócona ko-nu-sa to per-pen-di-ku-lyar, udowodniona od punktu jednego z os-no-va-niya do innej podstawy. Najczęściej w swojej jakości obcinałeś jej oś.

Ryż. 11. Ose-voe se-che-nie obcięty-no-go-ko-nu-sa

Przekrój osiowy ściętego co-nu-sa to przekrój przechodzący przez jego oś. Ma postać trapezu, nieco później pokażemy jego równość (patrz ryc. 11).

Pola powierzchni bocznej i całkowitej stożka ściętego

Ryż. 12. Stożek z wprowadzonymi symbolami

Znajdźmy obszar bo-co-voy na szczycie ściętego ko-nu-sa. Niech podstawy obciętego co-nu-sa mają promienie i , a ob-ra-zu-yu będą równe (patrz ryc. 12).

Ryż. 13. Oznaczenie ob-ra-zu-yu-shchei z-se-chen-no-th ko-nu-sa

Znajdźmy obszar bo-ko-voy na górze obciętego co-nu-sa jako różnicę w obszarze bo-ko-voys na górze-ale- ste-khod-no-go ko-nu-sa i from-se-chen-no-go. Aby to zrobić, oznaczamy poprzez utworzenie ko-nu-sa (patrz ryc. 13).

Wtedy jest-ko-maj.

Ryż. 14. Podobne trójkąty

Jedyne co ci pozostało to to rozgryźć.

Zauważmy, że od po-do-biy tri-corn-ni-kov, od-do-tak (patrz ryc. 14).

Można by to wyrazić dzieląc to na różnicę promieni, ale nie jest to nam potrzebne, ponieważ w tym przypadku jest to właśnie figu-ri-ru-et pro-iz-ve-de- nie. Podstawiając zamiast tego, ostatecznie mamy: .

Teraz uzyskanie kształtu na całej powierzchni nie jest trudne. Aby to zrobić, dodaj dokładnie pole dwóch okręgów podstaw: .

Zadanie

Ryż. 15. Ilustracja do for-da-che

Niech ścięty stożek będzie obracany wokół jego wysokości za pomocą prostokątnej pułapki. Środkowa linia trapezu jest równa , a większy bok jest równy (patrz ryc. 15). Znajdź obszar bo-co-voy na górze-no-sti obciętego ko-nu-sa.

Rozwiązanie

Ze wzoru wiemy, że .

Utworzenie ko-nu-sa będzie dużą, trwającą sto ro-tra-pe-tą, to znaczy Ra-di-u-sy ko-well-sa – to jest podstawa tra- pe-tion. Nie możemy ich znaleźć. Ale nie potrzebujemy tego: potrzebujemy tylko ich sumy, a suma podstaw trapezu jest dwa razy większa niż jego linia środkowa, to znaczy jest równa . Następnie .

Podobieństwa między ściętymi stożkami i piramidami

Zwróć uwagę, że gdy mówimy o co-nu-se, to rozmawiamy o tym między nim a pi-ra-mi-doy – formuły były analogiczne. Tutaj jest tak samo, bo stożek ścięty jest bardzo podobny do ściętego pi-ra-mi-du, więc wzory na pole są duże i kompletne top-not-stey ściętego ko-nu-sa i pi-ra-mi -dy (a wkrótce pojawią się wzory na objętość) analog-logic-us.

Zadanie

Ryż. 1. Ilustracja-for-da-che

Ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa są równe i , a ob-ra-zu-yu-shchaya jest równe . Znajdź obcięty co-nu-sa i obszar jego osi (patrz ryc. 1).

Które wychodzą z jednego punktu (szczytu stożka) i które przechodzą przez płaską powierzchnię.

Zdarza się, że stożek jest częścią bryły o ograniczonej objętości i powstaje w wyniku połączenia poszczególnych odcinków łączących wierzchołki i punkty płaskiej powierzchni. W tym przypadku to drugie podstawa stożka, i mówi się, że stożek spoczywa na tej podstawie.

Kiedy podstawa stożka jest wielokątem, już nim jest piramida .

Okrągły stożek- jest to bryła składająca się z okręgu (podstawa stożka), punktu nie leżącego w płaszczyźnie tego okręgu (wierzchołek stożka i wszystkie odcinki łączące wierzchołek stożka z punktami stożka) baza).

Odcinki łączące wierzchołek stożka z punktami okręgu podstawowego nazywane są tworząc stożek. Powierzchnia stożka składa się z podstawy i powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej jest prawidłowe N-piramida węglowa wpisana w stożek:

S n =½P n l n,

Gdzie Pn- obwód podstawy piramidy oraz l n- apotem.

Na tej samej zasadzie: dla powierzchni bocznej stożka ściętego o promieniach podstawowych R 1, R2 i formowanie l otrzymujemy następujący wzór:

S=(R1+R2)l.

Proste i ukośne okrągłe stożki o równej podstawie i wysokości. Ciała te mają tę samą objętość:

Właściwości stożka.

  • Gdy pole podstawy ma granicę, oznacza to, że objętość stożka również ma granicę i jest równa trzeciej części iloczynu wysokości i pola podstawy.

Gdzie S- powierzchnia podstawy, H- wysokość.

Zatem każdy stożek spoczywający na tej podstawie i mający wierzchołek położony na płaszczyźnie równoległej do podstawy ma jednakową objętość, ponieważ ich wysokości są takie same.

  • Środek ciężkości każdego stożka o ograniczonej objętości znajduje się w jednej czwartej wysokości od podstawy.
  • Kąt bryłowy w wierzchołku prawego stożka kołowego można wyrazić następującym wzorem:

Gdzie α - kąt otwarcia stożka.

  • Pole powierzchni bocznej takiego stożka, wzór:

oraz pole powierzchni całkowitej (czyli suma pól powierzchni bocznej i podstawy), wzór:

S=πR(l+R),

Gdzie R- promień podstawy, l— długość tworzącej.

  • Objętość stożka kołowego, wzór:

  • W przypadku stożka ściętego (nie tylko prostego lub okrągłego) objętość, wzór:

Gdzie S 1 I S2- powierzchnia podstawy górnej i dolnej,

H I H- odległości od płaszczyzny podstawy górnej i dolnej do góry.

  • Przecięcie płaszczyzny z prawym stożkiem kołowym jest jednym z przekrojów stożkowych.

Geometria to dziedzina matematyki badająca struktury w przestrzeni i relacje między nimi. Z kolei składa się również z sekcji, a jedną z nich jest stereometria. Polega na badaniu właściwości trójwymiarowych figur znajdujących się w przestrzeni: sześcianu, piramidy, kuli, stożka, cylindra itp.

Stożek jest ciałem w przestrzeni euklidesowej ograniczonym stożkową powierzchnią i płaszczyzną, na której leżą końce jego generatorów. Jego powstawanie następuje podczas obrotu trójkąta prostokątnego wokół którejkolwiek z jego nóg, zatem należy do ciał obrotowych.

Składniki stożka

Wyróżnia się następujące rodzaje stożków: ukośne (lub nachylone) i proste. Ukośny to taki, którego oś nie przecina się ze środkiem podstawy pod kątem prostym. Z tego powodu wysokość w takim stożku nie pokrywa się z osią, gdyż jest to odcinek obniżony od góry korpusu do płaszczyzny jego podstawy pod kątem 90°.

Stożek, którego oś jest prostopadła do podstawy, nazywa się prostym. Oś i wysokość w takim geometrycznym korpusie pokrywają się, ponieważ wierzchołek w nim znajduje się powyżej środka średnicy podstawy.

Stożek składa się z następujących elementów:

  1. Okrąg będący jego podstawą.
  2. Powierzchnia boczna.
  3. Punkt nie leżący w płaszczyźnie podstawy, nazywany wierzchołkiem stożka.
  4. Odcinki łączące punkty okręgu podstawy bryły geometrycznej i jej wierzchołka.

Wszystkie te segmenty są generatorami stożka. Są one nachylone do podstawy bryły geometrycznej, a w przypadku stożka prawego ich rzuty są równe, gdyż wierzchołek jest w jednakowej odległości od punktów okręgu podstawy. Możemy zatem stwierdzić, że w zwykłym (prostym) stożku generatory są równe, to znaczy mają tę samą długość i tworzą te same kąty z osią (lub wysokością) i podstawą.

Ponieważ w ukośnym (lub nachylonym) korpusie obrotowym wierzchołek jest przesunięty względem środka płaszczyzny bazowej, generatory w takim korpusie mają różne długości i występy, ponieważ każdy z nich znajduje się w innej odległości od dowolnych dwóch punktów okrąg podstawy. Ponadto kąty między nimi a wysokością stożka również będą różne.

Długość tworzących w prostym stożku

Jak napisano wcześniej, wysokość w prawym geometrycznym korpusie obrotowym jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Zatem tworząca, wysokość i promień podstawy tworzą w stożku trójkąt prostokątny.

Oznacza to, że znając promień podstawy i wysokość, korzystając ze wzoru z twierdzenia Pitagorasa, możesz obliczyć długość tworzącej, która będzie równa sumie kwadratów promienia podstawy i wysokości:

l 2 = r 2 + godz 2 lub l = √ r 2 + godz 2

gdzie l jest generatorem;

r - promień;

h - wysokość.

Generator w nachylonym stożku

Z uwagi na fakt, że w stożku ukośnym lub nachylonym generatory nie mają tej samej długości, nie będzie możliwe ich obliczenie bez dodatkowych konstrukcji i obliczeń.

Przede wszystkim musisz znać wysokość, długość osi i promień podstawy.

r 1 = √ k 2 - godz 2

gdzie r 1 jest częścią promienia między osią a wysokością;

k - długość osi;

h - wysokość.

W wyniku dodania promienia (r) i jego części leżącej pomiędzy osią a wysokością (r 1) można otrzymać kompletną wygenerowaną tworzącą stożka, jego wysokość i część średnicy:

gdzie R jest nogą trójkąta utworzoną przez wysokość, generator i część średnicy podstawy;

r - promień podstawy;

r 1 - część promienia między osią a wysokością.

Korzystając z tego samego wzoru z twierdzenia Pitagorasa, możesz znaleźć długość tworzącej stożka:

l = √h 2 + R 2

lub bez osobnego obliczania R połącz oba wzory w jeden:

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

Niezależnie od tego, czy stożek jest prosty czy ukośny i jakie są dane wejściowe, wszystkie metody wyznaczania długości tworzącej sprowadzają się zawsze do jednego wyniku - zastosowania twierdzenia Pitagorasa.

Sekcja stożkowa

Osiowa to płaszczyzna przechodząca wzdłuż jej osi lub wysokości. W prostym stożku takim przekrojem jest trójkąt równoramienny, w którym wysokość trójkąta jest wysokością ciała, jego boki są generatorami, a podstawa jest średnicą podstawy. W równobocznym korpusie geometrycznym przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym, ponieważ w tym stożku średnica podstawy i generatorów jest równa.

Płaszczyzna przekroju osiowego prostego stożka jest płaszczyzną jego symetrii. Dzieje się tak dlatego, że jego wierzchołek znajduje się powyżej środka podstawy, to znaczy płaszczyzna przekroju osiowego dzieli stożek na dwie identyczne części.

Ponieważ wysokość i oś nie pokrywają się w nachylonym korpusie wolumetrycznym, płaszczyzna przekroju osiowego może nie obejmować wysokości. Jeżeli w takim stożku można skonstruować wiele przekrojów osiowych, gdyż w tym celu musi być spełniony tylko jeden warunek - musi on przechodzić tylko przez oś, wówczas przekrój osiowy płaszczyzny, do której będzie należeć wysokość tego stożka, można narysować tylko jeden, bo liczba warunków wzrasta, a jak wiadomo dwie proste (razem) mogą należeć tylko do jednej płaszczyzny.

Powierzchnia przekroju

Wspomniany wcześniej przekrój osiowy stożka ma kształt trójkąta. Na tej podstawie można obliczyć jego powierzchnię, korzystając ze wzoru na pole trójkąta:

S = 1/2 * d * godz lub S = 1/2 * 2r * godz

gdzie S jest polem przekroju poprzecznego;

d - średnica podstawy;

r - promień;

h - wysokość.

W stożku ukośnym lub nachylonym przekrój wzdłuż osi jest również trójkątem, więc pole przekroju w nim oblicza się w podobny sposób.

Tom

Ponieważ stożek jest trójwymiarową figurą w trójwymiarowej przestrzeni, można obliczyć jego objętość. Objętość stożka to liczba charakteryzująca to ciało w jednostce objętości, czyli w m3. Obliczenia nie zależą od tego, czy są proste, czy ukośne (skośne), ponieważ wzory dla tych dwóch typów ciał nie różnią się.

Jak wspomniano wcześniej, tworzenie prawego stożka następuje w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wzdłuż jednej z jego nóg. Nachylony lub ukośny stożek powstaje inaczej, ponieważ jego wysokość jest przesunięta od środka płaszczyzny podstawy korpusu. Niemniej jednak takie różnice w budowie nie wpływają na sposób obliczania jego objętości.

Obliczanie objętości

Każdy stożek wygląda tak:

V = 1/3 * π * h * r 2

gdzie V jest objętością stożka;

h - wysokość;

r - promień;

π jest stałą równą 3,14.

Aby obliczyć wysokość ciała, należy znać promień podstawy i długość tworzącej. Ponieważ promień, wysokość i generator są połączone w trójkąt prostokątny, wysokość można obliczyć za pomocą wzoru z twierdzenia Pitagorasa (a 2 + b 2 = c 2 lub w naszym przypadku h 2 + r 2 = l 2, gdzie l jest generator). Wysokość zostanie obliczona poprzez pierwiastek kwadratowy z różnicy kwadratów przeciwprostokątnej i drugiej nogi:

za = √c 2 - b 2

Oznacza to, że wysokość stożka będzie równa wartości uzyskanej po pierwiastku kwadratowym różnicy między kwadratem długości tworzącej a kwadratem promienia podstawy:

h = √ l 2 - r 2

Obliczając wysokość tą metodą i znając promień podstawy, można obliczyć objętość stożka. Generator odgrywa w tym przypadku ważną rolę, ponieważ służy jako element pomocniczy w obliczeniach.

Podobnie, jeśli znana jest wysokość ciała i długość jego tworzącej, promień jego podstawy można obliczyć, biorąc pierwiastek kwadratowy z różnicy między kwadratem tworzącej i kwadratem wysokości:

r = √ l 2 - godz 2

Następnie, korzystając z tego samego wzoru, co powyżej, oblicz objętość stożka.

Objętość nachylonego stożka

Ponieważ wzór na objętość stożka jest taki sam dla wszystkich typów ciał obrotowych, różnica w jego obliczaniu polega na poszukiwaniu wysokości.

Aby obliczyć wysokość pochyłego stożka, należy wprowadzić dane wejściowe: długość tworzącej, promień podstawy oraz odległość środka podstawy od punktu przecięcia wysokości bryły z płaszczyzną swojej podstawy. Wiedząc o tym, możesz łatwo obliczyć tę część średnicy podstawy, która będzie podstawą trójkąta prostokątnego (utworzonego przez wysokość, tworzącą i płaszczyznę podstawy). Następnie, ponownie korzystając z twierdzenia Pitagorasa, oblicz wysokość stożka, a następnie jego objętość.

Ryż. 1. Przedmioty życia w kształcie ściętego stożka

Jak myślisz, skąd wzięły się nowe kształty w geometrii? Wszystko jest bardzo proste: człowiek spotyka w życiu podobne przedmioty i wymyśla dla nich nazwę. Weźmy pod uwagę stojak, na którym w cyrku siedzą lwy, kawałek marchewki, który otrzymujemy, gdy przetniemy tylko jej część, aktywny wulkan i np. światło latarki (patrz ryc. 1).

Ryż. 2. Kształty geometryczne

Widzimy, że wszystkie te figury mają podobny kształt - zarówno od dołu, jak i od góry są ograniczone okręgami, ale zwężają się w górę (patrz ryc. 2).

Ryż. 3. Odetnij górę stożka

Wygląda jak stożek. Brakuje tylko góry. Wyobraźmy sobie, że bierzemy stożek i odcinamy od niego górną część jednym zamachem ostrego miecza (patrz ryc. 3).

Ryż. 4. Stożek ścięty

Rezultatem jest dokładnie nasza figura, nazywa się ją ściętym stożkiem (patrz ryc. 4).

Ryż. 5. Przekrój równoległy do ​​podstawy stożka

Niech zostanie podany stożek. Narysujmy płaszczyznę równoległą do płaszczyzny podstawy tego stożka i przecinającą stożek (patrz rys. 5).

Podzieli stożek na dwa ciała: jeden z nich to mniejszy stożek, a drugi nazywany jest stożkiem ściętym (patrz ryc. 6).

Ryż. 6. Powstałe ciała o przekroju równoległym

Zatem stożek ścięty jest częścią stożka zamkniętą pomiędzy jego podstawą a płaszczyzną równoległą do podstawy. Podobnie jak stożek, stożek ścięty może mieć u podstawy okrąg i w takim przypadku nazywany jest kołem. Jeśli oryginalny stożek był prosty, wówczas stożek ścięty nazywa się prostym. Podobnie jak w przypadku szyszek, będziemy rozważać wyłącznie proste okrągłe stożki ścięte, chyba że jest wyraźnie zaznaczone, że mówimy o pośrednim stożku ściętym lub jego podstawy nie są okręgami.

Ryż. 7. Obrót trapezu prostokątnego

Naszym globalnym tematem są ciała rewolucji. Ścięty stożek nie jest wyjątkiem! Pamiętajmy, że aby otrzymać stożek, rozważaliśmy trójkąt prostokątny i obracaliśmy go wokół nogi? Jeśli powstały stożek zostanie przecięty płaszczyzną równoległą do podstawy, wówczas trójkąt pozostanie prostokątnym trapezem. Jego obrót wokół mniejszego boku da nam ścięty stożek. Zauważmy jeszcze raz, że mówimy oczywiście tylko o prostym okrągłym stożku (patrz ryc. 7).

Ryż. 8. Podstawy ściętego stożka

Poczynimy kilka komentarzy. Podstawę pełnego stożka oraz okrąg wynikający z przekroju stożka przez płaszczyznę nazywamy podstawami stożka ściętego (dolną i górną) (patrz ryc. 8).

Ryż. 9. Generatory stożka ściętego

Odcinki generatorów pełnego stożka, zawarte pomiędzy podstawami stożka ściętego, nazywane są generatorami stożka ściętego. Ponieważ wszystkie generatory pierwotnego stożka są równe i wszystkie generatory odciętego stożka są równe, to generatory stożka ściętego są równe (nie mylić odciętego z obciętym!). Oznacza to, że przekrój osiowy trapezu jest równoramienny (patrz ryc. 9).

Odcinek osi obrotu zawarty wewnątrz ściętego stożka nazywany jest osią ściętego stożka. Odcinek ten oczywiście łączy środki swoich podstaw (patrz ryc. 10).

Ryż. 10. Oś ściętego stożka

Wysokość ściętego stożka jest prostopadłą poprowadzoną z punktu jednej z podstaw do drugiej podstawy. Najczęściej za jego oś uważa się wysokość ściętego stożka.

Ryż. 11. Przekrój osiowy stożka ściętego

Przekrój osiowy ściętego stożka to przekrój przechodzący przez jego oś. Ma kształt trapezu; nieco później udowodnimy, że jest to równoramienny (patrz ryc. 11).

Ryż. 12. Stożek z wprowadzonymi oznaczeniami

Znajdźmy obszar powierzchni bocznej ściętego stożka. Niech podstawy ściętego stożka mają promienie i , a tworząca będzie równa (patrz ryc. 12).

Ryż. 13. Oznaczenie tworzącej odciętego stożka

Znajdźmy pole powierzchni bocznej stożka ściętego jako różnicę między polami powierzchni bocznych stożka pierwotnego i odciętego. W tym celu oznaczmy przez tworzącą odcięty stożek (patrz rys. 13).

Zatem to, czego szukasz.

Ryż. 14. Podobne trójkąty

Pozostaje tylko wyrazić.

Zauważ, że z podobieństwa trójkątów, skąd (patrz ryc. 14).

Można by wyrazić , dzieląc przez różnicę promieni, ale nie jest to nam potrzebne, ponieważ szukany przez nas produkt pojawia się w szukanym wyrażeniu. Podstawiając, ostatecznie mamy: .

Teraz łatwo jest uzyskać wzór na powierzchnię całkowitą. Aby to zrobić, wystarczy dodać pole dwóch okręgów podstaw: .

Ryż. 15. Ilustracja problemu

Niech ścięty stożek otrzymamy poprzez obrót prostokątnego trapezu wokół jego wysokości. Linia środkowa trapezu jest równa , a duży bok boczny jest równy (patrz ryc. 15). Znajdź pole powierzchni bocznej powstałego ściętego stożka.

Rozwiązanie

Ze wzoru wiemy, że .

Tworząca stożka będzie większym bokiem pierwotnego trapezu, to znaczy promienie stożka są podstawami trapezu. Nie możemy ich znaleźć. Ale nie potrzebujemy tego: potrzebujemy tylko ich sumy, a suma podstaw trapezu jest dwa razy większa niż jego linia środkowa, to znaczy jest równa . Następnie .

Proszę zwrócić uwagę, że mówiąc o stożku, narysowaliśmy podobieństwa między nim a piramidą - wzory były podobne. Tutaj jest tak samo, bo stożek ścięty jest bardzo podobny do ostrosłupa ściętego, więc wzory na pola powierzchni bocznej i całkowitej stożka ściętego i ostrosłupa (a niedługo będą wzory na objętość) są podobne.

Ryż. 1. Ilustracja problemu

Promienie podstaw ściętego stożka są równe i , a tworząca jest równa . Znajdź wysokość ściętego stożka i pole jego przekroju osiowego (patrz ryc. 1).