Konstruowanie krzywych wzorcowych odbywa się w następujący sposób:

Najpierw wyznaczane są punkty należące do krzywej, a następnie łączone za pomocą wzoru. Krzywe wzorcowe obejmują tzw. przekroje stożkowe paraboli, hiperboli, elipsy uzyskane przez przecięcie stożka kołowego płaszczyzną, ewolwentą, sinusoidą i inne

1. Konstrukcja elipsy.

2. Ognisko elipsy

3. Konstrukcja paraboli

6. Rysowanie krzywych wzorcowych.

Elipsa to przekrój stożkowy należący do tak zwanych krzywych wzorcowych. Elipsę, hiperbolę i parabolę uzyskuje się poprzez przecięcie okrągłego stożka za pomocą płaszczyzny, sinusoidy, ewolwenty i innych krzywych.

Rysunek 41. Przecięcie stożka przez płaszczyznę wzdłuż elipsy (a) i elipsy (b).

Aby skonstruować krzywe wzorcowe (parabola, elipsa, hiperbola) wyznacza się punkty należące do krzywej, a następnie łączy się wszystkie punkty wzorem. W przypadku, gdy powierzchnię okrągłego stożka przecięto płaszczyzną ukośną -P w taki sposób, że płaszczyzna ukośna przecina wszystkie tworzące stożka kołowego, wówczas w samej płaszczyźnie przekroju powstaje elipsa (patrz rysunek 41, a ).

Elipsa jest płaską, zamkniętą krzywą, w której suma odległości każdego z jej punktów – M do dwóch danych punktów F1 i F2 – jest wartością stałą. Ta stała wartość jest równa głównej osi elipsy MF1 + MF2 = AB.Mniejsza oś elipsy CD i główna oś AB są wzajemnie prostopadłe i jedna oś dzieli drugą na pół.

Rysunek 42. Konstrukcja elipsy wzdłuż osi


Zatem osie dzielą krzywą elipsy na cztery parami symetryczne równe części. Jeżeli z końców małej osi CD, podobnie jak ze środków, opiszemy łuk koła o promieniu równym połowie większej osi elipsy R=OA=OB, to przetnie go on w punktach F1 i F2 , które nazywane są ogniskami.

Rysunek 42 przedstawia przykład konstrukcji elipsy wzdłuż jej osi.Na danych osiach AB i CD, podobnie jak na średnicach, konstruujemy dwa koncentryczne okręgi ze środkiem w punkcie O. Duże koło dzielimy na dowolną liczbę części i łączymy powstałe punkty z liniami prostymi do środka O.

Z punktów przecięcia 1; 2; 3; 4; za pomocą okręgów pomocniczych rysujemy odcinki linii poziomych i pionowych, aż przetną się w punktach E, F, K, M, które należą do elipsy. Następnie za pomocą wzoru łączy się skonstruowane punkty gładkiej krzywej, w wyniku czego powstaje elipsa.

Konstrukcja krzywych wzorcowych, paraboli

Rysunek 43. Przecięcie stożka przez płaszczyznę wzdłuż paraboli. Konstruowanie paraboli za pomocą ogniska i kierownicy.

Jeśli przetniesz okrągły stożek równolegle do jednej z jego tworzących płaszczyzną nachyloną P, wówczas w płaszczyźnie przekroju utworzy się parabola (patrz rysunek 43 a) Parabola jest otwartą płaską zakrzywioną linią. Każdy punkt paraboli leży na danej prostej -MN i w tej samej odległości od ogniska -F.

Prosta MN jest prowadnicą i jest położona prostopadle do osi paraboli. Pomiędzy prowadnicą -MN a ogniskiem -F wierzchołek paraboli A znajduje się dokładnie w środku. Aby skonstruować parabolę za pomocą ogniskiem i daną prowadnicą, przez punkt skupienia -F narysuj oś paraboli -X, prowadnicę prostopadłą -MN.

Podziel odcinek-EF na pół i uzyskaj wierzchołek paraboli-A. Od wierzchołka paraboli w dowolnej odległości narysuj linie proste prostopadłe do osi paraboli. Z punktu -F o promieniu równym odległości -L, od odpowiedniej linii prostej do prowadnicy, na przykład CB, tworzymy do tego linię prostą. W tym przypadku punkty C i B.

Po skonstruowaniu w ten sposób kilku par symetrycznych punktów, za pomocą wzoru rysujemy przez nie gładką krzywą. Rysunek (43c) przedstawia przykład konstrukcji paraboli stycznej do dwóch prostych OA i OB w punktach A i B. Odcinki OA i OB dzielimy na taką samą liczbę równych części (np. na osiem). Następnie powstałe punkty podziału są numerowane i łączone liniami prostymi 1-1; 2-2; 3-3 (patrz rysunek 43, c) i tak dalej. Linie te są styczne do krzywej parabolicznej. Następnie w kontur utworzony przez linie proste wpisuje się gładką styczną krzywą paraboli.

Jeśli przetniesz stożek prosty i odwrotny płaszczyzną równoległą do jej dwóch tworzących lub, w konkretnym przypadku, równoległą do osi, wówczas w płaszczyźnie przekroju otrzymasz hiperbolę składającą się z dwóch symetrycznych gałęzi (patrz rysunek 45, a) .

Rysunek 45. Przecięcie stożka przez płaszczyznę wzdłuż hiperboli (a) i konstrukcja hiperboli (b).

Hiperbola (Rysunek 45,b) to płaska krzywa, w której różnica odległości każdego z jej punktów do dwóch danych punktów F1 i F2, zwana ogniskami, jest wartością stałą i równą odległości między jej wierzchołkami a i b, na przykład SF1-SF2=ab. Hiperbola ma dwie osie symetrii – rzeczywistą AB i urojoną CD.

Dwie proste KL i K1 L1 przechodzące przez środek O hiperboli i stykające się z jej ramionami w nieskończoności nazywane są asymptotami. Hiperbolę można zbudować z podanych wierzchołków a i b oraz ognisk F1 i F2. Wierzchołki hiperboli wyznaczamy wpisując prostokąt w okrąg zbudowany na ogniskowej (odcinek F1 i F2), podobnie jak na średnicy.

Na rzeczywistej osi AB na prawo od ogniska F2 zaznaczamy dowolne 1, 2, 3, 4, ... Z ognisk F1 i F2 rysujemy łuki okręgów, najpierw o promieniu a-1, potem b-1 aż wzajemne przecięcie po obu stronach rzeczywistej osi hiperboli. Następnie wykonamy wzajemne przecięcie kolejnych par łuków o promieniach a-2 i b-2 (punkt S) i tak dalej.

Powstałe punkty przecięcia łuków należą do prawej gałęzi hiperboli. Punkty lewej gałęzi będą symetryczne do skonstruowanych punktów względem wyimaginowanej osi CD.

Sinusoida to rzut trajektorii punktu poruszającego się po cylindrycznej linii śrubowej na płaszczyznę równoległą do osi cylindra. Ruch punktu składa się z ruchu jednostajnie obrotowego (wokół osi cylindra) i ruchu jednostajnie translacyjnego (równoległego do cylindra).

Rysunek 46. Konstrukcja sinusoidy

Fala sinusoidalna to płaska krzywa, która pokazuje zmianę funkcji sinusoidalnej trygonometrycznej w zależności od zmiany wielkości kąta. aby skonstruować sinusoidę (Rysunek 46), przez środek O koła o średnicy D narysuj linię prostą OX i na niej wykreśl odcinek O1 A równy długości okręgu π D. Dzielimy ten odcinek i okrąg na taką samą liczbę równych części. Z uzyskanych i ponumerowanych punktów rysujemy wzajemnie prostopadłe linie proste. Połączymy powstałe punkty przecięcia tych linii za pomocą gładkiej krzywej.

Rysowanie krzywych wzorów

Krzywe wzorcowe są konstruowane za pomocą punktów. Punkty te łączy się za pomocą wzorów, najpierw ręcznie rysując krzywą. Zasada łączenia poszczególnych punktów krzywej jest następująca:

Wybieramy tę część łuku wzoru, która najlepiej pokrywa się z największą liczbą punktów zarysowanej krzywej. Następnie nie będziemy rysować całego łuku krzywej pokrywającego się ze wzorem, a jedynie jego środkową część. Następnie wybierzemy kolejną część wzoru, ale tak, aby ta część dotykała w przybliżeniu jednej trzeciej narysowanej krzywej i co najmniej dwóch kolejnych punktów krzywej i tak dalej. Zapewnia to płynne przejście pomiędzy poszczególnymi łukami krzywej.

POLECAMY ponowne opublikowanie artykułu w sieciach społecznościowych!

Budowa elipsy

Elipsa jest zamkniętą płaską krzywą wypukłą, której suma odległości każdego punktu do dwóch danych punktów, zwanych ogniskami, leżących na głównej osi, jest stała i równa długości głównej osi. Konstrukcję owalu wzdłuż dwóch osi (ryc. 23) wykonuje się w następujący sposób:

• - narysuj linie osiowe, na których odcinki AB i CD, równe dużej i małej osi elipsy, są ułożone symetrycznie od punktu przecięcia O;
• - skonstruować dwa okręgi o promieniach równych połowie osi elipsy, których środek znajduje się w punkcie przecięcia osi;
• -podzielić okrąg na dwanaście równych części. Podziału koła dokonuje się jak pokazano w paragrafie 2.3;
• - przez otrzymane punkty przeciągane są promienie średnicy;
• - linie proste rysuje się od punktów przecięcia promieni z odpowiednimi okręgami równoległymi do osi elipsy, aż do przecięcia się w punktach leżących na elipsy;
• - powstałe punkty są połączone gładką zakrzywioną linią za pomocą wzorów. Konstruując linię krzywej wzoru, należy wybrać i ustawić wzór tak, aby połączyć co najmniej cztery do pięciu punktów.

Istnieją inne sposoby konstruowania elipsy.

Konstruowanie paraboli

Parabola to płaska zakrzywiona linia, której każdy punkt jest w równej odległości od kierownicy DD 1 - linii prostej prostopadłej do osi symetrii paraboli i od ogniska F, punktu położonego na osi symetrii. Odległość KF pomiędzy kierownicą a ogniskiem nazywana jest parametrem paraboli P.

Rysunek 24 przedstawia przykład rysowania paraboli wzdłuż wierzchołka O, osi OK i cięciwy CD. Konstrukcja odbywa się w następujący sposób:

• - narysuj poziomą linię prostą, na której zaznaczono wierzchołek O i naniesiono oś OK;
• - przez punkt K narysuj prostopadłą, na której wykreślona jest długość cięciwy paraboli symetrycznie w górę i w dół;
• - skonstruować prostokąt ABCD, w którym jeden bok jest równy osi, a drugi cięciwy paraboli;
• - bok BC dzieli się na kilka równych części, a odcinek KC na taką samą liczbę równych części;
• - z wierzchołka paraboli O promienie są rysowane przez punkty 1, 2 itd. oraz przez punkty 1 1, 2 1 itd.;
• - narysuj linie proste równoległe do osi i określ punkty przecięcia promieni z odpowiednimi liniami równoległymi, na przykład punkt przecięcia promienia O1 z linią prostą O1 1, która należy do paraboli;
• - powstałe punkty są połączone gładką zakrzywioną linią pod wzorem. W podobny sposób zbudowana jest druga gałąź paraboli.

Istnieją inne sposoby konstruowania paraboli.

Jak zbudować parabolę? Istnieje kilka sposobów wykreślenia funkcji kwadratowej. Każdy z nich ma swoje zalety i wady. Rozważmy dwa sposoby.

Zacznijmy od wykreślenia funkcji kwadratowej w postaci y=x²+bx+c i y= -x²+bx+c.

Przykład.

Naszkicuj funkcję y=x²+2x-3.

Rozwiązanie:

y=x²+2x-3 jest funkcją kwadratową. Wykres jest parabolą z gałęziami skierowanymi w górę. Współrzędne wierzchołka paraboli

Z wierzchołka (-1;-4) budujemy wykres paraboli y=x² (jak od początku współrzędnych. Zamiast (0;0) - wierzchołek (-1;-4). Z (-1; -4) idziemy w prawo o 1 jednostkę i w górę o 1 jednostkę, następnie w lewo o 1 i w górę o 1; dalej: 2 - w prawo, 4 - w górę, 2 - w lewo, 4 - w górę; 3 - w prawo, 9 - w górę, 3 - w lewo, 9 - w górę.Jeśli te 7 punktów nie wystarczy, to 4 w prawo, 16 w górę itd.).

Wykres funkcji kwadratowej y= -x²+bx+c jest parabolą, której ramiona są skierowane w dół. Aby skonstruować graf, szukamy współrzędnych wierzchołka i na tej podstawie konstruujemy parabolę y= -x².

Przykład.

Naszkicuj funkcję y= -x²+2x+8.

Rozwiązanie:

y= -x²+2x+8 jest funkcją kwadratową. Wykres jest parabolą z gałęziami skierowanymi w dół. Współrzędne wierzchołka paraboli

Z góry budujemy parabolę y= -x² (1 - w prawo, 1 - w dół; 1 - w lewo, 1 - w dół; 2 - w prawo, 4 - w dół; 2 - w lewo, 4 - w dół itd.):

Ta metoda pozwala szybko zbudować parabolę i nie sprawia trudności, jeśli wiesz, jak wykreślić funkcje y=x² i y= -x². Wada: jeśli współrzędne wierzchołka są liczbami ułamkowymi, zbudowanie wykresu nie jest zbyt wygodne. Jeżeli chcesz poznać dokładne wartości punktów przecięcia wykresu z osią Wółu będziesz musiał dodatkowo rozwiązać równanie x²+bx+c=0 (lub -x²+bx+c=0), nawet jeśli punkty te można bezpośrednio wyznaczyć na podstawie rysunku.

Innym sposobem konstruowania paraboli jest metoda punktowa, czyli można znaleźć na wykresie kilka punktów i przeciągnąć przez nie parabolę (biorąc pod uwagę, że prosta x=xₒ jest jej osią symetrii). Zwykle w tym celu przyjmują wierzchołek paraboli, punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych i 1-2 dodatkowe punkty.

Narysuj wykres funkcji y=x²+5x+4.

Rozwiązanie:

y=x²+5x+4 jest funkcją kwadratową. Wykres jest parabolą z gałęziami skierowanymi w górę. Współrzędne wierzchołka paraboli

oznacza to, że wierzchołkiem paraboli jest punkt (-2,5; -2,25).

Szuka . W punkcie przecięcia z osią Wołu y=0: x²+5x+4=0. Pierwiastki równania kwadratowego x1=-1, x2=-4, czyli mamy dwa punkty na wykresie (-1; 0) i (-4; 0).

W punkcie przecięcia wykresu z osią Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Mamy punkt (0; 4).

Aby rozjaśnić wykres, możesz znaleźć dodatkowy punkt. Weźmy x=1, następnie y=1²+5∙1+4=10, czyli kolejnym punktem na wykresie jest (1; 10). Zaznaczamy te punkty na płaszczyźnie współrzędnych. Biorąc pod uwagę symetrię paraboli względem prostej przechodzącej przez jej wierzchołek, zaznaczamy jeszcze dwa punkty: (-5; 6) i (-6; 10) i rysujemy przez nie parabolę:

Naszkicuj funkcję y= -x²-3x.

Rozwiązanie:

y= -x²-3x jest funkcją kwadratową. Wykres jest parabolą z gałęziami skierowanymi w dół. Współrzędne wierzchołka paraboli

Wierzchołek (-1,5; 2,25) jest pierwszym punktem paraboli.

W punktach przecięcia wykresu z osią x y=0, czyli rozwiązujemy równanie -x²-3x=0. Jego pierwiastki to x=0 i x=-3, czyli (0;0) i (-3;0) - kolejne dwa punkty na wykresie. Punkt (o; 0) jest jednocześnie punktem przecięcia paraboli z osią rzędnych.

Przy x=1 y=-1²-3∙1=-4, czyli (1; -4) to dodatkowy punkt do wykreślenia.

Konstruowanie paraboli z punktów jest metodą bardziej pracochłonną w porównaniu do pierwszej. Jeśli parabola nie przecina osi Wółu, potrzebnych będzie więcej dodatkowych punktów.

Zanim przystąpimy do konstruowania wykresów funkcji kwadratowych postaci y=ax²+bx+c, rozważmy konstrukcję wykresów funkcji za pomocą przekształceń geometrycznych. Najwygodniej jest też konstruować wykresy funkcji w postaci y=x²+c, korzystając z jednego z tych przekształceń – przesunięcia równoległego.

Kategoria: |

Konstruowanie paraboli jest jedną z dobrze znanych operacji matematycznych. Dość często wykorzystuje się go nie tylko do celów naukowych, ale także czysto praktycznych. Dowiedzmy się, jak wykonać tę procedurę, korzystając z narzędzi aplikacji Excel.

Parabola jest wykresem funkcji kwadratowej następującego typu f(x)=topór^2+bx+c. Jedną z jej niezwykłych właściwości jest fakt, że parabola ma postać symetrycznej figury składającej się ze zbioru punktów w jednakowej odległości od kierownicy. Ogólnie rzecz biorąc, konstruowanie paraboli w Excelu niewiele różni się od konstruowania dowolnego innego wykresu w tym programie.

Tworzenie tabeli

Przede wszystkim, zanim zaczniesz budować parabolę, powinieneś zbudować tabelę, na podstawie której zostanie ona utworzona. Weźmy na przykład konstrukcję wykresu funkcji f(x)=2x^2+7.

Rysowanie wykresu

Jak wspomniano powyżej, teraz musimy zbudować sam wykres.

Edytowanie wykresu

Teraz możesz nieznacznie edytować powstały wykres.

Dodatkowo można wykonać dowolną inną edycję powstałej paraboli, łącznie ze zmianą jej nazwy i nazw osi. Powyższe techniki edycji nie wykraczają poza zakres pracy w Excelu z innymi typami diagramów.

Jak widać, konstruowanie paraboli w Excelu nie różni się zasadniczo od konstruowania innego typu wykresu lub diagramu w tym samym programie. Wszystkie czynności wykonywane są w oparciu o wcześniej wygenerowaną tabelę. Ponadto należy wziąć pod uwagę, że diagram punktowy jest najbardziej odpowiedni do konstruowania paraboli.

Elipsa. Jeśli przetniesz powierzchnię okrągłego stożka nachyloną płaszczyzną R tak, że przecina wszystkie swoje generatory, wówczas w płaszczyźnie przekroju uzyskana zostanie elipsa (Rysunek 65).

Rysunek 65

Elipsa(Rysunek 66) – płaska, zamknięta krzywa, w której suma odległości od dowolnego jej punktu (np. od punktu M ) do dwóch podanych punktów F 1 I F 2 – ogniska elipsy – ma stałą wartość równą długości jej głównej osi AB (Na przykład, F1 M + F2M = AB ).Odcinek AB nazywana jest główną osią elipsy i odcinkiem PŁYTA CD - jego małą oś. Osie elipsy przecinają się w punkcie O- środek elipsy, a jego rozmiar określa długość głównej i małej osi. Zwrotnica F 1 I F 2 znajduje się na głównej osi AB symetrycznie względem punktu O i są usuwane z końców osi małej (punkty Z I D ) na odległość równą połowie głównej osi elipsy .

Rysunek 66

Istnieje kilka sposobów konstruowania elipsy. Najłatwiej jest zbudować elipsę wzdłuż jej dwóch osi za pomocą okręgów pomocniczych (Rysunek 67). W tym przypadku określony jest środek elipsy - punkt O i przechodzą przez niego dwie wzajemnie prostopadłe linie proste (ryc. 67, a). Z punktu O opisują dwa okręgi o promieniu równym połowie głównej i mniejszej osi. Duży okrąg jest podzielony na 12 równych części, a punkty podziału są połączone z punktem O . Narysowane linie podzielą również mniejszy okrąg na 12 równych części. Następnie przez punkty podziału mniejszego okręgu rysuje się linie poziome (lub linie proste równoległe do głównej osi elipsy), a przez punkty podziału rysuje się linie pionowe (lub linie proste równoległe do mniejszej osi elipsy) z większego koła. Punkty ich przecięcia (na przykład punkt M ) należą do elipsy. Łącząc powstałe punkty gładką krzywą, uzyskuje się elipsę (ryc. 67, b).

Rysunek 67

Parabola. Jeśli okrągły stożek zostanie przecięty płaszczyzną R , równolegle do jednej z jej tworzących, wówczas w płaszczyźnie przekroju uzyskana zostanie parabola (Rysunek 68).

Rysunek 68

Parabola(Rysunek 69) – krzywa płaska, której każdy punkt znajduje się w tej samej odległości od danej prostej DD 1 , zwany dyrektorka szkoły i punkty F - ognisko paraboli. Na przykład za punkt M segmenty MN (odległość do dyrektora) i M.F. (odległość do ogniskowania) są równe, tj. MN = M.F. .

Parabola ma kształt otwartej krzywej z jedną osią symetrii, która przechodzi przez ognisko paraboli – punkt F i znajduje się prostopadle do reżysera DD 1 .Dokładny A , leżący w środku segmentu Z , zwany wierzchołek paraboli. Odległość od ogniska do kierownicy - segment Z = 2'OA – oznaczony literą R i zadzwoń parametr paraboli. Im większy parametr R , tym gwałtowniej gałęzie paraboli oddalają się od jej osi. Nazywa się odcinek zawarty pomiędzy dwoma punktami paraboli położonymi symetrycznie względem osi paraboli akord(na przykład akord MK ).

Rysunek 69

Konstruowanie paraboli z jej kierownicy DD 1 i ogniska F(Rysunek 70, a) . Przez punkt F narysuj oś paraboli prostopadle do kierownicy, aż przetnie ona kierownicę w punkcie O. Odcinek Z = P podziel na pół i zdobądź punkt A - wierzchołek paraboli. Na osi paraboli punktowej A ułóż kilka stopniowo rosnących sekcji. Przez punkty podziału 1, 2, 3 To. D. narysować linie proste równoległe do kierownicy. Przyjmując ognisko paraboli jako środek, opisują łuki o promieniu R 1 = L 1 1 ,promień R2 = L2 dopóki nie przetnie prostej przechodzącej przez punkt 2 itd. Otrzymane punkty należą do paraboli. Najpierw łączy się je ręcznie cienką, gładką linią, a następnie rysuje wzdłuż wzoru.

Konstrukcja paraboli wzdłuż jej osi, wierzchołka A i punktu pośredniego M(Rysunek 70, b). Przez górę A narysuj linię prostą prostopadłą do osi paraboli i przechodzącą przez ten punkt M - prostą równoległą do osi. Obie linie przecinają się w jednym punkcie B . Segmenty AB I B.M. dzieli się na taką samą liczbę równych części, a punkty podziału numeruje się w kierunkach wskazanych strzałkami. Przez górę A i kropki 1 , 2 , 3 , 4 przewodzą promienie i od punktów I , II , III ,IV – linie proste równoległe do osi paraboli. Na przecięciu prostych oznaczonych tym samym numerem znajdują się punkty należące do paraboli. Obie gałęzie paraboli są takie same, więc drugą gałąź zbudowano symetrycznie do pierwszej za pomocą cięciw.

Rysunek 70

Konstrukcja paraboli stycznej do dwóch prostych OA i OB w podanych na nich punktach A i B(Rysunek 71, b). Segmenty O.A. I OB podzielić na tę samą liczbę równych części (na przykład na 8 części). Powstałe punkty podziału numeruje się, a punkty o tej samej nazwie łączy się liniami prostymi. 1–1 , 2 –2 , 3 –3 itp . D . Linie te są styczne do krzywej parabolicznej. Następnie w kontur utworzony przez linie proste wpisuje się gładką styczną krzywą – parabolę. .

Rysunek 71

Hiperbola. Jeśli przetniesz stożek prosty i odwrotny płaszczyzną równoległą do jej dwóch tworzących lub, w konkretnym przypadku, równoległą do osi, wówczas w płaszczyźnie przekroju otrzymasz hiperbolę składającą się z dwóch symetrycznych gałęzi (ryc. 72, a).

Hiperbola(Rysunek 72, b) nazywa się krzywą płaszczyzny otwartej, która jest zbiorem punktów, różnica odległości od dwóch danych punktów jest wartością stałą.

Rysunek 72

Stałe punkty F 1 I F 2 są nazywane wydziwianie , i odległość między nimi wynosi długość ogniskowa . Segmenty linii ( F1 M I F 2 M ), łącząc dowolny punkt ( M ) nazywa się krzywą z ogniskami wektory promieniowe hiperbole . Różnica między odległością punktu i ostrości F 1 I F 2 jest wartością stałą i równą odległości pomiędzy wierzchołkami A I B hiperbola; na przykład za punkt M będzie miał: F 1 M -F 2 M = ok. Hiperbola składa się z dwóch otwartych gałęzi i ma dwie wzajemnie prostopadłe osie - ważny AB I wyimaginowany PŁYTA CD. Bezpośredni pk I rs, przechodząc przez centrum O ,są nazywane asymptoty .

Konstruowanie hiperboli na podstawie tych asymptot pk I rs, wydziwianie F 1 I F 2 pokazano na rysunku 72, b.

Prawdziwa oś AB hiperbola jest dwusieczną kąta utworzonego przez asymptoty. Wyimaginowana oś płyta CD prostopadły AB i przechodzi przez punkt O. Posiadanie sztuczek F 1 I F2, zdefiniuj wierzchołki A I B hiperbole, dlaczego na segmencie F 1 F 2 skonstruuj półkole przecinające asymptoty w punktach M I P. Z tych punktów prostopadłe są opuszczane na oś AB i na przecięciu z nim otrzymujemy wierzchołki A I B hiperbola.

Aby skonstruować prawą gałąź hiperboli na linii AB na prawo od ostrości F 1 zaznacz dowolne punkty 1 , 2 , 3 , ..., 5. Zwrotnica V I V1 hiperbole uzyskuje się, jeśli weźmiemy segment a5 poza promieniem i od punktu F2 narysuj łuk okręgu, który jest zaznaczony od punktu F 1, promień równy b5. Pozostałe punkty hiperboli konstruowane są analogicznie do opisanych.

Czasami trzeba skonstruować hiperbolę, której asymptoty OH I OJ wzajemnie prostopadłe (Rysunek 73). W tym przypadku osie rzeczywista i urojona będą bis Z Ekstrykcje kątów prostych. Aby skonstruować, określa się jeden z punktów hiperboli, na przykład punkt A.

Rysunek 73

Przez punkt A przeprowadzić bezpośrednio AK I JESTEM. , równolegle do osi Oh I ty .Z punktu O Odnośnie Z pojęcia dot Z dają jej bezpośrednio Z proste linie JESTEM. I AK w punktach 1 , 2 , 3 , 4 I 1" , 2" , 3" , 4" . Następnie rysowane są odcinki pionowe i poziome od punktów przecięcia z tymi liniami, aż do przecięcia się w tych punktach I, II, III, IV itp. Powstałe punkty hiperboli są połączone za pomocą wzoru . Zwrotnica 1, 2, 3, 4 umieszczone na linii pionowej są przyjmowane dowolnie .

Ewolwenta koła lub rozwój koła. Ewolwenta koła nazywa się płaską krzywą opisaną przez każdy punkt linii prostej, jeśli ta prosta jest toczona bez przesuwania się po nieruchomym okręgu (trajektoria punktów okręgu utworzonych przez jego rozciągnięcie i wyprostowanie) (ryc. 74).

Aby skonstruować ewolwentę, wystarczy określić średnicę okręgu D i początkowe położenie punktu A (punkt 0 ). Przez punkt 0 narysuj styczną do okręgu i nanieś na nią długość danego okręgu D . Powstały odcinek i okrąg dzieli się na tę samą liczbę części i styczne do niego rysuje się w jednym kierunku przez punkty podziału okręgu. Na każdej stycznej układane są odcinki pobrane z linii poziomej i odpowiednio równe 1A 1 = ZA 0 1 , 2A 2 = V ZA 0 2 , 3A 3 = ZA 0 3 itp.; Powstałe punkty łączy się według wzoru.

Rysunek 74

Spirala Archimedesa- płaska krzywa opisana punktem A , równomiernie obracający się wokół stałego punktu – słupy O i jednocześnie równomiernie się od niego oddala (ryc. 75). Odległość przebyta przez punkt podczas skrętu linii prostej o 360° nazywana jest skokiem spirali. Punkty należące do spirali Archimedesa konstruowane są w oparciu o definicję krzywej, określającej krok i kierunek obrotu.

Konstrukcja spirali Archimedesa z wykorzystaniem zadanego skoku (odcinka OA) i kierunku obrotu zgodnie z ruchem wskazówek zegara(Rysunek 75). Przez punkt O narysuj linię prostą i zaznacz na niej skok spirali O.A. i biorąc go za promień, opisz okrąg. Okrąg i odcinek O.A. podzielić na 12 równych części. Promienie są rysowane przez punkty podziału okręgu O1 , O2 , O3 itp. i na nich z punktu O układane są za pomocą łuków odpowiednio 1/12, 2/12, 3/12 itd. promienia okręgu. Powstałe punkty są połączone wzdłuż wzoru z gładką krzywą.

Spirala Archimedesa jest krzywą otwartą i w razie potrzeby można skonstruować dowolną liczbę jej zwojów. Aby skonstruować drugi zakręt, opisz okrąg o promieniu R = 2 OA i powtórz wszystkie poprzednie konstrukcje.

Rysunek 75

Sinusoida.Sinusoida nazywa się rzutem trajektorii poruszającego się punktu Z Jestem cylindryczny Z która spirala, w płaszczyźnie równoległej do osi cylindra . Ruch punktu składa się z ruchu jednostajnego obrotowego (wokół osi cylindra) i ruchu postępowego jednostajnego (równoległego do osi cylindra) . Fala sinusoidalna to płaska krzywa, która pokazuje zmianę funkcji sinusoidalnej trygonometrycznej w zależności od zmiany kąta .

Aby zbudować sinusoidę (Rysunek 76) przechodzącą przez środek O średnica koła D przeprowadzić bezpośrednio OH i kładzie się na nim segment O 1 A , równy obwodowi D. Ten odcinek i okrąg są podzielone na tę samą liczbę równych części. Z uzyskanych i ponumerowanych punktów rysuje się wzajemnie prostopadłe linie proste. Powstałe punkty przecięcia tych linii są połączone za pomocą gładkiej krzywej.

Rysunek 76

Kardioidalna. Kardioidalna(Rysunek 77) wywołuje Z Jestem zamkniętą trajektorią punktu na okręgu Z toczy się bez poślizgu po nieruchomym okręgu o tym samym promieniu .

Rysunek 77

Od centrum O narysuj okrąg o danym promieniu i wybierz na nim dowolny punkt M. Przez ten punkt przeprowadzona jest seria siecznych. Na każdej siecznej, po obu stronach punktu przecięcia jej z okręgiem, układane są odcinki równe średnicy koła M1. Tak, sieczna III3МIII 1 przecina okrąg w punkcie 3 ;segmenty są zwalniane od tego punktu 3III I 3III 1, równa średnicy M1. Zwrotnica III I 1 , należą do kardioidy . Podobnie, Z aktualny IV4MIV 1 Odnośnie Z okrąg jest w punkcie 4; Od tego miejsca układane są segmenty IV4 I 4IV 1, równa średnicy M1, Zdobądź punkty IV I IV 1 itp.

Znalezione punkty są połączone krzywą, jak pokazano na rysunku 77.

Krzywe cykloidalne. Cykloidy – płaskie zakrzywione linie opisane przez punkt należący do okręgu toczącego się bez poślizgu po linii prostej lub okręgu . Jeżeli okrąg toczy się po linii prostej, to punkt opisuje krzywą zwaną cykloida.

Jeżeli okrąg toczy się po innym okręgu, znajdującym się poza nim (wzdłuż części wypukłej), to punkt opisuje krzywą zwaną epicykloida .

Jeżeli okrąg toczy się po innym okręgu, znajdującym się w jego wnętrzu (w części wklęsłej), to punkt opisuje krzywą zwaną hipocykloida . Nazywa się okrąg, na którym znajduje się ten punkt produkować . Nazywa się linię, wzdłuż której toczy się okrąg przewodnik .

Zbudować cykloidę(Rysunek 78) narysuj okrąg o danym promieniu R ; weź od tego punkt wyjścia A i narysuj linię prowadzącą AB, po którym toczy się okrąg .

Rysunek 78

Podziel dany okrąg na 12 równych części (pkt 1" , 2" , 3" , ..., 12"). Jeśli chodzi o A zmiana Z cycek Z Jestem w sytuacji 12 , a następnie segment AA 12 będzie równa podanej długości obwodowej Z ty, tj. Narysuj linię środków O – O 12 wytwarzając obwodowo Z ti, równy , i podzieliliśmy go na 12 równych części. Zdobądź punkty O 1 ,O2 ,O 3 ,..., O 12 , które są środkami okręgu generującego Z Ty . Z tych punktów narysuj okrąg Z ty (lub łuki wokół Z tey) o danym promieniu R , które dotykają linii AB w punktach 1,2, 3, ..., 12. Jeśli z każdego punktu styku narysujemy na odpowiednim okręgu długość łuku równą odległości, o jaką przesunął się punkt A , wówczas otrzymujemy punkty należące do cykloidy. Na przykład, żeby zdobyć punkt 5 cykloida wypływa ze środka O 5 narysuj okrąg od punktu styku 5 zakreśl łuk na obwodzie A5, równy A5", lub z punktu 5" narysuj prostą równoległą AB, do skrzyżowania w tym punkcie 5 z narysowanym okręgiem . Wszystkie pozostałe punkty cykloidy są zbudowane podobnie. .

Epicykloida jest zbudowana w następujący sposób. Rysunek 79 pokazuje promień okręgu generującego Z A R z centrum O 0 , punkt wyjścia A na nim i łuku prowadnicy wokół Z ty radiowo Z A R 1 po którym się toczy Z Jestem kręgiem. Budowa epicykloidy jest podobna do budowy cykloidy, a mianowicie: podziel dany okrąg na 12 równych części (punktów 1" , 2" , 3" , ...,12"), każda część tego okręgu jest oddzielona od punktu A wzdłuż łuku AB 12 razy (kropki 1 , 2 , 3 , ..., 12) i uzyskaj długość łuku AA 12 . Długość tę można określić za pomocą kąta .

Dalej od centrum O promień równy OOO 0 , narysuj linię środków tworzącego okręgu i rysując promienie 01 , 02 , 03 , ...,012 , kontynuowano, aż przetną się z linią środków, uzyskają środki O 1, O 2, ..., O 12 generujący okrąg . Z tych ośrodków o promieniu równym R , narysuj okręgi lub łuki okręgów, na których budują i Z które punkty krzywej; A więc, żeby zrozumieć, o co chodzi 4 s należy sprawdzić Z łuk wokół Z promień teownika O4” aż przetnie okrąg narysowany ze środka O4. W podobny sposób konstruowane są inne punkty, które następnie łączy się gładką krzywą .

Rysunek 79

Powiązana informacja.