Określ, która prosta na płaszczyźnie jest dana równaniem. Równanie prostej, rodzaje równań prostej na płaszczyźnie
Rozważ funkcję określoną wzorem (równanie)
Funkcja ta, a co za tym idzie równanie (11), odpowiada na płaszczyźnie dobrze określonej linii, która jest wykresem tej funkcji (patrz rys. 20). Z definicji wykresu funkcji wynika, że prosta ta składa się z tych i tylko tych punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają równanie (11).
Niech teraz
Prosta będąca wykresem tej funkcji składa się z tych i tylko tych punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają równanie (12). Oznacza to, że jeśli punkt leży na określonej prostej, to jego współrzędne spełniają równanie (12). Jeżeli punkt nie leży na tej prostej, to jego współrzędne nie spełniają równania (12).
Równanie (12) jest rozwiązane względem y. Rozważ równanie zawierające x i y, które nie jest rozwiązane względem y, takie jak równanie
Pokażmy, że równaniu temu odpowiada prosta na płaszczyźnie, a mianowicie okrąg o środku w początku współrzędnych i promieniu równym 2. Przepiszmy równanie w postaci
Jego lewa strona jest kwadratem odległości punktu od początku (patrz § 2, poz. 2, wzór 3). Z równości (14) wynika, że kwadrat tej odległości wynosi 4.
Oznacza to, że każdy punkt, którego współrzędne spełniają równanie (14), a więc równanie (13), znajduje się w odległości 2 od początku układu współrzędnych.
Miejscem geometrycznym takich punktów jest okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 2. Okrąg ten będzie prostą odpowiadającą równaniu (13). Współrzędne któregokolwiek z jej punktów oczywiście spełniają równanie (13). Jeżeli punkt nie leży na znalezionym okręgu, to kwadrat jego odległości od początku będzie albo większy, albo mniejszy od 4, co oznacza, że współrzędne takiego punktu nie spełniają równania (13).
Niech teraz, w ogólnym przypadku, biorąc pod uwagę równanie
po lewej stronie którego znajduje się wyrażenie zawierające x i y.
Definicja. Prosta określona równaniem (15) jest miejscem geometrycznym punktów na płaszczyźnie, której współrzędne spełniają to równanie.
Oznacza to, że jeśli prostą L wyznaczy równanie, to współrzędne dowolnego punktu L spełniają to równanie, a współrzędne dowolnego punktu płaszczyzny leżącego poza L nie spełniają równania (15).
Równanie (15) nazywamy równaniem liniowym
Komentarz. Nie należy sądzić, że jakiekolwiek równanie definiuje dowolną linię. Na przykład równanie nie definiuje żadnej linii. Rzeczywiście, dla dowolnych rzeczywistych wartości iy, lewa strona tego równania jest dodatnia, a prawa strona jest równa zeru, a zatem to równanie nie może spełniać współrzędnych dowolnego punktu na płaszczyźnie
Prostą można zdefiniować na płaszczyźnie nie tylko równaniem zawierającym współrzędne kartezjańskie, ale także równaniem we współrzędnych biegunowych. Linia wyznaczona równaniem we współrzędnych biegunowych jest miejscem geometrycznym punktów na płaszczyźnie, której współrzędne biegunowe spełniają to równanie.
Przykład 1. Skonstruuj spiralę Archimedesa w punkcie .
Decyzja. Zróbmy tabelę dla niektórych wartości kąta biegunowego i odpowiadających im wartości promienia biegunowego.
Budujemy punkt w biegunowym układzie współrzędnych, który oczywiście pokrywa się z biegunem; następnie rysując oś pod kątem do osi biegunowej konstruujemy punkt o dodatniej współrzędnej na tej osi; następnie podobnie konstruujemy punkty o dodatnich wartościach kąta biegunowego i promienia biegunowego (osie tych punktów nie są zaznaczone na ryc. 30).
Jak wiadomo, każdy punkt na płaszczyźnie jest określony przez dwie współrzędne w pewnym układzie współrzędnych. Układy współrzędnych mogą być różne w zależności od wyboru podstawy i pochodzenia.
Definicja: Równanie linii to zależność y = f(x) między współrzędnymi punktów tworzących tę linię.
Zauważ, że równanie linii można wyrazić parametrycznie, to znaczy każda współrzędna każdego punktu jest wyrażona przez jakiś niezależny parametr t. Typowym przykładem jest trajektoria poruszającego się punktu. W tym przypadku czas pełni rolę parametru.
Różne typy równań linii prostej
Ogólne równanie prostej.
Dowolną prostą na płaszczyźnie można przedstawić za pomocą równania pierwszego rzędu
Ah + Wu + C = 0,
ponadto stałe A, B nie są jednocześnie równe zeru, tj. A 2 + B 2 ¹ 0. To równanie pierwszego rzędu nazywa się ogólnym równaniem linii prostej .
W zależności od wartości stała A, B i C, możliwe są następujące przypadki szczególne:
C \u003d 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - linia przechodzi przez początek
A \u003d 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( By + C \u003d 0) - linia jest równoległa do osi Ox
B \u003d 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C \u003d 0) - linia jest równoległa do osi Oy
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - linia prosta pokrywa się z osią Oy
A \u003d C \u003d 0, B ¹ 0 - linia prosta pokrywa się z osią Ox
Równanie linii prostej można przedstawić w różne formy w zależności od dowolnych warunków początkowych.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.
Niech dwa punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2) będą dane w przestrzeni, a następnie równanie prostej przechodzącej przez te punkty:
Jeżeli któryś z mianowników jest równy zeru, to odpowiadający mu licznik powinien być równy zeru. Na płaszczyźnie równanie linii prostej napisane powyżej jest uproszczone:
jeśli x 1 ¹ x 2 i x \u003d x 1, jeśli x 1 \u003d x 2.
Ułamek = k nazywa się nachyleniem linii prostej.
Równanie prostej przez punkt i krzywą kierunkową.
Jeżeli ogólne równanie prostej Ax + Vy + C = 0 prowadzi do postaci:
i oznaczamy , to otrzymane równanie nazywa się równaniem prostej o nachyleniu k.
Równanie prostej w odcinkach.
Jeśli w ogólnym równaniu linii prostej Ah + Vu + С = 0 С ¹ 0, to dzieląc przez –С, otrzymujemy: lub
Geometryczne znaczenie współczynników polega na tym, że współczynnik a jest współrzędną punktu przecięcia linii z osią x, oraz b- współrzędna punktu przecięcia prostej z osią Oy.
Równanie normalne linii prostej.
Jeśli obie części równania Ax + Vy + C = 0 podzielimy przez liczbę , która nazywa się współczynnikiem normalizującym, to otrzymamy
xcosj + ysinj - p = 0 –
równanie normalne prostej.
Znak ± współczynnika normalizującego należy wybrać tak, aby m × С< 0.
p jest długością prostopadłej opadającej od początku do prostej, a j jest kątem utworzonym przez tę prostopadłą z dodatnim kierunkiem osi Ox.
Kąt między liniami na płaszczyźnie.
Jeśli dane są dwie proste y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , to kąt ostry między tymi prostymi będzie określony jako
Dwie proste są równoległe, jeśli k 1 = k 2 .
Dwie proste są prostopadłe, jeśli k 1 = -1/k 2 .
Twierdzenie. Linie proste Ax + Vy + C \u003d 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 są równoległe, gdy współczynniki A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB są proporcjonalne. Jeśli również C 1 = lC, to proste pokrywają się.
Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych znajdują się jako rozwiązanie układu dwóch równań.
Odległość od punktu do linii.
Twierdzenie. Jeśli podany jest punkt M(x 0, y 0), to odległość do linii Ax + Vy + C \u003d 0 jest zdefiniowana jako
Wykład 5
Wprowadzenie do analizy. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej.
OGRANICZENIE FUNKCJI
Granica funkcji w punkcie.
0 za - D za za + re x
Rysunek 1. Granica funkcji w punkcie.
Niech funkcja f(x) będzie zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie punktu x = a (czyli w samym punkcie x = a funkcja może nie być zdefiniowana)
Definicja. Liczbę A nazywamy granicą funkcji f(x) dla x®a, jeśli dla dowolnego e>0 istnieje liczba D>0 taka, że dla wszystkich x taka, że
0 < ïx - aï < D
nierówność ïf(x) - Aï< e.
Tę samą definicję można zapisać w innej formie:
Jeśli a-D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Zapisywanie granicy funkcji w punkcie:
Definicja.
Jeśli f(x) ® A 1 dla x ® a tylko dla x< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a, to nazywa się to granicą funkcji f(x) w punkcie x = a po prawej stronie.
Powyższa definicja dotyczy przypadku, gdy funkcja f(x) nie jest zdefiniowana w samym punkcie x = a, ale jest zdefiniowana w jakimś dowolnie małym sąsiedztwie tego punktu.
Granice A 1 i A 2 są również nazywane jednostronny poza funkcją f(x) w punkcie x = a. Mówi się też, że A granica funkcji f(x).
Równanie prostej na płaszczyźnie.
Jak wiadomo, każdy punkt na płaszczyźnie jest określony przez dwie współrzędne w pewnym układzie współrzędnych. Układy współrzędnych mogą być różne w zależności od wyboru podstawy i pochodzenia.
Definicja. Równanie liniowe nazywa się współczynnikiem y=f(x ) między współrzędnymi punktów tworzących tę linię.
Zauważ, że równanie linii można wyrazić parametrycznie, to znaczy każda współrzędna każdego punktu jest wyrażona przez jakiś niezależny parametrt.
Typowym przykładem jest trajektoria poruszającego się punktu. W tym przypadku czas pełni rolę parametru.
Równanie prostej na płaszczyźnie.
Definicja. Dowolną prostą na płaszczyźnie można przedstawić za pomocą równania pierwszego rzędu
Ah + Wu + C = 0,
ponadto stałe A, B nie są jednocześnie równe zeru, tj. 2 + B 2¹ 0. Nazywa się to równanie pierwszego rzędu ogólne równanie linii prostej.
W zależności od wartości stałych A, B i C możliwe są następujące przypadki szczególne:
do = 0, ZA ¹ 0, B ¹ 0 - linia przechodzi przez początek
A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( By + C \u003d 0) - linia prosta jest równoległa do osi Ox
B = 0, A ¹ 0, do ¹ 0 ( Ax + C = 0) - prosta równoległa do osi Oy
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - linia pokrywa się z osią Oy
ZA = C = 0, B ¹ 0 - linia pokrywa się z osią Ox
Równanie prostej można przedstawić w różnych postaciach w zależności od dowolnych warunków początkowych.
Odległość od punktu do linii.
Twierdzenie. Jeśli podany jest punkt M(x 0, y 0), to odległość do linii Ax + Vy + C \u003d 0 jest zdefiniowana jako
.
Dowód. Niech punkt M 1 (x 1, y 1) będzie podstawą prostopadłej poprowadzonej z punktu M do danej prostej. Wtedy odległość między punktami M i M 1:
(1)
Współrzędne x 1 a y 1 można znaleźć jako rozwiązanie układu równań:
Drugim równaniem układu jest równanie prostej przechodzącej przez dany punkt M 0 prostopadłej do danej prostej.
Jeżeli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
następnie, rozwiązując, otrzymujemy:
Podstawiając te wyrażenia do równania (1), znajdujemy:
.
Twierdzenie zostało udowodnione.
Przykład. Wyznacz kąt między liniami: y=-3x+7; y = 2 x + 1.
k. 1 \u003d -3; k 2 = 2tg j = ; j = p /4.
Przykład. Pokaż, że proste 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 są prostopadłe.
Znajdź: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, stąd proste są prostopadłe.
Przykład. Biorąc pod uwagę wierzchołki trójkąta A(0; 1), B(6;5), C (12; -1). Znajdź równanie wysokości poprowadzone z wierzchołka C.
W ostatnim artykule rozważyliśmy główne punkty dotyczące tematu linii prostej na płaszczyźnie. Przejdźmy teraz do studiowania równania prostej: zastanówmy się, które równanie można nazwać równaniem prostej, a także jaką postać ma równanie prostej na płaszczyźnie.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Definicja równania prostej na płaszczyźnie
Powiedzmy, że istnieje prosta, która jest dana w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych O x y.
Definicja 1
Linia prosta- to jest figura geometryczna, który składa się z kropek. Każdy punkt ma swoje własne współrzędne wzdłuż osi odciętych i osi rzędnych. Równanie opisujące zależność współrzędnych każdego punktu prostej w układzie kartezjańskim O x y nazywamy równaniem prostej na płaszczyźnie.
W rzeczywistości równanie prostej na płaszczyźnie jest równaniem z dwiema zmiennymi, które są oznaczone jako x i y. Równanie zamienia się w tożsamość, gdy podstawia się do niego wartości dowolnego punktu linii prostej.
Zobaczmy, jaką postać będzie miało równanie prostej na płaszczyźnie. To będzie tematem następnej części naszego artykułu. Zauważ, że istnieje kilka opcji zapisania równania linii prostej. Wyjaśnia to obecność kilku sposobów wyznaczania linii prostej na płaszczyźnie, a także różna specyfika zadań.
Zapoznajmy się z twierdzeniem definiującym postać równania prostej na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych O x y .
Twierdzenie 1
Równanie postaci A x + B y + C = 0 , gdzie x i y są zmiennymi, a A, B i C pewnymi liczbami rzeczywistymi, z których A i B nie są równe zeru, definiuje prostą w Kartezjański układ współrzędnych O x y . Z kolei dowolną prostą na płaszczyźnie można przedstawić równaniem postaci A x + B y + C = 0 .
Zatem ogólne równanie prostej na płaszczyźnie ma postać A x + B y + C = 0 .
Wyjaśnijmy kilka ważnych aspektów tego tematu.
Przykład 1
Spójrz na rysunek.
Linia na rysunku jest określona równaniem postaci 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, ponieważ współrzędne dowolnego punktu tworzącego tę linię spełniają powyższe równanie. Jednocześnie pewna liczba punktów na płaszczyźnie, określona równaniem 2 x + 3 y - 2 = 0, daje nam linię prostą, którą widzimy na rysunku.
Ogólne równanie prostej może być zupełne lub niepełne. W pełnym równaniu wszystkie liczby A, B i C są niezerowe. We wszystkich innych przypadkach równanie jest uważane za niepełne. Równanie postaci A x + B y = 0 definiuje linię prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Jeśli A wynosi zero, to równanie A x + B y + C = 0 definiuje prostą równoległą do osi x O x . Jeśli B jest równe zeru, to prosta jest równoległa do osi współrzędnych O y .
Wniosek: dla pewnego zestawu wartości liczb A, B i C, korzystając z ogólnego równania prostej, można zapisać dowolną prostą na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych O x y.
Prosta dana równaniem postaci A x + B y + C = 0 ma wektor linii normalnej o współrzędnych A , B .
Wszystkie podane równania linii, które rozważymy poniżej, można uzyskać z ogólnego równania linii. Możliwy jest również proces odwrotny, gdy dowolne z rozważanych równań można sprowadzić do ogólnego równania prostej.
Możesz zrozumieć wszystkie niuanse tego tematu w artykule „Ogólne równanie linii prostej”. W materiale podajemy dowód twierdzenia z ilustracjami graficznymi i szczegółową analizą przykładów. Szczególną uwagę zwrócono na przejścia od ogólnego równania prostej do równań innych typów i odwrotnie.
Równanie prostej w odcinkach ma postać x a + y b = 1 , gdzie aib to pewne liczby rzeczywiste różne od zera. Wartości bezwzględne liczb aib są równe długości odcinków odciętych linią prostą na osiach współrzędnych. Długość odcinków jest mierzona od początku współrzędnych.
Dzięki równaniu możesz łatwo narysować linię prostą na rysunku. W tym celu należy zaznaczyć punkty a, 0 i 0, b w prostokątnym układzie współrzędnych, a następnie połączyć je linią prostą.
Przykład 2
Zbudujmy linię prostą, która jest dana wzorem x 3 + y - 5 2 = 1. Zaznaczamy na wykresie dwa punkty 3 , 0 , 0 , - 5 2 , łączymy je ze sobą.
Równania te, mające postać y = k · x + b, powinny być nam dobrze znane z toku algebry. Tutaj x i y to zmienne, k i b to pewne liczby rzeczywiste, z których k to nachylenie. W tych równaniach zmienna y jest funkcją argumentu x.
Podajmy definicję nachylenia przez definicję kąta nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi O x .
Definicja 2
Aby wyznaczyć kąt nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi O x w kartezjańskim układzie współrzędnych, wprowadzamy wartość kąta α. Kąt jest mierzony od dodatniego kierunku osi x do linii prostej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Kąt α jest uważany za równy zeru, jeśli prosta jest równoległa do osi O x lub pokrywa się z nią.
Nachylenie prostej jest tangensem nachylenia tej prostej. Zapisuje się to następująco: k = t g α . W przypadku linii prostej równoległej do osi O y lub pokrywającej się z nią nie można napisać równania linii prostej ze spadkiem, ponieważ nachylenie w tym przypadku zamienia się w nieskończoność (nie istnieje).
Prosta dana równaniem y = k x + b przechodzi przez punkt 0, b na osi y. Oznacza to, że równanie prostej o nachyleniu y \u003d k x + b wyznacza linię prostą na płaszczyźnie przechodzącej przez punkt 0, b i tworzy kąt α z dodatnim kierunkiem osi O x, oraz k \u003d t g α.
Przykład 3
Narysujmy linię prostą, którą określa równanie postaci y = 3 · x - 1 .
Ta prosta musi przechodzić przez punkt (0 , - 1) . Kąt nachylenia α = a r c t g 3 = π 3 jest równy 60 stopni do dodatniego kierunku osi O x. Nachylenie wynosi 3
Proszę zauważyć, że korzystając z równania prostej ze współczynnikiem kierunkowym bardzo wygodnie jest szukać równania stycznej do wykresu funkcji w punkcie.
Więcej materiałów na ten temat można znaleźć w artykule „Równanie linii ze spadkiem”. Oprócz teorii istnieje duża liczba przykładów graficznych i szczegółowa analiza zadań.
Ten typ równania ma postać x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y, gdzie x 1, y 1, a x, a y to pewne liczby rzeczywiste, z których a x i ay nie są równe zeru.
Prosta wyznaczona kanonicznym równaniem prostej przechodzi przez punkt M 1 (x 1 , y 1) . Liczby ax i ay w mianownikach ułamków są współrzędnymi wektora kierunkowego prostej. Oznacza to, że kanoniczne równanie prostej x - x 1 a x = y - y 1 a y w kartezjańskim układzie współrzędnych O x y odpowiada prostej przechodzącej przez punkt M 1 (x 1 , y 1) i mającej wektor kierunkowy za → = (za x , za y) .
Przykład 4
Narysuj linię prostą w układzie współrzędnych O x y, który jest określony równaniem x - 2 3 = y - 3 1 . Punkt M 1 (2 , 3) należy do linii prostej, wektor a → (3 , 1) jest wektorem kierunkowym tej linii prostej.
Kanoniczne równanie linii prostej postaci x - x 1 a x = y - y 1 ay można zastosować w przypadkach, gdy a x lub a y wynosi zero. Obecność zera w mianowniku powoduje, że zapis x - x 1 a x = y - y 1 a y jest warunkowy. Równanie można zapisać w następujący sposób a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .
W przypadku, gdy a x \u003d 0, równanie kanoniczne linii prostej przyjmuje postać x - x 1 0 \u003d y - y 1 a y i wyznacza linię prostą równoległą do osi rzędnych lub pokrywającą się z tą osią.
Równanie kanoniczne linii prostej, pod warunkiem, że a y \u003d 0, przyjmuje postać x - x 1 a x \u003d y - y 1 0. Takie równanie określa linię prostą równoległą do osi x lub z nią pokrywającą się.
Więcej materiałów na temat kanonicznego równania linii prostej, patrz tutaj. W artykule podajemy szereg rozwiązań problemów, a także liczne przykłady, które pozwalają lepiej opanować temat.
Równania parametryczne prostej na płaszczyźnie
Równania te mają postać x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ, gdzie x 1, y 1, a x, a y to pewne liczby rzeczywiste, z których a x i ay nie mogą być równe zeru w tym samym czasie czas. Do wzoru wprowadza się dodatkowy parametr λ, który może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste.
Celem równania parametrycznego jest ustalenie niejawnej zależności między współrzędnymi punktów prostej. W tym celu wprowadza się parametr λ.
Liczby x , y to współrzędne pewnego punktu na prostej. Oblicza się je za pomocą parametrycznych równań prostej dla pewnej rzeczywistej wartości parametru λ.
Przykład 5
Załóżmy, że λ = 0 .
Wtedy x \u003d x 1 + a x 0 y \u003d y 1 + a y 0 ⇔ x \u003d x 1 y \u003d y 1, tj. punkt o współrzędnych (x 1, y 1) należy do linii.
Zwracamy uwagę, że współczynniki ax i ay o parametrze λ w tego typu równaniach są współrzędnymi wektora kierunkowego prostej.
Przykład 6
Rozważ parametryczne równania prostej postaci x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ . Prosta dana równaniami w kartezjańskim układzie współrzędnych przechodzi przez punkt (x 1 , y 1) i ma wektor kierujący a → = (3 , 1) .
Więcej informacji można znaleźć w artykule „Równania parametryczne prostej na płaszczyźnie”.
Równanie normalne prostej ma postać A x + B y + C = 0 , gdzie liczby A, B i C są takie, że długość wektora n → = (A , B) jest równa jeden i C ≤ 0 .
Wektor normalny prostej, dany równaniem normalnym prostej w prostokątnym układzie współrzędnych O x y, to wektor n → = (A , B) . Linia ta przechodzi w odległości C od początku układu współrzędnych w kierunku wektora n → = (A , B) .
Innym sposobem zapisania równania normalnego linii prostej jest cos α x + cos β y - p = 0, gdzie cos α i cos β to dwie liczby rzeczywiste, które są cosinusami kierunku wektora normalnego o długości jednostkowej prostej. Oznacza to, że n → = (cos α , cos β) , równość n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 jest prawdziwa, wartość p ≥ 0 i jest równa odległości od początku układu współrzędnych do prostej.
Przykład 7
Rozważmy ogólne równanie linii prostej - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0 . To ogólne równanie linii jest normalnym równaniem linii, ponieważ n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 i C = - 3 ≤ 0 .
Równanie definiuje prostą w kartezjańskim układzie współrzędnych 0xy, której wektor normalny ma współrzędne - 1 2 , 3 2 . Prosta jest odsunięta od początku układu współrzędnych o 3 jednostki w kierunku wektora normalnego n → = - 1 2 , 3 2 .
Zwracamy uwagę na fakt, że równanie normalne prostej na płaszczyźnie pozwala znaleźć odległość od punktu do prostej na płaszczyźnie.
Jeśli w ogólnym równaniu linii A x + B y + C \u003d 0 liczby A, B i C są takie, że równanie A x + B y + C \u003d 0 nie jest normalnym równaniem linii, to można go sprowadzić do postaci normalnej. Przeczytaj więcej na ten temat w artykule „Równanie normalne linii”.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Rozważ relację formy F(x, y)=0łączenie zmiennych x oraz w. Równość (1) zostanie wywołana równanie z dwiema zmiennymi x, y, jeśli ta równość nie jest prawdziwa dla wszystkich par liczb X oraz w. Przykłady równań: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,
grzech x + grzech y - 1 = 0.
Jeśli (1) jest prawdziwe dla wszystkich par liczb x i y, to nazywa się to tożsamość. Przykłady tożsamości: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.
Równanie (1) zostanie wywołane równanie zbioru punktów (x; y), jeśli to równanie jest spełnione przez współrzędne X oraz w dowolnego punktu zbioru i nie spełniają współrzędnych żadnego punktu, który nie należy do tego zbioru.
Ważnym pojęciem w geometrii analitycznej jest pojęcie równania prostej. Niech prostokątny układ współrzędnych i jakaś linia α.
Definicja. Równanie (1) nazywane jest równaniem liniowym α
(w tworzonym układzie współrzędnych), jeśli to równanie jest spełnione przez współrzędne X oraz w dowolny punkt na linii α
, i nie spełniają współrzędnych żadnego punktu, który nie leży na tej prostej.
Jeśli (1) jest równaniem linii α, wtedy powiemy, że równanie (1) określa (zestawy) linia α.
Linia α można określić nie tylko równaniem postaci (1), ale także równaniem postaci
F(P, φ) = 0, zawierające współrzędne biegunowe.
- równanie prostej ze spadkiem;
Niech będzie dana jakaś prosta, nie prostopadła do osi OH. Zadzwońmy Kąt pochylenia daną linię do osi OH narożnik α za pomocą którego należy obrócić oś OH tak, aby dodatni kierunek pokrywał się z jednym z kierunków prostej. Tangens kąta nachylenia prostej do osi OH zwany współczynnik nachylenia tę prostą i oznaczoną literą Do.
|
|||
|
|||
Wyprowadzamy równanie tej prostej, jeśli ją znamy Do i wartość w segmencie OW, którą odcina na osi jednostka organizacyjna.
|
|
Wywołuje się równanie (2). równanie prostej ze współczynnikiem kierunkowym. Jeśli K=0, to prosta jest równoległa do osi OH a jego równanie to y = b.
- równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty;
|
|
. To jest równanie jeśli y 1 ≠ y 2, można zapisać jako: Jeśli y 1 = y 2, to równanie żądanej prostej ma postać y = y 1. W tym przypadku linia jest równoległa do osi OH. Jeśli x 1 = x 2, a następnie prostą przechodzącą przez punkty M 1 oraz M 2, równolegle do osi jednostka organizacyjna, jego równanie ma postać x = x 1.
- równanie prostej przechodzącej przez dany punkt o zadanym nachyleniu;
|
|
i odwrotnie, równanie (5) dla dowolnych współczynników A, B, C (ORAZ oraz B ≠ 0 jednocześnie) definiuje pewną linię w prostokątnym układzie współrzędnych Ohu.
Dowód.
Najpierw udowodnijmy pierwsze twierdzenie. Jeśli linia nie jest prostopadła Oh, wtedy jest to określone równaniem pierwszego stopnia: y = k x + b, tj. równanie postaci (5), gdzie
A=k, B=-1 oraz C = b. Jeśli linia jest prostopadła Oh, wtedy wszystkie jego punkty mają tę samą odciętą równą wartości α segment odcięty linią prostą na osi Oh.
Równanie tej prostej ma postać x = α, tych. jest również równaniem pierwszego stopnia postaci (5), gdzie A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - α. To potwierdza pierwsze twierdzenie.
udowodnijmy odwrotne stwierdzenie. Niech będzie dane równanie (5) i przynajmniej jeden ze współczynników ORAZ oraz B ≠ 0.
Jeśli B ≠ 0, to (5) można zapisać jako . pochyły 
, otrzymujemy równanie y = k x + b, tj. równanie postaci (2) definiujące linię prostą.
Jeśli B = 0, następnie A ≠ 0 oraz (5) przyjmuje postać . Oznaczanie przez α, dostajemy
x = α, tj. równanie prostej prostopadłej Ox.
Nazywa się linie określone w prostokątnym układzie współrzędnych równaniem pierwszego stopnia linie pierwszego rzędu.
Wpisz równanie Ah + Wu + C = 0 jest niekompletny, tj. jeden ze współczynników jest równy zeru.
1) C = 0; Ah + Wu = 0 i definiuje linię przechodzącą przez początek.
2) B = 0 (A ≠ 0); równanie topór + C = 0 jednostka organizacyjna
3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 i definiuje prostą równoległą Oh.
Równanie (6) nazywamy równaniem prostej "w odcinkach". Liczby a oraz b to wartości odcinków, które linia prosta przecina na osiach współrzędnych. Ta postać równania jest wygodna do geometrycznej konstrukcji linii prostej.
- równanie normalne prostej;
Аx + Вy + С = 0 jest ogólnym równaniem pewnej prostej i (5) x sałata α + y grzech α – p = 0(7)
jego normalne równanie.
Ponieważ równania (5) i (7) definiują tę samą linię prostą, to ( ZA 1x + B 1y + do 1 \u003d 0 oraz
ZA 2x + B 2y + do 2 = 0 => 
) współczynniki tych równań są proporcjonalne. Oznacza to, że mnożąc wszystkie wyrazy równania (5) przez pewien czynnik M, otrzymujemy równanie MA x + MB y + MS = 0, pokrywając się z równaniem (7), tj.
MA = cos α, MB = grzech α, MC = - P(8)
Aby znaleźć współczynnik M, podnosimy do kwadratu pierwsze dwie z tych równości i dodajemy:
M 2 (A 2 + B 2) \u003d sałata 2 α + grzech 2 α \u003d 1
(9)