Kāds ir jaunākais numurs pasaulē. Kāds ir lielākais skaitlis? Kas tie ir, milzu skaitļi
Reiz lasīju traģisku stāstu par kādu čukču, kuram polārpētnieki iemācīja skaitīt un rakstīt skaitļus. Ciparu maģija viņu tik ļoti pārsteidza, ka polārpētnieku dāvātajā kladē viņš nolēma pēc kārtas ierakstīt pilnīgi visus pasaules skaitļus, sākot no viena. Čukči pamet visas savas lietas, pārtrauc sazināties pat ar savu sievu, vairs nemedī roņus un roņus, bet raksta un raksta skaitļus piezīmju grāmatiņā .... Tā paiet gads. Beigās piezīmju grāmatiņa beidzas un čukčs saprot, ka spējis pierakstīt tikai nelielu daļu no visiem cipariem. Viņš rūgti raud un izmisumā dedzina uzskricelēto burtnīcu, lai atkal sāktu dzīvot vienkāršo zvejnieka dzīvi, vairs nedomājot par skaitļu noslēpumaino bezgalību...
Mēs neatkārtosim šī čukču varoņdarbu un mēģināsim atrast lielāko skaitli, jo jebkuram skaitlim pietiek tikai pievienot vienu, lai iegūtu vēl lielāku skaitli. Uzdosim sev līdzīgu, bet atšķirīgu jautājumu: kurš no skaitļiem, kam ir savs vārds, ir lielākais?
Acīmredzot, lai gan paši skaitļi ir bezgalīgi, pašu tituli viņiem nav ļoti daudz, jo vairums no tiem ir apmierināti ar nosaukumiem, kas sastāv no mazākiem skaitļiem. Tā, piemēram, skaitļiem 1 un 100 ir savi nosaukumi "viens" un "simts", un skaitļa 101 nosaukums jau ir salikts ("simts viens"). Ir skaidrs, ka galīgajā skaitļu komplektā, ko cilvēce ir piešķīrusi ar savu vārdu, ir jābūt kādam lielākajam skaitlim. Bet kā to sauc un ar ko tas ir vienāds? Mēģināsim to izdomāt un atrast, galu galā šis ir lielākais skaitlis!
|
"Īsās" un "garās" skalas
Mūsdienu lielo skaitļu nosaukšanas sistēmas vēsture aizsākās 15. gadsimta vidū, kad Itālijā sāka lietot vārdus "miljons" (burtiski - liels tūkstotis) tūkstotim kvadrātā, "bmiljons" par miljonu. kvadrātā un "trimiljons" par miljonu kubu. Mēs zinām par šo sistēmu, pateicoties franču matemātiķim Nikolā Čukē (Nicolas Chuquet, ap 1450. gads – ap 1500. gadu): savā traktātā "Ciparu zinātne" (Triparty en la science des nombres, 1484) viņš attīstīja šo ideju, ierosinot turpmāk lietot latīņu kardinālos skaitļus (skat. tabulu), pievienojot tos galotnei "-miljons". Tātad Šuka "bimillions" pārvērtās par miljardu, "trimiljons" par triljonu, un miljons ceturtajai jaudai kļuva par "kvadriljonu".
Schücke sistēmā skaitlim 10 9, kas bija no miljona līdz miljardam, nebija sava vārda un to sauca vienkārši par "tūkstoš miljonu", līdzīgi 10 15 sauca par "tūkstoš miljardu", 10 21 - " tūkstoš triljoni" utt. Tas nebija īpaši ērti, un 1549. gadā franču rakstnieks un zinātnieks Žaks Peletjē du Mans (1517-1582) ierosināja šādus "starpposma" skaitļus nosaukt, izmantojot tos pašus latīņu prefiksus, bet galotni "-miljards". Tātad 10 9 kļuva pazīstami kā "miljards", 10 15 - "biljards", 10 21 - "triljons" utt.
Shuquet-Peletier sistēma pakāpeniski kļuva populāra un tika izmantota visā Eiropā. Tomēr 17. gadsimtā radās negaidīta problēma. Izrādījās, ka nez kāpēc daži zinātnieki sāka apjukt un numuru 10 9 sauca nevis par “miljardu” vai “tūkstoš miljonu”, bet gan par “miljardu”. Drīz vien šī kļūda ātri izplatījās, un radās paradoksāla situācija - "miljards" vienlaikus kļuva par "miljarda" (10 9) un "miljons miljonu" (10 18) sinonīmu.
Šī neskaidrība turpinājās ilgu laiku un noveda pie tā, ka ASV viņi izveidoja savu sistēmu lielu skaitļu nosaukšanai. Saskaņā ar amerikāņu sistēmu skaitļu nosaukumi tiek veidoti tāpat kā Schücke sistēmā - latīņu prefikss un galotne "miljons". Tomēr šie skaitļi ir atšķirīgi. Ja Schuecke sistēmā nosaukumi ar galotni "miljons" saņēma skaitļus, kas bija miljona pakāpes, tad amerikāņu sistēmā galotnes "-miljons" saņēma tūkstoš pakāpes. Tas ir, tūkstoš miljonus (1000 3 \u003d 10 9) sāka saukt par "miljardu", 1000 4 (10 12) - "triljonu", 1000 5 (10 15) - "kvadriljonu" utt.
Vecā lielo skaitļu nosaukšanas sistēma turpināja izmantot konservatīvajā Lielbritānijā un sāka saukt par "britu" visā pasaulē, neskatoties uz to, ka to izgudroja francūži Šukē un Peletjē. Tomēr 1970. gados Apvienotā Karaliste oficiāli pārgāja uz "amerikāņu sistēmu", kas noveda pie tā, ka kļuva dīvaini vienu sistēmu saukt par amerikāņu, bet otru par britu. Rezultātā amerikāņu sistēmu tagad parasti dēvē par "īso mērogu" un britu vai Čukē-Peletjē sistēmu par "ilgo skalu".
Lai neapjuktu, apkoposim starprezultātu:
|
Īsā nosaukumu skala tagad tiek izmantota ASV, Apvienotajā Karalistē, Kanādā, Īrijā, Austrālijā, Brazīlijā un Puertoriko. Krievija, Dānija, Turcija un Bulgārija arī izmanto īso skalu, izņemot to, ka skaitlis 109 netiek saukts par "miljardu", bet par "miljardu". Garo skalu joprojām izmanto lielākajā daļā citu valstu.
Interesanti, ka mūsu valstī galīgā pāreja uz īso mērogu notika tikai 20. gadsimta otrajā pusē. Tā, piemēram, pat Jakovs Isidorovičs Perelmans (1882-1942) savā "Izklaidējošajā aritmētikā" piemin divu skalu paralēlo pastāvēšanu PSRS. Īsā skala, pēc Perelmana teiktā, tika izmantota ikdienas dzīvē un finanšu aprēķinos, bet garā - zinātniskās grāmatās par astronomiju un fiziku. Tomēr tagad Krievijā ir nepareizi izmantot garo skalu, lai gan skaitļi tur ir lieli.
Bet atpakaļ pie lielākā skaitļa atrašanas. Pēc deciļskaita skaitļu nosaukumus iegūst, apvienojot prefiksus. Tādā veidā tiek iegūti tādi skaitļi kā undecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, novemdecillion utt. Tomēr šie nosaukumi mūs vairs neinteresē, jo mēs vienojāmies atrast lielāko skaitu ar savu nesalikto nosaukumu.
Ja pievērsīsimies latīņu valodas gramatikai, mēs atklāsim, ka romiešiem bija tikai trīs nesalikti nosaukumi skaitļiem, kas lielāki par desmit: viginti - "divdesmit", centum - "simts" un mille - "tūkstotis". Skaitļiem, kas ir lielāki par "tūkstotis", romiešiem nebija savu vārdu. Piemēram, romieši miljonu (1 000 000) sauca par "decies centena milia", tas ir, "desmit reizes simts tūkstoši". Saskaņā ar Schuecke likumu šie trīs atlikušie latīņu cipari dod mums tādus skaitļu nosaukumus kā "vigintiljons", "centillions" un "miljons".
Tātad, mēs noskaidrojām, ka "īsajā mērogā" maksimālais skaitlis, kam ir savs nosaukums un kas nav mazāku skaitļu salikts, ir "miljons" (10 3003). Ja Krievijā pieņemtu “garu nosaukšanas skaitļu skalu”, tad lielākais skaitlis ar savu nosaukumu būtu “miljons” (10 6003).
Tomēr ir nosaukumi vēl lielākiem skaitļiem.
Skaitļi ārpus sistēmas
Dažiem numuriem ir savs nosaukums, bez jebkādas saistības ar nosaukumu sistēmu, izmantojot latīņu prefiksus. Un šādu skaitļu ir daudz. Varat, piemēram, atcerēties numuru e, skaitlis "pī", ducis, zvēra numurs utt. Tomēr, tā kā tagad mūs interesē liels skaits, mēs apsvērsim tikai tos skaitļus ar savu nesalikto nosaukumu, kas ir vairāk nekā miljons.
Līdz 17. gadsimtam Rus' izmantoja savu skaitļu nosaukšanas sistēmu. Desmitiem tūkstošu tika saukti par "tumšajiem", simtiem tūkstošu tika saukti par "leģioniem", miljoniem tika saukti par "leodriem", desmitiem miljonu tika saukti par "kraukļiem", un simtiem miljonu tika saukti par "klājiem". Šo kontu līdz simtiem miljonu sauca par “mazo kontu”, un dažos manuskriptos autori uzskatīja arī par “lielo kontu”, kurā vieni un tie paši nosaukumi tika lietoti lieliem skaitļiem, bet ar atšķirīgu nozīmi. Tātad "tumsa" nozīmēja nevis desmit tūkstošus, bet tūkstoš tūkstošus (10 6), "leģions" - to tumsa (10 12); "leodr" - leģionu leģions (10 24), "krauklis" - leodrs leodrs (10 48). Kādu iemeslu dēļ lielajā slāvu grāfā “klājs” netika saukts par “kraukli” (10 96), bet tikai desmit “kraukļi”, tas ir, 10 49 (skat. tabulu).
|
Arī numuram 10100 ir savs nosaukums, un to izdomāja deviņus gadus vecs zēns. Un tas bija tā. 1938. gadā amerikāņu matemātiķis Edvards Kasners (Edvards Kasners, 1878-1955) pastaigājās parkā ar diviem brāļa dēliem un apsprieda ar viņiem lielus skaitļus. Sarunas laikā runājām par skaitli ar simt nullēm, kam nebija sava nosaukuma. Viens no viņa brāļadēliem, deviņus gadus vecais Miltons Sirots, ieteica šo numuru nosaukt par "googol". 1940. gadā Edvards Kasners kopā ar Džeimsu Ņūmenu uzrakstīja nedaiļliteratūras grāmatu Matemātika un iztēle, kurā matemātikas mīļotājiem mācīja par googola skaitli. Google kļuva vēl plašāk pazīstama deviņdesmito gadu beigās, pateicoties tā vārdā nosauktajai Google meklētājprogrammai.
Nosaukums vēl lielākam skaitam nekā googols radās 1950. gadā, pateicoties datorzinātņu tēvam Klodam Šenonam (Claude Elwood Shannon, 1916-2001). Savā rakstā "Datora programmēšana šaha spēlēšanai" viņš mēģināja novērtēt šo skaitu iespējasšaha spēle. Pēc viņa teiktā, katra spēle ilgst vidēji 40 gājienus, un katrā gājienā spēlētājs izvēlas vidēji 30 variantus, kas atbilst 900 40 (aptuveni vienāds ar 10 118) spēles variantiem. Šis darbs kļuva plaši pazīstams, un šis numurs kļuva pazīstams kā "Šenonas numurs".
Slavenajā budistu traktātā Jaina Sutra, kas datēts ar 100. gadu pirms mūsu ēras, skaitlis "asankheya" ir vienāds ar 10 140. Tiek uzskatīts, ka šis skaitlis ir vienāds ar kosmisko ciklu skaitu, kas nepieciešams, lai iegūtu nirvānu.
Deviņus gadus vecais Miltons Sirota ienāca matemātikas vēsturē, ne tikai izgudrojot googola skaitli, bet arī ierosinot tajā pašā laikā citu skaitli - “googolplex”, kas ir vienāds ar 10 ar “googol” pakāpi, tas ir, , viens ar googolu nullēm.
Pierādot Rīmaņa hipotēzi, Dienvidāfrikas matemātiķis Stenlijs Skjūzs (1899-1988) ierosināja vēl divus skaitļus, kas ir lielāki par googolpleksu. Pirmais cipars, ko vēlāk sāka saukt par "Skeuse pirmo numuru", ir vienāds ar e tādā mērā e tādā mērā e 79. jaudai, tas ir e e e 79 = 10 10 8.85.10 33 . Tomēr "otrais Skewes skaitlis" ir vēl lielāks un ir 10 10 10 1000.
Acīmredzot, jo vairāk grādu grādu skaitā, jo grūtāk ir pierakstīt skaitļus un saprast to nozīmi lasot. Turklāt ir iespējams izdomāt tādus skaitļus (un tie, starp citu, jau ir izdomāti), kad grādu pakāpes vienkārši neiederas lapā. Jā, kāda lapa! Tie pat neietilps visa Visuma izmēra grāmatā! Šajā gadījumā rodas jautājums, kā pierakstīt šādus skaitļus. Problēma, par laimi, ir atrisināma, un matemātiķi ir izstrādājuši vairākus šādu skaitļu rakstīšanas principus. Tiesa, katrs matemātiķis, kurš uzdeva šo problēmu, nāca klajā ar savu rakstīšanas veidu, kā rezultātā pastāvēja vairāki nesaistīti lielu skaitļu rakstīšanas veidi - tie ir Knuta, Konveja, Steinhausa uc apzīmējumi. Mums tagad būs jātiek galā ar dažiem no tiem.
Citi apzīmējumi
1938. gadā, tajā pašā gadā, kad deviņus gadus vecais Miltons Sirota nāca klajā ar googol un googolplex skaitļiem, Hugo Dionizy Steinhaus, 1887-1972, Polijā tika izdota grāmata par izklaidējošu matemātiku Matemātiskais kaleidoskops. Šī grāmata kļuva ļoti populāra, izgājusi daudzus izdevumus un tulkota daudzās valodās, tostarp angļu un krievu valodā. Tajā Steinhaus, apspriežot lielus skaitļus, piedāvā vienkāršu veidu, kā tos uzrakstīt, izmantojot trīs ģeometriskas formas - trīsstūri, kvadrātu un apli:
"n trijstūrī" nozīmē " n n»,
« n kvadrāts" nozīmē " n iekšā n trīsstūri",
« n aplī nozīmē " n iekšā n kvadrāti."
Izskaidrojot šo rakstīšanas veidu, Šteinhauss izdomā skaitli "mega", kas vienāds ar 2 aplī, un parāda, ka tas ir vienāds ar 256 "kvadrātiņā" vai 256 256 trīsstūros. Lai to aprēķinātu, jums jāpalielina 256 līdz pakāpei 256, jāpalielina iegūtais skaitlis 3.2.10 616 līdz 3.2.10 616, pēc tam jāpalielina iegūtais skaitlis līdz iegūtā skaitļa pakāpei un tā tālāk, lai palielinātu. līdz 256 reizēm. Piemēram, MS Windows kalkulators nevar aprēķināt pārplūdes 256 dēļ pat divos trīsstūros. Aptuveni šis milzīgais skaitlis ir 10 10 2,10 619 .
Nosakot skaitli "mega", Steinhaus aicina lasītājus patstāvīgi novērtēt citu skaitli - "medzon", kas vienāds ar 3 aplī. Citā grāmatas izdevumā Steinhaus medzones vietā ierosina novērtēt vēl lielāku skaitli - “megiston”, kas vienāds ar 10 aplī. Sekojot Šteinhausam, arī lasītājiem ieteikšu uz brīdi atrauties no šī teksta un pašiem mēģināt uzrakstīt šos skaitļus, izmantojot parastos spēkus, lai sajustu to gigantisko apjomu.
Tomēr ir nosaukumi par lielāki skaitļi. Tātad kanādiešu matemātiķis Leo Mozers (Leo Moser, 1921-1970) pabeidza Steinhaus apzīmējumu, ko ierobežoja fakts, ka, ja būtu nepieciešams pierakstīt skaitļus, kas ir daudz lielāki par megistonu, tad rastos grūtības un neērtības, jo viens būtu jāievelk daudzi apļi viens otrā. Mozers ieteica zīmēt nevis apļus aiz kvadrātiem, bet piecstūrus, tad sešstūrus utt. Viņš arī ierosināja formālu apzīmējumu šiem daudzstūriem, lai skaitļus varētu rakstīt, nezīmējot sarežģītus modeļus. Mozera apzīmējums izskatās šādi:
« n trīsstūris" = n n = n;
« n kvadrātā" = n = « n iekšā n trīsstūri" = nn;
« n piecstūrī" = n = « n iekšā n kvadrāti" = nn;
« n iekšā k+ 1-gon" = n[k+1] = " n iekšā n k-gons" = n[k]n.
Tādējādi saskaņā ar Mozera apzīmējumu Šteinhauza "mega" tiek rakstīts kā 2, "medzon" - kā 3, bet "megistons" - kā 10. Turklāt Leo Mozers ieteica nosaukt daudzstūri, kura malu skaits ir vienāds ar mega - "megagons". ". Un viņš ierosināja skaitli "2 in megagon", tas ir, 2. Šis skaitlis kļuva pazīstams kā Mozera skaitlis vai vienkārši kā "mozer".
Bet pat "moser" nav lielākais skaitlis. Tātad lielākais skaitlis, kas jebkad izmantots matemātiskajā pierādījumā, ir "Grehema skaitlis". Šo skaitli pirmo reizi izmantoja amerikāņu matemātiķis Ronalds Grehems 1977. gadā, pierādot vienu aprēķinu Remzija teorijā, proti, aprēķinot noteiktu izmēru izmērus. n-dimensiju bihromatiski hiperkubi. Grehema numurs slavu ieguva tikai pēc stāsta par to Mārtina Gārdnera 1989. gada grāmatā "No Penrose Mosaics to Secure Ciphers".
Lai izskaidrotu, cik liels ir Grehema skaitlis, ir jāpaskaidro cits lielu skaitļu rakstīšanas veids, ko ieviesa Donalds Knuts 1976. gadā. Amerikāņu profesors Donalds Knuts nāca klajā ar superpakāpes jēdzienu, kuru viņš ierosināja uzrakstīt ar bultiņām, kas vērstas uz augšu:
Es domāju, ka viss ir skaidrs, tāpēc atgriezīsimies pie Grehema numura. Ronalds Grehems ierosināja tā sauktos G skaitļus:
Šeit ir skaitlis G 64, un to sauc par Grehema numuru (to bieži apzīmē vienkārši kā G). Šis skaitlis ir lielākais zināmais skaitlis pasaulē, kas izmantots matemātiskā pierādījumā, un ir pat iekļauts Ginesa rekordu grāmatā.
Un visbeidzot
Pēc šī raksta uzrakstīšanas es nevaru pretoties kārdinājumam un nākt klajā ar savu numuru. Lai sauc šo numuru stasplex» un būs vienāds ar skaitli G 100 . Iegaumējiet to un, kad jūsu bērni jautā, kāds ir lielākais skaitlis pasaulē, pasakiet viņiem, ka šis numurs tiek saukts stasplex.
Partneru ziņas
Vēl ceturtajā klasē mani interesēja jautājums: "Kā sauc tos skaitļus, kas pārsniedz miljardu? Un kāpēc?". Kopš tā laika es ilgu laiku meklēju visu informāciju par šo jautājumu un krāju to pamazām. Taču līdz ar piekļuves internetam parādīšanos meklēšana ir ievērojami paātrinājusies. Tagad izklāstu visu atrasto informāciju, lai citi varētu atbildēt uz jautājumu: "Kā sauc lielus un ļoti lielus skaitļus?".
Mazliet vēstures
Dienvidu un austrumu slāvu tautas skaitļu pierakstīšanai izmantoja alfabētisku numerāciju. Turklāt krievu vidū ne visi burti spēlēja ciparu lomu, bet tikai tie, kas ir grieķu alfabētā. Virs burta, kas apzīmē skaitli, tika novietota īpaša ikona "titlo". Tajā pašā laikā burtu skaitliskās vērtības palielinājās tādā pašā secībā, kā sekoja grieķu alfabēta burti (slāvu alfabēta burtu secība bija nedaudz atšķirīga).
Krievijā slāvu numerācija saglabājās līdz 17. gadsimta beigām. Pētera I valdīšanas laikā dominēja tā sauktā "arābu numerācija", ko lietojam arī šodien.
Izmaiņas bija arī numuru nosaukumos. Piemēram, līdz 15. gadsimtam skaitlis "divdesmit" tika apzīmēts kā "divi desmit" (divi desmiti), bet pēc tam tas tika samazināts ātrākai izrunai. Līdz 15. gadsimtam skaitlis "četrdesmit" tika apzīmēts ar vārdu "četrdesmit", un 15.-16. gadsimtā šo vārdu aizstāja vārds "četrdesmit", kas sākotnēji nozīmēja maisu, kurā bija 40 vāveru vai sabalu ādas. novietots. Par vārda "tūkstotis" izcelsmi ir divas iespējas: no vecā nosaukuma "resnais simts" vai no latīņu vārda centum modifikācijas - "simts".
Nosaukums "miljons" pirmo reizi parādījās Itālijā 1500. gadā un tika izveidots, pievienojot skaitlim "mille" pastiprinošu piedēkli - tūkstotis (t.i. tas nozīmēja "liels tūkstotis"), krievu valodā tas ienāca vēlāk, un pirms tam tāda pati nozīme krievu valodā tika apzīmēta ar skaitli "leodr". Vārds "miljards" sāka lietot tikai no Francijas-Prūsijas kara laika (1871), kad frančiem bija jāmaksā Vācijai 5 000 000 000 franku atlīdzība. Tāpat kā "miljons", vārds "miljards" cēlies no saknes "tūkstotis", pievienojot itāļu palielināmo piedēkli. Vācijā un Amerikā kādu laiku vārds "miljards" nozīmēja skaitli 100 000 000; tas izskaidro, kāpēc vārds miljardieris Amerikā tika lietots, pirms kādam no bagātniekiem bija 1 000 000 000 USD. Vecajā (XVIII gadsimtā) Magņitska "aritmētikā" ir skaitļu nosaukumu tabula, kas nogādāta "kvadriljonā" (10 ^ 24, pēc sistēmas caur 6 cipariem). Perelmans Ya.I. grāmatā "Izklaidējošā aritmētika" ir doti tā laika lielo skaitļu nosaukumi, kas nedaudz atšķiras no šodienas: septiljons (10 ^ 42), oktaljons (10 ^ 48), nonalions (10 ^ 54), dekalions (10 ^ 60) , endecalion (10 ^ 66), dodecalion (10 ^ 72) un rakstīts, ka "nav tālāku nosaukumu".
Vārdu došanas principi un lielo skaitļu saraksts
Visi lielo skaitļu nosaukumi ir konstruēti diezgan vienkāršā veidā: sākumā ir latīņu kārtas skaitlis, bet beigās tam pievieno sufiksu -miljons. Izņēmums ir nosaukums "miljons", kas ir skaitļa nosaukums tūkstotis (miljons) un palielināmais piedēklis -miljons. Pasaulē ir divi galvenie vārdu veidi lieliem skaitļiem:
3x + 3 sistēma (kur x ir latīņu kārtas skaitlis) - šī sistēma tiek izmantota Krievijā, Francijā, ASV, Kanādā, Itālijā, Turcijā, Brazīlijā, Grieķijā
un 6x sistēma (kur x ir latīņu kārtas skaitlis) - šī sistēma ir visizplatītākā pasaulē (piemēram, Spānija, Vācija, Ungārija, Portugāle, Polija, Čehija, Zviedrija, Dānija, Somija). Tajā trūkstošais starpposms 6x + 3 beidzas ar galotni -miljards (no tā mēs aizņēmāmies miljardu, ko arī sauc par miljardu).
Vispārējais Krievijā izmantoto numuru saraksts ir parādīts zemāk:
| Numurs | Vārds | Latīņu cipars | SI palielinātājs | SI deminutīvs prefikss | Praktiskā vērtība |
| 10 1 | desmit | desmit- | izšķirt- | Pirkstu skaits uz 2 rokām | |
| 10 2 | simts | hekto- | centi- | Apmēram puse no visu stāvokļu skaita uz Zemes | |
| 10 3 | viens tūkstotis | kilograms- | Milli- | Aptuvenais dienu skaits 3 gados | |
| 10 6 | miljons | unus (es) | mega- | mikro- | 5 reizes lielāks par pilienu skaitu 10 litru ūdens spainī |
| 10 9 | miljards (miljards) | duets (II) | giga- | nano | Aptuvenais Indijas iedzīvotāju skaits |
| 10 12 | triljoni | tres(III) | tera- | piko- | 1/13 no Krievijas iekšzemes kopprodukta rubļos par 2003. gadu |
| 10 15 | kvadriljons | quattor (IV) | peta- | femto- | 1/30 no parseka garuma metros |
| 10 18 | kvintiljons | quinque (V) | exa- | atto- | 1/18 no graudu skaita no leģendārās balvas šaha izgudrotājam |
| 10 21 | sekstiljons | sekss (VI) | zetta- | zepto- | 1/6 no planētas Zeme masas tonnās |
| 10 24 | septiljons | septembris (VII) | yotta- | yocto- | Molekulu skaits 37,2 litros gaisa |
| 10 27 | oktiljons | okto (VIII) | Nē- | siets- | Puse no Jupitera masas kilogramos |
| 10 30 | kvintiljons | novembris (IX) | nāve- | tredo- | 1/5 no visiem mikroorganismiem uz planētas |
| 10 33 | decillion | decem (X) | una- | revo- | Puse no Saules masas gramos |
Turpmāko skaitļu izruna bieži atšķiras.
| Numurs | Vārds | Latīņu cipars | Praktiskā vērtība |
| 10 36 | andecillion | undecim (XI) | |
| 10 39 | duodecilion | duodecim (XII) | |
| 10 42 | tredecillion | tredecim (XIII) | 1/100 no gaisa molekulu skaita uz Zemes |
| 10 45 | quattordecillion | quattuordecim (XIV) | |
| 10 48 | kvindeciljons | kvindecims (XV) | |
| 10 51 | dzimuma decilijs | sedecim (XVI) | |
| 10 54 | septemdeciljons | Septembris (XVII) | |
| 10 57 | oktodeciljons | Tik daudz elementāru daļiņu saulē | |
| 10 60 | novemdecilion | ||
| 10 63 | vigintiljons | viginti (XX) | |
| 10 66 | anvigintiljons | unus et viginti (XXI) | |
| 10 69 | duovigintiljons | duo et viginti (XXII) | |
| 10 72 | trevigintiljons | Tres et viginti (XXIII) | |
| 10 75 | quattorvigintillion | ||
| 10 78 | kvinvigintiljons | ||
| 10 81 | seksvigintiljons | Tik daudz elementāru daļiņu Visumā | |
| 10 84 | septemvigintiljons | ||
| 10 87 | oktovigintiljons | ||
| 10 90 | novemvigintiljons | ||
| 10 93 | trigintiljons | triginta (XXX) | |
| 10 96 | antirigintiljons |
- ...
- 10 100 - googols (skaitli izgudroja amerikāņu matemātiķa Edvarda Kasnera 9 gadus vecais brāļadēls)
- 10 123 — kvadragintiljons (quadragaginta, XL)
- 10 153 — kvinkvagintiljons (quinquaginta, L)
- 10 183 — seksagintiljons (sexaginta, LX)
- 10 213 — septuagintiljons (septuaginta, LXX)
- 10 243 — oktogintiljons (octoginta, LXXX)
- 10 273 — nonagintillion (nonaginta, XC)
- 10 303 — simtmiljoni (Centum, C)
- 10 306 - simtmiljons vai simtmiljons
- 10 309 - duocentillion vai centduollion
- 10 312 - trecentiljoni vai centtriljoni
- 10 315 - kvottorcentiljoni vai centkvadriljoni
- 10 402 - tretrigintacentiljons vai centtretrigintiljons
Nākamie skaitļi:
Dažas literāras atsauces:
- Perelmans Ya.I. "Izklaidējoša aritmētika". - M.: Triada-Litera, 1994, 134.-140.lpp
- Vigodskis M.Ya. "Elementārās matemātikas rokasgrāmata". - Sanktpēterburga, 1994, 64.-65.lpp
- "Zināšanu enciklopēdija". - sast. UN. Korotkevičs. - Sanktpēterburga: Pūce, 2006, 257. lpp
- "Izklaidējoša par fiziku un matemātiku." - Kvanta bibliotēka. izdevums 50. - M.: Nauka, 1988, 50. lpp
“Es redzu neskaidru skaitļu kopas, kas slēpjas tur tumsā, aiz mazā gaismas plankuma, ko dod prāta svece. Viņi čukst viens otram; runā par to, kas zina, ko. Varbūt viņiem ļoti nepatīk, ka ar prātu sagūstam savus mazos brāļus. Vai varbūt viņi vienkārši vada nepārprotamu skaitlisku dzīvesveidu, ārpus mūsu izpratnes.
Duglass Rejs
Turpinām savējo. Šodien mums ir skaitļi...
Agri vai vēlu visus mocīja jautājums, kāds ir lielākais skaitlis. Uz bērna jautājumu var atbildēt miljons. Ko tālāk? triljons. Un vēl tālāk? Patiesībā atbilde uz jautājumu, kādi ir lielākie skaitļi, ir vienkārša. Vienkārši ir vērts pievienot vienu lielākajam skaitlim, jo tas vairs nebūs lielākais. Šo procedūru var turpināt bezgalīgi.
Bet, ja jautājat sev: kāds ir lielākais skaitlis, kas pastāv, un kāds ir tā nosaukums?
Tagad mēs visi zinām...
Ir divas skaitļu nosaukšanas sistēmas - amerikāņu un angļu.
Amerikāņu sistēma ir uzbūvēta pavisam vienkārši. Visi lielo skaitļu nosaukumi ir veidoti šādi: sākumā ir latīņu kārtas skaitlis, bet beigās tiek pievienots piedēklis -miljons. Izņēmums ir vārds "miljons", kas ir skaitļa tūkstotis (lat. mille) un palielināmo piedēkli -miljons (sk. tabulu). Tātad tiek iegūti skaitļi – triljons, kvadriljons, kvintiljons, sekstiljons, septiljons, oktiljons, nemiljons un deciljons. Amerikāņu sistēma tiek izmantota ASV, Kanādā, Francijā un Krievijā. Jūs varat uzzināt nulles skaitu skaitļā, kas rakstīts amerikāņu sistēmā, izmantojot vienkāršu formulu 3 x + 3 (kur x ir latīņu cipars).
Angļu valodas nosaukumu sistēma ir visizplatītākā pasaulē. To lieto, piemēram, Lielbritānijā un Spānijā, kā arī lielākajā daļā bijušo Anglijas un Spānijas koloniju. Ciparu nosaukumi šajā sistēmā ir veidoti šādi: šādi: latīņu ciparam tiek pievienots sufikss -miljons, nākamais skaitlis (1000 reizes lielāks) tiek veidots pēc principa - tas pats latīņu cipars, bet sufikss ir - miljards. Tas ir, pēc triljona angļu sistēmā nāk triljons, un tikai tad kvadriljons, kam seko kvadriljons utt. Tādējādi kvadriljons pēc angļu un amerikāņu sistēmām ir pilnīgi atšķirīgi skaitļi! Jūs varat uzzināt nulles skaitu skaitļā, kas rakstīts angļu valodā un beidzas ar sufiksu -miljons, izmantojot formulu 6 x + 3 (kur x ir latīņu cipars) un izmantojot formulu 6 x + 6 skaitļiem, kas beidzas ar - miljards.
No angļu sistēmas krievu valodā pārgāja tikai skaitlis miljards (10 9 ), ko tomēr pareizāk būtu saukt tā, kā to sauc amerikāņi - miljards, jo mēs esam pieņēmuši amerikāņu sistēmu. Bet kurš mūsu valstī kaut ko dara pēc noteikumiem! ;-) Starp citu, dažreiz vārds triljons tiek lietots arī krieviski (par to varat pārliecināties, veicot meklēšanu Google vai Yandex) un tas nozīmē, šķiet, 1000 triljonus, t.i. kvadriljons.
Papildus cipariem, kas rakstīti, izmantojot latīņu prefiksus amerikāņu vai angļu sistēmā, ir zināmi arī tā sauktie ārpussistēmas numuri, t.i. numuri, kuriem ir savi nosaukumi bez latīņu prefiksiem. Ir vairāki šādi skaitļi, bet es par tiem pastāstīšu sīkāk nedaudz vēlāk.
Atgriezīsimies pie rakstīšanas, izmantojot latīņu ciparus. Šķiet, ka viņi var rakstīt skaitļus līdz bezgalībai, taču tā nav pilnīgi taisnība. Tagad es paskaidrošu, kāpēc. Vispirms apskatīsim, kā tiek saukti skaitļi no 1 līdz 10 33:
Un tā, tagad rodas jautājums, kas tālāk. Kas ir decilis? Principā, protams, ir iespējams, kombinējot prefiksus, lai ģenerētu tādus monstrus kā: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion un novemdecillion, bet tie jau mūs interesēja. mūsu pašu vārdu numuri. Tāpēc saskaņā ar šo sistēmu papildus iepriekš norādītajiem joprojām varat iegūt tikai trīs - vigintiljonus (no lat.viginti- divdesmit), centiljons (no lat.procentiem- simts) un miljons (no lat.mille- viens tūkstotis). Romiešiem nebija vairāk par tūkstoš skaitļu īpašvārdu (visi skaitļi, kas pārsniedz tūkstoti, bija salikti). Piemēram, piezvanīja miljons (1 000 000) romiešucentena miliai., desmit simti tūkstoši. Un tagad, patiesībā, tabula:
Tādējādi saskaņā ar līdzīgu sistēmu skaitļi ir lielāki par 10 3003 , kam būtu savs, nesalikts nosaukums, dabūt nav iespējams! Bet tomēr ir zināmi skaitļi, kas lielāki par miljonu – tie ir ļoti nesistēmiski skaitļi. Visbeidzot, parunāsim par tiem.
Mazākais šāds skaitlis ir neskaitāmi daudz (tas ir pat Dāla vārdnīcā), kas nozīmē simts simti, tas ir, 10 000. Tiesa, šis vārds ir novecojis un praktiski netiek lietots, taču interesanti, ka vārds "miriāds" ir plaši lietots, kas nebūt nenozīmē noteiktu skaitu, bet gan kaut ko nesaskaitāmu, neskaitāmu kopumu. Tiek uzskatīts, ka vārds myriad (angļu myriad) nāca Eiropas valodās no senās Ēģiptes.
Pastāv dažādi viedokļi par šī numura izcelsmi. Daži uzskata, ka tā izcelsme ir Ēģiptē, savukārt citi uzskata, ka tas ir dzimis tikai Senajā Grieķijā. Lai kā arī būtu, patiesībā milzums slavu ieguva tieši pateicoties grieķiem. Myriad bija nosaukums 10 000, un nebija nosaukumu skaitļiem, kas pārsniedz desmit tūkstošus. Taču piezīmē "Psammits" (t.i., smilšu aprēķins) Arhimēds parādīja, kā var sistemātiski veidot un nosaukt patvaļīgi lielus skaitļus. Konkrēti, ievietojot magoņu sēklās 10 000 (neskaitāmus) smilšu graudiņus, viņš atklāj, ka Visumā (bumba ar neskaitāmu Zemes diametru diametru) ietilptu (mūsu apzīmējumā) ne vairāk kā 10 63
smilšu graudi. Interesanti, ka mūsdienu aprēķini par atomu skaitu redzamajā Visumā noved pie skaitļa 10 67
(tikai neskaitāmas reizes vairāk). Arhimēda ieteiktie skaitļu nosaukumi ir šādi:
1 miriads = 10 4.
1 di-miriāde = neskaitāmi neskaitāmi = 10 8
.
1 trīs neskaitāmi = divi neskaitāmi daudzumi = 10 16
.
1 tetra-miriāde = trīs neskaitāmi trīs-miriāde = 10 32
.
utt.
Googol (no angļu valodas googol) ir skaitlis no desmit līdz simtajai pakāpei, tas ir, viens ar simts nullēm. Pirmo reizi par "googolu" 1938. gadā žurnāla Scripta Mathematica janvāra izdevumā rakstā "Jauni vārdi matemātikā" rakstīja amerikāņu matemātiķis Edvards Kasners. Pēc viņa teiktā, viņa deviņus gadus vecais brāļadēls Miltons Sirota ieteicis lielu numuru nosaukt par "googol". Šis numurs kļuva plaši pazīstams, pateicoties viņa vārdā nosauktajai meklētājprogrammai. Google. Ņemiet vērā, ka “Google” ir preču zīme un googol ir skaitlis.
Edvards Kasners.
Internetā to bieži var pieminēt, taču tas tā nav ...
Plaši pazīstamajā budistu traktātā Jaina Sutra, kas datēts ar 100. gadu pirms mūsu ēras, skaitlis Asankheya (no ķīniešu. asentzi- neaprēķināms), vienāds ar 10 140. Tiek uzskatīts, ka šis skaitlis ir vienāds ar kosmisko ciklu skaitu, kas nepieciešams, lai iegūtu nirvānu.
Googolplex (angļu valodā) googolplex) - skaitlis, ko arī izdomājis Kasners ar savu brāļadēlu un kas nozīmē vienu ar googolu no nullēm, tas ir, 10 10100 . Lūk, kā pats Kasners raksturo šo "atklājumu":
Gudrības vārdus bērni runā vismaz tikpat bieži kā zinātnieki. Vārdu "googol" izdomāja bērns (Dr. Kasnera deviņus gadus vecais brāļadēls), kuram tika lūgts izdomāt vārdu ļoti lielam skaitlim, proti, 1 ar simts nullēm aiz tā. pārliecināts, ka šis skaitlis nav bezgalīgs, un tāpēc vienlīdz pārliecināts, ka tam ir jābūt nosaukumam. googols, bet joprojām ir ierobežots, kā steidza norādīt nosaukuma izgudrotājs.
Matemātika un iztēle(1940), Kasner un James R. Newman.
Skivesa skaitli, kas ir pat lielāks par googolpleksa skaitli, Skivss ierosināja 1933. gadā (Skewes. J. Londonas matemātika. soc. 8, 277-283, 1933.), pierādot Rīmaņa minējumus par pirmskaitļiem. Tas nozīmē e tādā mērā e tādā mērā e līdz 79 jaudai, t.i., ee e 79 . Vēlāk Riele (te Riele, H. J. J. "Par atšķirības zīmi P(x)-Li(x)." Matemātika. Aprēķināt. 48, 323-328, 1987) samazināja Skuse skaitu līdz ee 27/4 , kas ir aptuveni vienāds ar 8,185 10 370 . Ir skaidrs, ka tā kā Skewes skaitļa vērtība ir atkarīga no skaitļa e, tad tas nav vesels skaitlis, tāpēc mēs to neuzskatīsim, pretējā gadījumā mums būtu jāatsauc citi nedabiski skaitļi - skaitlis pi, skaitlis e utt.
Taču jāatzīmē, ka ir otrs Skewes skaitlis, kas matemātikā tiek apzīmēts kā Sk2 , kas ir pat lielāks par pirmo Skewes skaitli (Sk1 ). Skuse otrais numurs, tajā pašā rakstā ieviesa J. Skuse, lai apzīmētu skaitli, kuram Rīmaņa hipotēze nav derīga. Sk2 ir 1010 10103 , t.i., 1010 101000 .
Kā jūs saprotat, jo vairāk grādu, jo grūtāk ir saprast, kurš no skaitļiem ir lielāks. Piemēram, skatoties uz Skewes skaitļiem, bez īpašiem aprēķiniem ir gandrīz neiespējami saprast, kurš no šiem diviem skaitļiem ir lielāks. Tādējādi superlieliem skaitļiem kļūst neērti izmantot pilnvaras. Turklāt jūs varat izdomāt šādus skaitļus (un tie jau ir izgudroti), ja grādu pakāpes vienkārši neiederas lapā. Jā, kāda lapa! Tās pat neiederēsies visa Visuma izmēra grāmatā! Šajā gadījumā rodas jautājums, kā tos pierakstīt. Problēma, kā jūs saprotat, ir atrisināma, un matemātiķi ir izstrādājuši vairākus šādu skaitļu rakstīšanas principus. Tiesa, katrs matemātiķis, kurš uzdeva šo problēmu, nāca klajā ar savu rakstīšanas veidu, kā rezultātā pastāvēja vairāki, nesaistīti, skaitļu rakstīšanas veidi – tie ir Knuta, Konveja, Steinhausa u.c. apzīmējumi.
Apsveriet Hugo Stenhausa apzīmējumu (H. Steinhaus. Matemātiskie momentuzņēmumi, 3. izd. 1983), kas ir diezgan vienkārši. Steinhouse ieteica iekšā ierakstīt lielus skaitļus ģeometriskās formas- trīsstūris, kvadrāts un aplis:
Steinhouse nāca klajā ar diviem jauniem īpaši lieliem skaitļiem. Viņš sauca numuru - Mega, un numuru - Megiston.
Matemātiķis Leo Mozers precizēja Stenhausa apzīmējumu, ko ierobežoja tas, ka, ja bija jāraksta skaitļi, kas ir daudz lielāki par megistonu, radās grūtības un neērtības, jo bija jāvelk daudzi apļi vienu otra iekšpusē. Mozers ieteica zīmēt nevis apļus aiz kvadrātiem, bet piecstūrus, tad sešstūrus utt. Viņš arī ierosināja formālu apzīmējumu šiem daudzstūriem, lai skaitļus varētu rakstīt, nezīmējot sarežģītus modeļus. Mozera apzīmējums izskatās šādi:
Tādējādi saskaņā ar Mozera apzīmējumu Steinhausa mega ir rakstīts kā 2, bet megistons - kā 10. Turklāt Leo Mozers ieteica izsaukt daudzstūri, kura malu skaits ir vienāds ar mega - megagonu. Un viņš ierosināja skaitli "2 in Megagon", tas ir, 2. Šis skaitlis kļuva pazīstams kā Mozera numurs vai vienkārši kā Mozer.
Bet moser nav lielākais skaitlis. Lielākais skaitlis, kāds jebkad izmantots matemātiskajos pierādījumos, ir robežvērtība, kas pazīstama kā Grehema skaitlis, kas pirmo reizi tika izmantota 1977. gadā, lai pierādītu vienu aprēķinu Remzija teorijā. Tas ir saistīts ar bihromatiskajiem hiperkubiem, un to nevar izteikt bez īpašās 64 līmeņu sistēmas. īpašie matemātiskie simboli, ko Knuts ieviesa 1976. gadā.
Diemžēl Knuth apzīmējumā rakstīto skaitli nevar pārtulkot Mozera apzīmējumā. Tāpēc arī šī sistēma būs jāskaidro. Principā arī tajā nav nekā sarežģīta. Donalds Knuts (jā, jā, tas ir tas pats Knuts, kurš uzrakstīja Programmēšanas mākslu un izveidoja TeX redaktoru) nāca klajā ar lielvaras jēdzienu, kuru viņš ierosināja uzrakstīt ar bultiņām, kas vērstas uz augšu:
Kopumā tas izskatās šādi:
Es domāju, ka viss ir skaidrs, tāpēc atgriezīsimies pie Grehema numura. Grehems ierosināja tā sauktos G skaitļus:
- G1 = 3..3, kur virspakāpju bultu skaits ir 33.
- G2 = ..3, kur virspakāpju bultu skaits ir vienāds ar G1 .
- G3 = ..3, kur virspakāpju bultu skaits ir vienāds ar G2 .
- G63 = ..3, kur lielvaru bultu skaits ir G62 .
Skaitlis G63 kļuva pazīstams kā Grehema numurs (to bieži apzīmē vienkārši kā G). Šis skaitlis ir lielākais zināmais skaitlis pasaulē un pat iekļauts Ginesa rekordu grāmatā. Bet
Arābu skaitļu nosaukumos katrs cipars pieder savai kategorijai, un katri trīs cipari veido klasi. Tādējādi skaitļa pēdējais cipars norāda tajā esošo vienību skaitu un attiecīgi tiek saukts par vienību vietu. Nākamais, otrais no beigām, apzīmē desmitniekus (desmitnieku cipars), un trešais cipars no beigām norāda simtu skaitu skaitļā - simtu ciparu. Tālāk cipari tiek atkārtoti pēc kārtas katrā klasē, apzīmējot vienības, desmitniekus un simtus tūkstošu, miljonu utt. klasēs. Ja skaitlis ir mazs un nesatur desmitu vai simtu ciparu, tos pieņemts uzskatīt par nulli. Klases grupē numurus pa trim, bieži vien skaitļošanas ierīcēs vai ierakstos starp klasēm tiek ievietots punkts vai atstarpe, lai tās vizuāli nodalītu. Tas tiek darīts, lai būtu vieglāk nolasīt lielus skaitļus. Katrai klasei ir savs nosaukums: pirmie trīs cipari ir vienību klase, kam seko tūkstošu klase, tad miljoni, miljardi (vai miljardi) un tā tālāk.
Tā kā mēs izmantojam decimālo sistēmu, daudzuma pamatvienība ir desmit jeb 10 1 . Attiecīgi, palielinoties skaitļa ciparu skaitam, palielinās arī desmitnieku skaits 10 2, 10 3, 10 4 utt. Zinot desmitu skaitu, jūs varat viegli noteikt skaitļa klasi un kategoriju, piemēram, 10 16 ir desmitiem kvadriljonu, bet 3 × 10 16 ir trīs desmiti kvadriljonu. Skaitļu sadalīšana decimāldaļās notiek šādi – katrs cipars tiek attēlots atsevišķā terminā, reizinots ar nepieciešamo koeficientu 10 n, kur n ir cipara pozīcija skaitījumā no kreisās uz labo pusi.
Piemēram: 253 981 = 2 × 10 6 + 5 × 10 5 + 3 × 10 4 + 9 × 10 3 + 8 × 10 2 + 1 × 10 1
Arī skaitļa 10 jauda tiek izmantota, rakstot decimāldaļas: 10 (-1) ir 0,1 jeb viena desmitā daļa. Līdzīgi kā iepriekšējā rindkopā, decimālskaitli var arī sadalīt, un tādā gadījumā n norādīs cipara pozīciju no komata no labās puses uz kreiso, piemēram: 0,347629= 3x10 (-1) +4x10 (-2) +7x10 (-3) +6x10 (-4) +2x10 (-5) +9x10 (-6)
Decimālskaitļu nosaukumi. Decimālskaitļus nolasa pēc pēdējā cipara aiz komata, piemēram, 0,325 - trīs simti divdesmit piecas tūkstošdaļas, kur tūkstošdaļas ir pēdējā cipara 5 cipars.
Lielu skaitļu, ciparu un klašu nosaukumu tabula
| 1.šķiras vienība | 1. vienības cipars 2. vieta desmit 3. ranga simti |
1 = 10 0 10 = 10 1 100 = 10 2 |
| 2. šķiras tūkst | 1. cipars tūkstošos 2. cipars desmitiem tūkstošu 3. rangs simtiem tūkstošu |
1 000 = 10 3 10 000 = 10 4 100 000 = 10 5 |
| 3. klases miljoni | 1. cipars vienības miljons 2. cipars desmitiem miljonu 3. cipars simtiem miljonu |
1 000 000 = 10 6 10 000 000 = 10 7 100 000 000 = 10 8 |
| 4. klase miljardi | 1. cipara vienības miljards 2. cipars desmitiem miljardu 3. cipars simtiem miljardu |
1 000 000 000 = 10 9 10 000 000 000 = 10 10 100 000 000 000 = 10 11 |
| 5. klases triljoni | 1. cipara triljonu vienību Otrais cipars desmitiem triljonu 3. cipars simts triljoni |
1 000 000 000 000 = 10 12 10 000 000 000 000 = 10 13 100 000 000 000 000 = 10 14 |
| 6. klases kvadriljoni | 1. cipars kvadriljonu vienību 2. cipars desmitiem kvadriljonu 3. cipars desmitiem kvadriljonu |
1 000 000 000 000 000 = 10 15 10 000 000 000 000 000 = 10 16 100 000 000 000 000 000 = 10 17 |
| 7. klases kvintiljoni | 1. cipara kvintiljonu vienības 2. cipars desmitiem kvintiljonu 3. ranga simts kvintiljoni |
1 000 000 000 000 000 000 = 10 18 10 000 000 000 000 000 000 = 10 19 100 000 000 000 000 000 000 = 10 20 |
| 8. klases sekstiljoni | 1. cipars sekstiljonu vienību Sekstiljonu 2. cipars 3. ranga simts sekstiljoni |
1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21 10 000 000 000 000 000 000 000 = 10 22 1 00 000 000 000 000 000 000 000 = 10 23 |
| 9. klases septiljons | Septiljona 1. cipara vienības 2. cipars desmitiem septiljonu 3. ranga simts septiljons |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24 10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 25 100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 26 |
| 10. klases oktiljons | 1. cipara oktiljona vienības 2. cipars desmit oktiljoni 3. ranga simts oktiljons |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 27 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 28 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 29 |
Ir skaitļi, kas ir tik neticami, neticami lieli, ka būtu vajadzīgs viss Visums, lai tos pat pierakstītu. Bet lūk, kas patiešām tracina... daži no šiem neaptverami lielajiem skaitļiem ir ārkārtīgi svarīgi, lai izprastu pasauli.
Kad es saku "lielākais skaitlis Visumā", es tiešām domāju lielāko nozīmīgs skaitlis, maksimālais iespējamais skaitlis, kas kaut kādā veidā ir noderīgs. Pretendentu uz šo titulu ir daudz, taču es jūs uzreiz brīdinu: patiešām pastāv risks, ka, mēģinot to visu saprast, jūs sasitīsit prātā. Un turklāt ar pārāk daudz matemātikas jums ir maz prieka.
Googol un googolplex
Edvards Kasners
Mēs varētu sākt ar diviem, ļoti iespējams, lielākajiem skaitļiem, par kuriem esat dzirdējuši, un tie patiešām ir divi lielākie skaitļi, kuriem ir vispārpieņemtas definīcijas angļu valoda. (Ir diezgan precīza nomenklatūra, ko izmanto tik lieliem skaitļiem, cik vēlaties, taču šie divi skaitļi pašlaik nav atrodami vārdnīcās.) Google, kopš tā kļuva pasaules slavena (lai gan ar kļūdām, ņemiet vērā. patiesībā tas ir googols) g. Google forma radās 1920. gadā, lai radītu bērnu interesi par lieliem skaitļiem.
Šajā nolūkā Edvards Kasners (attēlā) Ņūdžersijas Palisades tūrē aizveda savus abus brāļadēlus Miltonu un Edvīnu Sirotus. Viņš aicināja viņus nākt klajā ar jebkādām idejām, un tad deviņus gadus vecais Miltons ieteica “googol”. No kurienes viņš ieguvis šo vārdu, nav zināms, taču Kasners tā nolēma 
vai skaitlis, kurā simts nulles seko vienam, turpmāk tiks saukts par googolu.
Taču jaunais Miltons ar to neapstājās, viņš nāca klajā ar vēl lielāku numuru — googolplex. Pēc Miltona teiktā, tas ir skaitlis, kurā vispirms ir 1 un pēc tam tik daudz nulles, cik varat uzrakstīt, pirms nogurst. Lai gan ideja ir aizraujoša, Kasners uzskatīja, ka ir nepieciešama formālāka definīcija. Kā viņš paskaidroja savā 1940. gada grāmatā Mathematics and the Imagination, Miltona definīcija atstāj atvērtu bīstamu iespēju, ka gadījuma jezga var kļūt par matemātiķi, kas ir pārāks par Albertu Einšteinu tikai tāpēc, ka viņam ir lielāka izturība.
Tāpēc Kasners nolēma, ka googolplex būtu vai 1, kam sekotu googols no nullēm. Pretējā gadījumā un apzīmējumā, kas ir līdzīgs tam, ar kuru mēs strādāsim ar citiem skaitļiem, mēs teiksim, ka googolplekss ir . Lai parādītu, cik tas ir burvīgi, Karls Sagans reiz atzīmēja, ka fiziski nav iespējams pierakstīt visas googolpleksa nulles, jo Visumā vienkārši nebija pietiekami daudz vietas. Ja viss novērojamā Visuma tilpums ir piepildīts ar smalkām putekļu daļiņām, kuru izmērs ir aptuveni 1,5 mikroni, tad skaitlis dažādos veidosšo daļiņu atrašanās vieta būs aptuveni vienāda ar vienu googolpleksu.
Lingvistiski runājot, googol un googolplex, iespējams, ir divi lielākie nozīmīgie skaitļi (vismaz angļu valodā), taču, kā mēs tagad noskaidrosim, ir bezgalīgi daudz veidu, kā definēt “nozīmību”.
Īstā pasaule
Ja mēs runājam par lielāko nozīmīgo skaitli, ir pamatots arguments, ka tas tiešām nozīmē, ka jums ir jāatrod lielākais skaitlis ar vērtību, kas patiesībā pastāv pasaulē. Mēs varam sākt ar pašreizējo cilvēku skaitu, kas šobrīd ir aptuveni 6920 miljoni. Pasaules IKP 2010. gadā tika lēsts aptuveni 61 960 miljardu dolāru apmērā, taču abi šie skaitļi ir mazi, salīdzinot ar aptuveni 100 triljoniem šūnu, kas veido cilvēka ķermeni. Protams, nevienu no šiem skaitļiem nevar salīdzināt ar kopējo daļiņu skaitu Visumā, ko parasti uzskata par aptuveni , un šis skaitlis ir tik liels, ka mūsu valodā tam nav vārda.
Mēs varam mazliet paspēlēties ar mērīšanas sistēmām, padarot skaitļus arvien lielākus un lielākus. Tādējādi Saules masa tonnās būs mazāka nekā mārciņās. Lielisks veids, kā to izdarīt, ir izmantot Planka vienības, kas ir mazākie iespējamie mēri, kuriem joprojām ir spēkā fizikas likumi. Piemēram, Visuma vecums Planka laikā ir aptuveni . Ja atgriezīsimies pie pirmās Planka laika vienības pēc Lielā sprādziena, mēs redzēsim, ka Visuma blīvums toreiz bija . Mēs kļūstam arvien vairāk, bet mēs vēl neesam tikuši pat līdz googolam.
Lielākais skaits ar jebkuru reālās pasaules pielietojumu vai šajā gadījumā reālās pasaules lietojumu, iespējams, ir viens no jaunākajiem Visumu skaita aprēķiniem multivisā. Šis skaitlis ir tik liels, ka cilvēka smadzenes burtiski nespēs uztvert visus šos dažādos Visumus, jo smadzenes spēj tikai aptuveni konfigurēt. Patiesībā šis skaitlis, iespējams, ir lielākais skaitlis ar jebkādu praktisku nozīmi, ja neņem vērā ideju par multiversu kopumā. Tomēr tur joprojām slēpjas daudz lielāki skaitļi. Bet, lai tos atrastu, mums jāiedziļinās tīrās matemātikas jomā, un nav labākas vietas, kur sākt kā pirmskaitļi.
Mersenne pirmizrādi
Daļa no grūtībām ir laba definīcija tam, kas ir “jēgpilns” skaitlis. Viens veids ir domāt par pirmskaitļiem un saliktajiem rādītājiem. Pirmskaitlis, kā jūs droši vien atceraties no skolas matemātikas, ir jebkurš naturāls skaitlis (kas nav vienāds ar vienu), kas dalās tikai ar sevi. Tātad un ir pirmskaitļi, un un ir salikti skaitļi. Tas nozīmē, ka jebkuru salikto skaitli galu galā var attēlot ar tā pirmajiem dalītājiem. Savā ziņā skaitlis ir svarīgāks par, teiksim, tāpēc, ka to nekādi nevar izteikt mazāku skaitļu reizinājuma izteiksmē.
Acīmredzot mēs varam iet nedaudz tālāk. , piemēram, patiesībā ir tikai , kas nozīmē, ka hipotētiskā pasaulē, kur mūsu zināšanas par skaitļiem ir ierobežotas ar , matemātiķis joprojām var izteikt . Bet nākamais skaitlis jau ir pirmskaitlis, kas nozīmē, ka vienīgais veids, kā to izteikt, ir tieši zināt par tā esamību. Tas nozīmē, ka lielākajiem zināmajiem pirmskaitļiem ir svarīga loma, bet, teiksim, googolam — kas galu galā ir tikai skaitļu kopums un , reizināts kopā — patiesībā nav. Un tā kā pirmskaitļi lielākoties ir nejauši, nav zināms veids, kā paredzēt, ka neticami liels skaitlis patiešām būs pirmskaitļi. Līdz šai dienai jaunu pirmskaitļu atklāšana ir grūts uzdevums.
Senās Grieķijas matemātiķiem pirmskaitļu jēdziens bija vismaz 500. gadā pirms mūsu ēras, un 2000 gadus vēlāk cilvēki joprojām zināja, kādi pirmskaitļi ir aptuveni līdz 750. Eiklida domātāji saskatīja vienkāršošanas iespēju, bet līdz renesanses matemātiķiem praktiski to neizmantoju. Šie skaitļi ir zināmi kā Mersenna skaitļi un ir nosaukti 17. gadsimta franču zinātnieces Marinas Mersennas vārdā. Ideja ir pavisam vienkārša: Mersenna skaitlis ir jebkurš formas skaitlis. Tā, piemēram, un šis skaitlis ir galvenais, tas pats attiecas uz .
Mersenna pirmskaitļi ir daudz ātrāki un vieglāk nosakāmi nekā jebkura cita veida pirmskaitļi, un datori ir smagi strādājuši, lai tos atrastu pēdējo sešu gadu desmitu laikā. Līdz 1952. gadam lielākais zināmais pirmskaitlis bija skaitlis — skaitlis ar cipariem. Tajā pašā gadā datorā tika aprēķināts, ka skaitlis ir pirmizrāde, un šis skaitlis sastāv no cipariem, kas padara to jau daudz lielāku par googolu.
Kopš tā laika datori tiek meklēti, un Mersena skaitlis pašlaik ir lielākais cilvēcei zināmais pirmskaitlis. Atklāts 2008. gadā, tas ir skaitlis ar gandrīz miljoniem ciparu. Šis ir lielākais zināmais skaitlis, ko nevar izteikt ar mazākiem skaitļiem, un, ja vēlaties palīdzēt atrast vēl lielāku Mersenne skaitli, jūs (un jūsu dators) vienmēr varat pievienoties meklēšanai vietnē http://www.mersenne. org/.
Skewes numurs
Stenlijs Skuse
Atgriezīsimies pie pirmskaitļiem. Kā jau teicu iepriekš, tie uzvedas būtībā nepareizi, kas nozīmē, ka nav iespējams paredzēt, kāds būs nākamais pirmskaitlis. Matemātiķi ir spiesti pievērsties dažiem diezgan fantastiskiem mērījumiem, lai kaut kādā veidā kaut kādā neskaidrā veidā paredzētu nākotnes pirmskaitļus. Visveiksmīgākais no šiem mēģinājumiem, iespējams, ir funkcija, kas skaita pirmskaitļus, ko viņš izdomāja XVIII beigas gadsimta leģendārais matemātiķis Karls Frīdrihs Gauss.
Es aiztaupīšu jūs no sarežģītākas matemātikas — jebkurā gadījumā mums vēl ir daudz priekšā, taču funkcijas būtība ir šāda: jebkuram veselam skaitlim ir iespējams novērtēt, cik pirmskaitļu ir mazāki par . Piemēram, ja , funkcija paredz, ka jābūt pirmskaitļiem, if - pirmskaitļiem, kas ir mazāki par , un ja , tad ir mazāki skaitļi, kas ir pirmskaitļi.
Pirmskaitļu izkārtojums patiešām ir neregulārs, un tas ir tikai aptuvens faktiskā pirmskaitļu skaits. Faktiski mēs zinām, ka pirmskaitļi ir mazāki par , pirmskaitļi ir mazāki par , un pirmskaitļi ir mazāki par . Protams, tā ir lieliska aplēse, taču tā vienmēr ir tikai aplēse... un konkrētāk, aplēse no augšas.
Visos zināmajos gadījumos līdz , funkcija, kas atrod pirmskaitļu skaitu, nedaudz pārspīlē faktisko pirmskaitļu skaitu, kas ir mazāki par . Matemātiķi reiz domāja, ka tas tā būs vienmēr, ad infinitum, un ka tas noteikti attiecas uz dažiem neiedomājami milzīgiem skaitļiem, taču 1914. gadā Džons Edensors Litlvuds pierādīja, ka kādam nezināmam, neiedomājami milzīgam skaitlim šī funkcija sāks radīt mazāk pirmskaitļu. un tad tas bezgalīgi daudz reižu pārslēgsies starp pārvērtēšanu un nenovērtēšanu.
Medības bija par sacensību sākuma punktu, un tur parādījās Stenlijs Skuse (skat. foto). 1933. gadā viņš pierādīja, ka augšējā robeža, kad funkcija, kas pirmo reizi tuvina pirmskaitļu skaitu, dod mazāku vērtību, ir skaitlis. Pat visabstraktākajā nozīmē ir grūti saprast, kas īsti ir šis skaitlis, un no šī viedokļa tas bija lielākais skaitlis, kāds jebkad izmantots nopietnā matemātiskā pierādījumā. Kopš tā laika matemātiķi ir spējuši samazināt augšējo robežu līdz salīdzinoši nelielam skaitam, taču sākotnējais skaitlis ir palicis pazīstams kā Skewes skaitlis.
Tātad, cik liels ir skaitlis, kas padara pat vareno googolplex punduri? Grāmatā The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Deivids Velss apraksta vienu veidu, kā matemātiķis Hārdijs varēja saprast Skivesa skaitļa lielumu:
"Hardijs uzskatīja, ka tas ir "lielākais skaitlis, kas jebkad kalpojis kādam konkrētam mērķim matemātikā", un ierosināja, ka, ja šahu spēlētu ar visām Visuma daļiņām kā figūriņām, viens gājiens sastāvētu no divu daļiņu apmaiņas, un spēle apstāsies, kad tāda pati pozīcija tika atkārtota trešo reizi, tad visu iespējamo spēļu skaits būtu vienāds ar aptuveni Skuse'' skaitu.
Pēdējā lieta, pirms turpināt: mēs runājām par mazāko no diviem Skewes skaitļiem. Ir vēl viens Skewes skaitlis, ko matemātiķis atrada 1955. gadā. Pirmais skaitlis ir iegūts, pamatojoties uz to, ka tā sauktā Rīmaņa hipotēze ir patiesa — īpaši sarežģīta hipotēze matemātikā, kas joprojām nav pierādīta, ļoti noderīga, ja runa ir par pirmskaitļiem. Tomēr, ja Rīmaņa hipotēze ir nepatiesa, Skjūzs atklāja, ka lēciena sākuma punkts palielinās līdz .
Lieluma problēma
Pirms mēs nonākam pie skaitļa, kas liek pat Skuse skaitlim izskatīties niecīgam, mums nedaudz jāparunā par mērogu, jo pretējā gadījumā mēs nevaram novērtēt, kur mēs ejam. Vispirms ņemsim skaitli — tas ir niecīgs skaitlis, tik mazs, ka cilvēki patiesībā var intuitīvi saprast, ko tas nozīmē. Ir ļoti maz skaitļu, kas atbilst šim aprakstam, jo skaitļi, kas ir lielāki par sešiem, pārstāj būt atsevišķi skaitļi un kļūst par "vairākiem", "daudziem" utt.
Tagad ņemsim , t.i. . Lai gan mēs nevaram īsti intuitīvi, kā to darījām ar numuru, izdomāt, kas tas ir, iedomāties, kas tas ir, tas ir ļoti vienkārši. Pagaidām viss iet labi. Bet kas notiks, ja mēs dosimies uz? Tas ir vienāds ar , vai . Mēs esam ļoti tālu no tā, lai varētu iedomāties šo vērtību, tāpat kā jebkuru citu ļoti lielu vērtību - mēs zaudējam spēju uztvert atsevišķas daļas kaut kur ap miljonu. (Jāatzīst, ka būtu vajadzīgs neprātīgi ilgs laiks, lai kaut ko noskaitītu līdz miljonam, taču būtība ir tāda, ka mēs joprojām spējam uztvert šo skaitli.)
Tomēr, lai gan mēs nevaram iedomāties, mēs vismaz spējam saprast vispārīgi runājot, kas ir 7600 miljardi, iespējams, salīdzinot to ar kaut ko līdzīgu ASV IKP. Mēs esam pārgājuši no intuīcijas uz reprezentāciju līdz vienkāršai izpratnei, taču mums vismaz joprojām ir zināma nepilnība mūsu izpratnē par to, kas ir skaitlis. Tas drīz mainīsies, kad mēs paceļam vēl vienu pakāpienu pa kāpnēm.
Lai to izdarītu, mums ir jāpārslēdzas uz Donalda Knuta ieviesto apzīmējumu, kas pazīstams kā bultiņu apzīmējums. Šos apzīmējumus var rakstīt kā . Kad mēs dosimies uz , skaitlis, ko mēs saņemsim, būs . Tas ir vienāds ar to, kur ir trīskāršu kopskaits. Tagad esam ievērojami un patiesi pārspējuši visus pārējos jau minētos skaitļus. Galu galā pat lielākajā no tām indeksu sērijā bija tikai trīs vai četri dalībnieki. Piemēram, pat Skuse superskaitlis ir "tikai" - pat ar to, ka gan bāze, gan eksponenti ir daudz lielāki par , tas tomēr ir absolūti nieks, salīdzinot ar skaitļu torņa lielumu ar miljardiem dalībnieku.
Acīmredzot nav iespējams aptvert tik milzīgus skaitļus... un tomēr to radīšanas procesu joprojām var saprast. Mēs nevarējām saprast īsto skaitli, ko dod spēku tornis, kas ir miljards trīskāršu, bet principā varam iedomāties šādu torni ar daudziem dalībniekiem, un patiešām pieklājīgs superdators spēs saglabāt šādus torņus atmiņā, pat ja tas nevar aprēķināt to patiesās vērtības.
Tas kļūst arvien abstraktāks, bet tas tikai pasliktināsies. Varētu domāt, ka spēku tornis, kura eksponenta garums ir (turklāt iepriekšējā šī ieraksta versijā es pieļāvu tieši šādu kļūdu), bet tas ir tikai . Citiem vārdiem sakot, iedomājieties, ka jums ir iespēja aprēķināt precīzu trīskārša spēka torņa vērtību, kas sastāv no elementiem, un tad jūs ņemat šo vērtību un izveidojat jaunu torni, kurā ir tik daudz... kas dod .
Atkārtojiet šo procesu ar katru nākamo numuru ( Piezīme sākot no labās puses), līdz jūs to darāt vienu reizi, un tad beidzot jūs saņemat . Tas ir skaitlis, kas ir vienkārši neticami liels, bet vismaz soļi, lai to iegūtu, šķiet, ir skaidri, ja viss tiek darīts ļoti lēni. Mēs vairs nevaram saprast skaitļus vai iedomāties procedūru, kādā tie tiek iegūti, bet vismaz mēs varam saprast pamata algoritmu, tikai pietiekami ilgā laikā.
Tagad sagatavosim prātu, lai tas tiešām to uzspridzinātu.
Grehema (Grehema) numurs
Ronalds Grehems
Tādā veidā jūs iegūstat Grehema numuru, kas ir iekļauts Ginesa rekordu grāmatā kā lielākais skaitlis, kas jebkad izmantots matemātiskā pierādījumā. Pilnīgi neiespējami iedomāties, cik tas ir liels, un tikpat grūti ir precīzi izskaidrot, kas tas ir. Būtībā Grehema numurs tiek izmantots, strādājot ar hiperkubiem, kas ir teorētiskas ģeometriskas formas ar vairāk nekā trim dimensijām. Matemātiķis Ronalds Grehems (skat. foto) vēlējās noskaidrot, kāds ir mazākais izmēru skaits, kas noturētu noteiktas hiperkuba īpašības stabilas. (Atvainojiet par šo neskaidro skaidrojumu, bet esmu pārliecināts, ka mums visiem ir nepieciešami vismaz divi matemātikas grādi, lai tas būtu precīzāks.)
Jebkurā gadījumā Grehema skaitlis ir šī minimālā dimensiju skaita augšējais novērtējums. Tātad, cik liela ir šī augšējā robeža? Atgriezīsimies pie tik liela skaitļa, ka tā iegūšanas algoritmu varam saprast diezgan neskaidri. Tagad tā vietā, lai lēktu vēl vienu līmeni līdz , mēs saskaitīsim skaitli, kura starp pirmo un pēdējo trīskāršu ir bultiņas. Tagad mēs esam tālu ārpus pat mazākās izpratnes par to, kas ir šis skaitlis vai pat par to, kas jādara, lai to aprēķinātu.
Tagad atkārtojiet šo procesu reizes ( Piezīme katrā nākamajā darbībā mēs ierakstām bultu skaitu, kas ir vienāds ar iepriekšējā solī iegūto skaitli).
Tas, dāmas un kungi, ir Grehema skaitlis, kas ir aptuveni par kārtu virs cilvēka izpratnes punkta. Tas ir skaitlis, kas ir tik daudz lielāks par jebkuru skaitli, ko varat iedomāties – tas ir daudz lielāks par jebkuru bezgalību, kādu jūs jebkad varētu cerēt iedomāties – tas vienkārši ir pretrunā pat visabstraktākajam aprakstam.
Bet šeit ir dīvaina lieta. Tā kā Grehema skaitlis būtībā ir tikai trīskārši, kas reizināti kopā, mēs zinām dažas tā īpašības, to faktiski neaprēķinot. Mēs nevaram attēlot Grehema numuru nevienā mums pazīstamā apzīmējumā, pat ja mēs izmantojām visu Visumu, lai to pierakstītu, taču es varu jums sniegt pēdējos divpadsmit Grehema skaitļa ciparus: . Un tas vēl nav viss: mēs zinām vismaz pēdējos Grehema skaitļa ciparus.
Protams, ir vērts atcerēties, ka šis skaitlis ir tikai Grehema sākotnējās problēmas augšējā robeža. Iespējams, ka faktiskais mērījumu skaits, kas nepieciešams, lai izpildītu vēlamo īpašumu, ir daudz, daudz mazāks. Faktiski kopš 1980. gadiem lielākā daļa šīs jomas ekspertu ir uzskatījuši, ka patiesībā ir tikai sešas dimensijas — tik mazs skaitlis, ka mēs to varam saprast intuitīvā līmenī. Apakšējā robeža kopš tā laika ir palielināta līdz , taču joprojām pastāv ļoti liela iespēja, ka Grehema problēmas risinājums neatrodas tuvu tik lielam skaitlim kā Grehemam.
Līdz bezgalībai
Tātad ir skaitļi, kas ir lielāki par Grehema skaitli? Ir, protams, iesācējiem ir Grehema numurs. Kas attiecas uz ievērojamo skaitu... nu, ir dažas velnišķīgi sarežģītas matemātikas jomas (jo īpaši joma, kas pazīstama kā kombinatorika) un datorzinātnēs, kurās ir skaitļi, kas ir pat lielāki par Grehema skaitli. Bet mēs esam gandrīz sasnieguši robežu, ko es ceru, ka jebkad varētu saprātīgi izskaidrot. Tiem, kas ir pietiekami neapdomīgi, lai dotos vēl tālāk, tiek piedāvāta papildu lasīšana, uzņemoties risku.
Nu, tagad pārsteidzošs citāts, kas tiek attiecināts uz Duglasu Reju ( Piezīme Godīgi sakot, tas izklausās diezgan smieklīgi:
“Es redzu neskaidru skaitļu kopas, kas slēpjas tur tumsā, aiz mazā gaismas plankuma, ko dod prāta svece. Viņi čukst viens otram; runā par to, kas zina, ko. Varbūt viņiem ļoti nepatīk, ka ar prātu sagūstam savus mazos brāļus. Vai varbūt viņi vienkārši vada nepārprotamu skaitlisku dzīvesveidu, ārpus mūsu izpratnes.