Piramīda. Detalizēta teorija

1. definīcija. Piramīdu sauc par regulāru, ja tās pamats ir regulārs daudzstūris un šādas piramīdas virsotne tiek projicēta tās pamatnes centrā.

2. definīcija. Piramīdu sauc par regulāru, ja tās pamats ir regulārs daudzstūris un tās augstums iet caur pamatnes centru.

Regulāras piramīdas elementi

• Sānu skaldnes augstumu, kas novilkta no tās virsotnes, sauc apotēms. Attēlā tas ir apzīmēts kā segments ON
• Tiek saukts punkts, kas savieno sānu malas un neatrodas pamatnes plaknē piramīdas virsotne(O)
• Tiek saukti trijstūri, kuriem ir kopīga mala ar pamatni un viena no virsotnēm, kas sakrīt ar virsotni sānu sejas(AOD, DOC, COB, AOB)
• Tiek saukts perpendikula segments, kas novilkts caur piramīdas virsotni līdz tās pamatnes plaknei piramīdas augstums(LABI)
• Piramīdas šķērsgriezums pa diagonāli- šī ir sadaļa, kas iet caur pamatnes augšdaļu un diagonāli (AOC, BOD)
• Tiek saukts daudzstūris, kuram nav piramīdas virsotnes piramīdas pamats(ABCD)

Ja bāzē pareiza piramīda atrodas trīsstūris, četrstūris utt. tad to sauc regulārs trīsstūris , četrstūrveida utt.

Trīsstūrveida piramīda ir tetraedrs - tetraedrs.

Regulāras piramīdas īpašības

Lai atrisinātu problēmas, ir jāzina atsevišķu elementu īpašības, kuras nosacījumā parasti tiek izlaistas, jo tiek uzskatīts, ka skolēnam tas jāzina jau no paša sākuma.

• sānu ribas ir vienādas savā starpā
• apotēmi ir vienādi
• sānu virsmas ir vienādas savā starpā (tajā pašā laikā to laukumi, malas un pamatnes ir attiecīgi vienādas), tas ir, tie ir vienādi trīsstūri
• visas sānu skaldnes ir kongruenti vienādsānu trīsstūri
• jebkurā regulārā piramīdā jūs varat gan ierakstīt, gan aprakstīt sfēru ap to
• ja ierakstītās un apzīmētās sfēras centri sakrīt, tad plaknes leņķu summa piramīdas augšpusē ir π, un katrs no tiem ir attiecīgi π/n, kur n ir pamatnes daudzstūra malu skaits
• regulāras piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma
• apli var norobežot netālu no regulāras piramīdas pamatnes (sk. arī trijstūra ierobežotā riņķa rādiusu)
• visas sānu malas veido vienādus leņķus ar regulāras piramīdas pamatplakni
• visi sānu virsmu augstumi ir vienādi viens ar otru

Norādījumi problēmu risināšanai. Iepriekš uzskaitītajām īpašībām vajadzētu palīdzēt rast praktisku risinājumu. Ja jums ir jāatrod seju slīpuma leņķi, to virsma utt., tad vispārējais paņēmiens ir sadalīt visu trīsdimensiju figūru atsevišķās plakanās figūrās un izmantot to īpašības, lai atrastu atsevišķus piramīdas elementus, jo daudzi elementi ir kopīgi vairākām figūrām.

Ir nepieciešams sadalīt visu trīsdimensiju figūru atsevišķos elementos - trīsstūros, kvadrātos, segmentos. Tālāk pielietot zināšanas no planimetrijas kursa uz atsevišķiem elementiem, kas ievērojami atvieglo atbildes atrašanu.

Formulas pareizai piramīdai

Formulas tilpuma un sānu virsmas laukuma noteikšanai:

Apzīmējums:
V - piramīdas tilpums
S - bāzes platība
h - piramīdas augstums
Sb - sānu virsmas laukums
a - apotēms (nejaukt ar α)
P - bāzes perimetrs
n - pamatnes malu skaits
b - sānu ribu garums
α - plakans leņķis piramīdas augšpusē

Šo formulu tilpuma noteikšanai var izmantot tikai priekš pareizā piramīda:

, kur

V - regulāras piramīdas tilpums
h - regulārās piramīdas augstums
n ir regulārā daudzstūra malu skaits, kas ir regulārās piramīdas pamats
a - regulāra daudzstūra malas garums

Pareiza nošķelta piramīda

Ja novelkam griezumu paralēli piramīdas pamatnei, tad starp šīm plaknēm un sānu virsmu norobežoto ķermeni sauc. nošķelta piramīda. Šī nošķeltas piramīdas sadaļa ir viens no tās pamatiem.

Sānu virsmas augstumu (kas ir vienādsānu trapece) sauc - regulāras nošķeltas piramīdas apotēma.

Nošķelto piramīdu sauc par pareizu, ja piramīda, no kuras tā iegūta, ir pareiza.

• Attālumu starp nošķeltas piramīdas pamatiem sauc nošķeltas piramīdas augstums
• Visi regulāras nošķeltas piramīdas sejas ir vienādsānu (viensānu) trapeces

Piezīmes

Skatīt arī:īpaši gadījumi (formulas) parastajai piramīdai:

Kā izmantot šeit sniegtos teorētiskos materiālus lai atrisinātu savu problēmu:

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Gadījumā, ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valsts iestāžu pieprasījumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sabiedrības interešu apsvērumu dēļ.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

• apotēms- regulāras piramīdas sānu malas augstums, kas vilkts no tās augšas (turklāt apotēms ir perpendikula garums, kas ir nolaists no regulāra daudzstūra vidus līdz 1 no tā malām);
• sānu sejas (ASB, BSC, CSD, DSA) - trijstūri, kas saplūst augšpusē;
• sānu ribas ( AS , BS , CS , D.S. ) - sānu virsmu kopīgās puses;
• piramīdas virsotne (v. S) - punkts, kas savieno sānu malas un kas neatrodas pamatnes plaknē;
• augstums ( SO ) - perpendikula segments, kas tiek novilkts caur piramīdas virsotni līdz tās pamatnes plaknei (šāda segmenta gali būs piramīdas virsotne un perpendikula pamatne);
• piramīdas diagonālais griezums- piramīdas posms, kas iet cauri pamatnes augšai un diagonālei;
• bāze (ABCD) ir daudzstūris, kuram nepieder piramīdas virsotne.

piramīdas īpašības.

1. Ja visas sānu malas ir vienāda izmēra, tad:

• netālu no piramīdas pamatnes ir viegli aprakstīt apli, savukārt piramīdas virsotne tiks projicēta šī apļa centrā;
• sānu ribas veido vienādus leņķus ar pamatplakni;
• turklāt taisnība ir arī otrādi, t.i. kad sānu malas veido vienādus leņķus ar pamatplakni vai kad apli var aprakstīt netālu no piramīdas pamatnes un piramīdas virsotne tiks projicēta šī apļa centrā, tad visas piramīdas sānu malas ir vienāda izmēra.

2. Ja sānu virsmām ir vienādas vērtības slīpuma leņķis pret pamatnes plakni, tad:

• netālu no piramīdas pamatnes ir viegli aprakstīt apli, savukārt piramīdas virsotne tiks projicēta šī apļa centrā;
• sānu virsmu augstums ir vienāda garuma;
• sānu virsmas laukums ir ½ pamatnes perimetra un sānu virsmas augstuma reizinājums.

3. Piramīdas tuvumā var aprakstīt lodi, ja piramīdas pamats ir daudzstūris, ap kuru var aprakstīt apli (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Sfēras centrs būs to plakņu krustošanās punkts, kas iet caur tām perpendikulāri piramīdas malu viduspunktiem. No šīs teorēmas secinām, ka sfēru var aprakstīt gan ap jebkuru trīsstūri, gan ap jebkuru regulāru piramīdu.

4. Piramīdā var ierakstīt lodi, ja 1. punktā krustojas piramīdas iekšējo divskaldņu leņķu bisektoru plaknes (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Šis punkts kļūs par sfēras centru.

Vienkāršākā piramīda.

Pēc piramīdas pamatnes stūru skaita tos iedala trīsstūrveida, četrstūrveida un tā tālāk.

Piramīda būs trīsstūrveida, četrstūrveida, un tā tālāk, ja piramīdas pamats ir trīsstūris, četrstūris utt. Trīsstūrveida piramīda ir tetraedrs - tetraedrs. Četrstūrveida - piecsedrs un tā tālāk.