Ko sauc par algebriskās daļas vērtību. Pamatjēdzieni
Kad skolēns pāriet uz vidusskolu, matemātika tiek sadalīta 2 priekšmetos: algebra un ģeometrija. Jēdzienu kļūst arvien vairāk, uzdevumi kļūst grūtāki. Dažiem cilvēkiem ir grūti saprast daļskaitļus. Nokavēju pirmo nodarbību par šo tēmu, un voila. frakcijas? Jautājums, kas mocīs visu skolas mūžu.
Algebriskās daļas jēdziens
Sāksim ar definīciju. Zem algebriskā daļa Tiek saprastas P/Q izteiksmes, kur P ir skaitītājs un Q ir saucējs. Zem alfabētiskā ieraksta var paslēpt skaitli, ciparu izteiksmi, ciparu-alfabētisku izteiksmi.
Pirms domājat, kā atrisināt algebriskās daļas, vispirms ir jāsaprot, ka šāda izteiksme ir daļa no veseluma.
Parasti veselais ir 1. Skaitlis saucējā parāda, cik daļās vienība tika sadalīta. Skaitītājs ir nepieciešams, lai uzzinātu, cik elementu ir ņemti. Daļveida josla atbilst dalījuma zīmei. Ir atļauts ierakstīt daļskaitļu kā matemātisku darbību "Dalīšana". Šajā gadījumā skaitītājs ir dividende, saucējs ir dalītājs.
Pamatnoteikums parastajām frakcijām
Kad skolēni iziet cauri šai tēmai skolā, viņiem tiek sniegti piemēri, kas jāpastiprina. Lai tos pareizi atrisinātu un atrastu dažādus veidus, kā izkļūt no sarežģītām situācijām, jums jāpiemēro daļskaitļu pamatīpašība.
Tas izklausās šādi: ja reizināt gan skaitītāju, gan saucēju ar vienu un to pašu skaitli vai izteiksmi (izņemot nulli), parastās daļdaļas vērtība nemainīsies. Īpašs šī noteikuma gadījums ir abu izteiksmes daļu sadalīšana vienā un tajā pašā skaitļā vai polinomā. Šādas pārvērtības sauc par identiskām vienādībām.
Tālāk apskatīsim, kā atrisināt algebrisko daļskaitļu saskaitīšanu un atņemšanu, veikt daļskaitļu reizināšanu, dalīšanu un samazināšanu.
Matemātiskās darbības ar daļskaitļiem
Apsveriet, kā atrisināt algebriskās daļas galveno īpašību, kā to pielietot praksē. Ja jums ir nepieciešams reizināt divas daļskaitļus, pievienot tās, dalīt vienu ar otru vai atņemt, jums vienmēr ir jāievēro noteikumi.
Tātad saskaitīšanas un atņemšanas darbībai ir jāatrod papildu faktors, lai izteiksmes nonāktu pie kopsaucēja. Ja sākotnēji daļskaitļi tiek doti ar vienādām izteiksmēm Q, tad šis vienums ir jāizlaiž. Kad ir atrasts kopsaucējs, kā atrisināt algebriskās daļas? Skaitītāju pievienošana vai atņemšana. Bet! Jāatceras, ka, ja daļskaitļa priekšā ir zīme “-”, visas zīmes skaitītājā tiek apgrieztas. Dažreiz jums nevajadzētu veikt nekādas aizstāšanas un matemātiskas darbības. Pietiek nomainīt zīmi daļskaitļa priekšā.
Termins bieži tiek lietots kā frakcijas samazināšana. Tas nozīmē sekojošo: ja skaitītāju un saucēju dala ar izteiksmi, kas nav vienība (vienādi abām daļām), tad tiek iegūta jauna daļa. Dividende un dalītājs ir mazāki nekā iepriekš, taču daļskaitļu pamatnoteikuma dēļ tie paliek vienādi ar sākotnējo piemēru.
Šīs darbības mērķis ir iegūt jaunu nereducējamu izteiksmi. Šo problēmu var atrisināt, samazinot skaitītāju un saucēju ar lielāko kopīgo dalītāju. Darbības algoritms sastāv no diviem punktiem:
- GCD atrašana abām daļskaitļa daļām.
- Dalot skaitītāju un saucēju ar atrasto izteiksmi un iegūstot nereducējamu daļu, kas vienāda ar iepriekšējo.
Zemāk esošajā tabulā parādītas formulas. Ērtības labad varat to izdrukāt un nēsāt līdzi piezīmju grāmatiņā. Taču, lai turpmāk, risinot kontroldarbu vai eksāmenu, nerastos grūtības jautājumā, kā atrisināt algebriskās daļas, šīs formulas jāiemācās no galvas.
Daži piemēri ar risinājumiem
No teorētiskā viedokļa tiek aplūkots jautājums par to, kā atrisināt algebriskās daļas. Rakstā sniegtie piemēri palīdzēs labāk izprast materiālu.
1. Pārvērtiet daļskaitļus un apvienojiet tos līdz kopsaucējam.
2. Pārvērtiet daļskaitļus un apvienojiet tos līdz kopsaucējam.
Pēc teorētiskās daļas apguves un praktisko jautājumu izskatīšanas vairs nevajadzētu rasties jautājumiem.
Šajā nodarbībā tiek apspriests algebriskās daļas jēdziens. Cilvēks ar frakcijām sastopas vienkāršākajās dzīves situācijās: kad nepieciešams priekšmetu sadalīt vairākās daļās, piemēram, desmit cilvēkiem vienādi sagriezt kūku. Acīmredzot katrs dabūs pa gabalu no kūkas. Šajā gadījumā mēs saskaramies ar skaitliskās daļas jēdzienu, bet ir iespējama situācija, kad objekts ir sadalīts nezināmā daļās, piemēram, ar x. Šajā gadījumā rodas daļskaitļu izteiksmes jēdziens. Ar veselu skaitļu izteiksmēm (kas nesatur sadalījumu izteiksmēs ar mainīgajiem) un to īpašībām jau 7. klasē. Tālāk mēs apsvērsim racionālās daļas jēdzienu, kā arī mainīgo lielumu pieļaujamās vērtības.
Temats:Algebriskās daļas. Aritmētiskās darbības ar algebriskām daļām
Nodarbība:Pamatjēdzieni
1. Algebrisko daļu definīcija un piemēri
Racionālās izteiksmes tiek sadalītas veselu skaitļu un daļskaitļu izteiksmes.
Definīcija. racionālā daļa ir formas daļēja izteiksme, kur ir polinomi. - skaitītāja saucējs.
Piemēri racionālas izpausmes:
- daļskaitļu izteiksmes; ir veselu skaitļu izteiksmes. Piemēram, pirmajā izteiksmē skaitītājs ir , bet saucējs ir .
Nozīme algebriskā daļa, tāpat kā jebkurš algebriskā izteiksme, ir atkarīgs no tajā iekļauto mainīgo lielumu skaitliskās vērtības. Jo īpaši pirmajā piemērā daļas vērtība ir atkarīga no mainīgo vērtībām un , bet otrajā tikai no mainīgā vērtības.
2. Algebriskās daļskaitļa vērtības aprēķins un divi daļskaitļu pamatuzdevumi
Apsveriet pirmo tipisko uzdevumu: vērtības aprēķināšanu racionālā daļa plkst dažādas vērtības tajā iekļautie mainīgie.
1. piemērs. Aprēķiniet daļskaitļa vērtību a), b), c)
Risinājums. Aizvietojiet mainīgo vērtības norādītajā daļā: a), b), c) - neeksistē (jo nevar dalīt ar nulli).
Atbilde: 3; viens; neeksistē.
Kā mēs redzam, ir divi tipiski uzdevumi jebkurai daļai: 1) daļskaitļa aprēķināšana, 2) atrašana derīgas un nederīgas vērtības burtiski mainīgie.
Definīcija. Derīgas mainīgās vērtības ir to mainīgo vērtības, kuriem izteiksmei ir jēga. Tiek izsaukta visu pieļaujamo mainīgo vērtību kopa ODZ vai domēns.
3. Pieļaujamās (ODZ) un nederīgās mainīgo vērtības daļās ar vienu mainīgo
Literālo mainīgo lielumu vērtība var būt nederīga, ja šo vērtību daļas saucējs ir nulle. Visos citos gadījumos mainīgo vērtības ir derīgas, jo daļu var aprēķināt.
Piemērs 2. Nosakiet, pie kurām mainīgā vērtībām daļskaitlim nav jēgas.
Risinājums. Lai šai izteiksmei būtu jēga, ir nepieciešams un pietiekami, lai daļdaļas saucējs nebūtu vienāds ar nulli. Tādējādi tikai tās mainīgā vērtības, kurām saucējs būs vienāds ar nulli, būs nederīgas. Daļas saucējs, tāpēc mēs atrisinām lineāro vienādojumu:
Tāpēc attiecībā uz mainīgā lieluma daļskaitli nav jēgas.
No piemēra risinājuma izriet noteikums nederīgu mainīgo vērtību atrašanai - daļas saucējs ir vienāds ar nulli un tiek atrastas atbilstošā vienādojuma saknes.
Apskatīsim dažus līdzīgus piemērus.
Piemērs 3. Nosakiet, pie kurām mainīgā vērtībām daļskaitlim nav jēgas.
Risinājums. .
Atbilde. .
Piemērs 4. Nosakiet, pie kurām mainīgā vērtībām frakcijai nav jēgas.
Risinājums..
Ir arī citi šīs problēmas formulējumi – atrast domēns vai derīgo izteiksmes vērtību diapazons (ODZ). Tas nozīmē - atrodiet visas derīgās mainīgo vērtības. Mūsu piemērā tās ir visas vērtības, izņemot . Definīcijas joma ir ērti attēlota uz skaitliskās ass.
Lai to izdarītu, mēs uz tā izgriezīsim punktu, kā parādīts attēlā:
Pa šo ceļu, frakcijas domēns būs visi skaitļi, izņemot 3.
Atbilde..
Piemērs 5. Nosakiet, pie kurām mainīgā vērtībām frakcijai nav jēgas.
Risinājums..
Attēlosim iegūto risinājumu uz skaitliskās ass:
Atbilde..
4. Pieļaujamā laukuma (ODZ) un mainīgo vērtību nederīgo vērtību grafisks attēlojums daļskaitļos
6. piemērs. Nosakiet, pie kādām mainīgo vērtībām daļskaitlim nav jēgas.
Risinājums.. Esam ieguvuši divu mainīgo vienādību, dosim skaitliskus piemērus: vai utt.
Uzzīmēsim šo risinājumu grafikā Dekarta koordinātu sistēmā:
Rīsi. 3. Funkcijas grafiks.
Neviena punkta koordinātas, kas atrodas šajā grafikā, nav iekļautas frakcijas pieļaujamo vērtību apgabalā.
Atbilde. .
5. Materiāls, piemēram, "dalīšana ar nulli"
Aplūkotajos piemēros mēs saskārāmies ar situāciju, kad notika dalīšana ar nulli. Tagad apsveriet gadījumu, kad ir vairāk interesanta situācija ar dalījuma veidu.
7. piemērs. Nosakiet, pie kādām mainīgo vērtībām daļskaitlim nav jēgas.
Risinājums..
Izrādās, ka daļai nav jēgas, kad . Bet var apgalvot, ka tas tā nav, jo: 
.
Varētu šķist, ka, ja galīgā izteiksme ir vienāda ar 8, tad var aprēķināt arī sākotnējo izteiksmi, un tāpēc tai ir jēga. Tomēr, ja mēs to aizstājam sākotnējā izteiksmē, mēs iegūstam - tam nav jēgas.
Atbilde..
Lai izprastu šo piemēru sīkāk, mēs atrisinām šādu problēmu: kādām vērtībām norādītā daļa ir vienāda ar nulli?
(daļdaļa ir nulle, ja tās skaitītājs ir nulle) 
. Bet sākotnējais vienādojums ir jāatrisina ar daļskaitli, un tam nav jēgas, jo pie šīs mainīgā vērtības saucējs ir nulle. Tātad šim vienādojumam ir tikai viena sakne.
6. Noteikums ODZ atrašanai
Tādējādi mēs varam formulēt precīzu noteikumu, lai atrastu daļskaitļa pieļaujamo vērtību diapazonu: atrast ODZfrakcijas ir nepieciešams un pietiekami pielīdzināt tā saucēju nullei un atrast iegūtā vienādojuma saknes.
Mēs esam apsvēruši divus galvenos uzdevumus: daļdaļas vērtības aprēķināšana norādītajām mainīgo vērtībām un daļdaļas pieļaujamo vērtību laukuma atrašana.
Tagad apsvērsim vēl dažas problēmas, kas var rasties, strādājot ar daļskaitļiem.
7. Dažādi uzdevumi un secinājumi
8. piemērs. Pierādiet, ka jebkurai mainīgā vērtībai daļskaitlis .
Pierādījums. Skaitītājs ir pozitīvs skaitlis. . Rezultātā gan skaitītājs, gan saucējs ir pozitīvi skaitļi, tāpēc arī daļa ir pozitīvs skaitlis.
Pierādīts.
Piemērs 9. Ir zināms, ka , atrast .
Risinājums. Dalīsim daļskaitli ar terminu. Mums ir tiesības samazināt par, ņemot vērā, kas ir nederīga mainīgā vērtība šai daļai.
Atbilde..
Šajā nodarbībā mēs apskatījām pamatjēdzienus, kas saistīti ar daļskaitļiem. Nākamajā nodarbībā mēs apskatīsim daļdaļas pamatīpašība.
Bibliogrāfija
1. Bašmakovs M. I. Algebra 8. klase. - M.: Apgaismība, 2004.
2. Dorofejevs G. V., Suvorova S. B., Bunimovičs E. A. u.c. Algebra 8. - 5. izd. - M.: Izglītība, 2010.
3. Nikoļskis S. M., Potapovs M. A., Rešetņikovs N. N., Ševkins A. V. Algebra 8. klase. Mācību grāmata izglītības iestādēm. - M.: Izglītība, 2006.
1. Pedagoģisko ideju festivāls.
2. Vecā skola.
3. Interneta portāls lib2.podelise. ru.
Mājasdarbs
1. Nr. 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofejevs G. V., Suvorova S. B., Bunimovičs E. A. u.c. Algebra 8. - 5. izd. - M.: Izglītība, 2010.
2. Pierakstiet racionālu daļskaitli, kuras apgabals ir: a) kopa, b) kopa, c) visa skaitliskā ass.
3. Pierādiet, ka visām pieļaujamajām mainīgā vērtībām daļskaitļa vērtība nav negatīva.
4. Atrodiet izteiksmes apjomu. Padoms: aplūkojiet divus gadījumus atsevišķi: kad apakšējās daļas saucējs ir vienāds ar nulli un kad sākotnējās daļas saucējs ir vienāds ar nulli.
42.§ bija teikts, ka, ja polinomu dalīšanu nevar veikt pilnībā, tad koeficientu raksta kā daļveida izteiksmi, kurā dividende ir skaitītājs un dalītājs ir saucējs.
Daļskaitļu izteiksmju piemēri:
Daļējas izteiksmes skaitītājs un saucējs pats par sevi var būt daļskaitļa izteiksmes, piemēram:
No frakcionētajām algebriskajām izteiksmēm bieži vien ir jārisina tās, kurās skaitītājs un saucējs ir polinomi (jo īpaši monomi). Katru šādu izteiksmi sauc par algebrisko daļu.
Definīcija. Algebrisko izteiksmi, kas ir daļa, kuras skaitītājs un saucējs ir polinomi, sauc par algebrisko daļu.
Tāpat kā aritmētikā, algebriskās daļskaitļa skaitītāju un saucēju sauc par daļdaļas noteikumiem.
Nākotnē, izpētot darbības ar algebriskajām daļām, jebkuru daļskaitļu izteiksmi ar identisku pārveidojumu palīdzību varam pārveidot algebriskajā daļā.
Algebrisko daļu piemēri:
Ņemiet vērā, ka veselu izteiksmi, tas ir, polinomu, var uzrakstīt kā daļskaitli, tāpēc pietiek ar šo izteiksmi ierakstīt skaitītājā un 1 saucējā. Piemēram:
2. Derīgas burtu vērtības.
Burtiem, kas ietverti tikai skaitītājā, var būt jebkura vērtība (ja problēmas nosacījums neievieš papildu ierobežojumus).
Burtiem, kas iekļauti saucējā, ir derīgas tikai tās vērtības, kas nepārvērš saucēju par nulli. Tāpēc turpmāk mēs vienmēr pieņemsim, ka algebriskās daļas saucējs nav vienāds ar nulli.