Kāda ir izteiksmes vērtība? Izteiciena nozīmes atrašana: noteikumi, piemēri, risinājumi

7. klases algebras kursā nodarbojāmies ar veselu skaitļu izteiksmju transformācijām, tas ir, izteiksmēm, kas veidotas no skaitļiem un mainīgajiem, izmantojot saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas darbības, kā arī dalīšanu ar skaitli, kas nav nulle. Tātad izteiksmes ir veseli skaitļi

Turpretim izteicieni

papildus saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas darbībām tie satur dalīšanu izteiksmē ar mainīgajiem. Šādas izteiksmes sauc par daļskaitļa izteiksmēm.

Veselo skaitļu un daļskaitļu izteiksmes sauc par racionālām izteiksmēm.

Visai izteiksmei ir jēga jebkurai tajā iekļauto mainīgo vērtībām, jo, lai atrastu visas izteiksmes vērtību, ir jāveic darbības, kas vienmēr ir iespējamas.

Dažām mainīgajām vērtībām daļēja izteiksme var nebūt jēga. Piemēram, izteiksmei - nav jēgas, ja a = 0. Visām pārējām a vērtībām šī izteiksme ir jēga. Izteiksmei ir jēga tām x un y vērtībām, kad x ≠ y.

To mainīgo vērtības, kurām izteiksmei ir jēga, sauc par derīgām mainīgo vērtībām.

Formas izteiksmi sauc par daļskaitli.

Daļskaitli, kuras skaitītājs un saucējs ir polinomi, sauc par racionālu daļu.

Racionālo daļskaitļu piemēri ir daļskaitļi

Racionālā daļā pieņemamās mainīgo vērtības ir tās, kurām frakcijas saucējs nepazūd.

1. piemērs. Atradīsim mainīgā pieļaujamās vērtības frakcijā

Risinājums Lai noskaidrotu, pie kādām a vērtībām daļdaļas saucējs kļūst par nulli, jāatrisina vienādojums a(a - 9) = 0. Šim vienādojumam ir divas saknes: 0 un 9. Tāpēc visi skaitļi, izņemot 0 un 9 ir derīgas vērtības mainīgajam a.

2. piemērs. Pie kādas x vērtības ir daļskaitļa vērtība vienāds ar nulli?

Risinājums Daļa ir nulle tad un tikai tad, ja a - 0 un b ≠ 0.

Šajā rakstā ir apskatīts, kā atrast matemātisko izteiksmju vērtības. Sāksim ar vienkāršām skaitliskām izteiksmēm un pēc tam apsvērsim gadījumus, jo to sarežģītība palielinās. Beigās mēs piedāvājam izteiksmi, kas satur burtu simbolus, iekavas, saknes, īpašus matemātiskos simbolus, grādus, funkcijas utt. Saskaņā ar tradīciju mēs sniegsim visu teoriju ar bagātīgiem un detalizētiem piemēriem.

Kā atrast skaitliskās izteiksmes vērtību?

Ciparu izteiksmes, cita starpā, palīdz aprakstīt problēmas stāvokli matemātiskā valodā. Kopumā matemātiskās izteiksmes var būt vai nu ļoti vienkāršas, kas sastāv no skaitļu pāra un aritmētisko simbolu, vai arī ļoti sarežģītas, kas satur funkcijas, pakāpes, saknes, iekavas utt. Uzdevuma ietvaros bieži vien ir jāatrod konkrēta izteiciena nozīme. Kā to izdarīt, tiks apspriests tālāk.

Vienkāršākie gadījumi

Tie ir gadījumi, kad izteiksmē nav nekas cits kā skaitļi un aritmētiskās darbības. Lai veiksmīgi atrastu šādu izteiksmju vērtības, jums būs nepieciešamas zināšanas par aritmētisko darbību veikšanas secību bez iekavām, kā arī spēja veikt darbības ar dažādiem skaitļiem.

Ja izteiksmē ir tikai skaitļi un aritmētiskās zīmes " + " , " · " , " - " , " ÷ " , tad darbības tiek veiktas no kreisās puses uz labo šādā secībā: vispirms reizināšana un dalīšana, tad saskaitīšana un atņemšana. Sniegsim piemērus.

1. piemērs: skaitliskās izteiksmes vērtība

Ļaujiet jums atrast izteiksmes vērtības 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Vispirms veiksim reizināšanu un dalīšanu. Mēs iegūstam:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Tagad mēs veicam atņemšanu un iegūstam gala rezultātu:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

2. piemērs: skaitliskās izteiksmes vērtība

Aprēķināsim: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Vispirms veicam daļskaitļu konvertēšanu, dalīšanu un reizināšanu:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Tagad veiksim saskaitīšanu un atņemšanu. Sagrupēsim daļskaitļus un apvienosim tos līdz kopsaucējam:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Nepieciešamā vērtība ir atrasta.

Izteicieni ar iekavām

Ja izteiksmē ir iekavas, tās nosaka darbību secību šajā izteiksmē. Vispirms tiek veiktas darbības iekavās un pēc tam visas pārējās. Parādīsim to ar piemēru.

3. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Atradīsim izteiksmes vērtību 0,5 · (0,76 - 0,06).

Izteiksme satur iekavas, tāpēc vispirms iekavās veicam atņemšanas darbību un tikai pēc tam reizināšanu.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Izteicienu nozīme, kas satur iekavas iekavās, tiek atrasta pēc tāda paša principa.

4. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Aprēķināsim vērtību 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Darbības veiksim sākot no iekšējiem iekavām, pārejot uz ārējām.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Meklējot izteicienu nozīmes ar iekavām, galvenais ir ievērot darbību secību.

Izteicieni ar saknēm

Matemātiskās izteiksmes, kuru vērtības mums jāatrod, var saturēt saknes zīmes. Turklāt pati izteiksme var būt zem saknes zīmes. Ko darīt šajā gadījumā? Vispirms zem saknes jāatrod izteiksmes vērtība un pēc tam no iegūtā skaitļa jāizvelk sakne. Ja iespējams, skaitliskās izteiksmēs labāk atbrīvoties no saknēm, aizstājot tās ar skaitliskām vērtībām.

5. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Aprēķināsim izteiksmes vērtību ar saknēm - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Pirmkārt, mēs aprēķinām radikālas izteiksmes.

2 3–1 + 60 ÷ 4 3 = – 6–1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Tagad jūs varat aprēķināt visas izteiksmes vērtību.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Bieži vien, lai atrastu nozīmi izteiksmei ar saknēm, bieži vien vispirms ir jāpārveido sākotnējā izteiksme. Paskaidrosim to ar vēl vienu piemēru.

6. piemērs: skaitliskās izteiksmes vērtība

Kas ir 3 + 1 3 - 1 - 1

Kā redzat, mums nav iespējas aizstāt sakni ar precīzu vērtību, kas sarežģī skaitīšanas procesu. Tomēr šajā gadījumā varat izmantot saīsināto reizināšanas formulu.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Tādējādi:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Izteicieni ar pilnvarām

Ja izteiksmē ir jaudas, pirms visu citu darbību veikšanas ir jāaprēķina to vērtības. Gadās, ka eksponents vai pašas pakāpes bāze ir izteiksmes. Šajā gadījumā vispirms tiek aprēķināta šo izteiksmju vērtība un pēc tam pakāpes vērtība.

7. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Atradīsim izteiksmes vērtību 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Sāksim rēķināt secībā.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Atliek tikai veikt pievienošanas darbību un noskaidrot izteiciena nozīmi:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Bieži vien ir ieteicams arī vienkāršot izteiksmi, izmantojot pakāpes īpašības.

8. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Aprēķināsim šādas izteiksmes vērtību: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Eksponenti atkal ir tādi, ka to precīzas skaitliskās vērtības nevar iegūt. Vienkāršosim sākotnējo izteiksmi, lai atrastu tās vērtību.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Izteiksmes ar daļskaitļiem

Ja izteiksmē ir daļskaitļi, tad, aprēķinot šādu izteiksmi, visas tajā esošās daļas ir jāattēlo kā parastās daļskaitļi un jāaprēķina to vērtības.

Ja daļskaitļa skaitītājs un saucējs satur izteiksmes, tad vispirms tiek aprēķinātas šo izteiksmju vērtības un tiek pierakstīta pašas daļas galīgā vērtība. Aritmētiskās darbības tiek veiktas standarta secībā. Apskatīsim risinājuma piemēru.

9. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Atradīsim izteiksmes vērtību, kas satur daļskaitļus: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Kā redzat, sākotnējā izteiksmē ir trīs daļas. Vispirms aprēķināsim to vērtības.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Pārrakstīsim izteiksmi un aprēķināsim tās vērtību:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Bieži vien, atrodot izteicienu nozīmi, ir ērti samazināt daļskaitļus. Pastāv neizteikts noteikums: pirms atrast tā vērtību, vislabāk ir maksimāli vienkāršot jebkuru izteiksmi, samazinot visus aprēķinus līdz vienkāršākajiem gadījumiem.

10. piemērs: skaitliskās izteiksmes vērtība

Aprēķināsim izteiksmi 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Mēs nevaram pilnībā iegūt pieci sakni, bet mēs varam vienkāršot sākotnējo izteiksmi, izmantojot transformācijas.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Sākotnējā izteiksme ir šāda:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Aprēķināsim šīs izteiksmes vērtību:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Izteiksmes ar logaritmiem

Ja izteiksmē ir logaritmi, to vērtība, ja iespējams, tiek aprēķināta no sākuma. Piemēram, izteiksmē log 2 4 + 2 · 4 varat uzreiz pierakstīt šī logaritma vērtību, nevis log 2 4, un pēc tam veikt visas darbības. Mēs iegūstam: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Ciparu izteiksmes var atrast arī zem logaritma zīmes un tās pamatnē. Šajā gadījumā vispirms ir jāatrod to nozīme. Ņemsim izteiksmi log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Mums ir:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Ja nav iespējams aprēķināt precīzu logaritma vērtību, izteiksmes vienkāršošana palīdz atrast tās vērtību.

11. piemērs: skaitliskās izteiksmes vērtība

Atradīsim izteiksmes log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 vērtību.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Pēc logaritmu īpašībām:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Atkal izmantojot logaritmu īpašības, izteiksmes pēdējai daļai mēs iegūstam:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Tagad varat pāriet pie sākotnējās izteiksmes vērtības aprēķināšanas.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Izteiksmes ar trigonometriskām funkcijām

Gadās, ka izteiksme satur sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta trigonometriskās funkcijas, kā arī to apgrieztās funkcijas. Vērtība tiek aprēķināta no laika, kad tiek veiktas visas citas aritmētiskās darbības. Pretējā gadījumā izteiksme ir vienkāršota.

12. piemērs: skaitliskās izteiksmes vērtība

Atrodiet izteiksmes vērtību: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Pirmkārt, mēs aprēķinām izteiksmē iekļauto trigonometrisko funkciju vērtības.

sin - 5 π 2 = - 1

Mēs aizstājam vērtības izteiksmē un aprēķinām tās vērtību:

t g 2 4 π 3 - grēks - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Izteiksmes vērtība ir atrasta.

Bieži vien, lai atrastu izteiksmes vērtību ar trigonometriskām funkcijām, tā vispirms ir jāpārveido. Paskaidrosim ar piemēru.

13. piemērs: skaitliskās izteiksmes vērtība

Mums jāatrod izteiksmes vērtība cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Pārveidošanai mēs izmantosim trigonometriskās formulas dubultleņķa kosinuss un summas kosinuss.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos 1 π = cos π 4 - 1 π 1-1 = 0.

Vispārīgs skaitliskas izteiksmes gadījums

Kopumā trigonometriskā izteiksme var saturēt visus iepriekš aprakstītos elementus: iekavas, pakāpes, saknes, logaritmus, funkcijas. Formulēsim vispārējs noteikums atrast šādu izteicienu nozīmi.

Kā atrast izteiksmes vērtību

1. Saknes, pakāpes, logaritmi utt. tiek aizstātas ar to vērtībām.
2. Tiek veiktas iekavās norādītās darbības.
3. Atlikušās darbības tiek veiktas secībā no kreisās puses uz labo. Vispirms - reizināšana un dalīšana, tad saskaitīšana un atņemšana.

Apskatīsim piemēru.

14. piemērs: skaitliskās izteiksmes vērtība

Aprēķināsim izteiksmes vērtību - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Izteiciens ir diezgan sarežģīts un apgrūtinošs. Nejauši mēs izvēlējāmies tieši šādu piemēru, cenšoties iekļaut tajā visus iepriekš aprakstītos gadījumus. Kā atrast šāda izteiciena nozīmi?

Ir zināms, ka, aprēķinot sarežģītas daļskaitļu formas vērtību, vispirms atsevišķi tiek atrastas daļas skaitītāja un saucēja vērtības. Mēs secīgi pārveidosim un vienkāršosim šo izteiksmi.

Vispirms aprēķināsim radikālas izteiksmes 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 vērtību. Lai to izdarītu, jums jāatrod sinusa vērtība un izteiksme, kas ir trigonometriskās funkcijas arguments.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Tagad jūs varat uzzināt sinusa vērtību:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Mēs aprēķinām radikālas izteiksmes vērtību:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Ar daļskaitļa saucēju viss ir vienkāršāk:

Tagad mēs varam uzrakstīt visas frakcijas vērtību:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Ņemot to vērā, mēs rakstām visu izteiksmi:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Gala rezultāts:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Šajā gadījumā mēs varējām aprēķināt precīzas sakņu, logaritmu, sinusu utt. vērtības. Ja tas nav iespējams, varat mēģināt no tiem atbrīvoties, izmantojot matemātiskas transformācijas.

Izteiksmes vērtību aprēķināšana, izmantojot racionālas metodes

Skaitliskās vērtības jāaprēķina konsekventi un precīzi. Šo procesu var racionalizēt un paātrināt, izmantojot dažādas darbības ar skaitļiem īpašības. Piemēram, ir zināms, ka reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Ņemot vērā šo īpašību, mēs uzreiz varam teikt, ka izteiksme 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 ir vienāda ar nulli. Tajā pašā laikā vispār nav nepieciešams veikt darbības iepriekš rakstā aprakstītajā secībā.

Ir arī ērti izmantot vienādu skaitļu atņemšanas īpašību. Neveicot nekādas darbības, varat noteikt, ka izteiksmes 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 vērtība arī ir nulle.

Vēl viens paņēmiens procesa paātrināšanai ir identitātes transformāciju izmantošana, piemēram, terminu un faktoru grupēšana un kopējā faktora ievietošana iekavās. Racionāla pieeja izteiksmju aprēķināšanai ar daļskaitļiem ir vienādu izteiksmju samazināšana skaitītājā un saucējā.

Piemēram, ņemiet izteiksmi 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Neveicot darbības iekavās, bet samazinot daļskaitli, varam teikt, ka izteiksmes vērtība ir 1 3 .

Izteicienu vērtību atrašana ar mainīgajiem

Literatūras izteiksmes un izteiksmes ar mainīgajiem vērtība tiek atrasta noteiktām burtu un mainīgo vērtībām.

Izteicienu vērtību atrašana ar mainīgajiem

Lai atrastu burtiskās izteiksmes un izteiksmes ar mainīgajiem vērtību, jums ir jāaizstāj norādītās burtu un mainīgo vērtības sākotnējā izteiksmē un pēc tam jāaprēķina iegūtās skaitliskās izteiksmes vērtība.

15. piemērs. Izteiksmes vērtība ar mainīgajiem

Aprēķiniet izteiksmes 0, 5 x - y vērtību, ja x = 2, 4 un y = 5.

Mēs aizstājam mainīgo vērtības izteiksmē un aprēķinām:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Dažreiz jūs varat pārveidot izteiksmi tā, lai jūs iegūtu tās vērtību neatkarīgi no tajā iekļauto burtu un mainīgo vērtībām. Lai to izdarītu, izteiksmē ir jāatbrīvojas no burtiem un mainīgajiem, ja iespējams, izmantojot identiskas transformācijas, aritmētisko darbību īpašības un visas iespējamās citas metodes.

Piemēram, izteiksmei x + 3 - x acīmredzami ir vērtība 3, un, lai aprēķinātu šo vērtību, nav jāzina mainīgā x vērtība. Šīs izteiksmes vērtība ir vienāda ar trīs visām mainīgā x vērtībām no tā pieļaujamo vērtību diapazona.

Vēl viens piemērs. Izteiksmes x x vērtība ir vienāda ar vienu visiem pozitīvajiem x.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Tātad, ja skaitliskā izteiksme sastāv no skaitļiem un zīmēm +, −, · un:, tad secībā no kreisās uz labo vispirms jāveic reizināšana un dalīšana, pēc tam saskaitīšana un atņemšana, kas ļaus atrast vēlamā izteiksmes vērtība.

Skaidrības labad sniegsim dažus piemērus.

Piemērs.

Aprēķināt izteiksmes vērtību 14−2·15:6−3.

Risinājums.

Lai atrastu izteiksmes vērtību, ir jāveic visas tajā norādītās darbības saskaņā ar pieņemto šo darbību izpildes secību. Pirmkārt, secībā no kreisās uz labo, mēs veicam reizināšanu un dalīšanu, mēs iegūstam 14–2·15:6–3=14–30:6–3=14–5–3. Tagad veicam arī pārējās darbības secībā no kreisās uz labo: 14−5−3=9−3=6. Tādā veidā mēs atradām sākotnējās izteiksmes vērtību, tā ir vienāda ar 6.

Atbilde:

14−2·15:6−3=6.

Piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi.

Risinājums.

Šajā piemērā mums vispirms ir jāveic reizināšana 2·(−7) un dalīšana ar reizināšanu izteiksmē . Atceroties kā , mēs atrodam 2·(−7)=−14. Un vispirms veikt darbības izteiksmē , tad , un izpildiet: .

Iegūtās vērtības aizstājam sākotnējā izteiksmē: .

Bet ja zem saknes zīmes ir skaitliska izteiksme? Lai iegūtu šādas saknes vērtību, vispirms jāatrod radikālas izteiksmes vērtība, ievērojot pieņemto darbību izpildes secību. Piemēram, .

Skaitliskās izteiksmēs saknes ir jāuztver kā daži skaitļi, un ir ieteicams nekavējoties aizstāt saknes ar to vērtībām un pēc tam atrast iegūtās izteiksmes vērtību bez saknēm, veicot darbības pieņemtajā secībā.

Piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi ar saknēm.

Risinājums.

Vispirms noskaidrosim saknes vērtību . Lai to izdarītu, pirmkārt, mēs aprēķinām radikālas izteiksmes vērtību −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Un, otrkārt, mēs atrodam saknes vērtību.

Tagad aprēķināsim otrās saknes vērtību no sākotnējās izteiksmes: .

Visbeidzot, mēs varam atrast sākotnējās izteiksmes nozīmi, aizstājot saknes ar to vērtībām: .

Atbilde:

Diezgan bieži, lai atrastu izteiciena nozīmi ar saknēm, vispirms ir nepieciešams to pārveidot. Parādīsim piemēra risinājumu.

Piemērs.

Kāda ir izteiciena nozīme .

Risinājums.

Mēs nevaram aizstāt trīs sakni ar tās precīzu vērtību, kas neļauj mums aprēķināt šīs izteiksmes vērtību iepriekš aprakstītajā veidā. Tomēr mēs varam aprēķināt šīs izteiksmes vērtību, veicot vienkāršas transformācijas. Piemērojams kvadrātveida atšķirības formula: . Ņemot vērā, mēs iegūstam . Tādējādi sākotnējās izteiksmes vērtība ir 1.

Atbilde:

.

Ar grādiem

Ja bāze un eksponents ir skaitļi, tad to vērtību aprēķina, nosakot pakāpi, piemēram, 3 2 =3·3=9 vai 8 −1 =1/8. Ir arī ieraksti, kur bāze un/vai eksponents ir dažas izteiksmes. Šādos gadījumos ir jāatrod izteiksmes vērtība bāzē, izteiksmes vērtība eksponentā un pēc tam jāaprēķina pašas pakāpes vērtība.

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes vērtību ar formas pakāpēm 2 3·4–10 +16·(1–1/2) 3,5–2·1/4.

Risinājums.

Sākotnējā izteiksmē ir divas pakāpes 2 3·4–10 un (1–1/2) 3,5–2·1/4. To vērtības jāaprēķina pirms citu darbību veikšanas.

Sāksim ar jaudu 2 3·4−10. Tās rādītājs satur skaitlisku izteiksmi, aprēķināsim tās vērtību: 3·4−10=12−10=2. Tagad jūs varat atrast pašas pakāpes vērtību: 2 3 · 4−10 =2 2 =4.

Bāze un eksponents (1–1/2) 3,5–2 1/4 satur izteiksmes; mēs aprēķinām to vērtības, lai pēc tam atrastu eksponenta vērtību. Mums ir (1–1/2) 3,5–2 1/4 = (1/2) 3 = 1/8.

Tagad mēs atgriežamies pie sākotnējās izteiksmes, aizstājam tajā esošos grādus ar to vērtībām un atrodam vajadzīgās izteiksmes vērtību: 2 3·4–10 +16·(1–1/2) 3,5–2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Atbilde:

2 3·4–10 +16·(1–1/2) 3,5–2·1/4 =6.

Ir vērts atzīmēt, ka biežāk ir gadījumi, kad ieteicams veikt iepriekšēju pārbaudi izteiksmes vienkāršošana ar pilnvarām uz pamatnes.

Piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi .

Risinājums.

Spriežot pēc eksponentiem šajā izteiksmē, nebūs iespējams iegūt precīzas eksponentu vērtības. Mēģināsim vienkāršot sākotnējo izteicienu, iespējams, tas palīdzēs atrast tā nozīmi. Mums ir

Atbilde:

.

Spēki izteiksmēs bieži vien iet roku rokā ar logaritmiem, bet par izteicienu nozīmes atrašanu ar logaritmiem runāsim kādā no.

Izteiksmes ar daļskaitļiem vērtības atrašana

Skaitlisko izteiksmju apzīmējumos var būt daļskaitļi. Ja jums ir jāatrod šāda izteiksmes nozīme, daļskaitļi, kas nav daļskaitļi, ir jāaizstāj ar to vērtībām, pirms turpināt pārējās darbības.

Daļskaitļu skaitītājs un saucējs (kas atšķiras no parastajām daļām) var saturēt gan dažus skaitļus, gan izteiksmes. Lai aprēķinātu šādas daļskaitļa vērtību, jums jāaprēķina izteiksmes vērtība skaitītājā, jāaprēķina izteiksmes vērtība saucējā un pēc tam jāaprēķina pašas daļas vērtība. Šī secība ir izskaidrojama ar to, ka daļa a/b, kur a un b ir dažas izteiksmes, būtībā atspoguļo formas (a):(b) koeficientu, jo .

Apskatīsim risinājuma piemēru.

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes nozīmi ar daļskaitļiem .

Risinājums.

Sākotnējā skaitliskā izteiksmē ir trīs daļas Un . Lai atrastu sākotnējās izteiksmes vērtību, mums vispirms ir jāaizstāj šīs daļas ar to vērtībām. Darīsim to.

Daļas skaitītājs un saucējs satur skaitļus. Lai atrastu šādas daļskaitļa vērtību, aizstājiet daļskaitļu joslu ar dalījuma zīmi un veiciet šo darbību: .

Daļas skaitītājā ir izteiksme 7−2·3, tās vērtību ir viegli atrast: 7−2·3=7−6=1. Tādējādi,. Varat turpināt atrast trešās daļdaļas vērtību.

Trešā daļa skaitītājā un saucējā satur skaitliskas izteiksmes, tāpēc vispirms ir jāaprēķina to vērtības, un tas ļaus jums atrast pašas daļas vērtību. Mums ir .

Atliek aizstāt atrastās vērtības sākotnējā izteiksmē un veikt atlikušās darbības: .

Atbilde:

.

Bieži vien, atrodot izteiksmju vērtības ar daļskaitļiem, jums ir jāveic daļskaitļu izteiksmju vienkāršošana, pamatojoties uz darbību veikšanu ar daļskaitļiem un reducējošām daļām.

Piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi .

Risinājums.

Pieci sakni nevar iegūt pilnībā, tāpēc, lai atrastu sākotnējās izteiksmes vērtību, vispirms to vienkāršosim. Priekš šī atbrīvosimies no iracionalitātes saucējā pirmā daļa: . Pēc tam sākotnējā izteiksme iegūst formu . Pēc daļskaitļu atņemšanas saknes pazudīs, kas ļaus mums atrast sākotnēji dotās izteiksmes vērtību: .

Atbilde:

.

Ar logaritmiem

Ja skaitliskā izteiksme satur , un ja ir iespējams no tiem atbrīvoties, tad tas tiek darīts pirms citu darbību veikšanas. Piemēram, atrodot izteiksmes log 2 4+2·3 vērtību, logaritms log 2 4 tiek aizstāts ar tā vērtību 2, pēc kā tiek veiktas pārējās darbības parastajā secībā, tas ir, log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Ja zem logaritma zīmes un/vai tās pamatā ir skaitliskās izteiksmes, vispirms tiek atrastas to vērtības, pēc kurām tiek aprēķināta logaritma vērtība. Piemēram, apsveriet izteiksmi ar formas logaritmu . Logaritma pamatnē un zem tā zīmes atrodas skaitliskās izteiksmes, kuru vērtības atrodamas: . Tagad mēs atrodam logaritmu, pēc kura pabeidzam aprēķinus: .

Ja logaritmi nav precīzi aprēķināti, tad to iepriekšēja vienkāršošana, izmantojot . Šajā gadījumā jums ir labi jāpārvalda raksta materiāls logaritmisko izteiksmju konvertēšana.

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes vērtību ar logaritmiem .

Risinājums.

Sāksim ar log 2 aprēķinu (log 2 256) . Tā kā 256 = 2 8, tad log 2 256 = 8, tāpēc log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.

Logaritmus log 6 2 un log 6 3 var grupēt. Logaritmu log 6 2+log 6 3 summa ir vienāda ar reizinājuma log 6 (2 3) logaritmu, tādējādi, log 6 2+log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Tagad apskatīsim daļu. Sākumā mēs pārrakstīsim logaritma bāzi saucējā parastā daļskaitļa veidā kā 1/5, pēc tam izmantosim logaritmu īpašības, kas ļaus iegūt daļskaitļa vērtību:
.

Atliek tikai aizstāt iegūtos rezultātus ar sākotnējo izteiksmi un pabeigt tās vērtības atrašanu:

Atbilde:

Kā atrast trigonometriskās izteiksmes vērtību?

Ja skaitliskā izteiksmē ir vai utt., to vērtības tiek aprēķinātas pirms citu darbību veikšanas. Ja zem trigonometrisko funkciju zīmes ir skaitliskas izteiksmes, tad vispirms tiek aprēķinātas to vērtības, pēc kurām tiek atrastas trigonometrisko funkciju vērtības.

Piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi .

Risinājums.

Pievēršoties rakstam, mēs iegūstam un cosπ=−1 . Mēs aizstājam šīs vērtības sākotnējā izteiksmē, tā iegūst formu . Lai atrastu tā vērtību, vispirms ir jāveic eksponēšana un pēc tam jāpabeidz aprēķini: .

Atbilde:

.

Ir vērts atzīmēt, ka, aprēķinot izteiksmju vērtības ar sinusiem, kosinusiem utt. bieži prasa iepriekšēju trigonometriskās izteiksmes konvertēšana.

Piemērs.

Kāda ir trigonometriskās izteiksmes vērtība .

Risinājums.

Pārveidosim sākotnējo izteiksmi, izmantojot , šajā gadījumā mums būs nepieciešama dubultā leņķa kosinusa formula un summas kosinusa formula:

Mūsu veiktās pārvērtības palīdzēja mums atrast izteiciena nozīmi.

Atbilde:

.

Vispārējs gadījums

Parasti skaitliskā izteiksme var saturēt saknes, pakāpes, daļskaitļus, dažas funkcijas un iekavas. Šādu izteiksmju vērtību atrašana sastāv no šādu darbību veikšanas:

• pirmās saknes, pilnvaras, daļas utt. tiek aizstātas ar viņu vērtībām,
• turpmākās darbības iekavās,
• un secībā no kreisās puses uz labo tiek veiktas atlikušās darbības - reizināšana un dalīšana, kam seko saskaitīšana un atņemšana.

Uzskaitītās darbības tiek veiktas līdz gala rezultāta iegūšanai.

Piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi .

Risinājums.

Šīs izteiksmes forma ir diezgan sarežģīta. Šajā izteiksmē mēs redzam daļskaitļus, saknes, pakāpes, sinusus un logaritmus. Kā atrast tā vērtību?

Pārvietojoties pa ierakstu no kreisās puses uz labo, mēs saskaramies ar veidlapas daļu . Mēs to zinām, strādājot ar daļskaitļiem sarežģīts tips, mums atsevišķi jāaprēķina skaitītāja vērtība, atsevišķi saucējs un visbeidzot jāatrod daļskaitļa vērtība.

Skaitītājā mums ir formas sakne . Lai noteiktu tā vērtību, vispirms jāaprēķina radikālas izteiksmes vērtība . Šeit ir sinusa. Mēs varam atrast tā vērtību tikai pēc izteiksmes vērtības aprēķināšanas . To mēs varam darīt:. Tad kur un no kurienes .

Saucējs ir vienkāršs: .

Tādējādi .

Pēc šī rezultāta aizstāšanas sākotnējā izteiksmē tam būs forma . Iegūtā izteiksme satur pakāpi . Lai atrastu tā vērtību, mums vispirms ir jāatrod rādītāja vērtība, kas mums ir .

Tātad,.

Atbilde:

.

Ja nav iespējams aprēķināt precīzas sakņu, jaudu utt. vērtības, varat mēģināt no tām atbrīvoties, izmantojot dažas transformācijas, un pēc tam atgriezties pie vērtības aprēķināšanas saskaņā ar norādīto shēmu.

Racionāli veidi, kā aprēķināt izteiksmju vērtības

Skaitlisko izteiksmju vērtību aprēķināšanai nepieciešama konsekvence un precizitāte. Jā, ir jāievēro iepriekšējos punktos ierakstītā darbību secība, taču tas nav jādara akli un mehāniski. Ar to mēs domājam, ka bieži vien ir iespējams racionalizēt izteiciena nozīmes atrašanas procesu. Piemēram, noteiktas darbības ar skaitļiem īpašības var ievērojami paātrināt un vienkāršot izteiksmes vērtības atrašanu.

Piemēram, mēs zinām šo reizināšanas īpašību: ja reizinājuma viens no faktoriem ir vienāds ar nulli, tad reizinājuma vērtība ir vienāda ar nulli. Izmantojot šo īpašību, mēs varam uzreiz teikt, ka izteiksmes vērtība 0·(2·3+893–3234:54·65–79·56·2,2)·(45·36−2·4+456:3·43) ir vienāds ar nulli. Ja mēs ievērotu standarta darbību secību, vispirms būtu jāaprēķina iekavās ievietoto apgrūtinošo izteiksmju vērtības, kas aizņemtu daudz laika, un rezultāts joprojām būtu nulle.

Ir arī ērti izmantot vienādu skaitļu atņemšanas īpašību: ja no skaitļa atņemat vienādu skaitli, rezultāts ir nulle. Šo īpašību var aplūkot plašāk: atšķirība starp divām identiskām skaitliskām izteiksmēm ir nulle. Piemēram, neaprēķinot iekavās esošo izteiksmju vērtību, varat atrast izteiksmes vērtību (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), tas ir vienāds ar nulli, jo sākotnējā izteiksme ir identisku izteiksmju atšķirība.

Identitātes transformācijas var atvieglot izteiksmes vērtību racionālu aprēķinu. Piemēram, var noderēt terminu un faktoru grupēšana, ne retāk tiek izmantota kopējā faktora izlikšana iekavās. Tātad izteiksmes 53·5+53·7–53·11+5 vērtību ir ļoti viegli atrast, ja koeficients 53 tiek izņemts no iekavām: 53·(5+7–11)+5=53·1+5=53+5=58. Tiešais aprēķins aizņemtu daudz ilgāku laiku.

Noslēdzot šo punktu, pievērsīsim uzmanību racionālai pieejai izteiksmju vērtību aprēķināšanai ar daļskaitļiem - tiek atcelti identiski faktori frakcijas skaitītājā un saucējā. Piemēram, to pašu izteiksmju samazināšana daļskaitļa skaitītājā un saucējā ļauj nekavējoties atrast tā vērtību, kas ir vienāda ar 1/2.

Literālas izteiksmes un izteiksmes ar mainīgajiem vērtības atrašana

Literatūras izteiksmes un izteiksmes ar mainīgajiem vērtība tiek atrasta noteiktām burtu un mainīgo vērtībām. Tas ir, mēs runājam par burtiskas izteiksmes vērtības atrašanu dotajām burtu vērtībām vai par izteiksmes vērtības atrašanu ar mainīgajiem atlasītajām mainīgo vērtībām.

Noteikums Literatūras izteiksmes vai izteiksmes ar mainīgajiem vērtības atrašana dotajām burtu vērtībām vai izvēlētajām mainīgo vērtībām ir šāda: jums ir jāaizstāj norādītās burtu vai mainīgo vērtības sākotnējā izteiksmē un jāaprēķina iegūtās skaitliskās izteiksmes vērtība; tā ir vēlamā vērtība.

Piemērs.

Aprēķiniet izteiksmes 0.5·x−y vērtību pie x=2.4 un y=5.

Risinājums.

Lai atrastu vajadzīgo izteiksmes vērtību, vispirms ir jāaizstāj norādītās mainīgo vērtības sākotnējā izteiksmē un pēc tam jāveic šādas darbības: 0,5·2,4–5=1,2–5=–3,8.

Atbilde:

−3,8 .

Visbeidzot, dažkārt veicot konvertēšanu burtiskām un mainīgām izteiksmēm, tiks iegūtas to vērtības neatkarīgi no burtu un mainīgo vērtībām. Piemēram, izteiksmi x+3−x var vienkāršot, pēc tam tā iegūstot formu 3. No tā mēs varam secināt, ka izteiksmes x+3−x vērtība ir vienāda ar 3 jebkurai mainīgā x vērtībām no tā pieļaujamo vērtību diapazona (APV). Vēl viens piemērs: izteiksmes vērtība ir vienāda ar 1 visām pozitīvajām x vērtībām, tāpēc mainīgā x pieļaujamo vērtību diapazons sākotnējā izteiksmē ir pozitīvo skaitļu kopa, un šajā diapazonā ir vienādība notur.

Bibliogrāfija.

• Matemātika: mācību grāmata 5. klasei. vispārējā izglītība institūcijas / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lpp.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matemātika. 6. klase: izglītojoša. vispārējai izglītībai institūcijas / [N. Ja.Viļenkins un citi]. - 22. izd., red. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: mācību grāmata 7. klasei vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 17. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 240 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. klase: izglītojoša. vispārējai izglītībai iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2009. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 klasēm. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorovs - 14. izdevums - M.: Izglītība, 2004. - 384 lpp.: il. - ISBN 5-09-013651-3.