Trigonometriskās formulas, kā atrisināt. Trigonometriskie vienādojumi - formulas, risinājumi, piemēri

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

  • Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

  • Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
  • Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
  • Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
  • Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

  • Gadījumā, ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valsts iestāžu pieprasījumiem Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrības interešu mērķiem.
  • Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

Jūs varat pasūtīt detalizētu savas problēmas risinājumu!!!

Vienādību, kas satur nezināmo zem trigonometriskās funkcijas zīme (`sin x, cos x, tg x` vai `ctg x`), sauc par trigonometrisko vienādojumu, un mēs tālāk aplūkosim to formulas.

Vienkāršākie vienādojumi ir “sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a”, kur “x” ir atrodamais leņķis, bet “a” ir jebkurš skaitlis. Uzrakstīsim katrai no tām saknes formulas.

1. Vienādojums “sin x=a”.

`|a|>1` tam nav risinājumu.

Ar `|a| \leq 1` ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Saknes formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Vienādojums cos x=a

`|a|>1` — tāpat kā sinusa gadījumā, starp reāliem skaitļiem nav atrisinājumu.

Ar `|a| \leq 1` ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Saknes formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Īpaši gadījumi sinusam un kosinusam grafikos.

3. Vienādojums “tg x=a”.

Ir bezgalīgs skaits risinājumu jebkurai “a” vērtībai.

Saknes formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Vienādojums “ctg x=a”.

Tam ir arī bezgalīgs skaits risinājumu jebkurai “a” vērtībai.

Saknes formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formulas trigonometrisko vienādojumu saknēm tabulā

Sinusam:
Kosinusam:
Pieskarei un kotangensei:
Formulas vienādojumu risināšanai, kas satur apgrieztas trigonometriskās funkcijas:

Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes

Jebkura trigonometriskā vienādojuma atrisināšana sastāv no diviem posmiem:

  • izmantojot, lai to pārvērstu par vienkāršāko;
  • atrisiniet iegūto vienkāršo vienādojumu, izmantojot iepriekš minētās sakņu un tabulu formulas.

Apsvērsim galvenās risinājuma metodes, izmantojot piemērus.

algebriskā metode.

Šajā metodē tiek veikta mainīgā aizstāšana un tā aizstāšana ar vienādību.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

veiciet nomaiņu: "cos(x+\frac \pi 6)=y", pēc tam "2y^2-3y+1=0",

mēs atrodam saknes: `y_1=1, y_2=1/2`, no kurām izriet divi gadījumi:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Atbilde: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizācija.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `sin x+cos x=1`.

Risinājums. Pārvietojiet pa kreisi visus vienlīdzības nosacījumus: "sin x+cos x-1=0". Izmantojot , mēs pārveidojam un faktorizējam kreiso pusi:

"sin x - 2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0",

  1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
  2. "cos x/2-sin x/2=0", "tg x/2=1", "x/2=arctg 1+ \pi n", "x/2=\pi/4+ \pi n" , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Atbilde: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reducēšana uz homogēnu vienādojumu

Pirmkārt, šis trigonometriskais vienādojums ir jāsadala vienā no divām formām:

`a sin x+b cos x=0` (pirmās pakāpes homogēns vienādojums) vai `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (otrās pakāpes homogēns vienādojums).

Pēc tam sadaliet abas daļas ar “cos x \ne 0” pirmajā gadījumā un ar “cos^2 x \ ne 0” otrajā gadījumā. Mēs iegūstam `tg x` vienādojumus: `a tg x+b=0` un `a tg^2 x + b tg x +c =0`, kas jāatrisina, izmantojot zināmas metodes.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Risinājums. Labajā pusē rakstīsim kā `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x',

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Šis ir homogēns otrās pakāpes trigonometriskais vienādojums, dalot tā kreiso un labo daļu ar `cos^2 x \ne 0`, iegūstam:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

`tg^2 x+tg x - 2=0'. Ieviesīsim aizstāšanu `tg x=t`, kā rezultātā `t^2 + t - 2=0`. Šī vienādojuma saknes ir `t_1=-2` un `t_2=1`. Pēc tam:

  1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
  2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z.

Atbilde. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Dodieties uz Half Corner

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Risinājums. Lietojot dubultā leņķa formulas, rezultāts ir: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0

Izmantojot iepriekš aprakstīto algebrisko metodi, mēs iegūstam:

  1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z',
  2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Atbilde. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Palīgleņķa ieviešana

Trigonometriskajā vienādojumā `a sin x + b cos x =c`, kur a,b,c ir koeficienti un x ir mainīgais, mēs abas daļas sadalām ar `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))".

Koeficientiem kreisajā pusē ir sinusa un kosinusa īpašības, proti, to kvadrātu summa ir vienāda ar 1 un to modulis nav lielāks par 1. Apzīmē tos šādi: `\frac a(sqrt (a^2+) b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, tad:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Apskatīsim tuvāk šādu piemēru:

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Risinājums. Sadalot abas vienādojuma puses ar `sqrt (3^2+4^2)`, iegūstam:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

"3/5 sin x+4/5 cos x=2/5".

Apzīmē `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Tā kā `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, mēs ņemam `\varphi=arcsin 4/5` kā palīgleņķi. Tad mēs rakstām savu vienādību formā:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Piemērojot sinusa leņķu summas formulu, mēs rakstām savu vienādību šādā formā:

"sin(x+\varphi)=2/5",

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Atbilde. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Frakcionāli-racionālie trigonometriskie vienādojumi

Tās ir vienādības ar daļskaitļiem, kuru skaitītājos un saucējos ir trigonometriskās funkcijas.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.

Risinājums. Reiziniet un sadaliet vienādojuma labo pusi ar (1+cos x)”. Rezultātā mēs iegūstam:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0

Ņemot vērā, ka saucējs nevar būt nulle, mēs iegūstam `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z.

Pielīdziniet daļskaitļa skaitītāju nullei: "sin x-sin^2 x=0", "sin x(1-sin x)=0". Pēc tam “sin x=0” vai “1-sin x=0”.

  1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
  2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Ņemot vērā, ka ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, risinājumi ir `x=2\pi n, n \in Z` un `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Atbilde. "x=2\pi n", "n \in Z", "x=\pi /2+2\pi n", "n \in Z".

Trigonometrija un jo īpaši trigonometriskie vienādojumi tiek izmantoti gandrīz visās ģeometrijas, fizikas un inženierzinātņu jomās. Mācības sākas 10. klasē, eksāmenam vienmēr ir uzdevumi, tāpēc mēģini atcerēties visas trigonometrisko vienādojumu formulas – tās tev noteikti noderēs!

Tomēr jums tie pat nav jāiegaumē, galvenais ir saprast būtību un spēt secināt. Tas nav tik grūti, kā šķiet. Pārliecinies pats, noskatoties video.

Risinot daudzas matemātikas uzdevumi, īpaši tiem, kas notiek pirms 10. klases, ir skaidri noteikta to darbību secība, kas novedīs pie mērķa sasniegšanas. Šādas problēmas ietver, piemēram, lineāros un kvadrātvienādojumus, lineārās un kvadrātvienādības, daļskaitļu vienādojumi un vienādojumi, kas reducē līdz kvadrātveida. Katra no minētā uzdevuma veiksmīgas risināšanas princips ir šāds: jānoskaidro, kādam tipam pieder risināmā problēma, jāatceras nepieciešamā darbību secība, kas novedīs pie vēlamā rezultāta, t.i. atbildiet un veiciet šīs darbības.

Acīmredzot veiksme vai neveiksme konkrētas problēmas risināšanā galvenokārt ir atkarīga no tā, cik pareizi tiek noteikts risināmā vienādojuma veids, cik pareizi tiek reproducēta visu tā risinājuma posmu secība. Protams, šajā gadījumā ir nepieciešamas prasmes veikt identiskas pārvērtības un aprēķinus.

Atšķirīga situācija notiek ar trigonometriskie vienādojumi. Nav grūti noteikt faktu, ka vienādojums ir trigonometrisks. Grūtības rodas, nosakot darbību secību, kas novestu pie pareizas atbildes.

Dažreiz ir grūti noteikt tā veidu pēc vienādojuma izskata. Un, nezinot vienādojuma veidu, ir gandrīz neiespējami izvēlēties pareizo no vairākiem desmitiem trigonometrisko formulu.

Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, mums jāmēģina:

1. Novietojiet visas vienādojumā iekļautās funkcijas "vienādos leņķos";
2. vienādojumu pielīdzināt "pašām funkcijām";
3. faktorizēt vienādojuma kreiso pusi utt.

Apsveriet trigonometrisko vienādojumu risināšanas pamatmetodes.

I. Reducēšana uz vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem

Risinājuma shēma

1. darbība. Izsakiet trigonometrisko funkciju zināmo komponentu izteiksmē.

2. darbība Atrodiet funkcijas argumentu, izmantojot formulas:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n loks a + πn, n Є Z.

iedegums x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

3. darbība Atrodiet nezināmu mainīgo.

Piemērs.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Risinājums.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Atbilde: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Mainīga aizstāšana

Risinājuma shēma

1. darbība. Novietojiet vienādojumu algebriskā formā attiecībā uz vienu no trigonometriskajām funkcijām.

2. darbība Iegūto funkciju apzīmē ar mainīgo t (ja nepieciešams, ievieš t ierobežojumus).

3. darbība Pierakstiet un atrisiniet iegūto algebrisko vienādojumu.

4. darbība Veiciet apgrieztu aizstāšanu.

5. darbība Atrisiniet vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu.

Piemērs.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Risinājums.

1) 2(1 — grēks 2 (x/2)) — 5sin (x/2) — 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Lai sin (x/2) = t, kur |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 vai e = -3/2 neatbilst nosacījumam |t| ≤ 1.

4) grēks (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Atbilde: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Vienādojuma secības samazināšanas metode

Risinājuma shēma

1. darbība. Aizstājiet šo vienādojumu ar lineāru, izmantojot jaudas samazināšanas formulas:

grēks 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

iedegums 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

2. darbība Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot I un II metodi.

Piemērs.

cos2x + cos2x = 5/4.

Risinājums.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Atbilde: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogēni vienādojumi

Risinājuma shēma

1. darbība. Novietojiet šo vienādojumu formā

a) a sin x + b cos x = 0 (pirmās pakāpes homogēns vienādojums)

vai uz skatu

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (otrās pakāpes homogēns vienādojums).

2. darbība Sadaliet abas vienādojuma puses ar

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

un iegūstiet tg x vienādojumu:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3. darbība Atrisiniet vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.

Piemērs.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Risinājums.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Ļaujiet tg x = t, tad

t 2 + 3 t - 4 = 0;

t = 1 vai t = -4, tātad

tg x = 1 vai tg x = -4.

No pirmā vienādojuma x = π/4 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.

Atbilde: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Vienādojuma pārveidošanas metode, izmantojot trigonometriskās formulas

Risinājuma shēma

1. darbība. Izmantojot visu veidu trigonometriskās formulas, izveidojiet šo vienādojumu līdz vienādojumam, ko var atrisināt ar I, II, III, IV metodēm.

2. darbība Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.

Piemērs.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Risinājums.

1) (sin x + grēks 3x) + grēks 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 vai 2cos x + 1 = 0;

No pirmā vienādojuma 2x = π/2 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma cos x = -1/2.

Mums ir x = π/4 + πn/2, n Є Z; no otrā vienādojuma x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Rezultātā x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Atbilde: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Spēja un prasmes atrisināt trigonometriskos vienādojumus ir ļoti svarīgi, ka to izstrāde prasa ievērojamas pūles gan no skolēna, gan no skolotāja puses.

Ar trigonometrisko vienādojumu risināšanu ir saistītas daudzas stereometrijas, fizikas u.c. problēmas, kuru risināšanas process it kā satur daudzas no zināšanām un prasmēm, kas tiek iegūtas, pētot trigonometrijas elementus.

Trigonometriskie vienādojumi ieņem nozīmīgu vietu matemātikas mācīšanas un personības attīstības procesā kopumā.

Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Trigonometrija kā zinātne radās Senajos Austrumos. Pirmās trigonometriskās attiecības izstrādāja astronomi, lai izveidotu precīzu kalendāru un orientētos pēc zvaigznēm. Šie aprēķini bija saistīti ar sfērisko trigonometriju, savukārt in skolas kurss izpētīt plakana trīsstūra malu un leņķa attiecību.

Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas nodarbojas ar trigonometrisko funkciju īpašībām un saistību starp trijstūra malām un leņķiem.

Kultūras un zinātnes ziedu laikos mūsu ēras 1. gadu tūkstotī zināšanas izplatījās no Senajiem Austrumiem uz Grieķiju. Bet galvenie trigonometrijas atklājumi ir arābu kalifāta vīriešu nopelni. Jo īpaši Turkmenistānas zinātnieks al-Marazvi ieviesa tādas funkcijas kā tangenss un kotangenss, sastādīja pirmās sinusu, pieskares un kotangenšu vērtību tabulas. Sinusa un kosinusa jēdzienu ieviesa Indijas zinātnieki. Liela uzmanība trigonometrijai veltīta tādu senatnes personību kā Eiklīds, Arhimēds un Eratostens darbos.

Trigonometrijas pamatlielumi

Skaitliskā argumenta trigonometriskās pamatfunkcijas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss. Katram no tiem ir savs grafiks: sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss.

Šo lielumu vērtību aprēķināšanas formulas ir balstītas uz Pitagora teorēmu. Skolēniem tas ir labāk zināms formulējumā: “Pitagora bikses, vienādas visos virzienos”, jo pierādījums ir sniegts vienādsānu taisnstūra trīsstūra piemērā.

Sinuss, kosinuss un citas atkarības nosaka attiecības starp jebkura taisnleņķa trijstūra asajiem leņķiem un malām. Mēs sniedzam formulas šo lielumu aprēķināšanai leņķim A un izsekojam trigonometrisko funkciju attiecības:

Kā redzat, tg un ctg ir apgrieztas funkcijas. Ja kāju a attēlojam kā grēka A un hipotenūzas c reizinājumu, bet kāju b kā cos A * c, tad iegūstam šādas pieskares un kotangences formulas:

trigonometriskais aplis

Grafiski minēto daudzumu attiecību var attēlot šādi:

Aplis šajā gadījumā apzīmē visas iespējamās leņķa α vērtības - no 0° līdz 360°. Kā redzams attēlā, katrai funkcijai atkarībā no leņķa ir negatīva vai pozitīva vērtība. Piemēram, grēks α būs ar “+” zīmi, ja α pieder apļa I un II ceturtdaļai, tas ir, tas ir diapazonā no 0 ° līdz 180 °. Ja α no 180° līdz 360° (III un IV ceturtdaļa), sin α var būt tikai negatīva vērtība.

Mēģināsim izveidot trigonometriskās tabulas konkrētiem leņķiem un noskaidrot lielumu nozīmi.

α vērtības, kas vienādas ar 30°, 45°, 60°, 90°, 180° un tā tālāk, sauc par īpašiem gadījumiem. Viņiem tiek aprēķinātas trigonometrisko funkciju vērtības un parādītas īpašu tabulu veidā.

Šie leņķi netika izvēlēti nejauši. Apzīmējums π tabulās attiecas uz radiāniem. Rad ir leņķis, kurā apļveida loka garums atbilst tā rādiusam. Šī vērtība tika ieviesta, lai izveidotu universālu attiecību; aprēķinot radiānos, faktiskajam rādiusa garumam cm nav nozīmes.

Trigonometrisko funkciju tabulās norādītie leņķi atbilst radiānu vērtībām:

Tātad, nav grūti uzminēt, ka 2π ir pilns aplis jeb 360°.

Trigonometrisko funkciju īpašības: sinuss un kosinuss

Lai aplūkotu un salīdzinātu sinusa un kosinusa, tangensa un kotangenta pamatīpašības, ir nepieciešams uzzīmēt to funkcijas. To var izdarīt līknes veidā, kas atrodas divdimensiju koordinātu sistēmā.

Apsveriet salīdzinošu sinusa viļņa un kosinusa viļņa īpašību tabulu:

sinusoīdskosinusa vilnis
y = grēks xy = cos x
ODZ [-1; 1]ODZ [-1; 1]
sin x = 0, ja x = πk, kur k ϵ Zcos x = 0, ja x = π/2 + πk, kur k ϵ Z
sin x = 1, ja x = π/2 + 2πk, kur k ϵ Zcos x = 1, ja x = 2πk, kur k ϵ Z
sin x = - 1, pie x = 3π/2 + 2πk, kur k ϵ Zcos x = - 1, ja x = π + 2πk, kur k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, t.i., nepāra funkcijacos (-x) = cos x, t.i., funkcija ir pāra
funkcija ir periodiska, mazākais periods ir 2π
sin x › 0, ar x pieder I un II ceturtdaļai vai no 0° līdz 180° (2πk, π + 2πk)cos x › 0, ar x pieder I un IV ceturtdaļai vai no 270° līdz 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, ar x pieder III un IV ceturtdaļai vai no 180° līdz 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)cos x ‹ 0, ar x pieder pie II un III ceturkšņa vai no 90° līdz 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
palielinās intervālā [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]palielinās intervālā [-π + 2πk, 2πk]
samazinās uz intervāliem [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]intervālos samazinās
atvasinājums (sin x)' = cos xatvasinājums (cos x)’ = - sin x

Noteikt, vai funkcija ir pāra vai nē, ir ļoti vienkārši. Pietiek iedomāties trigonometrisku apli ar trigonometrisko lielumu zīmēm un garīgi “salocīt” grafiku attiecībā pret OX asi. Ja zīmes ir vienādas, funkcija ir pāra, pretējā gadījumā tā ir nepāra.

Radiānu ieviešana un sinusoīda un kosinusa viļņa galveno īpašību uzskaitījums ļauj mums izveidot šādu modeli:

Ir ļoti viegli pārbaudīt formulas pareizību. Piemēram, ja x = π/2, sinuss ir vienāds ar 1, tāpat kā kosinuss no x = 0. Pārbaudi var veikt, apskatot tabulas vai izsekojot funkciju līknes dotajām vērtībām.

Tangentoīda un kotangentoīda īpašības

Pieskares un kotangentes funkciju grafiki būtiski atšķiras no sinusoīda un kosinusa viļņa. Vērtības tg un ctg ir apgrieztas viena otrai.

  1. Y = tgx.
  2. Pieskarei ir tendence uz y vērtībām pie x = π/2 + πk, bet nekad tās nesasniedz.
  3. Tangentoīda mazākais pozitīvais periods ir π.
  4. Tg (- x) \u003d - tg x, t.i., funkcija ir nepāra.
  5. Tg x = 0, ja x = πk.
  6. Funkcija palielinās.
  7. Tg x › 0, ja x ϵ (πk, π/2 + πk).
  8. Tg x ‹ 0, ja x ϵ (— π/2 + πk, πk).
  9. Atvasinājums (tg x)' = 1/cos 2⁡x .

Apsveriet tālāk tekstā redzamo kotangentoīda grafisko attēlojumu.

Kotangentoīda galvenās īpašības:

  1. Y = ctgx.
  2. Atšķirībā no sinusa un kosinusa funkcijām tangentoīdā Y var iegūt visu reālo skaitļu kopas vērtības.
  3. Kotangentoīds tiecas uz y vērtībām pie x = πk, bet nekad tās nesasniedz.
  4. Kotangentoīda mazākais pozitīvais periods ir π.
  5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, t.i., funkcija ir nepāra.
  6. Ctg x = 0, ja x = π/2 + πk.
  7. Funkcija samazinās.
  8. Ctg x › 0, ja x ϵ (πk, π/2 + πk).
  9. Ctg x ‹ 0, ja x ϵ (π/2 + πk, πk).
  10. Atvasinājums (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Trigonometrisko vienādojumu risināšanas jēdziens.

  • Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, pārveidojiet to par vienu vai vairākiem pamata trigonometriskajiem vienādojumiem. Trigonometriskā vienādojuma atrisināšana galu galā ir četru pamata trigonometrisko vienādojumu atrisināšana.

  • Trigonometrisko pamatvienādojumu risinājums.

    • Ir 4 trigonometrisko pamata vienādojumu veidi:
    • sin x = a; cos x = a
    • iedegums x = a; ctg x = a
    • Pamata trigonometrisko vienādojumu risināšana ietver dažādu x pozīciju apskati uz vienības apļa, kā arī konversijas tabulas (vai kalkulatora) izmantošanu.
    • Piemērs 1. sin x = 0,866. Izmantojot konvertēšanas tabulu (vai kalkulatoru), jūs saņemat atbildi: x = π/3. Vienības aplis sniedz citu atbildi: 2π/3. Atcerieties: visas trigonometriskās funkcijas ir periodiskas, tas ir, to vērtības tiek atkārtotas. Piemēram, sin x un cos x periodiskums ir 2πn, un tg x un ctg x periodiskums ir πn. Tātad atbilde ir uzrakstīta šādi:
    • x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
    • 2. piemērs cos x = -1/2. Izmantojot konvertēšanas tabulu (vai kalkulatoru), jūs saņemat atbildi: x = 2π/3. Vienības aplis sniedz citu atbildi: -2π/3.
    • x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
    • 3. piemērs. tg (x - π/4) = 0.
    • Atbilde: x \u003d π / 4 + πn.
    • 4. piemērs. ctg 2x = 1,732.
    • Atbilde: x \u003d π / 12 + πn.

  • Trigonometrisko vienādojumu risināšanā izmantotās transformācijas.

    • Trigonometrisko vienādojumu pārveidošanai tiek izmantotas algebriskās transformācijas (faktorēšana, viendabīgu terminu samazināšana u.c.) un trigonometriskās identitātes.
    • 5. piemērs. Izmantojot trigonometriskās identitātes, vienādojumu sin x + sin 2x + sin 3x = 0 pārvērš vienādojumā 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Tādējādi šādi trigonometriskie pamata vienādojumi jāatrisina: cos x = 0; grēks(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

    • Leņķu atrašana no zināmām funkciju vērtībām.

      • Pirms uzzināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus, jums jāiemācās atrast leņķus no zināmām funkciju vērtībām. To var izdarīt, izmantojot konvertēšanas tabulu vai kalkulatoru.
      • Piemērs: cos x = 0,732. Kalkulators sniegs atbildi x = 42,95 grādi. Vienības aplis dos papildu leņķus, kuru kosinuss arī ir vienāds ar 0,732.

    • Novietojiet šķīdumu uz vienības apļa.

      • Jūs varat ievietot trigonometriskā vienādojuma risinājumus uz vienības apļa. Vienības apļa trigonometriskā vienādojuma atrisinājumi ir regulāra daudzstūra virsotnes.
      • Piemērs. Risinājumi x = π/3 + πn/2 uz vienības apļa ir kvadrāta virsotnes.
      • Piemērs. Risinājumi x = π/4 + πn/3 uz vienības apļa ir regulāra sešstūra virsotnes.

    • Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes.

      • Ja dotajā trigonometriskajā vienādojumā ir tikai viena trigonometriskā funkcija, atrisiniet šo vienādojumu kā trigonometrisko pamatvienādojumu. Ja dotajā vienādojumā ir iekļautas divas vai vairākas trigonometriskas funkcijas, tad šāda vienādojuma risināšanai ir 2 metodes (atkarībā no tā pārveidošanas iespējas).
        • 1. metode
      • Pārveidojiet šo vienādojumu par vienādojumu šādā formā: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kur f(x), g(x), h(x) ir trigonometriskie pamatvienādojumi.
      • 6. piemērs. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
      • Risinājums. Izmantojot dubultā leņķa formulu sin 2x = 2*sin x*cos x, nomainiet sin 2x.
      • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus trigonometriskos pamatvienādojumus: cos x = 0 un (sin x + 1) = 0.
      • 7. piemērs cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
      • Risinājums: izmantojot trigonometriskās identitātes, pārveidojiet šo vienādojumu par vienādojumu ar šādu formu: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus trigonometriskos pamatvienādojumus: cos 2x = 0 un (2cos x + 1) = 0.
      • Piemērs 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
      • Risinājums: izmantojot trigonometriskās identitātes, pārveidojiet šo vienādojumu par vienādojumu šādā formā: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus trigonometriskos pamatvienādojumus: cos 2x = 0 un (2sin x + 1) = 0.
        • 2. metode
      • Pārvērtiet doto trigonometrisko vienādojumu par vienādojumu, kas satur tikai vienu trigonometrisko funkciju. Pēc tam nomainiet šo trigonometrisko funkciju ar kādu nezināmu, piemēram, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t utt.).
      • 9. piemērs. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
      • Risinājums. Šajā vienādojumā aizstājiet (cos^2 x) ar (1 - sin^2 x) (atbilstoši identitātei). Pārveidotais vienādojums izskatās šādi:
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x aizstāj ar t. Tagad vienādojums izskatās šādi: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Šis ir kvadrātvienādojums ar divām saknēm: t1 = -1 un t2 = 9/5. Otrā sakne t2 neatbilst funkcijas diapazonam (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • 10. piemērs. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • Risinājums. Aizstāt tg x ar t. Pārrakstiet sākotnējo vienādojumu šādi: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Tagad atrodiet t un pēc tam atrodiet x, ja t = tg x.