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평평한 단면의 기하학적 특성

정사각형: , dF - 기본 플랫폼.

면적요소의 정적모멘트dF축 0x를 기준으로
- 0x 축으로부터의 거리 "y"에 의한 면적 요소의 곱: dS x = ydF

그림의 전체 영역에 걸쳐 이러한 제품을 합산(통합)하면 다음을 얻습니다. 정적 순간 y축과 x축을 기준으로:
;
[cm 3, m 3 등].

무게 중심 좌표:
. 정적 모멘트 상대 중심축(단면의 무게 중심을 통과하는 축)은 0과 같습니다. 복잡한 그림의 정적 모멘트를 계산할 때 알려진 영역 F i와 무게 중심 좌표 x i, y i를 사용하여 간단한 부분으로 나뉩니다. 전체 그림 영역의 정적 모멘트 = 합계 각 부품의 정적 모멘트:
.

복잡한 도형의 무게 중심 좌표:

중
단면 관성 모멘트

축방향(매우 무더운) 단면 관성 모멘트- 축까지의 거리의 제곱에 의한 기본 면적 dF의 곱의 합입니다.

;
[cm 4, m 4 등].

특정 지점(극)에 대한 단면의 극 관성 모멘트는 이 지점으로부터의 거리의 제곱에 의한 기본 면적의 곱의 합입니다.
; [cm 4, m 4 등]. J y + J x = J p .

단면의 원심 관성 모멘트- 기본 영역의 곱과 서로 수직인 두 축으로부터의 거리의 합입니다.
.

대칭 축과 일치하는 축 중 하나 또는 둘 모두에 대한 단면의 원심 관성 모멘트는 0과 같습니다.

축방향 및 극방향 관성 모멘트는 항상 양수이고, 원심 관성 모멘트는 양수, 음수 또는 0일 수 있습니다.

복잡한 도형의 관성 모멘트는 구성 부분의 관성 모멘트의 합과 같습니다.

단순한 모양의 단면의 관성 모멘트

피
직사각형 단면 원

에게


반지

티
삼각형

아르 자형
등대퇴

직사각형

티
삼각형

시간 4분의 1원

J y =J x =0.055R 4

Jxy =0.0165R 4

그림에서 (-)

반원

중

표준 프로파일의 관성 모멘트는 분류 테이블에서 확인할 수 있습니다.

디
부타브르 채널 모서리

중

평행축에 대한 관성 모멘트:

제이 x1 =J x + a 2F;

J y1 =J y + b 2 F;

임의의 축에 대한 관성 모멘트는 주어진 축에 평행한 중심 축에 대한 관성 모멘트에 그림의 면적과 축 사이 거리의 제곱을 더한 값과 같습니다. J y1x1 =J yx + abF; (“a”와 “b”는 해당 기호를 고려하여 공식으로 대체됩니다).

간의 종속성 축을 돌릴 때의 관성 모멘트:

제이 x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

각도 >0, 이전 좌표계에서 새 좌표계로의 전환이 시계 반대 방향으로 발생하는 경우. J y1 + J x1 = J y + J x

관성 모멘트의 극한(최대 및 최소) 값을 호출합니다. 주요 관성 모멘트. 축 관성 모멘트가 극한 값을 갖는 축을 호출합니다. 관성 주축. 관성의 주축은 서로 수직입니다. 주축에 대한 원심 관성 모멘트 = 0, 즉 관성 주축 - 원심 관성 모멘트 = 0인 축. 축 중 하나가 대칭축과 일치하거나 둘 다 일치하면 해당 축이 주요 축입니다. 주축의 위치를 ​​정의하는 각도:
,  0 >0 이면 축이 시계 반대 방향으로 회전합니다. 최대 축은 관성 모멘트가 더 큰 값을 갖는 축의 각도와 항상 작은 각도를 만듭니다. 무게 중심을 통과하는 주축을 다음과 같이 부릅니다. 관성의 주요 중심축. 이 축에 대한 관성 모멘트:

J 최대 + J 최소 = J x + J y . 주 관성 중심축에 대한 원심 관성 모멘트는 0과 같습니다. 주 관성 모멘트가 알려진 경우 회전축으로의 전환 공식은 다음과 같습니다.

J x1 =J 최대 cos 2  + J 최소 sin 2 ; J y1 =J 최대 cos 2  + J 최소 sin 2 ; J x1y1 =(J 최대 - J 최소)sin2;

단면의 기하학적 특성을 계산하는 최종 목표는 주요 중심 관성 모멘트와 주요 관성 중심축의 위치를 ​​결정하는 것입니다. 아르 자형 관성 반경 -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

J x 및 J y가 주요 관성 모멘트이면 i x 및 i y - 관성 주 반경. 반축과 마찬가지로 주요 관성 반경을 기반으로 만들어진 타원을 다음과 같이 부릅니다. 관성의 타원. 관성 타원을 사용하면 모든 축 x1에 대한 관성 반경 i x1을 그래픽으로 찾을 수 있습니다. 이렇게 하려면 x1 축에 평행한 타원에 대한 접선을 그리고 이 축에서 접선까지의 거리를 측정해야 합니다. 관성 반경을 알면 x 1 축을 기준으로 단면의 관성 모멘트를 찾을 수 있습니다.
. 두 개 이상의 대칭축이 있는 단면(예: 원, 사각형, 링 등)의 경우 모든 중심 축에 대한 축 관성 모멘트는 서로 동일합니다(J xy = 0). 관성 타원은 관성원.

저항의 순간.

저항의 축 모멘트- 축에 대한 관성 모멘트와 축에서 단면의 가장 먼 지점까지의 거리의 비율입니다.
[cm 3, m 3]

특히 중요한 것은 주요 중심 축에 대한 저항 순간입니다.

직사각형:
; 원: W x =W y =
,

관형 섹션(링): W x =W y =
, 여기서 = d N / d B .

극지 저항 모멘트 -극점에서 단면의 가장 먼 지점까지의 거리에 대한 극관성 모멘트의 비율:
.

원의 경우 W р =
.

특정 축에 대한 단면의 축 방향 (또는 적도) 관성 모멘트는 전체 영역 F에 걸쳐 취해진 기본 영역의 곱을이 축으로부터의 거리의 제곱으로 합한 것입니다.

특정 지점(극)에 대한 단면의 극 관성 모멘트는 전체 영역 F에 걸쳐 차지하는 기본 영역의 곱을 이 지점으로부터의 거리의 제곱으로 합한 것입니다.

서로 수직인 두 개의 축에 대한 단면의 원심 관성 모멘트는 전체 면적 F에 해당하는 기본 면적과 이들 축으로부터의 거리의 곱의 합입니다.

관성 모멘트는 등으로 표현됩니다.

축 방향 및 극 관성 모멘트는 항상 양수입니다. 적분 부호 아래의 표현에는 면적 값(항상 양수)과 주어진 축 또는 극에서 이들 면적 거리의 제곱이 포함되기 때문입니다.

그림에서. 9.5, a는 영역 F의 단면을 보여주고 y 및 z 축을 보여줍니다. y축에 대한 이 단면의 축방향 관성 모멘트:

이러한 관성 모멘트의 합

따라서

따라서 서로 수직인 두 축에 대한 단면의 축 관성 모멘트의 합은 이러한 축의 교차점에 대한 이 단면의 극 관성 모멘트와 같습니다.

원심 관성 모멘트는 양수, 음수 또는 0일 수 있습니다. 예를 들어, 그림 2에 표시된 단면의 원심 관성 모멘트가 있습니다. 9.5, a는 y와 축에 대해 양수입니다. 왜냐하면 첫 번째 사분면에 위치한 이 섹션의 주요 부분의 경우 , 및 값은 양수이기 때문입니다.

y축의 양의 방향 또는 반대 방향(그림 9.5, b)을 변경하거나 두 축을 모두 90° 회전하면(그림 9.5, c) 원심 관성 모멘트는 음수가 됩니다(그림 9.5, c). 절대값은 변경되지 않음), 주요 부분 섹션은 y 좌표가 양수이고 z 좌표가 음수인 사분면에 위치하기 때문입니다. 두 축의 양의 방향을 반대 방향으로 변경해도 원심 관성 모멘트의 부호나 크기는 변경되지 않습니다.

하나 이상의 축에 대해 대칭인 그림을 생각해 봅시다(그림 10.5). 그 중 적어도 하나(이 경우 y축)가 그림의 대칭축과 일치하도록 축을 그려보겠습니다. 이 경우 축 오른쪽에 위치한 각 플랫폼은 첫 번째 플랫폼과 대칭으로 위치하지만 y축 왼쪽에 있는 동일한 플랫폼에 해당합니다. 대칭적으로 위치한 플랫폼의 각 쌍의 원심 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

따라서,

따라서 대칭축과 일치하는 축 중 하나 또는 둘 모두에 대한 단면의 원심 관성 모멘트는 0과 같습니다.

특정 축에 대한 복잡한 단면의 축 관성 모멘트는 동일한 축에 대한 구성 부품의 축 관성 모멘트의 합과 같습니다.

마찬가지로, 서로 수직인 두 축에 대한 복잡한 단면의 원심 관성 모멘트는 동일한 축에 대한 구성 부품의 원심 관성 모멘트의 합과 같습니다. 또한 특정 지점에 대한 복잡한 단면의 극 관성 모멘트는 동일한 지점에 대한 구성 부분의 극 관성 모멘트의 합과 같습니다.

서로 다른 축과 점에 대해 계산된 관성 모멘트는 합산될 수 없다는 점을 명심해야 합니다.

구조 부품의 강도를 확인할 때 직사각형과 원에 사용한 것처럼 간단한 방법으로 관성 모멘트를 계산하는 것이 불가능한 다소 복잡한 모양의 섹션을 만나야 합니다.

이러한 섹션은 예를 들어 T-바일 수 있습니다(그림 5). ㅏ) 구부러지기 쉬운 파이프의 환형 단면(항공기 구조물)(그림 5, 비), 샤프트 저널의 환형 섹션 또는 훨씬 더 복잡한 섹션. 이 모든 섹션은 직사각형, 삼각형, 원 등과 같은 간단한 섹션으로 나눌 수 있습니다. 이러한 복잡한 도형의 관성 모멘트는 우리가 그것을 나누는 부분의 관성 모멘트의 합이라는 것을 알 수 있습니다.

그림 5. T형 섹션 - a) 및 링 b)

축에 대한 모든 그림의 관성 모멘트는 다음과 같이 알려져 있습니다. ~에— ~에동일:

어디 지— 기본 패드에서 축까지의 거리 ~에—~에.

촬영된 영역을 , , 4개 부분으로 나누어 보겠습니다. 이제 관성 모멘트를 계산할 때 피적분 함수에서 항을 그룹화하여 선택한 4개 영역 각각에 대한 합계를 개별적으로 수행한 다음 이 합계를 추가할 수 있습니다. 이는 적분 값을 변경하지 않습니다.

우리의 적분은 4개의 적분으로 나뉘며, 각 적분은 다음 영역 중 하나를 포함합니다.

이러한 적분 각각은 축을 기준으로 해당 영역 부분의 관성 모멘트를 나타냅니다. ~에— ~에; 그렇기 때문에

축에 대한 관성 모멘트는 어디에 있습니까? ~에 — ~에지역, - 지역 등에 대해서도 동일합니다.

얻은 결과는 다음과 같이 공식화될 수 있습니다. 복잡한 그림의 관성 모멘트는 구성 부분의 관성 모멘트의 합과 같습니다. 따라서 우리는 평면에 있는 축에 대한 모든 도형의 관성 모멘트를 계산할 수 있어야 합니다.

이 문제에 대한 해결책은 이번 인터뷰와 다음 두 인터뷰의 내용이다.

평행축에 대한 관성 모멘트.

축에 대한 임의의 그림의 관성 모멘트를 계산하기 위한 가장 간단한 공식을 얻는 작업은 여러 단계를 거쳐 해결됩니다. 서로 평행한 일련의 축을 취하면 그림의 무게 중심을 통과하는 축에 대한 관성 모멘트를 알면 이러한 축에 대한 그림의 관성 모멘트를 쉽게 계산할 수 있습니다. 선택한 축과 평행합니다.

그림 1.평행축의 관성 모멘트를 결정하기 위한 계산 모델입니다.

무게 중심을 통과하는 축을 호출하겠습니다. 중심축. 임의의 수치를 취해보자(그림 1). 중심축을 그려보자 OU, 이 축에 대한 관성 모멘트를 이라고 하겠습니다. 도형의 평면에 축을 그려보자 평행한축 ~에그녀에게서 멀리 떨어진 곳에. 축에 대한 관성 모멘트와 - 사이의 관계를 찾아보겠습니다. 이를 위해 및 에 대한 표현식을 작성합니다. 그림의 영역을 여러 영역으로 나누어 보겠습니다. 각 플랫폼에서 축까지의 거리 ~에그리고 전화하자 and . 그 다음에

그림 1에서 우리는 다음을 얻습니다:

이 세 가지 적분 중 첫 번째는 중심축에 대한 관성 모멘트입니다. OU. 두 번째는 동일한 축에 대한 정적 모멘트입니다. 축이 0이므로 0과 같습니다. ~에그림의 무게 중심을 통과합니다. 마지막으로 세 번째 적분은 그림의 면적과 같습니다. 에프. 따라서,

(1)

즉, 모든 축에 대한 관성 모멘트는 주어진 축에 평행한 중심 축에 대한 관성 모멘트에 그림의 면적과 축 사이 거리의 제곱을 곱한 것과 같습니다.

이는 이제 우리 작업이 관성의 중심 모멘트만 계산하는 것으로 축소되었음을 의미합니다. 이를 알면 다른 축에 대한 관성 모멘트를 계산할 수 있습니다. 공식 (1)로부터 다음과 같다: 본부관성 모멘트는 가장 작은평행축에 대한 관성 모멘트 중에서 다음을 얻습니다.

또한 알려진 경우 중앙 축에 평행한 축에 대한 원심 관성 모멘트를 찾아보겠습니다(그림 1). 정의에 따르면

여기서: , 그러면 다음과 같습니다

마지막 두 적분은 중심 축에 대한 정적 영역 모멘트를 나타내기 때문에 OU그리고 온스그런 다음 그들은 사라지고 따라서:

(2)

중심축에 평행 한 상호 수직 축 시스템에 대한 원심 관성 모멘트는 이러한 중심 축에 대한 원심 관성 모멘트에 그림 영역과 무게 중심 좌표의 곱을 더한 것과 같습니다. 새 축을 기준으로 합니다.

축을 돌릴 때 관성 모멘트 사이의 관계.

원하는 만큼 중심축을 그릴 수 있습니다. 하나 또는 두 개의 관성 모멘트에 따라 중심 축에 대한 관성 모멘트를 표현하는 것이 가능한지 의문이 생깁니다. 확실한축. 이를 위해 서로 수직인 두 축을 각도만큼 회전할 때 관성 모멘트가 어떻게 변하는지 살펴보겠습니다.

도형을 취하고 무게 중심을 통해 그려 봅시다. 에 대한두 개의 서로 수직인 축 OU그리고 온스(그림 2).

그림 2.회전된 축의 관성 모멘트를 결정하기 위한 계산 모델입니다.

이들 축에 대한 축방향 관성 모멘트와 원심 관성 모멘트를 알아봅시다. 두 번째 좌표축 시스템을 그려보고 첫 번째 좌표계에 비스듬히 기울어져 보겠습니다. 점을 중심으로 축을 회전할 때 이 각도의 양의 방향을 고려할 것입니다. 에 대한시계 반대 방향. 기원 에 대한구하다. 알려진 관성 모멘트 와 를 통해 두 번째 좌표축 시스템과 관련된 모멘트를 표현해 보겠습니다.

이 축에 대한 관성 모멘트에 대한 표현식을 작성해 보겠습니다.

비슷하게:

문제를 해결하려면 원심 관성 모멘트에 대해 한 축에서 다른 축으로 전환하는 공식이 필요할 수 있습니다. 축을 회전할 때(그림 2) 다음과 같은 결과가 나타납니다.

여기서 및 는 공식 (14.10)을 사용하여 계산됩니다. 그 다음에

변환 후에 우리는 다음을 얻습니다:

(7)

따라서 중심축에 대한 관성 모멘트를 계산하려면 서로 수직인 두 중심축의 시스템에 대한 관성 모멘트를 알아야 합니다. OU그리고 온스, 동일한 축에 대한 원심 관성 모멘트 및 축에 대한 축의 경사각 ~에.

값을 계산하려면 다음과 같은 축을 선택해야 합니다. ~에그리고 지각 구성 요소의 중심 축에서 이에 평행한 축으로의 전환에 대한 공식만 사용하여 그림의 영역을 이 계산이 가능하도록 구성 요소 부분으로 나눕니다. 실제로 이를 수행하는 방법은 예제를 사용하여 아래에 표시됩니다. 이 계산에서 복잡한 수치는 가능한 경우 상호 수직 축 시스템에 대한 중심 관성 모멘트 값이 알려진 기본 부분으로 나누어야합니다.

단면의 무게 중심이 아닌 다른 지점에서 좌표 원점을 취했다면 도출 과정과 얻은 결과는 변경되지 않았을 것입니다. 에 대한. 따라서 식 (6)과 (7)은 중심축인지 여부에 관계없이 특정 각도만큼 회전하는 서로 수직인 축의 한 시스템에서 다른 축으로의 전환에 대한 공식입니다.

공식 (6)에서 축을 돌릴 때 관성 모멘트 사이의 또 다른 관계를 얻을 수 있습니다. 에 대한 표현식을 추가하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

즉, 서로 수직인 축에 대한 관성 모멘트의 합 ~에그리고 지회전해도 변경되지 않습니다. 및 해당 값 대신 마지막 표현식을 대체하면 다음을 얻습니다.

사이트까지의 거리는 어디입니까 dF지점에서 에 대한. 양은 이미 알려진 바와 같이 점에 대한 단면의 극관성 모멘트입니다. 에 대한.

따라서 임의의 점에 대한 단면의 극 관성 모멘트는 이 점을 통과하는 서로 수직인 축에 대한 축 관성 모멘트의 합과 같습니다. 따라서 이 합은 축이 회전할 때 일정하게 유지됩니다. 이 의존성(14.16)을 사용하여 관성 모멘트 계산을 단순화할 수 있습니다.

따라서 서클의 경우:

원에 대한 대칭으로 인해

위에서 통합을 통해 얻은 것입니다.

마찬가지로 벽이 얇은 환형 섹션의 경우 다음을 얻을 수 있습니다.

주요 관성축과 주요 관성 모멘트.

이미 알려진 바와 같이 중심 관성 모멘트를 알고 주어진 수치에 대해 다른 축에 대한 관성 모멘트를 계산할 수 있습니다.

이 경우 공식이 크게 단순화 된 시스템을 주요 축 시스템으로 사용할 수 있습니다. 즉, 원심 관성 모멘트가 0인 좌표축 시스템을 찾는 것이 가능합니다. 실제로 관성 모멘트는 양의 항의 합처럼 항상 양의 값을 가지지만 원심 모멘트는

긍정적일 수도 있고 부정적일 수도 있습니다. zydF기호에 따라 기호가 다를 수 있습니다. 지그리고 ~에한 사이트 또는 다른 사이트에 대해. 이는 0과 같을 수 있음을 의미합니다.

원심 관성 모멘트가 사라지는 축을 호출합니다. 주축관성. 그러한 시스템의 시작 부분이 그림의 무게 중심에 배치되면 다음과 같습니다. 주요 중심축. 우리는 이러한 축을 표시하고 ; 그들을 위해

주축이 중심축 y 및 z에 대해 어떤 각도로 기울어져 있는지 찾아보겠습니다(그림 198).

그림 1.관성 주축의 위치를 ​​결정하기 위한 계산 모델입니다.

축에서 이동하는 것에 대한 잘 알려진 표현에서 yz축에 대해 원심 관성 모멘트에 대해 각도에 값을 부여합니다. 그런 다음 축과 주요 축과 일치하고 원심 관성 모멘트는 0과 같습니다.

(1)

이 방정식은 180° 차이가 나는 두 값 또는 90° 차이가 나는 두 값으로 만족됩니다. 따라서 이 방정식은 우리에게 위치를 제공합니다. 두 개의 축, 서로 직각을 이룬다. 이것들은 주요 중심축이 될 것이며, 이에 대한 .

이 공식을 사용하면 알려진 공식을 사용하여 주요 관성 모멘트 및 에 대한 공식을 얻을 수 있습니다. 이를 위해 일반 위치 축 관성 모멘트에 대한 표현식을 다시 사용합니다. 그들은 값을 결정하고 우리가 대체하는 경우

(2)

결과적인 관계는 문제를 해결하는 데 사용될 수 있습니다. 관성의 주요 순간 중 하나는 또 다른 것입니다.

식 (2)는 값이 없는 형태로 변환될 수 있다. 해당 값을 첫 번째 공식 (2)에 표현하고 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. 동시에 공식 (1)에서 대체를 수행합니다.

여기에서 공식 (1)의 분수를 다음과 같이 바꾸십시오.

우리는 얻는다

(3)

두 번째 공식 (3)을 비슷한 방식으로 변환하면 동일한 표현식을 얻을 수 있습니다.

다른 축으로 이동할 수 있는 중심 축의 주요 시스템의 경우 다음을 수행할 수 있습니다. OU그리고 온스, 및 주축 및 ; 그러면 원심 관성 모멘트()가 공식에 나타나지 않습니다. 축 , (그림 2)가 주축 과 이루는 각도를 로 표시하겠습니다. , 및 를 축 및 에서 이동하여 계산하려면 , 및 , 및 , 및 에 대해 이전에 찾은 표현식에서 , a 및 을 통한 각도를 바꿔야 합니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:

외관상 이러한 공식은 두 방향으로 인장을 받는 요소의 서로 수직인 두 영역을 따른 수직 및 전단 응력에 대한 공식과 완전히 유사합니다. 두 개의 각도 값 중에서 첫 번째 주축의 편차에 해당하는 값을 선택할 수 있는 공식만 표시하겠습니다(최대값 제공). 제이) 축의 초기 위치에서 ~에:

이제 우리는 모든 축에 대한 도형의 관성 모멘트를 가장 간단한 방법으로 계산하기 위해 수행해야 할 작업을 마침내 공식화할 수 있습니다. 도형의 무게중심을 통과하는 축을 그리는 것이 필요합니다 OU그리고 온스따라서 그림을 가장 간단한 부분으로 나누어 무게 중심에서 멀리 떨어진 곳(그림 2)을 통과하는 모멘트를 쉽게 계산할 수 있습니다.

대부분의 경우 그림의 주축을 즉시 그리는 것이 가능합니다. 그림에 대칭축이 있으면 이것이 주축 중 하나가 됩니다. 실제로 공식을 도출할 때 우리는 이미 적분, 즉 축에 대한 단면의 원심 관성 모멘트를 다루었습니다. ~에그리고 지; 축이 있다면 입증되었습니다. 온스가 대칭축이면 이 적분은 사라집니다.

따라서 이 경우 축은 OU그리고 온스~이다 기본단면의 관성 중심축. 따라서, 대칭축- 항상 주 중심축입니다. 두번째 집중심축은 대칭축에 수직인 무게중심을 통과합니다.

예.축을 기준으로 직사각형(그림 3)의 관성 모멘트를 구하면 다음과 같습니다.

축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

원심 관성 모멘트는 같습니다.

복잡한 단면의 관성 모멘트를 계산하는 방법은 모든 적분을 적분의 합으로 간주할 수 있으므로 모든 단면의 관성 모멘트를 관성 모멘트의 합으로 계산할 수 있다는 사실에 기초합니다. 개별 부품.

따라서 관성 모멘트를 계산하기 위해 복잡한 단면을 여러 개의 간단한 부품(그림)으로 나누어 기하학적 특성을 알려진 공식을 사용하여 계산하거나 특수 참조 테이블을 사용하여 찾을 수 있습니다.

어떤 경우에는 숫자를 줄이거나 모양을 단순화하기 위해 단순한 도형으로 나눌 때 복잡한 부분에 일부 영역을 추가하는 것이 좋습니다. 예를 들어, 그림 1에 표시된 단면의 기하학적 특성을 결정할 때 22.5, a, 직사각형에 추가한 다음 이 직사각형의 기하학적 특성에서 추가된 부분의 특성을 빼는 것이 좋습니다. 구멍이 있는 경우에도 동일한 작업을 수행합니다(그림 22.5, b).

복잡한 부분을 간단한 부분으로 나눈 후 각 부분에 대해 직사각형 좌표계를 선택하고 이에 따라 해당 부분의 관성 모멘트를 결정해야 합니다. 이러한 모든 좌표계는 서로 평행한 것으로 간주되므로 축의 평행 이동을 통해 전체 복잡한 단면에 공통된 좌표계를 기준으로 모든 부품의 관성 모멘트를 계산할 수 있습니다.

일반적으로 각 단순 도형의 좌표계는 중심으로 가정됩니다. 즉, 원점은 이 도형의 무게 중심과 일치합니다. 이 경우 다른 평행 축으로 전환할 때 이후의 관성 모멘트 계산이 단순화됩니다. 중앙 축에서 전환하는 공식이 비중심 축에서 전환하는 공식보다 더 간단한 형태이기 때문입니다.

다음 단계는 각 단순 도형의 면적과 선택된 좌표계의 축에 대한 축 및 원심 관성 모멘트를 계산하는 것입니다. 단면의 각 부분에 대해 이 축이 일반적으로 중심에 있기 때문에 이러한 축에 대한 정적 모멘트는 일반적으로 0과 같습니다. 중심축이 아닌 경우에는 정적 모멘트를 계산해야 합니다.

극 관성 모멘트는 미리 만들어진 공식을 사용하여 원형(고체 또는 환형) 단면에 대해서만 계산됩니다. 다른 모양의 단면의 경우 이 기하학적 특성은 계산에 사용되지 않으므로 아무런 의미가 없습니다.

좌표계 축에 대한 각 단순 그림의 축 및 원심 관성 모멘트는 해당 그림에 사용할 수 있는 공식 또는 표를 사용하여 계산됩니다. 일부 수치의 경우 사용 가능한 공식과 표를 사용하면 필요한 축 및 원심 관성 모멘트를 결정할 수 없습니다. 이러한 경우 새 축으로 전환하기 위한 공식을 사용해야 합니다(일반적으로 축 회전의 경우).

분류 테이블에는 각도에 대한 원심 관성 모멘트 값이 표시되지 않습니다. 이러한 관성 모멘트를 결정하는 방법은 예제 4.5에서 논의됩니다.

대부분의 경우 단면의 기하학적 특성을 계산하는 궁극적인 목표는 주요 중심 관성 모멘트와 주요 중심 관성축의 위치를 ​​결정하는 것입니다. 따라서 계산의 다음 단계는 임의의 (무작위) 좌표계에서 [공식 (6.5) 및 (7.5) 사용] 주어진 섹션의 무게 중심 좌표를 결정하는 것입니다. 이 섹션의 무게 중심을 통해 , 보조(주가 아닌) 중심축은 단순 도형의 좌표계 축과 평행하게 그려집니다.

그런 다음 평행 축에 대한 관성 모멘트 간의 관계를 설정하는 공식을 사용하여(5.5절 참조) 보조 중심 축에 대한 각 단순 도형의 관성 모멘트를 결정합니다. 축에 대해 이 축에 대한 전체 복합 섹션의 관성 모멘트가 결정됩니다. 이 경우 홀이나 추가된 패드의 관성 모멘트를 뺍니다.

섹션의 관성 모멘트를 다음 형식의 적분이라고 합니다.

~에;

- 축에 대한 단면의 축방향 관성 모멘트 지;

– 단면의 원심 관성 모멘트;

- 단면의 극관성 모멘트.

3.2.1. 단면 관성 모멘트의 특성

관성 모멘트의 크기는 [길이 4 ]이며, 일반적으로 [ 중 4 ] 또는 [ 센티미터 4 ].

축방향 및 극관성 모멘트는 항상 양수입니다. 원심 관성 모멘트는 양수, 음수 또는 0일 수 있습니다.

원심 관성 모멘트가 0인 축을 호출합니다. 관성 주축섹션.

대칭축은 항상 주요 축입니다. 서로 수직인 두 축 중 적어도 하나가 대칭축이면 두 축이 모두 주 축입니다.

복합 단면의 관성 모멘트는 이 단면 요소의 관성 모멘트의 합과 같습니다.

극관성 모멘트는 축방향 관성 모멘트의 합과 같습니다.

마지막 속성을 증명해보자. 면적이 있는 섹션 ㅏ기본 사이트의 경우 다반경 벡터 ρ 및 좌표 ~에그리고 지(그림 6)은 피타고라스 정리에 따라 연결됩니다. ρ 2 = ~에 2 + 지 2. 그 다음에

쌀. 6. 극좌표와 직교좌표의 관계

초등학교 사이트

3.2.2. 가장 단순한 도형의 관성 모멘트

안에 직사각형 단면(그림 7) 기본 승강장 선택 다좌표와 함께 와이그리고 지그리고 지역 다 = 디즈.

쌀. 7. 직사각형 단면

축에 대한 축방향 관성 모멘트 ~에

.

마찬가지로 축에 대한 관성 모멘트를 얻습니다. 지:

왜냐하면 ~에그리고 지– 대칭축, 원심 모멘트 디 지 = 0.

을 위한 원지름 디원형 대칭을 고려하고 극좌표를 사용하면 계산이 단순화됩니다. 반경 ρ와 두께를 갖는 무한히 얇은 링을 기본 플랫폼으로 사용하겠습니다. 디ρ (그림 8). 그 지역 다= 2πρ 디ρ. 그러면 극관성 모멘트는 다음과 같습니다.

.

쌀. 8. 원형 단면

위에 표시된 것처럼 모든 중심축에 대한 축방향 관성 모멘트는 동일합니다.

.

관성 모멘트 반지우리는 두 원의 관성 모멘트, 즉 바깥쪽 원(직경이 있는)의 차이를 찾습니다. 디) 및 내부(직경 포함) 디):

관성 모멘트 나 지 삼각형무게 중심을 통과하는 축을 기준으로 이를 정의하겠습니다(그림 9). 분명히, 멀리 떨어져 있는 기본 스트립의 너비는 ~에축에서 지, 는 같다

따라서,

쌀. 9. 삼각형 단면

3.3. 평행축에 대한 관성 모멘트 간의 종속성

축에 대한 관성 모멘트의 알려진 값 지그리고 ~에다른 축에 대한 관성 모멘트를 결정해 보겠습니다. 지 1과 와이주어진 것과 평행한 1개. 축 관성 모멘트에 대한 일반 공식을 사용하여 다음을 찾습니다.

축의 경우 지그리고 와이중앙, 그럼
, 그리고

얻은 공식으로부터 중심 축에 대한 관성 모멘트가 분명합니다.
)는 다른 평행축에 대한 관성 모멘트와 비교하여 가장 작은 값을 갖습니다.

3.4. 주축과 주관성 모멘트

축이 각도 α만큼 회전하면 원심 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

.

관성의 주요 주축 위치를 결정합시다 유, V어느 것에 관해서

,

여기서 α 0은 축이 회전해야 하는 각도입니다. 와이그리고 지그래서 그들이 주요한 것이 됩니다.

공식은 두 개의 각도 값을 제공하므로 그리고
이면 서로 수직인 두 개의 주축이 있습니다. 최대 축은 항상 더 작은 각도를 만듭니다( )와 축의 ( 지또는 와이), 이에 비해 축방향 관성 모멘트가 더 중요합니다. 축에서 양의 각도가 떨어져 있다는 점을 기억하세요. 지 시계 반대 방향으로.

주축에 대한 관성 모멘트를 다음과 같이 부릅니다. 주요 관성 모멘트.그들이 보여질 수 있는 것은

.

두 번째 항 앞의 플러스 기호는 최대 관성 모멘트를 나타내고 마이너스 기호는 최소 관성 모멘트를 나타냅니다.