ჩამოაყალიბეთ მისი ელემენტების შეკვეცილი კონუსის განმარტება. ფრუსტუმი

კონუსური ზედაპირიარის ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება ყველა სწორი ხაზით, რომელიც გადის მოცემული მრუდის თითოეულ წერტილს და მრუდის გარეთ არსებულ წერტილს (სურ. 32).

ეს მრუდი ე.წ სახელმძღვანელო , სწორი - ფორმირება , წერტილი - ზედა კონუსური ზედაპირი.

სწორი წრიული კონუსური ზედაპირიარის ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება ყველა სწორი ხაზით, რომელიც გადის მოცემული წრის თითოეულ წერტილს და სწორ ხაზს, რომელიც პერპენდიკულარულია წრის სიბრტყეზე და გადის მის ცენტრში. შემდეგში ჩვენ მოკლედ დავარქმევთ ამ ზედაპირს კონუსური ზედაპირი (სურ. 33).

კონუსი (სწორი წრიული კონუსი ) არის გეომეტრიული სხეული, რომელიც შემოსაზღვრულია კონუსური ზედაპირით და სიბრტყით, რომელიც პარალელურია სახელმძღვანელო წრის სიბრტყის (სურ. 34).

ბრინჯი. 32 ნახ. 33 ნახ. 34

კონუსი შეიძლება ჩაითვალოს სხეულად, რომელიც მიიღება მართკუთხა სამკუთხედის ბრუნვით ღერძის გარშემო, რომელიც შეიცავს სამკუთხედის ერთ-ერთ ფეხს.

წრეს, რომელიც აკრავს კონუსს, მისი ეწოდება საფუძველი . კონუსური ზედაპირის წვერო ეწოდება ზედა კონუსი სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს კონუსის წვეროს მისი ფუძის ცენტრთან, ეწოდება სიმაღლე კონუსი კონუსური ზედაპირის შემქმნელ სეგმენტებს ე.წ ფორმირება კონუსი ღერძი კონუსი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის კონუსის თავზე და მისი ფუძის ცენტრში. ღერძული განყოფილება კონუსის ღერძზე გამავალ მონაკვეთს უწოდებენ. გვერდითი ზედაპირის განვითარება კონუსს ეწოდება სექტორი, რომლის რადიუსი უდრის კონუსის გენერატრიქსის სიგრძეს, ხოლო სექტორის რკალის სიგრძე უდრის კონუსის ფუძის გარშემოწერილობას.

კონუსის სწორი ფორმულებია:

სად რ- ბაზის რადიუსი;

ჰ- სიმაღლე;

ლ- გენერატრიქსის სიგრძე;

S ბაზა- ბაზის ფართობი;

S მხარე

S სავსე

ვ- კონუსის მოცულობა.

შეკვეცილი კონუსიეწოდება კონუსის ნაწილს, რომელიც ჩასმულია ფუძესა და საჭრელ სიბრტყეს შორის კონუსის ფუძის პარალელურად (სურ. 35).

ჩამოჭრილი კონუსი შეიძლება ჩაითვალოს სხეულად, რომელიც მიიღება მართკუთხა ტრაპეციის ბრუნვით ღერძის გარშემო, რომელიც შეიცავს ტრაპეციის გვერდს ფუძეებზე პერპენდიკულარული.

კონუსს შემოსაზღვრულ ორ წრეს მისი ეწოდება მიზეზები . სიმაღლე შეკვეცილი კონუსი არის მანძილი მის ფუძეებს შორის. გადაჭრილი კონუსის კონუსური ზედაპირის შემქმნელ სეგმენტებს ე.წ ფორმირება . სწორი ხაზი, რომელიც გადის ფუძეების ცენტრებში, ეწოდება ღერძი შეკვეცილი კონუსი. ღერძული განყოფილება მოუწოდა მონაკვეთი, რომელიც გადის ღერძზე გადაჭრილი კონუსის.

დამსხვრეული კონუსისთვის სწორი ფორმულებია:

(8)

სად რ- ქვედა ბაზის რადიუსი;

რ- ზედა ბაზის რადიუსი;

ჰ– სიმაღლე, l – გენერატრიქსის სიგრძე;

S მხარე- გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

S სავსე- მთლიანი ზედაპირის ფართობი;

ვ– შეკვეცილი კონუსის მოცულობა.

მაგალითი 1.კონუსის ჯვარი მონაკვეთი ძირის პარალელურად ყოფს სიმაღლეს 1:3 თანაფარდობით, ზემოდან დათვლა. იპოვეთ შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, თუ ფუძის რადიუსი და კონუსის სიმაღლეა 9 სმ და 12 სმ.

გამოსავალი.დავხატოთ ნახატი (სურ. 36).

შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულას (8). ვიპოვოთ ფუძეების რადიუსი დაახლოებით 1 ადა დაახლოებით 1 ვდა ფორმირება AB.

განვიხილოთ მსგავსი სამკუთხედები SO2Bდა SO 1 A, მსგავსების კოეფიციენტი, მაშინ

აქედან

Მას შემდეგ

შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის:

პასუხი: .

მაგალითი 2.რადიუსის მეოთხედი წრე იკეცება კონუსურ ზედაპირზე. იპოვეთ ფუძის რადიუსი და კონუსის სიმაღლე.

გამოსავალი.წრის კვადრატი არის კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარება. აღვნიშნოთ რ- მისი ბაზის რადიუსი, H –სიმაღლე. გამოვთვალოთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი ფორმულით: . ის უდრის მეოთხედი წრის ფართობს: . ვიღებთ განტოლებას ორი უცნობით რდა ლ(კონუსის ფორმირება). ამ შემთხვევაში, გენერატრიქსი უდრის მეოთხედი წრის რადიუსს რ, რაც ნიშნავს, რომ მივიღებთ შემდეგ განტოლებას: , საიდანაც ფუძის და გენერატორის რადიუსის გაცნობით ვპოულობთ კონუსის სიმაღლეს:

პასუხი: 2 სმ,.

მაგალითი 3.მართკუთხა ტრაპეცია მწვავე კუთხით 45 O, უფრო მცირე ფუძით 3 სმ და ტოლი დახრილი გვერდით, ბრუნავს ფუძეების პერპენდიკულარული მხარის გარშემო. იპოვნეთ მიღებული ბრუნვის სხეულის მოცულობა.

გამოსავალი.დავხატოთ ნახატი (სურ. 37).

ბრუნვის შედეგად ვიღებთ შეკვეცილ კონუსს მისი მოცულობის საპოვნელად, ვიანგარიშებთ უფრო დიდი ფუძის რადიუსს; ტრაპეციაში O 1 O 2 ABჩავატარებთ AC^O 1 B. B გვაქვს: ეს ნიშნავს, რომ ეს სამკუთხედი არის ტოლფერდა A.C.=ძვ.წ.= 3 სმ.

პასუხი:

მაგალითი 4.სამკუთხედი გვერდებით 13 სმ, 37 სმ და 40 სმ ბრუნავს გარე ღერძის ირგვლივ, რომელიც პარალელურია უფრო დიდი მხარის და მდებარეობს მისგან 3 სმ მანძილზე (ღერძი მდებარეობს სამკუთხედის სიბრტყეში). იპოვეთ ბრუნვის შედეგად მიღებული სხეულის ზედაპირის ფართობი.

გამოსავალი . დავხატოთ ნახატი (სურ. 38).

რევოლუციის შედეგად მიღებული სხეულის ზედაპირი შედგება ორი შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირისა და ცილინდრის გვერდითი ზედაპირისგან. ამ უბნების გამოსათვლელად აუცილებელია ვიცოდეთ კონუსების და ცილინდრის ფუძეების რადიუსი ( BEდა ო.კ.კონუსების ფორმირება ( ძვ.წ.და A.C.) და ცილინდრის სიმაღლე ( AB). ერთადერთი უცნობია CO. ეს არის მანძილი სამკუთხედის გვერდიდან ბრუნვის ღერძამდე. ჩვენ ვიპოვით DC. ABC სამკუთხედის ფართობი ერთ მხარეს უდრის AB გვერდის ნახევრის ნამრავლს და მისკენ მიზიდულ სიმაღლეს. DCმეორეს მხრივ, სამკუთხედის ყველა გვერდის ცოდნით, ჩვენ ვიანგარიშებთ მის ფართობს ჰერონის ფორმულით.

შესავალი

ბრინჯი. 1. საგნები ცხოვრებიდან, რომლებსაც აქვთ შეკვეცილი კო-ნუ-სას ფორმა

როგორ ფიქრობთ, საიდან მოდის ახალი ფიგურები გეომეტრიაში? ეს ყველაფერი ძალიან მარტივია: ადამიანი ცხოვრებაში გახდა მსგავსი საგნებით და მოდის, თითქოს დაუძახოს. მოდით შევხედოთ კაბინეტს, რომელზედაც ცირკის ლომები სხედან, სტაფილოების ნაჭერი, რომელსაც კრეფენ, როდესაც ჩვენ უბრალოდ ვართ - მისი ნაწილი, მოქმედი ვულკანი და, მაგალითად, შუქი ფო-ნა-რი- ka (იხ. სურ. 1).

შეკვეცილი კონუსი, მისი ელემენტები და ღერძული მონაკვეთი

ბრინჯი. 2. გეო-მეტ-რი-ჩე-ფი-გუ-რი

ვხედავთ, რომ ყველა ეს ფიგურა მსგავსი ფორმისაა - როგორც ქვემოდან, ასევე ზემოდან ისინი შემოსაზღვრულია წრეებით, მაგრამ ვიწროვდება ზევით (იხ. სურ. 2).

ბრინჯი. 3. თანა-ნუ-სა ზედა ნაწილიდან

კონუსს ჰგავს. უბრალოდ არ არის საკმარისი ზედა სიჩუმე. ძალაუნებურად წარმოვიდგენთ, რომ ავიღებთ კონუსს და ბასრი ხმლის ერთი რხევით ავიღებთ მისგან ზედა ნაწილს (იხ. სურ. 3).

ბრინჯი. 4. დამსხვრეული კონუსი

ეს არის ზუსტად ჩვენი ფიგურა, რომელსაც ეწოდება შეკვეცილი კონუსი (იხ. სურ. 4).

ბრინჯი. 5. სე-ჩე-ნიე, პარალელურ-ოს-ნო-ვა-ნიიუ კო-ნუ-სა

დაე, კონუსი მიეცეს. შევქმნათ სიბრტყე, ამ co-nu-sa ღერძის პარალელური სიბრტყე და განივი კონუსი (იხ. სურ. 5).

ის დაყოფს კონუსს ორ სხეულად: მათგან ერთი არის უფრო მცირე ზომის კონუსი, ხოლო მეორეს ეწოდება შეკვეცილი კონუსი (იხ. სურ. 6).

ბრინჯი. 6. მიღებული სხეულები პარალელურ მონაკვეთში

ამრიგად, შეკვეცილი კონუსი არის კონუსის ნაწილი, რომელიც დაკავშირებულია მის მთავარ სხეულსა და პარალელურ მთავარ სხეულს შორის. ისევე, როგორც კონუსის შემთხვევაში, დამსხვრეულ კონუსს შეიძლება ჰქონდეს წრე – ამ შემთხვევაში მას წრე ეწოდება. თუ თავდაპირველი კონუსი სწორი იყო, მაშინ შეკვეცილ კონუსს სწორი ეწოდება. როგორც ko-nu-sa-mi-ს შემთხვევაში, ჩვენ შევხედავთ კლავიშებს, მაგრამ სწორ წრიულ შეკვეცილ კო-ნუ-ს სი-ს, თუ კონკრეტულად არ არის მითითებული, რომ საუბარია არაპირდაპირ წაკვეთილ co-nu-se-ზე. ან მის საფუძველში არ არის წრეები.

ბრინჯი. 7. მართკუთხა ხაფანგის ბრუნვა

ჩვენი გლობალური თემაა ბრუნვის სხეულები. გამონაკლისი არ არის დამსხვრეული კონუსი! გავიხსენოთ, რომ co-nu-sa-ს მისაღებად, ჩვენ მართკუთხა სამკუთხედს ვაქცევთ smo-mat-ri-va-li და ვატრიალებთ მას კა-ტე-ტას გარშემო? თუ მიღებული კონუსი იჭრება ღერძის პარალელურად სიბრტყით, მაშინ არ დარჩება სწორი ხაზი სამკუთხედიდან -mo-coal-trape-tion. მისი ბრუნვა უფრო პატარა მხარის ირგვლივ მოგვცემს შემოჭრილ კონუსს. კიდევ ერთხელ აღვნიშნოთ, რომ ჩვენ, ცხადია, ვსაუბრობთ მხოლოდ პირდაპირ წრიულ კო-ნუ-სეზე (იხ. სურ. 7).

ბრინჯი. 8. ოს-ნო-ვა-ნია შეკვეცილი-ნო-გო კო-ნუ-სა

რამდენიმე მომზადებას მოვამზადებ. ნახევრად-კო-ნუ-სა და წრის საფუძველი, ნახევრად ჩა-იუ-შაი კო-ნუ-სა ბინის მონაკვეთში, ისინი უწოდებენ os-no-va-ni-ya-mi შეკვეცილი. ko-nu-sa (ქვედა და ზედა) (იხ. სურ. 8).

ბრინჯი. 9. ობ-რა-ზუ-იუ-ში შეკვეცილი კო-ნუ-სა

რა-ზუ-იუ-შიჰ-ის ნახევრის კუ-ნუ-სა-ს კალმებიდან, რომლებიც დაკავშირებულია os-but-va-ni-mi-ს შეკვეცილ-ბუტ-გო კო-ნუ-სა-ს შორის, ისინი ეძახიან დაახლოებით-რა- zu-yu-schi-mi truncated-no-go ko-nu-sa. ვინაიდან ყველა საგანმანათლებლო შედეგი თანაბარია და ყველა საგანმანათლებლო შედეგი ერთიდან არის თანაბარი, მაშინ ob-ra-zu-yu შეკვეცილი co-nu-sa თანაბარია (ნუ აურიეთ შეკვეცილი და შეკვეცილი!). აქედან გამომდინარეობს მონაკვეთის ღერძის ტრაპეციის ტოლობა (იხ. სურ. 9).

ბრუნვის ღერძიდან, შემოსაზღვრული კო-ნუ-სა-ს შიგნით, ისინი მას კო-ნუ-სა-ს შეკვეცილი ღერძის ღერძს უწოდებენ. ეს ხელახალი გაჭრა, რა-ზუ-მე-ეტ-სია, აერთიანებს მისი საფუძვლების ცენტრებს (იხ. სურ. 10).

ბრინჯი. 10. შეკვეცილი კო-ნუ-სა ღერძი

იუ-სო-ტა შეკვეცილი კო-ნუ-სა არის პერ-პენ-დი-კუ-ლიარი, პრო-ვე-დენი ერთი ოს-ნო-ვა-ნიას წერტილიდან მეორე ფუძემდე. ყველაზე ხშირად, შენს ხარისხში, მისი ღერძი გაქვს შეკვეცილი.

ბრინჯი. 11. Ose-voe se-che-nie truncated-no-go-ko-nu-sa

შეკვეცილი co-nu-sa-ს ღერძული მონაკვეთი არის მონაკვეთი, რომელიც გადის მის ღერძზე. მას აქვს ტრაპეციის ფორმა, ცოტა მოგვიანებით ვაჩვენებთ მის თანასწორობას (იხ. სურ. 11).

დამსხვრეული კონუსის გვერდითი და მთლიანი ზედაპირების არეები

ბრინჯი. 12. კონუსი შემოყვანილი სიმბოლოებით

მოდი ვიპოვოთ ბო-კო-ვოის ფართობი დამსხვრეული კო-ნუ-სა-ს თავზე. შეკვეცილი co-nu-sa-ს ფუძეებს ჰქონდეს რადიუსი და , და ობ-რა-ზუ-იუ ტოლი იყოს (იხ. სურ. 12).

ბრინჯი. 13. აღნიშვნა ob-ra-zu-yu-shchei from-se-chen-no-th ko-nu-sa

მოდი ვიპოვოთ ბო-კო-ვოის ფართობი შეკვეცილი co-nu-sa-ს თავზე, როგორც სხვაობა ბო-კო-ვოიების ფართობში ზედა-მაგრამ- სტე-ხოდ-ნო-გო. ko-nu-sa და from-se-chen-no-go. ამისათვის ჩვენ აღვნიშნავთ კო-ნუ-სა-ს ფორმირების გზით (იხ. სურ. 13).

მაშინ არის-კო-მაი.

ბრინჯი. 14. მსგავსი სამკუთხედები

დარჩენილია მხოლოდ თქვენ გაერკვნენ.

აღვნიშნოთ, რომ po-do-biy tri-corn-ni-kov-დან-დან-დიახ-დან (იხ. სურ. 14).

ამის გამოთქმა შესაძლებელი იქნებოდა მისი დაყოფით რადიუსებს შორის სხვაობაზე, მაგრამ ჩვენ ეს არ გვჭირდება, რადგან მოცემულ შემთხვევაში ეს არის ზუსტად fi-gu-ri-ru-et pro-iz-ve-de-. არა. მის ნაცვლად ჩანაცვლება, საბოლოოდ გვაქვს: .

ახლა არ არის რთული სრული ზედაპირის ფორმის მიღება. ამისათვის დაამატეთ ზუსტად ფუძის ორი წრის ფართობი: .

დავალება

ბრინჯი. 15. ილუსტრაცია for-da-che

დაე, დამსხვრეული კონუსი შემობრუნდეს მართკუთხა ხაფანგით მისი სიმაღლის გარშემო. ტრაპეციის შუა ხაზი უდრის , ხოლო უფრო დიდი მხარე უდრის (იხ. სურ. 15). იპოვეთ ბო-კო-ვოის ფართობი შეკვეცილი კო-ნუ-სას ზედა-ნო-სტიზე.

გამოსავალი

ფორმულიდან ვიცით, რომ .

კო-ნუ-სა-ს ფორმირება იქნება დიდი ასეულ-რო-მიმდინარე ტრაპე-ტიონი, ანუ Ra-di-u-sy ko- well-sa - ეს არის ტრა-ს საფუძველი. პე-ტიონი. ჩვენ ვერ ვპოულობთ მათ. მაგრამ ჩვენ ეს არ გვჭირდება: ჩვენ გვჭირდება მხოლოდ მათი ჯამი და ტრაპეციის ფუძეების ჯამი ორჯერ აღემატება მის შუა ხაზს, ანუ ის უდრის . მაშინ .

მსგავსება დამსხვრეულ კონუსებსა და პირამიდებს შორის

ყურადღება მიაქციეთ, რომ როდესაც ვსაუბრობთ co-nu-se-ზე, ჩვენ ვსაუბრობთ მასზე და პი -რა-მი-დოის შორის - ფორმულები ანალოგიური იყო. აქაც იგივეა, რადგან დამსხვრეული კონუსი ძალიან წააგავს შეკვეცილ პი-რა-მი-დუს, ამიტომ ფართობის ფორმულები არის დიდი და სრული ზედა-არა-შტეი შეკვეცილი კო-ნუ-სა და პი-რა-მი. -dy (და მალე იქნება მოცულობის ფორმულები) analog-lo-gic- us.

დავალება

ბრინჯი. 1. Illu-strat-tion to for-da-che

ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa უდრის და-ს, ხოლო ob-ra-zu-yu-shchaya უდრის. იპოვეთ შეკვეცილი co-nu-sa და მისი ღერძის ფართობი (იხ. სურ. 1).

რომლებიც გამოდიან ერთი წერტილიდან (კონუსის ზემოდან) და რომლებიც გადიან ბრტყელ ზედაპირზე.

ეს ხდება, რომ კონუსი არის სხეულის ნაწილი, რომელსაც აქვს შეზღუდული მოცულობა და მიიღება თითოეული სეგმენტის გაერთიანებით, რომელიც აკავშირებს ბრტყელი ზედაპირის წვეროსა და წერტილებს. ეს უკანასკნელი, ამ შემთხვევაში, არის კონუსის საფუძველი, და ამბობენ, რომ კონუსი ეყრდნობა ამ ბაზას.

როდესაც კონუსის საფუძველი მრავალკუთხედია, ის უკვე არის პირამიდა .

წრიული კონუსი- ეს არის სხეული, რომელიც შედგება წრისგან (კონუსის ფუძე), წერტილი, რომელიც არ დევს ამ წრის სიბრტყეში (კონუსის ზედა ნაწილი და ყველა სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს კონუსის ზედა წერტილს). ბაზა). სეგმენტები, რომლებიც აკავშირებენ კონუსის წვეროსა და ფუძის წრის წერტილებს, ეწოდება კონუსის ფორმირება. კონუსის ზედაპირი შედგება ფუძისა და გვერდითი ზედაპირისგან.

გვერდითი ზედაპირის ფართობი სწორია ნ- ნახშირბადის პირამიდა ჩაწერილი კონუსში:

S n =½P n l n,

სად P n- პირამიდის ფუძის პერიმეტრი და ლ ნ- აპოთემა.

იგივე პრინციპით: ჩამოჭრილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობისთვის ბაზის რადიუსებით R 1, R 2და ფორმირება ლვიღებთ შემდეგ ფორმულას:

S=(R 1 +R 2)l.

სწორი და ირიბი წრიული კონუსები თანაბარი ფუძით და სიმაღლით. ამ სხეულებს აქვთ იგივე მოცულობა:

კონუსის თვისებები.

• როდესაც ფუძის ფართობს აქვს ზღვარი, ეს ნიშნავს, რომ კონუსის მოცულობას ასევე აქვს ზღვარი და უდრის სიმაღლის პროდუქტის მესამე ნაწილს და ფუძის ფართობს.

სად ს- ბაზის ფართობი, ჰ- სიმაღლე.

ამრიგად, თითოეულ კონუსს, რომელიც ეყრდნობა ამ ფუძეს და აქვს წვერო, რომელიც მდებარეობს ფუძის პარალელურად სიბრტყეზე, აქვს თანაბარი მოცულობა, რადგან მათი სიმაღლეები იგივეა.

• ლიმიტის მქონე თითოეული კონუსის სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს ფუძიდან სიმაღლის მეოთხედზე.
• სწორი წრიული კონუსის წვეროზე მყარი კუთხე შეიძლება გამოისახოს შემდეგი ფორმულით:

სად α - კონუსის გახსნის კუთხე.

• ასეთი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, ფორმულა:

და მთლიანი ზედაპირის ფართობი (ანუ გვერდითი ზედაპირისა და ფუძის ფართობების ჯამი), ფორმულა:

S=πR(l+R),

სად რ- ბაზის რადიუსი, ლ- გენერატორის სიგრძე.

• წრიული კონუსის მოცულობა, ფორმულა:

• შეკვეცილი კონუსისთვის (არა მხოლოდ სწორი ან წრიული), მოცულობა, ფორმულა:

სად S 1და S 2- ზედა და ქვედა ბაზის ფართობი,

თდა ჰ- დისტანციები ზედა და ქვედა ბაზის სიბრტყიდან ზევით.

• სიბრტყის გადაკვეთა მარჯვენა წრიულ კონუსთან ერთ-ერთი კონუსური მონაკვეთია.

გეომეტრია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც შეისწავლის სივრცეში არსებულ სტრუქტურებს და მათ შორის არსებულ კავშირებს. თავის მხრივ, ის ასევე შედგება სექციებისგან და ერთ-ერთი მათგანია სტერეომეტრია. იგი მოიცავს სივრცეში განლაგებული სამგანზომილებიანი ფიგურების თვისებების შესწავლას: კუბი, პირამიდა, ბურთი, კონუსი, ცილინდრი და ა.შ.

კონუსი არის სხეული ევკლიდეს სივრცეში, რომელიც შემოსაზღვრულია კონუსური ზედაპირით და სიბრტყით, რომელზედაც დევს მისი გენერატორების ბოლოები. მისი ფორმირება ხდება მისი რომელიმე ფეხის გარშემო მართკუთხა სამკუთხედის ბრუნვის დროს, ამიტომ იგი მიეკუთვნება რევოლუციის სხეულებს.

კონუსის კომპონენტები

არსებობს შემდეგი სახის გირჩები: ირიბი (ან დახრილი) და სწორი. ირიბი არის ის, რომლის ღერძი არ კვეთს მისი ფუძის ცენტრს სწორი კუთხით. ამ მიზეზით, ასეთ კონუსში სიმაღლე არ ემთხვევა ღერძს, რადგან ეს არის სეგმენტი, რომელიც სხეულის ზემოდან მისი ფუძის სიბრტყემდე არის დაშვებული 90 ° -იანი კუთხით.

კონუსს, რომლის ღერძი მისი ფუძის პერპენდიკულარულია, სწორი ეწოდება. ასეთ გეომეტრიულ სხეულში ღერძი და სიმაღლე ემთხვევა იმის გამო, რომ მასში წვერო მდებარეობს ფუძის დიამეტრის ცენტრის ზემოთ.

კონუსი შედგება შემდეგი ელემენტებისაგან:

1. წრე, რომელიც მისი საფუძველია.
2. გვერდითი ზედაპირი.
3. წერტილი, რომელიც არ დევს ფუძის სიბრტყეში, რომელსაც ეწოდება კონუსის წვერო.
4. სეგმენტები, რომლებიც აკავშირებენ გეომეტრიული სხეულის ფუძის წრის წერტილებსა და მის წვეროს.

ყველა ეს სეგმენტი არის კონუსის გენერატორი. ისინი მიდრეკილია გეომეტრიული სხეულის ფუძისკენ, ხოლო მარჯვენა კონუსის შემთხვევაში მათი პროექციები თანაბარია, ვინაიდან წვერო თანაბრად არის დაშორებული ფუძის წრის წერტილებისგან. ამრიგად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ რეგულარულ (სწორ) კონუსში გენერატორები ტოლია, ანუ მათ აქვთ იგივე სიგრძე და ქმნიან იგივე კუთხეებს ღერძთან (ან სიმაღლესთან) და ფუძესთან.

იმის გამო, რომ ბრუნვის ირიბი (ან დახრილი) სხეულში წვერო გადაადგილებულია საბაზისო სიბრტყის ცენტრთან მიმართებაში, ასეთ სხეულში გენერატორებს აქვთ განსხვავებული სიგრძე და პროექცია, რადგან თითოეული მათგანი განსხვავებულ მანძილზეა ნებისმიერი ორი წერტილიდან. ბაზის წრე. გარდა ამისა, მათ შორის კუთხეები და კონუსის სიმაღლე ასევე განსხვავებული იქნება.

გენერატრიკის სიგრძე სწორ კონუსში

როგორც ადრე დავწერე, რევოლუციის სწორ გეომეტრიულ სხეულში სიმაღლე პერპენდიკულარულია ფუძის სიბრტყეზე. ამრიგად, ფუძის გენერაცია, სიმაღლე და რადიუსი ქმნის მართკუთხა სამკუთხედს კონუსში.

ანუ, ბაზის რადიუსისა და სიმაღლის ცოდნა, პითაგორას თეორემის ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ გენერატრიქსის სიგრძე, რომელიც ტოლი იქნება საბაზისო რადიუსისა და სიმაღლის კვადრატების ჯამს:

l 2 = r 2 + h 2 ან l = √r 2 + h 2

სადაც l არის გენერატორი;

r - რადიუსი;

თ - სიმაღლე.

გენერატორი დახრილ კონუსში

იქიდან გამომდინარე, რომ დახრილ ან დახრილ კონუსში გენერატორებს არ აქვთ იგივე სიგრძე, მათი გამოთვლა შეუძლებელი იქნება დამატებითი კონსტრუქციებისა და გამოთვლების გარეშე.

უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა იცოდეთ სიმაღლე, ღერძის სიგრძე და ბაზის რადიუსი.

r 1 = √k 2 - h 2

სადაც r 1 არის რადიუსის ნაწილი ღერძსა და სიმაღლეს შორის;

k - ღერძის სიგრძე;

თ - სიმაღლე.

რადიუსის (r) და მისი ნაწილის დამატების შედეგად, რომელიც მდებარეობს ღერძსა და სიმაღლეს შორის (r 1), შეგიძლიათ გაიგოთ კონუსის სრული გენერირებული გენერაცია, მისი სიმაღლე და დიამეტრის ნაწილი:

სადაც R არის სამკუთხედის ფეხი, რომელიც წარმოიქმნება სიმაღლით, გენერატორით და ფუძის დიამეტრის ნაწილით;

r - ბაზის რადიუსი;

r 1 - რადიუსის ნაწილი ღერძსა და სიმაღლეს შორის.

პითაგორას თეორემის იგივე ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ კონუსის გენერატრიქსის სიგრძე:

l = √h 2 + R 2

ან, ცალ-ცალკე R-ის გამოთვლის გარეშე, გააერთიანეთ ორი ფორმულა ერთში:

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

იმისდა მიუხედავად, კონუსი სწორია თუ ირიბი და რა არის შეყვანის მონაცემები, გენერატრიქსის სიგრძის პოვნის ყველა მეთოდი ყოველთვის ერთ შედეგამდე მოდის - პითაგორას თეორემის გამოყენებამდე.

კონუსური განყოფილება

ღერძული არის სიბრტყე, რომელიც გადის მისი ღერძის ან სიმაღლის გასწვრივ. სწორ კონუსში ასეთი მონაკვეთია ტოლფერდა სამკუთხედი, რომელშიც სამკუთხედის სიმაღლე სხეულის სიმაღლეა, მისი გვერდები გენერატორებია, ფუძე კი ფუძის დიამეტრი. ტოლგვერდა გეომეტრიულ სხეულში ღერძული მონაკვეთი არის ტოლგვერდა სამკუთხედი, რადგან ამ კონუსში ფუძისა და გენერატორების დიამეტრი ტოლია.

ღერძული მონაკვეთის სიბრტყე სწორ კონუსში არის მისი სიმეტრიის სიბრტყე. ამის მიზეზი ის არის, რომ მისი ზედა მდებარეობს მისი ფუძის ცენტრის ზემოთ, ანუ ღერძული განყოფილების სიბრტყე ყოფს კონუსს ორ იდენტურ ნაწილად.

ვინაიდან სიმაღლე და ღერძი არ ემთხვევა დახრილ მოცულობით სხეულში, ღერძული მონაკვეთის სიბრტყე შეიძლება არ მოიცავდეს სიმაღლეს. თუ ასეთ კონუსში მრავალი ღერძული მონაკვეთის აგებაა შესაძლებელი, რადგან ამისათვის მხოლოდ ერთი პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს - ის უნდა გაიაროს მხოლოდ ღერძზე, მაშინ სიბრტყის ღერძული მონაკვეთი, რომელსაც მიეკუთვნება ამ კონუსის სიმაღლე, შეიძლება მხოლოდ დახატოს. ერთი, რადგან პირობების რაოდენობა იზრდება და, როგორც ცნობილია, ორი სწორი ხაზი (ერთად) შეიძლება მიეკუთვნებოდეს მხოლოდ ერთ სიბრტყეს.

განივი ფართობი

კონუსის ადრე ნახსენები ღერძული მონაკვეთი არის სამკუთხედი. ამის საფუძველზე, მისი ფართობი შეიძლება გამოითვალოს სამკუთხედის ფართობის ფორმულის გამოყენებით:

S = 1/2 * d * h ან S = 1/2 * 2r * h

სადაც S არის განივი ფართობი;

d - ბაზის დიამეტრი;

r - რადიუსი;

თ - სიმაღლე.

დახრილ ან დახრილ კონუსში ღერძის გასწვრივ განივი ასევე სამკუთხედია, ამიტომ მასში განივი კვეთის ფართობი გამოითვლება ანალოგიურად.

მოცულობა

ვინაიდან კონუსი არის სამგანზომილებიანი ფიგურა სამგანზომილებიან სივრცეში, მისი მოცულობა შეიძლება გამოითვალოს. კონუსის მოცულობა არის რიცხვი, რომელიც ახასიათებს ამ სხეულს მოცულობის ერთეულში, ანუ m3-ში. გამოთვლა არ არის დამოკიდებული სწორია თუ ირიბი (ირიბი), ვინაიდან ამ ორი ტიპის სხეულების ფორმულები არ განსხვავდება.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, მარჯვენა კონუსის ფორმირება ხდება მისი ერთ-ერთი ფეხის გასწვრივ მართკუთხა სამკუთხედის ბრუნვის გამო. დახრილი ან ირიბი კონუსი წარმოიქმნება განსხვავებულად, რადგან მისი სიმაღლე გადაადგილებულია სხეულის ფუძის სიბრტყის ცენტრიდან. მიუხედავად ამისა, სტრუქტურაში ასეთი განსხვავებები გავლენას არ ახდენს მისი მოცულობის გამოთვლის მეთოდზე.

მოცულობის გაანგარიშება

ნებისმიერი კონუსი ასე გამოიყურება:

V = 1/3 * π * h * r 2

სადაც V არის კონუსის მოცულობა;

h - სიმაღლე;

r - რადიუსი;

π არის მუდმივი ტოლი 3.14.

სხეულის სიმაღლის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფუძის რადიუსი და მისი გენერატრიქსის სიგრძე. ვინაიდან რადიუსი, სიმაღლე და გენერატორი გაერთიანებულია მართკუთხა სამკუთხედში, სიმაღლე შეიძლება გამოითვალოს პითაგორას თეორემის ფორმულის გამოყენებით (a 2 + b 2 = c 2 ან ჩვენს შემთხვევაში h 2 + r 2 = l 2, სადაც l არის გენერატორი). სიმაღლე გამოითვლება ჰიპოტენუზისა და მეორე ფეხის კვადრატებს შორის სხვაობის კვადრატული ფესვის აღებით:

a = √c 2 - b 2

ანუ, კონუსის სიმაღლე ტოლი იქნება გენერატრიქსის სიგრძის კვადრატსა და ფუძის რადიუსის კვადრატს შორის სხვაობის კვადრატული ფესვის აღების შემდეგ მიღებული მნიშვნელობის ტოლი:

h = √l 2 - r 2

ამ მეთოდის გამოყენებით სიმაღლის გამოთვლით და მისი ფუძის რადიუსის ცოდნით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ კონუსის მოცულობა. გენერატორი ამ შემთხვევაში მნიშვნელოვან როლს ასრულებს, რადგან ის გამოთვლებში დამხმარე ელემენტს წარმოადგენს.

ანალოგიურად, თუ სხეულის სიმაღლე და მისი გენერატორის სიგრძე ცნობილია, მისი ფუძის რადიუსის გარკვევა შესაძლებელია გენერატრიქსის კვადრატსა და სიმაღლის კვადრატს შორის სხვაობის კვადრატული ფესვის აღებით:

r = √l 2 - h 2

შემდეგ, იგივე ფორმულის გამოყენებით, როგორც ზემოთ, გამოთვალეთ კონუსის მოცულობა.

დახრილი კონუსის მოცულობა

ვინაიდან კონუსის მოცულობის ფორმულა ერთნაირია ყველა ტიპის ბრუნვის სხეულებისთვის, მის გამოთვლაში განსხვავება სიმაღლის ძიებაა.

დახრილი კონუსის სიმაღლის გასარკვევად, შეყვანის მონაცემები უნდა შეიცავდეს გენერატრიქსის სიგრძეს, ფუძის რადიუსს და მანძილს ფუძის ცენტრსა და სხეულის სიმაღლის გადაკვეთას სიბრტყეს შორის. მისი ბაზის. ამის გაგებით, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ ფუძის დიამეტრის ის ნაწილი, რომელიც იქნება მართკუთხა სამკუთხედის ფუძე (სიმაღლით, გენერატრიქსით და ფუძის სიბრტყით). შემდეგ, კვლავ პითაგორას თეორემის გამოყენებით, გამოთვალეთ კონუსის სიმაღლე და შემდგომ მისი მოცულობა.

ბრინჯი. 1. საგნები ცხოვრებიდან, რომლებსაც აქვთ წაჭრილი კონუსის ფორმა

როგორ ფიქრობთ, საიდან მოდის ახალი ფორმები გეომეტრიაში? ყველაფერი ძალიან მარტივია: ადამიანი ცხოვრებაში ხვდება მსგავს საგნებს და მათ სახელს უქმნის. განვიხილოთ სადგამი, რომელზედაც ლომები სხედან ცირკში, სტაფილოს ნაჭერი, რომელიც მიიღება მხოლოდ ნაწილის მოჭრისას, აქტიური ვულკანი და, მაგალითად, ფანრის შუქი (იხ. სურ. 1).

ბრინჯი. 2. გეომეტრიული ფორმები

ჩვენ ვხედავთ, რომ ყველა ეს ფიგურა მსგავსი ფორმისაა - როგორც ქვემოთ, ისე ზემოთ ისინი შემოიფარგლება წრეებით, მაგრამ ისინი მაღლა იწევენ (იხ. სურ. 2).

ბრინჯი. 3. კონუსის ზედა ნაწილის ამოჭრა

კონუსს ჰგავს. ზედა უბრალოდ აკლია. ძალაუნებურად წარმოვიდგინოთ, რომ ავიღებთ კონუსს და ბასრი ხმლის ერთი რხევით მოვწყვეტთ მისგან ზედა ნაწილს (იხ. სურ. 3).

ბრინჯი. 4. დამსხვრეული კონუსი

შედეგი არის ზუსტად ჩვენი ფიგურა, მას ეძახიან ჩამოსხმულ კონუსს (იხ. სურ. 4).

ბრინჯი. 5. მონაკვეთი კონუსის ფუძის პარალელურად

დაე, კონუსი მიეცეს. დავხატოთ სიბრტყე ამ კონუსის ფუძის სიბრტყის პარალელურად და კონუსს კვეთს (იხ. სურ. 5).

ის დაყოფს კონუსს ორ სხეულად: მათგან ერთი არის უფრო პატარა კონუსი, ხოლო მეორეს ეწოდება შეკვეცილი კონუსი (იხ. სურ. 6).

ბრინჯი. 6. მიღებული სხეულები პარალელური კვეთით

ამგვარად, დამსხვრეული კონუსი არის კონუსის ნაწილი, რომელიც ჩასმულია მის ფუძესა და ფუძის პარალელურ სიბრტყეს შორის. ისევე როგორც კონუსს, გადაჭრილ კონუსს შეიძლება ჰქონდეს წრე მის ძირში, ამ შემთხვევაში მას წრიული ეწოდება. თუ თავდაპირველი კონუსი სწორი იყო, მაშინ შეკვეცილ კონუსს სწორი ეწოდება. როგორც კონუსების შემთხვევაში, განვიხილავთ ექსკლუზიურად სწორ წრიულ შეკვეცილ კონუსებს, თუ კონკრეტულად არ არის ნათქვამი, რომ საუბარია არაპირდაპირ შეკვეცილ კონუსზე ან მისი ფუძეები არ არის წრეები.

ბრინჯი. 7. მართკუთხა ტრაპეციის ბრუნვა

ჩვენი გლობალური თემაა ბრუნვის სხეულები. გამონაკლისი არც დამსხვრეული კონუსია! გავიხსენოთ, რომ კონუსის მისაღებად ჩავთვალეთ მართკუთხა სამკუთხედი და მოვატრიალეთ ფეხის გარშემო? თუ მიღებული კონუსი იკვეთება ფუძის პარალელურად სიბრტყით, მაშინ სამკუთხედი დარჩება მართკუთხა ტრაპეცია. მისი ბრუნვა უფრო პატარა მხარის ირგვლივ მოგვცემს შემოჭრილ კონუსს. კიდევ ერთხელ აღვნიშნოთ, რომ, რა თქმა უნდა, საუბარია მხოლოდ სწორ წრიულ კონუსზე (იხ. სურ. 7).

ბრინჯი. 8. წაჭრილი კონუსის ფუძეები

მოდით გავაკეთოთ რამდენიმე კომენტარი. სრული კონუსის ფუძესა და სიბრტყით კონუსის მონაკვეთის შედეგად მიღებულ წრეს უწოდებენ შეკვეცილი კონუსის ფუძეებს (ქვედა და ზედა) (იხ. სურ. 8).

ბრინჯი. 9. შეკვეცილი კონუსის გენერატორები

სრული კონუსის გენერატორების სეგმენტებს, რომლებიც ჩასმულია შეკვეცილი კონუსის ფუძეებს შორის, ეწოდება შეკვეცილი კონუსის გენერატორები. ვინაიდან თავდაპირველი კონუსის ყველა გენერატორი ტოლია და ამოჭრილი კონუსის ყველა გენერატორი ტოლია, მაშინ შეკვეცილი კონუსის გენერატორები ტოლია (არ აურიოთ ამოჭრილი და შეჭრილი!). ეს გულისხმობს, რომ ტრაპეციის ღერძული მონაკვეთი არის ტოლფერდა (იხ. სურ. 9).

ბრუნვის ღერძის სეგმენტს, რომელიც ჩასმულია შემოჭრილი კონუსის შიგნით, ეწოდება შეკვეცილი კონუსის ღერძი. ეს სეგმენტი, რა თქმა უნდა, აკავშირებს მისი ფუძის ცენტრებს (იხ. სურ. 10).

ბრინჯი. 10. შეკვეცილი კონუსის ღერძი

შეკვეცილი კონუსის სიმაღლე არის პერპენდიკულური, რომელიც გამოყვანილია ერთ-ერთი ფუძის წერტილიდან მეორე ფუძემდე. ყველაზე ხშირად, შეკვეცილი კონუსის სიმაღლე ითვლება მის ღერძად.

ბრინჯი. 11. შეკვეცილი კონუსის ღერძული მონაკვეთი

შეკვეცილი კონუსის ღერძული მონაკვეთი არის მონაკვეთი, რომელიც გადის მის ღერძზე. მას აქვს ტრაპეციის ფორმა ცოტა მოგვიანებით დავამტკიცებთ, რომ ის ტოლფერდაა (იხ. სურ. 11).

ბრინჯი. 12. კონუსი შემოტანილი აღნიშვნებით

მოდით ვიპოვოთ შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი. დაე, დამსხვრეული კონუსის ფუძეებს ჰქონდეს რადიუსი და , და გენერატორი ტოლი იყოს (იხ. სურ. 12).

ბრინჯი. 13. ამოჭრილი კონუსის გენერატრიქსის აღნიშვნა

მოდით ვიპოვოთ შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, როგორც განსხვავება თავდაპირველი კონუსის გვერდითი ზედაპირის არეებსა და ამოჭრილს შორის. ამისათვის ავღნიშნოთ ამოჭრილი კონუსის გენერატრიქსით (იხ. სურ. 13).

მერე რას ეძებ.

ბრინჯი. 14. მსგავსი სამკუთხედები

რჩება მხოლოდ გამოხატვა.

გაითვალისწინეთ, რომ სამკუთხედების მსგავსებიდან, საიდანაც (იხ. სურ. 14).

გამოთქმა შესაძლებელი იქნებოდა რადიუსების სხვაობაზე გაყოფა, მაგრამ ჩვენ ეს არ გვჭირდება, რადგან პროდუქტი, რომელსაც ჩვენ ვეძებთ, ჩნდება გამოხატულებაში, რომელსაც ჩვენ ვეძებთ. ჩანაცვლებით, ჩვენ საბოლოოდ გვაქვს: .

ახლა ადვილია მთლიანი ზედაპირის ფორმულის მიღება. ამისათვის უბრალოდ დაამატეთ ბაზის ორი წრის ფართობი: .

ბრინჯი. 15. პრობლემის ილუსტრაცია

მოდით მივიღოთ ჩამოჭრილი კონუსი მისი სიმაღლის გარშემო მართკუთხა ტრაპეციის შემობრუნებით. ტრაპეციის შუა ხაზი უდრის , ხოლო დიდი გვერდითი მხარე უდრის (იხ. სურ. 15). იპოვეთ მიღებული შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

გამოსავალი

ფორმულიდან ვიცით, რომ .

კონუსის გენერაცია იქნება თავდაპირველი ტრაპეციის უფრო დიდი მხარე, ანუ კონუსის რადიუსი არის ტრაპეციის ფუძე. ჩვენ ვერ ვპოულობთ მათ. მაგრამ ჩვენ ეს არ გვჭირდება: ჩვენ გვჭირდება მხოლოდ მათი ჯამი და ტრაპეციის ფუძეების ჯამი ორჯერ აღემატება მის შუა ხაზს, ანუ ის უდრის . მაშინ .

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ როცა კონუსზე ვსაუბრობდით, პარალელები გავავლეთ მასსა და პირამიდას შორის - ფორმულები მსგავსი იყო. აქაც ასეა, რადგან დამსხვრეული კონუსი ძალიან წააგავს შეკვეცილ პირამიდას, ამიტომ ფორმულები წაკვეთილი კონუსისა და პირამიდის გვერდითი და მთლიანი ზედაპირის ფართობებისთვის (და მალე იქნება მოცულობის ფორმულები) მსგავსია.

ბრინჯი. 1. პრობლემის ილუსტრაცია

შეკვეცილი კონუსის ფუძეების რადიუსი ტოლია და-ს, გენერატრიქსი კი ტოლია. იპოვნეთ შეკვეცილი კონუსის სიმაღლე და მისი ღერძული მონაკვეთის ფართობი (იხ. სურ. 1).