ნიმუშის მრუდების აგება ხორციელდება შემდეგნაირად:

პირველი, მრუდის კუთვნილი წერტილები განისაზღვრება და შემდეგ უკავშირდება ნიმუშის გამოყენებით. შაბლონის მრუდები მოიცავს პარაბოლის ეგრეთ წოდებულ კონუსურ მონაკვეთებს, ჰიპერბოლას, ელიფსს, რომელიც მიიღება წრიული კონუსის სიბრტყით გაჭრით, ინვოლუტი, სინუსოიდი და სხვა.

1. ელიფსის აგება.

2. ელიფსის ფოკუსი

3. პარაბოლას აგება

6. ნიმუშის მოსახვევების დახატვა.

ელიფსი არის კონუსური მონაკვეთი, რომელიც მიეკუთვნება ეგრეთ წოდებულ შაბლონის მოსახვევებს. ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა მიიღება წრიული კონუსის სიბრტყით, სინუსოიდით, ინვოლუტური და სხვა მოსახვევებით.

სურათი 41. კონუსის გადაკვეთა სიბრტყით ელიფსის (a) და ელიფსის (ბ) გასწვრივ.

ნიმუშის მრუდების ასაგებად (პარაბოლა, ელიფსი, ჰიპერბოლა), განისაზღვრება მრუდის კუთვნილი წერტილები და შემდეგ ყველა წერტილი უკავშირდება ნიმუშის გამოყენებით. იმ შემთხვევაში, როდესაც წრიული კონუსის ზედაპირი იჭრება დახრილ სიბრტყეში -P, ისე, რომ დახრილი სიბრტყე კვეთს წრიული კონუსის ყველა გენერაციას, მაშინ თავად მონაკვეთის სიბრტყეში წარმოიქმნება ელიფსი (იხ. სურათი 41, ა ).

ელიფსი არის ბრტყელი დახურული მრუდი, რომელშიც მისი თითოეული წერტილის მანძილების ჯამი - M ორ მოცემულ F1 და F2 წერტილამდე - არის მუდმივი მნიშვნელობა. ეს მუდმივი მნიშვნელობა უდრის ელიფსის მთავარ ღერძს MF1 + MF2 = AB ელიფსის მცირე ღერძი და მთავარი ღერძი AB ერთმანეთის პერპენდიკულარულია და ერთი ღერძი ყოფს მეორეს.

ნახაზი 42. ღერძების გასწვრივ ელიფსის აგება


ამრიგად, ღერძები ყოფენ ელიფსის მრუდს ოთხ წყვილ სიმეტრიულ თანაბარ ნაწილად. თუ მცირე ღერძის CD ბოლოებიდან, ისევე როგორც ცენტრებიდან, აღვწერთ წრის რკალს, რომლის რადიუსი უდრის ელიფსის მთავარი ღერძის ნახევარს R=OA=OB, მაშინ ის გადაკვეთს მას F1 და F2 წერტილებში. , რომლებსაც კერებს უწოდებენ.

ნახაზი 42 გვიჩვენებს ღერძების გასწვრივ ელიფსის აგების მაგალითს მოცემულ AB და CD ღერძებზე, როგორც დიამეტრებზე, ვაშენებთ ორ კონცენტრირებულ წრეს ცენტრით O წერტილში. ჩვენ ვყოფთ დიდ წრეს ნაწილებად თვითნებურ რაოდენობაზე და ვაკავშირებთ. მიღებული წერტილები სწორი ხაზებით O ცენტრისკენ.

გადაკვეთის პუნქტებიდან 1; 2; 3; 4; დამხმარე წრეებით ვხატავთ ჰორიზონტალური და ვერტიკალური ხაზების სეგმენტებს, სანამ ისინი ერთმანეთს არ გადაკვეთენ E, F, K, M წერტილებზე, რომლებიც მიეკუთვნება ელიფსს. შემდეგი, ნიმუშის გამოყენებით, გლუვი მრუდის აგებული წერტილები უკავშირდება და შედეგი არის ელიფსი.

შაბლონის მოსახვევების აგება, პარაბოლა

სურათი 43. კონუსის გადაკვეთა პარაბოლის გასწვრივ სიბრტყით. პარაბოლის აგება ფოკუსის და მიმართულების გამოყენებით.

თუ მისი ერთ-ერთი გენერატორის პარალელურად წრიულ კონუსს ჭრით დახრილი სიბრტყით P, მაშინ წარმოიქმნება პარაბოლა მონაკვეთის სიბრტყეში (იხ. სურათი 43 ა პარაბოლა არის ღია ბრტყელი მრუდი ხაზი). პარაბოლის თითოეული წერტილი მდებარეობს მოცემული სწორი ხაზიდან -MN, ხოლო ფოკუსიდან -F იმავე მანძილზე.

სწორი ხაზი MN არის გზამკვლევი და მდებარეობს პარაბოლის ღერძის პერპენდიკულარულად ფოკუსი და მოცემული სახელმძღვანელო, ფოკუსირების წერტილის მეშვეობით -F, დახაზეთ პარაბოლის ღერძი -X, პერპენდიკულარული გზამკვლევი -MN.

გავყოთ სეგმენტი-EF შუაზე და მივიღოთ პარაბოლის წვერო თვითნებური მანძილით მდებარე პარაბოლის წვეროდან, გავავლოთ პარაბოლის ღერძის პერპენდიკულარული ხაზები. -F წერტილიდან რადიუსის ტოლი მანძილით -L, შესაბამისი სწორი ხაზიდან გზამკვლევამდე, მაგალითად CB, ვაკეთებთ სწორ ხაზს ამაზე. ამ შემთხვევაში C და B წერტილები.

ამგვარად ავაშენეთ რამდენიმე წყვილი სიმეტრიული წერტილი, ჩვენ ვხატავთ გლუვ მრუდს მათში ნიმუშის გამოყენებით. სურათი (43 c) გვიჩვენებს პარაბოლის ტანგენტის აგების მაგალითს ორ სწორ ხაზზე OA და OB წერტილებზე A და B. სეგმენტები OA და OB იყოფა იმავე რაოდენობის თანაბარ ნაწილად (მაგალითად, დაყოფილი რვაზე). ამის შემდეგ, მიღებული გაყოფის წერტილები ინომრება და უკავშირდება სწორი ხაზებით 1-1; 2-2; 3-3 (იხ. სურათი 43, გ) და ა.შ. ეს ხაზები პარაბოლური მრუდის ტანგენსია. გლუვი ტანგენტური პარაბოლური მრუდი შემდეგ იწერება სწორი ხაზებით წარმოქმნილ კონტურში.

თუ პირდაპირ და საპირისპირო კონუსებს მოჭრით სიბრტყით მისი ორი გენერატორის პარალელურად ან, კონკრეტულ შემთხვევაში, ღერძის პარალელურად, მაშინ მონაკვეთის სიბრტყეში მიიღებთ ჰიპერბოლას, რომელიც შედგება ორი სიმეტრიული ტოტისაგან (იხ. სურათი 45, ა). .

სურათი 45. სიბრტყით კონუსის გადაკვეთა ჰიპერბოლის (a) გასწვრივ და ჰიპერბოლის აგება (b).

ჰიპერბოლა (სურათი 45,b) არის ბრტყელი მრუდი, რომელშიც განსხვავება დისტანციებს შორის მისი თითოეული წერტილიდან ორ მოცემულ წერტილამდე F1 და F2, რომელსაც უწოდებენ ფოკუსს, არის მუდმივი მნიშვნელობა და უდრის მანძილს მის წვეროებს შორის a და b. მაგალითად SF1-SF2=ab. ჰიპერბოლას აქვს სიმეტრიის ორი ღერძი - რეალური AB და წარმოსახვითი CD.

ორ სწორ ხაზს KL და K1 L1, რომლებიც გადიან ჰიპერბოლის O ცენტრს და უსასრულობაში ეხებიან მის ტოტებს, ეწოდება ასიმპტოტები. ჰიპერბოლა შეიძლება აშენდეს მოცემული a და b წვეროებიდან და F1 და F2 კერებიდან. ჩვენ განვსაზღვრავთ ჰიპერბოლის წვეროებს მართკუთხედის ჩაწერით წრეში, რომელიც აგებულია ფოკუსურ სიგრძეზე (სეგმენტი F1 და F2), როგორც დიამეტრზე.

რეალურ ღერძზე AB ფოკუსიდან მარჯვნივ F2 ჩვენ ვნიშნავთ თვითნებურ 1, 2, 3, 4, ... ფოკუსებიდან F1 და F2 ვხატავთ წრეების რკალებს ჯერ a-1 რადიუსით, შემდეგ b-1-მდე. ურთიერთგადაკვეთა ჰიპერბოლის რეალური ღერძის ორივე მხარეს. შემდეგი, ჩვენ შევასრულებთ რკალების შემდეგი წყვილის ურთიერთგადაკვეთას a-2 და b-2 რადიუსებით (წერტილი S) და ა.შ.

რკალების გადაკვეთის წერტილები ეკუთვნის ჰიპერბოლის მარჯვენა ტოტს. მარცხენა შტოს წერტილები სიმეტრიული იქნება აგებული წერტილების მიმართ წარმოსახვითი ღერძის CD-სთან მიმართებაში.

სინუსოიდი არის წერტილის ტრაექტორიის პროექცია, რომელიც მოძრაობს ცილინდრული სპირალის გასწვრივ ცილინდრის ღერძის პარალელურ სიბრტყეზე. წერტილის მოძრაობა შედგება ერთგვაროვანი ბრუნვითი მოძრაობისგან (ცილინდრის ღერძის გარშემო) და ერთგვაროვანი მთარგმნელობითი მოძრაობისგან (ცილინდრის პარალელურად).

ნახაზი 46. სინუსოიდის აგება

სინუსური ტალღა არის ბრტყელი მრუდი, რომელიც აჩვენებს ტრიგონომეტრიული სინუსური ფუნქციის ცვლილებას კუთხის სიდიდის ცვლილებაზე. სინუსოიდის ასაგებად (სურათი 46), D დიამეტრის წრის O ცენტრის გავლით, დახაზეთ სწორი ხაზი OX და მასზე დახაზეთ O1 A სეგმენტი წრის სიგრძის ტოლი. π დ. ამ სეგმენტს და წრეს ვყოფთ იმავე რაოდენობის თანაბარ ნაწილად. მიღებული და დანომრილი წერტილებიდან ვხაზავთ ორმხრივ პერპენდიკულარ სწორ ხაზებს. ჩვენ დავაკავშირებთ ამ ხაზების გადაკვეთის წერტილებს გლუვი მრუდის ნიმუშის გამოყენებით.

მრუდების ნიმუშის დახატვა

შაბლონის მრუდები აგებულია წერტილებით. ეს წერტილები დაკავშირებულია შაბლონების გამოყენებით, ჯერ ხელით ვხატავთ მრუდს. მრუდის ცალკეული წერტილების შეერთების პრინციპი შემდეგია:

ჩვენ ვირჩევთ ნიმუშის რკალის იმ ნაწილს, რომელიც საუკეთესოდ ემთხვევა გამოსახული მრუდის წერტილების უდიდეს რაოდენობას. შემდეგი, ჩვენ არ დავხატავთ მრუდის მთელ რკალს, რომელიც ემთხვევა ნიმუშს, არამედ მხოლოდ მის შუა ნაწილს. ამის შემდეგ ჩვენ ვირჩევთ ნიმუშის სხვა ნაწილს, მაგრამ ისე, რომ ეს ნაწილი შეეხოს შედგენილი მრუდის დაახლოებით მესამედს და მრუდის მინიმუმ ორ მომდევნო წერტილს და ა.შ. ეს უზრუნველყოფს გლუვ გადასვლას მრუდის ცალკეულ რკალებს შორის.

ჩვენ გირჩევთ სტატიის ხელახლა გამოქვეყნებას სოციალურ ქსელებში!

ელიფსის აგება

ელიფსი არის დახურული ბრტყელი ამოზნექილი მრუდი, რომლის თითოეული წერტილის მანძილების ჯამი ორ მოცემულ წერტილამდე, რომელსაც ეწოდება კერა, რომელიც მდებარეობს მთავარ ღერძზე, მუდმივია და უდრის მთავარი ღერძის სიგრძეს. ოვალის აგება ორი ღერძის გასწვრივ (სურათი 23) შესრულებულია შემდეგნაირად:

• - დახაზეთ ღერძული ხაზები, რომლებზედაც AB და CD სეგმენტები, რომლებიც ტოლია ელიფსის ძირითადი და მცირე ღერძების ტოლია, გადაკვეთის წერტილიდან O-დან სიმეტრიულად არის განლაგებული;
• - ააგეთ ორი წრე რადიუსით, რომელიც ტოლია ელიფსის ღერძების ნახევარს, ცენტრით ღერძების გადაკვეთის ადგილზე;
• - გაყავით წრე თორმეტ თანაბარ ნაწილად. წრის გაყოფა შესრულებულია 2.3 პუნქტში ნაჩვენებია;
• -მიღებულ წერტილებში იხაზება დიამეტრის სხივები;
• - სწორი ხაზები გამოსახულია სხივების გადაკვეთის წერტილებიდან შესაბამისი წრეებით ელიფსის ღერძების პარალელურად, სანამ ისინი ერთმანეთს არ კვეთენ ელიფსზე დაყრილ წერტილებში;
• - მიღებული წერტილები დაკავშირებულია გლუვი მრუდი ხაზით შაბლონების გამოყენებით. ნიმუშის მრუდის ხაზის აგებისას აუცილებელია ნიმუშის შერჩევა და განლაგება ისე, რომ მინიმუმ ოთხიდან ხუთ წერტილამდე იყოს დაკავშირებული.

ელიფსის აგების სხვა გზებიც არსებობს.

პარაბოლის აგება

პარაბოლა არის ბრტყელი მრუდი ხაზი, რომლის თითოეული წერტილი თანაბრად არის დაშორებული DD 1-ის მიმართულებიდან - პარაბოლის სიმეტრიის ღერძის პერპენდიკულარული სწორი ხაზი, ხოლო F ფოკუსიდან, წერტილი, რომელიც მდებარეობს სიმეტრიის ღერძზე. მანძილს KF დირექტიკასა და ფოკუსს შორის პარაბოლის პარამეტრი ეწოდება გვ.

სურათი 24 გვიჩვენებს პარაბოლის დახატვის მაგალითს O წვეროზე, ღერძზე OK და აკორდის CD. მშენებლობა ხორციელდება შემდეგნაირად:

• - დახაზეთ ჰორიზონტალური სწორი ხაზი, რომელზეც აღინიშნება O წვერო და გამოსახულია OK ღერძი;
• - K წერტილის გავლით დახაზეთ პერპენდიკულარი, რომელზეც პარაბოლის აკორდის სიგრძე გამოსახულია სიმეტრიულად ზემოთ და ქვემოთ;
• - ააშენეთ ABCD მართკუთხედი, რომელშიც ერთი გვერდი ტოლია ღერძისა, მეორე კი პარაბოლის აკორდის ტოლია;
• - მხარე BC დაყოფილია რამდენიმე თანაბარ ნაწილად და სეგმენტი KC იმავე რაოდენობის თანაბარ ნაწილად;
• - პარაბოლის O წვეროდან სხივები იხატება 1, 2 და ა.შ. წერტილების გავლით და 1 1, 2 1 და ა.შ. წერტილების გავლით;
• - ღერძების პარალელურად დახაზეთ სწორი ხაზები და დაადგინეთ სხივების გადაკვეთის წერტილები შესაბამის პარალელურ ხაზებთან, მაგალითად, O1 სხივის გადაკვეთის წერტილი O1 1 სწორ ხაზთან, რომელიც ეკუთვნის პარაბოლას;
• - მიღებული წერტილები დაკავშირებულია გლუვი მრუდი ხაზით ნიმუშის ქვეშ. პარაბოლის მეორე ტოტი აგებულია ანალოგიურად.

პარაბოლის აგების სხვა გზებიც არსებობს.

როგორ ავაშენოთ პარაბოლა? კვადრატული ფუნქციის გრაფიკის რამდენიმე გზა არსებობს. თითოეულ მათგანს აქვს თავისი დადებითი და უარყოფითი მხარეები. განვიხილოთ ორი გზა.

დავიწყოთ y=x²+bx+c და y= -x²+bx+c ფორმის კვადრატული ფუნქციის გამოსახვით.

მაგალითი.

დახატეთ ფუნქცია y=x²+2x-3.

გამოსავალი:

y=x²+2x-3 არის კვადრატული ფუნქცია. გრაფიკი არის პარაბოლა ტოტებით ზემოთ. პარაბოლას წვეროს კოორდინატები

(-1;-4) წვეროდან ვაშენებთ პარაბოლას y=x² (როგორც კოორდინატების საწყისიდან. (0;0)-ის ნაცვლად - წვერო (-1;-4). (-1-დან; -4) მარცხნივ მივდივართ 1 ერთეულით და ზევით, შემდეგ მარცხნივ 1-ით და ზევით: 2 - მარჯვნივ, 4 - ზევით, 2 - მარცხნივ, 3 - ზევით; მარცხნივ, 9 - ზემოთ თუ ეს 7 ქულა არ არის საკმარისი, მაშინ 4 მარჯვნივ, 16 ზევით და ა.შ.).

y= -x²+bx+c კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ქვემოთ. გრაფიკის ასაგებად ვეძებთ წვეროს კოორდინატებს და მისგან ვქმნით პარაბოლას y= -x².

მაგალითი.

დახატეთ ფუნქცია y= -x²+2x+8.

გამოსავალი:

y= -x²+2x+8 არის კვადრატული ფუნქცია. გრაფიკი არის პარაბოლა ტოტებით ქვემოთ. პარაბოლას წვეროს კოორდინატები

ზემოდან ვაშენებთ პარაბოლას y= -x² (1 - მარჯვნივ, 1- ქვემოთ; 1 - მარცხნივ, 1 - ქვემოთ; 2 - მარჯვნივ, 4 - ქვემოთ; 2 - მარცხნივ, 4 - ქვემოთ და ა.შ.):

ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ სწრაფად ააგოთ პარაბოლა და არ არის რთული, თუ იცით y=x² და y= -x² ფუნქციების გრაფიკის დახატვა. მინუსი: თუ წვეროს კოორდინატები წილადი რიცხვებია, გრაფიკის აგება არც ისე მოსახერხებელია. თუ თქვენ უნდა იცოდეთ გრაფიკის გადაკვეთის წერტილების ზუსტი მნიშვნელობები Ox ღერძთან, დამატებით უნდა ამოხსნათ განტოლება x²+bx+c=0 (ან -x²+bx+c=0), თუნდაც თუ ეს წერტილები პირდაპირ შეიძლება განისაზღვროს ნახატიდან.

პარაბოლის აგების კიდევ ერთი ხერხია წერტილებით, ანუ შეგიძლიათ იპოვნოთ რამდენიმე წერტილი გრაფიკზე და დახაზოთ პარაბოლა მათში (იმის გათვალისწინებით, რომ წრფე x=xₒ არის მისი სიმეტრიის ღერძი). ჩვეულებრივ ამისთვის იღებენ პარაბოლას წვეროს, გრაფიკის გადაკვეთის წერტილებს კოორდინატთა ღერძებთან და 1-2 დამატებით წერტილს.

დახაზეთ y=x²+5x+4 ფუნქციის გრაფიკი.

გამოსავალი:

y=x²+5x+4 არის კვადრატული ფუნქცია. გრაფიკი არის პარაბოლა ტოტებით ზემოთ. პარაბოლას წვეროს კოორდინატები

ანუ პარაბოლას წვერო არის წერტილი (-2,5; -2,25).

ჩვენ ვეძებთ. Ox ღერძთან გადაკვეთის წერტილში y=0: x²+5x+4=0. x1=-1, x2=-4 კვადრატული განტოლების ფესვები, ანუ მივიღეთ გრაფიკზე ორი წერტილი (-1; 0) და (-4; 0).

გრაფიკის Oy ღერძთან x=0 გადაკვეთის წერტილში: y=0²+5∙0+4=4. ჩვენ მივიღეთ ქულა (0; 4).

გრაფიკის გასარკვევად, შეგიძლიათ იპოვოთ დამატებითი წერტილი. ავიღოთ x=1, შემდეგ y=1²+5∙1+4=10, ანუ გრაფიკის კიდევ ერთი წერტილი არის (1; 10). ჩვენ აღვნიშნავთ ამ წერტილებს კოორდინატულ სიბრტყეზე. პარაბოლის სიმეტრიის გათვალისწინებით მის წვეროზე გამავალ წრფესთან მიმართებაში, ჩვენ აღვნიშნავთ კიდევ ორ წერტილს: (-5; 6) და (-6; 10) და ვხატავთ პარაბოლას მათში:

დახატეთ ფუნქცია y= -x²-3x.

გამოსავალი:

y= -x²-3x არის კვადრატული ფუნქცია. გრაფიკი არის პარაბოლა ტოტებით ქვემოთ. პარაბოლას წვეროს კოორდინატები

წვერო (-1,5; 2,25) არის პარაბოლის პირველი წერტილი.

გრაფიკის გადაკვეთის წერტილებში აბსცისის ღერძთან y=0, ანუ ვხსნით განტოლებას -x²-3x=0. მისი ფესვებია x=0 და x=-3, ანუ (0;0) და (-3;0) - კიდევ ორი ​​წერტილი გრაფიკზე. წერტილი (o; 0) ასევე არის პარაბოლის გადაკვეთის წერტილი ორდინატებთან ღერძთან.

x=1 y=-1²-3∙1=-4, ანუ (1; -4) არის დამატებითი წერტილი ნახაზისთვის.

წერტილებიდან პარაბოლის აგება უფრო შრომატევადი მეთოდია პირველთან შედარებით. თუ პარაბოლა არ კვეთს Ox-ის ღერძს, საჭირო იქნება მეტი დამატებითი წერტილი.

სანამ გავაგრძელებთ y=ax²+bx+c ფორმის კვადრატული ფუნქციების გრაფიკების აგებას, განვიხილოთ ფუნქციების გრაფიკების აგება გეომეტრიული გარდაქმნების გამოყენებით. ასევე ყველაზე მოსახერხებელია y=x²+c ფორმის ფუნქციების გრაფიკების აგება ამ ტრანსფორმაციებიდან ერთ-ერთი - პარალელური თარგმანის გამოყენებით.

კატეგორია: |

პარაბოლის აგება ერთ-ერთი ცნობილი მათემატიკური ოპერაციაა. საკმაოდ ხშირად იგი გამოიყენება არა მხოლოდ სამეცნიერო მიზნებისთვის, არამედ წმინდა პრაქტიკული მიზნებისთვისაც. მოდით გავარკვიოთ, თუ როგორ უნდა შეასრულოთ ეს პროცედურა Excel აპლიკაციის ხელსაწყოების გამოყენებით.

პარაბოლა არის შემდეგი ტიპის კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი f(x)=ax^2+bx+c. მისი ერთ-ერთი ღირსშესანიშნავი თვისებაა ის ფაქტი, რომ პარაბოლას აქვს სიმეტრიული ფიგურის ფორმა, რომელიც შედგება მიმართულებიდან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილებისგან. ზოგადად, პარაბოლის აგება Excel-ში დიდად არ განსხვავდება ამ პროგრამის ნებისმიერი სხვა გრაფიკის აგებისგან.

მაგიდის შექმნა

უპირველეს ყოვლისა, სანამ პარაბოლას აშენებას დაიწყებთ, უნდა ააგოთ ცხრილი, რომლის საფუძველზეც შეიქმნება იგი. მაგალითად, ავიღოთ ფუნქციის გრაფიკის აგება f(x)=2x^2+7.

გრაფიკის შედგენა

როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ახლა ჩვენ თავად უნდა ავაშენოთ გრაფიკი.

სქემის რედაქტირება

ახლა თქვენ შეგიძლიათ ოდნავ შეცვალოთ მიღებული გრაფიკი.

გარდა ამისა, თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ მიღებული პარაბოლის ნებისმიერი სხვა სახის რედაქტირება, მათ შორის მისი სახელისა და ღერძების სახელების შეცვლა. ეს რედაქტირების ტექნიკა არ სცილდება Excel-ში მუშაობის ფარგლებს სხვა ტიპის დიაგრამებთან.

როგორც ხედავთ, პარაბოლის აგება Excel-ში ძირეულად არ განსხვავდება იმავე პროგრამის სხვა ტიპის გრაფიკის ან დიაგრამის აგებისგან. ყველა მოქმედება შესრულებულია წინასწარ შემუშავებული ცხრილის საფუძველზე. გარდა ამისა, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ, რომ სკატერის დიაგრამა ყველაზე შესაფერისია პარაბოლის ასაგებად.

ელიფსი.თუ წრიული კონუსის ზედაპირს დახრილი სიბრტყით ამოჭრით რ ისე, რომ იგი კვეთს თავის ყველა გენერატორს, მაშინ მიიღება ელიფსი მონაკვეთის სიბრტყეში (სურათი 65).

სურათი 65

ელიფსი(სურათი 66) - ბრტყელი დახურული მრუდი, რომელშიც მანძილების ჯამია მისი რომელიმე წერტილიდან (მაგალითად, წერტილიდან მ ) ორ მოცემულ ქულამდე F 1 და F 2 - ელიფსის კერები - არის მუდმივი მნიშვნელობა, რომელიც უდრის მისი ძირითადი ღერძის სიგრძეს AB (მაგალითად, F 1 M + F 2 M = AB ).სეგმენტი AB ეწოდება ელიფსის მთავარ ღერძს და სეგმენტს CD - მისი მცირე ღერძი. ელიფსის ღერძები იკვეთება წერტილში O- ელიფსის ცენტრი და მისი ზომა განსაზღვრავს ძირითადი და მცირე ღერძების სიგრძეს. ქულები F 1 და F 2 მდებარეობს მთავარ ღერძზე AB სიმეტრიული წერტილის მიმართ ო და ამოღებულია მცირე ღერძის ბოლოებიდან (პუნქტები თან და დ ) ელიფსის ძირითადი ღერძის ნახევრის ტოლი მანძილით .

სურათი 66

ელიფსის აგების რამდენიმე გზა არსებობს. უმარტივესი გზაა მისი ორი ღერძის გასწვრივ ელიფსის აგება დამხმარე წრეების გამოყენებით (სურათი 67). ამ შემთხვევაში მითითებულია ელიფსის ცენტრი - წერტილი ო და ორი ურთიერთ პერპენდიკულარული სწორი ხაზი გავლებულია მასში (სურათი 67, ა). წერტილიდან შესახებ აღწერეთ ორი წრე, რომელთა რადიუსი ტოლია ძირითადი და მცირე ღერძის ნახევარს. დიდი წრე იყოფა 12 თანაბარ ნაწილად და გამყოფი წერტილები უკავშირდება წერტილს შესახებ . შედგენილი ხაზები ასევე დაყოფს პატარა წრეს 12 თანაბარ ნაწილად. შემდეგ, ჰორიზონტალური ხაზები (ან სწორი ხაზები ელიფსის ძირითადი ღერძის პარალელურად) იხაზება პატარა წრის გაყოფის წერტილებში, ხოლო ვერტიკალური ხაზები (ან სწორი ხაზები ელიფსის მცირე ღერძის პარალელურად) გაყოფის წერტილებში. უფრო დიდი წრის. მათი გადაკვეთის წერტილები (მაგალითად, წერტილი მ ) ეკუთვნის ელიფსს. მიღებული წერტილების გლუვი მრუდით შეერთებით, მიიღება ელიფსი (სურათი 67, ბ).

სურათი 67

პარაბოლა.თუ წრიული კონუსი იჭრება თვითმფრინავით რ , მისი ერთ-ერთი გენერატორის პარალელურად, მაშინ პარაბოლა მიიღება მონაკვეთის სიბრტყეში (სურათი 68).

სურათი 68

პარაბოლა(სურათი 69) – ბრტყელი მრუდი, რომლის თითოეული წერტილი არის იგივე მანძილი მოცემული სწორი ხაზიდან DD 1 , დაურეკა დირექტორიდა ქულები F – პარაბოლის ფოკუსი. მაგალითად, ერთი წერტილისთვის მ სეგმენტები MN (დისტანცია დირექტორამდე) და მ.ფ. (მანძილი ფოკუსირებამდე) თანაბარია, ე.ი. MN = მ.ფ. .

პარაბოლას აქვს ღია მრუდის ფორმა სიმეტრიის ერთი ღერძით, რომელიც გადის პარაბოლის ფოკუსში - წერტილი ფ და მდებარეობს დირექტორის პერპენდიკულარულად DD 1 .ზუსტი ა , წევს სეგმენტის შუაში OF , დაურეკა პარაბოლას წვერო. მანძილი ფოკუსიდან მიმართულებამდე - სეგმენტამდე OF = 2'OA - აღინიშნება ასოთი რ და დარეკე პარაბოლის პარამეტრი. რაც უფრო დიდია პარამეტრი რ , მით უფრო მკვეთრად შორდებიან პარაბოლას ტოტები მის ღერძს. პარაბოლის ორ წერტილს შორის ჩაკეტილი სეგმენტი, რომელიც მდებარეობს პარაბოლის ღერძთან სიმეტრიულად, ეწოდება აკორდი(მაგალითად, აკორდი MK ).

სურათი 69

პარაბოლის აგება მისი მიმართულებიდან DD 1 და ფოკუსიდან F(სურათი 70, ა) . წერტილის მეშვეობით ფ დახაზეთ პარაბოლის ღერძი მიმართულების პერპენდიკულარულად, სანამ ის არ გადაკვეთს დირექტიკას წერტილში შესახებ. სეგმენტი OF = გვ გაყავით შუაზე და მიიღეთ ქულა A - პარაბოლას ზევით. წერტილის პარაბოლის ღერძზე ა ჩამოაყალიბეთ რამდენიმე თანდათან მზარდი მონაკვეთი. გაყოფის წერტილების მეშვეობით 1, 2, 3 ის. D. დახაზეთ სწორი ხაზები დირექტიკის პარალელურად. პარაბოლას ფოკუსს იღებენ ცენტრად, ისინი აღწერენ რადიუსის მქონე რკალებს R 1 = L 1 1 , რადიუსი R2 = L2 სანამ ის არ გადაკვეთს ხაზს წერტილში 2 და ა.შ. მიღებული წერტილები პარაბოლას ეკუთვნის. პირველ რიგში, ისინი დაკავშირებულია თხელი გლუვი ხაზით ხელით, შემდეგ კი მიკვლეულია ნიმუშის გასწვრივ.

პარაბოლის აგება მისი ღერძის, A წვერის და შუალედური წერტილის M-ის გასწვრივ(სურათი 70, ბ). ზემოდან ა დახაზეთ სწორი ხაზი პარაბოლის ღერძის პერპენდიკულარულად და წერტილის გავლით M - სწორი ხაზი ღერძის პარალელურად. ორივე ხაზი იკვეთება ერთ წერტილში ბ . სეგმენტები AB და ბ.მ. იყოფა იმავე რაოდენობის თანაბარ ნაწილად და გაყოფის წერტილები დანომრილია ისრებით მითითებული მიმართულებებით. ზემოდან ა და წერტილები 1 , 2 , 3 , 4 ატარებენ სხივებს და წერტილებიდან მე , II , III ,IV - სწორი ხაზები პარაბოლას ღერძის პარალელურად. იმავე რიცხვით მონიშნული ხაზების გადაკვეთაზე არის პარაბოლას კუთვნილი წერტილები. პარაბოლის ორივე ტოტი ერთნაირია, ამიტომ მეორე ტოტი აგებულია სიმეტრიულად პირველთან აკორდების გამოყენებით.

სურათი 70

პარაბოლის ტანგენტი ორ სწორ ხაზზე OA და OB მათზე მოცემულ A და B წერტილებზე(სურათი 71, ბ). სეგმენტები ო.ა. და OB იყოფა იმავე რაოდენობის თანაბარ ნაწილად (მაგალითად, 8 ნაწილად). მიღებული გაყოფის წერტილები დანომრილია და ამავე სახელწოდების წერტილები დაკავშირებულია სწორი ხაზებით. 1–1 , 2 –2 , 3 –3 და ა.შ . დ . ეს ხაზები პარაბოლური მრუდის ტანგენსია. შემდეგი, გლუვი ტანგენტური მრუდი - პარაბოლა - ჩაწერილია სწორი ხაზებით ჩამოყალიბებულ კონტურში. .

სურათი 71

ჰიპერბოლა.თუ პირდაპირ და საპირისპირო კონუსებს მოჭრით სიბრტყით მისი ორი გენერატორის პარალელურად ან, კონკრეტულ შემთხვევაში, ღერძის პარალელურად, მაშინ მონაკვეთის სიბრტყეში მიიღებთ ჰიპერბოლას, რომელიც შედგება ორი სიმეტრიული ტოტისაგან (სურათი 72, ა).

ჰიპერბოლა(სურათი 72, ბ) ეწოდება ღია სიბრტყის მრუდი, რომელიც წარმოადგენს წერტილთა ერთობლიობას, ორი მოცემული წერტილიდან მანძილების სხვაობა არის მუდმივი მნიშვნელობა.

სურათი 72

მუდმივი ქულები F 1 და F 2 ეძახიან ხრიკები , და მანძილი მათ შორის არის ფოკუსური მანძილი . ხაზის სეგმენტები ( F 1 M და F 2 M ), ნებისმიერი წერტილის დაკავშირება ( მ ) კერებით მრუდი ეწოდება რადიუსის ვექტორებიჰიპერბოლები . განსხვავება წერტილისა და ფოკუსის მანძილებს შორის F 1 და F 2 არის მუდმივი მნიშვნელობა და უდრის წვეროებს შორის მანძილს ა და ბ ჰიპერბოლა; მაგალითად, პუნქტისთვის მ გვექნება: F 1 M -F 2 M = აბ. ჰიპერბოლა შედგება ორი ღია ტოტისაგან და აქვს ორი ურთიერთ პერპენდიკულარული ღერძი - მოქმედებს AB და წარმოსახვითი CD. პირდაპირი pq და rs, ცენტრის გავლით ო , ეძახიან ასიმპტოტები .

ჰიპერბოლის აგება ამ ასიმპტოტების გამოყენებით pq და rs, ხრიკები F 1 და F 2 ნაჩვენებია სურათზე 72, ბ.

რეალური ღერძი AB ჰიპერბოლა არის ასიმპტოტების მიერ წარმოქმნილი კუთხის ბისექტორი. წარმოსახვითი ღერძი CD პერპენდიკულარული AB და გადის წერტილს შესახებ. ხრიკების ქონა F 1 და F2, განსაზღვრეთ წვეროები ა და ბ ჰიპერბოლები, რატომ სეგმენტზე F 1 F 2 ააგეთ ნახევარწრე, რომელიც კვეთს ასიმპტოტებს წერტილებში მ და გვ. ამ წერტილებიდან პერპენდიკულარები დაშვებულია ღერძზე AB და მასთან გადაკვეთაზე ვიღებთ წვეროებს ა და ბ ჰიპერბოლა.

წრფეზე ჰიპერბოლის მარჯვენა ტოტის აგება AB ფოკუსის მარჯვნივ F 1 მონიშნეთ თვითნებური პუნქტები 1 , 2 , 3 , ..., 5. ქულები ვ და V1 ჰიპერბოლები მიიღება თუ ავიღებთ სეგმენტს a5 რადიუსის მიღმა და წერტილიდან F2 დახაზეთ წრის რკალი, რომელიც მონიშნულია წერტილიდან F 1, რადიუსის ტოლი b5. ჰიპერბოლის დარჩენილი წერტილები აგებულია აღწერილის ანალოგიით.

ზოგჯერ თქვენ უნდა ააგოთ ჰიპერბოლა, რომლის ასიმპტოტებიც ოჰ და OY ორმხრივი პერპენდიკულარული (სურათი 73). ამ შემთხვევაში, რეალური და წარმოსახვითი ცულები იქნება ბის თან მართი კუთხის ექტრიკები. ასაგებად მითითებულია ჰიპერბოლის ერთ-ერთი წერტილი, მაგალითად, წერტილი ა.

სურათი 73

წერტილის მეშვეობით ა პირდაპირი განხორციელება AK და ა.მ. , ცულების პარალელურად ოჰ და ou .პუნქტიდან ო რე თან ცნებები შესახებ თან პირდაპირ აძლევენ თან სწორი ხაზები ა.მ. და AK წერტილებში 1 , 2 , 3 , 4 და 1" , 2" , 3" , 4" . შემდეგ, ვერტიკალური და ჰორიზონტალური სეგმენტები იხსნება ამ ხაზებთან გადაკვეთის წერტილებიდან, სანამ ისინი ერთმანეთს არ კვეთენ წერტილებში. I, II, III, IV და ა.შ. ჰიპერბოლის შედეგად მიღებული წერტილები დაკავშირებულია ნიმუშის გამოყენებით . ქულები 1, 2, 3, 4 ვერტიკალურ ხაზზე განთავსებული თვითნებურად .

წრის ჩარევაან წრის განვითარება. წრის ჩარევაეწოდება ბრტყელი მრუდი, რომელიც აღწერილია სწორი ხაზის თითოეული წერტილით, თუ ეს სწორი ხაზი შემოვიდა სტაციონარული წრის გასწვრივ სრიალის გარეშე (წრის წერტილების ტრაექტორია, რომელიც წარმოიქმნება მისი გაშლისა და გასწორების შედეგად) (სურათი 74).

ინვოლუტის ასაგებად საკმარისია წრის დიამეტრის მითითება დ და წერტილის საწყისი პოზიცია ა (პუნქტი A 0 ). წერტილის მეშვეობით A 0 დახაზეთ წრეზე ტანგენსი და დახაზეთ მასზე მოცემული წრის სიგრძე დ . შედეგად მიღებული სეგმენტი და წრე იყოფა იმავე რაოდენობის ნაწილებად და მასზე ტანგენტები იხაზება ერთი მიმართულებით წრის გამყოფი წერტილების მეშვეობით. თითოეულ ტანგენტზე იდება ჰორიზონტალური ხაზიდან აღებული და შესაბამისად ტოლი სეგმენტები 1A 1 = A 0 1 , 2A 2 = V A 0 2 , 3A 3 = A 0 3 და ა.შ. შედეგად მიღებული წერტილები დაკავშირებულია ნიმუშის მიხედვით.

სურათი 74

არქიმედეს სპირალი- ბრტყელი მრუდი, რომელიც აღწერილია წერტილით ა ერთნაირად ბრუნავს ფიქსირებული წერტილის გარშემო - ბოძები შესახებ და ამავე დროს თანაბრად შორდება მისგან (სურათი 75). 360°-ით სწორი ხაზის მობრუნებისას წერტილის მიერ გავლილ მანძილს სპირალური მოედანი ეწოდება. არქიმედეს სპირალის კუთვნილი წერტილები აგებულია მრუდის განსაზღვრის საფუძველზე, ბრუნვის საფეხურის და მიმართულების მითითებით.

არქიმედეს სპირალის აგება მოცემული სიმაღლის (სეგმენტი OA) და საათის ისრის მიმართულებით ბრუნვის გამოყენებით(სურათი 75). წერტილის მეშვეობით შესახებ დახაზეთ სწორი ხაზი და მონიშნეთ მასზე სპირალური მოედანი ო.ა. და რადიუსის სახით აღწერეთ წრე. წრე და სეგმენტი ო.ა. დაყოფილია 12 თანაბარ ნაწილად. რადიუსი დახაზულია წრის გამყოფ წერტილებში O1 , O2 , O3 და ა.შ და მათზე წერტილიდან შესახებ იდება წრის რადიუსის რკალებით, შესაბამისად, 1/12, 2/12, 3/12 და ა.შ. შედეგად მიღებული წერტილები დაკავშირებულია ნიმუშის გასწვრივ გლუვი მრუდით.

არქიმედეს სპირალი ღია მრუდია და საჭიროების შემთხვევაში შეგიძლიათ ააწყოთ მისი ნებისმიერი რაოდენობის ბრუნი. მეორე შემობრუნების ასაგებად, აღწერეთ წრე რადიუსით რ = 2 OA და გაიმეორეთ ყველა წინა კონსტრუქცია.

სურათი 75

სინუსური ტალღა.სინუსური ტალღამოძრავი წერტილის ტრაექტორიის პროექცია ეწოდება თან მე ცილინდრული ვარ თან რომელი სპირალი, ცილინდრის ღერძის პარალელურ სიბრტყეზე . წერტილის მოძრაობა შედგება ერთიანი ბრუნვის მოძრაობისგან (ცილინდრის ღერძის ირგვლივ) და ერთიანი მთარგმნელობითი მოძრაობისგან (ცილინდრის ღერძის პარალელურად). . სინუსური ტალღა არის ბრტყელი მრუდი, რომელიც გვიჩვენებს ტრიგონომეტრიული სინუსური ფუნქციის ცვლილებას კუთხის ცვლილების მიხედვით. .

სინუსოიდის აშენება (სურათი 76) ცენტრის გავლით შესახებ წრის დიამეტრი დ პირდაპირი განხორციელება ოჰ და მასზე ასახულია სეგმენტი O 1 A წრეწირის ტოლი დ. ეს სეგმენტი და წრე იყოფა იმავე რაოდენობის თანაბარ ნაწილად. მიღებული და დანომრილი წერტილებიდან გამოყვანილია ორმხრივი პერპენდიკულარული სწორი ხაზები. ამ ხაზების გადაკვეთის წერტილები დაკავშირებულია გლუვი მრუდის ნიმუშის გამოყენებით.

სურათი 76

კარდიოიდი. კარდიოიდი(სურათი 77) მოუწოდებს თან მე ვარ წრეში წერტილის დახურული ტრაექტორია თან რომელიც ტრიალებს იმავე რადიუსის სტაციონარული წრის გასწვრივ სრიალის გარეშე .

სურათი 77

ცენტრიდან შესახებ დახაზეთ მოცემული რადიუსის წრე და აიღეთ მასზე თვითნებური წერტილი მ. ამ პუნქტის მეშვეობით იკვეთება სეკანტების სერია. თითოეულ სეკანტზე, მისი წრესთან გადაკვეთის წერტილის ორივე მხარეს, წრის დიამეტრის ტოლი სეგმენტებია ჩასმული. M1. დიახ, სეკანტი III3МIII 1 კვეთს წრეს წერტილში 3 ;სეგმენტები ჩამოიშლება ამ წერტილიდან 3III და 3III 1, დიამეტრის ტოლი M1. ქულები III და III 1 , მიეკუთვნება კარდიოიდს . ანალოგიით, თან მიმდინარე IV4MIV 1 რე თან წრე არის წერტილში 4; სეგმენტები იდება ამ წერტილიდან IV4 და 4IV 1, დიამეტრის ტოლი M1, მიიღეთ ქულები IV და IV 1 და ა.შ.

ნაპოვნი წერტილები დაკავშირებულია მრუდით, როგორც ნაჩვენებია 77-ზე.

ციკლოიდური მრუდები. ციკლოიდები – სიბრტყის მრუდი ხაზები აღწერილი წერტილით, რომელიც მიეკუთვნება წრეს, რომელიც მოძრაობს სწორი ხაზის ან წრის გასწვრივ ცურვის გარეშე . თუ წრე სწორხაზოვდება, მაშინ წერტილი აღწერს მოწოდებულ მრუდს ციკლოიდი.

თუ წრე ბრუნავს სხვა წრის გასწვრივ, მის გარეთ (ამოზნექილი ნაწილის გასწვრივ), მაშინ წერტილი აღწერს მრუდს ე.წ. ეპიციკლოიდი .

თუ წრე ბრუნავს სხვა წრის გასწვრივ, მის შიგნით (ჩაზნექილი ნაწილის გასწვრივ), მაშინ წერტილი აღწერს მრუდს ე.წ. ჰიპოციკლოიდი . წრე, რომელზეც წერტილი მდებარეობს, ეწოდება მწარმოებელი . ხაზს, რომლის გასწვრივ წრე ბრუნავს, ეწოდება სახელმძღვანელო .

ციკლოიდის ასაგებად(სურათი 78) დახაზეთ მოცემული რადიუსის წრე რ ; აიღეთ საწყისი წერტილი მასზე ა და დახაზეთ სახელმძღვანელო ხაზი AB, რომლის გასწვრივ წრე მოძრაობს .

სურათი 78

მოცემული წრე დაყავით 12 თანაბარ ნაწილად (ქულები 1" , 2" , 3" , ..., 12"). თუ წერტილი ა შეცვლა თან ტიტი თან პოზიციაზე ვარ A 12 , შემდეგ სეგმენტი AA 12 ტოლი იქნება მოცემული წრეწირის სიგრძისა თან ty, ე.ი. დახაზეთ ცენტრების ხაზი O – O 12 აწარმოებს გარშემოწერილობით თან ti, თანაბარი , და გაყავით 12 თანაბარ ნაწილად. მიიღეთ ქულები O 1 ,O2 ,O 3 ,..., ო 12 , რომლებიც წარმომქმნელი წრის ცენტრებია თან შენ . ამ წერტილებიდან დახაზეთ წრეში თან ty (ან რკალი ირგვლივ თან ტეი) მოცემული რადიუსის რ , რომელიც ეხება ხაზს AB წერტილებში 1,2, 3, ..., 12. თუ შეხების თითოეული წერტილიდან შესაბამის წრეზე გამოვსახავთ რკალის სიგრძეს ტოლი იმ რაოდენობის, რომლითაც წერტილი გადავიდა. ა , შემდეგ ვიღებთ ციკლოიდის კუთვნილ წერტილებს. მაგალითად, ქულის მისაღებად A 5 ცენტრიდან მოყვება ციკლოიდები O 5 დახაზეთ წრე კონტაქტის წერტილიდან 5 მოაყარეთ რკალი გარშემოწერილობის გარშემო A5, ტოლია A5", ან წერტილიდან 5" დახაზეთ სწორი ხაზი პარალელურად AB, პუნქტში კვეთამდე A 5 შედგენილი წრით . ციკლოიდის ყველა სხვა წერტილი აგებულია ანალოგიურად. .

ეპიციკლოიდი აგებულია შემდეგნაირად.სურათი 79 გვიჩვენებს მომტანი წრის რადიუსს თან ა რ ცენტრით O 0 , საწყისი წერტილი ა მასზე და გიდის რკალი ირგვლივ თან შენ რადიო თან ა R 1 რომლის გასწვრივ ის გორავს თან მე წრე ვარ. ეპიციკლოიდის აგება მსგავსია ციკლოიდის კონსტრუქციის, კერძოდ: დაყავით მოცემული წრე 12 თანაბარ ნაწილად (ქულები 1" , 2" , 3" , ...,12"), ამ წრის ყოველი ნაწილი ჩამოშორებულია წერტილიდან ა რკალის გასწვრივ AB 12 ჯერ (წერტილები 1 , 2 , 3 , ..., 12) და მიიღეთ რკალის სიგრძე AA 12 . ეს სიგრძე შეიძლება განისაზღვროს კუთხის გამოყენებით .

ცენტრიდან უფრო შორს შესახებ რადიუსის ტოლი OOO 0 , დახაზეთ გამომწვევი წრის ცენტრების ხაზი და რადიუსების დახატვა 01 , 02 , 03 , ...,012 , გაგრძელდა მანამ, სანამ არ გადაიკვეთება ცენტრების ხაზთან, მიიღეთ ცენტრები O 1, O 2, ..., O 12 წარმომქმნელი წრე . ამ ცენტრებიდან ტოლი რადიუსით რ , დახაზეთ წრეები ან წრეების რკალი, რომლებზედაც აგებენ და თან მრუდის რომელი წერტილები; ასე რომ, აზრის გასაგებად 4 წმ უნდა შემოწმდეს თან რკალი გარშემო თან ჩაის რადიუსი O4" სანამ არ გადაიკვეთება ცენტრიდან გამოყვანილ წრესთან O4. სხვა წერტილები აგებულია ანალოგიურად, რომლებიც შემდეგ დაკავშირებულია გლუვი მრუდით .

სურათი 79

დაკავშირებული ინფორმაცია.