როგორ ამოხსნათ წილადი რაციონალური განტოლებები. მთელი და წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა

დღეს ჩვენ გავარკვევთ როგორ მოვაგვაროთ წილადი რაციონალური განტოლებები.

ვნახოთ: განტოლებიდან

(1) 2x + 5 = 3 (8 - x),

(3)

(4)

წილადი რაციონალური განტოლებები არის მხოლოდ (2) და (4), ხოლო (1) და (3) არის მთელი განტოლებები.

მე ვთავაზობ (4) განტოლების ამოხსნას, შემდეგ კი წესის ჩამოყალიბებას.

ვინაიდან განტოლება წილადია, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ საერთო მნიშვნელი. ამ განტოლებაში ეს გამოხატულება არის 6 (x - 12) (x - 6). შემდეგ ჩვენ გავამრავლებთ განტოლების ორივე მხარეს საერთო მნიშვნელზე:

შემცირების შემდეგ ვიღებთ მთელ განტოლებას:

6 (x - 6) 2 - 6 (x - 12) 2 \u003d 5 (x - 12) (x - 6).

ამ განტოლების ამოხსნის შემდეგ, აუცილებელია შეამოწმოთ, აქცევს თუ არა მიღებული ფესვები თავდაპირველ განტოლებაში წილადების მნიშვნელებს ნულამდე.

ფრჩხილების გაფართოება:
6x 2 - 72x + 216 - 6x 2 + 144x - 864 = 5x 2 - 90x + 360, ჩვენ ვამარტივებთ განტოლებას: 5x 2 - 162x + 1008 = 0.

განტოლების ფესვების პოვნა
D=6084, √D=78,
x 1 = (162 - 78) / 10 = 84/10 = 8,4 და x 2 = (162 + 78) / 10 = 240/10 = 24.

x = 8.4 და 24-ზე საერთო მნიშვნელია 6(x - 12)(x - 6) ≠ 0, რაც ნიშნავს, რომ ეს რიცხვები (4) განტოლების ფესვებია.

პასუხი: 8,4; 24.

შემოთავაზებული განტოლების ამოხსნით მივდივართ შემდეგზე დებულებები:

1) ჩვენ ვპოულობთ საერთო მნიშვნელს.

2) გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე საერთო მნიშვნელზე.

3) ჩვენ ვხსნით მიღებულ მთლიან განტოლებას.

4) ვამოწმებთ, რომელი ძირი აქცევს საერთო მნიშვნელს ნულზე და გამოვრიცხავთ ამონახსნებიდან.

მოდით შევხედოთ მაგალითს, თუ როგორ მუშაობს მიღებული პოზიციები.

ამოხსენით განტოლება:

1) საერთო მნიშვნელი: x 2 - 1

2) ჩვენ გავამრავლებთ განტოლების ორივე ნაწილს საერთო მნიშვნელზე, მივიღებთ მთელ განტოლებას: 6 - 2 (x + 1) \u003d 2 (x 2 - 1) - (x + 4) (x - 1)

3) ჩვენ ვხსნით განტოლებას: 6 - 2x - 2 \u003d 2x 2 - 2 - x 2 - 4x + x + 4

x 2 - x - 2 = 0

x 1 = - 1 და x 2 = 2

4) როდესაც x \u003d -1, საერთო მნიშვნელი x 2 - 1 \u003d 0. რიცხვი -1 არ არის ფესვი.

x \u003d 2-ისთვის საერთო მნიშვნელია x 2 - 1 ≠ 0. რიცხვი 2 არის განტოლების ფესვი.

უპასუხე: 2.

როგორც ხედავთ, ჩვენი დებულებები მუშაობს. ნუ გეშინია, წარმატებას მიაღწევ! Ყველაზე მნიშვნელოვანი იპოვეთ საერთო მნიშვნელი სწორადდა ფრთხილად გააკეთეთ ტრანსფორმაციები. ვიმედოვნებთ, რომ წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას ყოველთვის მიიღებთ სწორ პასუხებს. თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვა ან გსურთ ივარჯიშოთ ასეთი განტოლებების ამოხსნაში, დარეგისტრირდით გაკვეთილებზე ამ სტატიის ავტორთან, დამრიგებელ ვალენტინა გალინევსკაიასთან.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა

დახმარების გზამკვლევი

რაციონალური განტოლებები არის განტოლებები, რომლებშიც მარცხენა და მარჯვენა მხარე რაციონალური გამონათქვამებია.

(გაიხსენეთ: რაციონალური გამონათქვამები არის მთელი და წილადი გამოსახულებები რადიკალების გარეშე, შეკრების, გამოკლების, გამრავლების ან გაყოფის ოპერაციების ჩათვლით - მაგალითად: 6x; (m - n) 2; x / 3y და ა.შ.)

წილად-რაციონალური განტოლებები, როგორც წესი, მცირდება ფორმაზე:

სად პ(x) და ქ(x) მრავალწევრებია.

ასეთი განტოლებების ამოსახსნელად, განტოლების ორივე მხარე გავამრავლოთ Q(x-ზე), რამაც შეიძლება გამოიწვიოს უცხო ფესვების გამოჩენა. ამიტომ, წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას აუცილებელია ნაპოვნი ფესვების შემოწმება.

რაციონალურ განტოლებას ეწოდება მთელი რიცხვი, ან ალგებრული, თუ მას არ აქვს გაყოფა ცვლადის შემცველი გამოსახულებით.

მთელი რაციონალური განტოლების მაგალითები:

5x - 10 = 3 (10 - x)

3x
-=2x-10
4

თუ რაციონალურ განტოლებაში არის გაყოფა გამოსახულებით, რომელიც შეიცავს ცვლადს (x), მაშინ განტოლებას ეწოდება წილადი რაციონალური.

წილადი რაციონალური განტოლების მაგალითი:

15
x + - = 5x - 17
x

წილადი რაციონალური განტოლებები ჩვეულებრივ წყდება შემდეგნაირად:

1) იპოვეთ წილადების საერთო მნიშვნელი და გაამრავლეთ მასზე განტოლების ორივე ნაწილი;

2) ამოხსნათ მიღებული მთლიანი განტოლება;

3) ფესვებიდან გამორიცხეთ ის, ვინც წილადების საერთო მნიშვნელს ნულს აქცევს.

მთელი და წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის მაგალითები.

მაგალითი 1. ამოხსენით მთელი განტოლება

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

გამოსავალი:

ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელის პოვნა. ეს არის 6. გაყავით 6 მნიშვნელზე და გაამრავლეთ შედეგი თითოეული წილადის მრიცხველზე. ჩვენ ვიღებთ ამის ტოლფას განტოლებას:

3 (x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

ვინაიდან მნიშვნელი მარცხენა და მარჯვენა მხარეს იგივეა, მისი გამოტოვება შეიძლება. მაშინ გვაქვს უფრო მარტივი განტოლება:

3(x - 1) + 4x = 5x.

ჩვენ მას ვხსნით ფრჩხილების გახსნით და მსგავსი ტერმინების შემცირებით:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

მაგალითი მოგვარებულია.

მაგალითი 2. ამოხსენით წილადი რაციონალური განტოლება

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)

ჩვენ ვპოულობთ საერთო მნიშვნელს. ეს არის x(x - 5). Ისე:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

ახლა ისევ ვაშორებთ მნიშვნელს, რადგან ის ყველა გამონათქვამისთვის ერთნაირია. ჩვენ ვამცირებთ მსგავს წევრებს, ვატოლებთ განტოლებას ნულამდე და ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის შემდეგ ვიპოვით მის ფესვებს: -2 და 5.

მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა ეს რიცხვები საწყისი განტოლების ფესვები.

x = –2-ისთვის, საერთო მნიშვნელი x(x – 5) არ ქრება. ასე რომ -2 არის საწყისი განტოლების ფესვი.

x = 5-ზე, საერთო მნიშვნელი ქრება და სამი გამონათქვამიდან ორი კარგავს მნიშვნელობას. ასე რომ, რიცხვი 5 არ არის საწყისი განტოლების ფესვი.

პასუხი: x = -2

მეტი მაგალითები

მაგალითი 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2.2.

პასუხი: -2.2; 6.

მაგალითი 2

პრეზენტაცია და გაკვეთილი თემაზე: "რაციონალური განტოლებები. რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი და მაგალითები"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზია "ინტეგრალში" მე-8 კლასისთვის
სახელმძღვანელო მაკარიჩევის სახელმძღვანელოსთვის Yu.N. სახელმძღვანელო სახელმძღვანელოსთვის Mordkovich A.G.

ირაციონალური განტოლებების შესავალი

ბიჭებო, ვისწავლეთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნა. მაგრამ მათემატიკა მათით არ შემოიფარგლება. დღეს ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ უნდა ამოხსნათ რაციონალური განტოლებები. რაციონალური განტოლებების კონცეფცია მრავალი თვალსაზრისით მსგავსია რაციონალური რიცხვების ცნებას. მხოლოდ რიცხვების გარდა, ახლა ჩვენ შემოვიღეთ $x$ ცვლადი. და ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამს, რომელშიც არის შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფის და ამაღლების მოქმედებები მთელ რიცხვამდე.

იყოს $r(x)$ რაციონალური გამოხატულება. ასეთი გამოხატულება შეიძლება იყოს მარტივი პოლინომი $x$ ცვლადში ან მრავალწევრების თანაფარდობა (გაყოფის ოპერაცია შემოღებულია, რაციონალურ რიცხვებთან დაკავშირებით).
იწოდება განტოლება $r(x)=0$ რაციონალური განტოლება.
$p(x)=q(x)$ ფორმის ნებისმიერი განტოლება, სადაც $p(x)$ და $q(x)$ რაციონალური გამონათქვამებია, ასევე იქნება რაციონალური განტოლება.

განვიხილოთ რაციონალური განტოლებების ამოხსნის მაგალითები.

მაგალითი 1
ამოხსენით განტოლება: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

გამოსავალი.
გადავიტანოთ ყველა გამონათქვამი მარცხენა მხარეს: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
თუ ჩვეულებრივი რიცხვები გამოსახული იქნებოდა განტოლების მარცხენა მხარეს, მაშინ ორ წილადს მივიყვანთ საერთო მნიშვნელთან.
მოდით გავაკეთოთ ეს: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
მივიღეთ განტოლება: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

წილადი არის ნული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ წილადის მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არ არის ნული. შემდეგ ცალ-ცალკე გაატოლეთ მრიცხველი ნულთან და იპოვეთ მრიცხველის ფესვები.
$3(x^2+2x-3)=0$ ან $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
ახლა შევამოწმოთ წილადის მნიშვნელი: $(x-3)*x≠0$.
ორი რიცხვის ნამრავლი ნულის ტოლია, როცა ამ რიცხვებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია. შემდეგ: $x≠0$ ან $x-3≠0$.
$x≠0$ ან $x≠3$.
მრიცხველში და მნიშვნელში მიღებული ფესვები არ ემთხვევა. ამიტომ საპასუხოდ ვწერთ მრიცხველის ორივე ფესვს.
პასუხი: $x=1$ ან $x=-3$.

თუ მოულოდნელად, მრიცხველის ერთ-ერთი ძირი დაემთხვა მნიშვნელის ფესვს, მაშინ ის უნდა გამოირიცხოს. ასეთ ფესვებს ეძახიან ზედმეტი!

რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი:

1. ტოლობის ნიშნის მარცხნივ გადაიტანეთ განტოლებაში შემავალი ყველა გამონათქვამი.
2. გადააქციეთ განტოლების ეს ნაწილი ალგებრული წილადი: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. მიღებული მრიცხველი გავატოლოთ ნულთან, ანუ ამოხსნათ განტოლება $p(x)=0$.
4. გაუტოლეთ მნიშვნელი ნულს და ამოხსენით მიღებული განტოლება. თუ მნიშვნელის ფესვები დაემთხვა მრიცხველის ფესვებს, მაშინ ისინი უნდა გამოირიცხოს პასუხიდან.

მაგალითი 2
ამოხსენით განტოლება: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

გამოსავალი.
მოვაგვარებთ ალგორითმის წერტილების მიხედვით.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)(x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. მრიცხველი გავაიგივოთ ნულთან: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1) (3); 1$.
4. გაუტოლეთ მნიშვნელს ნულს:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ და $x=-1$.
ერთ-ერთი ფესვი $x=1$ დაემთხვა მრიცხველის ფესვს, შემდეგ მას პასუხად არ ჩავწერთ.
პასუხი: $x=-1$.

მოსახერხებელია რაციონალური განტოლებების ამოხსნა ცვლადების ცვლილების მეთოდით. მოდი ვაჩვენოთ.

მაგალითი 3
ამოხსენით განტოლება: $x^4+12x^2-64=0$.

გამოსავალი.
ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას: $t=x^2$.
მაშინ ჩვენი განტოლება მიიღებს ფორმას:
$t^2+12t-64=0$ ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლებაა.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
შემოვიღოთ შებრუნებული ჩანაცვლება: $x^2=4$ ან $x^2=-16$.
პირველი განტოლების ფესვები არის რიცხვების წყვილი $x=±2$. მეორეს ფესვები არ აქვს.
პასუხი: $x=±2$.

მაგალითი 4
ამოხსენით განტოლება: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
გამოსავალი.
შემოვიღოთ ახალი ცვლადი: $t=x^2+x+1$.
შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას: $t=\frac(15)(t+2)$.
შემდეგი, ჩვენ ვიმოქმედებთ ალგორითმის მიხედვით.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - ფესვები არ ემთხვევა.
ჩვენ შემოგთავაზებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
ცალ-ცალკე გადავჭრათ თითოეული განტოლება:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - არა ფესვები.
და მეორე განტოლება: $x^2+x-2=0$.
ამ განტოლების ფესვები იქნება რიცხვები $x=-2$ და $x=1$.
პასუხი: $x=-2$ და $x=1$.

მაგალითი 5
ამოხსენით განტოლება: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

გამოსავალი.
ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას: $t=x+\frac(1)(x)$.
შემდეგ:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ან $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
მივიღეთ განტოლება: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
ამ განტოლების ფესვები არის წყვილი:
$t=-3$ და $t=2$.
შემოვიღოთ საპირისპირო ჩანაცვლება:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
ცალკე გადავწყვეტთ.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
ამოხსნათ მეორე განტოლება:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
ამ განტოლების ფესვი არის რიცხვი $x=1$.
პასუხი: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

განტოლებების ამოხსნა:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

წილადი განტოლებები. ოძ.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

ჩვენ ვაგრძელებთ განტოლებების დაუფლებას. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ ვიმუშაოთ წრფივ და კვადრატულ განტოლებებთან. ბოლო ხედი რჩება წილადი განტოლებები. ან მათ ასევე უწოდებენ ბევრად უფრო მყარებს - წილადი რაციონალური განტოლებები. ეს იგივეა.

წილადი განტოლებები.

როგორც სახელი გულისხმობს, ეს განტოლებები აუცილებლად შეიცავს წილადებს. მაგრამ არა მხოლოდ წილადები, არამედ წილადები, რომლებსაც აქვთ უცნობია მნიშვნელში. ერთში მაინც. Მაგალითად:

შეგახსენებთ, თუ მხოლოდ მნიშვნელებში ნომრები, ეს არის წრფივი განტოლებები.

როგორ გადაწყვიტოს წილადი განტოლებები? უპირველეს ყოვლისა, მოიშორეთ წილადები! ამის შემდეგ, განტოლება, ყველაზე ხშირად, იქცევა წრფივ ან კვადრატად. შემდეგ კი ჩვენ ვიცით, რა უნდა გავაკეთოთ... ზოგიერთ შემთხვევაში, ის შეიძლება იქცეს იდენტობად, მაგალითად 5=5 ან არასწორ გამონათქვამად, მაგალითად 7=2. მაგრამ ეს იშვიათად ხდება. ქვემოთ აღვნიშნავ.

მაგრამ როგორ მოვიშოროთ წილადები!? Ძალიან მარტივი. ყველა იგივე იდენტური ტრანსფორმაციის გამოყენება.

ჩვენ უნდა გავამრავლოთ მთელი განტოლება იმავე გამოსახულებით. ისე რომ ყველა მნიშვნელი შემცირდეს! ყველაფერი მაშინვე გამარტივდება. მაგალითით ავხსნი. ვთქვათ, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ განტოლება:

როგორ ასწავლიდნენ დაწყებით სკოლაში? ყველაფერს ერთი მიმართულებით გადავცემთ, ვამცირებთ საერთო მნიშვნელზე და ა.შ. დაივიწყე რა ცუდი სიზმარი! ეს არის ის, რაც უნდა გააკეთოთ წილადური გამონათქვამების დამატების ან გამოკლებისას. ან უთანასწორობებთან მუშაობა. განტოლებებში კი ორივე ნაწილს მაშინვე ვამრავლებთ გამოსახულებით, რომელიც მოგვცემს შესაძლებლობას შევამციროთ ყველა მნიშვნელი (ანუ არსებითად საერთო მნიშვნელით). და რა არის ეს გამოთქმა?

მარცხენა მხარეს, მნიშვნელის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ x+2. მარჯვნიდან კი საჭიროა 2-ზე გამრავლება. ასე რომ, განტოლება უნდა გამრავლდეს 2 (x+2). ვამრავლებთ:

ეს არის წილადების ჩვეულებრივი გამრავლება, მაგრამ დეტალურად დავწერ:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჯერ არ ვხსნი ფრჩხილებს. (x + 2)! ასე რომ, მთლიანობაში ვწერ:

მარცხენა მხარეს, ის მთლიანად შემცირებულია (x+2), და მარჯვნივ 2. როგორც საჭიროა! შემცირების შემდეგ ვიღებთ ხაზოვანიგანტოლება:

ნებისმიერს შეუძლია ამ განტოლების ამოხსნა! x = 2.

მოდით მოვაგვაროთ კიდევ ერთი მაგალითი, ცოტა უფრო რთული:

თუ გავიხსენებთ, რომ 3 = 3/1 და 2x = 2x/ 1 შეიძლება დაიწეროს:

და ისევ ვაშორებთ იმას, რაც ნამდვილად არ მოგვწონს - წილადებისგან.

ჩვენ ვხედავთ, რომ x-ით მნიშვნელის შესამცირებლად საჭიროა წილადის გამრავლება (x - 2). და ერთეულები არ არის ჩვენთვის დაბრკოლება. აბა, გავამრავლოთ. ყველამარცხენა მხარეს და ყველამარჯვენა მხარე:

ისევ ფრჩხილები (x - 2)არ ვამხელ. ვმუშაობ ფრჩხილთან მთლიანობაში, თითქოს ეს იყოს ერთი ნომერი! ეს ყოველთვის უნდა გაკეთდეს, წინააღმდეგ შემთხვევაში არაფერი შემცირდება.

ღრმა კმაყოფილების განცდით ვჭრით (x - 2)და ვიღებთ განტოლებას ყოველგვარი წილადების გარეშე, სახაზავში!

ახლა კი ვხსნით ფრჩხილებს:

ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს, გადავიტანთ ყველაფერს მარცხენა მხარეს და ვიღებთ:

მანამდე კი სხვა პრობლემების გადაჭრას ვისწავლით. ინტერესისთვის. სხვათა შორის, ეს რაკი!

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ჩვენ ვაგრძელებთ საუბარს განტოლებების ამოხსნა. ამ სტატიაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ რაციონალური განტოლებებიდა რაციონალური განტოლებების ერთი ცვლადით ამოხსნის პრინციპები. ჯერ გავარკვიოთ, რა სახის განტოლებებს ეწოდება რაციონალური, მივცეთ მთელი რაციონალური და წილადი რაციონალური განტოლებების განმარტება და მოვიყვანოთ მაგალითები. გარდა ამისა, ჩვენ მივიღებთ რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმებს და, რა თქმა უნდა, განვიხილავთ ტიპიური მაგალითების ამონახსნებს ყველა საჭირო განმარტებით.

გვერდის ნავიგაცია.

გაჟღერებულ განმარტებებზე დაყრდნობით, რაციონალური განტოლებების რამდენიმე მაგალითს ვაძლევთ. მაგალითად, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , ყველა რაციონალური განტოლებაა.

ნაჩვენები მაგალითებიდან ჩანს, რომ რაციონალური განტოლებები, ისევე როგორც სხვა ტიპის განტოლებები, შეიძლება იყოს ან ერთი ცვლადით, ან ორი, სამი და ა.შ. ცვლადები. შემდეგ აბზაცებში ვისაუბრებთ რაციონალური განტოლებების ერთ ცვლადში ამოხსნაზე. განტოლებების ამოხსნა ორი ცვლადითდა მათი დიდი რაოდენობა განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს.

გარდა იმისა, რომ რაციონალური განტოლებები იყოფა უცნობი ცვლადების რაოდენობაზე, ისინი ასევე იყოფა მთელ რიცხვებად და წილადებად. მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტებები.

განმარტება.

რაციონალური განტოლება ე.წ მთლიანითუ მისი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები მთელი რაციონალური გამონათქვამებია.

განმარტება.

თუ რაციონალური განტოლების ერთი ნაწილი მაინც არის წილადი, მაშინ ასეთი განტოლება ე.წ. ფრაქციულად რაციონალური(ან წილადი რაციონალური).

ცხადია, რომ მთელი რიცხვები არ შეიცავს გაყოფას ცვლადზე, პირიქით, წილადი რაციონალური განტოლებები აუცილებლად შეიცავს გაყოფას ცვლადზე (ან ცვლადზე მნიშვნელში). ანუ 3 x+2=0 და (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5არის მთელი რაციონალური განტოლებები, მათი ორივე ნაწილი არის მთელი რიცხვი. A და x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 არის წილადი რაციონალური განტოლებების მაგალითები.

ამ აბზაცის დასასრულს, ყურადღება მივაქციოთ იმ ფაქტს, რომ ამ მომენტისთვის ცნობილი წრფივი განტოლებები და კვადრატული განტოლებები მთლიანი რაციონალური განტოლებებია.

მთელი განტოლებების ამოხსნა

მთლიანი განტოლებების ამოხსნის ერთ-ერთი მთავარი მიდგომაა მათი ეკვივალენტამდე შემცირება ალგებრული განტოლებები. ეს ყოველთვის შეიძლება გაკეთდეს განტოლების შემდეგი ექვივალენტური გარდაქმნების შესრულებით:

• პირველი, გამონათქვამი საწყისი მთელი რიცხვის განტოლების მარჯვენა მხრიდან გადადის მარცხენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით, რათა მიიღოთ ნული მარჯვენა მხარეს;
• ამის შემდეგ, განტოლების მარცხენა მხარეს, მიღებული სტანდარტული ფორმა.

შედეგი არის ალგებრული განტოლება, რომელიც უდრის თავდაპირველ მთლიან განტოლებას. ასე რომ, უმარტივეს შემთხვევებში, მთელი განტოლებების ამოხსნა მცირდება წრფივი ან კვადრატული განტოლებების ამონახვამდე, ხოლო ზოგად შემთხვევაში - n ხარისხის ალგებრული განტოლების ამოხსნამდე. სიცხადისთვის, მოდით გავაანალიზოთ მაგალითის ამოხსნა.

მაგალითი.

იპოვეთ მთელი განტოლების ფესვები 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

გამოსავალი.

მთელი ამ განტოლების ამონახვა შევამციროთ ეკვივალენტური ალგებრული განტოლების ამოხსნამდე. ამისათვის, პირველ რიგში, ჩვენ გადავიტანთ გამონათქვამს მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ, რის შედეგადაც მივდივართ განტოლებამდე 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. და მეორეც, მარცხენა მხარეს წარმოქმნილ გამონათქვამს ვაქცევთ სტანდარტული ფორმის პოლინომად, ვაკეთებთ საჭიროებს: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. ამრიგად, თავდაპირველი მთელი განტოლების ამონახსნი მცირდება კვადრატული განტოლების ამონახვამდე x 2 −5·x−6=0 .

გამოთვალეთ მისი დისკრიმინანტი D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, ის დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი, რომელსაც ვპოულობთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულით:

სრულიად დარწმუნებული რომ ვიყოთ, მოდით გავაკეთოთ განტოლების ნაპოვნი ფესვების შემოწმება. პირველ რიგში, ჩვენ ვამოწმებთ ფესვს 6, ვცვლით მას ცვლადის x-ის ნაცვლად თავდაპირველ მთელ რიცხვში განტოლებაში: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, რაც იგივეა, 63=63 . ეს არის სწორი რიცხვითი განტოლება, ამიტომ x=6 ნამდვილად არის განტოლების ფესვი. ახლა ვამოწმებთ ფესვს −1 , გვაქვს 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, საიდანაც, 0=0 . x=−1-ისთვის თავდაპირველი განტოლება ასევე გადაიქცა ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში, შესაბამისად, x=−1 ასევე განტოლების ფესვია.

პასუხი:

6 , −1 .

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ ტერმინი „მთელი განტოლების ძალა“ ასოცირდება მთელი განტოლების წარმოდგენასთან ალგებრული განტოლების სახით. ჩვენ ვაძლევთ შესაბამის განმარტებას:

განმარტება.

მთელი განტოლების ხარისხივუწოდოთ მისი ექვივალენტური ალგებრული განტოლების ხარისხი.

ამ განმარტების მიხედვით, წინა მაგალითის მთელ განტოლებას მეორე ხარისხი აქვს.

ამაზე შეიძლება დასრულდეს მთელი რაციონალური განტოლების ამოხსნით, რომ არა ერთი, არამედ .... როგორც ცნობილია, მეორეზე მაღალი ხარისხის ალგებრული განტოლებების ამოხსნა დაკავშირებულია მნიშვნელოვან სირთულეებთან, ხოლო მეოთხეზე მაღალი ხარისხის განტოლებისთვის, საერთოდ არ არსებობს ფესვების ზოგადი ფორმულები. ამიტომ მესამე, მეოთხე და მეტი განტოლებების ამოხსნა მაღალი გრადუსიხშირად უწევთ გადაწყვეტის სხვა მეთოდებს მიმართოთ.

ასეთ შემთხვევებში, ზოგჯერ მიდგომა გადაჭრის მთელი რაციონალური განტოლებების საფუძველზე ფაქტორიზაციის მეთოდი. ამავე დროს, გამოიყენება შემდეგი ალგორითმი:

• პირველ რიგში ისინი ცდილობენ, რომ განტოლების მარჯვენა მხარეს იყოს ნული, ამისთვის ისინი გამოხატავენ მთელი განტოლების მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ;
• შემდეგ, მარცხენა მხარეს მიღებული გამოხატულება წარმოდგენილია, როგორც რამდენიმე ფაქტორის პროდუქტი, რაც საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ რამდენიმე მარტივი განტოლების სიმრავლეზე.

ზემოაღნიშნული ალგორითმი ფაქტორიზაციის გზით მთელი განტოლების ამოხსნისთვის მოითხოვს დეტალურ განმარტებას მაგალითის გამოყენებით.

მაგალითი.

ამოხსენით მთელი განტოლება (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

გამოსავალი.

პირველ რიგში, ჩვეულებისამებრ, ჩვენ გამოვხატავთ გამონათქვამს მარჯვენა მხრიდან განტოლების მარცხენა მხარეს, არ დაგვავიწყდეს ნიშნის შეცვლა, მივიღებთ (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . აქ აშკარაა, რომ არ არის მიზანშეწონილი მიღებული განტოლების მარცხენა მხარის გადაქცევა სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად, რადგან ეს მისცემს ფორმის მეოთხე ხარისხის ალგებრულ განტოლებას. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, რომლის გადაწყვეტა რთულია.

მეორეს მხრივ, აშკარაა, რომ x 2 −10·x+13 შეიძლება მოიძებნოს მიღებული განტოლების მარცხენა მხარეს, რითაც წარმოადგენს მას ნამრავლად. Ჩვენ გვაქვს (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. მიღებული განტოლება თავდაპირველი მთლიანი განტოლების ტოლია და ის, თავის მხრივ, შეიძლება შეიცვალოს ორი კვადრატული განტოლების სიმრავლით x 2 −10·x+13=0 და x 2 −2·x−1=0 . მათი ფესვების პოვნა ცნობილი ფესვების ფორმულების გამოყენებით დისკრიმინანტის საშუალებით არ არის რთული, ფესვები თანაბარია. ისინი ორიგინალური განტოლების სასურველი ფესვებია.

პასუხი:

ის ასევე სასარგებლოა მთელი რაციონალური განტოლებების ამოსახსნელად. ახალი ცვლადის დანერგვის მეთოდი. ზოგიერთ შემთხვევაში, ის საშუალებას აძლევს ადამიანს გადავიდეს განტოლებებზე, რომელთა ხარისხი უფრო დაბალია, ვიდრე ორიგინალური მთელი განტოლების ხარისხი.

მაგალითი.

იპოვეთ რაციონალური განტოლების ნამდვილი ფესვები (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

გამოსავალი.

მთელი ამ რაციონალური განტოლების ალგებრულ განტოლებამდე დაყვანა, რბილად რომ ვთქვათ, არც თუ ისე კარგი იდეაა, რადგან ამ შემთხვევაში მივალთ მეოთხე ხარისხის განტოლების ამოხსნის საჭიროებამდე, რომელსაც რაციონალური ფესვები არ აქვს. ამიტომ, თქვენ მოგიწევთ სხვა გამოსავლის ძებნა.

აქ ადვილი მისახვედრია, რომ შეგიძლიათ შემოიტანოთ ახალი y ცვლადი და შეცვალოთ გამოხატვა x 2 +3 x მასთან. ასეთი ჩანაცვლება მიგვიყვანს მთელ განტოლებამდე (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , რომელიც −2 (y−4) გამოხატვის მარცხენა მხარეს გადატანისა და გამოსახულების შემდგომი ტრანსფორმაციის შემდეგ იქმნება. , მცირდება განტოლებამდე y 2 +4 y+3=0 . ამ განტოლების y=−1 და y=−3 ფესვების პოვნა ადვილია, მაგალითად, მათი პოვნა შესაძლებელია ვიეტას თეორემის შებრუნებული თეორემის საფუძველზე.

ახლა გადავიდეთ ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდის მეორე ნაწილზე, ანუ საპირისპირო ჩანაცვლებაზე. საპირისპირო ჩანაცვლების შესრულების შემდეგ ვიღებთ ორ განტოლებას x 2 +3 x=−1 და x 2 +3 x=−3 , რომლებიც შეიძლება გადაიწეროს x 2 +3 x+1=0 და x 2 +3 x+3. =0. კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ პირველი განტოლების ფესვებს. ხოლო მეორე კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, რადგან მისი დისკრიმინანტი უარყოფითია (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

პასუხი:

ზოგადად, როდესაც საქმე გვაქვს მაღალი ხარისხის მთელ განტოლებებთან, ყოველთვის მზად უნდა ვიყოთ მათი ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდის ან ხელოვნური ტექნიკის მოსაძებნად.

წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა

პირველ რიგში, სასარგებლო იქნება იმის გაგება, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ფორმის წილადი რაციონალური განტოლებები, სადაც p(x) და q(x) რაციონალური მთელი რიცხვი გამოსახულებებია. შემდეგ კი ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა შევამციროთ დარჩენილი წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა მითითებული ფორმის განტოლებამდე.

განტოლების ამოხსნის ერთ-ერთი მიდგომა ეფუძნება შემდეგ დებულებას: რიცხვითი წილადი u/v, სადაც v არის არანულოვანი რიცხვი (წინააღმდეგ შემთხვევაში შევხვდებით , რომელიც არ არის განსაზღვრული), ნულის ტოლია თუ და მხოლოდ მაშინ. მისი მრიცხველი ნულის ტოლია, მაშინ არის თუ და მხოლოდ თუ u=0 . ამ დებულების ძალით განტოლების ამონახვა მცირდება ორი პირობის შესრულებამდე p(x)=0 და q(x)≠0 .

ეს დასკვნა შეესაბამება შემდეგს წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი. ფორმის წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნა

• ამოხსენით მთელი რაციონალური განტოლება p(x)=0 ;
• და შეამოწმეთ დაკმაყოფილებულია თუ არა პირობა q(x)≠0 თითოეული ნაპოვნი ფესვისთვის, ხოლო
• თუ მართალია, მაშინ ეს ფესვი არის საწყისი განტოლების ფესვი;
• თუ არა, მაშინ ეს ფესვი ზედმეტია, ანუ ის არ არის საწყისი განტოლების ფესვი.

გავაანალიზოთ გახმოვანებული ალგორითმის გამოყენების მაგალითი წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნისას.

მაგალითი.

იპოვეთ განტოლების ფესვები.

გამოსავალი.

ეს არის ფორმის წილადი რაციონალური განტოლება, სადაც p(x)=3 x−2, q(x)=5 x 2 −2=0.

ამ ტიპის წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის მიხედვით, ჯერ უნდა ამოხსნათ განტოლება 3·x−2=0. ის წრფივი განტოლება, რომლის ფესვი არის x=2/3 .

რჩება ამ ფესვის შემოწმება, ანუ შევამოწმოთ, აკმაყოფილებს თუ არა ის პირობას 5·x 2 −2≠0 . ჩვენ ვცვლით რიცხვს 2/3 x-ის ნაცვლად გამოსახულებაში 5 x 2 −2, მივიღებთ . პირობა დაკმაყოფილებულია, ამიტომ x=2/3 არის საწყისი განტოლების ფესვი.

პასუხი:

2/3 .

წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნას შეიძლება მივუდგეთ ოდნავ განსხვავებული პოზიციიდან. ეს განტოლება უდრის მთლიანი განტოლების p(x)=0 საწყისი განტოლების x ცვლადზე. ანუ შეგიძლია მიჰყვე ამას წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი :

• ამოხსენით განტოლება p(x)=0 ;
• იპოვეთ ODZ ცვლადი x ;
• აიღეთ დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონის კუთვნილი ფესვები - ისინი ორიგინალური წილადი რაციონალური განტოლების სასურველი ფესვებია.

მაგალითად, ამ ალგორითმის გამოყენებით ამოვხსნათ წილადი რაციონალური განტოლება.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი.

ჯერ ვხსნით კვადრატულ განტოლებას x 2 −2·x−11=0 . მისი ფესვები შეიძლება გამოითვალოს ფესვის ფორმულის გამოყენებით თუნდაც მეორე კოეფიციენტისთვის, ჩვენ გვაქვს D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, და .

მეორეც, ჩვენ ვპოულობთ x ცვლადის ODZ-ს საწყისი განტოლებისთვის. იგი შედგება ყველა რიცხვისაგან, რომლებისთვისაც x 2 +3 x≠0 , რაც იგივეა x (x+3)≠0 , საიდანაც x≠0 , x≠−3 .

რჩება იმის შემოწმება, შედის თუ არა პირველ საფეხურზე ნაპოვნი ფესვები ODZ-ში. ცხადია, დიახ. ამრიგად, თავდაპირველ წილადობრივად რაციონალურ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

პასუხი:

გაითვალისწინეთ, რომ ეს მიდგომა უფრო მომგებიანია, ვიდრე პირველი, თუ ODZ ადვილად მოიძებნება, და განსაკუთრებით სასარგებლოა, თუ განტოლების p(x)=0 ფესვები არის ირაციონალური, მაგალითად, ან რაციონალური, მაგრამ საკმაოდ დიდი. მრიცხველი და/ან მნიშვნელი, მაგალითად, 127/1101 და -31/59. ეს იმის გამო ხდება, რომ ასეთ შემთხვევებში q(x)≠0 პირობის შემოწმება დასჭირდება მნიშვნელოვან გამოთვლით ძალისხმევას და უფრო ადვილია ODZ-დან გარე ფესვების გამორიცხვა.

სხვა შემთხვევებში, განტოლების ამოხსნისას, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც განტოლების ძირები p(x)=0 არის მთელი რიცხვები, უფრო ხელსაყრელია ზემოთ ჩამოთვლილი ალგორითმებიდან პირველის გამოყენება. ანუ მიზანშეწონილია დაუყოვნებლივ იპოვოთ მთელი განტოლების ფესვები p(x)=0 და შემდეგ შეამოწმოთ არის თუ არა პირობა q(x)≠0 მათთვის და არ იპოვოთ ODZ და შემდეგ ამოხსნათ განტოლება. p(x)=0 ამ ODZ-ზე. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ასეთ შემთხვევებში ჩვეულებრივ უფრო ადვილია შემოწმების გაკეთება, ვიდრე ODZ-ის პოვნა.

განვიხილოთ ორი მაგალითის ამოხსნა გათვალისწინებული ნიუანსების საილუსტრაციოდ.

მაგალითი.

იპოვეთ განტოლების ფესვები.

გამოსავალი.

ჯერ ვპოულობთ მთელი განტოლების ფესვებს (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, შედგენილი წილადის მრიცხველის გამოყენებით. ამ განტოლების მარცხენა მხარე არის ნამრავლი, ხოლო მარჯვენა მხარე არის ნული, შესაბამისად, განტოლებების ფაქტორიზაციის გზით ამოხსნის მეთოდის მიხედვით, ეს განტოლება უდრის ოთხი განტოლების სიმრავლეს 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . ამ განტოლებიდან სამი წრფივია და ერთი კვადრატული, ჩვენ შეგვიძლია მათი ამოხსნა. პირველი განტოლებიდან ვხვდებით x=1/2, მეორიდან - x=6, მესამედან - x=7, x=−2, მეოთხედან - x=−1.

აღმოჩენილი ფესვებით, მათი შემოწმება საკმაოდ მარტივია იმის დასანახად, არ ქრება თუ არა თავდაპირველი განტოლების მარცხენა მხარეს მდებარე წილადის მნიშვნელი და არც ისე ადვილია ODZ-ის დადგენა, რადგან ამის გადაჭრა მოუწევს. მეხუთე ხარისხის ალგებრული განტოლება. ამიტომ, ჩვენ უარს ვიტყვით ODZ-ის პოვნაზე ფესვების შემოწმების სასარგებლოდ. ამისათვის ჩვენ მათ რიგრიგობით ვცვლით გამოხატულებაში x ცვლადის ნაცვლად x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, მიღებული ჩანაცვლების შემდეგ და შეადარეთ ისინი ნულთან: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

ამრიგად, 1/2, 6 და −2 არის თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლების სასურველი ფესვები, ხოლო 7 და −1 არის უცხო ფესვები.

პასუხი:

1/2 , 6 , −2 .

მაგალითი.

იპოვეთ წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები.

გამოსავალი.

ჯერ ვპოულობთ განტოლების ფესვებს (5x2 −7x−1)(x−2)=0. ეს განტოლება უდრის ორი განტოლების სიმრავლეს: კვადრატი 5·x 2 −7·x−1=0 და წრფივი x−2=0 . კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ ორ ფესვს, ხოლო მეორე განტოლებიდან გვაქვს x=2.

იმის შემოწმება, რომ მნიშვნელი არ ქრება x-ის აღმოჩენილ მნიშვნელობებზე, საკმაოდ უსიამოვნოა. და ცვლადის x-ის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის დადგენა თავდაპირველ განტოლებაში საკმაოდ მარტივია. ამიტომ, ჩვენ ვიმოქმედებთ ODZ-ის მეშვეობით.

ჩვენს შემთხვევაში, თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლების x ცვლადის ODZ შედგება ყველა რიცხვისგან, გარდა იმ რიცხვებისა, რომელთათვისაც დაკმაყოფილებულია პირობა x 2 +5·x−14=0. ამ კვადრატული განტოლების ფესვებია x=−7 და x=2, საიდანაც დავასკვნით ODZ-ის შესახებ: იგი შედგება ყველა x-ისგან ისეთი, რომ .

რჩება იმის შემოწმება, ეკუთვნის თუ არა ნაპოვნი ფესვები და x=2 დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონს. ფესვები - ეკუთვნის, მაშასადამე, ისინი თავდაპირველი განტოლების ფესვებია, ხოლო x=2 არ ეკუთვნის, მაშასადამე, ის უცხო ფესვია.

პასუხი:

ასევე სასარგებლო იქნება ცალკე ვისაუბროთ შემთხვევებზე, როდესაც ფორმის წილადი რაციონალური განტოლება შეიცავს რიცხვს მრიცხველში, ანუ როდესაც p (x) წარმოდგენილია გარკვეული რიცხვით. სადაც

• თუ ეს რიცხვი განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან წილადი არის ნული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მრიცხველი არის ნული;
• თუ ეს რიცხვი არის ნული, მაშინ განტოლების ფესვი არის ნებისმიერი რიცხვი ODZ-დან.

მაგალითი.

გამოსავალი.

ვინაიდან განტოლების მარცხენა მხარეს წილადის მრიცხველში არის არანულოვანი რიცხვი, არც ერთი x-ისთვის არ შეიძლება ამ წილადის მნიშვნელობა ნულის ტოლი იყოს. ამრიგად, ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

პასუხი:

ფესვების გარეშე.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი.

ამ წილადი რაციონალური განტოლების მარცხენა მხარეს მდებარე წილადის მრიცხველი არის ნული, ამიტომ ამ წილადის მნიშვნელობა არის ნული ნებისმიერი x-ისთვის, რომლისთვისაც აზრი აქვს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ განტოლების გამოსავალი არის x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა ამ ცვლადის DPV-დან.

რჩება მისაღები მნიშვნელობების ამ დიაპაზონის განსაზღვრა. იგი მოიცავს ყველა ისეთ მნიშვნელობას x, რომლისთვისაც x 4 +5 x 3 ≠0. x 4 +5 x 3 \u003d 0 განტოლების ამონახსნები არის 0 და −5, რადგან ეს განტოლება უდრის x 3 (x + 5) \u003d 0 განტოლებას და ის, თავის მხრივ, ტოლია კომბინაციის ორი განტოლების x 3 \u003d 0 და x +5=0 , საიდანაც ჩანს ეს ფესვები. ამიტომ მისაღები მნიშვნელობების სასურველი დიაპაზონი არის ნებისმიერი x, გარდა x=0 და x=−5.

ამრიგად, წილადობრივად რაციონალურ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნი, რომელიც არის ნებისმიერი რიცხვი, გარდა ნულისა და მინუს ხუთისა.

პასუხი:

დაბოლოს, დროა ვისაუბროთ თვითნებური წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნაზე. ისინი შეიძლება დაიწეროს როგორც r(x)=s(x) , სადაც r(x) და s(x) რაციონალური გამონათქვამებია და ერთი მათგანი მაინც არის წილადი. წინ რომ ვუყურებთ, ჩვენ ვამბობთ, რომ მათი ამოხსნა მცირდება ჩვენთვის უკვე ნაცნობი ფორმის განტოლებების ამოხსნით.

ცნობილია, რომ ტერმინის გადატანა განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეში საპირისპირო ნიშნით იწვევს ეკვივალენტურ განტოლებას, ამიტომ განტოლება r(x)=s(x) უდრის განტოლებას r(x)−s. (x)=0.

ჩვენ ასევე ვიცით, რომ ნებისმიერი შეიძლება იდენტურად იყოს ამ გამოთქმის ტოლი. ამრიგად, ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია გადავიტანოთ რაციონალური გამოხატულება განტოლების მარცხენა მხარეს r(x)−s(x)=0 ფორმის იდენტურად თანაბარ რაციონალურ წილადად.

ასე რომ, ჩვენ გადავდივართ საწყისი წილადი რაციონალური განტოლებიდან r(x)=s(x) განტოლებამდე და მისი ამოხსნა, როგორც ზემოთ გავარკვიეთ, მცირდება განტოლების p(x)=0 ამოხსნამდე.

მაგრამ აქ გასათვალისწინებელია ის ფაქტი, რომ r(x)−s(x)=0-ით და შემდეგ p(x)=0-ით ჩანაცვლებისას, x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი შეიძლება გაფართოვდეს. .

მაშასადამე, საწყისი განტოლება r(x)=s(x) და განტოლება p(x)=0, რომელზეც მივედით, შეიძლება არ იყოს ეკვივალენტური და განტოლების p(x)=0 ამოხსნით, მივიღოთ ფესვები. ეს იქნება საწყისი განტოლების უცხო ფესვები r(x)=s(x) . შესაძლებელია ამოიცნოთ და არ ჩართოთ პასუხში ზედმეტი ფესვები, ან შემოწმებით, ან მათი კუთვნილების შემოწმებით თავდაპირველი განტოლების ODZ-თან.

ჩვენ ვაჯამებთ ამ ინფორმაციას წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი r(x)=s(x). წილადი რაციონალური განტოლების ამოსახსნელად r(x)=s(x) უნდა

• მიიღეთ ნული მარჯვნივ გამონათქვამის გადაადგილებით მარჯვენა მხრიდან საპირისპირო ნიშნით.
• შეასრულეთ მოქმედებები წილადებთან და მრავალწევრებთან განტოლების მარცხენა მხარეს, რითაც გადააქციეთ იგი ფორმის რაციონალურ წილადად.
• ამოხსენით განტოლება p(x)=0 .
• უცხო ფესვების იდენტიფიცირება და გამორიცხვა, რაც ხდება მათი საწყის განტოლებაში ჩანაცვლებით ან თავდაპირველი განტოლების ODZ-თან მათი კუთვნილების შემოწმებით.

მეტი სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის მთელ ჯაჭვს:
.

გადავიდეთ რამდენიმე მაგალითის ამონახსნები ამოხსნის დეტალური ახსნით, რათა დავაზუსტოთ ინფორმაციის მოცემული ბლოკი.

მაგალითი.

ამოხსენით წილადი რაციონალური განტოლება.

გამოსავალი.

ჩვენ ვიმოქმედებთ ახლახან მიღებული ამოხსნის ალგორითმის შესაბამისად. და ჯერ ტერმინებს გადავიტანთ განტოლების მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს, შედეგად გადავდივართ განტოლებაზე.

მეორე საფეხურზე, მიღებული განტოლების მარცხენა მხარეს წილადი რაციონალური გამოხატულება უნდა გადავიყვანოთ წილადის სახით. ამისთვის ვასრულებთ რაციონალური წილადების შემცირებას საერთო მნიშვნელამდე და ვამარტივებთ მიღებულ გამოსახულებას: . ასე რომ, მივდივართ განტოლებამდე.

შემდეგ ეტაპზე უნდა ამოხსნათ განტოლება −2·x−1=0 . იპოვეთ x=−1/2 .

რჩება იმის შემოწმება, არის თუ არა ნაპოვნი რიცხვი −1/2 საწყისი განტოლების უცხო ფესვი. ამისათვის შეგიძლიათ შეამოწმოთ ან იპოვოთ ორიგინალური განტოლების ODZ ცვლადი x. მოდით ვაჩვენოთ ორივე მიდგომა.

დავიწყოთ შემოწმებით. −1/2 რიცხვს x ცვლადის ნაცვლად ვცვლით თავდაპირველ განტოლებაში, ვიღებთ −1=−1, რომელიც იგივეა. ჩანაცვლება იძლევა სწორ რიცხვობრივ ტოლობას, შესაბამისად, x=−1/2 არის საწყისი განტოლების ფესვი.

ახლა ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ ხორციელდება ალგორითმის ბოლო ნაბიჯი ODZ-ის მეშვეობით. საწყისი განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი არის ყველა რიცხვის სიმრავლე, გარდა −1 და 0 (როდესაც x=−1 და x=0, წილადების მნიშვნელები ქრება). წინა საფეხურზე ნაპოვნი ფესვი x=−1/2 ეკუთვნის ODZ-ს, შესაბამისად, x=−1/2 არის საწყისი განტოლების ფესვი.

პასუხი:

−1/2 .

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი.

მაგალითი.

იპოვეთ განტოლების ფესვები.

გამოსავალი.

ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ წილადი რაციონალური განტოლება, მოდით გავიაროთ ალგორითმის ყველა საფეხური.

ჯერ ტერმინს გადავიტანთ მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ, მივიღებთ .

მეორეც, ჩვენ გარდაქმნით მარცხენა მხარეს წარმოქმნილ გამონათქვამს: . შედეგად მივდივართ განტოლებამდე x=0 .

მისი ფესვი აშკარაა - ის ნულია.

მეოთხე საფეხურზე რჩება იმის გარკვევა, არის თუ არა ნაპოვნი ფესვი გარედან ორიგინალური წილადი რაციონალური განტოლებისთვის. როდესაც იგი ჩანაცვლებულია თავდაპირველ განტოლებაში, მიიღება გამოხატულება. ცხადია, აზრი არ აქვს, რადგან შეიცავს ნულზე გაყოფას. საიდანაც დავასკვნათ, რომ 0 არის უცხო ფესვი. ამრიგად, თავდაპირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

7 , რომელიც მივყავართ განტოლებამდე . აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მარცხენა მხარის მნიშვნელში გამოხატული უნდა იყოს ტოლი მარჯვენა მხრიდან, ანუ . ახლა გამოვაკლებთ სამეულის ორივე ნაწილს: . ანალოგიით, საიდან და შემდგომ.

შემოწმება აჩვენებს, რომ ორივე ნაპოვნი ფესვი არის თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები.

პასუხი:

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოზინა, 2009. - 215გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Ალგებრა:მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.