რასაც ალგებრული წილადის მნიშვნელობას უწოდებენ. Ძირითადი ცნებები

როდესაც მოსწავლე გადადის საშუალო სკოლაში, მათემატიკა იყოფა 2 საგანად: ალგებრა და გეომეტრია. სულ უფრო მეტი ცნებაა, ამოცანები რთულდება. ზოგიერთ ადამიანს უჭირს წილადების გაგება. გამოტოვეთ პირველი გაკვეთილი ამ თემაზე და ვოილა. წილადები? კითხვა, რომელიც მთელი სასკოლო ცხოვრების განმავლობაში იტანჯება.

ალგებრული წილადის ცნება

დავიწყოთ განმარტებით. ქვეშ ალგებრული წილადიგასაგებია P/Q გამონათქვამები, სადაც P არის მრიცხველი და Q არის მნიშვნელი. რიცხვი, რიცხვითი გამოხატულება, ციფრულ-ანბანური გამოხატულება შეიძლება დამალული იყოს ანბანური ჩანაწერის ქვეშ.

სანამ გაინტერესებთ როგორ ამოხსნათ ალგებრული წილადები, ჯერ უნდა გესმოდეთ, რომ ასეთი გამონათქვამი მთლიანობის ნაწილია.

როგორც წესი, მთელი არის 1. რიცხვი მნიშვნელში გვიჩვენებს, რამდენ ნაწილად იყო დაყოფილი ერთეული. მრიცხველი საჭიროა იმის გასარკვევად, თუ რამდენი ელემენტია აღებული. წილადი ზოლი შეესაბამება გაყოფის ნიშანს. ნებადართულია წილადური გამოსახულების ჩაწერა მათემატიკური ოპერაციით „გაყოფა“. ამ შემთხვევაში, მრიცხველი არის დივიდენდი, მნიშვნელი არის გამყოფი.

საერთო წილადების ძირითადი წესი

როდესაც მოსწავლეები გადიან ამ თემას სკოლაში, მათ აძლევენ მაგალითებს გასამყარებლად. მათი სწორად გადასაჭრელად და რთული სიტუაციებიდან გამოსვლის სხვადასხვა გზების მოსაძებნად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ წილადების ძირითადი თვისება.

ეს ასე ჟღერს: თუ მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც გაამრავლებთ იმავე რიცხვზე ან გამოსახულებაში (ნულის გარდა), მაშინ ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვლება. ამ წესის განსაკუთრებული შემთხვევაა გამოხატვის ორივე ნაწილის დაყოფა ერთსა და იმავე რიცხვად ან მრავალწევრად. ასეთ გარდაქმნებს იდენტური თანასწორობები ეწოდება.

ქვემოთ განვიხილავთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ალგებრული წილადების შეკრება და გამოკლება, შევასრულოთ წილადების გამრავლება, გაყოფა და შემცირება.

მათემატიკური მოქმედებები წილადებთან

განვიხილოთ, როგორ ამოხსნათ ალგებრული წილადის ძირითადი თვისება, როგორ გამოვიყენოთ იგი პრაქტიკაში. თუ საჭიროა ორი წილადის გამრავლება, მათი დამატება, ერთმანეთის გაყოფა ან გამოკლება, ყოველთვის უნდა დაიცვას წესები.

ასე რომ, შეკრებისა და გამოკლების მოქმედებისთვის უნდა მოიძებნოს დამატებითი ფაქტორი, რათა გამოსახულებები საერთო მნიშვნელამდე მივიტანოთ. თუ თავდაპირველად წილადები მოცემულია იგივე Q გამონათქვამებით, მაშინ თქვენ უნდა გამოტოვოთ ეს ელემენტი. როდესაც საერთო მნიშვნელი მოიძებნება, როგორ ამოხსნათ ალგებრული წილადები? მრიცხველების დამატება ან გამოკლება. მაგრამ! უნდა გვახსოვდეს, რომ თუ წილადის წინ არის "-" ნიშანი, მრიცხველში ყველა ნიშანი შებრუნებულია. ზოგჯერ თქვენ არ უნდა შეასრულოთ რაიმე ჩანაცვლება და მათემატიკური ოპერაციები. საკმარისია შეცვალოთ ნიშანი წილადის წინ.

ტერმინი ხშირად გამოიყენება როგორც წილადის შემცირება. ეს ნიშნავს შემდეგს: თუ მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა ერთობის გარდა სხვა გამოსახულებით (იგივე ორივე ნაწილისთვის), მაშინ მიიღება ახალი წილადი. დივიდენდი და გამყოფი უფრო მცირეა, ვიდრე ადრე, მაგრამ წილადების ძირითადი წესიდან გამომდინარე, ისინი თავდაპირველი მაგალითის ტოლი რჩება.

ამ ოპერაციის მიზანია ახალი შეუქცევადი გამოხატვის მიღება. ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფის შემცირებით. ოპერაციის ალგორითმი შედგება ორი წერტილისგან:

1. GCD-ის პოვნა წილადის ორივე ნაწილისთვის.
2. მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა ნაპოვნი გამოსახულებაზე და წინას ტოლი შეუქცევადი წილადის მიღება.

ქვემოთ მოყვანილი ცხრილი აჩვენებს ფორმულებს. მოხერხებულობისთვის შეგიძლიათ ამობეჭდოთ და თან წაიღოთ ნოუთბუქში. ამასთან, იმისათვის, რომ მომავალში, ტესტის ან გამოცდის ამოხსნისას, არ შეგექმნათ სირთულეები კითხვაზე, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ალგებრული წილადები, ეს ფორმულები ზეპირად უნდა ვისწავლოთ.

რამდენიმე მაგალითი გადაწყვეტილებებით

თეორიული თვალსაზრისით განიხილება კითხვა, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ალგებრული წილადები. სტატიაში მოცემული მაგალითები დაგეხმარებათ მასალის უკეთ გაგებაში.

1. გადააქციეთ წილადები და მიიტანეთ ისინი საერთო მნიშვნელამდე.

2. წილადების გადაქცევა და საერთო მნიშვნელამდე მიყვანა.

თეორიული ნაწილის შესწავლისა და პრაქტიკული საკითხების გათვალისწინების შემდეგ კითხვები აღარ უნდა გაჩნდეს.

ამ გაკვეთილზე განხილულია ალგებრული წილადის ცნება. ადამიანი წილადებს ხვდება უმარტივეს ცხოვრებისეულ სიტუაციებში: როცა საჭიროა საგნის რამდენიმე ნაწილად გაყოფა, მაგალითად, ტორტის გაჭრა ათ ადამიანზე თანაბრად. ცხადია, ყველა მიიღებს ნამცხვრის ნაჭერს. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვაწყდებით რიცხვითი წილადის კონცეფციას, მაგრამ შესაძლებელია სიტუაცია, როდესაც ობიექტი იყოფა ნაწილებად უცნობი რაოდენობით, მაგალითად, x-ით. ამ შემთხვევაში წარმოიქმნება წილადი გამოხატვის კონცეფცია. მე-7 კლასში თქვენ უკვე შეხვდით მთელი რიცხვების გამოსახულებებს (რომელიც არ შეიცავს ცვლადებით გამოსახულებებად დაყოფას) და მათ თვისებებს. შემდეგი, განვიხილავთ რაციონალური წილადის კონცეფციას, ასევე ცვლადების დასაშვებ მნიშვნელობებს.

Თემა:ალგებრული წილადები. არითმეტიკული მოქმედებები ალგებრულ წილადებზე

გაკვეთილი:Ძირითადი ცნებები

1. ალგებრული წილადების განმარტება და მაგალითები

რაციონალური გამონათქვამები იყოფა მთელი და წილადი გამოსახულებები.

განმარტება. რაციონალური წილადიარის ფორმის წილადი გამოხატულება, სადაც არის მრავალწევრები. - მრიცხველის მნიშვნელი.

მაგალითები რაციონალური გამონათქვამები:- წილადური გამოსახულებები; არის მთელი რიცხვები. პირველ გამოსახულებაში, მაგალითად, მრიცხველი არის , ხოლო მნიშვნელი არის .

მნიშვნელობა ალგებრული წილადი, როგორც ნებისმიერი ალგებრული გამოხატულება, დამოკიდებულია მასში შეტანილი ცვლადების რიცხვითი მნიშვნელობაზე. კერძოდ, პირველ მაგალითში წილადის მნიშვნელობა დამოკიდებულია ცვლადების მნიშვნელობებზე და, ხოლო მეორეში მხოლოდ ცვლადის მნიშვნელობაზე.

2. ალგებრული წილადისა და ორი ძირითადი ამოცანის მნიშვნელობის გამოთვლა წილადებზე

განვიხილოთ პირველი ტიპიური დავალება: ღირებულების გამოთვლა რაციონალური წილადიზე სხვადასხვა ღირებულებებიმასში შემავალი ცვლადები.

მაგალითი 1. გამოთვალეთ წილადის მნიშვნელობა a), b), c)

გამოსავალი. ჩაანაცვლეთ ცვლადების მნიშვნელობები მითითებულ წილადში: ა), ბ), გ) - არ არსებობს (რადგან ნულზე ვერ გაყოფთ).

პასუხი: 3; ერთი; არ არსებობს.

როგორც ვხედავთ, ორია ტიპიური ამოცანებინებისმიერი წილადისთვის: 1) წილადის გამოთვლა, 2) პოვნა მოქმედი და არასწორი მნიშვნელობებიპირდაპირი ცვლადები.

განმარტება. მოქმედი ცვლადი მნიშვნელობებიარის ცვლადების მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც გამოხატულებას აზრი აქვს. ცვლადების ყველა დასაშვები მნიშვნელობების ნაკრები ეწოდება ოძან დომენი.

3. ცვლადების დასაშვები (ODZ) და არასწორი მნიშვნელობები ფრაქციებში ერთი ცვლადით

ლიტერალური ცვლადების მნიშვნელობა შეიძლება იყოს არასწორი, თუ ამ მნიშვნელობებისთვის წილადის მნიშვნელი ნულია. ყველა სხვა შემთხვევაში, ცვლადების მნიშვნელობები მოქმედებს, რადგან ფრაქციის გამოთვლა შესაძლებელია.

მაგალითი 2. დაადგინეთ ცვლადის რომელ მნიშვნელობებზე წილადს აზრი არ აქვს.

გამოსავალი. იმისათვის, რომ ამ გამოთქმას აზრი ჰქონდეს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ წილადის მნიშვნელი არ იყოს ნულის ტოლი. ამრიგად, ცვლადის მხოლოდ ის მნიშვნელობები, რომელთა მნიშვნელი ნულის ტოლი იქნება, არასწორი იქნება. წილადის მნიშვნელი, ამიტომ ვხსნით წრფივ განტოლებას:

ამიტომ, ცვლადის მნიშვნელობისთვის წილადს აზრი არ აქვს.

მაგალითის ამოხსნიდან გამომდინარეობს ცვლადების არასწორი მნიშვნელობების პოვნის წესი - წილადის მნიშვნელი ნულის ტოლია და შესაბამისი განტოლების ფესვებია ნაპოვნი.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მსგავს მაგალითს.

მაგალითი 3. დაადგინეთ ცვლადის რომელ მნიშვნელობებში წილადს აზრი არ აქვს.

გამოსავალი. .

უპასუხე. .

მაგალითი 4. დაადგინეთ ცვლადის რომელ მნიშვნელობებში წილადს აზრი არ აქვს.

გამოსავალი..

არსებობს ამ პრობლემის სხვა ფორმულირებები - მოძებნა დომენიან სწორი გამოხატვის მნიშვნელობების დიაპაზონი (ODZ). ეს ნიშნავს - იპოვნეთ ცვლადების ყველა სწორი მნიშვნელობა. ჩვენს მაგალითში, ეს არის ყველა მნიშვნელობა გარდა. განსაზღვრების დომენი მოხერხებულად არის გამოსახული ციფრულ ღერძზე.

ამისათვის ჩვენ გამოვყოფთ მასზე წერტილს, როგორც ეს ნაჩვენებია ფიგურაში:

Ამგვარად, წილადის დომენიიქნება ყველა რიცხვი 3-ის გარდა.

მიპასუხე..

მაგალითი 5. დაადგინეთ ცვლადის რომელ მნიშვნელობებში წილადს აზრი არ აქვს.

გამოსავალი..

მოდით გამოვსახოთ მიღებული ამონახსნი რიცხვით ღერძზე:

მიპასუხე..

4. წილადებში ცვლადების დასაშვები (ODZ) ფართობის და არასწორი მნიშვნელობების გრაფიკული წარმოდგენა

მაგალითი 6. დაადგინეთ ცვლადების რომელ მნიშვნელობებში წილადს აზრი არ აქვს.

ამოხსნა.. მივიღეთ ორი ცვლადის ტოლობა, მოვიყვანთ რიცხვით მაგალითებს: ან და ა.შ.

მოდით გამოვსახოთ ეს ამონახსნი გრაფიკზე დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში:

ბრინჯი. 3. ფუნქციის გრაფიკი.

ამ გრაფიკზე მდებარე ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები არ შედის წილადის დასაშვები მნიშვნელობების არეალში.

უპასუხე. .

5. შემთხვევა, როგორიცაა "გაყოფა ნულზე"

განხილულ მაგალითებში აღმოვჩნდით სიტუაციის წინაშე, როდესაც მოხდა ნულზე გაყოფა. ახლა განიხილეთ შემთხვევა, როცა მეტია საინტერესო სიტუაციაგაყოფის ტიპით.

მაგალითი 7. დაადგინეთ ცვლადების რომელ მნიშვნელობებში წილადს აზრი არ აქვს.

გამოსავალი..

გამოდის რომ წილადს აზრი არ აქვს როცა . მაგრამ შეიძლება ითქვას, რომ ეს ასე არ არის, რადგან: .

შეიძლება ჩანდეს, რომ თუ საბოლოო გამოხატულება უდრის 8-ს, მაშინ ორიგინალური გამოხატულება ასევე შეიძლება გამოითვალოს და, შესაბამისად, აზრი აქვს . თუმცა, თუ მას ორიგინალურ გამონათქვამში ჩავანაცვლებთ, მივიღებთ - აზრი არ აქვს.

მიპასუხე..

ამ მაგალითის უფრო დეტალურად გასაგებად, ჩვენ ვხსნით შემდეგ პრობლემას: რა მნიშვნელობებისთვის არის მითითებული წილადი ნულის ტოლი?

(წილადი არის ნული, როცა მისი მრიცხველი ნულია) . მაგრამ აუცილებელია თავდაპირველი განტოლების ამოხსნა წილადით და ამას აზრი არ აქვს, რადგან ცვლადის ამ მნიშვნელობისას მნიშვნელი არის ნული. ასე რომ, ამ განტოლებას მხოლოდ ერთი ფესვი აქვს.

6. ოდზ-ის პოვნის წესი

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ ზუსტი წესი წილადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის მოსაძებნად: ვიპოვოთ ოძწილადებიაუცილებელია და საკმარისია მისი მნიშვნელის ნულის გათანაბრება და მიღებული განტოლების ფესვების პოვნა.

ჩვენ განვიხილეთ ორი ძირითადი ამოცანა: წილადის მნიშვნელობის გამოთვლაცვლადების მითითებული მნიშვნელობებისთვის და წილადის დასაშვები მნიშვნელობების ფართობის პოვნა.

ახლა განვიხილოთ კიდევ რამდენიმე პრობლემა, რომელიც შეიძლება წარმოიშვას წილადებთან მუშაობისას.

7. სხვადასხვა ამოცანები და დასკვნები

მაგალითი 8. დაამტკიცეთ, რომ ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის წილადი .

მტკიცებულება. მრიცხველი დადებითი რიცხვია. . შედეგად, მრიცხველიც და მნიშვნელიც დადებითი რიცხვებია, შესაბამისად, წილადიც დადებითი რიცხვია.

დადასტურებული.

მაგალითი 9. ცნობილია, რომ იპოვნეთ.

გამოსავალი. წილადის წევრი გავყოთ ნაწილებად. ჩვენ გვაქვს უფლება შევამციროთ, იმის გათვალისწინებით, თუ რა არის ცვლადის არასწორი მნიშვნელობა ამ წილადისთვის.

მიპასუხე..

ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილეთ წილადებთან დაკავშირებული ძირითადი ცნებები. შემდეგ გაკვეთილზე განვიხილავთ წილადის ძირითადი თვისება.

ბიბლიოგრაფია

1. ბაშმაკოვი M.I. ალგებრა მე-8 კლასი. - მ.: განმანათლებლობა, 2004 წ.

2. G. V. Dorofeev, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovich, et al., Algebra 8, 5th ed. - მ.: განათლება, 2010 წ.

3. ნიკოლსკი S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., შევკინ A. V. ალგებრა მე-8 კლასი. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის. - მ.: განმანათლებლობა, 2006 წ.

1. პედაგოგიური იდეების ფესტივალი.

2. ძველი სკოლა.

3. ინტერნეტ პორტალი lib2.podelise. ru.

Საშინაო დავალება

1. No 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. et al. Algebra 8. - მე-5 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2010 წ.

2. ჩამოწერეთ რაციონალური წილადი, რომლის სფეროა: ა) სიმრავლე, ბ) სიმრავლე, გ) მთელი რიცხვითი ღერძი.

3. დაამტკიცეთ, რომ ცვლადის ყველა დასაშვები მნიშვნელობისთვის წილადის მნიშვნელობა არაუარყოფითია.

4. იპოვეთ გამოხატვის ფარგლები. მინიშნება: განიხილეთ ორი შემთხვევა ცალ-ცალკე: როცა ქვედა წილადის მნიშვნელი ნულის ტოლია და როცა საწყისი წილადის მნიშვნელი ნულის ტოლია.

§ 42-ში ნათქვამია, რომ თუ მრავალწევრების გაყოფა სრულად შეუძლებელია, მაშინ კოეფიციენტი იწერება როგორც წილადი, რომელშიც დივიდენდი არის მრიცხველი და გამყოფი არის მნიშვნელი.

წილადური გამონათქვამების მაგალითები:

წილადი გამოსახულების მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება იყოს წილადური გამოსახულებები, მაგალითად:

წილადი ალგებრული გამონათქვამებიდან ხშირად უწევს საქმე მათთან, რომლებშიც მრიცხველი და მნიშვნელი პოლინომებია (კერძოდ, მონომები). თითოეულ ასეთ გამონათქვამს ალგებრული წილადი ეწოდება.

განმარტება. ალგებრულ გამონათქვამს, რომელიც არის წილადი, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავალწევრია, ალგებრული წილადი ეწოდება.

როგორც არითმეტიკაში, ალგებრული წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს წილადის ტერმინები ეწოდება.

სამომავლოდ, ალგებრულ წილადებზე მოქმედებების შესწავლის შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია ნებისმიერი წილადური გამოხატულება გადავიტანოთ იდენტური გარდაქმნების დახმარებით ალგებრულ წილადად.

ალგებრული წილადების მაგალითები:

გაითვალისწინეთ, რომ მთელი გამონათქვამი, ანუ მრავალწევრი, შეიძლება დაიწეროს წილადად, ამისათვის საკმარისია ამ გამოსახულების ჩაწერა მრიცხველში, ხოლო 1 მნიშვნელში. მაგალითად:

2. სწორი ასო მნიშვნელობები.

მხოლოდ მრიცხველში შემავალ ასოებს შეუძლიათ მიიღონ ნებისმიერი მნიშვნელობა (თუ არ არის დაწესებული დამატებითი შეზღუდვები პრობლემის მდგომარეობით).

მნიშვნელში შემავალი ასოებისთვის მოქმედებს მხოლოდ ის მნიშვნელობები, რომლებიც არ აქცევს მნიშვნელს ნულზე. მაშასადამე, შემდგომში ყოველთვის ვივარაუდებთ, რომ ალგებრული წილადის მნიშვნელი არ არის ნულის ტოლი.