平面上のどの線が方程式で与えられるかを決定します。 直線の方程式、平面上の直線の方程式の種類
公式（方程式）で与えられる関数を考えてみましょう
この関数、したがって式 (11) は、この関数のグラフである明確な線に平面上で対応します (図 20 を参照)。 関数グラフの定義から、この線は、座標が式 (11) を満たす平面の点のみで構成されることがわかります。
さあ
この関数のグラフである線は、座標が式 (12) を満たす平面の点のみで構成されます。 これは、点が指定された線上にある場合、その座標は式 (12) を満たすことを意味します。 点がこの線上にない場合、その座標は式 (12) を満たしません。
式 (12) は y に関して解かれます。 次の方程式のように、y に関して解決されていない x と y を含む方程式を考えてみましょう。
平面上のこの方程式、つまり座標原点を中心とし半径 2 に等しい円が線に対応していることを示しましょう。この方程式を次の形式に書き直してみましょう。
その左側は、原点からの点の距離の 2 乗です (§ 2、項目 2、式 3 を参照)。 式 (14) から、この距離の 2 乗は 4 であることがわかります。
これは、座標が式 (14)、したがって式 (13) を満たす点は原点から 2 の距離に位置することを意味します。
このような点の軌跡は、原点を中心とし半径 2 の円になります。この円は式 (13) に対応する直線になります。 その点のいずれかの座標は明らかに式 (13) を満たします。 点が見つかった円上にない場合、原点からの距離の二乗は 4 より大きいか小さいことになります。これは、そのような点の座標が式 (13) を満たさないことを意味します。
さて、一般的な場合で、次の方程式が与えられたとします。
その左側には、x と y を含む式があります。
意味。 式 (15) で定義される線は、その座標がこの式を満たす平面内の点の軌跡です。
これは、直線 L が式によって決定される場合、L の任意の点の座標はこの式を満たし、L の外側にある平面の任意の点の座標は式 (15) を満たさないことを意味します。
式 (15) は線方程式と呼ばれます
コメント。 方程式が直線を定義すると考えるべきではありません。 たとえば、方程式では直線が定義されていません。 実際、 と y の実数値については、この方程式の左側は正で右側はゼロに等しいため、この方程式は平面内のどの点の座標も満たすことはできません。
直線は、デカルト座標を含む方程式だけでなく、極座標の方程式によっても平面上に定義できます。 極座標の方程式によって定義される線は、極座標がこの方程式を満たす平面内の点の軌跡です。
例 1. にアルキメデス螺旋を作成します。
解決。 極角のいくつかの値と、それに対応する極半径の値の表を作成してみましょう。
極座標系に点を作成します。これは明らかに極と一致します。 次に、極軸に対してある角度で軸を描き、この軸上に正の座標を持つ点を構築します。その後、同様に極角と極半径の正の値を持つ点を構築します (これらの点の軸)は図 30 には示されていません）。
知られているように、平面上の任意の点は、ある座標系の 2 つの座標によって決定されます。 座標系は、基準と原点の選択によって異なる場合があります。
定義: 直線の方程式は、この直線を構成する点の座標間の関係 y = f(x) です。
直線方程式はパラメトリックな方法で表現できることに注意してください。つまり、各点の各座標は、何らかの独立したパラメータを通じて表現されます。 t。 典型的な例は、移動点の軌跡です。 この場合、時間がパラメータの役割を果たします。
さまざまな種類の直線の方程式
直線の一般方程式。
平面内の任意の直線は一次方程式で与えられます
ああ + 呉 + C = 0、
さらに、定数 A と B は同時にゼロに等しくありません。 A 2 + B 2 ¹ 0. この一次方程式を直線の一般方程式といいます。 .
価値観によっては 定数A、Bおよび C の場合、次の特殊なケースが考えられます。
C \u003d 0、A ¹ 0、B ¹ 0 - 線は原点を通過します
A \u003d 0、B ¹ 0、C ¹ 0 (By + C \u003d 0) - 線はOx軸に平行です
B \u003d 0、A ¹ 0、C ¹ 0 (Ax + C \u003d 0) - 線は Oy 軸に平行です
B \u003d C \u003d 0、A ¹ 0 - 直線は Oy 軸と一致します
A \u003d C \u003d 0、B ¹ 0 - 直線はOx軸と一致します
直線の方程式は次のように表すことができます。 様々な形態与えられた初期条件に応じて。
2 点を通る直線の方程式。
空間上に 2 つの点 M 1 (x 1, y 1, z 1) と M 2 (x 2, y 2, z 2) が与えられると、これらの点を通る直線の方程式は次のようになります。
いずれかの分母がゼロに等しい場合は、対応する分子をゼロに設定する必要があります。 上に書いた直線の方程式は平面上で簡略化されます。
x 1 ¹ x 2 および x \u003d x 1 の場合、x 1 \u003d x 2 の場合。
分数 = k は直線の傾きと呼ばれます。
点と傾きによる直線の方程式。
直線 Ax + Vy + C = 0 の一般方程式が次の形式になる場合:
と を表すと、結果として得られる方程式は、傾き k を持つ直線の方程式と呼ばれます。
セグメント内の直線の方程式。
直線の一般方程式 Ah + Vu + С = 0 С ¹ 0 の場合、-С で割ると次のようになります。
係数の幾何学的意味は次のとおりです。 あ直線と x 軸の交点の座標です。 b- 直線と Oy 軸の交点の座標。
直線の正規方程式。
方程式 Ax + Vy + C = 0 の両方の部分を正規化係数と呼ばれる数値で割ると、次のようになります。
xcosj + ysinj - p = 0 –
直線の正規方程式。
正規化係数の符号 ± は、m × С となるように選択する必要があります。< 0.
p は原点から直線に下ろした垂線の長さ、j はこの垂線と Ox 軸の正方向とのなす角度です。
平面上の線間の角度。
2 本の直線 y = k 1 x + b 1 、 y = k 2 x + b 2 が与えられた場合、これらの直線の間の鋭角は次のように定義されます。
k 1 = k 2 の場合、2 本の直線は平行になります。
k 1 = -1/k 2 の場合、2 本の直線は垂直になります。
定理。 係数A 1 \u003d lA、B 1 \u003d lbが比例する場合、直線Ax + Vy + C \u003d 0およびA 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0は平行になります。 C 1 = 1C の場合も、線は一致します。
2 本の直線の交点の座標は、2 つの方程式系の解として求められます。
点から線までの距離。
定理。 点 M(x 0, y 0) が指定された場合、線 Ax + Vy + C \u003d 0 までの距離は次のように定義されます。
講義5
分析の紹介。 1 変数の関数の微分計算。
機能制限
ある点における関数の限界。
0 a - D a a + D x
図 1. ある点における関数の限界。
関数 f(x) を点 x = a の近傍で定義するとします (つまり、点 x = a 自体では関数は定義されない可能性があります)。
意味。 数 A は、すべての x について次のような数 D>0 が存在する場合、x®a に対する関数 f(x) の極限と呼ばれます。
0 < ïx - aï < D
不等式 ïf(x) - Aï< e.
同じ定義を別の形式で記述することもできます。
-Dの場合< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
ある時点での関数の制限を書きます。
意味.
f(x) ® A 1 for x ® a は x のみ< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a の場合、それは右側の点 x = a における関数 f(x) の極限と呼ばれます。
上記の定義は、関数 f(x) が点 x = a 自体では定義されていないが、この点の任意の小さな近傍で定義されている場合を指します。
限界 A 1 および A 2 とも呼ばれます 一方的な 関数 f(x) の外側の点 x = a。 Aとも言われています 機能制限 f(x)。
平面上の直線の方程式。
知られているように、平面上の任意の点は、ある座標系の 2 つの座標によって決定されます。 座標系は、基準と原点の選択によって異なる場合があります。
意味。直線方程式比率と呼ばれます y=f(x ) この線を構成する点の座標の間。
直線方程式はパラメトリックな方法で表現できることに注意してください。つまり、各点の各座標は、何らかの独立したパラメータを通じて表現されます。t.
典型的な例は、移動点の軌跡です。 この場合、時間がパラメータの役割を果たします。
平面上の直線の方程式。
意味。 平面内の任意の直線は一次方程式で与えられます
ああ + 呉 + C = 0、
さらに、定数 A と B は同時にゼロに等しくありません。 A2+B2¹ 0. この一次方程式は次のように呼ばれます。 直線の一般方程式。
定数 A、B、C の値に応じて、次の特殊なケースが考えられます。
C = 0、A¹ 0、B¹ 0 - 線は原点を通過します
A = 0、B¹ 0、C¹ 0 ( By + C \u003d 0) - 直線はOx軸に平行です
B = 0、A¹ 0、C¹ 0 (Ax + C = 0) - Oy 軸に平行な直線
B \u003d C \u003d 0、A ¹ 0 - 線は Oy 軸と一致します
A = C = 0、B¹ 0 - 線は Ox 軸と一致します
直線の方程式は、与えられた初期条件に応じてさまざまな形で表すことができます。
点から線までの距離。
定理。 点 M(x 0, y 0) が指定された場合、線 Ax + Vy + C \u003d 0 までの距離は次のように定義されます。
.
証拠。 点 M 1 (x 1, y 1) を、点 M から所定の直線に下ろした垂線の底辺とする。 次に、点 M と M 1 の間の距離は次のようになります。
(1)
座標×1 y 1 は連立方程式の解として求められます。
システムの 2 番目の方程式は、所与の直線に垂直な所与の点 M 0 を通過する直線の方程式です。
システムの最初の方程式を次の形式に変換すると、次のようになります。
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0、
次に、解くと、次の結果が得られます:
これらの式を式 (1) に代入すると、次のことがわかります。
.
定理は証明されました。
例。線間の角度を決定します。 y=-3x+7; y = 2 x + 1。
K 1 \u003d -3; k 2 = 2tg j = ; j = p /4。
例。直線 3x - 5y + 7 = 0 と 10x + 6y - 3 = 0 が垂直であることを示します。
検索: k 1 = 3/5、k 2 = -5/3、k 1 k 2 = -1、したがって線は垂直になります。
例。三角形 A(0; 1) の頂点を考えると、 B(6;5)、C (12; -1)。 頂点 C から引かれた高さの方程式を求めます。
前回の記事では、平面上の直線についての要点を検討しました。 さて、直線の方程式の勉強に移りましょう。どの方程式が直線の方程式と言えるのか、そして直線の方程式が平面上でどのような形になるのかを考えてみましょう。
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平面上の直線の方程式の定義
直交デカルト座標系 O x y で与えられる直線があるとします。
定義 1
直線- これ 幾何学模様、ドットで構成されています。 各点は、横軸と縦軸に沿った独自の座標を持ちます。 デカルト系 O x y の直線の各点の座標の依存性を記述する方程式は、平面上の直線の方程式と呼ばれます。
実際、平面内の直線の方程式は、x と y で示される 2 つの変数を含む方程式です。 直線のいずれかの点の値がそれに代入されると、方程式は恒等式に変わります。
平面上の直線の方程式がどのような形になるかを見てみましょう。 これが記事の次のセクションの焦点です。 直線の方程式を記述するにはいくつかのオプションがあることに注意してください。 これは、平面上に直線を設定する方法がいくつかあることと、タスクの詳細が異なることによって説明されます。
デカルト座標系 O x y の平面上の直線の方程式の形式を定義する定理について学びましょう。
定理1
A x + B y + C = 0 という形式の方程式。ここで、x と y は変数、A、B、C は実数であり、A と B はゼロに等しくありません。この方程式は、次の直線を定義します。デカルト座標系 O xy 。 次に、平面上の任意の直線は、 A x + B y + C = 0 という形式の方程式で与えることができます。
したがって、平面内の直線の一般方程式は、 A x + B y + C = 0 の形式になります。
このトピックの重要な側面をいくつか説明しましょう。
例1
図面を見てください。
この線を構成する点の座標は上記の方程式を満たすため、図面内の線は 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 の形式の方程式によって決定されます。 同時に、方程式 2 x + 3 y - 2 = 0 で定義される平面内の特定の数の点により、図に示す直線が得られます。
直線の一般方程式は完全な場合もあれば、不完全な場合もあります。 完全な方程式では、すべての数値 A、B、C はゼロではありません。 それ以外の場合はすべて、方程式は不完全とみなされます。 A x + B y = 0 という形式の方程式は、原点を通過する直線を定義します。 A がゼロの場合、方程式 A x + B y + C = 0 は、x 軸 O x に平行な直線を定義します。 B がゼロに等しい場合、線は縦軸 O y に平行です。
結論: 数値 A、B、C の特定の値のセットについて、直線の一般方程式を使用すると、直交座標系 O x y の平面上に任意の直線を書くことができます。
A x + B y + C = 0 という形式の方程式で与えられる直線には、座標 A 、 B を持つ法線ベクトルがあります。
以下で検討するすべての与えられた直線の方程式は、一般的な直線の方程式から取得できます。 考慮された方程式のいずれかが直線の一般方程式に帰着できる場合には、逆のプロセスも可能です。
「直線の一般方程式」という記事で、このトピックのニュアンスをすべて理解することができます。 この資料では、グラフィックイラストと例の詳細な分析を使用して定理の証明を提供します。 直線の一般方程式から他のタイプの方程式への遷移、またはその逆の遷移に特に注意が払われます。
セグメント内の直線の方程式は x a + y b = 1 という形式になります。ここで、a と b はゼロに等しくない実数です。 数値aとbの絶対値は、座標軸上の直線で切った線分の長さに等しい。 セグメントの長さは、座標の原点から測定されます。
この方程式のおかげで、図面上に簡単に直線を引くことができます。 これを行うには、直交座標系で点 a, 0 と点 0, b をマークし、それらを直線で結ぶ必要があります。
例 2
式 x 3 + y - 5 2 = 1 で与えられる直線を作成しましょう。 グラフ上の 2 つの点 3 、 0 、 0 、 - 5 2 をマークし、それらを接続します。
これらの方程式は y = k · x + b の形式を持ち、代数学の過程でよく知られているはずです。 ここで、x と y は変数、k と b は実数で、k は傾きです。 これらの方程式では、変数 y は引数 x の関数です。
軸 O x の正の方向に対する直線の傾斜角の定義を通じて、傾きの定義を与えましょう。
定義 2
デカルト座標系の軸 O x の正の方向に対する直線の傾斜角度を示すために、角度 α の値を導入します。 角度は、x 軸の正の方向から直線まで反時計回りに測定されます。 線が O x 軸に平行であるか、O x 軸と一致する場合、角度 α はゼロに等しいと見なされます。
直線の傾きは、その直線の傾きの接線です。 k = t g α と書きます。 軸 O y に平行または一致する直線の場合、この場合の傾きは無限大になる (存在しない) ため、傾きのある直線の方程式を書くことはできません。
方程式 y = k x + b で与えられる直線は、y 軸上の点 0, b を通過します。 これは、傾き y \u003d k x + b の直線の方程式が、点 0、b を通過し、O x 軸の正の方向と角度 α を形成する平面上に直線を設定し、k であることを意味します。 \u003d t g α。
例 3
y = 3 · x - 1 の形式の方程式で定義される直線を描きましょう。
この線は点 (0 , - 1) を通過する必要があります。 傾斜角 α = a r c t g 3 = π 3 は、O x 軸の正の方向に対して 60 度に等しくなります。 勾配は 3
傾きのある直線の方程式を使用すると、ある点における関数のグラフの接線の方程式を見つけるのに非常に便利であることに注意してください。
このトピックに関する詳細については、記事「傾きのある線の方程式」を参照してください。 理論に加えて、多数の図例とタスクの詳細な分析が含まれています。
このタイプの方程式の形式は、x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y です。ここで、x 1、y 1、a x、a y は実数であり、そのうち a x と a y はゼロに等しくありません。
直線の正準方程式で与えられる直線は、点Ｍ １ （ｘ １ ，ｙ １ ）を通過する。 分数の分母の数値 a x と a y は、直線の方向ベクトルの座標です。 これは、デカルト座標系 O xy における直線 x - x 1 a x = y - y 1 a y の正準方程式が、点 M 1 (x 1 , y 1) を通り、方向ベクトルを持つ直線に対応することを意味します。 a → = (a x , a y) 。
例 4
O xy 座標系に直線を描きます。これは方程式 x - 2 3 = y - 3 1 で与えられます。 点 M 1 (2, 3) は直線に属し、ベクトル a → (3, 1) はこの直線の方向ベクトルです。
x - x 1 a x = y - y 1 a y の形式の正準直線方程式は、a x または y がゼロの場合に使用できます。 分母にゼロが存在すると、x - x 1 a x = y - y 1 a y という表記が条件付きになります。 この方程式は、 a y (x - x 1) = a x (y - y 1) のように書くことができます。
x \u003d 0の場合、直線の正準方程式はx - x 1 0 \u003d y - y 1 a yの形式をとり、縦軸に平行またはこの軸と一致する直線を設定します。
直線の正準方程式は、a y \u003d 0の場合、x - x 1 a x \u003d y - y 1 0の形式になります。 このような方程式は、x 軸に平行な直線、または x 軸と一致する直線を定義します。
直線の正準方程式のトピックに関する詳細については、ここを参照してください。 この記事では、問題に対する多数の解決策と、このトピックをよりよく理解できるようにするための多数の例を提供します。
平面上の直線のパラメトリック方程式
これらの方程式の形式は、x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λです。ここで、x 1、y 1、a x、a y は実数であり、そのうちの a x と a y は同時にゼロに等しくなりません。時間。 追加のパラメータ λ が式に導入され、任意の実数値を取ることができます。
パラメトリック方程式の目的は、直線の点の座標間の暗黙の関係を確立することです。 このために、パラメータ λ が導入されます。
数値 x 、 y は、線上のある点の座標です。 これらは、パラメータ λ の実数値に対する直線のパラメトリック方程式によって計算されます。
例5
λ = 0 と仮定しましょう。
次に、x \u003d x 1 + a x 0 y \u003d y 1 + a y 0 ⇔ x \u003d x 1 y \u003d y 1、つまり、座標（x 1、y 1）の点は線に属します。
このタイプの方程式のパラメーター λ を持つ係数 a x および a y は、直線の方向ベクトルの座標であるという事実に注意してください。
例6
x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ の形式のパラメトリック直線方程式を考えてみましょう。 デカルト座標系の方程式で与えられる直線は点 (x 1 , y 1) を通過し、方向ベクトル a → = (3 , 1) を持ちます。
詳細については、「平面上の直線のパラメトリック方程式」の記事を参照してください。
直線の正規方程式は、 A x + B y + C = 0 の形式になります。ここで、数値 A、B、および C は、ベクトル n → = (A , B) の長さが 1 に等しくなるような値です。 、および C ≤ 0 です。
直交座標系 O x y の直線の正規方程式によって与えられる線の法線ベクトルは、ベクトル n → = (A , B) です。 この直線は、原点からベクトル n → = (A , B) の方向に距離 C のところを通過します。
直線の正規方程式を書く別の方法は、cos α x + cos β y - p = 0 です。ここで、cos α と cos β は、直線の単位長さの法線ベクトルの方向余弦である 2 つの実数です。 これは、 n → = (cos α , cos β) 、等式 n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 が真であり、値 p ≥ 0 であり、原点から直線までの距離に等しいことを意味します。
例 7
直線の一般方程式 - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0 を考えてみましょう。 n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 および C = - 3 ≤ 0 であるため、この直線の一般方程式は直線の正規方程式です。
この方程式は、デカルト座標系 0xy の直線を定義し、その法線ベクトルの座標は - 1 2 , 3 2 です。 ラインは原点から法線ベクトル n → = - 1 2 , 3 2 の方向に 3 単位だけ削除されます。
平面上の直線の正規方程式を使用すると、点から平面上の直線までの距離を求めることができるという事実に注意してください。
直線A x + B y + C \u003d 0の一般方程式において、数値A、B、およびCが、方程式A x + B y + C \u003d 0が直線の正規方程式ではないような場合、次のようになります。通常の形に縮小することができます。 これについては、「直線の正規方程式」の記事を参照してください。
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形の関係を考える F(x, y)=0変数をリンクする バツと で。 等式 (1) が呼び出されます 2 つの変数 x、y、を含む方程式この等価性がすべての数値のペアに当てはまらない場合 バツと で。 方程式の例: 2x + 3y \u003d 0、x 2 + y 2 - 25 \u003d 0、
sin x + sin y - 1 = 0。
(1) が数値 x と y のすべてのペアに対して真である場合、それは呼び出されます。 身元。 アイデンティティの例: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0、(x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0。
式(1)が呼び出されます。 点の集合の方程式 (x; y)、この式が座標によって満たされる場合 バツと で集合の任意の点の座標を満たさず、この集合に属さない点の座標を満たさない。
解析幾何学の重要な概念は、直線の方程式の概念です。 直交座標系といくつかの直線を考えてみましょう α.
意味。式(1)は線方程式と呼ばれます α
(作成された座標系で) この式が座標によって満たされる場合 バツと で線上の任意の点 α
、この線上にない点の座標は満たしません。
(1) が直線方程式の場合 α, そうすると、式 (1) と言えます。 決定する（設定する）ライン α.
ライン α は、(1) の形の方程式だけでなく、次の形の方程式でも求めることができます。
F(P, φ) = 0、極座標を含みます。
- 傾きのある直線の方程式。
軸に垂直ではない直線を与えましょう おお。 電話しましょう 傾斜角軸に与えられた線 おおコーナー α 軸を回転させるために使用します おお正の方向が直線のいずれかの方向と一致するようにします。 軸に対する直線の傾斜角の接線 おお呼ばれた スロープファクターこの直線は文字で表されます に.
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この直線がわかっていれば、この直線の方程式を導き出します。 にそしてセグメント内の値 OV、彼女は軸上でそれを切り取ります OU.
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式(2)は次のように呼ばれます。 傾きのある直線の方程式。もしも K=0の場合、線は軸に平行になります。 おおそしてその方程式は y = b。
- 2 点を通る直線の方程式。
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。 これは次の方程式です y 1 ≠ y 2、次のように記述できます。 もしも y 1 = y 2の場合、目的の直線の方程式は次の形式になります。 y = y 1。 この場合、線は軸に平行です おお。 もしも × 1 = × 2、次に点を通る線 M1と M2、軸に平行 OU、その方程式は次の形式になります。 x = x 1.
- 指定された点を指定された傾きで通過する直線の方程式。
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逆に、任意の係数の場合は式 (5) A、B、C (あと B≠0同時に) 直交座標系の線を定義します ああ。
証拠。
まず最初の主張を証明しましょう。 線が垂直でない場合 おお、次に、次の 1 次方程式によって決定されます。 y = kx + b、つまり (5) の形式の方程式、ここで
A=k、B=-1と C = b.線が垂直の場合 おお、その場合、そのすべての点の横軸は値と同じになります。 α 軸上の直線で切り取られたセグメント おお。
この直線の方程式は次の形式になります。 x = α、それらの。 も (5) の形式の 1 次方程式です。 A \u003d 1、B \u003d 0、C \u003d - α。これは最初の主張を証明します。
証明しましょう 逆ステートメント。 式 (5) が与えられ、少なくとも 1 つの係数が与えられるとします。 あと B≠0.
もしも B≠0とすると、(5) は次のように書けます。 傾斜している 
、方程式が得られます y = kx + b、つまり 直線を定義する形式 (2) の方程式。
もしも B = 0、 それか A≠0(5) の形式は です。 を通してを表す α, 我々が得る
x = α、つまり Ox に垂直な直線の方程式。
直交座標系内で 1 次方程式によって定義された線をと呼びます。 最初の注文ライン。
型方程式 ああ + 呉 + C = 0不完全です、つまり 係数の 1 つはゼロに等しい。
1) C = 0; ああ + 呉 = 0そして原点を通る直線を定義します。
2) B = 0 (A ≠ 0); 方程式 斧 + C = 0 おう。
3) A = 0 (B ≠ 0); ウー + C = 0平行線を定義します おお。
式 (6) は、「セグメント内の」直線の方程式と呼ばれます。 数字 あと b座標軸上で直線が切り取る線分の値です。 この方程式の形式は、直線の幾何学的構成に便利です。
- 直線の正規方程式。
Аx + Вy + С = 0 はある直線の一般方程式であり、(5) バツコス α + y sin α – p = 0(7)
その正規方程式。
式 (5) と (7) は同じ直線を定義するため、( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0と
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) これらの方程式の係数は比例します。 これは、方程式 (5) のすべての項に係数 M を乗算すると、次の方程式が得られることを意味します。 MA x + MB y + MS = 0、式 (7) と一致します。
MA = cos α、MB = sin α、MC = -P(8)
M 係数を見つけるには、これらの等式の最初の 2 つを二乗し、次を加算します。
M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α \u003d 1
(9)