http//:www.svkspb.nm.ru

Karakteristik geometris bagian datar

Persegi: , dF - platform dasar.

Momen statis suatu elemen luasdF relatif terhadap sumbu 0x
- hasil kali elemen luas dengan jarak "y" dari sumbu 0x: dS x = ydF

Setelah menjumlahkan (mengintegrasikan) produk-produk tersebut di seluruh area gambar, kami memperoleh momen statis relatif terhadap sumbu y dan x:
;
[cm 3, m 3, dst.].

Koordinat pusat gravitasi:
. Momen statis itu relatif sumbu pusat(sumbu yang melalui pusat gravitasi bagian tersebut) sama dengan nol. Saat menghitung momen statis suatu bangun kompleks, ia dibagi menjadi bagian-bagian sederhana, dengan luas yang diketahui F i dan koordinat pusat gravitasi x i, y i. Momen statis luas seluruh bangun = jumlah dari momen statis setiap bagiannya:
.

Koordinat pusat gravitasi bangun kompleks:

M
Bagian momen inersia

Aksial(khatulistiwa) momen inersia bagian- jumlah hasil kali luas dasar dF dengan kuadrat jaraknya ke sumbu.

;
[cm 4, m 4, dst.].

Momen inersia kutub suatu penampang terhadap suatu titik (kutub) tertentu adalah jumlah hasil kali luas dasar dengan kuadrat jaraknya dari titik tersebut.
; [cm 4, m 4, dst.]. J y + J x = J p .

Momen inersia sentrifugal bagian tersebut- jumlah hasil kali luas dasar dan jaraknya dari dua sumbu yang saling tegak lurus.
.

Momen inersia sentrifugal suatu penampang terhadap sumbu-sumbu yang salah satu atau kedua-duanya berimpit dengan sumbu simetri adalah nol.

Momen inersia aksial dan polar selalu positif; momen inersia sentrifugal bisa positif, negatif, atau nol.

Momen inersia suatu bangun kompleks sama dengan jumlah momen inersia bagian-bagian penyusunnya.

Momen inersia suatu bagian yang bentuknya sederhana

P
bagian persegi panjang Lingkaran

KE


cincin

T
segi tiga

R
isofemoral

Persegi panjang

T
segi tiga

H seperempat lingkaran

J y =J x =0,055R 4

J xy =0,0165R 4

pada Gambar. (-)

Setengah lingkaran

M

Momen inersia profil standar ditemukan dari tabel bermacam-macam:

D
vutavr Saluran Sudut

M

Momen inersia terhadap sumbu sejajar:

J x1 =J x + a 2 F;

J y1 =J y + b 2 F;

momen inersia terhadap suatu sumbu sama dengan momen inersia terhadap sumbu pusat yang sejajar dengan sumbu tertentu, ditambah hasil kali luas gambar dan kuadrat jarak antara sumbu. J y1x1 =J yx + abF; (“a” dan “b” diganti ke dalam rumus dengan memperhatikan tandanya).

Ketergantungan antara momen inersia saat memutar sumbu:

J x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Sudut >0, jika peralihan dari sistem koordinat lama ke sistem koordinat baru terjadi berlawanan arah jarum jam. J y1 + J x1 = J y + J x

Nilai momen inersia ekstrim (maksimum dan minimum) disebut momen inersia utama. Sumbu yang momen inersia aksialnya mempunyai nilai ekstrem disebut sumbu utama inersia. Sumbu inersia utama saling tegak lurus. Momen inersia sentrifugal terhadap sumbu utama = 0, yaitu sumbu inersia utama - sumbu yang momen inersia sentrifugalnya = 0. Jika salah satu sumbu berimpit atau keduanya berimpit dengan sumbu simetri, maka sumbu tersebut adalah sumbu utama. Sudut yang menentukan posisi sumbu utama:
, jika  0 >0  sumbu berputar berlawanan arah jarum jam. Sumbu maksimum selalu membentuk sudut yang lebih kecil dengan sumbu-sumbu yang momen inersianya lebih besar. Sumbu utama yang melalui pusat gravitasi disebut sumbu pusat utama inersia. Momen inersia terhadap sumbu berikut:

J maks + J menit = J x + J y . Momen inersia sentrifugal terhadap sumbu pusat utama inersia adalah 0. Jika momen inersia utama diketahui, maka rumus peralihan ke sumbu putar adalah:

J x1 =J maks cos 2  + J min sin 2 ; J y1 =J maks cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J maks - J menit)sin2;

Tujuan akhir penghitungan karakteristik geometri suatu penampang adalah untuk menentukan momen sentral utama inersia dan posisi sumbu pusat utama inersia. R radius inersia -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Jika J x dan J y adalah momen inersia utama, maka i x dan i y - jari-jari inersia utama. Elips yang dibangun pada jari-jari inersia utama seperti pada sumbu semi disebut elips inersia. Dengan menggunakan elips inersia, secara grafis Anda dapat mencari jari-jari inersia i x1 untuk sembarang sumbu x1. Untuk melakukan ini, Anda perlu menggambar garis singgung elips, sejajar dengan sumbu x1, dan mengukur jarak dari sumbu ini ke garis singgung. Mengetahui jari-jari inersia, Anda dapat mencari momen inersia suatu penampang terhadap sumbu x 1:
. Untuk bagian yang sumbu simetrinya lebih dari dua (misalnya: lingkaran, persegi, cincin, dan lain-lain), momen inersia aksial terhadap semua sumbu pusat sama besar, J xy = 0, elips inersia berubah menjadi a lingkaran inersia.

Saat-saat perlawanan.

Momen resistensi aksial- perbandingan momen inersia terhadap sumbu dengan jaraknya ke titik terjauh pada penampang.
[cm 3, m 3]

Yang paling penting adalah momen resistensi terhadap sumbu pusat utama:

persegi panjang:
; lingkaran: W x =W y =
,

bagian tabung (cincin): W x =W y =
, dimana = d N /d B .

Momen resistensi kutub - rasio momen inersia kutub dengan jarak dari kutub ke titik terjauh dari bagian tersebut:
.

Untuk lingkaran W p =
.

Momen inersia aksial (atau ekuator) suatu penampang terhadap sumbu tertentu adalah jumlah hasil kali luas dasar yang diambil seluruh luasnya F dengan kuadrat jaraknya dari sumbu tersebut, yaitu.

Momen inersia kutub suatu penampang relatif terhadap suatu titik (kutub) tertentu adalah jumlah hasil kali luas dasar yang diambil seluruh luasnya F dengan kuadrat jaraknya dari titik tersebut, yaitu.

Momen inersia sentrifugal suatu penampang terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus adalah jumlah hasil kali luas dasar yang diambil seluruh luasnya F dan jaraknya dari sumbu tersebut, yaitu.

Momen inersia dinyatakan dalam, dan seterusnya.

Momen inersia aksial dan kutub selalu positif, karena ekspresi mereka di bawah tanda integral mencakup nilai luas (selalu positif) dan kuadrat jarak luas tersebut dari sumbu atau kutub tertentu.

Pada Gambar. 9.5, a menunjukkan bagian dengan luas F dan menunjukkan sumbu y dan z. Momen inersia aksial bagian ini relatif terhadap sumbu y:

Jumlah momen inersia tersebut

dan maka dari itu

Jadi, jumlah momen inersia aksial suatu penampang relatif terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus sama dengan momen inersia polar penampang tersebut relatif terhadap titik potong sumbu-sumbu tersebut.

Momen inersia sentrifugal dapat bernilai positif, negatif, atau nol. Misalnya, momen inersia sentrifugal dari bagian yang ditunjukkan pada Gambar. 9.5, a, relatif terhadap y dan sumbu adalah positif, karena untuk bagian utama bagian ini, yang terletak di kuadran pertama, nilai , dan karenanya, adalah positif.

Jika Anda mengubah arah positif sumbu y atau berlawanan arah (Gbr. 9.5, b) atau memutar kedua sumbu tersebut sebesar 90° (Gbr. 9.5, c), maka momen inersia sentrifugal akan menjadi negatif (nya nilai absolutnya tidak akan berubah), karena bagian utama dari bagian tersebut kemudian akan ditempatkan pada kuadran yang koordinat y positif dan koordinat z negatif. Jika arah positif kedua sumbu diubah ke arah sebaliknya, hal ini tidak akan mengubah tanda maupun besar momen inersia sentrifugal.

Mari kita perhatikan suatu bangun datar yang simetris terhadap satu sumbu atau lebih (Gbr. 10.5). Mari kita menggambar sumbu-sumbunya sehingga setidaknya salah satu sumbunya (dalam hal ini, sumbu y) berimpit dengan sumbu simetri gambar tersebut. Dalam hal ini, setiap platform yang terletak di sebelah kanan sumbu berhubungan dengan platform yang sama yang terletak secara simetris dengan yang pertama, tetapi di sebelah kiri sumbu y. Momen inersia sentrifugal setiap pasangan platform yang letaknya simetris tersebut adalah:

Karena itu,

Jadi, momen inersia sentrifugal suatu penampang terhadap sumbu-sumbu yang salah satu atau kedua-duanya berimpit dengan sumbu simetrinya adalah nol.

Momen inersia aksial suatu bagian kompleks terhadap sumbu tertentu sama dengan jumlah momen inersia aksial bagian-bagian penyusunnya terhadap sumbu yang sama.

Demikian pula, momen inersia sentrifugal suatu bagian kompleks terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus sama dengan jumlah momen inersia sentrifugal bagian-bagian penyusunnya terhadap sumbu yang sama. Selain itu, momen inersia polar suatu bagian kompleks terhadap suatu titik tertentu sama dengan jumlah momen inersia polar bagian-bagian penyusunnya terhadap titik yang sama.

Perlu diingat bahwa momen inersia yang dihitung terhadap sumbu dan titik yang berbeda tidak dapat dijumlahkan.

Saat memeriksa kekuatan bagian-bagian struktur, kita harus menemukan bagian-bagian dengan bentuk yang agak rumit, yang tidak mungkin menghitung momen inersia dengan cara sederhana seperti yang kita gunakan untuk persegi panjang dan lingkaran.

Bagian tersebut dapat berupa, misalnya, batang berbentuk T (Gbr. 5 A) bagian melingkar dari pipa yang mengalami pembengkokan (struktur pesawat) (Gbr. 5, B), bagian melingkar dari jurnal poros atau bahkan bagian yang lebih kompleks. Semua bagian ini dapat dibagi menjadi yang sederhana, seperti persegi panjang, segitiga, lingkaran, dll. Dapat ditunjukkan bahwa momen inersia suatu bangun kompleks adalah jumlah momen inersia bagian-bagian yang kita bagi.

Gambar.5. Bagian tipe T - a) dan ring b)

Diketahui momen inersia suatu bangun relatif terhadap sumbunya pada— pada sama dengan:

Di mana z— jarak bantalan dasar ke sumbu pada—pada.

Mari kita bagi luas yang diambil menjadi empat bagian: , , dan . Sekarang, saat menghitung momen inersia, Anda dapat mengelompokkan suku-suku dalam fungsi integran sehingga dapat melakukan penjumlahan secara terpisah untuk masing-masing dari empat luas yang dipilih, lalu menjumlahkan jumlah tersebut. Hal ini tidak akan mengubah nilai integral.

Integral kita akan dibagi menjadi empat integral, yang masing-masing mencakup salah satu area, , dan:

Masing-masing integral ini mewakili momen inersia bagian luas yang bersesuaian terhadap sumbu pada— pada; Itu sebabnya

dimana adalah momen inersia terhadap sumbu pada — pada area, - sama untuk area, dll.

Hasil yang diperoleh dapat dirumuskan sebagai berikut: momen inersia suatu bangun kompleks sama dengan jumlah momen inersia bagian-bagian penyusunnya. Oleh karena itu, kita harus mampu menghitung momen inersia suatu bangun datar terhadap sumbu apa pun yang terletak pada bidangnya.

Solusi untuk masalah ini terletak pada isi wawancara ini dan dua wawancara berikutnya.

Momen inersia terhadap sumbu sejajar.

Tugas mendapatkan rumus paling sederhana untuk menghitung momen inersia suatu bangun relatif terhadap sumbu apa pun akan diselesaikan dalam beberapa langkah. Jika kita mengambil deretan sumbu yang sejajar satu sama lain, ternyata kita dapat dengan mudah menghitung momen inersia suatu bangun terhadap salah satu sumbu tersebut, dengan mengetahui momen inersianya terhadap sumbu yang melalui pusat gravitasi bangun tersebut. sejajar dengan sumbu yang dipilih.

Gambar.1. Model perhitungan untuk menentukan momen inersia sumbu sejajar.

Kita akan menyebut sumbu yang melewati pusat gravitasi sumbu pusat. Mari kita ambil (Gbr. 1) angka arbitrer. Mari menggambar poros tengahnya kamu, kita sebut momen inersia terhadap sumbu ini . Mari kita menggambar sumbu pada bidang gambar paralel sumbu pada pada jarak yang jauh darinya. Mari kita cari hubungan antara dan - momen inersia terhadap sumbu. Untuk melakukan ini, kita akan menulis ekspresi untuk dan . Mari kita bagi luas gambar menjadi beberapa area; jarak masing-masing platform tersebut ke sumbu pada dan mari kita menelepon dan . Kemudian

Dari Gambar 1 kita memiliki:

Integral pertama dari ketiga integral ini adalah momen inersia terhadap sumbu pusat kamu. Yang kedua adalah momen statis terhadap sumbu yang sama; itu sama dengan nol, karena sumbu pada melewati pusat gravitasi gambar tersebut. Terakhir, integral ketiga sama dengan luas gambar F. Dengan demikian,

(1)

yaitu, momen inersia terhadap suatu sumbu sama dengan momen inersia terhadap sumbu pusat yang sejajar dengan sumbu tertentu, ditambah hasil kali luas gambar dan kuadrat jarak antara sumbu.

Artinya, tugas kita kini direduksi menjadi menghitung momen inersia sentral saja; jika kita mengetahuinya, kita dapat menghitung momen inersia terhadap sumbu lainnya. Dari rumus (1) berikut ini pusat momen inersia adalah Terkecil antara momen inersia terhadap sumbu sejajar dan untuk itu kita peroleh:

Mari kita cari juga momen inersia sentrifugal terhadap sumbu yang sejajar dengan sumbu pusat, jika diketahui (Gbr. 1). Sejak menurut definisi

dimana: , maka berikut ini

Karena dua integral terakhir mewakili momen statis luas terhadap sumbu pusat kamu Dan Ons kemudian mereka menghilang dan, oleh karena itu:

(2)

Momen inersia sentrifugal terhadap sistem sumbu yang saling tegak lurus sejajar dengan sumbu pusat sama dengan momen inersia sentrifugal terhadap sumbu pusat tersebut ditambah hasil kali luas gambar dan koordinat pusat gravitasinya. relatif terhadap sumbu baru.

Hubungan momen inersia saat memutar sumbu.

Anda dapat menggambar sumbu pusat sebanyak yang Anda suka. Timbul pertanyaan apakah mungkin untuk menyatakan momen inersia terhadap suatu sumbu pusat tergantung pada momen inersia terhadap satu atau dua sumbu. yakin sumbu. Untuk melakukannya, mari kita lihat bagaimana momen inersia terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus akan berubah ketika diputar membentuk suatu sudut.

Mari kita ambil sebuah gambar dan gambarkan melalui pusat gravitasinya TENTANG dua sumbu yang saling tegak lurus kamu Dan Ons(Gbr.2).

Gambar.2. Model perhitungan untuk menentukan momen inersia sumbu putar.

Marilah kita mengetahui momen inersia aksial terhadap sumbu-sumbu ini, serta momen inersia sentrifugal. Mari kita menggambar sistem sumbu koordinat kedua dan miring ke sumbu pertama; kita akan mempertimbangkan arah positif sudut ini ketika memutar sumbu di sekitar titik TENTANG berlawanan arah jarum jam. Asal TENTANG menyimpan. Mari kita nyatakan momen relatif terhadap sistem kedua sumbu koordinat dan , melalui momen inersia dan .

Mari kita tuliskan persamaan momen inersia terhadap sumbu berikut:

Juga:

Untuk menyelesaikan soal, Anda mungkin memerlukan rumus transisi dari satu sumbu ke sumbu lainnya untuk momen inersia sentrifugal. Saat memutar sumbu (Gbr. 2) kita mendapatkan:

dimana dan dihitung menggunakan rumus (14.10); Kemudian

Setelah transformasi kita mendapatkan:

(7)

Jadi, untuk menghitung momen inersia terhadap suatu sumbu pusat, Anda perlu mengetahui momen inersia terhadap sistem dua sumbu pusat yang saling tegak lurus. kamu Dan Ons, momen inersia sentrifugal relatif terhadap sumbu yang sama dan sudut kemiringan sumbu terhadap sumbu pada.

Untuk menghitung nilai >, Anda harus memilih sumbu seperti ini pada Dan z dan membagi luas gambar menjadi bagian-bagian komponen sedemikian rupa sehingga dapat membuat perhitungan ini, hanya dengan menggunakan rumus peralihan dari sumbu pusat masing-masing bagian komponen ke sumbu yang sejajar dengannya. Cara melakukan ini dalam praktiknya akan ditunjukkan di bawah ini dengan menggunakan sebuah contoh. Perhatikan bahwa dalam perhitungan ini, bangun-bangun kompleks harus dibagi menjadi bagian-bagian dasar yang, jika memungkinkan, nilai momen inersia sentral relatif terhadap sistem sumbu yang saling tegak lurus diketahui.

Perhatikan bahwa kemajuan penurunan dan hasil yang diperoleh tidak akan berubah jika asal koordinat diambil bukan pada pusat gravitasi bagian tersebut, tetapi pada titik lain mana pun. TENTANG. Jadi, rumus (6) dan (7) adalah rumus peralihan dari satu sistem sumbu yang saling tegak lurus ke sistem sumbu lainnya, diputar dengan sudut tertentu, terlepas dari apakah sumbu tersebut merupakan sumbu pusat atau bukan.

Dari rumus (6) dapat diperoleh hubungan lain antara momen inersia ketika memutar sumbu. Menambahkan ekspresi untuk dan kita dapatkan

yaitu jumlah momen inersia terhadap sumbu yang saling tegak lurus pada Dan z tidak berubah ketika diputar. Mengganti ekspresi terakhir dan nilainya, kita mendapatkan:

di mana jarak situs dF dari titik TENTANG. Besarannya, seperti yang telah diketahui, adalah momen inersia kutub suatu penampang relatif terhadap suatu titik TENTANG.

Jadi, momen inersia kutub suatu penampang terhadap suatu titik sama dengan jumlah momen inersia aksial terhadap sumbu-sumbu yang saling tegak lurus yang melalui titik tersebut. Oleh karena itu, jumlah ini tetap konstan ketika sumbu diputar. Ketergantungan ini (14.16) dapat digunakan untuk menyederhanakan penghitungan momen inersia.

Jadi, untuk sebuah lingkaran:

Karena menurut simetri untuk lingkaran maka

yang diperoleh di atas melalui integrasi.

Demikian pula, untuk bagian annular berdinding tipis dapat diperoleh:

Sumbu utama inersia dan momen inersia utama.

Seperti yang telah diketahui, mengetahui momen inersia sentral, dan untuk suatu gambar tertentu, Anda dapat menghitung momen inersia terhadap sumbu lainnya.

Dalam hal ini, kita dapat mengambil sistem sumbu utama yang rumusnya disederhanakan secara signifikan. Yaitu, dimungkinkan untuk menemukan sistem sumbu koordinat yang momen inersia sentrifugalnya sama dengan nol. Faktanya, momen inersia selalu positif, seperti penjumlahan suku-suku positif, tetapi momen sentrifugal

bisa positif dan negatif, karena istilahnya zydF mungkin berbeda tandanya tergantung pada tandanya z Dan pada untuk satu situs atau lainnya. Artinya bisa sama dengan nol.

Sumbu yang momen inersia sentrifugalnya hilang disebut sumbu utama kelembaman. Jika permulaan sistem seperti itu ditempatkan pada pusat gravitasi gambar, maka ini akan terjadi sumbu pusat utama. Kami akan menunjukkan sumbu ini dan ; untuk mereka

Mari kita cari sudut kemiringan sumbu utama terhadap sumbu pusat y dan z (Gbr. 198).

Gambar.1. Model perhitungan untuk menentukan posisi sumbu inersia utama.

Dalam ungkapan terkenal untuk berpindah dari sumbu yz ke sumbu, untuk momen inersia sentrifugal kita berikan nilai pada sudut; maka sumbu dan akan bertepatan dengan sumbu utama, dan momen inersia sentrifugal akan sama dengan nol:

(1)

Persamaan ini dipenuhi oleh dua nilai , yang berbeda 180°, atau dua nilai , yang berbeda 90°. Jadi persamaan ini memberi kita posisinya dua sumbu, membentuk sudut siku-siku satu sama lain. Ini akan menjadi sumbu pusat utama dan , yang mana .

Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat menggunakan rumus yang diketahui untuk mendapatkan rumus momen inersia utama dan . Untuk melakukan ini, kita kembali menggunakan ekspresi untuk posisi umum momen inersia aksial. Mereka menentukan nilainya dan apakah kita menggantinya

(2)

Hubungan yang dihasilkan dapat digunakan untuk memecahkan masalah. Salah satu momen inersia utama adalah momen inersia lainnya.

Rumus (2) dapat diubah menjadi bentuk yang bebas dari nilai . Menyatakan dan melalui serta mensubstitusikan nilainya ke dalam rumus pertama (2), kita peroleh, sekaligus melakukan substitusi dari rumus (1):

Mengganti pecahan dari rumus (1) di sini dengan

kita mendapatkan

(3)

Ekspresi yang sama dapat diperoleh dengan melakukan transformasi serupa pada rumus kedua (3).

Untuk sistem utama sumbu pusat, dari mana seseorang dapat berpindah ke yang lain, seseorang dapat mengambil kamu Dan Ons, dan sumbu utama dan ; maka momen inersia sentrifugal () tidak akan muncul dalam rumus. Mari kita nyatakan sudut yang dibuat oleh sumbu , (Gbr. 2) dengan sumbu utama , dengan . Untuk menghitung , dan , bergerak dari sumbu dan , Anda perlu mengganti sudut melalui , a , dan dalam ekspresi yang ditemukan sebelumnya untuk , dan , dan , dan . Hasilnya kita mendapatkan:

Secara tampilan, rumus-rumus ini sangat mirip dengan rumus tegangan normal dan tegangan geser sepanjang dua luas yang saling tegak lurus pada suatu elemen yang mengalami tegangan dalam dua arah. Kami hanya akan menunjukkan rumus yang memungkinkan kami memilih dari dua nilai sudut yang sesuai dengan deviasi sumbu utama pertama (memberikan maks J) dari posisi awal sumbu pada:

Sekarang kita akhirnya dapat merumuskan apa yang perlu dilakukan agar dapat dengan cara yang paling sederhana menghitung momen inersia suatu bangun terhadap sumbu apa pun. Penting untuk menggambar sumbu melalui pusat gravitasi gambar kamu Dan Ons sehingga, dengan membagi gambar menjadi bagian-bagian yang paling sederhana, kita dapat dengan mudah menghitung momen yang lewat pada suatu jarak (Gbr. 2) dari pusat gravitasi:

Dalam banyak kasus, dimungkinkan untuk segera menggambar sumbu utama gambar; jika suatu bangun mempunyai sumbu simetri, maka sumbu tersebut akan menjadi salah satu sumbu utama. Faktanya, saat menurunkan rumus, kita telah membahas integral, yang merupakan momen inersia sentrifugal suatu penampang relatif terhadap sumbu. pada Dan z; telah terbukti jika sumbu Ons adalah sumbu simetri, integral ini hilang.

Oleh karena itu, dalam hal ini sumbu kamu Dan Ons adalah utama sumbu pusat inersia bagian tersebut. Dengan demikian, sumbu simetri- selalu menjadi poros tengah utama; Kedua rumah sumbu pusat melewati pusat gravitasi tegak lurus terhadap sumbu simetri.

Contoh. Temukan momen inersia persegi panjang (Gbr. 3) terhadap sumbu dan sama dengan:

Momen inersia terhadap sumbu dan sama dengan:

Momen inersia sentrifugal sama dengan.

Metode penghitungan momen inersia suatu penampang kompleks didasarkan pada kenyataan bahwa integral apa pun dapat dianggap sebagai jumlah integral dan, oleh karena itu, momen inersia suatu penampang dapat dihitung sebagai jumlah momen inersia suatu penampang. bagian-bagiannya masing-masing.

Oleh karena itu, untuk menghitung momen inersia, suatu bagian kompleks dibagi menjadi beberapa bagian (gambar) sederhana sedemikian rupa sehingga sifat geometriknya dapat dihitung dengan menggunakan rumus yang diketahui atau dicari dengan menggunakan tabel referensi khusus.

Dalam beberapa kasus, ketika membagi menjadi angka-angka sederhana untuk mengurangi jumlah atau menyederhanakan bentuknya, disarankan untuk melengkapi bagian kompleks dengan beberapa area. Jadi, misalnya, ketika menentukan karakteristik geometri suatu bagian yang ditunjukkan pada Gambar. 22.5, a, disarankan untuk menambahkannya ke persegi panjang, dan kemudian mengurangi karakteristik bagian yang ditambahkan dari karakteristik geometris persegi panjang ini. Lakukan hal yang sama jika ada lubang (Gbr. 22.5, b).

Setelah membagi bagian kompleks menjadi bagian-bagian sederhana, sistem koordinat persegi panjang dipilih untuk masing-masing bagian, yang relatif terhadap momen inersia bagian yang bersangkutan harus ditentukan. Semua sistem koordinat tersebut dianggap sejajar satu sama lain sehingga, dengan translasi paralel sumbu, dimungkinkan untuk menghitung momen inersia semua bagian relatif terhadap sistem koordinat yang umum untuk seluruh bagian kompleks.

Biasanya, sistem koordinat untuk setiap bangun datar diasumsikan terpusat, yaitu asal mulanya bertepatan dengan pusat gravitasi bangun tersebut. Dalam hal ini, penghitungan momen inersia selanjutnya ketika berpindah ke sumbu sejajar lainnya disederhanakan, karena rumus transisi dari sumbu pusat memiliki bentuk yang lebih sederhana daripada dari sumbu non-pusat.

Langkah selanjutnya adalah menghitung luas setiap bangun sederhana, serta momen inersia aksial dan sentrifugal relatif terhadap sumbu sistem koordinat yang dipilih. Momen statis terhadap sumbu-sumbu ini, biasanya, sama dengan nol, karena untuk setiap bagian dari sumbu ini, sumbu-sumbu ini biasanya berada di tengah. Jika sumbu tersebut bukan sumbu pusat, momen statis perlu dihitung.

Momen inersia polar dihitung hanya untuk bagian lingkaran (padat atau annular) dengan menggunakan rumus yang sudah jadi; untuk bagian bentuk lain, ciri geometri ini tidak mempunyai arti apa pun, karena tidak digunakan dalam perhitungan.

Momen inersia aksial dan sentrifugal setiap bangun datar relatif terhadap sumbu sistem koordinatnya dihitung menggunakan rumus atau tabel yang tersedia untuk bangun tersebut. Untuk beberapa gambar, rumus dan tabel yang tersedia tidak memungkinkan kita untuk menentukan momen inersia aksial dan sentrifugal yang diperlukan; dalam kasus ini perlu menggunakan rumus untuk transisi ke sumbu baru (biasanya untuk kasus rotasi sumbu).

Tabel bermacam-macam tidak menunjukkan nilai momen inersia sentrifugal untuk sudut. Cara menentukan momen inersia tersebut dibahas pada contoh 4.5.

Dalam sebagian besar kasus, tujuan akhir penghitungan karakteristik geometri suatu bagian adalah untuk menentukan momen inersia sentral utama dan posisi sumbu inersia sentral utama. Oleh karena itu, tahap perhitungan selanjutnya adalah menentukan koordinat pusat gravitasi suatu bagian tertentu [menggunakan rumus (6.5) dan (7.5)] dalam beberapa sistem koordinat yang berubah-ubah (acak). , sumbu pusat bantu (bukan utama) digambar sejajar dengan sumbu sistem koordinat bangun datar.

Kemudian, dengan menggunakan rumus yang menetapkan hubungan antara momen inersia untuk sumbu-sumbu sejajar (lihat § 5.5), ditentukan momen inersia setiap bangun sederhana terhadap sumbu bantu dan pusat. terhadap sumbu, momen inersia seluruh bagian kompleks relatif terhadap sumbu ini ditentukan; dalam hal ini, momen inersia lubang atau bantalan tambahan dikurangi.

Momen inersia suatu penampang disebut integral yang bentuknya sebagai berikut:

pada;

– momen inersia aksial suatu penampang relatif terhadap sumbu z;

– momen inersia sentrifugal bagian tersebut;

– momen inersia kutub bagian tersebut.

3.2.1. Sifat-sifat momen inersia penampang

Dimensi momen inersia adalah [panjang 4 ], biasanya [ M 4 ] atau [ cm 4 ].

Momen inersia aksial dan polar selalu positif. Momen inersia sentrifugal dapat bernilai positif, negatif, atau nol.

Sumbu yang momen inersia sentrifugalnya sama dengan nol disebut sumbu utama inersia bagian.

Sumbu simetri selalu menjadi yang utama. Jika paling sedikit salah satu dari dua sumbu yang saling tegak lurus merupakan sumbu simetri, maka kedua sumbu tersebut adalah sumbu utama.

Momen inersia suatu bagian komposit sama dengan jumlah momen inersia elemen-elemen pada bagian tersebut.

Momen inersia kutub sama dengan jumlah momen inersia aksial.

Mari kita buktikan properti terakhir. Di bagian dengan luas A untuk situs dasar da vektor radius ρ dan koordinat pada Dan z(Gbr. 6) dihubungkan menurut teorema Pythagoras: ρ 2 = pada 2 + z 2. Kemudian

Beras. 6. Hubungan koordinat kutub dan kartesius

situs dasar

3.2.2. Momen inersia bangun paling sederhana

DI DALAM bagian persegi panjang(Gbr. 7) pilih platform dasar da dengan koordinat kamu Dan z dan daerah da = dydz.

Beras. 7. Bagian persegi panjang

Momen inersia aksial terhadap sumbu pada

.

Demikian pula, kita memperoleh momen inersia terhadap sumbu z:

Karena pada Dan z– sumbu simetri, lalu momen sentrifugal D zy = 0.

Untuk lingkaran diameter D perhitungan disederhanakan jika kita memperhitungkan simetri lingkaran dan menggunakan koordinat kutub. Mari kita ambil sebagai platform dasar sebuah cincin yang sangat tipis dengan jari-jari ρ dan ketebalan Dρ (Gbr. 8). Wilayahnya da= 2πρ Dρ. Maka momen inersia kutubnya adalah:

.

Beras. 8. Bagian bulat

Seperti ditunjukkan di atas, momen inersia aksial terhadap setiap sumbu pusat adalah sama dan sama besar

.

Momen inersia cincin kita temukan sebagai perbedaan antara momen inersia dua lingkaran - lingkaran terluar (dengan diameter D) dan internal (dengan diameter D):

Momen inersia SAYA z segi tiga kita akan mendefinisikannya relatif terhadap sumbu yang melalui pusat gravitasi (Gbr. 9). Jelas sekali, lebar strip dasar yang terletak di kejauhan pada dari sumbu z, sama

Karena itu,

Beras. 9. Bagian segitiga

3.3. Ketergantungan antara momen inersia terhadap sumbu sejajar

Dengan diketahui nilai momen inersia terhadap sumbu z Dan pada mari kita tentukan momen inersia terhadap sumbu lainnya z 1 dan kamu 1 sejajar dengan yang diberikan. Dengan menggunakan rumus umum momen inersia aksial, kita temukan

Jika sumbu z Dan kamu pusat, kalau begitu
, Dan

Dari rumus yang diperoleh jelas bahwa momen inersia terhadap sumbu pusat (kapan
) mempunyai nilai terkecil dibandingkan momen inersia terhadap sumbu sejajar lainnya.

3.4. Sumbu utama dan momen inersia utama

Ketika sumbu diputar membentuk sudut α, momen inersia sentrifugal menjadi sama dengan

.

Mari kita tentukan posisi sumbu inersia utama utama kamu, ay mengenai yang mana

,

dimana α 0 adalah sudut yang melaluinya sumbu harus diputar kamu Dan z sehingga mereka menjadi yang utama.

Karena rumusnya memberikan dua nilai sudut Dan
, maka ada dua sumbu utama yang saling tegak lurus. Sumbu maksimum selalu membuat sudut lebih kecil ( ) dengan sumbu ( z atau kamu), relatif terhadap momen inersia aksial yang lebih penting. Ingatlah bahwa sudut positif diberhentikan dari sumbu z berlawanan arah jarum jam.

Momen inersia terhadap sumbu utama disebut momen inersia utama. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa mereka

.

Tanda plus di depan suku kedua mengacu pada momen inersia maksimum, tanda minus mengacu pada momen inersia minimum.