Ծավալային թվերի տարածքները. Ինչպես հաշվարկել և պիտակավորել տարածքը

Երկրաչափության խնդիրները լուծելու համար դուք պետք է իմանաք բանաձևեր, ինչպիսիք են եռանկյան մակերեսը կամ զուգահեռագծի մակերեսը, ինչպես նաև պարզ տեխնիկա, որի մասին կխոսենք։

Նախ, եկեք սովորենք թվերի տարածքների բանաձևերը: Մենք դրանք հատուկ հավաքել ենք հարմար սեղանի մեջ։ Տպե՛ք, սովորե՛ք և կիրառե՛ք։

Իհարկե, ոչ բոլոր երկրաչափական բանաձեւերն են մեր աղյուսակում: Օրինակ, մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության պրոֆիլի երկրորդ մասում երկրաչափության և ստերեոմետրիայի խնդիրներ լուծելու համար օգտագործվում են եռանկյունի տարածքի այլ բանաձևեր: Մենք անպայման կպատմենք նրանց մասին։

Բայց ի՞նչ, եթե ձեզ հարկավոր է գտնել ոչ թե տրապեզոիդի կամ եռանկյունու տարածք, այլ ինչ-որ բարդ գործչի տարածք: Կան ունիվերսալ ուղիներ! Մենք նրանց ցույց կտանք՝ օգտագործելով FIPI առաջադրանքների բանկի օրինակները:

1. Ինչպե՞ս գտնել ոչ ստանդարտ գործչի մակերեսը: Օրինակ՝ կամայական քառանկյունի՞։ Պարզ տեխնիկա. եկեք այս թիվը բաժանենք նրանց, որոնց մասին մենք ամեն ինչ գիտենք, և գտնենք դրա տարածքը՝ որպես այս թվերի տարածքների գումար:

Հորիզոնական գծով այս քառանկյունը բաժանեք երկու եռանկյունների, որոնց ընդհանուր հիմքը հավասար է . Այս եռանկյունների բարձրությունները հավասար են Եվ . Այնուհետև քառանկյունի մակերեսը հավասար է երկու եռանկյունների մակերեսների գումարին.

Պատասխան.

2. Որոշ դեպքերում գործչի մակերեսը կարող է ներկայացվել որպես որոշ տարածքների տարբերություն:

Այնքան էլ հեշտ չէ հաշվարկել, թե ինչի են հավասար այս եռանկյան հիմքը և բարձրությունը: Բայց կարելի է ասել, որ նրա մակերեսը հավասար է կողմ և երեք ուղղանկյուն եռանկյուն ունեցող քառակուսու մակերեսների տարբերությանը։ Տեսնու՞մ եք նրանց նկարում։ Մենք ստանում ենք.

Պատասխան.

3. Երբեմն առաջադրանքի ժամանակ անհրաժեշտ է գտնել ոչ թե ամբողջ գործչի, այլ դրա մի մասի մակերեսը: Սովորաբար մենք խոսում ենք հատվածի տարածքի մասին՝ շրջանագծի մասի մասին Գտեք շրջանագծի հատվածի մակերեսը, որի աղեղի երկարությունը հավասար է .

Այս նկարում մենք տեսնում ենք շրջանագծի մի մասը: Ամբողջ շրջանի մակերեսը հավասար է. Մնում է պարզել, թե շրջանագծի որ հատվածն է պատկերված։ Քանի որ ամբողջ շրջանագծի երկարությունը հավասար է (սկսած ), իսկ տվյալ հատվածի աղեղի երկարությունը հավասար է , հետևաբար, աղեղի երկարությունը մի քանի անգամ փոքր է ամբողջ շրջանի երկարությունից։ Այն անկյունը, որի վրա այս աղեղը հենվում է, նույնպես լրիվ շրջանից (այսինքն՝ աստիճաններից) փոքր գործակից է։ Սա նշանակում է, որ հատվածի տարածքը մի քանի անգամ փոքր կլինի ամբողջ շրջանի տարածքից:

Տարածքի բանաձևըանհրաժեշտ է որոշել գործչի մակերեսը, որը իրական արժեքավոր ֆունկցիա է, որը սահմանված է Էվկլիդեսյան հարթության որոշ դասի պատկերների վրա և բավարարում է 4 պայման.

1. Դրականություն - տարածքը չի կարող զրոյից պակաս լինել;
2. Նորմալացում - կողային միավոր ունեցող քառակուսին ունի 1 տարածք;
3. Համապատասխանություն - համընկնող թվերն ունեն հավասար տարածք;
4. Ավելացում - առանց ընդհանուր ներքին կետերի 2 թվերի միավորման տարածքը հավասար է այս թվերի տարածքների գումարին:

Երկրաչափական պատկերների տարածքի բանաձևեր.

Երկրաչափական պատկեր	Բանաձև	Նկարչություն
Ուռուցիկ քառանկյան հակառակ կողմերի միջնակետերի միջև հեռավորությունները գումարելու արդյունքը հավասար կլինի նրա կիսաշրջագծին:
Շրջանակային հատված. Շրջանակի հատվածի մակերեսը հավասար է նրա աղեղի արտադրյալին և շառավիղի կեսին:
Շրջանակի հատված: ASB հատվածի տարածքը ստանալու համար բավական է հանել AOB եռանկյան մակերեսը AOB հատվածի տարածքից:	S = 1/2 R(s - AC)
Էլիպսի մակերեսը հավասար է էլիպսի հիմնական և փոքր կիսաառանցքների երկարությունների և pi թվի արտադրյալին:
Էլիպս. Էլիպսի տարածքը հաշվարկելու մեկ այլ տարբերակ նրա երկու շառավղով է:
Եռանկյուն. Հիմքի և բարձրության միջով: Շրջանի տարածքի բանաձևը՝ օգտագործելով դրա շառավիղը և տրամագիծը:
Հրապարակ. Նրա կողմից: Քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա կողմի երկարության քառակուսուն։
Քառակուսի. Իր անկյունագծերի միջոցով. Քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա անկյունագծի երկարության քառակուսու կեսին:
Կանոնավոր բազմանկյուն. Կանոնավոր բազմանկյունի մակերեսը որոշելու համար անհրաժեշտ է այն բաժանել հավասար եռանկյունների, որոնք ընդհանուր գագաթ կունենան ներգծված շրջանագծի կենտրոնում:	S= r p = 1/2 r n a

Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության գործելակերպը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլ.փոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Հավաքված մեր կողմից անձնական տվյալներթույլ է տալիս մեզ կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և առաջիկա իրադարձությունների մասին:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​գործընթացներում և/կամ Ռուսաստանի Դաշնության պետական ​​մարմինների հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա՝ բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկա:

Եթե ​​դուք նախատեսում եք ինքնուրույն կատարել վերանորոգումը, ապա ձեզ հարկավոր է նախահաշիվ կազմել շինարարության և հարդարման նյութերի համար: Դա անելու համար ձեզ հարկավոր է հաշվարկել այն սենյակի տարածքը, որտեղ նախատեսում եք իրականացնել վերանորոգման աշխատանքներ: Դրա հիմնական օգնականը հատուկ մշակված բանաձեւն է. Սենյակի տարածքը, մասնավորապես դրա հաշվարկը, թույլ կտա ձեզ մեծ գումար խնայել Շինանյութերեւ ազատված ֆինանսական ռեսուրսներն ուղղորդել ավելի համապատասխան ուղղությամբ։

Սենյակի երկրաչափական ձևը

Սենյակի տարածքը հաշվարկելու բանաձևը ուղղակիորեն կախված է դրա ձևից: Կենցաղային շենքերի համար առավել բնորոշ են ուղղանկյուն և քառակուսի սենյակները։ Այնուամենայնիվ, վերամշակման ընթացքում ստանդարտ ձևը կարող է խեղաթյուրվել: Սենյակներն են.

• Ուղղանկյուն:
• Քառակուսի.
• Համալիր կոնֆիգուրացիա (օրինակ, կլոր):
• Խորշերով և ելուստներով։

Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր հաշվարկման առանձնահատկությունները, սակայն, որպես կանոն, օգտագործվում է նույն բանաձևը։ Ցանկացած ձևի և չափի սենյակի տարածքը, այսպես թե այնպես, կարելի է հաշվարկել:

Ուղղանկյուն կամ քառակուսի սենյակ

Ուղղանկյունի մակերեսը հաշվարկելու համար կամ քառակուսի ձև, պարզապես հիշիր դպրոցական պարապմունքներերկրաչափություն. Հետևաբար, ձեզ համար դժվար չպետք է լինի սենյակի տարածքը որոշելը: Հաշվարկի բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.

S սենյակներ=A*B, որտեղ

A-ն սենյակի երկարությունն է:

B-ն սենյակի լայնությունն է:

Այս արժեքները չափելու համար ձեզ հարկավոր է սովորական ժապավեն: Առավել ճշգրիտ հաշվարկներ ստանալու համար արժե չափել պատը երկու կողմից: Եթե ​​արժեքները համաձայն չեն, հիմք ընդունեք ստացված տվյալների միջինը: Բայց հիշեք, որ ցանկացած հաշվարկ ունի իր սեփական սխալները, ուստի նյութը պետք է գնել ռեզերվով:

Բարդ կոնֆիգուրացիայով սենյակ

Եթե ​​ձեր սենյակը չի համապատասխանում «տիպիկ» սահմանմանը, այսինքն. ունի շրջանագծի, եռանկյունու, բազմանկյունի ձև, ապա ձեզ կարող է անհրաժեշտ լինել այլ բանաձև՝ հաշվարկների համար: Դուք կարող եք փորձել կոպիտ կերպով բաժանել այս հատկանիշով սենյակի տարածքը ուղղանկյուն տարրերի և կատարել հաշվարկներ ստանդարտ մեթոդով: Եթե ​​դուք չունեք այս հնարավորությունը, ապա օգտագործեք հետևյալ մեթոդները.

• Շրջանակի մակերեսը գտնելու բանաձևը.

S սենյակ=π*R 2, որտեղ

R-ն սենյակի շառավիղն է:

• Եռանկյան մակերեսը գտնելու բանաձևը.

S սենյակ = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)), որտեղ

P-ն եռանկյան կիսաշրջագիծն է։

A, B, C են նրա կողմերի երկարությունները:

Հետեւաբար P=A+B+C/2

Եթե ​​հաշվարկների ընթացքում դժվարություններ ունեք, ապա ավելի լավ է ինքներդ ձեզ չտանջեք և դիմեք մասնագետներին։

Սենյակի տարածքը ելուստներով և խորշերով

Հաճախ պատերը զարդարված են դեկորատիվ տարրերով տարբեր խորշերի կամ ելուստների տեսքով: Բացի այդ, դրանց առկայությունը կարող է պայմանավորված լինել ձեր սենյակի որոշ անէսթետիկ տարրեր թաքցնելու անհրաժեշտությամբ: Ձեր պատին եզրերի կամ խորշերի առկայությունը նշանակում է, որ հաշվարկը պետք է իրականացվի փուլերով: Նրանք. Նախ հայտնաբերվում է պատի հարթ հատվածի տարածքը, այնուհետև դրան ավելացվում է խորշի կամ ելուստի տարածքը։

Պատի մակերեսը հայտնաբերվում է բանաձևով.

S պատեր = P x C, որտեղ

P - պարագծային

C - բարձրություն

Պետք է նաև հաշվի առնել պատուհանների և դռների առկայությունը: Նրանց տարածքը պետք է հանվի ստացված արժեքից:

Սենյակ բազմաստիճան առաստաղով

Բազմաստիճան առաստաղը չի բարդացնում հաշվարկներն այնքան, որքան թվում է առաջին հայացքից: Եթե ​​այն ունի պարզ դիզայն, ապա հաշվարկները կարող են կատարվել՝ հիմնվելով խորշերով և ելուստներով բարդ պատերի տարածքը գտնելու սկզբունքի վրա:

Այնուամենայնիվ, եթե ձեր առաստաղի դիզայնը կամարակապ և ալիքանման տարրեր ունի, ապա ավելի նպատակահարմար է որոշել դրա տարածքը՝ օգտագործելով հատակի տարածքը: Դա անելու համար ձեզ հարկավոր է.

1. Գտեք պատերի բոլոր ուղիղ հատվածների չափերը:
2. Գտեք հատակի մակերեսը:
3. Բազմապատկեք ուղղահայաց հատվածների երկարությունը և բարձրությունը:
4. Գումարեք ստացված արժեքը հատակի մակերեսի հետ:

Ընդհանուրը որոշելու քայլ առ քայլ հրահանգներ

սենյակի տարածքը

1. Մաքրեք սենյակը ավելորդ բաներից։ Չափման գործընթացում ձեզ հարկավոր է անվճար մուտք դեպի ձեր սենյակի բոլոր տարածքները, այնպես որ դուք պետք է ձերբազատվեք այն ամենից, ինչը կարող է խանգարել դրան:
2. Տեսողականորեն բաժանեք սենյակը կանոնավոր և անկանոն ձևի տարածքների: Եթե ​​ձեր սենյակն ունի խիստ քառակուսի կամ ուղղանկյուն ձև, ապա կարող եք բաց թողնել այս քայլը:
3. Կատարեք սենյակի պատահական դասավորություն: Այս նկարը անհրաժեշտ է, որպեսզի բոլոր տվյալները միշտ ձեռքի տակ լինեն: Բացի այդ, դա ձեզ հնարավորություն չի տա շփոթվելու բազմաթիվ չափումների մեջ։
4. Չափումները պետք է կատարվեն մի քանի անգամ: Սա կարևոր կանոն է՝ հաշվարկներում սխալներից խուսափելու համար։ Բացի այդ, եթե այն օգտագործում եք, համոզվեք, որ ճառագայթը հարթ է պատի մակերեսին:
5. Գտեք սենյակի ընդհանուր մակերեսը: Սենյակի ընդհանուր մակերեսի բանաձևն է՝ գտնել սենյակի առանձին հատվածների բոլոր տարածքների գումարը: Նրանք. S ընդհանուր = S պատեր+S հատակ+S առաստաղ

Քառակուսի երկրաչափական պատկեր - երկրաչափական գործչի թվային բնութագիրը, որը ցույց է տալիս այս գործչի չափը (մակերեսի մի մասը, որը սահմանափակվում է այս նկարի փակ եզրագծով): Տարածքի չափը արտահայտվում է դրանում պարունակվող քառակուսի միավորների քանակով։

Եռանկյունի տարածքի բանաձևեր

1. Եռանկյունի կողքի և բարձրության տարածքի բանաձևը
   Եռանկյունի մակերեսըհավասար է եռանկյան կողմի երկարության և այս կողմի բարձրության երկարության արտադրյալի կեսին
   
2. Երեք կողմերի վրա հիմնված եռանկյան մակերեսի բանաձևը և շրջանագծի շառավիղը
   
3. Երեք կողմերի վրա հիմնված եռանկյունի տարածքի բանաձևը և ներգծված շրջանագծի շառավիղը
   Եռանկյունի մակերեսըհավասար է եռանկյան կիսաշրջագծի և ներգծված շրջանագծի շառավղի արտադրյալին։
   
որտեղ S-ը եռանկյան մակերեսն է,
- եռանկյան կողմերի երկարությունները,
- եռանկյունու բարձրությունը,
- կողմերի միջև անկյունը և,
- ներգծված շրջանագծի շառավիղը,
R - շրջագծված շրջանագծի շառավիղը,

Քառակուսի տարածքի բանաձևեր

1. Քառակուսու մակերեսի բանաձևը կողմի երկարությամբ
   Քառակուսի տարածքհավասար է իր կողմի երկարության քառակուսուն:
2. Շեղանկյունի երկարությամբ քառակուսու տարածքի բանաձևը
   Քառակուսի տարածքհավասար է իր անկյունագծի երկարության քառակուսու կեսին:
   

   S=	1	2
   	2

որտեղ S-ը քառակուսու մակերեսն է,
- քառակուսու կողմի երկարությունը,
- քառակուսու անկյունագծի երկարությունը:

Ուղղանկյուն տարածքի բանաձևը

Ուղղանկյունի մակերեսհավասար է նրա երկու հարակից կողմերի երկարությունների արտադրյալին

որտեղ S-ն ուղղանկյան մակերեսն է,
- ուղղանկյունի կողմերի երկարությունները.

Զուգահեռագծի տարածքի բանաձևերը

1. Զուգահեռագծի տարածքի բանաձև՝ հիմնված կողմի երկարության և բարձրության վրա
   Զուգահեռագծի մակերեսը
2. Երկու կողմերի վրա հիմնված զուգահեռագծի տարածքի և նրանց միջև եղած անկյան բանաձևը
   Զուգահեռագծի մակերեսըհավասար է նրա կողմերի երկարությունների արտադրյալին՝ բազմապատկած նրանց միջև անկյան սինուսով։
   

   a b sin α

որտեղ S-ը զուգահեռագծի մակերեսն է,
- զուգահեռագծի կողմերի երկարությունները,
- զուգահեռագծի բարձրության երկարությունը,
- զուգահեռագծի կողմերի միջև եղած անկյունը.

Ռոմբի մակերեսի բանաձևեր

1. Կողմերի երկարության և բարձրության վրա հիմնված ռոմբի տարածքի բանաձևը
   Ռոմբի մակերեսըհավասար է իր կողմի երկարության և այս կողմ իջեցված բարձրության երկարության արտադրյալին:
2. Կողմերի երկարության և անկյան վրա հիմնված ռոմբի տարածքի բանաձևը
   Ռոմբի մակերեսըհավասար է իր կողմի երկարության քառակուսու և ռոմբի կողմերի միջև անկյան սինուսի արտադրյալին:
3. Ռոմբի մակերեսի բանաձև՝ հիմնված նրա անկյունագծերի երկարությունների վրա
   Ռոմբի մակերեսըհավասար է նրա անկյունագծերի երկարությունների արտադրյալի կեսին:
որտեղ S-ը ռոմբի մակերեսն է,
- ռոմբի կողմի երկարությունը,
- ռոմբի բարձրության երկարությունը,
- ռոմբի կողմերի միջև եղած անկյունը,
1, 2 - անկյունագծերի երկարություններ:

Trapezoid տարածքի բանաձեւեր

1. Հերոնի բանաձևը trapezoid-ի համար

   Որտեղ S-ը տրապիզոնի մակերեսն է,
   - trapezoid-ի հիմքերի երկարությունները,
   - trapezoid-ի կողմերի երկարությունները,