Crtanje linearne funkcije koja sadrži modul. Kako riješiti jednadžbe s modulom: Osnovna pravila
, Natjecanje "Prezentacija za lekciju"
Prezentacija za lekciju
Natrag naprijed
Pažnja! Pregled slajdova je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.
Svrha lekcije:
- ponoviti konstrukciju grafova funkcija s predznakom modula;
- upoznati novu metodu konstruiranja grafa linearno-djelične funkcije;
- popraviti nova metoda prilikom rješavanja problema.
Oprema:
- multimedijski projektor,
- plakati.
Tijekom nastave
Ažuriranje znanja
Na ekranu slajd 1 iz prezentacije.
Kakav je graf funkcije y=|x| ? (slajd 2).
(skup simetrala 1 i 2 koordinatnih kutova)
Pronađite podudarnost između funkcija i grafova, objasnite svoj izbor (slajd 3).
Slika 1
Recite algoritam za konstruiranje grafova funkcija oblika y=|f(x)| na primjeru funkcije y=|x 2 -2x-3| (slajd 4)
Student: da biste izgradili graf ove funkcije, trebate
Konstruiraj parabolu y=x 2 -2x-3
Slika 2
Slika 3
Ispričajte algoritam za konstruiranje grafova funkcija oblika y=f(|x|) na primjeru funkcije y=x 2 -2|x|-3 (slajd 6).
Izgradite parabolu.
Dio grafikona na x 0 sprema se i prikazuje simetrično u odnosu na y-os (slajd 7)
Slika 4
Navedite algoritam za konstruiranje grafova funkcija oblika y=|f(|x|)| na primjeru funkcije y=|x 2 -2|x|-3| (slajd 8).
Student: Da biste izgradili graf ove funkcije, trebate:
Morate izgraditi parabolu y \u003d x 2 -2x-3
Gradimo y \u003d x 2 -2 | x | -3, spremamo dio grafikona i prikazujemo ga simetrično u odnosu na OS
Spremamo dio iznad OX-a, a donji dio prikazujemo simetrično u odnosu na OX (slajd 9)
Slika 5
Sljedeći zadatak zapisuje se u bilježnice.
1. Nacrtajte graf linearno-dijelne funkcije y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Student na ploči komentira:
Nalazimo nule izraza podmodula x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3
Razbijanje osi u intervale
Za svaki interval napišemo funkciju
na x< -2, у=-х-4
na -2 x<1, у=х
u 1 x<3, у = 3х-2
na x 3, y \u003d x + 4
Gradimo graf linearno-dijelne funkcije.
Izgradili smo graf funkcije pomoću definicije modula (slajd 10).
Slika 6
Predstavljam vam "metodu vrhova", koja vam omogućuje crtanje linearno-dijelne funkcije (slajd 11). Djeca zapisuju algoritam konstrukcije u bilježnicu.
Vertex metoda
Algoritam:
- Pronađite nule svakog izraza submodula
- Napravimo tablicu u koju osim nula upisujemo po jednu vrijednost argumenta s lijeve i s desne strane
- Stavimo točke na koordinatnu ravninu i spojimo ih u seriju
2. Analizirajmo ovu metodu na istoj funkciji y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Učiteljica je za pločom, djeca u svojim bilježnicama.
Vertex metoda:
Pronađite nule svakog izraza submodula;
Napravimo tablicu u koju osim nula upisujemo po jednu vrijednost argumenta s lijeve i s desne strane
Stavimo točke na koordinatnu ravninu i spojimo ih u seriju.
Graf linearno-dijelne funkcije je izlomljena linija s beskonačnim ekstremnim karikama (slide 12).
Slika 7
Koja metoda čini grafikon bržim i lakšim?
3. Da biste popravili ovu metodu, predlažem da izvršite sljedeći zadatak:
Za koje vrijednosti x vrijedi funkcija y=|x-2|-|x+1| poprima najveću vrijednost.
Slijedimo algoritam; učenik za pločom.
y=|x-2|-|x+1|
x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1
y(3)=1-4=3, spojite točke u nizu.
4. Dodatni zadatak
Za koje vrijednosti a jednadžba ||4+x|-|x-2||=a ima dva korijena.
5. Domaća zadaća
a) Za koje vrijednosti X vrijedi funkcija y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| uzima najmanju vrijednost.
b) Nacrtajte funkciju y=||x-1|-2|-3| .
, Natjecanje "Prezentacija za lekciju"
Prezentacija za lekciju
Natrag naprijed
Pažnja! Pregled slajdova je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.
Svrha lekcije:
- ponoviti konstrukciju grafova funkcija s predznakom modula;
- upoznati novu metodu konstruiranja grafa linearno-djelične funkcije;
- učvrstiti novu metodu u rješavanju problema.
Oprema:
- multimedijski projektor,
- plakati.
Tijekom nastave
Ažuriranje znanja
Na ekranu slajd 1 iz prezentacije.
Kakav je graf funkcije y=|x| ? (slajd 2).
(skup simetrala 1 i 2 koordinatnih kutova)
Pronađite podudarnost između funkcija i grafova, objasnite svoj izbor (slajd 3).
Slika 1
Recite algoritam za konstruiranje grafova funkcija oblika y=|f(x)| na primjeru funkcije y=|x 2 -2x-3| (slajd 4)
Student: da biste izgradili graf ove funkcije, trebate
Konstruiraj parabolu y=x 2 -2x-3
Slika 2
Slika 3
Ispričajte algoritam za konstruiranje grafova funkcija oblika y=f(|x|) na primjeru funkcije y=x 2 -2|x|-3 (slajd 6).
Izgradite parabolu.
Dio grafikona na x 0 sprema se i prikazuje simetrično u odnosu na y-os (slajd 7)
Slika 4
Navedite algoritam za konstruiranje grafova funkcija oblika y=|f(|x|)| na primjeru funkcije y=|x 2 -2|x|-3| (slajd 8).
Student: Da biste izgradili graf ove funkcije, trebate:
Morate izgraditi parabolu y \u003d x 2 -2x-3
Gradimo y \u003d x 2 -2 | x | -3, spremamo dio grafikona i prikazujemo ga simetrično u odnosu na OS
Spremamo dio iznad OX-a, a donji dio prikazujemo simetrično u odnosu na OX (slajd 9)
Slika 5
Sljedeći zadatak zapisuje se u bilježnice.
1. Nacrtajte graf linearno-dijelne funkcije y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Student na ploči komentira:
Nalazimo nule izraza podmodula x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3
Razbijanje osi u intervale
Za svaki interval napišemo funkciju
na x< -2, у=-х-4
na -2 x<1, у=х
u 1 x<3, у = 3х-2
na x 3, y \u003d x + 4
Gradimo graf linearno-dijelne funkcije.
Izgradili smo graf funkcije pomoću definicije modula (slajd 10).
Slika 6
Predstavljam vam "metodu vrhova", koja vam omogućuje crtanje linearno-dijelne funkcije (slajd 11). Djeca zapisuju algoritam konstrukcije u bilježnicu.
Vertex metoda
Algoritam:
- Pronađite nule svakog izraza submodula
- Napravimo tablicu u koju osim nula upisujemo po jednu vrijednost argumenta s lijeve i s desne strane
- Stavimo točke na koordinatnu ravninu i spojimo ih u seriju
2. Analizirajmo ovu metodu na istoj funkciji y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Učiteljica je za pločom, djeca u svojim bilježnicama.
Vertex metoda:
Pronađite nule svakog izraza submodula;
Napravimo tablicu u koju osim nula upisujemo po jednu vrijednost argumenta s lijeve i s desne strane
Stavimo točke na koordinatnu ravninu i spojimo ih u seriju.
Graf linearno-dijelne funkcije je izlomljena linija s beskonačnim ekstremnim karikama (slide 12).
Slika 7
Koja metoda čini grafikon bržim i lakšim?
3. Da biste popravili ovu metodu, predlažem da izvršite sljedeći zadatak:
Za koje vrijednosti x vrijedi funkcija y=|x-2|-|x+1| poprima najveću vrijednost.
Slijedimo algoritam; učenik za pločom.
y=|x-2|-|x+1|
x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1
y(3)=1-4=3, spojite točke u nizu.
4. Dodatni zadatak
Za koje vrijednosti a jednadžba ||4+x|-|x-2||=a ima dva korijena.
5. Domaća zadaća
a) Za koje vrijednosti X vrijedi funkcija y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| uzima najmanju vrijednost.
b) Nacrtajte funkciju y=||x-1|-2|-3| .
Funkcija oblika y=|x|.
Graf funkcije na intervalu - s grafom funkcije y \u003d -x.
Razmotrimo prvo najjednostavniji slučaj - funkciju y=|x|. Po definiciji modula imamo:
Dakle, za x≥0 funkcija y=|x| podudara se s funkcijom y \u003d x, a za x Koristeći ovo objašnjenje, lako je nacrtati funkciju y \u003d | x | (Sl. 1).
Lako je vidjeti da je ovaj graf unija onog dijela grafa funkcije y \u003d x, koji ne leži ispod osi OX, i linije dobivene zrcalnom refleksijom oko osi OX, tog njenog dijela, koja leži ispod osi OX.
Ova metoda je također prikladna za crtanje grafa funkcije y=|kx+b|.
Ako je graf funkcije y=kx+b prikazan na slici 2, onda je graf funkcije y=|kx+b| je linija prikazana na slici 3.
(!LANG:Primjer 1. Nacrtajte funkciju y=||1-x 2 |-3|.
Izgradimo graf funkcije y=1-x 2 i na njega primijenimo operaciju "modul" (dio grafa koji se nalazi ispod osi OX reflektira se simetrično u odnosu na os OX).
Pomaknimo grafikon prema dolje za 3.
Primijenimo operaciju "modul" i dobijemo konačni graf funkcije y=||1-x 2 |-3|
Primjer 2 Nacrtajte funkciju y=||x 2 -2x|-3|.
Kao rezultat transformacije dobivamo y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1|. Izgradimo graf funkcije y=(x-1) 2 -1: izgradimo parabolu y=x 2 i pomaknemo je udesno za 1 i dolje za 1.
Primijenimo na njega operaciju "modul" (dio grafa koji se nalazi ispod osi OX reflektira se simetrično u odnosu na os OX).
Pomaknimo graf prema dolje za 3 i primijenimo operaciju "modul", kao rezultat ćemo dobiti konačni graf.
Primjer 3 Nacrtajte funkciju.
Da bismo proširili modul, moramo razmotriti dva slučaja:
1)x>0, tada će se modul otvoriti sa znakom "+" =
2) x =
Izgradimo graf za prvi slučaj.
Odbacimo dio grafa, gdje je x
Izgradimo graf za drugi slučaj i na sličan način odbacimo dio gdje je x>0, kao rezultat koji dobivamo.
Kombinirajmo dva grafa i dobijemo konačni.
Primjer 4 Nacrtajte funkciju.
Prvo, izgradimo graf funkcije.Za to je prikladno odabrati cijeli dio koji dobivamo. Nadovezujući se na tablicu vrijednosti, dobivamo grafikon.
Primijenimo operaciju modula (dio grafa koji se nalazi ispod OX osi reflektira se simetrično u odnosu na OX os). Dobivamo konačni grafikon
Primjer 5 Nacrtajte funkciju y=|-x 2 +6x-8|. Prvo, pojednostavljujemo funkciju na y=1-(x-3) 2 i gradimo njezin graf
Sada primjenjujemo operaciju "modul" i odražavamo dio grafikona ispod OX osi, u odnosu na OX os
Primjer 6 Nacrtajte funkciju y=-x 2 +6|x|-8. Također pojednostavljujemo funkciju na y=1-(x-3) 2 i gradimo njezin graf
Sada primjenjujemo operaciju "modul" i odražavamo dio grafikona desno od osi oY, na lijevu stranu
Primjer 7 Nacrtajte funkciju 
. Nacrtajmo funkciju
Nacrtajmo funkciju
Izvršimo paralelni prijenos za 3 jedinična segmenta udesno i 2 prema gore. Grafikon će izgledati ovako:
Primijenimo operaciju "modul" i odrazimo dio grafa desno od pravca x=3 u lijevu poluravninu.
Znak modula je možda jedan od najzanimljivijih fenomena u matematici. U tom smislu, mnogi školarci imaju pitanje kako izgraditi grafove funkcija koje sadrže modul. Idemo detaljno ispitati ovo pitanje.
1. Iscrtavanje funkcija koje sadrže modul
Primjer 1
Nacrtajte funkciju y = x 2 – 8|x| + 12.
Riješenje.
Definirajmo parnost funkcije. Vrijednost za y(-x) je ista kao vrijednost za y(x), tako da je ova funkcija parna. Tada je njegov graf simetričan u odnosu na os Oy. Gradimo graf funkcije y \u003d x 2 - 8x + 12 za x ≥ 0 i simetrično prikazujemo graf u odnosu na Oy za negativni x (slika 1).
Primjer 2
Sljedeći graf je y = |x 2 – 8x + 12|.
– Koji je raspon predložene funkcije? (y ≥ 0).
- Kakav je grafikon? (Iznad ili u dodiru s osi x).
To znači da se graf funkcije dobiva na sljedeći način: iscrtavaju funkciju y \u003d x 2 - 8x + 12, ostavljaju nepromijenjen dio grafa koji se nalazi iznad osi Ox, a dio grafa koji leži ispod apscisna os prikazana je simetrično u odnosu na Ox os (slika 2).
Primjer 3
Za crtanje funkcije y = |x 2 – 8|x| + 12| provesti kombinaciju transformacija:
y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Odgovor: slika 3.
Razmotrene transformacije vrijede za sve vrste funkcija. Napravimo tablicu:
2. Iscrtavanje funkcija koje sadrže "ugniježđene module" u formuli
Već smo se upoznali s primjerima kvadratne funkcije koja sadrži modul, kao i s općim pravilima za konstruiranje grafova funkcija oblika y = f(|x|), y = |f(x)| i y = |f(|x|)|. Ove transformacije pomoći će nam pri razmatranju sljedećeg primjera.
Primjer 4
Promotrimo funkciju oblika y = |2 – |1 – |x|||. Izraz koji definira funkciju sadrži "ugniježđene module".
Riješenje.
Koristimo metodu geometrijskih transformacija.
Zapišimo lanac uzastopnih transformacija i napravimo odgovarajući crtež (slika 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Razmotrimo slučajeve kada transformacije simetrije i paralelnog prevođenja nisu glavna tehnika crtanja.
Primjer 5
Konstruirajte graf funkcije oblika y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.
Riješenje.
Prije izgradnje grafa transformiramo formulu koja definira funkciju i dobivamo drugu analitičku definiciju funkcije (slika 5). 
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Proširimo modul u nazivniku:
Za x > -2, y = x - 2, a za x< -2, y = -(x – 2).
Domena D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Raspon E(y) = (-4; +∞).
Točke u kojima se graf siječe s koordinatnom osi: (0; -2) i (2; 0).
Funkcija pada za sve x iz intervala (-∞; -2), raste za x od -2 do +∞.
Ovdje smo morali otkriti predznak modula i nacrtati funkciju za svaki slučaj.
Primjer 6
Promotrimo funkciju y = |x + 1| – |x – 2|.
Riješenje.
Proširujući predznak modula, potrebno je razmotriti sve moguće kombinacije predznaka izraza podmodula.
Postoje četiri moguća slučaja:
(x + 1 - x + 2 = 3, s x ≥ -1 i x ≥ 2;
(-x - 1 + x - 2 = -3, s x< -1 и x < 2;
(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, za x ≥ -1 i x< 2;
(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, s x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Tada će izvorna funkcija izgledati ovako:
(3, za x ≥ 2;
y = (-3, na x< -1;
(2x – 1, s -1 ≤ x< 2.
Dobili smo komadno zadanu funkciju čiji je graf prikazan na slici 6.
3. Algoritam za konstruiranje grafova funkcija oblika
y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + sjekira + b.
U prethodnom primjeru bilo je dovoljno jednostavno proširiti znakove modula. Ako ima više zbrojeva modula, onda je problematično razmotriti sve moguće kombinacije predznaka izraza podmodula. Kako možemo prikazati graf funkcije u ovom slučaju?
Imajte na umu da je graf polilinija, s vrhovima u točkama koje imaju apscise -1 i 2. Za x = -1 i x = 2, izrazi podmodula jednaki su nuli. Na praktičan način smo se približili pravilu za konstruiranje takvih grafova:
Graf funkcije oblika y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b je izlomljena linija s beskonačnim krajnjim karikama. Za konstrukciju takve polilinije dovoljno je poznavati sve njene vrhove (apscise vrhova su nule izraza podmodula) i po jednu kontrolnu točku na lijevoj i desnoj beskonačnoj karici. 
Zadatak.
Nacrtajte funkciju y = |x| + |x – 1| + |x + 1| i pronaći njegovu najmanju vrijednost.
Riješenje:
Nule izraza submodula: 0; -jedan; 1. Vrhovi polilinije (0; 2); (-13); (13). Kontrolna točka desno (2; 6), lijevo (-2; 6). Gradimo graf (slika 7). min f(x) = 2.
Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako nacrtati graf funkcije s modulom?
Za pomoć mentora - prijavite se.
stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.