Koji je najnoviji broj u svijetu. Koji je najveći broj? Kakve su to, ogromne brojke

Jednom sam pročitao tragičnu priču o Čukči kojeg su polarni istraživači naučili brojati i pisati brojeve. Čarolija brojeva toliko ga se dojmila da je u bilježnicu koju su poklonili polarni istraživači odlučio zapisati redom apsolutno sve brojeve na svijetu, počevši od jedan. Chukchi napušta sve svoje poslove, prestaje komunicirati čak i sa svojom ženom, više ne lovi tuljane i tuljane, već piše i piše brojeve u bilježnicu .... Tako prođe godina. Na kraju bilježnica završava i Čukči shvaća da je uspio zapisati samo mali dio svih brojeva. Gorko plače i u očaju spaljuje naškrabanu bilježnicu kako bi ponovno počeo živjeti jednostavnim životom ribara, ne razmišljajući više o tajanstvenoj beskonačnosti brojeva...

Nećemo ponavljati podvig ovog Čukče i pokušati pronaći najveći broj, jer svakom broju treba samo dodati jedan da bi se dobio još veći broj. Postavimo si slično, ali različito pitanje: koji je od brojeva koji imaju svoje ime najveći?

Očito, iako su sami brojevi beskonačni, vlastite titule nema ih mnogo, budući da se većina zadovoljava imenima sastavljenim od manjih brojeva. Tako, na primjer, brojevi 1 i 100 imaju svoja imena "jedan" i "sto", a naziv broja 101 već je složen ("sto jedan"). Jasno je da u konačnom skupu brojeva koje je čovječanstvo nagradilo vlastitim imenom mora postojati neki najveći broj. Ali kako se to zove i čemu je jednako? Pokušajmo to shvatiti i otkriti, na kraju, ovo je najveći broj!

Broj

latinski kardinalni broj

ruski prefiks

"Kratka" i "duga" ljestvica

Povijest suvremenog sustava imenovanja velikih brojeva seže u sredinu 15. stoljeća, kada su u Italiji za tisuću na kvadrat počeli koristiti riječi "milijun" (doslovno - velika tisuća), "bimilijun" za milijun. na kvadrat i "trimilijun" za milijun na kub. Za ovaj sustav znamo zahvaljujući francuskom matematičaru Nicolasu Chuquetu (Nicolas Chuquet, oko 1450. - oko 1500.): u svojoj raspravi Znanost o brojevima (Triparty en la science des nombres, 1484.), on je razvio ovu ideju, predlažući da dalje koristite latinske kardinalne brojeve (vidi tablicu), dodajući ih kraju "-milijun". Tako se Šukeov "bimilijun" pretvorio u milijardu, "trimilijun" u trilijun, a milijun na četvrtu potenciju postao je "kvadrilijun".

U Schückeovom sustavu broj 10 9 , koji je bio između milijun i milijarda, nije imao svoje ime i nazivao se jednostavno "tisuću milijuna", slično tome, 10 15 se nazivao "tisuću milijardi", 10 21 - " tisuću bilijuna", itd. Nije bilo baš zgodno, a 1549. francuski pisac i znanstvenik Jacques Peletier du Mans (1517.-1582.) predložio je da se takvi "međubrojevi" imenuju istim latinskim prefiksima, ali završetkom "-milijarda". Tako je 10 9 postao poznat kao "milijarda", 10 15 - "biljar", 10 21 - "bilijun", itd.

Sustav Shuquet-Peletier postupno je postao popularan i korišten u cijeloj Europi. Međutim, u 17. stoljeću pojavio se neočekivani problem. Ispostavilo se da su se iz nekog razloga neki znanstvenici počeli zbunjivati ​​i broj 10 9 nazivati ​​ne "milijardom" ili "tisuću milijuna", već "milijardom". Ubrzo se ova pogreška brzo proširila i nastala je paradoksalna situacija - "milijarda" je istovremeno postala sinonim za "milijun" (10 9) i "milijun milijuna" (10 18).

Ova zbrka trajala je dugo i dovela je do činjenice da su u SAD-u stvorili vlastiti sustav imenovanja velikih brojeva. Prema američkom sustavu, nazivi brojeva grade se na isti način kao u Schücke sustavu - latinski prefiks i završetak "milijun". Međutim, ove brojke su različite. Ako su u sustavu Schuecke imena sa završetkom "milijun" dobivala brojeve koji su bili milijunske potencije, onda je u američkom sustavu završetak "-milijun" dobivao potencije tisućice. Odnosno, tisuću milijuna (1000 3 \u003d 10 9) počelo se nazivati ​​"milijarda", 1000 4 (10 12) - "bilijun", 1000 5 (10 15) - "kvadrilijun", itd.

Stari sustav imenovanja velikih brojeva nastavio se koristiti u konzervativnoj Velikoj Britaniji i počeo se nazivati ​​"britanskim" u cijelom svijetu, unatoč činjenici da su ga izmislili Francuzi Shuquet i Peletier. Međutim, 1970-ih je Velika Britanija službeno prešla na "američki sustav", što je dovelo do toga da je postalo nekako čudno jedan sustav nazivati ​​američkim, a drugi britanskim. Kao rezultat toga, američki sustav sada se obično naziva "kratka skala", a britanski ili Chuquet-Peletier sustav kao "duga skala".

Kako se ne bi zabunili, rezimirajmo srednji rezultat:

Naziv broja

Vrijednost na "kratkoj ljestvici"

Vrijednost na "dugoročnoj skali"

milijarda

biljar

bilijun

bilijun

kvadrilijun

kvadrilijun

Quintillion

kvintilijun

Sextillion

Sextillion

Septillion

Septilijard

Oktilion

Oktilijard

Quintillion

Nonilliard

Decillion

decilijard

Kratka ljestvica naziva sada se koristi u Sjedinjenim Državama, Velikoj Britaniji, Kanadi, Irskoj, Australiji, Brazilu i Portoriku. Rusija, Danska, Turska i Bugarska također koriste kratku ljestvicu, samo što broj 109 nije nazvan "milijarda" nego "milijarda". Duga ljestvica i danas se koristi u većini drugih zemalja.

Zanimljivo je da se u našoj zemlji konačni prijelaz na kratku ljestvicu dogodio tek u drugoj polovici 20. stoljeća. Tako, na primjer, čak i Yakov Isidorovich Perelman (1882-1942) u svojoj "Zabavnoj aritmetici" spominje paralelno postojanje dviju ljestvica u SSSR-u. Kratka se ljestvica, prema Perelmanu, koristila u svakodnevnom životu i financijskim proračunima, a duga u znanstvenim knjigama o astronomiji i fizici. Međutim, sada je pogrešno koristiti dugu ljestvicu u Rusiji, iako su brojke tamo velike.

Ali vratimo se pronalaženju najvećeg broja. Nakon deciliona, nazivi brojeva dobivaju se kombinacijom prefiksa. Tako se dobivaju brojevi kao što su undecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, novemdecillion itd. Međutim, ta imena nas više ne zanimaju, jer smo se dogovorili da ćemo pronaći najveći broj sa svojim nesloženim imenom.

Ako se okrenemo latinskoj gramatici, ustanovit ćemo da su Rimljani imali samo tri nesložena naziva za brojeve veće od deset: viginti - "dvadeset", centum - "sto" i mille - "tisuću". Za brojeve veće od "tisuću" Rimljani nisu imali svoja imena. Na primjer, Rimljani su milijun (1.000.000) nazivali "decies centena milia", odnosno "deset puta sto tisuća". Prema Schueckeovom pravilu, ova tri preostala latinska broja daju nam nazive za brojeve kao što su "vigintillion", "centillion" i "milleillion".


Dakle, saznali smo da je na "kratkoj ljestvici" maksimalan broj koji ima svoje ime i nije sastavak manjih brojeva "milijun" (10 3003). Kad bi se u Rusiji usvojila "dugačka ljestvica" imenovanja brojeva, tada bi najveći broj s vlastitim imenom bio "milijun" (10 6003).

Međutim, postoje nazivi za još veće brojeve.

Brojevi izvan sustava

Neki brojevi imaju svoje ime, bez ikakve veze sa sustavom imenovanja pomoću latiničnih prefiksa. A takvih je brojeva mnogo. Možete, na primjer, zapamtiti broj e, broj "pi", tucet, broj zvijeri itd. No, budući da nas sada zanimaju veliki brojevi, razmatrat ćemo samo one brojeve s vlastitim nesloženim nazivom koji su veći od milijun.

Sve do 17. stoljeća Rusija je koristila vlastiti sustav imenovanja brojeva. Deseci tisuća zvali su se "tamni", stotine tisuća zvali su "legije", milijuni su zvali "leodres", desetke milijuna zvali su "gavrane", a stotine milijuna zvali su "špile". Taj račun do stotina milijuna nazvan je “mali račun”, au nekim su rukopisima autori razmatrali i “veliki račun”, u kojem su isti nazivi korišteni za velike brojeve, ali s drugačijim značenjem. Dakle, "tama" nije značila deset tisuća, nego tisuću tisuća (10 6), "legija" - tama onih (10 12); "leodr" - legija legija (10 24), "gavran" - leodr od leodres (10 48). Iz nekog razloga, "špil" u velikom slavenskom brojanju nije nazvan "gavran gavrana" (10 96), već samo deset "gavrana", odnosno 10 49 (vidi tablicu).

Naziv broja

Značenje u "malo"

Značenje u "velikom računu"

Oznaka

Gavran (Gavran)


Broj 10100 ima i svoje ime, a izmislio ga je devetogodišnji dječak. I bilo je tako. Godine 1938. američki matematičar Edward Kasner (Edward Kasner, 1878-1955) šetao je parkom sa svoja dva nećaka i s njima raspravljao o velikim brojevima. U razgovoru smo govorili o broju sa stotinu nula, koji nije imao svoje ime. Jedan od njegovih nećaka, devetogodišnji Milton Sirott, predložio je da se ovaj broj nazove "googol". Edward Kasner je 1940. godine, zajedno s Jamesom Newmanom, napisao publicističku knjigu Mathematics and the Imagination, u kojoj je ljubitelje matematike podučavao o googol broju. Google je postao još poznatiji krajem 1990-ih, zahvaljujući Google tražilici nazvanoj po njemu.

Naziv za još veći broj od googola nastao je 1950. godine zahvaljujući ocu računalne znanosti, Claudeu Shannonu (Claude Elwood Shannon, 1916.-2001.). U svom članku "Programiranje računala za igranje šaha" pokušao je procijeniti taj broj opcije partija šaha. Prema njemu, svaka partija u prosjeku traje 40 poteza, a na svakom potezu igrač bira prosječno 30 opcija, što odgovara 900 40 (približno jednako 10 118) opcija igre. Ovaj rad je postao nadaleko poznat, a ovaj broj je postao poznat kao "Shannonov broj".

U poznatoj budističkoj raspravi Jaina Sutra, koja datira iz 100. godine prije Krista, broj "asankheya" nalazi se jednak 10 140. Vjeruje se da je taj broj jednak broju kozmičkih ciklusa potrebnih za postizanje nirvane.

Devetogodišnji Milton Sirotta ušao je u povijest matematike ne samo izumom broja googol, već i time što je istovremeno predložio još jedan broj - "googolplex", koji je jednak 10 na potenciju "googol", tj. , jedan s gugolom nula.

Još dva broja veća od googolplexa predložio je južnoafrički matematičar Stanley Skewes (1899.-1988.) prilikom dokazivanja Riemannove hipoteze. Prvi broj, koji je kasnije nazvan "Skeuseov prvi broj", jednak je e do te mjere e do te mjere e na potenciju 79, tj e e e 79 = 10 10 8.85.10 33 . Međutim, "drugi Skewesov broj" još je veći i iznosi 10 10 10 1000 .

Očito, što je više stupnjeva u broju stupnjeva, to je teže zapisati brojeve i razumjeti njihovo značenje prilikom čitanja. Štoviše, moguće je doći do takvih brojeva (i oni su, usput rečeno, već izmišljeni), kada stupnjevi stupnjeva jednostavno ne stanu na stranicu. Da, kakva stranica! Neće stati ni u knjigu veličine cijelog svemira! U ovom slučaju postavlja se pitanje kako zapisati takve brojeve. Problem je, na sreću, rješiv, a matematičari su razvili nekoliko principa za pisanje takvih brojeva. Istina, svaki matematičar koji je postavio ovaj problem došao je do vlastitog načina pisanja, što je dovelo do postojanja nekoliko nepovezanih načina pisanja velikih brojeva - to su zapisi Knuta, Conwaya, Steinhausa itd. Sada ćemo se pozabaviti nekim od njih.

Ostale oznake

Godine 1938., iste godine kada je devetogodišnji Milton Sirotta došao do brojeva googol i googolplex, Hugo Dionizy Steinhaus, 1887-1972, knjiga o zabavnoj matematici, Matematički kaleidoskop, objavljena je u Poljskoj. Ova je knjiga postala vrlo popularna, doživjela je mnoga izdanja i prevedena je na mnoge jezike, uključujući engleski i ruski. U njemu Steinhaus, govoreći o velikim brojevima, nudi jednostavan način njihovog pisanja pomoću tri geometrijska oblika - trokuta, kvadrata i kruga:

"n u trokutu" znači " n n»,
« n kvadrat" znači " n u n trokuta",
« n u krugu" znači " n u n kvadrati."

Objašnjavajući ovakav način pisanja, Steinhaus dolazi do broja "mega" jednakog 2 u krugu i pokazuje da je jednak 256 u "kvadratu" ili 256 u 256 trokuta. Da biste ga izračunali, morate povećati 256 na potenciju 256, podignuti dobiveni broj 3.2.10 616 na potenciju 3.2.10 616, zatim podignuti rezultirajući broj na potenciju dobivenog broja, i tako dalje da povisite na potenciju 256 puta. Na primjer, kalkulator u MS Windowsima ne može izračunati zbog preljeva 256 čak ni u dva trokuta. Otprilike ovaj ogroman broj je 10 10 2,10 619 .

Odredivši broj "mega", Steinhaus poziva čitatelje da samostalno procijene još jedan broj - "medzon", jednak 3 u krugu. U drugom izdanju knjige, Steinhaus umjesto medzone predlaže da se procijeni još veći broj - "megiston", jednak 10 u krugu. I ja ću, slijedeći Steinhausa, preporučiti čitateljima da se malo odmore od ovog teksta i pokušaju sami zapisati te brojeve koristeći obične potencije kako bi osjetili njihovu gigantsku veličinu.

Međutim, postoje imena za oko veći brojevi. Dakle, kanadski matematičar Leo Moser (Leo Moser, 1921-1970) finalizirao je Steinhausovu notaciju, koja je bila ograničena činjenicom da bi se pojavile poteškoće i neugodnosti, ako bi bilo potrebno zapisati brojeve mnogo veće od megistona, jer morao bi nacrtati mnogo krugova jedan u drugom. Moser je predložio da se ne crtaju krugovi nakon kvadrata, već peterokuti, zatim šesterokuti i tako dalje. Također je predložio formalnu notaciju za te poligone, tako da se brojevi mogu pisati bez crtanja složenih uzoraka. Moserova notacija izgleda ovako:

« n trokut" = n n = n;
« n u kvadratu" = n = « n u n trokuta" = nn;
« n u peterokutu" = n = « n u n kvadrati" = nn;
« n u k+ 1-kut" = n[k+1] = " n u n k-gons" = n[k]n.

Dakle, prema Moserovoj notaciji, Steinhausov "mega" je zapisan kao 2, "medzon" kao 3, a "megiston" kao 10. Osim toga, Leo Moser je predložio da se poligon s brojem stranica jednakim mega - "megagon" ". I predložio je broj "2 u megagonu", odnosno 2. Taj je broj postao poznat kao Moserov broj ili jednostavno kao "moser".

Ali ni "moser" nije najveći broj. Dakle, najveći broj ikada korišten u matematičkom dokazu je "Grahamov broj". Ovaj broj prvi je upotrijebio američki matematičar Ronald Graham 1977. godine kada je dokazivao jednu procjenu u Ramseyevoj teoriji, naime kada je izračunavao dimenzije određenih n-dimenzionalne bikromatske hiperkocke. Grahamov broj je stekao slavu tek nakon priče o njemu u knjizi Martina Gardnera iz 1989. godine "From Penrose Mosaics to Secure Ciphers".

Da bi se objasnilo koliki je Grahamov broj, potrebno je objasniti drugi način pisanja velikih brojeva, koji je uveo Donald Knuth 1976. Američki profesor Donald Knuth osmislio je koncept superstupnja, koji je predložio da se napiše strelicama prema gore:

Mislim da je sve jasno, pa da se vratimo Grahamovom broju. Ronald Graham predložio je takozvane G-brojeve:

Ovdje je broj G 64 i naziva se Grahamov broj (često se jednostavno označava kao G). Ovaj broj je najveći poznati broj na svijetu koji se koristi u matematičkom dokazu, a čak je uvršten u Guinnessovu knjigu rekorda.

I konačno

Nakon što sam napisao ovaj članak, ne mogu odoljeti iskušenju i smisliti vlastiti broj. Neka se nazove ovaj broj spajalica» i bit će jednak broju G 100 . Zapamtite ga i kada vaša djeca pitaju koji je najveći broj na svijetu, recite im da se taj broj zove spajalica.

Vijesti o partnerima

Još u četvrtom razredu zanimalo me pitanje: "Kako se zovu brojevi veći od milijarde? I zašto?". Od tada sam dugo tražio sve informacije o ovoj problematici i prikupljao ih malo po malo. No s pojavom pristupa Internetu, pretraga se znatno ubrzala. Sada iznosim sve informacije koje sam pronašao kako bi drugi mogli odgovoriti na pitanje: "Kako se nazivaju veliki i vrlo veliki brojevi?".

Malo povijesti

Južni i istočni slavenski narodi koristili su se abecednim numeriranjem za bilježenje brojeva. Štoviše, kod Rusa nisu sva slova igrala ulogu brojeva, već samo ona koja su u grčkom alfabetu. Iznad slova, koje označava broj, postavljena je posebna ikona "titlo". Istodobno su se brojčane vrijednosti slova povećavale istim redoslijedom kojim su slijedila slova grčke abecede (redoslijed slova slavenske abecede bio je nešto drugačiji).

U Rusiji je slavensko numeriranje preživjelo do kraja 17. stoljeća. Pod Petrom I. prevladavalo je takozvano "arapsko numeriranje", koje koristimo i danas.

Došlo je i do promjena u nazivima brojeva. Na primjer, do 15. stoljeća broj "dvadeset" označavao se kao "dvije desetice" (dvije desetice), ali je potom smanjen radi bržeg izgovora. Sve do 15. stoljeća broj "četrdeset" označavao se riječju "četrdeset", a u 15. i 16. stoljeću tu riječ istiskuje riječ "četrdeset", koja je izvorno označavala vreću u koju je stavljeno 40 vjeveričijih ili samurovih koža. postavljeni. Postoje dvije opcije o podrijetlu riječi "tisuću": od starog naziva "debela stotina" ili od modifikacije latinske riječi centum - "sto".

Naziv "milijun" prvi put se pojavio u Italiji 1500. godine i nastao je dodavanjem augmentativnog sufiksa broju "mille" - tisuću (tj. značilo je "velika tisuća"), u ruski jezik prodro je kasnije, a prije toga isto značenje u ruskom je označeno brojem "leodr". Riječ "milijarda" ušla je u upotrebu tek od vremena francusko-pruskog rata (1871.), kada su Francuzi morali Njemačkoj platiti odštetu od 5.000.000.000 franaka. Kao i "milijun", riječ "milijarda" dolazi od korijena "tisuću" s dodatkom talijanskog povećala. U Njemačkoj i Americi je neko vrijeme riječ "milijarda" označavala brojku od 100.000.000; ovo objašnjava zašto je riječ milijarder korištena u Americi prije nego što je itko od bogataša imao 1.000.000.000 dolara. U staroj (XVIII. stoljeće) "Aritmetici" Magnitskog postoji tablica naziva brojeva, dovedena do "kvadrilijuna" (10 ^ 24, prema sustavu kroz 6 znamenki). Perelman Ya.I. u knjizi "Zabavna aritmetika" navedeni su nazivi velikih brojeva tog vremena, nešto drugačiji od današnjih: septilion (10^42), oktalion (10^48), nonalion (10^54), dekalion (10^60) , endekalion (10 ^ 66), dodekalion (10 ^ 72) i zapisano je da "nema daljnjih imena".

Načela imenovanja i popisa velikih brojeva
Svi nazivi velikih brojeva izgrađeni su na prilično jednostavan način: na početku je latinski redni broj, a na kraju mu se dodaje sufiks -milijun. Iznimka je naziv "milijun" koji je naziv broja tisuću (mille) i uvećavačkog sufiksa -milijun. U svijetu postoje dvije glavne vrste naziva za velike brojeve:
Sustav 3x + 3 (gdje je x latinski redni broj) - ovaj sustav se koristi u Rusiji, Francuskoj, SAD-u, Kanadi, Italiji, Turskoj, Brazilu, Grčkoj
i sustav 6x (gdje je x latinski redni broj) - ovaj sustav je najčešći u svijetu (na primjer: Španjolska, Njemačka, Mađarska, Portugal, Poljska, Češka, Švedska, Danska, Finska). U njemu nedostajući intermedijer 6x + 3 završava sufiksom -billion (od njega smo posudili milijardu, koja se također zove milijarda).

Opći popis brojeva koji se koriste u Rusiji prikazan je u nastavku:

Broj Ime latinski broj SI povećalo SI deminutivni prefiks Praktična vrijednost
10 1 deset deka- odlučiti Broj prstiju na 2 ruke
10 2 jedna stotina hekto- centi- Otprilike polovica svih država na Zemlji
10 3 tisuću kilo- Mili- Približan broj dana u 3 godine
10 6 milijuna jedan (ja) mega- mikro- 5 puta veći broj kapi u kantu vode od 10 litara
10 9 milijarda (milijarda) duo (II) giga- nano Približan broj stanovnika Indije
10 12 bilijun tres(III) tera- piko- 1/13 bruto domaćeg proizvoda Rusije u rubljama za 2003
10 15 kvadrilijun kvator(IV) peta- femto- 1/30 duljine parseka u metrima
10 18 kvintilijun quinque (V) egza- atto- 1/18 broja zrna iz legendarne nagrade izumitelju šaha
10 21 sextillion spol (VI) zetta- zepto- 1/6 mase planeta Zemlje u tonama
10 24 septilion rujna (VII.) Yotta- yocto- Broj molekula u 37,2 litre zraka
10 27 oktilion listopad (VIII) Ne- sito- Polovica mase Jupitera u kilogramima
10 30 kvintilijun studeni(IX) Dea- tredo- 1/5 svih mikroorganizama na planeti
10 33 decilijun prosinac(X) ne- revo- Pola mase Sunca u gramima

Izgovor brojeva koji slijede često je drugačiji.
Broj Ime latinski broj Praktična vrijednost
10 36 andecillion undecima (XI)
10 39 duodecilion dvanaesnik (XII)
10 42 tredecilion tredecim(XIII) 1/100 broja molekula zraka na Zemlji
10 45 kvatordecilion quattuordecim (XIV)
10 48 kvindecilijun kvindecima (XV)
10 51 sexdecillion sedecim (XVI.)
10 54 septemdecilion septendecim (XVII.)
10 57 oktodecilion Toliko elementarnih čestica na suncu
10 60 novemdecillion
10 63 vigintillion djevice (XX)
10 66 anvigintilion unus et viginti (XXI)
10 69 duovigintillion duo et viginti (XXII.)
10 72 trevigintilijun tres et viginti (XXIII)
10 75 quattorvigintillion
10 78 kvinvigintilion
10 81 sexvigintillion Toliko elementarnih čestica u svemiru
10 84 septemvigintillion
10 87 octovigintillion
10 90 novemvigintillion
10 93 trigintilijun triginta (XXX)
10 96 antirigintilion
    ...
  • 10 100 - googol (broj je izmislio 9-godišnji nećak američkog matematičara Edwarda Kasnera)


  • 10 123 - quadragintillion (quadragaginta, XL)

  • 10 153 - kvinkvagintilijun (quinquaginta, L)

  • 10 183 - sexagintillion (sexaginta, LX)

  • 10 213 - septuagintillion (septuaginta, LXX)

  • 10 243 - oktogintilion (octoginta, LXXX)

  • 10 273 - nonagintillion (nonaginta, XC)

  • 10 303 - centilijun (Centum, C)

Daljnja imena mogu se dobiti izravnim ili obrnutim redoslijedom latinskih brojeva (ne zna se kako ispravno):

  • 10 306 - ancentilion ili centunilion

  • 10 309 - duocentilion ili centduollion

  • 10 312 - trecentilijun ili centtrilijun

  • 10 315 - kvatorcentilijun ili centkvadrilijun

  • 10 402 - tritrigintacentilion ili centtretrigintillion

Vjerujem da će drugi način pisanja biti najispravniji, jer je dosljedniji konstrukciji brojeva u latinskom jeziku i izbjegava dvosmislenosti (na primjer, u broju trecentilijun, koji je u prvom pravopisu i 10903 i 10312).
Brojevi sljedeći:
Neke literarne reference:

  1. Perelman Ya.I. „Zabavna aritmetika“. - M.: Triada-Litera, 1994, str. 134-140

  2. Vygodsky M.Ya. „Priručnik za elementarnu matematiku“. - St. Petersburg, 1994., str. 64-65

  3. „Enciklopedija znanja“. - komp. U I. Korotkevič. - St. Petersburg: Sova, 2006., str. 257

  4. „Zabavno o fizici i matematici.“ – Knjižnica Kvant. problem 50. - M.: Nauka, 1988, str. 50

“Vidim nakupine nejasnih brojeva kako vrebaju tamo vani u mraku, iza male točke svjetla koju daje svijeća uma. Šapuću jedno drugome; pričati o tko zna čemu. Možda nas baš i ne vole jer njihovu malu braću hvatamo svojim umovima. Ili možda samo vode nedvosmislen numerički način života, tamo vani, izvan našeg razumijevanja.''
Douglas Ray

Mi nastavljamo naše. Danas imamo brojeve...

Prije ili kasnije, svakoga muči pitanje koji je najveći broj. Na dječje pitanje može se odgovoriti na milijun. Što je sljedeće? bilijun. I još dalje? Zapravo, odgovor na pitanje koji su najveći brojevi je jednostavan. Jednostavno vrijedi najvećem broju dodati jedan jer više neće biti najveći. Ovaj postupak se može nastaviti na neodređeno vrijeme.

Ali ako se zapitate: koji je najveći broj koji postoji i kako se on sam zove?

Sada svi znamo...

Postoje dva sustava za imenovanje brojeva - američki i engleski.

Američki sustav izgrađen je vrlo jednostavno. Svi nazivi velikih brojeva grade se ovako: na početku je latinski redni broj, a na kraju mu se dodaje sufiks -milijun. Iznimka je naziv "milijun" koji je naziv broja tisuću (lat. milja) i povećalni sufiks -milijun (vidi tablicu). Tako se dobiju brojke - trilijun, kvadrilijun, kvintilijun, sekstilijun, septilijun, oktilion, nonilijun i decilijun. Američki sustav koristi se u SAD-u, Kanadi, Francuskoj i Rusiji. Broj nula u broju napisanom u američkom sustavu možete saznati pomoću jednostavne formule 3 x + 3 (gdje je x latinski broj).

Engleski sustav imenovanja je najčešći u svijetu. Koristi se, primjerice, u Velikoj Britaniji i Španjolskoj, kao iu većini bivših engleskih i španjolskih kolonija. Imena brojeva u ovom sustavu grade se ovako: ovako: latinskom broju dodaje se sufiks -milijun, sljedeći broj (1000 puta veći) gradi se po principu - isti latinski broj, ali nastavak je - milijarda. Odnosno, nakon trilijuna u engleskom sustavu dolazi trilijun, pa tek onda kvadrilijun, nakon čega slijedi kvadrilijun i tako dalje. Dakle, kvadrilijun po engleskom i američkom sustavu potpuno su različite brojke! Broj nula u broju napisanom u engleskom sustavu koji završava sufiksom -milijun možete saznati pomoću formule 6 x + 3 (gdje je x latinski broj) i pomoću formule 6 x + 6 za brojeve koji završavaju na - milijarda.

Samo je broj milijarda (10 9 ) prešao iz engleskog sustava u ruski jezik, koji bi, ipak, bilo ispravnije nazvati ga onako kako ga zovu Amerikanci - milijarda, budući da smo prihvatili američki sustav. Ali tko kod nas radi nešto po pravilima! ;-) Inače, ponekad se riječ trilijun koristi i u ruskom (možete se sami uvjeriti ako pretražite Google ili Yandex) i znači, izgleda, 1000 bilijuna, tj. kvadrilijun.

Osim brojeva koji se u američkom ili engleskom sustavu pišu latiničnim prefiksima, poznati su i tzv. izvansustavski brojevi, tj. brojevi koji imaju vlastita imena bez ikakvih latinskih prefiksa. Postoji nekoliko takvih brojeva, ali o njima ću detaljnije govoriti malo kasnije.

Vratimo se pisanju latiničnim brojevima. Čini se da mogu pisati brojeve do beskonačnosti, ali to nije sasvim točno. Sada ću objasniti zašto. Pogledajmo prvo kako se zovu brojevi od 1 do 10 33:

I tako, sad se postavlja pitanje što dalje. Što je decillion? U principu, moguće je, naravno, kombiniranjem prefiksa generirati takva čudovišta kao što su: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion i novemdecillion, ali to će već biti složena imena, a nas je zanimalo naša vlastita imena brojevi. Dakle, prema ovom sustavu, osim gore navedenog, još uvijek možete dobiti samo tri vlastita imena - vigintillion (od lat.viginti- dvadeset), centilijun (od lat.postotak- sto) i milijun (od lat.milja- tisuću). Rimljani nisu imali više od tisuću vlastitih naziva za brojeve (svi brojevi iznad tisuću bili su složeni). Na primjer, milijun (1.000.000) Rimljana je zvalocentena miliatj. deset stotina tisuća. A sada, zapravo, tablica:

Dakle, prema sličnom sustavu, brojevi su veći od 10 3003 , koji bi imao svoj, nesloženi naziv, nemoguće je nabaviti! Ipak, poznati su brojevi veći od milijun - to su vrlo nesistemski brojevi. Na kraju, razgovarajmo o njima.


Najmanji takav broj je mirijada (ima je čak i u Dahlovom rječniku), što znači stotinu stotina, odnosno 10 000. Istina, ta je riječ zastarjela i praktički se ne koristi, ali je zanimljivo da je riječ "mirijada" široko rasprostranjena. korišteno, što uopće ne znači određeni broj, nego nebrojiv, neprebrojiv skup nečega. Vjeruje se da je riječ mirijada (engleski myriad) došla u europske jezike iz starog Egipta.

O podrijetlu ovog broja postoje različita mišljenja. Neki vjeruju da potječe iz Egipta, dok drugi smatraju da je rođen tek u staroj Grčkoj. Bilo kako bilo, zapravo je mirijada stekla slavu upravo zahvaljujući Grcima. Mirijada je bio naziv za 10.000, a za brojeve preko deset tisuća nije bilo naziva. Međutim, u bilješci "Psammit" (tj. račun pijeska), Arhimed je pokazao kako se može sustavno graditi i imenovati proizvoljno velike brojeve. Konkretno, stavljajući 10 000 (bezbroj) zrna pijeska u zrno maka, on otkriva da u svemir (lopta promjera bezbroj promjera Zemlje) ne bi stalo (u našoj notaciji) ne više od 10 63 zrnce pijeska. Zanimljivo je da moderni izračuni broja atoma u vidljivom svemiru dovode do broja 10 67 (samo bezbroj puta više). Imena brojeva koje je predložio Arhimed su sljedeća:
1 mirijada = 10 4 .
1 di-mirijada = mirijada mirijada = 10 8 .
1 trimirijada = di-mirijada di-mirijada = 10 16 .
1 tetra-mirijada = tri-mirijada tri-mirijada = 10 32 .
itd.



Googol (od engleskog googol) je broj deset na stoti potenciju, odnosno jedan sa stotinu nula. O "googolu" je prvi put pisao 1938. godine američki matematičar Edward Kasner u članku "Nova imena u matematici" u siječanjskom broju časopisa Scripta Mathematica. Prema njegovim riječima, njegov devetogodišnji nećak Milton Sirotta predložio je da se veliki broj nazove "googol". Ovaj broj postao je poznat zahvaljujući tražilici nazvanoj po njemu. Google. Imajte na umu da je "Google" zaštitni znak, a googol broj.


Edward Kasner.

Na internetu se to često spominje - ali nije tako...

U poznatoj budističkoj raspravi Jaina Sutra, koja datira iz 100. godine prije Krista, broj Asankheya (od kineskog. asentzi- neizračunljivo), jednako 10 140. Vjeruje se da je taj broj jednak broju kozmičkih ciklusa potrebnih za postizanje nirvane.


Googolplex (engleski) googolplex) - broj koji je također izmislio Kasner sa svojim nećakom i znači jedan s gugolom nula, odnosno 10 10100 . Evo kako sam Kasner opisuje ovo "otkriće":


Mudre riječi djeca izgovaraju barem jednako često kao i znanstvenici. Naziv "googol" izmislilo je dijete (devetogodišnji nećak dr. Kasnera) koje je zamoljeno da smisli ime za vrlo veliki broj, naime 1 sa stotinu nula iza njega. Bio je vrlo siguran da taj broj nije beskonačan, i stoga je jednako siguran da je morao imati ime googol, ali je ipak konačan, kao što je izumitelj imena brzo istaknuo.

Matematika i mašta(1940.) Kasnera i Jamesa R. Newmana.

Čak i veći od googolplex broja, Skewesov broj predložio je Skewes 1933. (Skewes. J. London Math. soc. 8, 277-283, 1933.) u dokazivanju Riemannove pretpostavke o prostim brojevima. To znači e do te mjere e do te mjere e na potenciju 79, tj. ee e 79 . Kasnije, Riele (te Riele, H. J. J. "O znaku razlike P(x)-Li(x)." matematika Računanje. 48, 323-328, 1987) smanjio Skuseov broj na ee 27/4 , što je približno jednako 8,185 10 370 . Jasno je da budući da vrijednost Skewesovog broja ovisi o broju e, onda to nije cijeli broj, pa ga nećemo razmatrati, inače bismo se morali prisjetiti drugih neprirodnih brojeva - broja pi, broja e itd.


Ali treba napomenuti da postoji drugi Skewesov broj, koji se u matematici označava kao Sk2, koji je čak i veći od prvog Skewesovog broja (Sk1). Skuseov drugi broj, uveo je J. Skuse u istom članku da označi broj za koji Riemannova hipoteza ne vrijedi. Sk2 je 1010 10103 , tj. 1010 101000 .

Kao što razumijete, što je više stupnjeva, to je teže razumjeti koji je od brojeva veći. Na primjer, gledajući Skewesove brojeve, bez posebnih izračuna, gotovo je nemoguće shvatiti koji je od ova dva broja veći. Stoga, za supervelike brojeve, postaje nezgodno koristiti potencije. Štoviše, možete doći do takvih brojeva (i oni su već izmišljeni) kada stupnjevi stupnjeva jednostavno ne stanu na stranicu. Da, kakva stranica! Neće stati ni u knjigu veličine cijelog svemira! U tom slučaju postavlja se pitanje kako ih zapisati. Problem je, kao što razumijete, rješiv, a matematičari su razvili nekoliko principa za pisanje takvih brojeva. Istina, svaki matematičar koji je postavio ovaj problem smislio je svoj način zapisivanja, što je dovelo do postojanja nekoliko, međusobno nepovezanih, načina zapisivanja brojeva - to su zapisi Knutha, Conwaya, Steinhausa itd.

Razmotrite zapis Huga Stenhausa (H. Steinhaus. Matematičke snimke, 3. izd. 1983), što je prilično jednostavno. Steinhouse je predložio pisanje velikih brojeva unutra geometrijski oblici- trokut, kvadrat i krug:

Steinhouse je došao do dva nova super-velika broja. Broj je nazvao - Mega, a broj - Megiston.

Matematičar Leo Moser doradio je Stenhouseov zapis, koji je bio ograničen činjenicom da su se pojavile poteškoće i neugodnosti, ako je trebalo zapisati brojeve mnogo veće od megistona, jer su se mnogi krugovi morali crtati jedan u drugom. Moser je predložio da se ne crtaju krugovi nakon kvadrata, već peterokuti, zatim šesterokuti i tako dalje. Također je predložio formalnu notaciju za te poligone, tako da se brojevi mogu pisati bez crtanja složenih uzoraka. Moserova notacija izgleda ovako:

Dakle, prema Moserovoj notaciji, Steinhouseov mega je zapisan kao 2, a megiston kao 10. Osim toga, Leo Moser je predložio da se poligon s brojem stranica jednakim mega nazove - megagon. I predložio je broj "2 u Megagonu", odnosno 2. Ovaj broj je postao poznat kao Moserov broj ili jednostavno kao moser.


Ali moser nije najveći broj. Najveći broj ikad korišten u matematičkom dokazu je granična vrijednost poznata kao Grahamov broj, prvi put korištena 1977. u dokazu jedne procjene u Ramseyevoj teoriji. Povezana je s bikromatskim hiperkockama i ne može se izraziti bez posebnog sustava od 64 razine posebni matematički simboli koje je uveo Knuth 1976.

Nažalost, broj zapisan u Knuthovoj notaciji ne može se prevesti u Moserovu notaciju. Stoga će i ovaj sustav morati biti objašnjen. U principu, ni u tome nema ništa komplicirano. Donald Knuth (da, da, to je isti Knuth koji je napisao Umijeće programiranja i stvorio uređivač TeX-a) osmislio je koncept supermoći, koji je predložio da se napiše sa strelicama usmjerenim prema gore:

Općenito, to izgleda ovako:

Mislim da je sve jasno, pa da se vratimo Grahamovom broju. Graham je predložio takozvane G-brojeve:


  1. G1 = 3..3, gdje je broj nadstupnjevnih strelica 33.

  2. G2 = ..3, gdje je broj nadstupnjevnih strelica jednak G1 .

  3. G3 = ..3, gdje je broj nadstupnjevnih strelica jednak G2 .


  4. G63 = ..3, gdje je broj strelica supermoći G62 .

Broj G63 postao je poznat kao Grahamov broj (često se jednostavno označava kao G). Ovaj broj je najveći poznati broj na svijetu i čak je naveden u Guinnessovoj knjizi rekorda. Ali

U imenima arapskih brojeva svaka znamenka pripada svojoj kategoriji, a svake tri znamenke čine klasu. Dakle, zadnja znamenka u broju označava broj jedinica u njemu i prema tome se naziva mjestom jedinica. Sljedeća, druga od kraja znamenka označava desetice (desetice), a treća od kraja znamenka broj stotica u broju - znamenka stotica. Nadalje, znamenke se ponavljaju na isti način redom u svakoj klasi, označavajući jedinice, desetice i stotine u klasama tisuća, milijuna i tako dalje. Ako je broj mali i ne sadrži znamenke desetica ili stotina, uobičajeno ih je uzeti kao nulu. Klase grupiraju brojeve u tri, često se u računalnim uređajima ili zapisima između klasa stavlja točka ili razmak kako bi se vizualno odvojile. To je učinjeno kako bi se olakšalo čitanje velikih brojeva. Svaka klasa ima svoje ime: prve tri znamenke su klasa jedinica, zatim klasa tisućica, zatim milijuni, milijarde (ili milijarde) i tako dalje.

Budući da koristimo decimalni sustav, osnovna jedinica količine je desetica, odnosno 10 1 . U skladu s tim, s povećanjem broja znamenki u broju, povećava se i broj desetica od 10 2, 10 3, 10 4 itd. Poznavajući broj desetica, lako možete odrediti klasu i kategoriju broja, na primjer, 10 16 su desetine kvadrilijuna, a 3 × 10 16 su tri desetice kvadrilijuna. Rastavljanje brojeva na decimalne komponente događa se na sljedeći način - svaka znamenka se prikazuje u zasebnom izrazu, pomnožena sa traženim koeficijentom 10 n, gdje je n položaj znamenke u brojanju s lijeva na desno.
Na primjer: 253 981=2×10 6 +5×10 5 +3×10 4 +9×10 3 +8×10 2 +1×10 1

Također, snaga broja 10 također se koristi za pisanje decimala: 10 (-1) je 0,1 ili jedna desetina. Slično kao u prethodnom odlomku, decimalni broj također se može rastaviti, u kojem slučaju će n označavati položaj znamenke iz zareza s desna na lijevo, na primjer: 0,347629= 3x10 (-1) +4x10 (-2) +7x10 (-3) +6x10 (-4) +2x10 (-5) +9x10 (-6) )

Nazivi decimalnih brojeva. Decimalni brojevi se čitaju po zadnjoj znamenki iza decimalne točke, na primjer 0,325 - tristo dvadeset pet tisućinki, gdje su tisućinke znamenka zadnje znamenke 5.

Tablica naziva velikih brojeva, znamenki i klasa

jedinica 1. razreda 1. znamenka jedinice
2. mjesto deset
3. red stotina		 1 = 10 0
10 = 10 1
100 = 10 2
2. klasa tisuća 1. znamenka jedinica tisuća
2. znamenka desetaka tisuća
3. red stotina tisuća		 1 000 = 10 3
10 000 = 10 4
100 000 = 10 5
3. razred milijuni 1. znamenka jedinica milijun
2. znamenka deseci milijuna
3. znamenka stotine milijuna		 1 000 000 = 10 6
10 000 000 = 10 7
100 000 000 = 10 8
4. razred milijarde 1. znamenka jedinica milijarde
2. znamenka deseci milijardi
3. znamenka stotine milijardi		 1 000 000 000 = 10 9
10 000 000 000 = 10 10
100 000 000 000 = 10 11
5. razred bilijuni 1. znamenka bilijuna jedinica
2. znamenka deseci trilijuna
3. znamenka sto bilijuna		 1 000 000 000 000 = 10 12
10 000 000 000 000 = 10 13
100 000 000 000 000 = 10 14
6. razred kvadrilijuni 1. znamenka kvadrilijuna jedinica
2. znamenka desetice kvadrilijuna
3. znamenka desetice kvadrilijuna		 1 000 000 000 000 000 = 10 15
10 000 000 000 000 000 = 10 16
100 000 000 000 000 000 = 10 17
7. razred kvintiliona Jedinice 1. znamenke kvintilijuna
2. znamenka desetine kvintilijuna
3. rang sto kvintilijuna		 1 000 000 000 000 000 000 = 10 18
10 000 000 000 000 000 000 = 10 19
100 000 000 000 000 000 000 = 10 20
8. razred sextillions 1. znamenka sextillion jedinica
2. znamenka desetina sekstilijuna
3. rang stotinu sextillionsa		 1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21
10 000 000 000 000 000 000 000 = 10 22
1 00 000 000 000 000 000 000 000 = 10 23
9. razred septilion 1. znamenka jedinica septilijuna
2. znamenka desetica septilijuna
3. rang sto septilijuna		 1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24
10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 25
100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 26
10. razred oktilion 1. znamenka oktilion jedinica
2. znamenka deset oktiliona
3. rang sto oktilion		 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 27
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 28
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 29

Postoje brojevi koji su tako nevjerojatno, nevjerojatno veliki da bi bio potreban cijeli svemir da ih uopće zapiše. Ali evo što je stvarno izluđujuće... neki od ovih neshvatljivo velikih brojeva iznimno su važni za razumijevanje svijeta.

Kad kažem "najveći broj u svemiru", zapravo mislim najveći smisleno broj, najveći mogući broj koji je na neki način koristan. Mnogo je pretendenata na ovu titulu, ali odmah vas upozoravam: doista postoji rizik da vam se pokušaj da shvatite sve ovo obije o glavu. Osim toga, s previše matematike, malo se zabavljate.

Googol i googolplex

Edward Kasner

Mogli bismo početi s dva, vrlo vjerojatno najveća broja za koje ste ikada čuli, a ovo su doista dva najveća broja koji imaju općeprihvaćene definicije u Engleski jezik. (Postoji prilično precizna nomenklatura koja se koristi za brojeve velike koliko želite, ali ova dva broja trenutno nisu pronađena u rječnicima.) Google, otkako je postao svjetski poznat (iako s pogreškama, napomena. zapravo je googol) u oblik Googlea, rođen je 1920. godine kao način da se djeca zainteresiraju za velike brojeve.

U tu je svrhu Edward Kasner (na slici) poveo svoja dva nećaka, Miltona i Edwina Sirotta, na turneju New Jersey Palisades. Pozvao ih je da iznesu bilo kakvu ideju, a tada je devetogodišnji Milton predložio "googol". Ne zna se odakle mu ova riječ, ali Kasner je tako odlučio ili broj u kojem stotinu nula slijedi iza jedinice od sada će se zvati googol.

Ali mladi Milton nije tu stao, smislio je još veći broj, googolplex. Prema Miltonu, to je broj koji prvo ima 1, a zatim onoliko nula koliko možete napisati prije nego što se umorite. Iako je ideja fascinantna, Kasner smatra da je potrebna formalnija definicija. Kao što je objasnio u svojoj knjizi iz 1940. Mathematics and the Imagination, Miltonova definicija ostavlja otvorenom opasnu mogućnost da bi povremeni šaljivdžija mogao postati matematičar superiorniji od Alberta Einsteina jednostavno zato što ima veću izdržljivost.

Stoga je Kasner odlučio da će googolplex biti , ili 1, nakon čega slijedi googol s nulama. Inače, u notaciji sličnoj onoj kojom ćemo se baviti drugim brojevima, reći ćemo da je googolplex . Kako bi pokazao koliko je ovo očaravajuće, Carl Sagan jednom je primijetio da je fizički nemoguće zapisati sve nule googolplexa jer jednostavno nije bilo dovoljno mjesta u svemiru. Ako je cijeli volumen promatranog svemira ispunjen finim česticama prašine veličine približno 1,5 mikrona, tada broj razne načine mjesto tih čestica bit će približno jednako jednom googolplexu.

Lingvistički govoreći, googol i googolplex su vjerojatno dva najveća značajna broja (barem na engleskom), ali, kao što ćemo sada utvrditi, postoji beskonačno mnogo načina da se definira "značaj".

Stvarni svijet

Ako govorimo o najvećem značajnom broju, postoji razuman argument da to stvarno znači da trebate pronaći najveći broj s vrijednošću koja stvarno postoji na svijetu. Možemo početi s trenutnom ljudskom populacijom, koja trenutno iznosi oko 6920 milijuna. Svjetski BDP u 2010. godini procijenjen je na oko 61.960 milijardi USD, ali obje su brojke male u usporedbi s otprilike 100 trilijuna stanica koje čine ljudsko tijelo. Naravno, nijedan od ovih brojeva ne može se usporediti s ukupnim brojem čestica u svemiru, za koji se obično smatra da iznosi oko , a taj je broj toliko velik da naš jezik nema riječ za njega.

Možemo se malo poigrati s mjernim sustavima, čineći brojeve sve većim i većim. Dakle, masa Sunca u tonama bit će manja nego u funtama. Sjajan način za to je korištenje Planckovih jedinica, koje su najmanje moguće mjere za koje zakoni fizike još uvijek vrijede. Na primjer, starost svemira u Planckovom vremenu je oko . Ako se vratimo na prvu Planckovu vremensku jedinicu nakon Velikog praska, vidjet ćemo da je gustoća Svemira tada bila . Dobivamo sve više i više, ali još nismo stigli ni do googola.

Najveći broj s bilo kojom primjenom u stvarnom svijetu—ili, u ovom slučaju, primjenom u stvarnom svijetu—vjerojatno je jedna od najnovijih procjena broja svemira u multiverzumu. Ovaj broj je toliko velik da ljudski mozak doslovno neće moći percipirati sve te različite svemire, budući da je mozak sposoban samo za grube konfiguracije. Zapravo, ovaj broj je vjerojatno najveći broj s bilo kakvim praktičnim značenjem, ako ne uzmete u obzir ideju multiverzuma kao cjeline. No, tamo još uvijek vrebaju mnogo veće brojke. Ali da bismo ih pronašli, moramo otići u područje čiste matematike, a nema boljeg mjesta za početak od prostih brojeva.

Mersenneovi prosti brojevi

Dio poteškoća je doći do dobre definicije što je "značajan" broj. Jedan način je razmišljati u terminima prostih i složenih brojeva. Prost broj, kao što se vjerojatno sjećate iz školske matematike, je svaki prirodni broj (nije jednak jedinici) koji je djeljiv samo sa sobom. Dakle, i su prosti brojevi, i i su složeni brojevi. To znači da se svaki složeni broj na kraju može prikazati svojim prostim djeliteljima. U određenom smislu, broj je važniji od, recimo, jer ne postoji način da se izrazi u smislu proizvoda manjih brojeva.

Očito možemo ići malo dalje. , na primjer, zapravo je samo , što znači da u hipotetskom svijetu u kojem je naše znanje o brojevima ograničeno na , matematičar još uvijek može izraziti . Ali sljedeći broj je već prost, što znači da je jedini način da ga izrazimo izravno saznanje o njegovom postojanju. To znači da najveći poznati prosti brojevi igraju važnu ulogu, ali, recimo, googol - koji je u konačnici samo zbirka brojeva i , pomnoženih zajedno - zapravo nema. A budući da su prosti brojevi uglavnom nasumični, ne postoji poznati način da se predvidi da će nevjerojatno velik broj zapravo biti prost. Do danas je otkrivanje novih prostih brojeva težak zadatak.

Matematičari antičke Grčke imali su koncept prostih brojeva barem još 500. godine prije Krista, a 2000 godina kasnije ljudi su još uvijek znali što su prosti brojevi do otprilike 750. Euklidovi mislioci vidjeli su mogućnost pojednostavljenja, ali sve do renesansnih matematičara nisu mogli ne koristim ga baš u praksi. Ti su brojevi poznati kao Mersenneovi brojevi i nazvani su po francuskoj znanstvenici Marini Mersenne iz 17. stoljeća. Ideja je vrlo jednostavna: Mersenneov broj je bilo koji broj oblika . Tako, na primjer, a ovaj broj je prost, isto vrijedi i za .

Mersenneove proste brojeve mnogo je brže i lakše odrediti od bilo koje druge vrste prostih brojeva, a računala su mukotrpno radila na njihovom pronalaženju posljednjih šest desetljeća. Do 1952. najveći poznati prosti broj bio je broj — broj s znamenkama. Iste godine računalo je izračunalo da je broj prost, a taj se broj sastoji od znamenki, što ga čini već puno većim od googola.

Od tada su računala u potrazi, a Mersenneov broj trenutno je najveći prost broj poznat čovječanstvu. Otkriven 2008. godine, to je broj s gotovo milijunima znamenki. Ovo je najveći poznati broj koji se ne može izraziti nikakvim manjim brojevima, a ako želite pomoći pronaći još veći Mersenneov broj, vi (i vaše računalo) se uvijek možete pridružiti potrazi na http://www.mersenne. org/.

Skewesov broj

Stanley Skuse

Vratimo se prostim brojevima. Kao što sam već rekao, ponašaju se fundamentalno pogrešno, što znači da ne postoji način da se predvidi koji će biti sljedeći prosti broj. Matematičari su bili prisiljeni okrenuti se nekim prilično fantastičnim mjerenjima kako bi došli do nekog načina predviđanja budućih prostih brojeva, čak i na neki nebulozan način. Najuspješniji od tih pokušaja vjerojatno je funkcija koja broji proste brojeve, do koje je došao krajem XVIII stoljeća legendarni matematičar Carl Friedrich Gauss.

Poštedjet ću vas kompliciranije matematike - u svakom slučaju, imamo još puno toga za doći - ali bit funkcije je sljedeća: za bilo koji cijeli broj moguće je procijeniti koliko prostih brojeva ima manje od . Na primjer, if , funkcija predviđa da bi trebali postojati prosti brojevi, if - prosti brojevi manji od , a ako , tada postoje manji brojevi koji su prosti.

Raspored prostih brojeva doista je nepravilan i samo je aproksimacija stvarnog broja prostih brojeva. Zapravo, znamo da postoje prosti brojevi manji od , prosti brojevi manji od , i prosti brojevi manji od . To je svakako izvrsna procjena, ali to je uvijek samo procjena... i točnije, procjena odozgo.

U svim poznatim slučajevima do , funkcija koja pronalazi broj prostih brojeva malo preuveličava stvarni broj prostih brojeva manji od . Matematičari su nekoć mislili da će to uvijek biti slučaj, ad infinitum, i da se to svakako odnosi na neke nezamislivo velike brojeve, ali 1914. John Edensor Littlewood dokazao je da će za neki nepoznati, nezamislivo ogroman broj, ova funkcija početi proizvoditi manje prostih brojeva, a zatim će se prebacivati ​​između precjenjivanja i podcjenjivanja beskonačan broj puta.

Lovilo se na startnu točku utrka, a tu se pojavio Stanley Skuse (vidi sliku). Godine 1933. dokazao je da je gornja granica, kada funkcija koja aproksimira broj prostih brojeva prvi put daje manju vrijednost, broj. Teško je doista razumjeti, čak i u najapstraktnijem smislu, što je taj broj zapravo, a s ove točke gledišta to je bio najveći broj ikada korišten u ozbiljnom matematičkom dokazu. Od tada su matematičari uspjeli smanjiti gornju granicu na relativno mali broj, ali je izvorni broj ostao poznat kao Skewesov broj.

Dakle, koliki je broj koji čak i moćni googolplex čini patuljastim? U The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells opisuje jedan način na koji je matematičar Hardy uspio shvatiti veličinu Skewesovog broja:

"Hardy je mislio da je to 'najveći broj koji je ikada služio nekoj određenoj svrsi u matematici' i sugerirao da bi se, kada bi se šah igrao sa svim česticama svemira kao figurama, jedan potez sastojao od zamjene dviju čestica, a igra bi prestala kada ista pozicija ponovljena treći put, tada bi broj svih mogućih partija bio jednak otprilike broju Skuse''.

Posljednja stvar prije nego što nastavimo: razgovarali smo o manjem od dva Skewesova broja. Postoji još jedan Skewesov broj, koji je matematičar pronašao 1955. Prvi broj je izveden na temelju toga da je takozvana Riemannova hipoteza istinita - posebno teška hipoteza u matematici koja ostaje nedokazana, vrlo korisna kada su u pitanju prosti brojevi. Međutim, ako je Riemannova hipoteza netočna, Skewes je otkrio da se početna točka skoka povećava na .

Problem veličine

Prije nego što dođemo do broja zbog kojeg čak i Skuseov broj izgleda sićušno, moramo malo porazgovarati o razmjeru jer inače ne možemo procijeniti kamo idemo. Uzmimo prvo broj - to je sićušan broj, toliko mali da ljudi zapravo mogu intuitivno razumjeti što on znači. Vrlo je malo brojeva koji odgovaraju ovom opisu, budući da brojevi veći od šest prestaju biti zasebni brojevi i postaju "nekoliko", "mnogo" itd.

Sada uzmimo, tj. . Iako zapravo ne možemo intuitivno, kao što smo učinili za broj, shvatiti što, zamisliti što je to, vrlo je jednostavno. Zasad sve ide dobro. Ali što će se dogoditi ako odemo na ? Ovo je jednako ili. Jako smo daleko od toga da možemo zamisliti tu vrijednost, kao i bilo koju drugu vrlo veliku - gubimo sposobnost shvaćanja pojedinih dijelova negdje oko milijun. (Doduše, bilo bi nam potrebno nevjerojatno dugo da izbrojimo do milijun bilo čega, ali poanta je u tome da smo još uvijek u stanju percipirati taj broj.)

Međutim, iako ne možemo zamisliti, barem možemo razumjeti u općim crtama, što je 7600 milijardi, možda uspoređujući to s nečim poput američkog BDP-a. Prešli smo od intuicije preko reprezentacije do pukog razumijevanja, ali barem još uvijek imamo neke praznine u našem razumijevanju onoga što je broj. Ovo će se promijeniti kako se pomaknemo još jednu stepenicu na ljestvici.

Da bismo to učinili, moramo prijeći na notaciju koju je uveo Donald Knuth, poznatu kao notacija strelicama. Ove se oznake mogu napisati kao . Kada tada odemo na , broj koji dobivamo bit će . Ovo je jednako zbroju tripleta. Sada smo uvelike i stvarno nadmašili sve druge već spomenute brojeve. Uostalom, čak i najveća od njih imala je samo tri ili četiri člana u seriji indeksa. Na primjer, čak je i Skuseov super broj "samo" - čak i uz činjenicu da su i baza i eksponenti mnogo veći od , on je još uvijek apsolutno ništa u usporedbi s veličinom brojčane kule s milijardama članova.

Očito, ne postoji način da se pojme tako golemi brojevi... a ipak se još uvijek može razumjeti proces kojim nastaju. Nismo mogli razumjeti pravi broj koji daje toranj moći, a to je milijarda trostruko, ali u osnovi možemo zamisliti takav toranj s mnogo članova, a stvarno pristojno superračunalo moći će pohraniti takve tornjeve u memoriju, čak i ako ne može izračunati njihove stvarne vrijednosti.

Postaje sve apstraktniji, ali će biti samo gore. Možda mislite da je toranj potencija čija je duljina eksponenta (štoviše, u prethodnoj verziji ovog posta napravio sam upravo tu pogrešku), ali to je samo . Drugim riječima, zamislite da imate mogućnost izračunati točnu vrijednost trostrukog tornja snage, koji se sastoji od elemenata, a zatim uzmete tu vrijednost i stvorite novi toranj s toliko njih ... da daje .

Ponovite ovaj postupak sa svakim sljedećim brojem ( Bilješka počevši s desna) dok to ne učinite jednom, a onda konačno dobijete . Riječ je o broju koji je jednostavno nevjerojatno velik, ali čini se da su barem koraci do njega jasni ako se sve radi jako sporo. Brojeve više ne možemo razumjeti niti zamisliti postupak kojim se oni dobivaju, ali barem možemo razumjeti osnovni algoritam, tek kroz dovoljno dugo vrijeme.

Sada pripremimo um da ga zapravo digne u zrak.

Grahamov (Grahamov) broj

Ronald Graham

Tako se dobiva Grahamov broj, koji je u Guinnessovoj knjizi svjetskih rekorda svrstan kao najveći broj ikada korišten u matematičkom dokazu. Apsolutno je nemoguće zamisliti kolika je, a jednako je teško objasniti što je točno. U osnovi, Grahamov broj dolazi u obzir kada se radi o hiperkockama, koje su teoretski geometrijski oblici s više od tri dimenzije. Matematičar Ronald Graham (vidi sliku) želio je saznati koji je najmanji broj dimenzija koji bi neka svojstva hiperkocke držao stabilnima. (Oprostite na ovom nejasnom objašnjenju, ali siguran sam da su nam svima potrebne barem dvije diplome iz matematike da bismo ga učinili preciznijim.)

U svakom slučaju, Grahamov broj je gornja procjena ovog minimalnog broja dimenzija. Dakle, kolika je ova gornja granica? Vratimo se broju toliko velikom da algoritam za njegovo dobivanje možemo razumjeti prilično nejasno. Sada, umjesto da samo skočimo još jednu razinu do , brojat ćemo broj koji ima strelice između prve i zadnje trojke. Sada smo daleko iznad čak i najmanjeg razumijevanja toga što je to broj ili čak onoga što treba učiniti da se izračuna.

Sada ponovite ovaj postupak puta ( Bilješka u svakom sljedećem koraku upisujemo broj strelica jednak broju dobivenom u prethodnom koraku).

Ovo je, dame i gospodo, Grahamov broj, koji je otprilike jedan red veličine iznad točke ljudskog razumijevanja. To je broj koji je mnogo veći od bilo kojeg broja koji možete zamisliti - to je daleko više od bilo koje beskonačnosti koju biste se ikada mogli zamisliti - jednostavno prkosi čak i najapstraktnijem opisu.

Ali evo čudne stvari. Budući da je Grahamov broj u osnovi samo trojke pomnožene zajedno, znamo neka od njegovih svojstava, a da ih zapravo nismo izračunali. Ne možemo prikazati Grahamov broj u bilo kojoj notaciji koja nam je poznata, čak i ako bismo upotrijebili cijeli svemir da ga zapišemo, ali mogu vam dati zadnjih dvanaest znamenki Grahamovog broja upravo sada: . I to nije sve: znamo barem posljednje znamenke Grahamova broja.

Naravno, vrijedi zapamtiti da je ovaj broj samo gornja granica u Grahamovom izvornom problemu. Moguće je da je stvarni broj mjerenja potrebnih za postizanje željenog svojstva puno, puno manji. Zapravo, od 1980-ih većina stručnjaka na tom području vjeruje da zapravo postoji samo šest dimenzija - broj koji je toliko malen da ga možemo razumjeti na intuitivnoj razini. Donja granica je od tada povećana na , ali još uvijek postoji vrlo dobra šansa da rješenje Grahamovog problema ne leži blizu broja tako velikog kao Grahamov.

Do beskonačnosti

Dakle, postoje brojevi veći od Grahamovog broja? Ima, naravno, za početak tu je Grahamov broj. Što se tiče značajnog broja... pa, postoje neka vraški teška područja matematike (osobito područje poznato kao kombinatorika) i računalne znanosti, u kojima postoje brojevi čak i veći od Grahamovog broja. Ali skoro smo dosegli granicu onoga za što se nadam da ću moći razumno objasniti. Za one koji su dovoljno nepromišljeni ići i dalje, dodatno čitanje nudimo na vlastitu odgovornost.

Pa, sada nevjerojatan citat koji se pripisuje Douglasu Rayu ( Bilješka Da budem iskren, zvuči prilično smiješno:

“Vidim nakupine nejasnih brojeva kako vrebaju tamo vani u mraku, iza male točke svjetla koju daje svijeća uma. Šapuću jedno drugome; pričati o tko zna čemu. Možda nas baš i ne vole jer njihovu malu braću hvatamo svojim umovima. Ili možda samo vode nedvosmislen numerički način života, tamo vani, izvan našeg razumijevanja.''