Formuler la définition d'un cône tronqué de ses éléments. Frustum

Surface conique est la surface formée de toutes les droites passant par chaque point d'une courbe donnée et un point extérieur à la courbe (Fig. 32).

Cette courbe est appelée guide , droit - formant , point - haut surface conique.

Surface conique circulaire droite est la surface formée de toutes les droites passant par chaque point d'un cercle donné et d'un point d'une droite perpendiculaire au plan du cercle et passant par son centre. Dans ce qui suit nous appellerons brièvement cette surface surface conique (Fig. 33).

Cône (cône circulaire droit ) est un corps géométrique délimité par une surface conique et un plan parallèle au plan du cercle guide (Fig. 34).


Riz. 32 Fig. 33 Fig. 34

Un cône peut être considéré comme un corps obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un axe contenant l'une des branches du triangle.

Le cercle entourant un cône est appelé son base . Le sommet d’une surface conique s’appelle haut cône Le segment reliant le sommet d'un cône au centre de sa base s'appelle hauteur cône Les segments formant une surface conique sont appelés formant cône Axe d'un cône est une ligne droite passant par le sommet du cône et le centre de sa base. Coupe axiale appelée section passant par l’axe du cône. Développement de la surface latérale Un cône est appelé secteur dont le rayon est égal à la longueur de la génératrice du cône, et la longueur de l'arc du secteur est égale à la circonférence de la base du cône.

Les formules suivantes sont correctes pour un cône :

Où R.– rayon de la base ;

H- hauteur;

je– longueur de la génératrice ;

Socle S– la superficie de base ;

Côté S

S plein

V– le volume du cône.

Cône tronqué appelée partie du cône comprise entre la base et le plan de coupe parallèle à la base du cône (Fig. 35).


Un tronc de cône peut être considéré comme un corps obtenu en faisant tourner un trapèze rectangulaire autour d'un axe contenant le côté du trapèze perpendiculaire aux bases.

Les deux cercles entourant un cône sont appelés son les raisons . Hauteur d’un cône tronqué est la distance entre ses bases. Les segments formant la surface conique d'un cône tronqué sont appelés formant . Une ligne droite passant par les centres des bases s'appelle axe cône tronqué. Coupe axiale appelée section passant par l’axe d’un cône tronqué.

Pour un cône tronqué, les formules correctes sont :

(8)

Où R.– rayon de la base inférieure ;

r– rayon de la base supérieure ;

H– hauteur, l – longueur de la génératrice ;

Côté S– surface latérale ;

S plein– superficie totale ;

V– volume d’un cône tronqué.

Exemple 1. La section transversale du cône parallèle à la base divise la hauteur dans un rapport de 1:3, en partant du haut. Trouvez la surface latérale d'un cône tronqué si le rayon de la base et la hauteur du cône sont 9 cm et 12 cm.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 36).

Pour calculer l'aire de la surface latérale d'un cône tronqué, nous utilisons la formule (8). Trouvons les rayons des bases Environ 1 A Et Environ 1 V et former UN B.

Considérons des triangles similaires SO2B Et DONC 1 UN, coefficient de similarité, alors

D'ici

Depuis lors

La surface latérale d'un tronc de cône est égale à :

Répondre: .

Exemple 2. Un quart de cercle de rayon est plié en une surface conique. Trouvez le rayon de la base et la hauteur du cône.

Solution. Le quadrant du cercle est le développement de la surface latérale du cône. Notons r– rayon de sa base, H – hauteur. Calculons la surface latérale à l'aide de la formule : . Elle est égale à l'aire d'un quart de cercle : . On obtient une équation à deux inconnues r Et je(formant un cône). Dans ce cas, la génératrice est égale au rayon du quart de cercle R., ce qui signifie qu'on obtient l'équation suivante : , d'où Connaissant le rayon de la base et la génératrice, on trouve la hauteur du cône :

Répondre: 2 cm, .

Exemple 3. Un trapèze rectangulaire avec un angle aigu de 45 O, une base plus petite de 3 cm et un côté incliné égal à , tourne autour du côté perpendiculaire aux bases. Trouvez le volume du corps de rotation résultant.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 37).

Grâce à la rotation, on obtient un tronc de cône ; pour trouver son volume, on calcule le rayon de la plus grande base et la hauteur. Au trapèze O 1 O 2 AB nous allons procéder AC ^ O 1 B. B on a : cela veut dire que ce triangle est isocèle A.C.=AVANT JC.=3 cm.

Répondre:

Exemple 4. Un triangle de côtés 13 cm, 37 cm et 40 cm tourne autour d'un axe extérieur parallèle au plus grand côté et situé à une distance de 3 cm de celui-ci (l'axe est situé dans le plan du triangle). Trouvez la surface du corps de révolution résultant.

Solution . Faisons un dessin (Fig. 38).

La surface du corps de révolution résultant est constituée des surfaces latérales de deux cônes tronqués et de la surface latérale d'un cylindre. Afin de calculer ces aires, il faut connaître les rayons des bases des cônes et du cylindre ( ÊTRE Et O.C.), formant des cônes ( AVANT JC. Et A.C.) et la hauteur du cylindre ( UN B). La seule inconnue est CO. c'est la distance entre le côté du triangle et l'axe de rotation. Nous trouverons CC. L'aire du triangle ABC d'un côté est égale au produit de la moitié du côté AB et de l'altitude qui y est tracée CC, par contre, connaissant tous les côtés du triangle, on calcule son aire à l’aide de la formule de Héron.

Introduction

Riz. 1. Objets de la vie qui ont la forme d'un ko-nu-sa tronqué

À votre avis, d’où viennent les nouvelles figures en géométrie ? Tout est très simple : une personne dans la vie est devenue avec des objets similaires et vient, comme pour les appeler. Regardons le meuble sur lequel sont assis les lions du cirque, un morceau de carottes récoltées alors que nous en faisons presque partie, un volcan actif et, par exemple, la lumière du fo-na-ri- ka (voir Fig. 1).

Cône tronqué, ses éléments et section axiale

Riz. 2. Géo-met-ri-che-fi-gu-ry

Nous voyons que toutes ces figures ont une forme similaire - elles sont délimitées par des cercles d'en bas et d'en haut, mais elles se rétrécissent vers le haut ( voir Fig. 2).

Riz. 3. De la partie supérieure du co-nu-sa

Cela ressemble à un cône. Mais pas assez de silence. Nous imaginons mentalement que nous prenons un cône et en retirons la partie supérieure d'un seul coup d'épée tranchante (voir Fig. 3).

Riz. 4. Cône tronqué

C'est exactement notre figure ; elle s'appelle un cône tronqué (voir Fig. 4).

Riz. 5. Se-che-nie, parallèle-os-no-va-niyu ko-nu-sa

Qu'un cône soit donné. Créons un plan, un plan parallèle à l'axe de ce co-nu-sa et un cône transversal (voir. Fig. 5).

Cela divisera le cône en deux corps : l'un d'eux est un cône de plus petite taille et le second est appelé un cône tronqué ( voir Fig. 6).

Riz. 6. Corps obtenus dans une section parallèle

Ainsi, un tronc de cône est une partie du cône, reliée entre son corps principal et le corps principal parallèle mais plane. Comme dans le cas d'un cône, un cône tronqué peut avoir un cercle comme base - dans ce cas, on l'appelle un cercle. Si le cône d’origine était droit, alors le cône tronqué est dit droit. Comme dans le cas de ko-nu-sa-mi, nous regarderons les clés, mais ko-nu-s tronqué circulaire droit sy, s'il n'est pas spécifiquement indiqué qu'il s'agit d'un co-nu-se tronqué indirect ou dans sa base il n'y a pas de cercles.

Riz. 7. Rotation d'un piège rectangulaire

Notre thème global est celui des corps de rotation. Un cône tronqué ne fait pas exception ! Rappelons que pour obtenir un co-nu-sa, on smo-mat-ri-va-li un triangle rectangulaire et on le fait tourner autour de ka-te-ta ? Si le cône résultant est coupé avec un plan parallèle à l'axe, alors il ne restera plus de ligne droite du triangle -mo-coal-trape-tion. Sa rotation autour du petit côté nous donnera un cône tronqué. Notons encore qu'il s'agit bien évidemment uniquement d'une co-nu-se circulaire directe (voir Fig. 7).

Riz. 8. Os-no-va-niya tronqué-no-go ko-nu-sa

Je vais faire quelques préparatifs. La base du demi-ko-nu-sa et du cercle, moitié-cha-yu-shay dans la section du ko-nu-sa plat, sur- ils appellent os-no-va-ni-ya-mi tronqué ko-nu-sa (inférieur et supérieur) (voir Fig. 8).

Riz. 9. Ob-ra-zu-yu-schi ko-nu-sa tronqué

A partir des boutures de la moitié ra-zu-yu-shih du co-nu-sa, reliées entre les os-but-va-ni-mi tronqué-mais-go ko-nu-sa, ils appellent about-ra- zu-yu-schi-mi tronqué-no-go ko-nu-sa. Puisque tous les résultats scolaires sont égaux et que tous les résultats scolaires sont égaux, alors les ob-ra-zu-yu tronqués co-nu-sa sont égaux (ne confondez pas le tronqué et le tronqué !). De là découle l'égalité du tra-pe-tion de l'axe de la section (voir Fig. 9).

De l'axe de rotation, enfermé à l'intérieur du co-nu-sa tronqué, ils l'appellent l'axe de l'axe tronqué ko-nu-sa. Ce recoupage, ra-zu-me-et-sya, réunit les centres de ses fondamentaux (voir Fig. 10).

Riz. 10. Axe du ko-nu-sa tronqué

You-so-ta ko-nu-sa tronqué est un per-pen-di-ku-lyar, pro-ve-den du point de l'un des os-no-vaniya à une autre base. Le plus souvent, en votre qualité de vous, vous avez tronqué son axe.

Riz. 11. Ose-voe se-che-nie tronqué-no-go-ko-nu-sa

La section axiale d'un co-nu-sa tronqué est la section passant par son axe. Il a la forme d'un trapèze, un peu plus tard nous montrerons son égalité (voir Fig. 11).

Aires des surfaces latérales et totales d'un cône tronqué

Riz. 12. Cône avec symboles introduits

Trouvons la zone du bo-co-voy au sommet du ko-nu-sa tronqué. Laissez les bases du co-nu-sa tronqué avoir des rayons et , et laissez les ob-ra-zu-yu être égaux (voir Fig. 12).

Riz. 13. Désignation de l'ob-ra-zu-yu-shchei de-se-chen-no-th ko-nu-sa

Trouvons l'aire du bo-ko-voy au dessus du co-nu-sa tronqué comme la différence dans l'aire des bo-ko-voys au sommet-mais-ste-khod-no-go ko-nu-sa et from-se-chen-no-go. Pour ce faire, nous notons la formation du ko-nu-sa (voir Fig. 13).

Alors c'est-ko-may.

Riz. 14. Triangles similaires

Il ne vous reste plus qu'à le découvrir.

Notons que de po-do-biy tri-corn-ni-kov, de-à-oui (voir Fig. 14).

Il serait possible de l'exprimer en le divisant par la différence entre les rayons, mais nous n'en avons pas besoin, car dans le cas présent c'est précisément le fi-gu-ri-ru-et pro-iz-ve-de- niais. En le remplaçant, nous avons finalement : .

Il n’est désormais plus difficile d’obtenir une forme pour une surface complète. Pour ce faire, additionnez exactement l'aire des deux cercles des bases : .

Tâche

Riz. 15. Illu-stration à for-da-che

Laissez le tronc de cône être tourné par un piège rectangulaire autour de sa hauteur. La ligne médiane du trapèze est égale à , et le plus grand côté est égal à (voir Fig. 15). Trouvez la zone du bo-co-voy sur le top-no-sti du ko-nu-sa tronqué.

Solution

D'après la formule, nous savons que .

La formation du ko-nu-sa sera une grande tra-pe-tion continue d'une centaine de ro, c'est-à-dire Ra-di-u-sy ko- well-sa - c'est la base du tra- pe-tion. Nous ne pouvons pas les trouver. Mais nous n'en avons pas besoin : nous avons seulement besoin de leur somme, et la somme des bases d'un trapèze est deux fois plus grande que sa ligne médiane, c'est-à-dire qu'elle est égale à . Alors .

Similitudes entre les cônes tronqués et les pyramides

Faites attention au fait que quand on parle de co-nu-se, on en parle entre lui et pi -ra-mi-doy - les formules étaient analogues. C'est la même chose ici, car un cône tronqué est très similaire à un pi-ra-mi-du tronqué, donc les formules pour la surface sont grandes et complètes top-not-stey ko-nu-sa et pi-ra-mi tronqués -dy (et bientôt il y aura des formules pour le volume) analog-lo-gic-us.

Tâche

Riz. 1. Illu-strat-tion à za-da-che

Les ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa sont égaux à et , et les ob-ra-zu-yu-shchaya sont égaux à . Trouvez le co-nu-sa tronqué et l'aire de son axe (voir Fig. 1).

Qui émanent d'un point (le sommet du cône) et qui traversent une surface plane.

Il arrive qu'un cône soit une partie d'un corps qui a un volume limité et qui est obtenu en combinant chaque segment qui relie le sommet et les points d'une surface plane. Ce dernier, dans ce cas, est base du cône, et on dit que le cône repose sur cette base.

Lorsque la base d’un cône est un polygone, c’est déjà pyramide .

Cône circulaire- il s'agit d'un corps constitué d'un cercle (la base du cône), d'un point qui ne se trouve pas dans le plan de ce cercle (le sommet du cône et tous les segments qui relient le sommet du cône aux points du base).

Les segments qui relient le sommet du cône et les points du cercle de base sont appelés formant un cône. La surface du cône est constituée d'une base et d'une surface latérale.

La surface latérale est correcte n-une pyramide de carbone inscrite dans un cône :

S n =½P n l n,

Où P n- le périmètre de la base de la pyramide, et l n- apothème.

Par le même principe : pour la surface latérale d'un tronc de cône à rayons de base R1, R2 et former je on obtient la formule suivante :

S=(R1 +R2)l.

Cônes circulaires droits et obliques de base et de hauteur égales. Ces corps ont le même volume :

Propriétés d'un cône.

  • Lorsque l'aire de la base a une limite, cela signifie que le volume du cône a également une limite et est égal au tiers du produit de la hauteur et de l'aire de la base.

Où S- surface de base, H- hauteur.

Ainsi, chaque cône qui repose sur cette base et dont le sommet est situé sur un plan parallèle à la base a un volume égal, puisque leurs hauteurs sont les mêmes.

  • Le centre de gravité de chaque cône de volume ayant une limite est situé au quart de la hauteur de la base.
  • L'angle solide au sommet d'un cône circulaire droit peut être exprimé par la formule suivante :

Où α - angle d'ouverture du cône.

  • La surface latérale d'un tel cône, formule :

et la surface totale (c'est-à-dire la somme des surfaces de la surface latérale et de la base), la formule :

S = πR(l+R),

Où R.— rayon de la base, je— longueur de la génératrice.

  • Volume d'un cône circulaire, formule :

  • Pour un cône tronqué (pas seulement droit ou circulaire), volume, formule :

Où S1 Et S2- zone des bases supérieures et inférieures,

h Et H- les distances du plan de la base supérieure et inférieure jusqu'au sommet.

  • L'intersection d'un plan avec un cône circulaire droit est l'une des sections coniques.

La géométrie est une branche des mathématiques qui étudie les structures dans l'espace et les relations entre elles. À son tour, il se compose également de sections, dont la stéréométrie. Il s'agit de l'étude des propriétés de figures tridimensionnelles situées dans l'espace : cube, pyramide, boule, cône, cylindre, etc.

Un cône est un corps dans l’espace euclidien délimité par une surface conique et le plan sur lequel se trouvent les extrémités de ses génératrices. Sa formation se produit lors de la rotation d'un triangle rectangle autour de l'une de ses jambes, il appartient donc aux corps de rotation.

Composants d'un cône

Il existe les types de cônes suivants : obliques (ou inclinés) et droits. Oblique est celui dont l'axe ne coupe pas le centre de sa base à angle droit. Pour cette raison, la hauteur d'un tel cône ne coïncide pas avec l'axe, puisqu'il s'agit d'un segment qui s'abaisse du haut du corps jusqu'au plan de sa base selon un angle de 90°.

Le cône dont l'axe est perpendiculaire à sa base est dit droit. L'axe et la hauteur d'un tel corps géométrique coïncident du fait que le sommet est situé au-dessus du centre du diamètre de la base.

Le cône est constitué des éléments suivants :

  1. Le cercle qui est sa base.
  2. Surface latérale.
  3. Point ne se trouvant pas dans le plan de la base, appelé sommet du cône.
  4. Segments qui relient les points du cercle de la base d'un corps géométrique et son sommet.

Tous ces segments sont générateurs du cône. Ils sont inclinés par rapport à la base du corps géométrique, et dans le cas d'un cône droit, leurs projections sont égales, puisque le sommet est équidistant des points du cercle de la base. Ainsi, on peut conclure que dans un cône régulier (droit) les génératrices sont égales, c'est-à-dire qu'elles ont la même longueur et forment les mêmes angles avec l'axe (ou hauteur) et la base.

Étant donné que dans un corps de rotation oblique (ou incliné), le sommet est décalé par rapport au centre du plan de base, les génératrices d'un tel corps ont des longueurs et des projections différentes, puisque chacune d'elles est à une distance différente de deux points quelconques de le cercle de la base. De plus, les angles entre eux et la hauteur du cône seront également différents.

Longueur des génératrices dans un cône droit

Comme écrit précédemment, la hauteur d’un corps géométrique droit de rotation est perpendiculaire au plan de la base. Ainsi, la génératrice, la hauteur et le rayon de la base créent un triangle rectangle dans le cône.

Autrement dit, connaissant le rayon et la hauteur de la base, en utilisant la formule du théorème de Pythagore, vous pouvez calculer la longueur de la génératrice, qui sera égale à la somme des carrés du rayon de base et de la hauteur :

l 2 = r 2 + h 2 ou l = √r 2 + h 2

où l est le générateur ;

r - rayon ;

h - hauteur.

Générateur dans un cône incliné

Partant du fait que dans un cône oblique ou incliné les génératrices n'ont pas la même longueur, il ne sera pas possible de les calculer sans constructions et calculs supplémentaires.

Tout d’abord, vous devez connaître la hauteur, la longueur de l’axe et le rayon de base.

r 1 = √k 2 - h 2

où r 1 est la partie du rayon entre l'axe et la hauteur ;

k - longueur de l'axe ;

h - hauteur.

En additionnant le rayon (r) et sa partie comprise entre l'axe et la hauteur (r 1), vous pouvez connaître la génératrice complète générée du cône, sa hauteur et une partie du diamètre :

où R est la branche d'un triangle formé par la hauteur, la génératrice et une partie du diamètre de la base ;

r - rayon de la base ;

r 1 - partie du rayon entre l'axe et la hauteur.

En utilisant la même formule du théorème de Pythagore, vous pouvez trouver la longueur de la génératrice du cône :

l = √h 2 + R 2

ou, sans calculer R séparément, combinez les deux formules en une seule :

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

Peu importe si le cône est droit ou oblique et quelles sont les données d'entrée, toutes les méthodes permettant de trouver la longueur de la génératrice se résument toujours à un seul résultat : l'utilisation du théorème de Pythagore.

Section de cône

Axial est un plan passant le long de son axe ou de sa hauteur. Dans un cône droit, une telle section est un triangle isocèle, dans lequel la hauteur du triangle est la hauteur du corps, ses côtés sont les génératrices et la base est le diamètre de la base. Dans un corps géométrique équilatéral, la section axiale est un triangle équilatéral, puisque dans ce cône le diamètre de la base et les génératrices sont égaux.

Le plan de section axiale d'un cône droit est le plan de sa symétrie. La raison en est que son sommet est situé au-dessus du centre de sa base, c'est-à-dire que le plan de coupe axiale divise le cône en deux parties identiques.

Étant donné que la hauteur et l'axe ne coïncident pas dans un corps volumétrique incliné, le plan de coupe axiale peut ne pas inclure la hauteur. Si de nombreuses sections axiales dans un tel cône peuvent être construites, puisque pour cela une seule condition doit être remplie - il doit passer uniquement par l'axe, alors la section axiale du plan auquel appartiendra la hauteur de ce cône ne peut être dessinée que un, parce que le nombre de conditions augmente et, comme on le sait, deux droites (ensemble) ne peuvent appartenir qu'à un seul plan.

Aire transversale

La section axiale du cône mentionnée précédemment est un triangle. Sur cette base, son aire peut être calculée à l'aide de la formule de l'aire d'un triangle :

S = 1/2 * d * h ou S = 1/2 * 2r * h

où S est la surface de la section transversale ;

d - diamètre de la base ;

r - rayon ;

h - hauteur.

Dans un cône oblique ou incliné, la section transversale le long de l'axe est également un triangle, donc la surface de la section transversale est calculée de la même manière.

Volume

Puisqu’un cône est une figure tridimensionnelle dans un espace tridimensionnel, son volume peut être calculé. Le volume d'un cône est un nombre qui caractérise ce corps en unité de volume, c'est-à-dire en m3. Le calcul ne dépend pas du fait qu'il soit droit ou oblique (oblique), puisque les formules pour ces deux types de corps ne diffèrent pas.

Comme indiqué précédemment, la formation d'un cône droit se produit en raison de la rotation d'un triangle rectangle le long de l'une de ses branches. Un cône incliné ou oblique se forme différemment, puisque sa hauteur est décalée du centre du plan de la base du corps. Néanmoins, de telles différences de structure n’affectent pas la méthode de calcul de son volume.

Calcul des volumes

N'importe quel cône ressemble à ceci :

V = 1/3 * π * h * r 2

où V est le volume du cône ;

h - hauteur ;

r - rayon ;

π est une constante égale à 3,14.

Pour calculer la hauteur d'un corps, il faut connaître le rayon de la base et la longueur de sa génératrice. Puisque le rayon, la hauteur et le générateur sont combinés dans un triangle rectangle, la hauteur peut être calculée à l'aide de la formule du théorème de Pythagore (a 2 + b 2 = c 2 ou dans notre cas h 2 + r 2 = l 2, où l est le générateur). La hauteur sera calculée en prenant la racine carrée de la différence entre les carrés de l'hypoténuse et de l'autre jambe :

une = √c 2 - b 2

C'est-à-dire que la hauteur du cône sera égale à la valeur obtenue après avoir pris la racine carrée de la différence entre le carré de la longueur de la génératrice et le carré du rayon de la base :

h = √l 2 - r 2

En calculant la hauteur selon cette méthode et connaissant le rayon de sa base, vous pouvez calculer le volume du cône. Le générateur joue dans ce cas un rôle important, puisqu’il sert d’élément auxiliaire dans les calculs.

De même, si l'on connaît la hauteur d'un corps et la longueur de sa génératrice, on peut connaître le rayon de sa base en prenant la racine carrée de la différence entre le carré de la génératrice et le carré de la hauteur :

r = √l 2 - h 2

Ensuite, en utilisant la même formule que ci-dessus, calculez le volume du cône.

Volume d'un cône incliné

Puisque la formule du volume d'un cône est la même pour tous les types de corps de rotation, la différence dans son calcul réside dans la recherche de la hauteur.

Afin de connaître la hauteur d'un cône incliné, les données d'entrée doivent inclure la longueur de la génératrice, le rayon de la base et la distance entre le centre de la base et l'intersection de la hauteur du corps avec le plan. de sa base. Sachant cela, vous pouvez facilement calculer la partie du diamètre de base qui sera la base d'un triangle rectangle (formée par la hauteur, la génératrice et le plan de la base). Puis, toujours en utilisant le théorème de Pythagore, calculez la hauteur du cône, puis son volume.

Riz. 1. Objets de la vie qui ont la forme d’un cône tronqué

À votre avis, d’où viennent les nouvelles formes en géométrie ? Tout est très simple : une personne rencontre des objets similaires dans la vie et leur trouve un nom. Considérons un support sur lequel sont assis des lions dans un cirque, un morceau de carotte obtenu en n'en coupant qu'une partie, un volcan actif et, par exemple, la lumière d'une lampe de poche (voir Fig. 1).

Riz. 2. Formes géométriques

Nous voyons que toutes ces figures ont une forme similaire - en bas et au-dessus, elles sont limitées par des cercles, mais elles se rétrécissent vers le haut (voir Fig. 2).

Riz. 3. Couper le haut du cône

Cela ressemble à un cône. Il manque juste le dessus. Imaginons mentalement que nous prenons un cône et en coupons la partie supérieure d'un seul coup d'épée tranchante (voir Fig. 3).

Riz. 4. Cône tronqué

Le résultat est exactement notre figure, on l'appelle un cône tronqué (voir Fig. 4).

Riz. 5. Section parallèle à la base du cône

Qu'un cône soit donné. Traçons un plan parallèle au plan de la base de ce cône et coupant le cône (voir Fig. 5).

Cela divisera le cône en deux corps : l’un d’eux est un cône plus petit et le second est appelé cône tronqué (voir Fig. 6).

Riz. 6. Les corps résultants à section parallèle

Ainsi, un tronc de cône est une partie d'un cône enfermée entre sa base et un plan parallèle à la base. Comme pour un cône, un cône tronqué peut avoir un cercle à sa base, auquel cas il est dit circulaire. Si le cône d’origine était droit, alors le cône tronqué est dit droit. Comme dans le cas des cônes, nous considérerons exclusivement des troncs de cône circulaires droits, sauf s'il est précisé qu'il s'agit d'un tronc de cône indirect ou que ses bases ne sont pas des cercles.

Riz. 7. Rotation d'un trapèze rectangulaire

Notre sujet global est celui des corps de révolution. Le tronc de cône ne fait pas exception ! Rappelons-nous que pour obtenir un cône on considérait un triangle rectangle et on le faisait tourner autour d'une jambe ? Si le cône résultant est coupé par un plan parallèle à la base, alors le triangle restera un trapèze rectangulaire. Sa rotation autour du petit côté nous donnera un cône tronqué. Notons encore que, bien entendu, nous ne parlons que d'un cône circulaire droit (voir Fig. 7).

Riz. 8. Bases d'un cône tronqué

Faisons quelques commentaires. La base d'un cône complet et le cercle résultant d'une section du cône par un plan sont appelés bases d'un cône tronqué (inférieur et supérieur) (voir Fig. 8).

Riz. 9. Générateurs d'un cône tronqué

Les segments des génératrices d'un cône complet, enfermés entre les bases d'un cône tronqué, sont appelés génératrices d'un cône tronqué. Puisque toutes les génératrices du cône originel sont égales et que toutes les génératrices du cône coupé sont égales, alors les génératrices du cône tronqué sont égales (ne confondez pas celle coupée et celle tronquée !). Cela implique que la section axiale du trapèze est isocèle (voir Fig. 9).

Le segment de l’axe de rotation enfermé à l’intérieur d’un tronc de cône est appelé axe du tronc de cône. Ce segment relie bien entendu les centres de ses bases (voir Fig. 10).

Riz. 10. Axe d'un cône tronqué

La hauteur d'un cône tronqué est une perpendiculaire tracée d'un point de l'une des bases à l'autre base. Le plus souvent, la hauteur d'un tronc de cône est considérée comme son axe.

Riz. 11. Coupe axiale d'un cône tronqué

La section axiale d'un cône tronqué est la section passant par son axe. Il a la forme d'un trapèze ; nous prouverons un peu plus tard qu'il est isocèle (voir Fig. 11).

Riz. 12. Cône avec notations introduites

Trouvons l'aire de la surface latérale du tronc de cône. Que les bases du cône tronqué aient des rayons et , et que la génératrice soit égale (voir Fig. 12).

Riz. 13. Désignation de la génératrice du cône coupé

Trouvons l'aire de la surface latérale du cône tronqué comme la différence entre les aires des surfaces latérales du cône d'origine et de celui coupé. Pour ce faire, désignons par la génératrice du cône coupé (voir Fig. 13).

Alors ce que vous recherchez.

Riz. 14. Triangles similaires

Il ne reste plus qu'à exprimer.

Notez que de la similitude des triangles, d'où (voir Fig. 14).

Il serait possible d'exprimer , en divisant par la différence des rayons, mais nous n'en avons pas besoin, car le produit recherché apparaît dans l'expression recherchée. En remplaçant , on a finalement : .

Il est désormais facile d’obtenir une formule pour la surface totale. Pour ce faire, il suffit d'ajouter l'aire des deux cercles des bases : .

Riz. 15. Illustration du problème

Supposons qu'un cône tronqué soit obtenu en faisant tourner un trapèze rectangulaire autour de sa hauteur. La ligne médiane du trapèze est égale à , et le grand côté latéral est égal à (voir Fig. 15). Trouvez la surface latérale du cône tronqué obtenu.

Solution

D'après la formule, nous savons que .

La génératrice du cône sera le plus grand côté du trapèze d'origine, c'est-à-dire que les rayons du cône sont les bases du trapèze. Nous ne pouvons pas les trouver. Mais nous n'en avons pas besoin : nous avons seulement besoin de leur somme, et la somme des bases d'un trapèze est deux fois plus grande que sa ligne médiane, c'est-à-dire qu'elle est égale à . Alors .

Veuillez noter que lorsque nous avons parlé du cône, nous avons établi des parallèles entre celui-ci et la pyramide - les formules étaient similaires. C'est la même chose ici, car un cône tronqué est très similaire à une pyramide tronquée, donc les formules pour les aires des surfaces latérales et totales d'un cône tronqué et d'une pyramide (et bientôt il y aura des formules pour le volume) sont similaires.

Riz. 1. Illustration du problème

Les rayons des bases du tronc de cône sont égaux à et , et la génératrice est égale à . Trouvez la hauteur du tronc de cône et l'aire de sa section axiale (voir Fig. 1).