La construction des courbes de motif s'effectue comme suit :

Tout d'abord, les points appartenant à la courbe sont déterminés puis reliés à l'aide d'un motif. Les courbes de motif comprennent les sections dites coniques d'une parabole, d'une hyperbole, d'une ellipse obtenues en coupant un cône circulaire avec un plan, une développante, une sinusoïde et autres

1. Construction d'une ellipse.

2. Mise au point elliptique

3. Construction d'une parabole

6. Dessiner des courbes de motif.

Une ellipse est une section conique qui appartient aux courbes dites à motif. L'ellipse, l'hyperbole et la parabole sont obtenues en coupant un cône circulaire avec des courbes planes, sinusoïdales, développantes et autres.

Figure 41. Intersection d'un cône par un plan suivant une ellipse (a) et une ellipse (b).

Afin de construire des courbes de motif (parabole, ellipse, hyperbole), les points appartenant à la courbe sont déterminés puis tous les points sont reliés à l'aide d'un motif. Dans le cas où la surface d'un cône circulaire est coupée avec un plan incliné -P, de sorte que le plan incliné coupe toutes les génératrices du cône circulaire, alors une ellipse est formée dans le plan de section lui-même (Voir Figure 41, a. ).

Une ellipse est une courbe plate et fermée dans laquelle la somme des distances de chacun de ses points - M à deux points F1 et F2 donnés - est une valeur constante. Cette valeur constante est égale au grand axe de l'ellipse MF1 + MF2 = AB. Le petit axe de l'ellipse CD et le grand axe AB sont perpendiculaires entre eux et un axe divise l'autre en deux.

Figure 42. Construction d'une ellipse le long des axes


Ainsi, les axes divisent la courbe elliptique en quatre parties égales symétriques par paires. Si à partir des extrémités du petit axe CD, comme à partir des centres, on décrit un arc de cercle de rayon égal à la moitié du grand axe de l'ellipse R=OA=OB, alors il le coupera aux points F1 et F2 , qui sont appelés foyers.

La figure 42 montre un exemple de construction d'une ellipse le long de ses axes. Sur les axes AB et CD donnés, comme sur les diamètres, nous construisons deux cercles concentriques dont le centre est au point O. Nous divisons le grand cercle en un nombre arbitraire de parties et connectons les points résultants avec des lignes droites vers le centre O.

À partir des points d'intersection 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; avec des cercles auxiliaires, nous dessinons des segments de lignes horizontales et verticales jusqu'à ce qu'ils se coupent aux points E, F, K, M, qui appartiennent à l'ellipse. Ensuite, à l’aide d’un motif, les points construits d’une courbe lisse sont connectés et le résultat est une ellipse.

Construction de courbes de motif, parabole

Figure 43. Intersection d'un cône par un plan le long d'une parabole. Construire une parabole en utilisant le foyer et la directrice.

Si l'on coupe un cône circulaire parallèle à l'une de ses génératrices avec un plan incliné P, alors une parabole se forme dans le plan de section (voir Figure 43 a). Une parabole est une ligne courbe plate ouverte. Chaque point de la parabole est situé à partir de la droite donnée -MN, et du foyer -F à la même distance.

La droite MN est un guide et est située perpendiculairement à l'axe de la parabole. Entre le guide -MN et le foyer -F, le sommet de la parabole A est situé en plein milieu. Afin de construire une parabole en utilisant le. foyer et un guide donné, passant par le point focal -F, tracer l'axe de la parabole -X, guide perpendiculaire -MN.

Divisez le segment-EF en deux et obtenez le sommet de la parabole-A À partir du sommet de la parabole à une distance arbitraire, tracez des lignes droites perpendiculaires à l'axe de la parabole. A partir du point -F de rayon égal à la distance -L, de la droite correspondante au guide, par exemple CB, on trace une droite vers celui-ci. Dans ce cas, les points C et B.

Après avoir ainsi construit plusieurs paires de points symétriques, nous traçons une courbe douce à travers eux à l’aide d’un motif. La figure (43 c) montre un exemple de construction d'une parabole tangente à deux droites OA et OB aux points A et B. Les segments OA et OB sont divisés en le même nombre de parties égales (par exemple divisés en huit). Après cela, les points de division résultants sont numérotés et reliés par des lignes droites 1-1 ; 2-2 ; 3-3 (voir Figure 43, c) et ainsi de suite. Ces lignes sont tangentes à la courbe parabolique. Une courbe parabolique tangente lisse s'inscrit alors dans le contour formé par les lignes droites.

Si vous coupez les cônes direct et inverse avec un plan parallèle à ses deux génératrices ou, dans un cas particulier, parallèle à l'axe, alors dans le plan de section vous obtiendrez une hyperbole constituée de deux branches symétriques (voir Figure 45, a) .

Figure 45. Intersection d'un cône par un plan le long d'une hyperbole (a) et construction d'une hyperbole (b).

Une hyperbole (Figure 45,b) est une courbe plate dans laquelle la différence des distances de chacun de ses points à deux points donnés F1 et F2, appelés foyers, est une valeur constante et égale à la distance entre ses sommets a et b, par exemple SF1-SF2=ab. Une hyperbole a deux axes de symétrie : AB réel et CD imaginaire.

Deux droites KL et K1 L1 passant par le centre O de l'hyperbole et touchant ses branches à l'infini sont appelées asymptotes. Une hyperbole peut être construite à partir des sommets a et b et des foyers F1 et F2 donnés. On détermine les sommets de l'hyperbole en inscrivant un rectangle dans un cercle construit à la focale (segment F1 et F2), comme sur le diamètre.

Sur l'axe réel AB à droite du foyer F2 on marque arbitrairement 1, 2, 3, 4, ... A partir des foyers F1 et F2 on trace des arcs de cercle, d'abord de rayon a-1, puis b-1 jusqu'à intersection mutuelle des deux côtés de l'axe réel de l'hyperbole. Ensuite, nous effectuerons l'intersection mutuelle de la prochaine paire d'arcs de rayons a-2 et b-2 (point S) et ainsi de suite.

Les points d'intersection des arcs résultants appartiennent à la branche droite de l'hyperbole. Les points de la branche gauche seront symétriques aux points construits par rapport à l'axe imaginaire CD.

Une sinusoïde est la projection de la trajectoire d'un point se déplaçant le long d'une hélice cylindrique sur un plan parallèle à l'axe du cylindre. Le mouvement d'un point consiste en un mouvement de rotation uniforme (autour de l'axe du cylindre) et un mouvement de translation uniforme (parallèle au cylindre).

Figure 46. Construction d'une sinusoïde

Une onde sinusoïdale est une courbe plate qui montre la modification de la fonction sinusoïdale trigonométrique en fonction de la modification de l'amplitude de l'angle. pour construire une sinusoïde (Figure 46), passant par le centre O d'un cercle de diamètre D, tracez une droite OX et tracez dessus un segment O1 A égal à la longueur du cercle π D. Nous divisons ce segment et ce cercle en le même nombre de parties égales. À partir des points obtenus et numérotés, nous traçons des lignes droites mutuellement perpendiculaires. Nous relierons les points d’intersection résultants de ces lignes à l’aide d’un motif de courbe lisse.

Dessiner des courbes de motif

Les courbes de motif sont construites par points. Ces points sont reliés à l'aide de motifs, en dessinant d'abord une courbe à la main. Le principe de connexion des points individuels d'une courbe est le suivant :

Nous sélectionnons la partie de l'arc du motif qui coïncide le mieux avec le plus grand nombre de points de la courbe décrite. Ensuite, nous ne dessinerons pas tout l’arc de courbe qui coïncide avec le motif, mais seulement la partie médiane de celui-ci. Après cela, nous sélectionnerons une autre partie du motif, mais de manière à ce que cette partie touche environ un tiers de la courbe dessinée et au moins deux points suivants de la courbe, et ainsi de suite. Cela garantit une transition en douceur entre les différents arcs de la courbe.

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Construction d'une ellipse

Une ellipse est une courbe convexe plate fermée dont la somme des distances de chaque point à deux points donnés, appelés foyers, situés sur le grand axe est constante et égale à la longueur du grand axe. La construction d'un ovale selon deux axes (Figure 23) s'effectue comme suit :

• - tracer des lignes axiales sur lesquelles les segments AB et CD, égaux aux grands et petits axes de l'ellipse, sont posés symétriquement à partir du point d'intersection O ;
• - construire deux cercles de rayons égaux à la moitié des axes de l'ellipse avec le centre au point d'intersection des axes ;
• - divisez le cercle en douze parties égales. La division du cercle s'effectue comme indiqué au paragraphe 2.3 ;
• -des rayons de diamètre sont tracés à travers les points obtenus ;
• - des lignes droites sont tracées à partir des points d'intersection des rayons avec les cercles correspondants parallèles aux axes de l'ellipse jusqu'à ce qu'ils se coupent en des points situés sur l'ellipse ;
• - les points résultants sont reliés par une ligne courbe douce à l'aide de motifs. Lors de la construction d'une ligne courbe de motif, il est nécessaire de sélectionner et de positionner le motif de manière à ce qu'au moins quatre à cinq points soient connectés.

Il existe d'autres façons de construire une ellipse.

Construire une parabole

Une parabole est une ligne courbe plate dont chaque point est équidistant de la directrice DD 1 - une droite perpendiculaire à l'axe de symétrie de la parabole, et du foyer F, un point situé sur l'axe de symétrie. La distance KF entre la directrice et le foyer est appelée paramètre de parabole p.

La figure 24 montre un exemple de dessin d'une parabole le long du sommet O, de l'axe OK et de la corde CD. La construction s'effectue comme suit :

• - tracer une ligne droite horizontale sur laquelle est marqué le sommet O et l'axe OK est tracé ;
• - par le point K, tracer une perpendiculaire sur laquelle est portée symétriquement de haut en bas la longueur de la corde de la parabole ;
• - construire un rectangle ABCD dont un côté est égal à l'axe et l'autre est égal à la corde de la parabole ;
• - le côté BC est divisé en plusieurs parties égales, et le segment KC en autant de parties égales ;
• - à partir du sommet de la parabole O, les rayons passent par les points 1, 2, etc., et par les points 1 1, 2 1, etc. ;
• - tracer des droites parallèles aux axes et déterminer les points d'intersection des rayons avec les droites parallèles correspondantes, par exemple le point d'intersection du rayon O1 avec la droite O1 1, qui appartient à la parabole ;
• - les points résultants sont reliés par une ligne courbe douce sous le motif. La deuxième branche de la parabole est construite de la même manière.

Il existe d'autres façons de construire une parabole.

Comment construire une parabole ? Il existe plusieurs façons de représenter graphiquement une fonction quadratique. Chacun d'eux a ses avantages et ses inconvénients. Considérons deux manières.

Commençons par tracer une fonction quadratique de la forme y=x²+bx+c et y= -x²+bx+c.

Exemple.

Représentez graphiquement la fonction y=x²+2x-3.

Solution:

y=x²+2x-3 est une fonction quadratique. Le graphique est une parabole avec des branches vers le haut. Coordonnées du sommet de la parabole

A partir du sommet (-1;-4) on construit un graphe de la parabole y=x² (à partir de l'origine des coordonnées. Au lieu de (0;0) - sommet (-1;-4). De (-1; -4) on va à droite d'1 unité et en haut d'1 unité, puis à gauche de 1 et en haut de 1 puis : 2 - à droite, 4 - en haut, 2 - à gauche, 3 - en haut, 3 - ; à gauche, 9 - en haut Si. ces 7 points ne suffisent pas, alors 4 à droite, 16 en haut, etc.).

Le graphique de la fonction quadratique y= -x²+bx+c est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas. Pour construire un graphique, on cherche les coordonnées du sommet et à partir de là on construit une parabole y= -x².

Exemple.

Représentez graphiquement la fonction y= -x²+2x+8.

Solution:

y= -x²+2x+8 est une fonction quadratique. Le graphique est une parabole avec des branches vers le bas. Coordonnées du sommet de la parabole

Du haut nous construisons une parabole y= -x² (1 - à droite, 1- en bas ; 1 - à gauche, 1 - en bas ; 2 - à droite, 4 - en bas ; 2 - à gauche, 4 - en bas, etc.) :

Cette méthode permet de construire une parabole rapidement et ne pose pas de difficultés si vous savez représenter graphiquement les fonctions y=x² et y= -x². Inconvénient : si les coordonnées du sommet sont des nombres fractionnaires, il n'est pas très pratique de construire un graphe. Si vous avez besoin de connaître les valeurs exactes des points d'intersection du graphique avec l'axe Ox, vous devrez en plus résoudre l'équation x²+bx+c=0 (ou -x²+bx+c=0), même si ces points peuvent être directement déterminés à partir du dessin.

Une autre façon de construire une parabole est par points, c'est-à-dire que vous pouvez trouver plusieurs points sur le graphique et tracer une parabole à travers eux (en tenant compte du fait que la ligne x=xₒ est son axe de symétrie). Habituellement, pour cela, ils prennent le sommet de la parabole, les points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées et 1-2 points supplémentaires.

Tracez un graphique de la fonction y=x²+5x+4.

Solution:

y=x²+5x+4 est une fonction quadratique. Le graphique est une parabole avec des branches vers le haut. Coordonnées du sommet de la parabole

c'est-à-dire que le sommet de la parabole est le point (-2,5 ; -2,25).

Sont en train de chercher . Au point d'intersection avec l'axe Ox y=0 : x²+5x+4=0. Les racines de l'équation quadratique x1=-1, x2=-4, c'est-à-dire que nous avons deux points sur le graphique (-1 ; 0) et (-4 ; 0).

Au point d'intersection du graphique avec l'axe Oy x=0 : y=0²+5∙0+4=4. Nous avons marqué le point (0 ; 4).

Pour clarifier le graphique, vous pouvez trouver un point supplémentaire. Prenons x=1, alors y=1²+5∙1+4=10, c'est-à-dire qu'un autre point sur le graphique est (1 ; 10). Nous marquons ces points sur le plan de coordonnées. Compte tenu de la symétrie de la parabole par rapport à la droite passant par son sommet, on marque deux autres points : (-5 ; 6) et (-6 ; 10) et on trace une parabole à travers eux :

Représentez graphiquement la fonction y= -x²-3x.

Solution:

y= -x²-3x est une fonction quadratique. Le graphique est une parabole avec des branches vers le bas. Coordonnées du sommet de la parabole

Le sommet (-1,5 ; 2,25) est le premier point de la parabole.

Aux points d'intersection du graphique avec l'axe des abscisses y=0, c'est-à-dire que nous résolvons l'équation -x²-3x=0. Ses racines sont x=0 et x=-3, soit (0;0) et (-3;0) - deux points supplémentaires sur le graphique. Le point (o; 0) est aussi le point d'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées.

À x=1 y=-1²-3∙1=-4, c'est-à-dire (1; -4) est un point supplémentaire pour le tracé.

Construire une parabole à partir de points est une méthode plus laborieuse que la première. Si la parabole ne coupe pas l'axe Ox, davantage de points supplémentaires seront nécessaires.

Avant de continuer à construire des graphes de fonctions quadratiques de la forme y=ax²+bx+c, considérons la construction de graphes de fonctions utilisant des transformations géométriques. Il est également plus pratique de construire des graphiques de fonctions de la forme y=x²+c en utilisant l'une de ces transformations : la translation parallèle.

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Construire une parabole est l'une des opérations mathématiques les plus connues. Très souvent, il est utilisé non seulement à des fins scientifiques, mais aussi à des fins purement pratiques. Découvrons comment réaliser cette procédure à l'aide des outils de l'application Excel.

Une parabole est le graphique d'une fonction quadratique du type suivant f(x)=ax^2+bx+c. Une de ses propriétés remarquables est le fait qu'une parabole a la forme d'une figure symétrique constituée d'un ensemble de points équidistants de la directrice. Dans l'ensemble, la construction d'une parabole dans Excel n'est pas très différente de la construction de n'importe quel autre graphique dans ce programme.

Création d'un tableau

Tout d'abord, avant de commencer à construire une parabole, vous devez construire un tableau sur la base duquel elle sera créée. Par exemple, prenons la construction d'un graphique d'une fonction f(x)=2x^2+7.

Tracer un graphique

Comme mentionné ci-dessus, nous devons maintenant construire le graphique lui-même.

Modification d'un graphique

Vous pouvez maintenant modifier légèrement le graphique résultant.

De plus, vous pouvez effectuer tout autre type d'édition de la parabole résultante, notamment en modifiant son nom et les noms des axes. Ces techniques d'édition ne dépassent pas le cadre du travail dans Excel avec d'autres types de diagrammes.

Comme vous pouvez le constater, la construction d'une parabole dans Excel n'est pas fondamentalement différente de la construction d'un autre type de graphique ou de diagramme dans le même programme. Toutes les actions sont effectuées sur la base d'un tableau pré-généré. De plus, vous devez tenir compte du fait que le diagramme de dispersion est le plus approprié pour construire une parabole.

Ellipse. Si vous coupez la surface d'un cône circulaire avec un plan incliné R. de sorte qu'il coupe toutes ses génératrices, on obtiendra alors une ellipse dans le plan de coupe (Figure 65).

Figure 65

Ellipse(Figure 66) – une courbe plate et fermée dans laquelle la somme des distances à partir de l'un de ses points (par exemple, à partir d'un point M ) jusqu'à deux points donnés F1 Et F2 – les foyers de l'ellipse – il existe une valeur constante égale à la longueur de son grand axe UN B (Par exemple, F 1 M + F 2 M = AB ).Segment de ligne UN B est appelé le grand axe de l'ellipse, et le segment CD- son petit axe. Les axes de l'ellipse se coupent au point O- le centre de l'ellipse et sa taille détermine les longueurs des axes majeur et mineur. Points F1 Et F2 situé sur le grand axe UN B symétrique par rapport au point Ô et sont retirés des extrémités du petit axe (points AVEC Et D ) à une distance égale à la moitié du grand axe de l'ellipse .

Figure 66

Il existe plusieurs façons de construire une ellipse. Le moyen le plus simple consiste à construire une ellipse le long de ses deux axes à l'aide de cercles auxiliaires (Figure 67). Dans ce cas, le centre de l'ellipse est précisé - le point Ô et deux lignes droites mutuellement perpendiculaires y sont tracées (Figure 67, a). De ce point À PROPOS décrire deux cercles dont les rayons sont égaux à la moitié des axes majeur et mineur. Le grand cercle est divisé en 12 parties égales et les points de division sont reliés au point À PROPOS . Les lignes tracées diviseront également le petit cercle en 12 parties égales. Ensuite, des lignes horizontales (ou des lignes droites parallèles au grand axe de l'ellipse) sont tracées à travers les points de division du petit cercle, et des lignes verticales (ou des lignes droites parallèles au petit axe de l'ellipse) sont tracées à travers les points de division. du plus grand cercle. Les points de leur intersection (par exemple, le point M ) appartiennent à l'ellipse. En reliant les points résultants avec une courbe lisse, une ellipse est obtenue (Figure 67, b).

Figure 67

Parabole. Si un cône circulaire est coupé par un plan R. , parallèle à l'une de ses génératrices, on obtiendra alors une parabole dans le plan de coupe (Figure 68).

Figure 68

Parabole(Figure 69) – une courbe plate dont chaque point est à la même distance d’une ligne droite donnée DD1 , appelé directrice, et des points F - foyer d'une parabole. Par exemple, pour un point M segments MN (distance par rapport à la directrice) et M.F. (distance jusqu'à la mise au point) sont égales, c'est-à-dire MN = M.F. .

Une parabole a la forme d'une courbe ouverte avec un axe de symétrie, qui passe par le foyer de la parabole - le point F et est situé perpendiculairement au directeur DD1 .Précis UN , situé au milieu du segment DE , appelé le sommet de la parabole. Distance du foyer à la directrice - segment DE = 2´OA – désigné par une lettre R. et appelle paramètre de parabole. Plus le paramètre est grand R. , plus les branches de la parabole s'éloignent brusquement de son axe. Un segment enfermé entre deux points d'une parabole situés symétriquement par rapport à l'axe de la parabole est appelé accord(par exemple, accord MK ).

Figure 69

Construction d'une parabole à partir de sa directrice DD 1 et de son foyer F(Figure 70, a) . À travers le point F tracer l'axe de la parabole perpendiculairement à la directrice jusqu'à ce qu'il coupe la directrice au point À PROPOS DE. Segment de ligne DE = p divisez en deux et obtenez un point UN - le sommet de la parabole. Sur l'axe de la parabole ponctuelle UN tracer plusieurs sections augmentant progressivement. Par les points de division 1, 2, 3 il. D. tracer des lignes droites parallèles à la directrice. En prenant le foyer de la parabole comme centre, ils décrivent des arcs de rayon R1 =L1 1 ,rayon R2 = L2 jusqu'à ce qu'il coupe une ligne passant par un point 2 , etc. Les points résultants appartiennent à la parabole. Tout d’abord, ils sont reliés à la main par une fine ligne lisse, puis tracés le long du motif.

Construction d'une parabole le long de son axe, sommet A et point intermédiaire M(Figure 70, b). Par le haut UN tracer une droite perpendiculaire à l'axe de la parabole, et passant par le point M- droite parallèle à l'axe. Les deux lignes se coupent en un point B . Segments UN B Et B.M. sont divisés en le même nombre de parties égales, et les points de division sont numérotés dans les directions indiquées par les flèches. Par le haut UN et des points 1 , 2 , 3 , 4 conduire des rayons, et à partir de points je , II , III ,IV – des droites parallèles à l'axe de la parabole. A l'intersection des lignes marquées du même numéro, se trouvent des points appartenant à la parabole. Les deux branches de la parabole sont identiques, donc l'autre branche est construite symétriquement à la première à l'aide de cordes.

Figure 70

Construction d'une parabole tangente à deux droites OA et OB aux points A et B qui y sont indiqués(Figure 71,b). Segments O.A. Et OB divisé en autant de parties égales (par exemple, en 8 parties). Les points de division résultants sont numérotés et les points du même nom sont reliés par des lignes droites. 1–1 , 2 –2 , 3 –3 etc. . d . Ces lignes sont tangentes à la courbe parabolique. Ensuite, une courbe tangente lisse – une parabole – s’inscrit dans le contour formé par les lignes droites. .

Figure 71

Hyperbole. Si vous coupez les cônes direct et inverse avec un plan parallèle à ses deux génératrices ou, dans un cas particulier, parallèle à l'axe, alors dans le plan de section vous obtiendrez une hyperbole constituée de deux branches symétriques (Figure 72, a).

Hyperbole(Figure 72, b) est appelée une courbe plane ouverte, qui est un ensemble de points, la différence de distances entre deux points donnés est une valeur constante.

Figure 72

Points constants F1 Et F2 sont appelés des trucs , et la distance qui les sépare est distance focale . Segments de ligne ( F 1 M Et F 2 M ), reliant n'importe quel point ( M ) les courbes avec foyers sont appelées vecteurs de rayon hyperboles . Différence entre les distances de point et de mise au point F1 Et F2 est une valeur constante et égale à la distance entre les sommets UN Et b hyperbole; par exemple, pour un point M aura: F 1 M -F 2 M = ab. Une hyperbole se compose de deux branches ouvertes et possède deux axes mutuellement perpendiculaires - valide UN B Et imaginaire CD. Direct pq Et rs, en passant par le centre Ô ,sont appelés asymptote .

Construire une hyperbole en utilisant ces asymptotes pq Et rs, des trucs F1 Et F2 illustré à la figure 72, b.

Axe réel UN B une hyperbole est la bissectrice de l'angle formé par les asymptotes. Axe imaginaire CD perpendiculaire UN B et passe par le point À PROPOS DE. Avoir des trucs F1 Et F2, définir les sommets UN Et b hyperboles, pourquoi sur un segment F1F2 construire un demi-cercle qui coupe les asymptotes en des points m Et P. A partir de ces points, les perpendiculaires sont abaissées sur l'axe UN B et à l'intersection avec lui nous obtenons des sommets UN Et b hyperbole.

Construire la branche droite d'une hyperbole sur une droite UN B à droite du focus F1 marquer des points arbitraires 1 , 2 , 3 , ..., 5. Points V Et V1 les hyperboles sont obtenues si l'on prend le segment a5 au-delà du rayon et du point F2 tracez un arc de cercle marqué à partir du point F1, rayon égal à B5. Les points restants de l'hyperbole sont construits par analogie avec ceux décrits.

Parfois il faut construire une hyperbole dont les asymptotes OH Et OY mutuellement perpendiculaires (Figure 73). Dans ce cas, les axes réel et imaginaire seront bis Avec ectrices d'angles droits. Pour construire, on précise l'un des points de l'hyperbole, par exemple le point UN.

Figure 73

À travers le point UN effectuer directement AK Et SUIS. , parallèle aux axes Oh Et ou .Du point Ô concernant Avec notions sur Avec ils lui donnent directement Avec lignes droites SUIS. Et AK aux points 1 , 2 , 3 , 4 Et 1" , 2" , 3" , 4" . Ensuite, des segments verticaux et horizontaux sont dessinés à partir des points d'intersection avec ces lignes jusqu'à ce qu'ils se coupent aux points I, II, III, IV etc. Les points résultants de l'hyperbole sont reliés à l'aide d'un motif . Points 1, 2, 3, 4 situés sur une ligne verticale sont pris arbitrairement .

Développante d'un cercle ou développement d'un cercle. Développante d'un cercle est appelée courbe plate qui est décrite par chaque point d'une droite si cette droite roule sans glisser le long d'un cercle stationnaire (la trajectoire des points d'un cercle formé par son déploiement et son redressement) (Figure 74).

Pour construire une développante, il suffit de préciser le diamètre du cercle D et la position initiale du point UN (indiquer Un 0 ). À travers le point Un 0 tracez une tangente au cercle et tracez dessus la longueur du cercle donné D . Le segment résultant et le cercle sont divisés en le même nombre de parties et les tangentes à celui-ci sont tracées dans une direction passant par les points de division du cercle. Sur chaque tangente, des segments tirés de la ligne horizontale et respectivement égaux sont posés 1A 1 = A 0 1 , 2A 2 = V A 0 2 , 3A 3 = A 0 3 etc.; Les points résultants sont connectés selon le modèle.

Figure 74

Spirale d'Archimède- une courbe plate décrite par un point UN , tournant uniformément autour d’un point fixe – poteaux À PROPOS et en même temps s'en éloigner uniformément (Figure 75). La distance parcourue par un point lors d’une rotation d’une ligne droite de 360° est appelée pas de spirale. Les points appartenant à la spirale d'Archimède sont construits à partir de la définition de la courbe, précisant le pas et le sens de rotation.

Construction d'une spirale d'Archimède utilisant un pas (segment OA) et un sens de rotation donnés dans le sens des aiguilles d'une montre(Figure 75). Par un point À PROPOS tracez une ligne droite et marquez dessus le pas de la spirale O.A. et, en le prenant pour rayon, décrivez un cercle. Cercle et segment O.A. divisé en 12 parts égales. Les rayons sont tracés à travers les points de séparation du cercle O1 , O2 , O3 etc. et sur eux du point À PROPOS sont posés à l'aide d'arcs, respectivement, 1/12, 2/12, 3/12, etc., du rayon du cercle. Les points résultants sont connectés selon un motif avec une courbe lisse.

La spirale d'Archimède est une courbe ouverte et, si nécessaire, vous pouvez construire n'importe quel nombre de tours. Pour construire le deuxième virage, décrivez un cercle de rayon R. = 2 OA et répétez toutes les constructions précédentes.

Figure 75

Onde sinusoïdale.Onde sinusoïdale s'appelle la projection de la trajectoire du point en mouvement Avec je suis cylindrique Avec quelle hélice, sur un plan parallèle à l'axe du cylindre . Le mouvement d'un point consiste en un mouvement de rotation uniforme (autour de l'axe du cylindre) et un mouvement de translation uniforme (parallèle à l'axe du cylindre) . Une onde sinusoïdale est une courbe plate qui montre le changement de la fonction sinusoïdale trigonométrique en fonction du changement d'angle. .

Pour construire une sinusoïde (Figure 76) passant par le centre À PROPOS diamètre du cercle D effectuer directement OH et un segment est posé dessus O1A , égal à la circonférence D. Ce segment et le cercle sont divisés en autant de parties égales. Des lignes droites mutuellement perpendiculaires sont tracées à partir des points obtenus et numérotés. Les points d'intersection résultants de ces lignes sont reliés à l'aide d'un motif de courbe lisse.

Figure 76

Cardioïde. Cardioïde(Figure 77) appels Avec Je suis la trajectoire fermée d'un point dans un cercle Avec qui roule sans glisser le long d'un cercle stationnaire de même rayon .

Figure 77

Du centre À PROPOS tracez un cercle d'un rayon donné et prenez un point arbitraire dessus M. Une série de sécantes est tracée à travers ce point. Sur chaque sécante, de part et d'autre de son point d'intersection avec le cercle, sont posés des segments égaux au diamètre du cercle M1. Oui, sécant III3МIII 1 coupe le cercle en un point 3 ;les segments sont licenciés à partir de ce moment 3III Et 3III 1, égal au diamètre M1. Points III Et III 1 , appartiennent à la cardioïde . De la même manière, Avec actuel IV4MIV1 concernant Avec cercle en un point 4; les segments sont posés à partir de ce point IV4 Et 4IV1, égal au diamètre M1, obtenir des points IV Et IV 1 etc.

Les points trouvés sont reliés par une courbe, comme le montre la figure 77.

Courbes cycloïdales. Cycloïdes – lignes courbes planes décrites par un point appartenant à un cercle roulant sans glisser le long d'une ligne droite ou d'un cercle . Si le cercle roule en ligne droite, alors le point décrit une courbe appelée cycloïde.

Si un cercle roule le long d'un autre cercle, étant à l'extérieur de celui-ci (le long de la partie convexe), alors le point décrit une courbe appelée épicycloïde .

Si un cercle roule le long d'un autre cercle, étant à l'intérieur de celui-ci (le long de la partie concave), alors le point décrit une courbe appelée hypocycloïde . Le cercle sur lequel se trouve le point s'appelle produire . La ligne le long de laquelle roule le cercle s'appelle guide .

Construire une cycloïde(Figure 78) tracez un cercle d'un rayon donné R. ; prendre le point de départ UN et tracez une ligne directrice UN B, le long duquel roule le cercle .

Figure 78

Divisez le cercle donné en 12 parties égales (points 1" , 2" , 3" , ..., 12"). Si le point UN changement Avec mésange Avec je suis en position Un 12 , puis le segment AA12 sera égal à la longueur circonférentielle donnée Avec ty, c'est-à-dire . Tracez une ligne de centres O – O 12 produire circonférentiellement Avec ti, égal , et divisez-le en 12 parties égales. Obtenir des points Ô 1 ,O2 ,Ô 3 ,..., Ô 12 , qui sont les centres du cercle générateur Avec toi . A partir de ces points, tracez un cercle Avec ty (ou des arcs autour Avec tey) d'un rayon donné R. , qui touche la ligne UN B aux points 1,2, 3, ..., 12. Si à partir de chaque point de contact on trace sur le cercle correspondant une longueur d'arc égale à la distance dont le point s'est déplacé UN , alors on obtient des points appartenant à la cycloïde. Par exemple, pour obtenir un point Un 5 les cycloïdes découlent du centre Ô 5 tracer un cercle à partir du point de contact 5 tracer un arc autour de la circonférence A5, égal à A5", ou du point 5" tracer une droite parallèle UN B, jusqu'à l'intersection au point Un 5 avec un cercle dessiné . Tous les autres points de la cycloïde sont construits de la même manière. .

L'épicycloïde est construite comme suit. La figure 79 montre le rayon du cercle générateur Avec UN R. avec centre O 0 , point de départ UN dessus et l'arc du guide autour Avec tu radios Avec UN R1 le long duquel il roule Avec Je suis un cercle. La construction d'une épicycloïde est similaire à la construction d'une cycloïde, à savoir : diviser un cercle donné en 12 parties égales (points 1" , 2" , 3" , ...,12"), chaque partie de ce cercle est disposée à partir d'un point UN le long d'un arc UN B 12 fois (points 1 , 2 , 3 , ..., 12) et obtenez la longueur de l'arc AA12 . Cette longueur peut être déterminée à l'aide de l'angle .

Plus éloigné du centre À PROPOS rayon égal à OOO 0 , tracez une ligne de centres du cercle générateur et, en traçant les rayons 01 , 02 , 03 , ...,012 , continué jusqu'à ce qu'ils croisent la ligne de centres, obtenez des centres O 1, O 2, ..., O 12 générer un cercle . De ces centres de rayon égal à R. , dessinez des cercles ou des arcs de cercle sur lesquels ils construisent et Avec quels points de la courbe ; Donc, pour comprendre Un 4 s devrait être vérifié Avec arc autour Avec rayon du té O4" jusqu'à ce qu'il croise un cercle tiré du centre O4. D'autres points sont construits de la même manière, qui sont ensuite reliés par une courbe lisse .

Figure 79

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