Équations

Comment résoudre des équations ?

Dans cette section, nous allons rappeler (ou étudier - comme chacun aime) les équations les plus élémentaires. Qu'est-ce donc qu'une équation ? Parlant en termes humains, c'est une sorte d'expression mathématique, où il y a un signe égal et une inconnue. Qui est généralement désigné par la lettre "X". résous l'équation est de trouver de telles valeurs x qui, lors de la substitution dans original expression, nous donnera l'identité correcte. Permettez-moi de vous rappeler que l'identité est une expression qui ne soulève pas de doutes même pour une personne qui n'est absolument pas encombrée de connaissances mathématiques. Comme 2=2, 0=0, ab=ab etc. Alors comment résoudre des équations ? Essayons de comprendre.

Il y a toutes sortes d'équations (j'ai été surpris, n'est-ce pas ?). Mais toute leur variété infinie ne peut être divisée qu'en quatre types.

4. Autre.)

Tout le reste, bien sûr, surtout, oui ...) Cela inclut cubique, et exponentiel, et logarithmique, et trigonométrique, et toutes sortes d'autres. Nous travaillerons en étroite collaboration avec eux dans les sections concernées.

Je dois dire tout de suite que parfois les équations des trois premiers types sont tellement enroulées qu'on ne les reconnaît pas... Rien. Nous apprendrons à les dénouer.

Et pourquoi avons-nous besoin de ces quatre types ? Et maintenant quoi équations linéaires résolu d'une manière carré les autres rationnel fractionnaire - le troisième, un le repos pas résolu du tout ! Eh bien, ce n'est pas qu'ils ne décident pas du tout, j'ai offensé les mathématiques en vain.) C'est juste qu'ils ont leurs propres techniques et méthodes spéciales.

Mais pour tout (je répète - pour n'importe quel!) équations est une base fiable et sans problème pour la résolution. Fonctionne partout et toujours. Cette base - Cela fait peur, mais la chose est très simple. Et très (très!) important.

En fait, la solution de l'équation consiste en ces mêmes transformations. A 99%. Réponse à la question : " Comment résoudre des équations ?" réside, juste dans ces transformations. L'allusion est-elle claire ?)

Transformations d'identité des équations.

À toutes les équations pour trouver l'inconnu, il faut transformer et simplifier l'exemple original. De plus, pour que lors du changement d'apparence l'essence de l'équation n'a pas changé. De telles transformations sont appelées identique ou équivalent.

Notez que ces transformations sont juste pour les équations. En mathématiques, il existe encore des transformations identiques expressions. Ceci est un autre sujet.

Maintenant, nous allons répéter tout-tout-tout de base transformations identiques d'équations.

Basiques parce qu'ils peuvent être appliqués à n'importe queléquations - linéaires, quadratiques, fractionnaires, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques, etc. etc.

Première transformation identique : les deux côtés de n'importe quelle équation peuvent être ajoutés (soustraits) n'importe quel(mais pareil !) un nombre ou une expression (y compris une expression avec une inconnue !). L'essence de l'équation ne change pas.

Au fait, vous utilisiez constamment cette transformation, vous pensiez seulement que vous transfériez certains termes d'une partie de l'équation à une autre avec un changement de signe. Taper:

La matière est familière, nous déplaçons le deux vers la droite, et nous obtenons :

En fait, vous enlevé des deux côtés de l'équation deux. Le résultat est le même:

x+2 - 2 = 3 - 2

Le transfert des termes vers la gauche-droite avec changement de signe n'est qu'une version abrégée de la première transformation identique. Et pourquoi avons-nous besoin d'une connaissance aussi approfondie ? - tu demandes. Rien dans les équations. Déplacez-le, pour l'amour de Dieu. N'oubliez pas de changer le signe. Mais dans les inégalités, l'habitude du transfert peut mener à une impasse...

Deuxième transformation identitaire: les deux côtés de l'équation peuvent être multipliés (divisés) par le même non nul nombre ou expression. Une limitation compréhensible apparaît déjà ici : il est stupide de multiplier par zéro, mais il est impossible de diviser du tout. C'est la transformation que vous utilisez lorsque vous décidez quelque chose de cool comme

Naturellement, X= 2. Mais comment l'as-tu trouvé ? Sélection? Ou juste allumé ? Afin de ne pas capter et attendre un aperçu, vous devez comprendre que vous êtes juste diviser les deux côtés de l'équation par 5. Lors de la division du côté gauche (5x), le cinq a été réduit, laissant un X pur. C'est ce dont nous avions besoin. Et en divisant le côté droit de (10) par cinq, il s'est avéré, bien sûr, un deux.

C'est tout.

C'est marrant, mais ces deux (seulement deux !) transformations identiques sous-tendent la solution toutes les équations des mathématiques. Comment! Il est logique de regarder des exemples de quoi et comment, non ?)

Exemples de transformations identiques d'équations. Problèmes principaux.

Commençons avec première transformation identique. Déplacez-vous de gauche à droite.

Un exemple pour les plus petits.)

Disons que nous devons résoudre l'équation suivante :

3-2x=5-3x

Rappelons-nous le sort : "avec X - à gauche, sans X - à droite!" Ce sort est une instruction pour appliquer la première transformation d'identité.) Quelle est l'expression avec le x à droite ? 3x? La réponse est fausse ! A notre droite - 3x! Moins trois x ! Par conséquent, lors du déplacement vers la gauche, le signe se transformera en un plus. Obtenir:

3-2x+3x=5

Ainsi, les X ont été mis ensemble. Faisons les chiffres. Trois à gauche. Quel signe ? La réponse "sans aucun" n'est pas acceptée !) Devant le triplet, en effet, rien n'est tiré. Et cela signifie que devant le triple est un plus. Les mathématiciens ont donc accepté. Rien n'est écrit donc un plus. Par conséquent, le triple sera transféré sur le côté droit avec un moins. On a:

-2x+3x=5-3

Il reste des espaces vides. À gauche - donnez des semblables, à droite - comptez. La réponse est immédiatement :

Dans cet exemple, une transformation identique a suffi. La seconde n'était pas nécessaire. Bien, OK.)

Un exemple pour les anciens.)

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Les lettres sont utilisées pour désigner un nombre inconnu. C'est la signification de ces lettres qu'il faut rechercher à l'aide des solutions de l'équation.

En travaillant sur la solution de l'équation, nous essayons dans un premier temps de l'amener à une forme plus simple, ce qui nous permet d'obtenir le résultat à l'aide de manipulations mathématiques simples. Pour ce faire, nous effectuons le transfert de termes de gauche à droite, changeons les signes, multiplions / divisons les parties de la phrase par un certain nombre, ouvrons les crochets. Mais nous effectuons toutes ces actions avec un seul objectif - obtenir une équation simple.

Équations \ - est une équation avec une forme linéaire inconnue, dans laquelle r et c sont la notation des valeurs numériques. Pour résoudre une équation de ce type, il faut transférer ses termes :

Par exemple, nous devons résoudre l'équation suivante :

Nous commençons la solution de cette équation en transférant ses membres : de \[x\] - vers le côté gauche, le reste - vers la droite. Lors du transfert, rappelez-vous que \[+\] se transforme en \[-.\] Nous obtenons :

\[-2x+3x=5-3\]

En effectuant des opérations arithmétiques simples, nous obtenons le résultat suivant :

Où puis-je résoudre l'équation avec x en ligne ?

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Solution d'équations exponentielles. Exemples.

Attention!
Il y a d'autres
matériel dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui fortement "pas très..."
Et pour ceux qui "beaucoup...")

Quoi équation exponentielle? C'est une équation dans laquelle les inconnues (x) et les expressions avec elles sont dans indicateurs quelques degrés. Et seulement là ! C'est important.

Te voilà exemples d'équations exponentielles:

3 x 2 x = 8 x + 3

Noter! Dans les bases de diplômes (ci-dessous) - Seulement les chiffres. À indicateurs degrés (ci-dessus) - une grande variété d'expressions avec x. Si, soudainement, un x apparaît dans l'équation autre part que l'indicateur, par exemple :

ce sera une équation de type mixte. De telles équations n'ont pas de règles claires pour la résolution. Nous ne les considérerons pas pour l'instant. Nous traiterons ici solution d'équations exponentielles dans sa forme la plus pure.

En fait, même les équations exponentielles pures ne sont pas toujours clairement résolues. Mais il existe certains types d'équations exponentielles qui peuvent et doivent être résolues. Ce sont les types que nous allons examiner.

Solution des équations exponentielles les plus simples.

Commençons par quelque chose de très basique. Par exemple:

Même sans aucune théorie, par simple sélection il est clair que x = 2. Rien de plus, non !? Aucune autre valeur x n'est lancée. Et maintenant regardons la solution de cette équation exponentielle délicate :

Qu'avons-nous fait? En fait, nous venons de jeter les mêmes bas (triples). Complètement jeté. Et, qu'est-ce qui plaît, faites mouche !

En effet, si dans l'équation exponentielle à gauche et à droite sont le même nombres à n'importe quel degré, ces nombres peuvent être supprimés et exposants égaux. Les mathématiques le permettent. Il reste à résoudre une équation beaucoup plus simple. C'est bien, non ?)

Cependant, rappelons ironiquement : vous ne pouvez supprimer les bases que lorsque les numéros de base à gauche et à droite sont dans un splendide isolement ! Sans voisins ni coefficients. Disons dans les équations :

2 x +2 x + 1 = 2 3 , ou

Vous ne pouvez pas supprimer les doublons !

Eh bien, nous avons maîtrisé la chose la plus importante. Comment passer d'expressions exponentielles maléfiques à des équations plus simples.

"Voilà ces moments !" - vous dites. "Qui donnera un tel primitif sur le contrôle et les examens !?"

Obligé d'accepter. Personne ne le fera. Mais maintenant vous savez où aller pour résoudre des exemples déroutants. Il est nécessaire de le rappeler lorsque le même numéro de base est à gauche - à droite. Alors tout sera plus simple. En fait, ce sont les classiques des mathématiques. Nous prenons l'exemple d'origine et le transformons en l'exemple souhaité nous dérange. Selon les règles des mathématiques, bien sûr.

Considérez des exemples qui nécessitent un effort supplémentaire pour les rendre les plus simples. Appelons-les Facile équations exponentielles.

Solution d'équations exponentielles simples. Exemples.

Lors de la résolution d'équations exponentielles, les principales règles sont actions avec des pouvoirs. Sans connaissance de ces actions, rien ne fonctionnera.

Aux actions graduées, il faut ajouter l'observation personnelle et l'ingéniosité. Avons-nous besoin des mêmes numéros de base ? Nous les recherchons donc dans l'exemple sous une forme explicite ou chiffrée.

Voyons comment cela se fait en pratique?

Donnons-nous un exemple :

2 2x - 8x+1 = 0

Premier regard sur terrains. Ils... Ils sont différents ! Deux et huit. Mais il est trop tôt pour se décourager. Il est temps de s'en souvenir

Deux et huit sont des parents en degré.) Il est tout à fait possible d'écrire :

8x+1 = (2 3)x+1

Si nous rappelons la formule des actions avec des pouvoirs :

(une n) m = une nm ,

ça marche généralement très bien :

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

L'exemple original ressemble à ceci :

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Nous transférons 2 3 (x+1)à droite (personne n'a annulé les actions élémentaires des mathématiques !), on obtient :

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

C'est pratiquement tout. Suppression des socles :

Nous résolvons ce monstre et obtenons

C'est la bonne réponse.

Dans cet exemple, connaître les puissances de deux nous a aidés. Nous identifié dans le huit, le deux crypté. Cette technique (encodage des bases communes sous des nombres différents) est une astuce très populaire dans les équations exponentielles ! Oui, même en logarithmes. Il faut être capable de reconnaître les puissances des autres nombres dans les nombres. Ceci est extrêmement important pour résoudre des équations exponentielles.

Le fait est qu'élever n'importe quel nombre à n'importe quelle puissance n'est pas un problème. Multipliez, même sur une feuille de papier, et c'est tout. Par exemple, tout le monde peut relancer 3 à la puissance cinq. 243 se révélera si vous connaissez la table de multiplication.) Mais dans les équations exponentielles, beaucoup plus souvent, il est nécessaire de ne pas élever à une puissance, mais vice versa ... quel nombre dans quelle mesure se cache derrière le nombre 243, ou, disons, 343... Aucune calculatrice ne vous aidera ici.

Il faut connaître les puissances de certains nombres à vue, oui... On s'entraîne ?

Déterminez quelles puissances et quels nombres sont des nombres :

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Réponses (en désordre, bien sûr !) :

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir un fait étrange. Il y a plus de réponses que de questions ! Eh bien, ça arrive... Par exemple, 2 6 , 4 3 , 8 2 est tout 64.

Supposons que vous avez pris note des informations sur la connaissance des nombres.) Permettez-moi de vous rappeler que pour résoudre des équations exponentielles, nous appliquons la totalité stock de connaissances mathématiques. Y compris issus des classes moyennes inférieures. Vous n'êtes pas allé directement au lycée, n'est-ce pas ?

Par exemple, lors de la résolution d'équations exponentielles, mettre le facteur commun entre parenthèses aide très souvent (bonjour à la 7e année !). Voyons un exemple :

3 2x+4 -11 9x = 210

Et encore une fois, le premier regard - sur le terrain ! Les bases des diplômes sont différentes... Trois et neuf. Et nous voulons qu'ils soient les mêmes. Bon, dans ce cas, le désir est tout à fait réalisable !) Car :

9 x = (3 2) x = 3 2x

Selon les mêmes règles pour les actions à degrés :

3 2x+4 = 3 2x 3 4

C'est super, tu peux écrire :

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Nous avons donné un exemple pour les mêmes raisons. Alors, quelle est la prochaine !? Les trois ne peuvent pas être jetés ... Une impasse?

Pas du tout. Se souvenir de la règle de décision la plus universelle et la plus puissante tout tâches mathématiques :

Si vous ne savez pas quoi faire, faites ce que vous pouvez !

Vous regardez, tout est formé).

Qu'y a-t-il dans cette équation exponentielle boîte fais? Oui, le côté gauche demande directement des parenthèses ! Le facteur commun de 3 2x le suggère clairement. Essayons, et ensuite nous verrons :

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

L'exemple est de mieux en mieux !

Rappelons que pour éliminer les bases, il faut un degré pur, sans aucun coefficient. Le nombre 70 nous dérange. On divise donc les deux côtés de l'équation par 70, on obtient :

Op-pa ! Tout s'est bien passé !

C'est la réponse finale.

Il arrive cependant que le roulage sur les mêmes terrains soit obtenu, mais pas leur liquidation. Cela se produit dans les équations exponentielles d'un autre type. Prenons ce type.

Changement de variable dans la résolution d'équations exponentielles. Exemples.

Résolvons l'équation :

4 × - 3 2 × +2 = 0

Tout d'abord - comme d'habitude. Passons à la base. Au diable.

4 x = (2 2) x = 2 2x

On obtient l'équation :

2 2x - 3 2x +2 = 0

Et ici nous allons pendre. Les astuces précédentes ne fonctionneront pas, peu importe comment vous le tournez. Nous devrons puiser dans l'arsenal d'un autre moyen puissant et polyvalent. C'est appelé remplacement de variables.

L'essence de la méthode est étonnamment simple. Au lieu d'une icône complexe (dans notre cas, 2 x), nous en écrivons une autre, plus simple (par exemple, t). Un tel remplacement apparemment dénué de sens conduit à des résultats étonnants !) Tout devient clair et compréhensible !

Alors laisse

Alors 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Nous remplaçons dans notre équation toutes les puissances avec x par t :

Eh bien, ça se lève ?) Vous n'avez pas encore oublié les équations quadratiques ? On résout par le discriminant, on obtient :

Ici, l'essentiel est de ne pas s'arrêter, comme cela arrive... Ce n'est pas encore la réponse, il nous faut x, pas t. Nous revenons à Xs, c'est-à-dire faire un remplacement. D'abord pour t 1 :

C'est-à-dire,

Une racine a été trouvée. Nous recherchons le second, à partir de t 2 :

Euh... Gauche 2 x, Droite 1... Un hic ? Oui, pas du tout ! Il suffit de se rappeler (d'actions à degrés, oui...) qu'une unité est n'importe quel nombre à zéro. N'importe quel. Tout ce dont vous avez besoin, nous le mettrons. Nous avons besoin d'un deux. Moyens:

Maintenant c'est tout. J'ai 2 racines :

C'est la réponse.

À résoudre des équations exponentiellesà la fin, on obtient parfois une expression maladroite. Taper:

Du sept, un deux par un degré simple ne fonctionne pas. Ce ne sont pas des parents... Comment puis-je être ici ? Quelqu'un peut être confus ... Mais la personne qui a lu sur ce site le sujet "Qu'est-ce qu'un logarithme?" , ne souriez qu'avec parcimonie et écrivez d'une main ferme la réponse absolument correcte :

Il ne peut y avoir une telle réponse dans les tâches "B" de l'examen. Un numéro spécifique est requis. Mais dans les tâches "C" - facilement.

Cette leçon fournit des exemples de résolution des équations exponentielles les plus courantes. Soulignons le principal.

Conseils pratiques:

1. Tout d'abord, nous examinons terrains degrés. Voyons si elles ne peuvent pas être faites le même. Essayons de le faire en utilisant activement actions avec des pouvoirs. N'oubliez pas que les nombres sans x peuvent aussi être transformés en puissances !

2. Nous essayons de mettre l'équation exponentielle sous la forme lorsque la gauche et la droite sont le même nombres à n'importe quel degré. Nous utilisons actions avec pouvoirs et factorisation. Ce qui peut être compté en nombre - nous comptons.

3. Si le deuxième conseil n'a pas fonctionné, nous essayons d'appliquer la substitution de variable. Le résultat peut être une équation facile à résoudre. Le plus souvent - carré. Ou fractionnaire, qui se réduit également à un carré.

4. Pour réussir à résoudre des équations exponentielles, vous devez connaître les degrés de certains nombres "à vue".

Comme d'habitude, à la fin de la leçon, vous êtes invité à résoudre un peu.) Par vous-même. Du simple au complexe.

Résolvez des équations exponentielles :

Plus difficile:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Trouver le produit des racines :

2 3-x + 2x = 9

Passé?

Eh bien l'exemple le plus dur(décidé, cependant, dans l'esprit ...) :

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Quoi de plus intéressant ? Alors voici un mauvais exemple pour vous. Assez tirant sur une difficulté accrue. Je laisserai entendre que dans cet exemple, l'ingéniosité et la règle la plus universelle pour résoudre toutes les tâches mathématiques sauvent.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Un exemple est plus simple, pour la détente):

9 2 x - 4 3 x = 0

Et pour le dessert. Trouver la somme des racines de l'équation :

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Oui oui! C'est une équation de type mixte ! Ce que nous n'avons pas considéré dans cette leçon. Et pour les considérer, ils doivent être résolus!) Cette leçon suffit amplement à résoudre l'équation. Eh bien, il faut de l'ingéniosité ... Et oui, la septième année vous aidera (c'est un indice!).

Réponses (en désordre, séparées par des points-virgules) :

une; 2 ; 3 ; quatre ; il n'y a pas de solutions; 2 ; -2 ; -5 ; quatre ; 0.

Est-ce que tout est réussi ? Excellent.

Il ya un problème? Aucun problème! Dans la section spéciale 555, toutes ces équations exponentielles sont résolues avec des explications détaillées. Quoi, pourquoi et pourquoi. Et, bien sûr, il y a des informations précieuses supplémentaires sur le travail avec toutes sortes d'équations exponentielles. Pas seulement avec ceux-ci.)

Une dernière question amusante à considérer. Dans cette leçon, nous avons travaillé avec des équations exponentielles. Pourquoi n'ai-je pas dit un mot sur ODZ ici ? Dans les équations, c'est une chose très importante, d'ailleurs...

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Équations linéaires. Solution, exemples.

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Équations linéaires.

Les équations linéaires ne sont pas le sujet le plus difficile des mathématiques scolaires. Mais il y a quelques astuces qui peuvent déconcerter même un étudiant qualifié. Allons-nous comprendre ?)

Une équation linéaire est généralement définie comme une équation de la forme :

hache + b = 0 où un et b- tous les numéros.

2x + 7 = 0. Ici un=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Ici un=0,1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Ici un=12, b=1/2

Rien de compliqué, non ? Surtout si vous ne remarquez pas les mots : "où a et b sont des nombres quelconques"... Et si vous le remarquez, mais y pensez négligemment?) Après tout, si un=0, b=0(des nombres sont-ils possibles ?), puis nous obtenons une drôle d'expression :

Mais ce n'est pas tout! Si, disons, un=0, un b=5, il s'avère quelque chose d'assez absurde:

Ce qui met à rude épreuve et sape la confiance en les mathématiques, oui...) Surtout aux examens. Mais parmi ces expressions étranges, il faut aussi trouver X ! Qui n'existe pas du tout. Et, étonnamment, ce X est très facile à trouver. Nous allons apprendre à le faire. Dans cette leçon.

Comment reconnaître une équation linéaire en apparence ? Cela dépend de l'apparence.) L'astuce est que les équations linéaires ne sont pas seulement appelées des équations de la forme hache + b = 0 , mais aussi toutes les équations qui sont réduites à cette forme par des transformations et des simplifications. Et qui sait s'il est réduit ou non ?)

Une équation linéaire peut être clairement reconnue dans certains cas. Dites, si nous avons une équation dans laquelle il n'y a que des inconnues au premier degré, oui des nombres. Et l'équation n'est pas fractions divisées par inconnue , C'est important! Et division par Numéro, ou une fraction numérique - c'est tout ! Par exemple:

C'est une équation linéaire. Il y a des fractions ici, mais il n'y a pas de x dans le carré, dans le cube, etc., et il n'y a pas de x dans les dénominateurs, c'est-à-dire Non division par x. Et voici l'équation

ne peut pas être qualifié de linéaire. Ici, les x sont tous au premier degré, mais il y a division par expression avec x. Après simplifications et transformations, vous pouvez obtenir une équation linéaire, et une quadratique, et tout ce que vous voulez.

Il s'avère qu'il est impossible de trouver une équation linéaire dans un exemple complexe jusqu'à ce que vous la résolviez presque. C'est bouleversant. Mais dans les devoirs, en règle générale, ils ne posent pas de questions sur la forme de l'équation, n'est-ce pas ? Dans les tâches, les équations sont ordonnées décider. Ceci me rend heureux.)

Solution d'équations linéaires. Exemples.

La solution entière des équations linéaires consiste en des transformations identiques d'équations. Soit dit en passant, ces transformations (jusqu'à deux !) sous-tendent les solutions toutes les équations des mathématiques. Autrement dit, la décision n'importe quel L'équation commence par ces mêmes transformations. Dans le cas des équations linéaires, il (la solution) sur ces transformations se termine par une réponse complète. Il est logique de suivre le lien, n'est-ce pas ?) De plus, il existe également des exemples de résolution d'équations linéaires.

Commençons par l'exemple le plus simple. Sans aucun écueil. Disons que nous devons résoudre l'équation suivante.

x - 3 = 2 - 4x

C'est une équation linéaire. Les X sont tous à la première puissance, il n'y a pas de division par X. Mais, en fait, peu importe quelle est l'équation. Nous devons le résoudre. Le schéma ici est simple. Collectez tout ce qui a des x sur le côté gauche de l'équation, tout ce qui n'a pas de x (chiffres) sur la droite.

Pour ce faire, vous devez transférer - 4x à gauche, avec un changement de signe, bien sûr, mais - 3 - À droite. D'ailleurs c'est première transformation identique d'équations. Surpris? Du coup, ils n'ont pas suivi le lien, mais en vain...) On obtient :

x + 4x = 2 + 3

Nous donnons similaire, nous considérons:

De quoi avons-nous besoin pour être complètement heureux ? Oui, pour qu'il y ait un X net à gauche ! Cinq se mettent en travers. Débarrassez-vous des cinq avec deuxième transformation identique d'équations. A savoir, nous divisons les deux parties de l'équation par 5. Nous obtenons une réponse toute faite :

Un exemple élémentaire, bien sûr. C'est pour un échauffement.) Ce n'est pas très clair pourquoi j'ai rappelé des transformations identiques ici ? D'ACCORD. Nous prenons le taureau par les cornes.) Décidons quelque chose de plus impressionnant.

Par exemple, voici cette équation :

Où allons-nous commencer? Avec X - à gauche, sans X - à droite ? Peut-être ainsi. Petits pas le long de la longue route. Et vous pouvez immédiatement, de manière universelle et puissante. À moins, bien sûr, que dans votre arsenal il y ait des transformations identiques d'équations.

Je vous pose une question clé : Qu'est-ce qui vous déplaît le plus dans cette équation ?

95 personnes sur 100 répondront : fractions ! La réponse est correcte. Alors débarrassons-nous d'eux. Alors on commence tout de suite avec deuxième transformation identique. De quoi avez-vous besoin pour multiplier la fraction de gauche afin que le dénominateur soit complètement réduit ? C'est vrai, 3. Et à droite ? Par 4. Mais les mathématiques nous permettent de multiplier les deux côtés par le même numéro. Comment sort-on ? Multiplions les deux côtés par 12 ! Ceux. à un dénominateur commun. Alors les trois seront réduits, et les quatre. N'oubliez pas que vous devez multiplier chaque partie entièrement. Voici à quoi ressemble la première étape :

Élargir les parenthèses :

Noter! Numérateur (x+2) J'ai pris entre parenthèses ! En effet, lors de la multiplication de fractions, le numérateur est multiplié par le tout, entièrement ! Et maintenant, vous pouvez réduire les fractions et réduire :

Ouverture des parenthèses restantes :

Pas un exemple, mais un pur plaisir !) Nous rappelons maintenant le sortilège des grades inférieurs : avec x - à gauche, sans x - à droite ! Et appliquez cette transformation :

En voici quelques-uns :

Et nous divisons les deux parties par 25, c'est-à-dire appliquez à nouveau la deuxième transformation :

C'est tout. Réponse: X=0,16

Attention : pour donner une forme agréable à l'équation déroutante d'origine, nous avons utilisé deux (seulement deux !) transformations identiques- translation gauche-droite avec changement de signe et multiplication-division de l'équation par le même nombre. C'est la voie universelle ! Nous travaillerons ainsi n'importe quel équations ! Absolument n'importe lequel. C'est pourquoi je répète sans cesse ces transformations identiques.)

Comme vous pouvez le voir, le principe de résolution des équations linéaires est simple. Nous prenons l'équation et la simplifions à l'aide de transformations identiques jusqu'à ce que nous obtenions la réponse. Les principaux problèmes ici sont dans les calculs, et non dans le principe de la solution.

Mais ... Il y a de telles surprises dans le processus de résolution des équations linéaires les plus élémentaires qu'elles peuvent conduire à une forte stupeur ...) Heureusement, il ne peut y avoir que deux de ces surprises. Appelons-les des cas particuliers.

Cas particuliers de résolution d'équations linéaires.

Surprendre d'abord.

Supposons que vous rencontriez une équation élémentaire, quelque chose comme :

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Légèrement ennuyé, on vire avec X à gauche, sans X - à droite... Avec un changement de signe, tout est chin-chinar... On obtient :

2x-5x+3x=5-2-3

Nous croyons, et ... oh mon dieu ! On a:

En soi, cette égalité n'est pas répréhensible. Zéro est vraiment zéro. Mais X est parti ! Et nous devons écrire dans la réponse, à quoi x est égal. Sinon, la solution ne compte pas, oui...) Une impasse ?

Calmes! Dans ces cas douteux, les règles les plus générales sauvent. Comment résoudre des équations ? Que signifie résoudre une équation ? Ça signifie, trouver toutes les valeurs de x qui, une fois substituées dans l'équation d'origine, nous donneront la bonne égalité.

Mais on a la bonne égalité déjà passé! 0=0, où vraiment ?! Il reste à déterminer à quel x cela est obtenu. Quelles valeurs de x peuvent être substituées dans originaléquation si ces x toujours réduit à zéro? Allez?)

Oui!!! Les X peuvent être remplacés n'importe quel! Qu'est-ce que tu veux. Au moins 5, au moins 0,05, au moins -220. Ils vont encore rétrécir. Si vous ne me croyez pas, vous pouvez le vérifier.) Remplacez toutes les valeurs x dans originaléquation et calcul. Tout le temps la pure vérité sera obtenue : 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 et ainsi de suite.

Voici votre réponse : x est n'importe quel nombre.

La réponse peut être écrite dans différents symboles mathématiques, l'essence ne change pas. C'est une réponse tout à fait correcte et complète.

Surprise deuxième.

Prenons la même équation linéaire élémentaire et modifions-y un seul nombre. Voici ce que nous déciderons :

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Après les mêmes transformations identiques, nous obtenons quelque chose d'intrigant :

Comme ça. Résolu une équation linéaire, obtenu une étrange égalité. Mathématiquement parlant, nous avons mauvaise égalité. Et parler langage clair, ce n'est pas vrai. Délirer. Mais néanmoins, ce non-sens est une assez bonne raison pour la bonne solution de l'équation.)

Encore une fois, nous pensons sur la base de règles générales. Qu'est-ce que x, une fois substitué dans l'équation d'origine, nous donnera corrigerégalité? Oui, aucun ! Il n'y a pas de tels x. Quoi que vous substituiez, tout sera réduit, le non-sens restera.)

Voici votre réponse : il n'y a pas de solution.

C'est aussi une réponse parfaitement valable. En mathématiques, de telles réponses se produisent souvent.

Comme ça. Maintenant, j'espère que la perte de X dans le processus de résolution de toute équation (pas seulement linéaire) ne vous dérangera pas du tout. Le sujet est familier.)

Maintenant que nous avons traité tous les pièges des équations linéaires, il est logique de les résoudre.

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Les équations sont l'une des sujets difficiles pour l'assimilation, mais en même temps, ils sont un outil assez puissant pour résoudre la plupart des problèmes.

À l'aide d'équations, divers processus se produisant dans la nature sont décrits. Les équations sont largement utilisées dans d'autres sciences : en économie, en physique, en biologie et en chimie.

Dans cette leçon, nous allons essayer de comprendre l'essence des équations les plus simples, apprendre à exprimer des inconnues et résoudre plusieurs équations. Au fur et à mesure que vous apprendrez de nouveaux matériaux, les équations deviendront plus complexes, il est donc très important de comprendre les bases.

Compétences préliminaires Contenu de la leçon

Qu'est-ce qu'une équation ?

Une équation est une égalité qui contient une variable dont vous voulez trouver la valeur. Cette valeur doit être telle que lorsqu'elle est substituée dans l'équation d'origine, l'égalité numérique correcte est obtenue.

Par exemple, l'expression 3 + 2 = 5 est une égalité. Lors du calcul du côté gauche, l'égalité numérique correcte est obtenue 5 = 5 .

Mais l'égalité 3 + X= 5 est une équation car elle contient une variable X, dont la valeur peut être trouvée. La valeur doit être telle que lorsque cette valeur est substituée dans l'équation d'origine, l'égalité numérique correcte est obtenue.

En d'autres termes, nous devons trouver une valeur où le signe égal justifierait son emplacement - le côté gauche devrait être égal au côté droit.

Équation 3+ X= 5 est élémentaire. Valeur variable X est égal au nombre 2. Pour toute autre valeur, l'égalité ne sera pas observée

On dit que le nombre 2 est racine ou solution de l'équation 3 + X = 5

Racine ou solution de l'équation est la valeur de la variable à laquelle l'équation devient une véritable égalité numérique.

Il peut y avoir plusieurs racines ou aucune. résous l'équation signifie trouver ses racines ou prouver qu'il n'y a pas de racines.

La variable dans l'équation est également appelée inconnue. Vous êtes libre de l'appeler comme bon vous semble. Ce sont des synonymes.

Noter. phrase "résous l'équation" parle pour lui-même. Résoudre une équation signifie « mettre en équation » une équation, c'est-à-dire la rendre équilibrée de sorte que le côté gauche soit égal au côté droit.

Exprimer l'un par rapport à l'autre

L'étude des équations commence traditionnellement par apprendre à exprimer un nombre compris dans l'égalité en fonction de plusieurs autres. Ne brisons pas cette tradition et faisons de même.

Considérez l'expression suivante :

8 + 2

Cette expression est la somme des nombres 8 et 2. La valeur de cette expression est 10

8 + 2 = 10

Nous avons obtenu l'égalité. Vous pouvez maintenant exprimer n'importe quel nombre de cette égalité en termes d'autres nombres inclus dans la même égalité. Par exemple, exprimons le nombre 2.

Pour exprimer le chiffre 2, il faut se poser la question : "que faut-il faire avec les chiffres 10 et 8 pour obtenir le chiffre 2". Il est clair que pour obtenir le chiffre 2, il faut soustraire le chiffre 8 du chiffre 10.

Alors nous le faisons. On note le chiffre 2 et par le signe égal on dit que pour obtenir ce chiffre 2, on a soustrait le chiffre 8 au chiffre 10 :

2 = 10 − 8

Nous avons exprimé le nombre 2 à partir de l'équation 8 + 2 = 10 . Comme vous pouvez le voir sur l'exemple, il n'y a rien de compliqué à ce sujet.

Lors de la résolution d'équations, en particulier lors de l'expression d'un nombre en termes d'autres, il est commode de remplacer le signe égal par le mot " il y a" . Cela doit être fait mentalement, et non dans l'expression elle-même.

Ainsi, en exprimant le nombre 2 à partir de l'égalité 8 + 2 = 10, nous avons obtenu l'égalité 2 = 10 − 8 . Cette équation peut se lire comme ceci :

2 il y a 10 − 8

C'est le signe = remplacé par le mot « est ». De plus, l'égalité 2 = 10 − 8 peut être traduite du langage mathématique en langage humain à part entière. Ensuite, il peut être lu comme ceci:

Numéro 2 il y a différence entre 10 et 8

Numéro 2 il y a la différence entre le chiffre 10 et le chiffre 8.

Mais nous nous limiterons à remplacer le signe égal par le mot "est", et nous ne le ferons pas toujours. Les expressions élémentaires peuvent être comprises sans traduire le langage mathématique en langage humain.

Ramenons l'égalité résultante 2 = 10 − 8 à son état d'origine :

8 + 2 = 10

Exprimons cette fois le nombre 8. Que faut-il faire avec le reste des nombres pour obtenir le nombre 8 ? C'est vrai, vous devez soustraire le nombre 2 du nombre 10

8 = 10 − 2

Ramenons l'égalité résultante 8 = 10 − 2 à son état d'origine :

8 + 2 = 10

Cette fois, nous allons exprimer le nombre 10. Mais il s'avère que le dix n'a pas besoin d'être exprimé, puisqu'il est déjà exprimé. Il suffit d'échanger les parties gauche et droite, puis on obtient ce dont on a besoin :

10 = 8 + 2

Exemple 2. Considérons l'égalité 8 − 2 = 6

On exprime le nombre 8 à partir de cette égalité. Pour exprimer le nombre 8, il faut additionner les deux autres nombres :

8 = 6 + 2

Remettons l'égalité résultante 8 = 6 + 2 à son état d'origine :

8 − 2 = 6

De cette égalité, nous exprimons le nombre 2. Pour exprimer le nombre 2, nous devons soustraire 6 de 8

2 = 8 − 6

Exemple 3. Considérons l'équation 3 × 2 = 6

Exprimez le nombre 3. Pour exprimer le nombre 3, vous devez diviser 6 par 2

Ramenons l'égalité résultante à son état d'origine :

3 x 2 = 6

Exprimons le nombre 2 à partir de cette égalité. Pour exprimer le nombre 2, il faut diviser 3 par 6

Exemple 4. Considérez l'égalité

On exprime le nombre 15 à partir de cette égalité. Pour exprimer le nombre 15, il faut multiplier les nombres 3 et 5

15 = 3 x 5

Ramenons l'égalité résultante 15 = 3 × 5 à son état d'origine :

On exprime le nombre 5 à partir de cette égalité. Pour exprimer le nombre 5, il faut diviser 15 par 3

Règles pour trouver des inconnues

Considérez plusieurs règles pour trouver des inconnues. Peut-être qu'ils vous sont familiers, mais cela ne fait pas de mal de les répéter à nouveau. À l'avenir, on pourra les oublier, puisque nous apprendrons à résoudre des équations sans appliquer ces règles.

Revenons au premier exemple, que nous avons considéré dans le sujet précédent, où dans l'équation 8 + 2 = 10, il était nécessaire d'exprimer le nombre 2.

Dans l'équation 8 + 2 = 10, les nombres 8 et 2 sont des termes et le nombre 10 est la somme.

Pour exprimer le nombre 2, nous avons fait ce qui suit :

2 = 10 − 8

Autrement dit, le terme 8 a été soustrait de la somme de 10.

Imaginez maintenant que dans l'équation 8 + 2 = 10, au lieu du nombre 2, il y a une variable X

8 + X = 10

Dans ce cas, l'équation 8 + 2 = 10 devient l'équation 8 + X= 10 , et la variable X terme inconnu

Notre tâche est de trouver ce terme inconnu, c'est-à-dire de résoudre l'équation 8 + X= 10 . Pour trouver le terme inconnu, la règle suivante est fournie :

Pour trouver le terme inconnu, soustrayez le terme connu de la somme.

C'est essentiellement ce que nous avons fait lorsque nous avons exprimé les deux dans l'équation 8 + 2 = 10. Pour exprimer le terme 2, nous avons soustrait un autre terme 8 de la somme 10

2 = 10 − 8

Et maintenant pour trouver le terme inconnu X, il faut soustraire le terme connu 8 de la somme 10 :

X = 10 − 8

Si vous calculez le côté droit de l'égalité résultante, vous pouvez savoir à quoi la variable est égale X

X = 2

Nous avons résolu l'équation. Valeur variable X est égal à 2. Pour vérifier la valeur d'une variable X envoyé à l'équation d'origine 8 + X= 10 et remplacer par X. Il est souhaitable de le faire avec n'importe quelle équation résolue, car vous ne pouvez pas être sûr que l'équation est résolue correctement :

Par conséquent

La même règle s'appliquerait si le terme inconnu était le premier chiffre 8.

X + 2 = 10

Dans cette équation X est le terme inconnu, 2 est le terme connu, 10 est la somme. Pour trouver le terme inconnu X, il faut soustraire le terme connu 2 de la somme 10

X = 10 − 2

X = 8

Revenons au deuxième exemple du sujet précédent, où dans l'équation 8 − 2 = 6, il était nécessaire d'exprimer le nombre 8.

Dans l'équation 8 − 2 = 6, le nombre 8 est la diminution, le nombre 2 est la soustraction, le nombre 6 est la différence

Pour exprimer le nombre 8, nous avons fait ce qui suit :

8 = 6 + 2

C'est-à-dire qu'ils ont ajouté la différence de 6 et le 2 soustrait.

Imaginons maintenant que dans l'équation 8 − 2 = 6, au lieu du nombre 8, il y ait une variable X

X − 2 = 6

Dans ce cas, la variable X assume le rôle de soi-disant diminutif inconnu

Pour trouver le diminuend inconnu, la règle suivante est fournie :

Pour trouver la diminution inconnue, vous devez ajouter la soustraction à la différence.

C'est ce que nous avons fait lorsque nous avons exprimé le nombre 8 dans l'équation 8 − 2 = 6. Pour exprimer le diminutif 8, nous avons ajouté le sous-traitant 2 à la différence de 6.

Et maintenant, pour trouver le diminuend inconnu X, il faut ajouter le sous-traitant 2 à la différence 6

X = 6 + 2

Si vous calculez le côté droit, vous pouvez savoir à quoi correspond la variable X

X = 8

Imaginons maintenant que dans l'équation 8 − 2 = 6, au lieu du nombre 2, il y ait une variable X

8 − X = 6

Dans ce cas, la variable X assume un rôle sous-jacent inconnu

Pour trouver le sous-traitant inconnu, la règle suivante est fournie :

Pour trouver la soustraction inconnue, vous devez soustraire la différence de la diminution de la fin.

C'est ce que nous avons fait lorsque nous avons exprimé le nombre 2 dans l'équation 8 − 2 = 6. Pour exprimer le nombre 2, nous avons soustrait la différence 6 du 8 réduit.

Et maintenant, pour trouver le sous-entendu inconnu X, vous devez à nouveau soustraire la différence 6 du 8 réduit

X = 8 − 6

Calculer le côté droit et trouver la valeur X

X = 2

Revenons au troisième exemple du sujet précédent, où dans l'équation 3 × 2 = 6 nous avons essayé d'exprimer le nombre 3.

Dans l'équation 3 × 2 = 6, le nombre 3 est le multiplicande, le nombre 2 est le multiplicateur, le nombre 6 est le produit

Pour exprimer le nombre 3, nous avons fait ce qui suit :

Autrement dit, divisez le produit de 6 par un facteur de 2.

Imaginez maintenant que dans l'équation 3 × 2 = 6, au lieu du nombre 3, il y a une variable X

X×2=6

Dans ce cas, la variable X assume un rôle multiplicande inconnu.

Pour trouver le multiplicateur inconnu, la règle suivante est fournie :

Pour trouver le multiplicande inconnu, vous devez diviser le produit par le facteur.

C'est ce que nous avons fait lorsque nous avons exprimé le nombre 3 à partir de l'équation 3 × 2 = 6. Nous avons divisé le produit de 6 par un facteur de 2.

Et maintenant pour trouver le multiplicateur inconnu X, vous devez diviser le produit de 6 par un facteur de 2.

Le calcul du côté droit nous permet de trouver la valeur de la variable X

X = 3

La même règle s'applique si la variable X est situé à la place du multiplicateur, pas du multiplicande. Imaginez que dans l'équation 3 × 2 = 6, au lieu du nombre 2, il y ait une variable X .

Dans ce cas, la variable X assume un rôle multiplicateur inconnu. Pour trouver un facteur inconnu, on procède de la même manière que pour trouver un multiplicateur inconnu, à savoir diviser le produit par un facteur connu :

Pour trouver le facteur inconnu, vous devez diviser le produit par le multiplicande.

C'est ce que nous avons fait lorsque nous avons exprimé le nombre 2 à partir de l'équation 3 × 2 = 6. Ensuite, pour obtenir le nombre 2, nous avons divisé le produit de 6 par le multiplicande 3.

Et maintenant pour trouver le facteur inconnu X nous avons divisé le produit de 6 par le multiplicateur de 3.

Le calcul du côté droit de l'équation vous permet de savoir à quoi x est égal

X = 2

Le multiplicande et le multiplicateur sont appelés facteurs. Puisque les règles pour trouver le multiplicande et le multiplicateur sont les mêmes, nous pouvons formuler règle générale trouver l'inconnue :

Pour trouver le facteur inconnu, vous devez diviser le produit par le facteur connu.

Par exemple, résolvons l'équation 9 × X= 18 . Variable X est un facteur inconnu. Pour trouver ce facteur inconnu, il faut diviser le produit 18 par le facteur connu 9

Résolvons l'équation X× 3 = 27 . Variable X est un facteur inconnu. Pour trouver ce facteur inconnu, il faut diviser le produit 27 par le facteur connu 3

Revenons au quatrième exemple du sujet précédent, où dans l'égalité il fallait exprimer le nombre 15. Dans cette égalité, le nombre 15 est le dividende, le nombre 5 est le diviseur, le nombre 3 est le quotient.

Pour exprimer le nombre 15, nous avons fait ce qui suit :

15 = 3 x 5

Autrement dit, multipliez le quotient de 3 par le diviseur de 5.

Imaginons maintenant que dans l'égalité, au lieu du nombre 15, il y ait une variable X

Dans ce cas, la variable X assume un rôle dividende inconnu.

Pour trouver un dividende inconnu, la règle suivante est fournie :

Pour trouver le dividende inconnu, vous devez multiplier le quotient par le diviseur.

C'est ce que nous avons fait lorsque nous avons exprimé le nombre 15 à partir de l'égalité. Pour exprimer le nombre 15, nous avons multiplié le quotient de 3 par le diviseur de 5.

Et maintenant, pour trouver le dividende inconnu X, il faut multiplier le quotient de 3 par le diviseur de 5

X= 3 × 5

X .

X = 15

Imaginez maintenant que dans l'égalité, au lieu du nombre 5, il y a une variable X .

Dans ce cas, la variable X assume un rôle diviseur inconnu.

Pour trouver le diviseur inconnu, la règle suivante est fournie :

C'est ce que nous avons fait lorsque nous avons exprimé le nombre 5 à partir de l'égalité . Pour exprimer le nombre 5, nous avons divisé le dividende 15 par le quotient 3.

Et maintenant pour trouver le diviseur inconnu X, il faut diviser le dividende 15 par le quotient 3

Calculons le côté droit de l'égalité résultante. Donc, nous découvrons à quoi la variable est égale X .

X = 5

Ainsi, pour trouver des inconnues, nous avons étudié les règles suivantes :

• Pour trouver le terme inconnu, vous devez soustraire le terme connu de la somme ;
• Pour trouver la diminution inconnue, vous devez ajouter la soustraction à la différence ;
• Pour trouver la soustraction inconnue, vous devez soustraire la différence de la diminution de la fin ;
• Pour trouver le multiplicande inconnu, vous devez diviser le produit par le facteur ;
• Pour trouver le facteur inconnu, vous devez diviser le produit par le multiplicande ;
• Pour trouver le dividende inconnu, vous devez multiplier le quotient par le diviseur ;
• Pour trouver un diviseur inconnu, il faut diviser le dividende par le quotient.

Composants

Les composants que nous appellerons les nombres et les variables inclus dans l'égalité

Ainsi, les composantes de l'addition sont termes et somme

Les composantes de soustraction sont diminutif, soustraire et différence

Les composants de la multiplication sont multiplicande, facteur et travailler

Les composants de la division sont le dividende, le diviseur et le quotient.

Selon les composants auxquels nous avons affaire, les règles correspondantes de recherche d'inconnues seront appliquées. Nous avons étudié ces règles dans le sujet précédent. Lors de la résolution d'équations, il est souhaitable de connaître ces règles par cœur.

Exemple 1. Trouver la racine de l'équation 45+ X = 60

45 - terme, X est le terme inconnu, 60 est la somme. Nous avons affaire à des composants d'addition. Rappelons que pour trouver le terme inconnu, il faut soustraire le terme connu de la somme :

X = 60 − 45

Calculer le côté droit, obtenir la valeur Xégal à 15

X = 15

Donc la racine de l'équation est 45 + X= 60 égale 15.

Le plus souvent, le terme inconnu doit être réduit à une forme sous laquelle il pourrait être exprimé.

Exemple 2. résous l'équation

Ici, contrairement à l'exemple précédent, le terme inconnu ne peut pas être exprimé immédiatement, car il contient un coefficient de 2. Notre tâche est de mettre cette équation sous la forme sous laquelle nous pourrions exprimer X

Dans cet exemple, nous traitons des composants de l'addition - les termes et la somme. 2 X est le premier terme, 4 est le deuxième terme, 8 est la somme.

Dans ce cas, le terme 2 X contient une variable X. Après avoir trouvé la valeur de la variable X terme 2 X prendra une autre forme. Par conséquent, le terme 2 X peut être complètement pris pour le terme inconnu :

Maintenant, nous appliquons la règle pour trouver le terme inconnu. Soustrayez le terme connu de la somme :

Calculons le côté droit de l'équation résultante :

Nous avons une nouvelle équation. Nous traitons maintenant des composants de la multiplication : multiplicande, multiplicateur et produit. 2 - multiplicateur, X- multiplicateur, 4 - produit

Dans le même temps, la variable X n'est pas seulement un facteur, mais un facteur inconnu

Pour trouver cette inconnue, il faut diviser le produit par le multiplicande :

Calculer le côté droit, obtenir la valeur de la variable X

Pour vérifier la racine trouvée, envoyez-la à l'équation d'origine et remplacez-la à la place X

Exemple 3. résous l'équation 3X+ 9X+ 16X= 56

Exprimer l'inconnu X c'est interdit. Vous devez d'abord amener cette équation à la forme sous laquelle elle pourrait être exprimée.

Nous présentons du côté gauche de cette équation :

Nous traitons des composantes de la multiplication. 28 - multiplicateur, X- multiplicateur, 56 - produit. Où X est un facteur inconnu. Pour trouver l'inconnue, il faut diviser le produit par le multiplicande :

D'ici X est 2

Équations équivalentes

Dans l'exemple précédent, lors de la résolution de l'équation 3X + 9X + 16X = 56 , nous avons donné des termes semblables du côté gauche de l'équation. Le résultat est une nouvelle équation 28 X= 56 . vieille équation 3X + 9X + 16X = 56 et la nouvelle équation résultante 28 X= 56 appelés équations équivalentes parce que leurs racines sont les mêmes.

Les équations sont dites équivalentes si leurs racines sont les mêmes.

Regardons ça. Pour l'équation 3X+ 9X+ 16X= 56 nous avons trouvé la racine égale à 2 . Remplacez cette racine d'abord dans l'équation 3X+ 9X+ 16X= 56 , puis dans l'équation 28 X= 56 , résultant de la réduction des termes similaires du côté gauche de l'équation précédente. Il faut obtenir les bonnes égalités numériques

Selon l'ordre des opérations, la multiplication est effectuée en premier:

Remplacer la racine 2 dans la deuxième équation 28 X= 56

On voit que les deux équations ont les mêmes racines. Alors les équations 3X+ 9X+ 16X= 56 et 28 X= 56 sont bien équivalents.

Pour résoudre l'équation 3X+ 9X+ 16X= 56 nous avons utilisé l'un des — réduction de termes semblables. La transformation identité correcte de l'équation nous a permis d'obtenir une équation équivalente 28 X= 56 , qui est plus facile à résoudre.

Parmi les transformations identiques, pour le moment, nous ne pouvons que réduire les fractions, apporter des termes similaires, retirer le facteur commun des parenthèses et également ouvrir les parenthèses. Il existe d'autres transformations dont vous devez être conscient. Mais pour une idée générale des transformations identiques d'équations, les sujets que nous avons étudiés suffisent amplement.

Considérons quelques transformations qui nous permettent d'obtenir une équation équivalente

Si vous ajoutez le même nombre aux deux côtés de l'équation, vous obtenez une équation équivalente à celle donnée.

et de même :

Si le même nombre est soustrait des deux côtés de l'équation, alors une équation équivalente à celle donnée sera obtenue.

En d'autres termes, la racine de l'équation ne change pas si le même nombre est ajouté (ou soustrait des deux côtés de) l'équation.

Exemple 1. résous l'équation

Soustraire le nombre 10 des deux côtés de l'équation

Équation 5 obtenue X= 10 . Nous traitons des composantes de la multiplication. Pour trouver l'inconnue X, vous devez diviser le produit de 10 par le facteur connu 5.

et remplacer à la place X valeur trouvée 2

Nous avons le bon numéro. L'équation est donc correcte.

Résoudre l'équation nous avons soustrait le nombre 10 des deux côtés de l'équation. Le résultat est une équation équivalente. La racine de cette équation, comme les équations est aussi égal à 2

Exemple 2. Résoudre l'équation 4( X+ 3) = 16

Soustraire le nombre 12 des deux côtés de l'équation

Le côté gauche sera 4 X, et sur le côté droit le chiffre 4

Équation 4 X= 4 . Nous traitons des composantes de la multiplication. Pour trouver l'inconnue X, il faut diviser le produit 4 par le facteur connu 4

Revenons à l'équation originale 4( X+ 3) = 16 et remplacer à la place X valeur trouvée 1

Nous avons le bon numéro. L'équation est donc correcte.

Résolution de l'équation 4( X+ 3) = 16 nous avons soustrait le nombre 12 des deux côtés de l'équation. En conséquence, nous avons obtenu une équation équivalente 4 X= 4 . La racine de cette équation, ainsi que les équations 4( X+ 3) = 16 est aussi égal à 1

Exemple 3. résous l'équation

Développons les parenthèses sur le côté gauche de l'équation :

Ajoutons le nombre 8 aux deux côtés de l'équation

Nous présentons des termes similaires dans les deux parties de l'équation :

Le côté gauche sera 2 X, et sur le côté droit le chiffre 9

Dans l'équation résultante 2 X= 9 on exprime le terme inconnu X

Retour à l'équation d'origine et remplacer à la place X valeur trouvée 4.5

Nous avons le bon numéro. L'équation est donc correcte.

Résoudre l'équation nous avons ajouté le nombre 8 aux deux côtés de l'équation.En conséquence, nous avons obtenu une équation équivalente. La racine de cette équation, comme les équations est également égal à 4,5

La règle suivante, qui permet d'obtenir une équation équivalente, est la suivante

Si dans l'équation nous transférons le terme d'une partie à l'autre, en changeant son signe, alors nous obtenons une équation équivalente à celle donnée.

Autrement dit, la racine de l'équation ne changera pas si nous transférons le terme d'une partie de l'équation à une autre en changeant son signe. Cette propriété est l'une des plus importantes et l'une des plus fréquemment utilisées dans la résolution d'équations.

Considérez l'équation suivante :

La racine de cette équation est 2. Substituer au lieu de X cette racine et vérifier si l'égalité numérique correcte est obtenue

Il s'avère que la bonne égalité. Donc le nombre 2 est vraiment la racine de l'équation.

Essayons maintenant d'expérimenter les termes de cette équation, en les transférant d'une partie à l'autre, en changeant de signe.

Par exemple, terme 3 X situé sur le côté gauche de l'équation. Déplaçons-le vers la droite, en changeant le signe à l'opposé :

Il s'est avéré que l'équation 12 = 9X − 3X . à droite de cette équation :

X est un facteur inconnu. Trouvons ce facteur connu :

D'ici X= 2 . Comme vous pouvez le voir, la racine de l'équation n'a pas changé. Donc les équations 12 + 3 X = 9X et 12 = 9X − 3X sont équivalents.

En fait, cette transformation est une méthode simplifiée de la transformation précédente, où le même nombre a été ajouté (ou soustrait) aux deux parties de l'équation.

Nous avons dit que dans l'équation 12 + 3 X = 9X terme 3 X a été déplacé vers la droite en changeant le signe. En réalité, il s'est passé ce qui suit : le terme 3 a été soustrait des deux côtés de l'équation X

Ensuite, des termes similaires ont été donnés sur le côté gauche et l'équation a été obtenue 12 = 9X − 3X. Ensuite, des termes similaires ont été donnés à nouveau, mais du côté droit, et l'équation 12 = 6 a été obtenue X.

Mais le soi-disant "transfert" est plus pratique pour de telles équations, c'est pourquoi il est devenu si répandu. Lors de la résolution d'équations, nous utiliserons souvent cette transformation particulière.

Les équations 12 + 3 sont également équivalentes X= 9X et 3X - 9X= −12 . Cette fois dans l'équation 12 + 3 X= 9X le terme 12 a été déplacé vers la droite et le terme 9 XÀ gauche. Il ne faut pas oublier que les signes de ces termes ont été changés lors du transfert

La règle suivante, qui permet d'obtenir une équation équivalente, est la suivante :

Si les deux parties de l'équation sont multipliées ou divisées par le même nombre qui n'est pas égal à zéro, alors une équation équivalente à celle donnée sera obtenue.

En d'autres termes, les racines d'une équation ne changent pas si les deux côtés sont multipliés ou divisés par le même nombre. Cette action est souvent utilisée lorsque vous devez résoudre une équation contenant des expressions fractionnaires.

Considérons d'abord des exemples dans lesquels les deux côtés de l'équation seront multipliés par le même nombre.

Exemple 1. résous l'équation

Lors de la résolution d'équations contenant des expressions fractionnaires, il est d'abord d'usage de simplifier cette équation.

Dans ce cas, nous avons affaire à une telle équation. Pour simplifier cette équation, les deux côtés peuvent être multipliés par 8 :

Rappelons que pour , il faut multiplier le numérateur d'une fraction donnée par ce nombre. Nous avons deux fractions et chacune d'elles est multipliée par le nombre 8. Notre tâche est de multiplier les numérateurs des fractions par ce nombre 8

Maintenant, la chose la plus intéressante se produit. Les numérateurs et les dénominateurs des deux fractions contiennent un facteur de 8, qui peut être réduit de 8. Cela nous permettra de nous débarrasser de l'expression fractionnaire :

Par conséquent, l'équation la plus simple reste

Eh bien, il est facile de deviner que la racine de cette équation est 4

X valeur trouvée 4

Il s'avère que l'égalité numérique correcte. L'équation est donc correcte.

Lors de la résolution de cette équation, nous avons multiplié les deux parties par 8. En conséquence, nous avons obtenu l'équation. La racine de cette équation, comme les équations, est 4. Ces équations sont donc équivalentes.

Le multiplicateur par lequel les deux parties de l'équation sont multipliées est généralement écrit avant la partie de l'équation, et non après. Ainsi, en résolvant l'équation, nous avons multiplié les deux parties par un facteur de 8 et avons obtenu l'entrée suivante :

Dès lors, la racine de l'équation n'a pas changé, mais si nous l'avions fait à l'école, nous aurions été remarqués, car en algèbre il est d'usage d'écrire le facteur avant l'expression avec laquelle il est multiplié. Par conséquent, en multipliant les deux côtés de l'équation par un facteur de 8, il est souhaitable de réécrire comme suit :

Exemple 2. résous l'équation

Sur le côté gauche, les facteurs 15 peuvent être réduits de 15, et sur le côté droit, les facteurs 15 et 5 peuvent être réduits de 5

Ouvrons les crochets du côté droit de l'équation :

Déplaçons le terme X du côté gauche de l'équation au côté droit en changeant le signe. Et le terme 15 du côté droit de l'équation sera transféré vers le côté gauche, en changeant à nouveau le signe :

On apporte des termes similaires dans les deux parties, on obtient

Nous traitons des composantes de la multiplication. Variable X

Retour à l'équation d'origine et remplacer à la place X valeur trouvée 5

Il s'avère que l'égalité numérique correcte. L'équation est donc correcte. Lors de la résolution de cette équation, nous avons multiplié les deux côtés par 15. De plus, en effectuant des transformations identiques, nous avons obtenu l'équation 10 = 2 X. La racine de cette équation, comme les équations est égal à 5. Ces équations sont donc équivalentes.

Exemple 3. résous l'équation

Sur le côté gauche, deux triples peuvent être réduits et le côté droit sera égal à 18

L'équation la plus simple demeure. Nous traitons des composantes de la multiplication. Variable X est un facteur inconnu. Trouvons ce facteur connu :

Revenons à l'équation d'origine et remplaçons au lieu de X valeur trouvée 9

Il s'avère que l'égalité numérique correcte. L'équation est donc correcte.

Exemple 4. résous l'équation

Multiplier les deux côtés de l'équation par 6

Ouvrez les parenthèses sur le côté gauche de l'équation. A droite, le facteur 6 peut être élevé au numérateur :

On réduit dans les deux parties des équations ce qui peut être réduit :

Réécrivons ce qu'il nous reste :

Nous utilisons le transfert de termes. Termes contenant l'inconnu X, on regroupe à gauche de l'équation, et les termes sans inconnues - à droite :

Nous présentons des termes similaires dans les deux parties :

Trouvons maintenant la valeur de la variable X. Pour ce faire, on divise le produit 28 par le facteur connu 7

D'ici X= 4.

Retour à l'équation d'origine et remplacer à la place X valeur trouvée 4

Il s'est avéré que l'égalité numérique correcte. L'équation est donc correcte.

Exemple 5. résous l'équation

Ouvrons les crochets dans les deux parties de l'équation lorsque cela est possible :

Multipliez les deux côtés de l'équation par 15

Ouvrons les parenthèses dans les deux parties de l'équation :

Réduisons dans les deux parties de l'équation, ce qui peut être réduit :

Réécrivons ce qu'il nous reste :

Ouvrons les parenthèses si possible :

Nous utilisons le transfert de termes. Les termes contenant l'inconnue sont regroupés du côté gauche de l'équation, et les termes sans inconnues sont regroupés du côté droit. N'oubliez pas que lors du transfert, les termes changent de signe dans le sens contraire :

Nous présentons des termes similaires dans les deux parties de l'équation :

Trouvons la valeur X

Dans la réponse résultante, vous pouvez sélectionner la partie entière :

Revenons à l'équation d'origine et remplaçons au lieu de X valeur trouvée

Il s'avère que c'est une expression assez lourde. Utilisons des variables. On met le côté gauche de l'égalité dans une variable UN, et le côté droit de l'égalité en une variable B

Notre tâche est de nous assurer que le côté gauche est égal au côté droit. En d'autres termes, prouver l'égalité A = B

Trouvez la valeur de l'expression dans la variable A.

Valeur variable MAISéquivaut à . Trouvons maintenant la valeur de la variable B. C'est la valeur du côté droit de notre égalité. S'il est égal à , alors l'équation sera résolue correctement

On voit que la valeur de la variable B, ainsi que la valeur de la variable UNéquivaut à . Cela signifie que le côté gauche est égal au côté droit. On en déduit que l'équation est correctement résolue.

Essayons maintenant de ne pas multiplier les deux côtés de l'équation par le même nombre, mais de diviser.

Considérez l'équation 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 . On la résout de la manière habituelle : on regroupe les termes contenant des inconnues à gauche de l'équation, et les termes sans inconnues à droite. De plus, en effectuant les transformations identiques connues, nous trouvons la valeur X

Remplacez la valeur trouvée 2 au lieu de X dans l'équation d'origine :

Essayons maintenant de séparer tous les termes de l'équation 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 On remarque que tous les termes de cette équation ont un facteur commun 2. On divise chaque terme par celui-ci :

Réduisons à chaque terme :

Réécrivons ce qu'il nous reste :

Nous résolvons cette équation en utilisant les transformations identiques connues :

Nous avons la racine 2 . Alors les équations 15X+ 7X+ 7 = 35X - 20X+ 21 et 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 sont équivalents.

Diviser les deux côtés de l'équation par le même nombre vous permet de libérer l'inconnu du coefficient. Dans l'exemple précédent, lorsque nous avons obtenu l'équation 7 X= 14 , nous devions diviser le produit 14 par le facteur connu 7. Mais si nous libérions l'inconnue du coefficient 7 du côté gauche, la racine serait trouvée immédiatement. Pour ce faire, il suffisait de diviser les deux parties par 7

Nous utiliserons aussi souvent cette méthode.

Multiplier par moins un

Si les deux côtés de l'équation sont multipliés par moins un, alors une équation équivalente à celle donnée sera obtenue.

Cette règle découle du fait qu'en multipliant (ou en divisant) les deux parties de l'équation par le même nombre, la racine de cette équation ne change pas. Cela signifie que la racine ne changera pas si ses deux parties sont multipliées par −1.

Cette règle vous permet de changer les signes de tous les composants inclus dans l'équation. Pourquoi est-ce? Encore une fois, pour obtenir une équation équivalente plus facile à résoudre.

Considérez l'équation. Quelle est la racine de cette équation ?

Ajoutons le nombre 5 aux deux côtés de l'équation

Voici des termes similaires :

Et maintenant, rappelons-nous. Quel est le côté gauche de l'équation. C'est le produit de moins un et de la variable X

Autrement dit, le moins devant la variable X, ne fait pas référence à la variable elle-même X, mais à l'unité, ce qu'on ne voit pas, puisqu'il est d'usage de ne pas noter le coefficient 1. Cela signifie que l'équation ressemble en fait à ceci :

Nous traitons des composantes de la multiplication. Trouver X, vous devez diviser le produit −5 par le facteur connu −1 .

ou divisez les deux membres de l'équation par −1, ce qui est encore plus facile

La racine de l'équation est donc 5. Pour vérifier, nous le substituons dans l'équation d'origine. N'oubliez pas que dans l'équation d'origine, le moins devant la variable X fait référence à une unité invisible

Il s'est avéré que l'égalité numérique correcte. L'équation est donc correcte.

Essayons maintenant de multiplier les deux côtés de l'équation par moins un :

Après avoir ouvert les crochets, l'expression est formée sur le côté gauche et le côté droit sera égal à 10

La racine de cette équation, comme l'équation, est 5

Donc les équations sont équivalentes.

Exemple 2. résous l'équation

Dans cette équation, toutes les composantes sont négatives. Il est plus pratique de travailler avec des composants positifs qu'avec des composants négatifs, alors changeons les signes de tous les composants inclus dans l'équation . Pour ce faire, nous multiplions les deux membres de cette équation par −1.

Il est clair qu'après avoir été multiplié par −1, tout nombre changera de signe en son contraire. Par conséquent, la procédure même de multiplication par -1 et d'ouverture des parenthèses n'est pas décrite en détail, mais les composantes de l'équation de signes opposés sont immédiatement écrites.

Ainsi, multiplier une équation par −1 peut s'écrire en détail comme suit :

ou vous pouvez simplement changer les signes de tous les composants :

Ce sera la même chose, mais la différence sera que nous gagnerons du temps.

Donc, en multipliant les deux côtés de l'équation par −1, nous obtenons l'équation. Résolvons cette équation. Soustraire le nombre 4 des deux parties et diviser les deux parties par 3

Lorsque la racine est trouvée, la variable est généralement écrite à gauche et sa valeur à droite, ce que nous avons fait.

Exemple 3. résous l'équation

Multipliez les deux côtés de l'équation par −1. Ensuite, tous les composants changeront leurs signes en face :

Soustraire 2 des deux côtés de l'équation résultante X et ajouter des termes similaires :

Nous ajoutons l'unité aux deux parties de l'équation et donnons comme termes :

Équivalent à zéro

Récemment, nous avons appris que si dans une équation nous transférons un terme d'une partie à une autre en changeant son signe, nous obtenons une équation équivalente à celle donnée.

Et que se passera-t-il si l'on transfère d'une partie à l'autre non pas un terme, mais tous les termes ? C'est vrai, dans la partie d'où tous les termes ont été tirés, zéro restera. En d'autres termes, il ne restera plus rien.

Prenons l'équation comme exemple. Nous résolvons cette équation, comme d'habitude - nous regroupons les termes contenant des inconnues dans une partie, et laissons les termes numériques sans inconnues dans l'autre. De plus, en effectuant les transformations identiques connues, nous trouvons la valeur de la variable X

Essayons maintenant de résoudre la même équation en assimilant tous ses composants à zéro. Pour ce faire, nous transférons tous les termes de droite à gauche, en changeant les signes :

Voici les termes similaires sur le côté gauche :

Ajoutons 77 aux deux parties et divisons les deux parties par 7

Une alternative aux règles de recherche des inconnues

Évidemment, connaissant les transformations identiques des équations, on ne peut pas mémoriser les règles de recherche des inconnues.

Par exemple, pour trouver l'inconnue dans l'équation, nous avons divisé le produit 10 par le facteur connu 2

Mais si dans l'équation les deux parties sont divisées par 2, la racine est immédiatement trouvée. Sur le côté gauche de l'équation, le facteur 2 au numérateur et le facteur 2 au dénominateur seront réduits de 2. Et le côté droit sera égal à 5

Nous avons résolu des équations de la forme en exprimant le terme inconnu :

Mais vous pouvez utiliser les transformations identiques que nous avons étudiées aujourd'hui. Dans l'équation, le terme 4 peut être déplacé vers la droite en changeant le signe :

Sur le côté gauche de l'équation, deux deux seront réduits. Le côté droit sera égal à 2. D'où .

Ou vous pouvez soustraire 4 des deux côtés de l'équation. Vous obtiendrez alors ce qui suit :

Dans le cas d'équations de la forme, il est plus commode de diviser le produit par un facteur connu. Comparons les deux solutions :

La première solution est beaucoup plus courte et plus soignée. La deuxième solution peut être considérablement raccourcie si vous faites la division dans votre tête.

Cependant, vous devez connaître les deux méthodes et utiliser ensuite celle que vous préférez.

Quand il y a plusieurs racines

Une équation peut avoir plusieurs racines. Par exemple l'équation X(x + 9) = 0 a deux racines : 0 et −9 .

Dans l'équation X(x + 9) = 0 il fallait trouver une telle valeur X dont le côté gauche serait égal à zéro. Le côté gauche de cette équation contient les expressions X et (x + 9), qui sont des facteurs. D'après les lois de la multiplication, nous savons que le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro (soit le premier facteur, soit le second).

C'est-à-dire dans l'équation X(x + 9) = 0 l'égalité sera atteinte si X sera nul ou (x + 9) sera nul.

X= 0 ou X + 9 = 0

En assimilant ces deux expressions à zéro, nous pouvons trouver les racines de l'équation X(x + 9) = 0 . La première racine, comme le montre l'exemple, a été trouvée immédiatement. Pour trouver la deuxième racine, vous devez résoudre l'équation élémentaire X+ 9 = 0 . Il est facile de deviner que la racine de cette équation est −9. La vérification montre que la racine est correcte :

−9 + 9 = 0

Exemple 2. résous l'équation

Cette équation a deux racines : 1 et 2. Le côté gauche de l'équation est le produit des expressions ( X− 1) et ( X- 2) . Et le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro (ou le facteur ( X− 1) ou facteur ( X − 2) ).

Trouvons-le X sous lequel les expressions ( X− 1) ou ( X− 2) disparaître :

Nous substituons les valeurs trouvées à leur tour dans l'équation d'origine et nous nous assurons qu'avec ces valeurs, le côté gauche est égal à zéro :

Quand il y a une infinité de racines

Une équation peut avoir une infinité de racines. Autrement dit, en substituant n'importe quel nombre dans une telle équation, nous obtenons l'égalité numérique correcte.

Exemple 1. résous l'équation

La racine de cette équation est n'importe quel nombre. Si vous ouvrez les crochets du côté gauche de l'équation et apportez des termes similaires, vous obtenez l'égalité 14 \u003d 14. Cette égalité sera obtenue pour tout X

Exemple 2. résous l'équation

La racine de cette équation est n'importe quel nombre. Si vous ouvrez les parenthèses sur le côté gauche de l'équation, vous obtenez l'égalité 10X + 12 = 10X + 12. Cette égalité sera obtenue pour tout X

Quand il n'y a pas de racines

Il arrive aussi que l'équation n'ait aucune solution, c'est-à-dire qu'elle n'ait pas de racine. Par exemple, l'équation n'a pas de racines, car pour toute valeur X, le côté gauche de l'équation ne sera pas égal au côté droit. Par exemple, laissez . L'équation prendra alors la forme suivante

Exemple 2. résous l'équation

Développons les parenthèses sur le côté gauche de l'équation :

Voici des termes similaires :

On voit que le côté gauche n'est pas égal au côté droit. Et ce sera pour n'importe quelle valeur y. Par exemple, laissez y = 3 .

Équations de lettres

Une équation peut contenir non seulement des nombres avec des variables, mais aussi des lettres.

Par exemple, la formule pour trouver la vitesse est une équation littérale :

Cette équation décrit la vitesse du corps en mouvement uniformément accéléré.

Une compétence utile est la capacité d'exprimer n'importe quel composant inclus dans une équation de lettre. Par exemple, pour déterminer la distance d'une équation, vous devez exprimer la variable s .

Multiplions les deux membres de l'équation par t

Variables à droite t réduire par t

Dans l'équation résultante, les parties gauche et droite sont interchangées :

Nous avons obtenu la formule pour trouver la distance, que nous avons étudiée plus tôt.

Essayons de déterminer le temps à partir de l'équation. Pour ce faire, vous devez exprimer la variable t .

Multiplions les deux membres de l'équation par t

Variables à droite t réduire par t et réécris ce qu'il nous reste :

Dans l'équation résultante v × t = s diviser les deux parties en v

variables à gauche v réduire par v et réécris ce qu'il nous reste :

Nous avons obtenu la formule de détermination du temps, que nous avons étudiée précédemment.

Supposons que la vitesse du train soit de 50 km/h

v= 50km/h

Et la distance est de 100 km

s= 100 kilomètres

Alors l'équation littérale prendra la forme suivante

À partir de cette équation, vous pouvez trouver le temps. Pour ce faire, vous devez pouvoir exprimer la variable t. Vous pouvez utiliser la règle pour trouver un diviseur inconnu en divisant le dividende par le quotient et ainsi déterminer la valeur de la variable t

ou vous pouvez utiliser des transformations identiques. Multipliez d'abord les deux côtés de l'équation par t

Puis divisez les deux parties par 50

Exemple 2 X

Soustraire des deux côtés de l'équation un

Diviser les deux côtés de l'équation par b

a + bx = c, alors nous aurons une solution toute faite. Il suffira d'y substituer les valeurs nécessaires. Ces valeurs qui seront remplacées par des lettres un, b, c appelé paramètres. Et les équations de la forme a + bx = c appelé équation avec paramètres. Selon les paramètres, la racine changera.

Résoudre l'équation 2 + 4 X= 10 . Cela ressemble à une équation littérale a + bx = c. Au lieu d'effectuer des transformations identiques, nous pouvons utiliser une solution toute faite. Comparons les deux solutions :

On voit que la deuxième solution est beaucoup plus simple et plus courte.

Pour la solution finie, vous devez faire une petite remarque. Paramètre b ne doit pas être nul (b ≠ 0), puisque la division par zéro n'est pas autorisée.

Exemple 3. Soit une équation littérale. Exprimer à partir de cette équation X

Ouvrons les parenthèses dans les deux parties de l'équation

Nous utilisons le transfert de termes. Paramètres contenant une variable X, nous regroupons sur le côté gauche de l'équation, et les paramètres libres de cette variable - sur la droite.

Sur le côté gauche, nous retirons le facteur X

Diviser les deux parties en une expression un B

Sur le côté gauche, le numérateur et le dénominateur peuvent être réduits de un B. Donc la variable est finalement exprimée X

Maintenant, si nous rencontrons une équation de la forme a(x - c) = b(x + d), alors nous aurons une solution toute faite. Il suffira d'y substituer les valeurs nécessaires.

Supposons qu'on nous donne une équation 4(X - 3) = 2(X+ 4) . Cela ressemble à une équation a(x - c) = b(x + d). Nous le résolvons de deux manières : en utilisant des transformations identiques et en utilisant une solution toute faite :

Pour plus de commodité, nous extrayons de l'équation 4(X - 3) = 2(X+ 4) valeurs des paramètres un, b, c, ré . Cela nous permettra de ne pas faire d'erreurs lors de la substitution :

Comme dans l'exemple précédent, le dénominateur ici ne doit pas être égal à zéro ( a - b ≠ 0) . Si nous rencontrons une équation de la forme a(x - c) = b(x + d) dans lequel les paramètres un et b sont les mêmes, on peut dire sans la résoudre que cette équation n'a pas de racine, puisque la différence des nombres identiques est nulle.

Par exemple, l'équation 2(x − 3) = 2(x + 4) est une équation de la forme a(x - c) = b(x + d). Dans l'équation 2(x − 3) = 2(x + 4) choix un et b le même. Si nous commençons à le résoudre, nous arriverons à la conclusion que le côté gauche ne sera pas égal au côté droit :

Exemple 4. Soit une équation littérale. Exprimer à partir de cette équation X

Nous amenons le côté gauche de l'équation à un dénominateur commun :

Multipliez les deux côtés par un

Sur le côté gauche X sortez-le des parenthèses

On divise les deux parties par l'expression (1 − un)

Équations linéaires à une inconnue

Les équations considérées dans cette leçon sont appelées équations linéaires du premier degré à une inconnue.

Si l'équation est donnée au premier degré, ne contient pas de division par l'inconnu et ne contient pas non plus de racines de l'inconnu, alors elle peut être qualifiée de linéaire. Nous n'avons pas encore étudié les degrés et les racines, donc pour ne pas nous compliquer la vie, nous comprendrons le mot "linéaire" comme "simple".

La plupart des équations résolues dans cette leçon ont fini par être réduites à l'équation la plus simple dans laquelle le produit devait être divisé par un facteur connu. Par exemple, l'équation 2( X+ 3) = 16 . Résolvons-le.

Ouvrons les parenthèses sur le côté gauche de l'équation, nous obtenons 2 X+ 6 = 16. Déplaçons le terme 6 vers la droite en changeant le signe. On obtient alors 2 X= 16 − 6. Calculer le côté droit, on obtient 2 X= 10. Pour trouver X, on divise le produit 10 par le facteur connu 2. D'où X = 5.

Équation 2( X+ 3) = 16 est linéaire. Il réduit à l'équation 2 X= 10 , pour trouver la racine dont il fallait diviser le produit par un facteur connu. Cette simple équation s'appelle équation linéaire du premier degré à une inconnue sous la forme canonique. Le mot "canonique" est synonyme des mots "simple" ou "normal".

Une équation linéaire du premier degré à une inconnue sous la forme canonique est appelée une équation de la forme hache = b.

Notre équation 2 X= 10 est une équation linéaire du premier degré à une inconnue sous la forme canonique. Cette équation a le premier degré, une inconnue, elle ne contient pas de division par l'inconnue et ne contient pas de racines de l'inconnue, et elle est présentée sous forme canonique, c'est-à-dire sous la forme la plus simple dans laquelle il est facile de déterminer le évaluer X. Au lieu de paramètres un et b notre équation contient les nombres 2 et 10. Mais une équation similaire peut contenir d'autres nombres : positifs, négatifs ou égaux à zéro.

Si dans une équation linéaire un= 0 et b= 0 , alors l'équation a une infinité de racines. En effet, si un est nul et b est égal à zéro, alors l'équation linéaire hache= b prend la forme 0 X= 0 . Pour toute valeur X le côté gauche sera égal au côté droit.

Si dans une équation linéaire un= 0 et b≠ 0, alors l'équation n'a pas de racine. En effet, si un est nul et b est égal à un nombre non nul, disons le nombre 5, puis l'équation hache=b prend la forme 0 X= 5 . Le côté gauche sera zéro et le côté droit cinq. Et zéro n'est pas égal à cinq.

Si dans une équation linéaire un≠ 0 , et b est égal à n'importe quel nombre, alors l'équation a une racine. Il est déterminé en divisant le paramètre b par paramètre un

En effet, si un est égal à un nombre non nul, disons le nombre 3, et b est égal à un certain nombre, disons le nombre 6, alors l'équation prendra la forme .
D'ici.

Il existe une autre forme d'écriture d'une équation linéaire du premier degré à une inconnue. Il ressemble à ceci : hache − b= 0 . C'est la même équation que hache=b

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