École secondaire GBOU n ° 149 de Saint-Pétersbourg

Résumé de la leçon

Novikova Olga Nikolaïevna

2016

Sujet : "Système d'équations et d'inégalités exponentielles".

Objectifs de la leçon:

éducatif:

généraliser et consolider les connaissances sur la résolution d'équations et d'inégalités exponentielles contenues dans des systèmes d'équations et d'inégalités

développement: Activation activité cognitive; développement des compétences de maîtrise de soi et d'auto-évaluation, auto-analyse de leurs activités.

éducatif: formation de compétences pour travailler de manière autonome; prendre des décisions et tirer des conclusions; éducation de l'aspiration à l'auto-éducation et à l'auto-amélioration.

Type de leçon : combiné.

Type de cours : leçon pratique.

Pendant les cours

JE. Organisation du temps(1 minute)

Formulation de l'objectif pour la classe : Généraliser et consolider les connaissances sur la façon de résoudre les équations et les inégalités exponentielles contenues dans les systèmes d'équations et d'inégalités basé sur les propriétés de la fonction exponentielle.

II. Travail oral (1 minute)

Définition d'une équation exponentielle.
Méthodes de résolution d'équations exponentielles.
Algorithme de résolution des inégalités exponentielles.

III . Examen devoirs(3 minutes)

Les élèves à leur place. L'enseignant vérifie les réponses et demande comment résoudre des équations et des inégalités démonstratives. №228-231 (impair)

jeV. Actualisation des connaissances de base. "Idée de génie": (3 minutes)

Des questions sont présentées sur les pupitres des élèves par des feuilles imprimées "Fonctions exponentielles, équations, inégalités" et sont proposées aux élèves pour des réponses orales sur place.

1. Quelle fonction est appelée exponentielle ?

2. Quelle est la portée de la fonction y= 0,5X?

3. Quel est le domaine de la fonction exponentielle ?

4. Quelle est la portée de la fonction y= 0,5X?

5. Quelles propriétés une fonction peut-elle avoir ?

6. Sous quelle condition la fonction exponentielle augmente-t-elle ?

7. Sous quelle condition la fonction exponentielle diminue-t-elle ?

8. Fonction exponentielle croissante ou décroissante

9. Quelle équation est appelée exponentielle ?

Diagnostic du niveau de formation des compétences pratiques.

Tâche 10 notez la solution dans des cahiers. (7 minutes)

10. Connaissant les propriétés d'une fonction exponentielle croissante et décroissante, résoudre les inégalités

2 3 < 2 X ;
; 3 X < 81 ; 3 X < 3 4

11 . Résolvez l'équation : 3 X = 1

12 . Calculer 7,8 0 ; 9,8 0

13 . Spécifiez une méthode pour résoudre les équations exponentielles et résolvez-la :

Après l'achèvement, les paires changent de feuilles. Je m'apprécie. Critères au tableau. Vérification par rapport aux enregistrements sur les feuilles d'un dossier.

Ainsi, nous avons répété les propriétés de la fonction exponentielle, les méthodes de résolution des équations exponentielles.

L'enseignant prend et évalue de manière sélective le travail de 2-3 étudiants.

Atelier de solutions systèmes équations et inégalités exponentielles : (23 mn)

Considérons la solution de systèmes d'équations et d'inéquations exponentielles basées sur les propriétés de la fonction exponentielle.

Lors de la résolution de systèmes d'équations et d'inégalités exponentielles, les mêmes techniques sont utilisées que lors de la résolution de systèmes d'équations et d'inéquations algébriques (méthode de substitution, méthode d'addition, méthode d'introduction de nouvelles variables). Dans de nombreux cas, avant d'appliquer l'une ou l'autre méthode de résolution, il est nécessaire de transformer chaque équation (inégalité) du système en la forme la plus simple possible.

Exemples.

1.

La solution:

Réponse: (-7; 3); (1; -1).

2.

La solution:

Dénoter 2 X= tu, 3 y= v. Alors le système s'écrira comme ceci :

Résolvons ce système en utilisant la méthode de substitution :

Équation 2 X= -2 n'a pas de solution, car -2<0, а 2 X> 0.

b)

Réponse: (2;1).

№244(1)

Réponse : 1,5 ; 2

Résumant. Réflexion. (5 minutes)

Résumé de la leçon : Aujourd'hui, nous avons répété et résumé les connaissances des méthodes de résolution des équations exponentielles et des inégalités contenues dans les systèmes basés sur les propriétés de la fonction exponentielle.

Les enfants à leur tour sont invités à prendre parmi les phrases suivantes pour choisir et continuer la phrase.

Réflexion:

aujourd'hui j'ai découvert...

C'était difficile…

Je comprends que…

J'ai appris...

Je pourrais)…

C'était intéressant de savoir que...

m'a surpris...

Je voulais…

Devoirs. (2 minutes)

N°240-242 (impair) p.86

Dans cette leçon, nous allons considérer la solution d'équations exponentielles plus complexes, rappeler les principales dispositions théoriques concernant la fonction exponentielle.

1. Définition et propriétés d'une fonction exponentielle, technique de résolution des équations exponentielles les plus simples

Rappeler la définition et les principales propriétés d'une fonction exponentielle. C'est sur les propriétés que repose la solution de toutes les équations et inégalités exponentielles.

Fonction exponentielle est une fonction de la forme , où la base est le degré et Ici x est une variable indépendante, un argument ; y - variable dépendante, fonction.

Riz. 1. Graphique de la fonction exponentielle

Le graphique montre un exposant croissant et décroissant, illustrant la fonction exponentielle à une base supérieure à un et inférieure à un, mais supérieure à zéro, respectivement.

Les deux courbes passent par le point (0;1)

Propriétés de la fonction exponentielle:

Domaine: ;

Plage de valeurs : ;

La fonction est monotone, croît comme , décroît comme .

Une fonction monotone prend chacune de ses valeurs avec une seule valeur d'argument.

Lorsque l'argument augmente de moins à plus l'infini, la fonction augmente de zéro, inclus, à plus l'infini. Au contraire, lorsque l'argument augmente de moins à plus l'infini, la fonction diminue de l'infini à zéro inclus.

2. Solution d'équations exponentielles typiques

Rappelez-vous comment résoudre les équations exponentielles les plus simples. Leur solution est basée sur la monotonie de la fonction exponentielle. Presque toutes les équations exponentielles complexes sont réduites à de telles équations.

L'égalité des exposants à bases égales est due à la propriété de la fonction exponentielle, à savoir sa monotonie.

Méthode de résolution :

Égalisez les bases des degrés;

Exposants d'égalité.

Passons à des équations exponentielles plus complexes, notre objectif est de réduire chacune d'entre elles au plus simple.

Débarrassons-nous de la racine du côté gauche et réduisons les degrés à la même base :

Afin de réduire une équation exponentielle complexe à une simple, un changement de variables est souvent utilisé.

Utilisons la propriété degree :

Nous introduisons un remplaçant. Laissez alors

Nous multiplions l'équation résultante par deux et transférons tous les termes sur le côté gauche :

La première racine ne satisfait pas l'intervalle des valeurs y, nous l'écartons. On a:

Ramenons les degrés au même indicateur :

Nous introduisons un remplacement :

Laissez alors . Avec ce remplacement, il est évident que y prend des valeurs strictement positives. On a:

Nous savons comment résoudre des équations quadratiques similaires, nous écrivons la réponse :

Pour vous assurer que les racines sont trouvées correctement, vous pouvez vérifier selon le théorème de Vieta, c'est-à-dire trouver la somme des racines et leur produit et vérifier avec les coefficients correspondants de l'équation.

On a:

3. Technique de résolution d'équations exponentielles homogènes du second degré

Étudions le type important suivant d'équations exponentielles :

Les équations de ce type sont dites homogènes du second degré par rapport aux fonctions f et g. Sur son côté gauche se trouve un trinôme carré par rapport à f de paramètre g ou un trinôme carré par rapport à g de paramètre f.

Méthode de résolution :

Cette équation peut être résolue comme une équation quadratique, mais il est plus facile de le faire dans l'autre sens. Deux cas doivent être envisagés :

Dans le premier cas, on obtient

Dans le second cas, on a le droit de diviser par le degré le plus élevé et on obtient :

Il faut introduire un changement de variables , on obtient une équation quadratique pour y :

Notez que les fonctions f et g peuvent être arbitraires, mais nous nous intéressons au cas où ce sont des fonctions exponentielles.

4. Exemples de résolution d'équations homogènes

Déplaçons tous les termes vers le côté gauche de l'équation :

Puisque les fonctions exponentielles acquièrent des valeurs strictement positives, nous avons le droit de diviser immédiatement l'équation par , sans considérer le cas où :

On a:

Nous introduisons un remplacement : (selon les propriétés de la fonction exponentielle)

On a une équation quadratique :

Nous déterminons les racines selon le théorème de Vieta :

La première racine ne satisfait pas l'intervalle des valeurs y, on l'écarte, on obtient :

Utilisons les propriétés du degré et réduisons tous les degrés à des bases simples :

Il est facile de remarquer les fonctions f et g :

Façons de résoudre des systèmes d'équations

Pour commencer, rappelons brièvement quelles méthodes de résolution de systèmes d'équations existent généralement.

Exister quatre voies principales solutions de systèmes d'équations :

Méthode de substitution : prenez n'importe laquelle de ces équations et exprimez $y$ en termes de $x$, puis $y$ est substitué dans l'équation du système, d'où la variable $x.$ est trouvée. Après cela, nous pouvons facilement calculer la variable $y.$

Méthode d'addition : dans cette méthode, une ou les deux équations doivent être multipliées par des nombres de sorte que lorsque les deux sont additionnées, l'une des variables "disparaît".

Méthode graphique : les deux équations du système sont représentées sur avion coordonné et trouver leur point d'intersection.

La méthode d'introduction de nouvelles variables : dans cette méthode, nous effectuons le remplacement de certaines expressions pour simplifier le système, puis appliquons l'une des méthodes ci-dessus.

Systèmes d'équations exponentielles

Définition 1

Les systèmes d'équations constitués d'équations exponentielles sont appelés un système d'équations exponentielles.

Nous allons considérer la solution de systèmes d'équations exponentielles à l'aide d'exemples.

Exemple 1

Résoudre un système d'équations

Image 1.

La solution.

Nous utiliserons la première méthode pour résoudre ce système. D'abord, exprimons $y$ dans la première équation en fonction de $x$.

Figure 2.

Remplacez $y$ dans la deuxième équation :

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Réponse: $(-4,6)$.

Exemple 2

Résoudre un système d'équations

figure 3

La solution.

Ce système est équivalent au système

Figure 4

Nous appliquons la quatrième méthode pour résoudre les équations. Soit $2^x=u\ (u >0)$ et $3^y=v\ (v >0)$, on obtient :

Figure 5

Nous résolvons le système résultant par la méthode d'addition. Ajoutons les équations :

\ \

Ensuite, à partir de la deuxième équation, nous obtenons que

Revenant au remplacement, j'ai reçu un nouveau système d'équations exponentielles :

Figure 6

On a:

Figure 7

Réponse: $(0,1)$.

Systèmes d'inégalités exponentielles

Définition 2

Les systèmes d'inégalités constitués d'équations exponentielles sont appelés un système d'inégalités exponentielles.

Nous allons considérer la solution de systèmes d'inégalités exponentielles à l'aide d'exemples.

Exemple 3

Résoudre le système d'inégalités

Figure 8

La solution:

Ce système d'inégalités est équivalent au système

Figure 9

Pour résoudre la première inégalité, rappelons le théorème d'équivalence suivant pour les inégalités exponentielles :

Théorème 1. L'inégalité $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, où $a >0,a\ne 1$ est équivalente à l'ensemble des deux systèmes

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