مدرسه متوسطه GBOU شماره 149، سن پترزبورگ

خلاصه درس

نوویکووا اولگا نیکولایونا

2016

موضوع: "سیستم معادلات نمایی و نامساوی".

اهداف درس:

آموزشی:

تعمیم و ادغام دانش در مورد راه های حل معادلات نمایی و نابرابری های موجود در سیستم های معادلات و نابرابری ها

در حال توسعه: فعال سازی فعالیت شناختی; توسعه مهارت های خودکنترلی و عزت نفس، خود تحلیلی از فعالیت های خود.

آموزشی: توسعه توانایی کار مستقل؛ تصمیم گیری و نتیجه گیری؛ پرورش آرزو برای خودآموزی و خودسازی.

نوع درس : ترکیب شده.

نوع درس: درس کارگاهی

در طول کلاس ها

من. زمان سازماندهی(1 دقیقه)

بیان هدف برای کلاس: تعمیم و تثبیت دانش در مورد روش های حل معادلات نمایی و نابرابری های موجود در سیستم های معادلات و نابرابری هابر اساس ویژگی های تابع نمایی.

II. کار شفاهی (1 دقیقه)

تعریف معادله نمایی.
روش های حل معادلات نمایی.
الگوریتم حل نابرابری های نمایی.

III . معاینه مشق شب(3 دقیقه)

دانش آموزان در جای خود هستند. معلم پاسخ ها را بررسی می کند و می پرسد چگونه معادلات نمایی و نامساوی را حل کنیم. شماره 228-231 (فرد)

منV. به روز رسانی دانش پایه "ایده پردازی": (3 دقیقه)

سوالات بر روی برگه های چاپ شده روی میز دانش آموزان "توابع نمایی، معادلات، نابرابری ها" نشان داده می شود و برای پاسخ شفاهی از روی صندلی به دانش آموزان ارائه می شود.

1- چه تابعی را نمایی می نامند؟

2. دامنه تابع چیست y= 0,5ایکس?

3. دامنه تعریف تابع نمایی چیست؟

4. محدوده تابع چقدر است y= 0,5ایکس?

5. یک تابع چه ویژگی هایی می تواند داشته باشد؟

6. تابع نمایی تحت چه شرایطی افزایش می یابد؟

7. تابع نمایی در چه شرایطی کاهش می یابد؟

8. تابع نمایی کم یا زیاد می شود

9- کدام معادله را نمایی می نامند؟

تشخیص سطح شکل گیری مهارت های عملی.

10 کار: راه حل را در دفترچه یادداشت کنید. (7 دقیقه)

10. با دانستن خواص یک تابع نمایی افزایش و کاهش، نامساوی ها را حل کنید

2 3 < 2 ایکس ;
; 3 ایکس < 81 ; 3 ایکس < 3 4

11 . معادله را حل کنید: 3 ایکس = 1

12 . محاسبه 7.8 0 ; 9.8 0

13 . روشی را برای حل معادلات نمایی مشخص کنید و آن را حل کنید:

پس از اتمام، جفت ها برگ ها را تعویض می کنند. یکدیگر را ارزیابی می کنند. معیارها روی تخته بررسی ورودی‌های برگه‌های فایل.

بنابراین، ویژگی های تابع نمایی و روش های حل معادلات نمایی را تکرار کردیم.

معلم به طور انتخابی کار 2-3 دانش آموز را می گیرد و ارزیابی می کند.

کارگاه راه حل سیستم های معادلات و نابرابری های نمایی: (23 دقیقه)

بیایید حل سیستم معادلات و نامساوی نمایی را بر اساس ویژگی های تابع نمایی در نظر بگیریم.

هنگام حل سیستم های معادلات نمایی و نابرابری ها، از همان تکنیک هایی استفاده می شود که هنگام حل سیستم های معادلات جبری و نابرابری ها (روش جایگزینی، روش جمع، روش معرفی متغیرهای جدید). در بسیاری از موارد، قبل از اعمال یک یا آن روش حل، لازم است هر معادله (نابرابری) سیستم را به ساده ترین شکل ممکن تبدیل کنیم.

مثال ها.

1.

راه حل:

پاسخ: (-7; 3); (1; -1).

2.

راه حل:

بیایید 2 را نشان دهیم ایکس= u، 3 y= v. سپس سیستم به صورت زیر نوشته می شود:

بیایید این سیستم را با استفاده از روش جایگزینی حل کنیم:

معادله 2 ایکس= -2 هیچ راه حلی ندارد، زیرا -2<0, а 2 ایکس> 0.

ب)

پاسخ: (2;1).

№244(1)

پاسخ: 1.5; 2

خلاصه کردن. انعکاس. (5 دقیقه)

خلاصه درس: امروز دانش روش های حل معادلات نمایی و نامساوی موجود در سیستم ها را بر اساس ویژگی های تابع نمایی تکرار و تعمیم دادیم.

از بچه ها یکی یکی خواسته می شود که عبارت را از عبارت های ارائه شده در زیر انتخاب کرده و ادامه دهند.

انعکاس:

امروز فهمیدم...

سخت بود…

میفهمم، متوجه هستم، درک میکنم…

به خودم آموختم...

من می توانستم)…

جالب بود بدانید که ...

شگفت زده شدم...

من می خواستم…

مشق شب. (2 دقیقه)

شماره 240-242 (فرد) ص86

در این درس به حل معادلات نمایی پیچیده تر نگاه می کنیم و اصول نظری اساسی در مورد تابع نمایی را یادآوری می کنیم.

1. تعریف و خواص تابع نمایی، روش های حل ساده ترین معادلات نمایی

اجازه دهید تعریف و ویژگی های اساسی تابع نمایی را به یاد بیاوریم. حل تمام معادلات نمایی و نابرابری ها بر اساس این خصوصیات است.

تابع نماییتابعی از فرم است که پایه آن درجه و در اینجا x متغیر مستقل، آرگومان است. y متغیر وابسته، تابع است.

برنج. 1. نمودار تابع نمایی

نمودار افزایش و کاهش توان را نشان می دهد که تابع نمایی را به ترتیب با پایه بزرگتر از یک و کوچکتر از یک اما بزرگتر از صفر نشان می دهد.

هر دو منحنی از نقطه (0;1) عبور می کنند

ویژگی های تابع نمایی:

دامنه: ؛

محدوده مقادیر: ;

تابع یکنواخت است، با افزایش می یابد، با کاهش می یابد.

یک تابع یکنواخت هر یک از مقادیر خود را با یک مقدار آرگومان می گیرد.

وقتی آرگومان از منهای به مثبت بی‌نهایت افزایش می‌یابد، تابع از صفر به اضافه بی‌نهایت افزایش می‌یابد. برعکس، وقتی آرگومان از منهای به مثبت بی نهایت افزایش می یابد، تابع از بی نهایت به صفر کاهش می یابد، نه شامل.

2. حل معادلات نمایی استاندارد

بیایید به شما یادآوری کنیم که چگونه ساده ترین معادلات نمایی را حل کنید. حل آنها بر اساس یکنواختی تابع نمایی است. تقریباً تمام معادلات نمایی پیچیده را می توان به چنین معادلاتی تقلیل داد.

برابری توان های با پایه های مساوی به دلیل خاصیت تابع نمایی، یعنی یکنواختی آن است.

روش حل:

مساوی کردن پایه های درجه؛

نماها را برابر کنید.

بیایید به بررسی معادلات نمایی پیچیده تر بپردازیم؛ هدف ما کاهش هر یک از آنها به ساده ترین آنها است.

بیایید از ریشه سمت چپ خلاص شویم و درجات را به همان پایه برسانیم:

به منظور کاهش یک معادله نمایی پیچیده به ساده ترین آن، اغلب از جایگزینی متغیرها استفاده می شود.

بیایید از ویژگی power استفاده کنیم:

ما در حال معرفی یک جایگزین هستیم. بگذار آن وقت باشد

بیایید معادله حاصل را در دو ضرب کنیم و همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل کنیم:

ریشه اول محدوده مقادیر y را برآورده نمی کند، بنابراین آن را کنار می گذاریم. ما گرفتیم:

بیایید درجه ها را به همان شاخص کاهش دهیم:

بیایید جایگزینی را معرفی کنیم:

بگذار آن وقت باشد . با چنین جایگزینی، بدیهی است که y مقادیر کاملاً مثبتی به خود می گیرد. ما گرفتیم:

ما می دانیم که چگونه چنین معادلات درجه دوم را حل کنیم، می توانیم پاسخ را بنویسیم:

برای اطمینان از درستی یافتن ریشه ها، می توانید با استفاده از قضیه Vieta بررسی کنید، یعنی مجموع ریشه ها و حاصل ضرب آنها را بیابید و آنها را با ضرایب مربوطه معادله مقایسه کنید.

ما گرفتیم:

3. روش حل معادلات نمایی همگن درجه دو

بیایید نوع مهم معادلات نمایی زیر را مطالعه کنیم:

معادلات این نوع با توجه به توابع f و g همگن درجه دوم نامیده می شوند. در سمت چپ آن یک مثلث مربع نسبت به f با پارامتر g یا یک مثلث مربع نسبت به g با پارامتر f وجود دارد.

روش حل:

این معادله را می توان به عنوان یک معادله درجه دوم حل کرد، اما انجام آن به روشی ساده تر است. دو مورد برای رسیدگی وجود دارد:

در حالت اول دریافت می کنیم

در حالت دوم، ما حق داریم بر بالاترین درجه تقسیم کنیم و به دست آوریم:

لازم است تغییر متغیرها را معرفی کنیم، یک معادله درجه دوم برای y بدست می آوریم:

اجازه دهید توجه داشته باشیم که توابع f و g می توانند هر کدام باشند، اما ما علاقه مندیم که اینها توابع نمایی باشند.

4. نمونه هایی از حل معادلات همگن

بیایید همه عبارت ها را به سمت چپ معادله منتقل کنیم:

از آنجایی که توابع نمایی مقادیر کاملاً مثبت به دست می آورند، ما این حق را داریم که بلافاصله معادله را بر تقسیم کنیم، بدون در نظر گرفتن موارد زیر:

ما گرفتیم:

بیایید جایگزینی را معرفی کنیم: (با توجه به ویژگی های تابع نمایی)

یک معادله درجه دوم بدست آوردیم:

ریشه ها را با استفاده از قضیه Vieta تعیین می کنیم:

ریشه اول محدوده مقادیر y را برآورده نمی کند، آن را کنار می گذاریم، دریافت می کنیم:

بیایید از خواص درجه استفاده کنیم و همه درجات را به مبانی ساده کاهش دهیم:

به راحتی می توان به توابع f و g توجه کرد:

روش های حل سیستم معادلات

برای شروع، اجازه دهید به طور خلاصه به یاد بیاوریم که چه روش هایی به طور کلی برای حل سیستم های معادلات وجود دارد.

وجود داشته باشد چهار راه اصلیراه حل های سیستم های معادلات:

روش جایگزینی: هر یک از معادلات داده شده را بگیرید و $y$ را برحسب $x$ بیان کنید، سپس $y$ در معادله سیستم جایگزین می شود، از آنجا متغیر $x.$ پیدا می شود، پس از این به راحتی می توانیم محاسبه کنیم. متغیر $y.$

روش جمع: در این روش باید یک یا هر دو معادله را در اعدادی ضرب کنید که وقتی هر دو را با هم جمع می‌کنید، یکی از متغیرها ناپدید می‌شود.

روش گرافیکی: هر دو معادله سیستم روی آن به تصویر کشیده شده است هواپیمای مختصاتو نقطه تلاقی آنها پیدا می شود.

روش معرفی متغیرهای جدید: در این روش چند عبارت را برای ساده سازی سیستم جایگزین می کنیم و سپس از یکی از روش های فوق استفاده می کنیم.

سیستم های معادلات نمایی

تعریف 1

سیستم معادلات متشکل از معادلات نمایی را سیستم معادلات نمایی می نامند.

حل سیستم معادلات نمایی را با استفاده از مثال در نظر خواهیم گرفت.

مثال 1

حل سیستم معادلات

تصویر 1.

راه حل.

برای حل این سیستم از روش اول استفاده خواهیم کرد. ابتدا، اجازه دهید $y$ را در معادله اول بر حسب $x$ بیان کنیم.

شکل 2.

بیایید $y$ را در معادله دوم جایگزین کنیم:

\ \ \[-2-x=2\] \\

پاسخ: $(-4,6)$.

مثال 2

حل سیستم معادلات

شکل 3.

راه حل.

این سیستم معادل سیستم است

شکل 4.

اجازه دهید از روش چهارم برای حل معادلات استفاده کنیم. اجازه دهید $2^x=u\ (u >0)$، و $3^y=v\ (v >0)$، دریافت کنیم:

شکل 5.

اجازه دهید سیستم حاصل را با استفاده از روش جمع حل کنیم. بیایید معادلات را جمع کنیم:

\ \

سپس از معادله دوم، آن را دریافت می کنیم

با بازگشت به جایگزینی، من یک سیستم جدید از معادلات نمایی دریافت کردم:

شکل 6.

ما گرفتیم:

شکل 7.

پاسخ: $(0,1)$.

سیستم های نابرابری های نمایی

تعریف 2

سیستم های نامساوی متشکل از معادلات نمایی را سیستم های نامساوی نمایی می نامند.

ما حل سیستم های نابرابری های نمایی را با استفاده از مثال ها در نظر خواهیم گرفت.

مثال 3

سیستم نابرابری ها را حل کنید

شکل 8.

راه حل:

این سیستم از نابرابری ها معادل سیستم است

شکل 9.

برای حل نابرابری اول، قضیه زیر را در مورد هم ارزی نابرابری های نمایی به یاد بیاورید:

قضیه 1.نابرابری $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $، که $a >0,a\ne 1$ معادل مجموعه دو سیستم است.

\}