Tema 6 Polinomios aritméticos. Polinomios en una variable

MBOU "Escuela abierta (turno) nº 2" de la ciudad de Smolensk

Trabajo independiente

sobre el tema: "Polinomios"

Séptimo grado

Realizado

profesor de matematicas

Mishchenkova Tatyana Vladimirovna

Trabajo independiente oral No. 1 (preparatorio)

(realizado con el objetivo de preparar a los estudiantes para dominar nuevos conocimientos sobre el tema: “Polinomio y su forma estándar”)

Opción 1.

a) 1,4a + 1-a 2 – 1,4 + b 2 ;

b) un 3 – 3a +b + 2 ab – X;

c) 2ab + X – 3 licenciado en Letras – X.

Justifica tu respuesta.

a) 2 a – 3 a +7 a;

b) 3x – 1+2x+7;

c) 2x– 3y+3X+2 y.

a) 8xx;GRAMO) – 2a 2 licenciado en Letras

b) 10 nmm;d) 5p 2 * 2p;

a las 3ab; mi) – 3 pag * 1,5 pag 3 .

opcion 2

1. Nombra términos similares en las siguientes expresiones:

a) 8.3x – 7 – x 2 + 4 + y 2 ;

b)b 4 - 6 a +5 b 2 +2 a – 3 b 4 :

a las 3xy + y – 2 xy – y.

Justifica tu respuesta.

2. Dar términos similares en expresiones:

a) 10 d – 3 d – 19 d ;

b) 5x – 8 +4x + 12;

c) 2x – 4y + 7x + 3y.

3. Reducir los monomios a la forma estándar e indicar el grado del monomio:

a) 10aaa;

b) 7 minutos ;

V) 3 cc;

re) – 5X 2 yx;

mi) 8q 2 * 3 q;

mi) – 7pag * 0>5 q 4 .

La condición para el trabajo independiente oral se ofrece en la pantalla o en la pizarra, pero el texto se mantiene cerrado antes del inicio del trabajo independiente.

El trabajo independiente se realiza al comienzo de la lección. Después de completar el trabajo, se utiliza una autoevaluación utilizando una computadora o pizarra.

Trabajo independiente No. 2

(realizado con el objetivo de fortalecer las habilidades de los estudiantes para llevar un polinomio a una forma estándar y determinar el grado de un polinomio)

Opción 1

1. Reducir el polinomio a la forma estándar:

hacha 2 y + yxy;

b) 3x 2 6 años 2 – 5x 2 7 años;

a las 11a 5 – 8 a 5 +3 a 5 + a 5 ;

d) 1,9X 3 – 2,9 X 3 – X 3 .

a) 3t 2 – 5 toneladas 2 – 11t – 3t 2 + 5t +11;

b)X 2 + 5x – 4 – x 3 – 5x 2 + 4x – 13.

4 X 2 – 1 enX = 2.

4. Tarea adicional.

En lugar de * Escriba dicho término para obtener un polinomio de quinto grado.

X 4 + 2 X 3 – X 2 + 1 + *

opcion 2

a) bab+a 2 b;

b) 5x 2 8 años 2 + 7x 2 3 años;

a las 2metro 6 + 5 metro 6 – 8 metro 6 – 11 metro 6 ;

d) – 3.1y 2 +2,1 y 2 – y 2. .

2. Da términos similares e indica el grado del polinomio:

a) 8b 3 – 3b 3 + 17b – 3b 3 – 8b – 5;

b) 3h 2 +5hc – 7c 2 + 12h 2 – 6hc.

3. Encuentra el valor del polinomio:

2 X 3 + 4 enX=1.

4. Tarea adicional.

En lugar de* Escribe dicho término para obtener un polinomio de sexto grado.

X 3 – X 2 + X + * .

Opción 3

1. Reducir polinomios a la forma estándar:

a) 2aa 2 3b+a8b;

b) 8x3y (–5y) – 7x 2 4 años;

en 20xy + 5 yx – 17 xy;

d) 8ab 2 –3 ab 2 – 7 ab 2. .

2. Da términos similares e indica el grado del polinomio:

a) 2x 2 + 7xy + 5x 2 – 11xy + 3y 2 ;

b) 4b 2 +a 2 + 6ab – 11b 2 –7ab 2 .

3. Encuentra el valor del polinomio:

– 4 y 5 – 3 a lasy= –1.

4. Tarea adicional.

Construya un polinomio de tercer grado que contenga una variable.

Trabajo independiente oral No. 3 (preparatorio)

(realizado con el objetivo de preparar a los estudiantes para dominar nuevos conocimientos sobre el tema: “Suma y resta de polinomios”)

Opción 1

a) la suma de dos expresiones 3a+ 1 ya – 4;

b) la diferencia de dos expresiones 5X– 2 y 2X + 4.

3. Expanda los corchetes:

a) y – ( y+ z);

b) (X – y) + ( y+ z);

V) (a – b) – ( C – a).

4. Encuentra el valor de la expresión:

a) 13,4 + (8 – 13,4);

b) – 1,5 – (4 – 1,5);

V) (a – b) – ( C – a).

opcion 2

1. Escribe como expresión:

a) la suma de dos expresiones 5a– 3 ya + 2;

b) la diferencia de dos expresiones 8y– 1 y 7y + 1.

2. Formule una regla para abrir paréntesis precedidos por los signos "+" o "-".

3. Expandirsoportes:

a) a – (b+c);

b) (a – b) + (b+a);

V) (X – y) – ( y – z).

4. Encuentra el valor de la expresión:

a) 12,8 + (11 – 12,8);

b) – 8.1 – (4 – 8.1);

c) 10,4 + 3X – ( X+10.4) enX=0,3.

Después de completar el trabajo, se utiliza una autoevaluación utilizando una computadora o pizarra.

Trabajo independiente No. 4

(realizado con el objetivo de fortalecer las habilidades de suma y resta de polinomios)

Opción 1

a) 5 X– 15у y 8y – 4 X;

segundo) 7X 2 – 5 X+3 y 7X 2 – 5 X.

2. Simplifica la expresión:

a) (2 a + 5 b) + (8 a – 11 b) – (9 b – 5 a);

* segundo) (8C 2 + 3 C) + (– 7 C 2 – 11 C + 3) – (–3 C 2 – 4).

3. Tarea adicional.

Escribe un polinomio tal que su suma con el polinomio 3x + 1 sea igual a

9x – 4.

opcion 2

1. Compile la suma y diferencia de polinomios y llévelos a su forma estándar:

a) 21 años – 7xY8x – 4y;

b) 3a 2 + 7a – 5Y3a 2 + 1.

2. Simplifica la expresión:

a) (3 b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b - 4) – (– b 2 +19);

* segundo) (3b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b – 4) – (– b 2 + 19).

3. Tarea adicional.

Escribe un polinomio tal que su suma con el polinomio 4x – 5 sea igual a

9x – 12.

Opción 3

1. Compile la suma y diferencia de polinomios y llévelos a su forma estándar:

a) 0,5 X+ 6у y 3X – 6 y;

segundo) 2y 2 +8 y– 11 y 3y 2 – 6 y + 3.

2. Simplifica la expresión:

a) (2 X + 3 y – 5 z) – (6 X –8 y) + (5 X – 8 y);

* b) (a 2 – 3 ab + 2 b 2 ) – (– 2 a 2 – 2 ab – b 2 ).

3. Tarea adicional.

Escribe un polinomio tal que su suma con el polinomio 7x + 3 sea igual aX 2 + 7 X – 15.

Opción 4

1. Compile la suma y diferencia de polinomios y llévelos a su forma estándar:

a) 0,3 X + 2 by 4X – 2 b;

segundo) 5y 2 – 3 yy 8y 2 + 2 y – 11.

2. Simplifica la expresión:

a) (3x – 5y – 8z) – (2x + 7y) + (5z – 11x);

* b) (2x 2 –xy + y 2 ) - (X 2 – 2xy – y 2 ).

3. Tarea adicional.

Escribe un polinomio tal que su suma con el polinomio sea 2.X 2 + X+ 3 y fue igual 2 X + 3.

El trabajo independiente se realiza al final de la lección. El docente revisa el trabajo, identificando si es necesario estudiar adicionalmente sobre este tema.

Trabajo independiente No. 5

(realizado con el objetivo de desarrollar las habilidades para encerrar un polinomio entre paréntesis)

Opción 1

a , y el otro no lo contiene:

a) hacha + ay + x + y;

b)hacha 2 + x + a + 1.

Muestra soluciones:

m + soy + n – una = (m+n) + (soy – una).

b

a) bm – bn – m – n;

b) bx + por + x –y.

Muestra soluciones:

ab – antes de Cristo – x – y = (ab – antes de Cristo) – (x + y).

opcion 2

1. Imagine un polinomio como la suma de dos polinomios, uno de los cuales contiene la letrab , y el otro no lo contiene:

a) bx + por +2x + 2y;

b)bx 2 – x + a – b.

Solución de muestra:

2 metro + bm 3 + 3 – b = (2 metro+3) + (bm 3 – b).

2. Imagine un polinomio como la diferencia de dos polinomios, el primero de los cuales contiene la letraa , y el otro no (comprueba el resultado abriendo mentalmente el paréntesis):

a) ca – ab – c + b;

b) soy + an + m – norte;

Muestra soluciones:

x + ay – y – ax = (ay – ax) – (–x + y) = (ay – ay) – (y–x).

Opción 3

1. Imagine un polinomio como la suma de dos polinomios, uno de los cuales contiene la letrab , y el otro no lo contiene:

a) segundo 3 -b 2 – b+3y – 1;

b) - b 2 -a 2 – 2ab+2.

Solución de muestra:

– 2 b 2 – metro 2 – 3 bm + 7 = (–2 b 2 – 3 bm) + (– metro 2 + 7) = (–2 b 2 – 3 bm) + (7– metro 2 ).

2. Imagine un polinomio como la diferencia de dos polinomios, el primero de los cuales contiene la letrab , y el otro no (comprueba el resultado abriendo mentalmente el paréntesis):

a) ab + ca – b – c;

b) 2b+a 2 -b 2 –1;

Solución de muestra:

3 b + metro – 1 – 2 b 2 = (3 b – 2 b 2 ) – (1– metro).

Opción 4

(para estudiantes fuertes, sin solución de muestra)

1. Imagine un polinomio como la suma de dos polinomios con coeficientes positivos:

a) hacha + por - cd;

b) 3x –3 años +z – a.

2. Presenta las expresiones de alguna manera como la diferencia de un binomio y un trinomio:

hacha 4 – 2x 3 – 3x 2 + 5x – 4;

b) 3a 5 – 4a 3 + 5a 2 –3a +2.

El trabajo independiente se realiza al final de la lección. Una vez finalizado el trabajo, se utiliza la autoprueba mediante la clave y la autoevaluación del trabajo. Los estudiantes que completan la tarea de forma independiente entregan sus cuadernos al maestro para que los revise.

C trabajo independiente No. 6

(realizado con el objetivo de consolidar y aplicar conocimientos y habilidades de multiplicación de un monomio por un polinomio)

Opción 1

1. Realizar la multiplicación:

a) 3 b 2 (b –3);

segundo) 5X (X 4 + X 2 – 1).

2. Simplifica las expresiones:

a) 4(x+1)+(x+1);

b) 3a (a – 2) – 5a(a+3).

3. Decidir la ecuacion:

20 +4(2 X–5) =14 X +12.

4. Tarea adicional.

(metro+ norte) * * = mk + nk.

opcion 2

1. Realizar la multiplicación:

a) - 4 X 2 (X 2 –5);

segundo) -5a (a 2 - 3 a – 4).

2. Simplifica las expresiones:

a) (a–2) – 2(a–2);

segundo) 3X (8 y +1) – 8 X(3 y–5).

3. Resuelve la ecuación:

3(7 X–1) – 2 =15 X –1.

4. Tarea adicional.

Qué monomio se debe ingresar en lugar del signo * para que se cumpla la igualdad:

(b+ C – metro) * * = ab + C.A – soy.

Opción 3

1. Realizar la multiplicación:

a) – 7 X 3 (X 5 +3);

segundo) 2metro 4 (metro 5 - metro 3 – 1).

2. Simplifica las expresiones:

a) (x–3) – 3(x–3);

b) 3c (c + d) + 3d (c–d).

3. Resuelve la ecuación:

9 X – 6(X – 1) =5(X +2).

4. Tarea adicional.

Qué monomio se debe ingresar en lugar del signo * para que se cumpla la igualdad:

* * (X 2 – xy) = X 2 y 2 – xy 3 .

Opción 4

1. Realizar la multiplicación:

a) – 5 X 4 (2 X – X 3 );

b)X 2 (X 5 – X 3 + 2 X);

2. Simplifica las expresiones:

a) 2 X(X+1) – 4 X(2– X);

segundo) 5b (3 a – b) – 3 a(5 b+ a).

3. Resuelve la ecuación:

-8(11 – 2 X) +40 =3(5 X - 4).

4. Tarea adicional.

Qué monomio se debe ingresar en lugar del signo * para que se cumpla la igualdad:

(X – 1) * * = X 2 y 2 – xy 2 .

C trabajo independiente No. 7

(realizado con el objetivo de desarrollar habilidades en la resolución de ecuaciones y problemas)

Opción 1

Resuelve la ecuación:

+ = 6

Solución:

(+) * 20 = 6*20,

* 20 – ,

5 X – 4(X – 1) =120,

5 X – 4 X + 4=120,

X=120 – 4,

X=116.

Respuesta: 116.

Resuelve la ecuación:

+ = 4

2. Resuelve el problema:

El coche tardó 1 hora menos en el viaje desde el pueblo a la estación que el ciclista. Encuentre la distancia del pueblo a la estación si el automóvil circula a una velocidad promedio de 60 km/h. Y el ciclista va a 20 km/h.

opcion 2

1. Usando la solución de muestra, complete la tarea.

Resuelve la ecuación:

– = 1

Solución:

(+) * 8 = 1*8,

* 8 – ,

2 X - (X – 3) =8,

2 X – 4 X + 3=8,

X = 8 – 3,

X=5.

Respuesta: 5.

Resuelve la ecuación:

+ = 2

2. Resuelve el problema:

El maestro produce 8 piezas más por hora que el aprendiz. El aprendiz trabajó 6 horas y el maestro 8 horas, y juntos fabricaron 232 piezas. ¿Cuántas piezas produjo el estudiante por hora?

Instrucciones para la solución:

a) completar la tabla;

8 partes más

b) escribir una ecuación;

c) resolver la ecuación;

d) comprobar y anotar la respuesta.

Opción 3

(Para estudiantes fuertes, entregado sin muestra)

1. Resuelve la ecuación:

– = 2

2. Resuelve el problema:

Las patatas fueron llevadas al comedor envasadas en sacos de 3 kg. Si se envasara en sacos de 5 kg, entonces se necesitarían 8 sacos menos. ¿Cuántos kilogramos de patatas trajeron a la cantina?

El trabajo independiente se realiza al final de la lección. Después de completar el trabajo, se utiliza una autoprueba con la llave.

Como tarea, a los estudiantes se les ofrece trabajo creativo e independiente:

Piensa en un problema que se pueda resolver usando la ecuación.

30 X = 60(X– 4) y resuélvelo.

Trabajo independiente No. 8

(realizado con el objetivo de desarrollar habilidades y destrezas para sacar el factor común de paréntesis)

Opción 1

A)mx + mi; d)X 5 – X 4 ;

segundo) 5ab – 5 b; mi) 4X 3 – 8 X 2 ;

V) – 4min + n; *y) 2c 3 + 4c 2 + c ;

GRAMO) 7ab – 14a 2 ; * h)hacha 2 +a 2 .

2. Tarea adicional.

2 – 2 18 divisible por 14.

opcion 2

1. Saca el factor común de paréntesis (comprueba tus acciones multiplicando):

A) 10x + 10y;d)a 4 +a 3 ;

b) 4x + 20y;mi) 2x 6 – 4x 3 ;

V) 9 ab + 3b; *y)y 5 + 3 años 6 + 4 años 2 ;

GRAMO) 5xy 2 + 15 años; *h) 5 aC 2 + antes de Cristo.

2. Tarea adicional.

Demuestre que el valor de la expresión es 8 5 – 2 11 divisible por 17.

Opción 3

1. Saca el factor común de paréntesis (comprueba tus acciones multiplicando):

A) 18ay + 8ax;d)metro 6 +m 5 ;

b) 4ab - 16a;mi) 5z 4 – 10z 2 ;

a las 4Minnesota + 5 norte; * g) 3X 4 – 6 X 3 + 9 X 2 ;

re) 3X 2 y– 9 X; *h)xy 2 +4 xy.

2. Tarea adicional.

Demuestre que el valor de la expresión es 79 2 + 79 * 11 es divisible por 30.

Opción 4

1. Saca el factor común de paréntesis (comprueba tus acciones multiplicando):

a) – 7xy + 7 y; d)y 7 - y 5 ;

segundo) 8Minnesota + 4 norte; mi) 16z 5 – 8 z 3 ;

en 20a 2 + 4 hacha; * g) 4X 2 – 6 X 3 + 8 X 4 ;

d) 5X 2 y 2 + 10 X; *h)xy +2 xy 2 .

2. Tarea adicional.

Demuestre que el valor de la expresión es 313 * 299 – 313 2 divisible por 7.

CEl trabajo independiente se realiza al comienzo de la lección. Una vez completado el trabajo, se utiliza una verificación de claves.

Escuela por correspondencia 7mo grado. Tarea número 2.

Manual metodológico No. 2.

Temas:

    Polinomios. Suma, diferencia y producto de polinomios;

    Resolver ecuaciones y problemas;

    Factorización de polinomios;

    Fórmulas de multiplicación abreviadas;

    Problemas para solución independiente.

    Polinomios. Suma, diferencia y producto de polinomios.

Definición. Polinomio se llama suma de monomios.

Definición. Los monomios que forman un polinomio se llaman miembros del polinomio.

Multiplicar un monomio por un polinomio .

    Para multiplicar un monomio por un polinomio, debes multiplicar este monomio por cada término del polinomio y sumar los productos resultantes.

Multiplicar un polinomio por un polinomio .

    Para multiplicar un polinomio por un polinomio, debes multiplicar cada término de un polinomio por cada término de otro polinomio y sumar los productos resultantes.

Ejemplos de resolución de problemas:

    Simplifica la expresión:

Solución.

Solución:

Dado que, por condición, el coeficiente en debe ser igual a cero, entonces

Respuesta: -1.

    Resolución de ecuaciones y problemas.

Definición . Una igualdad que contiene una variable se llama ecuación con una variable o ecuación con una incógnita.

Definición . Raíz de una ecuación (solución de una ecuación) es el valor de una variable en el que la ecuación se vuelve verdadera.

Resolver una ecuación significa encontrar muchas raíces.

Definición. Ecuación de la forma
, Dónde X variable, a Y b – algunos números se llaman ecuaciones lineales con una variable.

Definición.

Un montón de Las raíces de una ecuación lineal pueden:


Ejemplos de resolución de problemas:

    ¿Es el número 7 dado la raíz de la ecuación?

Solución:

Por tanto, x=7 es la raíz de la ecuación..

Respuesta: Sí.

    Resuelve las ecuaciones:

Solución:

Respuesta: -12

Respuesta: -0,4

    Un barco partió del muelle hacia la ciudad a una velocidad de 12 km/h, y media hora después partió un barco de vapor en esa dirección a una velocidad de 20 km/h. ¿Cuál es la distancia del muelle a la ciudad si el vapor llegó a la ciudad 1,5 horas antes que el barco?

Solución:

Denotemos por x la distancia desde el muelle a la ciudad.

Velocidad (kilómetros por hora)

Tiempo (h)

Camino (km)

Bote

Buque de vapor

Según las condiciones del problema, el barco pasó 2 horas más que el vapor (ya que el barco salió del muelle media hora después y llegó a la ciudad 1,5 horas antes que el barco).

Creemos y resolvamos la ecuación:

60 km – distancia del muelle a la ciudad.

Respuesta: 60 kilómetros.

    La longitud del rectángulo se redujo en 4 cm y se obtuvo un cuadrado cuyo área era 12 cm² menor que el área del rectángulo. Encuentra el área del rectángulo.

Solución:

Sea x el lado del rectángulo.

Longitud

Ancho

Cuadrado

Rectángulo

x(x-4)

Cuadrado

(x-4)(x-4)

Según las condiciones del problema, el área de un cuadrado es 12 cm² menor que el área de un rectángulo.

Creemos y resolvamos la ecuación:

7 cm es la longitud del rectángulo.

(cm²) – área del rectángulo.

Respuesta: 21 cm².

    Los turistas recorrieron el recorrido previsto en tres días. El primer día recorrieron el 35% del recorrido previsto, el segundo 3 km más que el primero y el tercero los 21 km restantes. ¿Cuánto dura la ruta?

Solución:

Sea x la longitud de toda la ruta.

1 día

Dia 2

Día 3

Longitud de la trayectoria

0,35x+3

La longitud total del camino fue de x km.

Así, creamos y resolvemos la ecuación:

0,35x+0,35x+21=x

0.7x+21=x

0,3x=21

70 km de longitud de todo el recorrido.

Respuesta: 70 kilómetros.

    Factorización de polinomios.

Definición . Representar un polinomio como producto de dos o más polinomios se llama factorización.

    Sacando el factor común de paréntesis .

Ejemplo :

    Método de agrupación .

La agrupación se debe hacer de manera que cada grupo tenga un factor común; además, luego de quitar el factor común de paréntesis en cada grupo, las expresiones resultantes también deben tener un factor común;

Ejemplo :

    Fórmulas de multiplicación abreviadas.

    El producto de la diferencia de dos expresiones y su suma es igual a la diferencia de los cuadrados de estas expresiones.

    El cuadrado de la suma de dos expresiones es igual al cuadrado de la primera expresión más el doble del producto de la primera y la segunda expresión, más el cuadrado de la segunda expresión. soluciones. 1. Encuentra el resto de la división. polinomio x6 – 4x4 + x3... no tiene soluciones, A decisiones el segundo son los pares (1; 2) y (2; 1). Respuesta: (1; 2), (2; 1). Tareas Para independiente soluciones. Resuelve el sistema...

  • Plan de estudios aproximado de álgebra y análisis elemental para los grados 10-11 (nivel de perfil) Nota explicativa

    Programa

    Cada párrafo da la cantidad requerida. tareas Para independiente soluciones en orden de dificultad creciente. ...algoritmo de descomposición polinomio por potencias de binomio; polinomios con coeficientes complejos; polinomios con validez...

  • Curso optativo “Resolución de problemas atípicos. 9no grado" Completado por un profesor de matemáticas.

    Curso electivo

    La ecuación es equivalente a la ecuación P(x) = Q(X), donde P(x) y Q(x) son algunos polinomios con una variable x. Transferiendo Q(x) al lado izquierdo... = . RESPUESTA: x1=2, x2=-3, xs=, x4=. TAREAS PARA INDEPENDIENTE SOLUCIONES. Resuelve las siguientes ecuaciones: x4 – 8x...

  • Programa electivo en matemáticas para 8vo grado.

    Programa

    Teorema de álgebra, teorema de Vieta Para trinomio cuadrático y Para polinomio grado arbitrario, teorema sobre racional... material. No es solo una lista tareas Para independiente soluciones, pero también la tarea de hacer un modelo de desarrollo...

Definición 3.3. Monomio es una expresión que es producto de números, variables y potencias con exponente natural.

Por ejemplo, cada una de las expresiones,
,
es un monomio.

Dicen que el monomio tiene vista estándar , si contiene solo un factor numérico en primer lugar, y cada producto de variables idénticas está representado por un grado. El factor numérico de un monomio escrito en forma estándar se llama coeficiente del monomio . Por el poder del monomio. se llama suma de los exponentes de todas sus variables.

Definición 3.4. Polinomio llamada suma de monomios. Los monomios que forman un polinomio se llamanmiembros del polinomio .

Los términos similares (monomios en un polinomio) se llaman términos similares del polinomio .

Definición 3.5. Polinomio de forma estándar Se llama polinomio en el que todos los términos se escriben en forma estándar y se dan términos similares.Grado de un polinomio de forma estándar se llama la mayor de las potencias de los monomios incluidos en él.

Por ejemplo, es un polinomio de forma estándar de cuarto grado.

Acciones sobre monomios y polinomios

La suma y la diferencia de polinomios se pueden convertir en un polinomio de forma estándar. Al sumar dos polinomios, se escriben todos sus términos y se dan términos similares. Al restar, se invierten los signos de todos los términos del polinomio que se resta.

Por ejemplo:

Los términos de un polinomio se pueden dividir en grupos y encerrarse entre paréntesis. Al tratarse de una transformación idéntica inversa a la apertura de paréntesis, se establece lo siguiente regla de paréntesis: si se coloca un signo más antes de los corchetes, todos los términos entre paréntesis se escriben con sus signos; Si se coloca un signo menos delante de los paréntesis, todos los términos entre paréntesis se escriben con signos opuestos.

Por ejemplo,

Regla para multiplicar un polinomio por un polinomio: Para multiplicar un polinomio por un polinomio basta con multiplicar cada término de un polinomio por cada término de otro polinomio y sumar los productos resultantes.

Por ejemplo,

Definición 3.6. Polinomio en una variable grados llamada expresión de la forma

Dónde
- cualquier número que se llame coeficientes polinomiales , y
,– número entero no negativo.

Si
, entonces el coeficiente llamado coeficiente principal del polinomio
, monomio
- su miembro senior , coeficiente – miembro gratuito .

Si en lugar de una variable a un polinomio
sustituir numero real , entonces el resultado será un número real
Lo que es llamado el valor del polinomio
en
.

Definición 3.7. Número llamadoraíz del polinomio
, Si
.

Considere dividir un polinomio por un polinomio, donde
Y - números enteros. La división es posible si el grado del dividendo polinómico es
no menor que el grado del polinomio divisor
, eso es
.

dividir un polinomio
a un polinomio
,
, significa encontrar dos de esos polinomios
Y
, a

En este caso, el polinomio
grados
llamado cociente polinomial ,
– el resto ,
.

Observación 3.2. si el divisor
–no es un polinomio cero, entonces la división
en
,
, siempre es factible y el cociente y el resto se determinan de forma única.

Observación 3.3. En caso
en frente de todos , eso es

dicen que es un polinomio
completamente dividido(o acciones)a un polinomio
.

La división de polinomios se lleva a cabo de manera similar a la división de números de varios dígitos: primero, el término principal del polinomio dividendo se divide por el término principal del polinomio divisor, luego el cociente de la división de estos términos, que será el término principal del polinomio cociente, se multiplica por el polinomio divisor y el producto resultante se resta del polinomio dividendo. Como resultado, se obtiene un polinomio: el primer resto, que se divide por el polinomio divisor de manera similar y se encuentra el segundo término del polinomio cociente. Este proceso continúa hasta que se obtiene un resto cero o el grado del polinomio restante es menor que el grado del polinomio divisor.

Al dividir un polinomio por un binomio, puedes utilizar el esquema de Horner.

Esquema de Horner

Supongamos que queremos dividir un polinomio.

por binomio
. Denotemos el cociente de división como un polinomio.

y el resto es . Significado , coeficientes de polinomios
,
y el resto Escribámoslo de la siguiente forma:

En este esquema, cada uno de los coeficientes
,
,
, …,obtenido del número anterior en la línea inferior multiplicando por el número y sumando al resultado el número correspondiente en la línea superior encima del coeficiente deseado. si algún grado está ausente en el polinomio, entonces el coeficiente correspondiente es cero. Habiendo determinado los coeficientes según el esquema dado, escribimos el cociente

y el resultado de la división si
,

o ,

Si
,

Teorema 3.1. Para que una fracción irreducible (

,

)era la raíz del polinomio
con coeficientes enteros, es necesario que el número era un divisor del término libre , y el número - divisor del coeficiente principal .

Teorema 3.2. (Teorema de Bezout ) Resto de dividir un polinomio
por binomio
igual al valor del polinomio
en
, eso es
.

Al dividir un polinomio
por binomio
tenemos igualdad

Esto es cierto, en particular, cuando
, eso es
.

Ejemplo 3.2. Dividido por
.

Solución. Apliquemos el esquema de Horner:

Por eso,

Ejemplo 3.3. Dividido por
.

Solución. Apliquemos el esquema de Horner:

Por eso,

,

Ejemplo 3.4. Dividido por
.

Solución.

Como resultado obtenemos

Ejemplo 3.5. Dividir
en
.

Solución. Dividamos los polinomios por columna:

Entonces obtenemos

.

A veces resulta útil representar un polinomio como un producto igual de dos o más polinomios. Esta transformación de identidad se llama factorizar un polinomio . Consideremos los principales métodos de dicha descomposición.

Sacando el factor común de paréntesis. Para factorizar un polinomio quitando el factor común de paréntesis, debes:

1) encuentra el factor común. Para hacer esto, si todos los coeficientes del polinomio son números enteros, el módulo común divisor más grande de todos los coeficientes del polinomio se considera como el coeficiente del factor común, y cada variable incluida en todos los términos del polinomio se toma con el mayor exponente que tiene en este polinomio;

2) encontrar el cociente de dividir un polinomio dado por un factor común;

3) escribe el producto del factor general y el cociente resultante.

Agrupación de miembros. Al factorizar un polinomio mediante el método de agrupación, sus términos se dividen en dos o más grupos para que cada uno de ellos pueda convertirse en un producto, y los productos resultantes tendrían un factor común. Después de esto, se utiliza el método de poner entre paréntesis el factor común de los términos recién transformados.

Aplicación de fórmulas de multiplicación abreviadas. En los casos en que el polinomio a expandir en factores, tiene la forma del lado derecho de cualquier fórmula de multiplicación abreviada; su factorización se logra utilizando la fórmula correspondiente escrita en un orden diferente;

Dejar

, entonces lo siguiente es verdad fórmulas de multiplicación abreviadas:

Para

:

Si extraño (

):

Binomio de Newton:

Dónde
– número de combinaciones de Por .

Introducción de nuevos miembros auxiliares. Este método consiste en sustituir un polinomio por otro polinomio idénticamente igual a él, pero que contenga un número diferente de términos, introduciendo dos términos opuestos o sustituyendo cualquier término por una suma idéntica de monomios similares. La sustitución se realiza de tal forma que se pueda aplicar el método de agrupación de términos al polinomio resultante.

Ejemplo 3.6..

Solución. Todos los términos de un polinomio contienen un factor común.
. Por eso,.

Respuesta: .

Ejemplo 3.7.

Solución. Agrupamos por separado los términos que contienen el coeficiente. y términos que contienen . Sacando los factores comunes de grupos entre paréntesis, obtenemos:

.

Respuesta:
.

Ejemplo 3.8. Factorizar un polinomio
.

Solución. Usando la fórmula de multiplicación abreviada apropiada, obtenemos:

Respuesta: .

Ejemplo 3.9. Factorizar un polinomio
.

Solución. Utilizando el método de agrupación y la correspondiente fórmula de multiplicación abreviada, obtenemos:

.

Respuesta: .

Ejemplo 3.10. Factorizar un polinomio
.

Solución. reemplazaremos en
, agrupa los términos, aplica las fórmulas de multiplicación abreviadas:

.

Respuesta:
.

Ejemplo 3.11. Factorizar un polinomio

Solución. Porque ,
,
, Eso

En esta parte de Álgebra de séptimo grado puedes estudiar lecciones escolares sobre el tema “Polinomios. Operaciones aritméticas con polinomios."

Videolecciones educativas sobre Álgebra 7mo grado “Polinomios. Operaciones aritméticas con polinomios" las enseña Valentin Alekseevich Tarasov, profesor de la escuela Logos LV. También puedes estudiar otros temas en álgebra.

El grado como caso especial de un polinomio

En esta lección, se discutirán conceptos y definiciones básicos, se preparará la base para estudiar un tema complejo y voluminoso, a saber: recordaremos el material teórico sobre grados: definiciones, propiedades, teoremas y resolveremos varios ejemplos para consolidar la técnica. .

Reducir polinomios a forma estándar. Tareas típicas

En esta lección, recordaremos las definiciones básicas de este tema y consideraremos algunos problemas típicos, a saber, reducir un polinomio a una forma estándar y calcular un valor numérico para valores dados de variables. Resolveremos varios ejemplos en los que se utilizará la reducción a una forma estándar para resolver varios tipos de problemas.

Suma y resta de polinomios. Tareas típicas

En esta lección se estudiarán las operaciones de suma y resta de polinomios y se formularán las reglas para la suma y la resta. Se consideran ejemplos y se resuelven algunos problemas y ecuaciones típicas y se consolidan las habilidades para realizar estas operaciones.

Multiplicar un polinomio por un monomio. Tareas típicas

En esta lección estudiaremos la operación de multiplicar un polinomio por un monomio, que es la base para estudiar la multiplicación de polinomios. Recordemos la ley distributiva de la multiplicación y formulemos la regla para multiplicar cualquier polinomio por un monomio. Recordemos también algunas propiedades de los grados. Además, se formularán errores típicos al realizar varios ejemplos.

Multiplicación de binomios. Tareas típicas

En esta lección nos familiarizaremos con la operación de multiplicar los polinomios más simples: binomios y formularemos la regla para su multiplicación. Derivemos algunas fórmulas para la multiplicación abreviada usando esta operación. Además, resolveremos una gran cantidad de ejemplos y problemas típicos, concretamente el problema de simplificar una expresión, un problema computacional y ecuaciones.

Multiplicación de trinomios. Tareas típicas

En esta lección, veremos la operación de multiplicar trinomios, deduciremos la regla para multiplicar trinomios y, de hecho, formularemos la regla para multiplicar polinomios en general. Resolvamos algunos ejemplos relacionados con este tema para poder pasar con más detalle a la multiplicación de polinomios.

Multiplicar un polinomio por un polinomio

En esta lección recordaremos todo lo que ya hemos aprendido sobre la multiplicación de polinomios, resumiremos algunos resultados y formularemos una regla general. Después de esto, realizaremos una serie de ejemplos para reforzar la técnica de multiplicar polinomios.

Multiplicar polinomios en problemas escritos

En esta lección recordaremos el método de modelado matemático y resolveremos problemas con su ayuda. Aprenderemos a componer polinomios y expresiones con ellos a partir de las condiciones de un problema de texto y a resolver estos problemas, lo que supone aplicar los conocimientos adquiridos sobre polinomios en tipos de trabajos más complejos.

Multiplicar polinomios en problemas con elementos geométricos

En esta lección aprenderemos cómo resolver problemas escritos con elementos de geometría utilizando el método de modelado matemático. Para hacer esto, primero recordemos los hechos geométricos básicos y las etapas de la resolución de problemas.

Fórmulas de multiplicación abreviadas. Suma al cuadrado y diferencia al cuadrado

En esta lección nos familiarizaremos con las fórmulas para el cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia y las derivaremos. Demostremos geométricamente la fórmula del cuadrado de la suma. Además, resolveremos muchos ejemplos diferentes utilizando estas fórmulas.

Fórmulas de multiplicación abreviadas. diferencia de cuadrados

En esta lección, recordaremos las fórmulas de multiplicación abreviadas que aprendimos anteriormente, es decir, el cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia. Derivemos la fórmula para la diferencia de cuadrados y resolvamos muchos problemas típicos diferentes usando esta fórmula. Además, resolveremos problemas que impliquen la aplicación compleja de varias fórmulas.

Fórmulas de multiplicación abreviadas. Diferencia de cubos y suma de cubos.

En esta lección continuaremos estudiando fórmulas de multiplicación abreviadas, es decir, consideraremos las fórmulas de diferencia y suma de cubos. Además, resolveremos varios problemas típicos utilizando estas fórmulas.

Uso compartido de fórmulas de multiplicación abreviadas

Esta videolección será útil para todos aquellos que quieran estudiar de forma independiente el tema "Aplicación combinada de fórmulas de multiplicación abreviadas". Con esta video conferencia podrás resumir, profundizar y sistematizar los conocimientos adquiridos en lecciones anteriores. El profesor les enseñará a utilizar juntos fórmulas de multiplicación abreviadas.

Fórmulas de multiplicación abreviada en problemas de mayor complejidad. Parte 1

En esta lección aplicaremos nuestro conocimiento de polinomios y fórmulas de multiplicación abreviadas para resolver un problema geométrico bastante complejo. Esto nos permitirá fortalecer nuestras habilidades para trabajar con polinomios.

Fórmulas de multiplicación abreviada en problemas de mayor complejidad. Parte 2

En esta lección, veremos problemas complicados usando fórmulas de multiplicación abreviadas y realizaremos muchos ejemplos diferentes para reforzar la técnica.

Problema geométrico sobre un paralelepípedo usando la fórmula de multiplicación abreviada

En esta videolección, todos podrán estudiar el tema "Problema geométrico en un paralelepípedo usando la fórmula de multiplicación abreviada". En esta lección, los estudiantes practicarán el uso de la fórmula de multiplicación abreviada para un paralelepípedo. En concreto, el profesor planteará un problema geométrico sobre un paralelepípedo, que deberá desmontarse y resolverse.

Dividir un polinomio por un monomio

En esta lección, recordaremos la regla para dividir un monomio entre un monomio y formularemos los hechos básicos que la respaldan. Agreguemos algo de información teórica a lo que ya sabemos y derivemos la regla para dividir un polinomio por un monomio. Después de esto, realizaremos una serie de ejemplos de diversa complejidad para dominar la técnica de dividir un polinomio por un monomio.

Objetivos: generalización y consolidación del material tratado: repetir el concepto de polinomio, la regla de multiplicar un polinomio por un polinomio y consolidar esta regla durante el trabajo de prueba, consolidar las habilidades de resolución de ecuaciones y problemas usando ecuaciones.

Equipo: cartel “Quien hace y piensa por sí mismo desde una edad temprana se vuelve más confiable, más fuerte, más inteligente” (V. Shukshin). Retroproyector, pizarra magnética, crucigrama, tarjetas de prueba.

Plan de estudios.

1. Momento organizativo.
2. Revisar la tarea.
3. Ejercicios orales (crucigrama).
4. Resolución de ejercicios sobre el tema.
5. Prueba sobre el tema: “Polinomios y operaciones con ellos” (4 opciones).
6. Resumen de la lección.
7. Tarea.

durante las clases

I. Momento organizacional

Los estudiantes de la clase se dividen en grupos de 4-5 personas, se selecciona el mayor del grupo.

II. revisando la tarea.

Los estudiantes preparan sus tareas en una tarjeta en casa. Cada alumno revisa su trabajo a través de un retroproyector. El profesor se ofrece a evaluar él mismo la tarea del alumno y pone una nota en la hoja de informe, indicando el criterio de evaluación: “5” ─ la tarea se completó de forma correcta e independiente; “4” ─ la tarea se completó correcta y completamente, pero con la ayuda de los padres o compañeros; “3” ─ en todos los demás casos, si se completa la tarea. Si la tarea no se completa, puedes poner un guión.

III. Ejercicios orales.

1) Para repasar cuestiones teóricas, se ofrece a los estudiantes un crucigrama. El crucigrama lo resuelve oralmente el grupo y las respuestas las dan los alumnos de diferentes grupos. Damos calificaciones: “5” ─ 7 palabras correctas, “4” ─ 5,6 palabras correctas, “3” ─ 4 palabras correctas.

Preguntas para el crucigrama: (ver. Anexo 1)

  1. La propiedad de la multiplicación utilizada al multiplicar un monomio por un polinomio;
  2. método de factorizar un polinomio;
  3. una igualdad que es verdadera para cualquier valor de la variable;
  4. una expresión que representa la suma de monomios;
  5. términos que tienen la misma parte de letras;
  6. el valor de la variable en el que la ecuación se convierte en una verdadera igualdad;
  7. factor numérico de monomios.

2) Sigue estos pasos:

3. Si el largo del rectángulo se reduce en 4 cm y su ancho aumenta en 7 cm, obtendrás un cuadrado cuyo área será 100 cm 2 mayor que el área del rectángulo. Determina el lado del cuadrado. (El lado del cuadrado mide 24 cm).

Los estudiantes resuelven tareas en grupos, discutiendo y ayudándose unos a otros. Cuando los grupos han completado la tarea, se comparan con las soluciones escritas en la pizarra. Tras la verificación se asignan calificaciones: para este trabajo, los estudiantes reciben dos calificaciones: autoevaluación y evaluación grupal. Criterio de evaluación: “5” ─ resolvió todo correctamente y ayudó a sus compañeros, “4” ─ cometió errores al resolver, pero los corrigió con la ayuda de sus compañeros, “3” ─ se interesó en la solución y resolvió todo con la ayuda de compañeros de clase.

V. Trabajos de prueba.

Opción I

1. Presentar en forma estándar el polinomio 3a – 5a∙a – 5 + 2a 2 – 5a +3.

3. Encuentra la diferencia de los polinomios 2x 2 – x + 2 y ─ 3x 2 ─2x + 1.

5. Presenta la expresión como un polinomio: 2 – (3a – 1)(a + 5).

Opción II

1. Presentar en forma estándar el polinomio 5x 2 – 5 + 4x ─ 3x∙x + 2 – 2x.

3. Encuentra la diferencia de los polinomios 4y 2 – 2y + 3 y - 2y 2 + 3y +2.

5. Resuelve la ecuación: ─3x 2 + 5x = 0.

1)x =
3) x = 0 y x = ─

2) x = 0 y x =
4)x = 0

6. Presentar como producto: 5a 3 – 3a 2 – 10a + 6.

Opción III

1. Encuentra el valor del polinomio ─ 6а 2 – 5аb + b 2 – (─3а 2 – 5аb + b 2) con а = ─, b=─3.


1)

2. Simplifica la expresión: ─8x – (5x – (3x – 7)).

4. Multiplicar: ─3x∙(─ 2x 2 + x – 3)

6. Preséntalo como un producto: 3x 3 – 2x 2 – 6x + 4.

1) (x 2 + 2)(3x + 2)
3) (x 2 + 2)(3x – 2)

2) (x 2 – 2)(3x + 2)
4) (x 2 – 2)(3x – 2)

7. Presenta la expresión como producto: a(x – y) ─2b(y – x)

1) (x – y)(a ─ 2b)
3) (x – y)(a + 2b)

2) (y – x)(a ─ 2b)
4) (y – x)(a + 2)

opción intravenosa

1. Encuentra el valor del polinomio ─ 8a 2 – 2ax – x 2 – (─4a 2 – 2ax – x 2) con a= ─, x= ─ 2.

2. Simplifica la expresión: ─ 5a – (2a – (3a – 5)).

4. Realizar la multiplicación: ─4а ∙ (─5а 2 + 2а – 1).

6. Exprésalo como un polinomio: (3x – 2)(─x 2 + x – 4).

1) ─3x 3 + 5x 2 – 10x – 8
3) ─3x 3 + 3x 2 – 14x + 8

2) ─3x 3 + 3x 2 – 12x
4) ─3x 3 + 5x 2 – 14x + 8

7. Presenta la expresión como un producto: 2c(b – a) – d(a – b)

1) (a – b)(2c – d)
3) (b – a)(2c – d)

2) (b – a)(2c + d)
4) (a – b)(2c + d)

Trabajo no.

Opción No.

VI. Resumen de la lección

Durante la lección, cada alumno recibe varias calificaciones. El propio alumno evalúa sus conocimientos comparándolos con los conocimientos de los demás. La evaluación grupal es más efectiva porque la evaluación es discutida por todos los miembros del grupo. Los chicos señalan deficiencias y deficiencias en el trabajo de los miembros del grupo. El líder del grupo ingresa todas las calificaciones en la tarjeta de trabajo.

El profesor da la nota final comunicándola a toda la clase.

VII. Tarea:

1. Siga estos pasos:

a) (a 2 + 3аb─b 2)(2а – b);
b) (x 2 + 2xy – 5y 2)(2x 2 – 3y).

2. Resuelve la ecuación:

a) (3x – 1)(2x + 7) ─ (x + 1)(6x – 5) = 16;
b) (x – 4)(2x2 – 3x + 5) + (x2 – 5x + 4)(1 – 2x) = 20.

3. Si un lado del cuadrado se reduce en 1,2 my el otro en 1,5 m, entonces el área del rectángulo resultante será 14,4 m 2 menor que el área del cuadrado dado. Determina el lado del cuadrado.