¿Cuál es el último número en el mundo. ¿Cuál es el número más grande? ¿Qué son, números gigantes?
Una vez leí una historia trágica sobre un Chukchi a quien los exploradores polares le enseñaron a contar y escribir números. La magia de los números lo impresionó tanto que decidió anotar absolutamente todos los números del mundo seguidos, comenzando desde el uno, en el cuaderno que le regalaron los exploradores polares. Chukchi abandona todos sus asuntos, deja de comunicarse incluso con su propia esposa, ya no caza focas y focas, sino que escribe y escribe números en un cuaderno ... Así pasa un año. Al final, el cuaderno termina y Chukchi se da cuenta de que solo pudo escribir una pequeña parte de todos los números. Llora amargamente y, desesperado, quema su cuaderno garabateado para volver a vivir la vida sencilla de un pescador, sin pensar más en la misteriosa infinidad de los números...
No repetiremos la hazaña de este Chukchi y trataremos de encontrar el número más grande, ya que basta con que cualquier número sume uno para obtener un número aún mayor. Hagámonos una pregunta similar pero diferente: ¿cuál de los números que tienen nombre propio es el más grande?
Obviamente, aunque los números mismos son infinitos, títulos propios no tienen muchos, ya que la mayoría se contenta con nombres formados por números más pequeños. Entonces, por ejemplo, los números 1 y 100 tienen sus propios nombres "uno" y "cien", y el nombre del número 101 ya está compuesto ("ciento uno"). Es claro que en el conjunto final de números que la humanidad ha otorgado con su propio nombre, debe haber algún número mayor. Pero, ¿cómo se llama y a qué equivale? Intentemos resolverlo y encontrar, al final, ¡este es el número más grande!
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Escala "corta" y "larga"
La historia del sistema de nombres moderno para grandes números se remonta a mediados del siglo XV, cuando en Italia comenzaron a usar las palabras "millón" (literalmente, un gran millar) para mil al cuadrado, "bimillion" para un millón. al cuadrado y "trimillion" por un millón al cubo. Conocemos este sistema gracias al matemático francés Nicolas Chuquet (Nicolas Chuquet, c. 1450 - c. 1500): en su tratado "La ciencia de los números" (Triparty en la science des nombres, 1484), desarrolló esta idea, proponiendo seguir utilizando los números cardinales latinos (ver tabla), agregándolos a la terminación "-millón". Entonces, el "bimillón" de Shuke se convirtió en mil millones, "trimillones" en un billón, y un millón elevado a la cuarta potencia se convirtió en un "cuatrillón".
En el sistema de Schücke, el número 10 9 , que estaba entre un millón y un billón, no tenía nombre propio y simplemente se le llamaba "mil millones", de igual forma, el 10 15 se llamaba "mil billones", 10 21 - " mil trillones", etc. No era muy conveniente, y en 1549 el escritor y científico francés Jacques Peletier du Mans (1517-1582) propuso nombrar esos números "intermedios" usando los mismos prefijos latinos, pero con la terminación "-billón". Entonces, 10 9 se conoció como "mil millones", 10 15 - "billar", 10 21 - "billón", etc.
El sistema Shuquet-Peletier se popularizó gradualmente y se utilizó en toda Europa. Sin embargo, en el siglo XVII, surgió un problema inesperado. Resultó que, por alguna razón, algunos científicos comenzaron a confundirse y llamar al número 10 9 no "mil millones" o "mil millones", sino "mil millones". Pronto este error se extendió rápidamente y surgió una situación paradójica: "billón" se convirtió simultáneamente en sinónimo de "billón" (10 9) y "millón de millones" (10 18).
Esta confusión continuó durante mucho tiempo y llevó al hecho de que en los EE. UU. crearon su propio sistema para nombrar números grandes. Según el sistema estadounidense, los nombres de los números se construyen de la misma manera que en el sistema Schücke: el prefijo latino y la terminación "millón". Sin embargo, estos números son diferentes. Si en el sistema de Schuecke los nombres con la terminación "millón" recibían números que eran potencias de millón, entonces en el sistema estadounidense la terminación "-millón" recibía potencias de mil. Es decir, mil millones (1000 3 \u003d 10 9) comenzaron a llamarse "mil millones", 1000 4 (10 12) - "trillones", 1000 5 (10 15) - "cuatrillones", etc.
El antiguo sistema de denominación de grandes números siguió utilizándose en la Gran Bretaña conservadora y empezó a llamarse "británico" en todo el mundo, a pesar de que fue inventado por los franceses Shuquet y Peletier. Sin embargo, en la década de 1970, el Reino Unido cambió oficialmente al "sistema estadounidense", lo que llevó al hecho de que se volvió extraño llamar a un sistema estadounidense y otro británico. Como resultado, el sistema estadounidense ahora se conoce comúnmente como la "escala corta" y el sistema británico o Chuquet-Peletier como la "escala larga".
Para no confundirnos, resumamos el resultado intermedio:
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La escala de nombres cortos ahora se usa en los Estados Unidos, Reino Unido, Canadá, Irlanda, Australia, Brasil y Puerto Rico. Rusia, Dinamarca, Turquía y Bulgaria también usan la escala corta, excepto que el número 109 no se llama "billón" sino "billón". La escala larga se sigue utilizando hoy en día en la mayoría de los demás países.
Es curioso que en nuestro país la transición definitiva a la escala corta se produzca recién en la segunda mitad del siglo XX. Entonces, por ejemplo, incluso Yakov Isidorovich Perelman (1882-1942) en su "Aritmética entretenida" menciona la existencia paralela de dos escalas en la URSS. La escala corta, según Perelman, se usaba en la vida cotidiana y los cálculos financieros, y la larga se usaba en libros científicos de astronomía y física. Sin embargo, ahora está mal usar una escala larga en Rusia, aunque los números allí son grandes.
Pero volvamos a encontrar el número más grande. Después de un decillón, los nombres de los números se obtienen combinando prefijos. Así se obtienen números como undecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, novemdecillion, etc. Sin embargo, estos nombres ya no nos interesan, ya que acordamos encontrar el número más grande con su propio nombre no compuesto.
Si nos dirigimos a la gramática latina, encontraremos que los romanos tenían solo tres nombres no compuestos para los números mayores de diez: viginti - "veinte", centum - "cien" y mille - "mil". Para números mayores de "mil", los romanos no tenían nombres propios. Por ejemplo, los romanos llamaban a un millón (1.000.000) "decies centena milia", es decir, "diez veces cien mil". De acuerdo con la regla de Schuecke, estos tres números latinos restantes nos dan nombres para números como "vigintillion", "centillion" y "milleillion".
Entonces, descubrimos que en la "escala corta" el número máximo que tiene su propio nombre y no es un compuesto de números más pequeños es "millón" (10 3003). Si en Rusia se adoptara una "escala larga" para nombrar números, entonces el número más grande con su propio nombre sería "millón" (10 6003).
Sin embargo, hay nombres para números aún más grandes.
Números fuera del sistema
Algunos números tienen su propio nombre, sin ninguna conexión con el sistema de nombres que utiliza prefijos latinos. Y hay muchos de esos números. Puede, por ejemplo, recordar el número mi, el número "pi", la docena, el número de la bestia, etc. Sin embargo, dado que ahora nos interesan los números grandes, consideraremos solo aquellos números con nombre propio no compuesto que son más de un millón.
Hasta el siglo XVII, Rusia utilizó su propio sistema para nombrar números. Decenas de miles fueron llamados "oscuros", cientos de miles fueron llamados "legiones", millones fueron llamados "leodres", decenas de millones fueron llamados "cuervos" y cientos de millones fueron llamados "mazos". A esta cuenta hasta cientos de millones se le llamó la “cuenta pequeña”, y en algunos manuscritos los autores también la consideraron la “cuenta grande”, en la que se usaban los mismos nombres para los números grandes, pero con diferente significado. Entonces, "tinieblas" significaba no diez mil, sino mil mil (10 6), "legión" - la oscuridad de aquellos (10 12); "leodr" - legión de legiones (10 24), "cuervo" - leodr de leodres (10 48). Por alguna razón, la "baraja" en el gran conteo eslavo no se llamaba "cuervo de cuervos" (10 96), sino solo diez "cuervos", es decir, 10 49 (ver tabla).
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El número 10100 también tiene nombre propio y lo inventó un niño de nueve años. Y fue así. En 1938, el matemático estadounidense Edward Kasner (Edward Kasner, 1878-1955) paseaba por el parque con sus dos sobrinos y discutía con ellos sobre grandes números. Durante la conversación hablamos de un número con cien ceros, que no tenía nombre propio. Uno de sus sobrinos, Milton Sirott, de nueve años, sugirió llamar a este número "googol". En 1940, Edward Kasner, junto con James Newman, escribieron el libro de no ficción Mathematics and the Imagination, donde enseñó a los amantes de las matemáticas sobre el número googol. Google se volvió aún más conocido a fines de la década de 1990, gracias al motor de búsqueda de Google que lleva su nombre.
El nombre de un número aún mayor que googol surgió en 1950 gracias al padre de la informática, Claude Shannon (Claude Elwood Shannon, 1916-2001). En su artículo "Programación de una computadora para jugar al ajedrez", trató de estimar el número opciones Ajedrez. Según él, cada juego dura un promedio de 40 movimientos, y en cada movimiento el jugador elige un promedio de 30 opciones, lo que corresponde a 900 40 (aproximadamente igual a 10 118) opciones de juego. Este trabajo se hizo ampliamente conocido y este número se conoció como el "número de Shannon".
En el famoso tratado budista Jaina Sutra, que data del año 100 a. C., el número "asankheya" se encuentra igual a 10 140. Se cree que este número es igual al número de ciclos cósmicos necesarios para alcanzar el nirvana.
Milton Sirotta, de nueve años, entró en la historia de las matemáticas no solo al inventar el número googol, sino también al sugerir otro número al mismo tiempo: "googolplex", que es igual a 10 elevado a "googol", es decir , uno con un googol de ceros.
Dos números más grandes que el googolplex fueron propuestos por el matemático sudafricano Stanley Skewes (1899-1988) al probar la hipótesis de Riemann. El primer número, que más tarde pasó a llamarse "primer número de Skeuse", es igual a mi en la medida mi en la medida mi a la potencia de 79, es decir mi mi mi 79 = 10 10 8.85.10 33 . Sin embargo, el "segundo número de Skewes" es aún mayor y es 10 10 10 1000 .
Obviamente, cuantos más grados hay en el número de grados, más difícil es escribir números y comprender su significado al leer. Además, es posible encontrar tales números (y, por cierto, ya se han inventado), cuando los grados de grados simplemente no caben en la página. ¡Sí, qué página! ¡Ni siquiera caben en un libro del tamaño de todo el universo! En este caso, surge la pregunta de cómo escribir tales números. Afortunadamente, el problema se puede resolver y los matemáticos han desarrollado varios principios para escribir tales números. Es cierto que cada matemático que planteó este problema ideó su propia forma de escribir, lo que llevó a la existencia de varias formas no relacionadas de escribir números grandes: estas son las notaciones de Knuth, Conway, Steinhaus, etc. Ahora tendremos que tratar con algunos de ellos.
Otras notaciones
En 1938, el mismo año en que a Milton Sirotta, de nueve años, se le ocurrieron los números googol y googolplex, Hugo Dionizy Steinhaus, 1887-1972, se publicó en Polonia un libro sobre matemáticas entretenidas, The Mathematical Kaleidoscope. Este libro se hizo muy popular, pasó por muchas ediciones y fue traducido a muchos idiomas, incluidos el inglés y el ruso. En él, Steinhaus, hablando de números grandes, ofrece una forma sencilla de escribirlos utilizando tres formas geométricas: un triángulo, un cuadrado y un círculo:
"norte en un triángulo" significa " norte norte»,
« norte cuadrado" significa " norte en norte triangulos",
« norte en un círculo" significa " norte en norte cuadrícula."
Al explicar esta forma de escribir, Steinhaus encuentra el número "mega" igual a 2 en un círculo y muestra que es igual a 256 en un "cuadrado" o 256 en 256 triángulos. Para calcularlo, debe elevar 256 a la potencia de 256, elevar el número resultante 3.2.10 616 a la potencia de 3.2.10 616, luego elevar el número resultante a la potencia del número resultante, y así sucesivamente para elevar a la potencia de 256 veces. Por ejemplo, la calculadora en MS Windows no puede calcular debido al desbordamiento 256 incluso en dos triángulos. Aproximadamente este gran número es 10 10 2.10 619 .
Habiendo determinado el número "mega", Steinhaus invita a los lectores a evaluar de forma independiente otro número: "medzon", igual a 3 en un círculo. En otra edición del libro, Steinhaus, en lugar de medzone, propone estimar un número aún mayor: "megiston", igual a 10 en un círculo. Siguiendo a Steinhaus, también recomendaré que los lectores se aparten de este texto por un momento y traten de escribir estos números ellos mismos usando potencias ordinarias para sentir su gigantesca magnitud.
Sin embargo, hay nombres para sobre números más altos. Así, el matemático canadiense Leo Moser (Leo Moser, 1921-1970) finalizó la notación de Steinhaus, la cual estaba limitada por el hecho de que si había que escribir números mucho mayores que un megistón, entonces surgirían dificultades e inconvenientes, ya que uno Tendría que dibujar muchos círculos uno dentro de otro. Moser sugirió no dibujar círculos después de cuadrados, sino pentágonos, luego hexágonos, y así sucesivamente. También propuso una notación formal para estos polígonos, de modo que los números pudieran escribirse sin dibujar patrones complejos. La notación de Moser se ve así:
« norte triángulo" = norte norte = norte;
« norte en un cuadrado" = norte = « norte en norte triángulos" = nortenorte;
« norte en un pentágono" = norte = « norte en norte cuadrados" = nortenorte;
« norte en k+ 1-gon" = norte[k+1] = " norte en norte k-gons" = norte[k]norte.
Por lo tanto, de acuerdo con la notación de Moser, el "mega" steinhausiano se escribe como 2, "medzon" como 3 y "megiston" como 10. Además, Leo Moser sugirió llamar a un polígono con un número de lados igual a mega - "megagon ". Y propuso el número "2 en megagón", es decir, 2. Este número se conoció como el número de Moser o simplemente como "moser".
Pero incluso "moser" no es el número más grande. Entonces, el número más grande jamás usado en una demostración matemática es el "número de Graham". Este número fue utilizado por primera vez por el matemático estadounidense Ronald Graham en 1977 al probar una estimación en la teoría de Ramsey, es decir, al calcular las dimensiones de ciertos norte Hipercubos bicromáticos bidimensionales. El número de Graham ganó fama solo después de la historia sobre él en el libro de Martin Gardner de 1989 "From Penrose Mosaics to Secure Ciphers".
Para explicar qué tan grande es el número de Graham, uno tiene que explicar otra forma de escribir números grandes, introducida por Donald Knuth en 1976. El profesor estadounidense Donald Knuth ideó el concepto de supertítulo, que propuso escribir con flechas apuntando hacia arriba:
Creo que todo está claro, así que volvamos al número de Graham. Ronald Graham propuso los llamados números G:
Aquí está el número G 64 y se llama el número de Graham (a menudo se denota simplemente como G). Este número es el número más grande conocido en el mundo utilizado en una prueba matemática, e incluso figura en el Libro Guinness de los Récords.
Y finalmente
Habiendo escrito este artículo, no puedo resistir la tentación y crear mi propio número. Que se llame este numero stasplex» y será igual al número G 100 . Memorízalo, y cuando tus hijos te pregunten cuál es el número más grande del mundo, diles que ese número se llama stasplex.
Noticias de socios
En cuarto grado, me interesó la pregunta: "¿Cómo se llaman los números de más de mil millones? ¿Y por qué?". Desde entonces, he estado buscando toda la información sobre este tema durante mucho tiempo y recopilando poco a poco. Pero con la llegada del acceso a Internet, la búsqueda se ha acelerado significativamente. Ahora presento toda la información que encontré para que otros puedan responder a la pregunta: "¿Cómo se llaman los números grandes y muy grandes?".
Un poco de historia
Los pueblos eslavos del sur y del este usaban numeración alfabética para registrar números. Además, entre los rusos, no todas las letras desempeñaban el papel de números, sino solo las que están en el alfabeto griego. Encima de la letra, que denota un número, se colocó un icono especial de "título". Al mismo tiempo, los valores numéricos de las letras aumentaron en el mismo orden que siguieron las letras del alfabeto griego (el orden de las letras del alfabeto eslavo era algo diferente).
En Rusia, la numeración eslava sobrevivió hasta finales del siglo XVII. Bajo Pedro I, prevaleció la llamada "numeración arábiga", que todavía usamos hoy.
También hubo cambios en los nombres de los números. Por ejemplo, hasta el siglo XV, el número "veinte" se designaba como "dos diez" (dos decenas), pero luego se redujo para una pronunciación más rápida. Hasta el siglo XV, el número "cuarenta" se denotaba con la palabra "cuarenta", y en los siglos XV-XVI esta palabra fue reemplazada por la palabra "cuarenta", que originalmente significaba una bolsa en la que se guardaban 40 pieles de ardilla o marta. metido. Hay dos opciones sobre el origen de la palabra "mil": del antiguo nombre "cien gordos" o de una modificación de la palabra latina centum - "cien".
El nombre "millón" apareció por primera vez en Italia en 1500 y se formó agregando un sufijo aumentativo al número "mille" - mil (es decir, significaba "mil grandes"), penetró en el idioma ruso más tarde, y antes de eso el mismo significado en ruso fue denotado por el número "leodr". La palabra "mil millones" entró en uso solo a partir de la guerra franco-prusiana (1871), cuando los franceses tuvieron que pagar a Alemania una indemnización de 5.000.000.000 de francos. Al igual que "millón", la palabra "billón" proviene de la raíz "mil" con la adición de un sufijo de aumento italiano. En Alemania y Estados Unidos, durante algún tiempo, la palabra "mil millones" significó el número 100.000.000; esto explica por qué la palabra multimillonario se usó en Estados Unidos antes de que cualquiera de los ricos tuviera $ 1,000,000,000. En la antigua "Aritmética" de Magnitsky (siglo XVIII), hay una tabla de nombres de números, llevada al "cuatrillón" (10 ^ 24, según el sistema a través de 6 dígitos). Perelman Ya.I. en el libro "Aritmética entretenida" se dan los nombres de grandes números de esa época, algo diferentes a los de hoy: septillon (10 ^ 42), octalion (10 ^ 48), nonalion (10 ^ 54), decalion (10 ^ 60) , endecalion (10 ^ 66), dodecalion (10 ^ 72) y está escrito que "no hay más nombres".
Principios de denominación y la lista de números grandes
Todos los nombres de números grandes se construyen de una manera bastante simple: al principio hay un número ordinal latino, y al final se le agrega el sufijo -millón. La excepción es el nombre "millón", que es el nombre del número mil (mille) y el sufijo de aumento -millón. Hay dos tipos principales de nombres para grandes números en el mundo:
Sistema 3x + 3 (donde x es un número ordinal latino): este sistema se usa en Rusia, Francia, EE. UU., Canadá, Italia, Turquía, Brasil, Grecia
y el sistema 6x (donde x es un número ordinal latino) - este sistema es el más común en el mundo (por ejemplo: España, Alemania, Hungría, Portugal, Polonia, República Checa, Suecia, Dinamarca, Finlandia). En él, el intermedio faltante 6x + 3 termina con el sufijo -billón (de él tomamos prestado mil millones, que también se llama mil millones).
La lista general de números utilizados en Rusia se presenta a continuación:
| Número | Nombre | número latino | Lupa SI | prefijo diminutivo SI | Valor práctico |
| 10 1 | diez | deca- | deci- | Número de dedos en 2 manos | |
| 10 2 | cien | hecto- | centi- | Aproximadamente la mitad del número de todos los estados de la Tierra | |
| 10 3 | mil | kilo- | Mili- | Número aproximado de días en 3 años | |
| 10 6 | millón | unus (yo) | mega- | micro- | 5 veces el número de gotas en un balde de 10 litros de agua |
| 10 9 | mil millones (mil millones) | dúo (II) | giga- | nano | Población aproximada de India |
| 10 12 | billones | tres(III) | tera- | pico- | 1/13 del producto interno bruto de Rusia en rublos para 2003 |
| 10 15 | cuatrillón | cuatro (IV) | peta- | femto- | 1/30 de la longitud de un parsec en metros |
| 10 18 | trillón | quinto (V) | exa- | en A- | 1/18 de la cantidad de granos del premio legendario al inventor del ajedrez |
| 10 21 | sextillón | sexo (VI) | zetta- | zepto- | 1/6 de la masa del planeta Tierra en toneladas |
| 10 24 | septillón | septiembre (VII) | yotta- | yocto- | Número de moléculas en 37,2 litros de aire |
| 10 27 | octillón | oct(VIII) | no- | tamiz- | La mitad de la masa de Júpiter en kilogramos |
| 10 30 | trillón | noviembre (IX) | DEA- | tredo- | 1/5 de todos los microorganismos del planeta |
| 10 33 | decillón | diciembre(X) | una- | revo- | La mitad de la masa del Sol en gramos |
La pronunciación de los números que siguen a menudo es diferente.
| Número | Nombre | número latino | Valor práctico |
| 10 36 | andecillion | undecim (XI) | |
| 10 39 | duodecillón | duodecimo(XII) | |
| 10 42 | tredecillón | tredecim(XIII) | 1/100 del número de moléculas de aire en la Tierra |
| 10 45 | quatordecillón | quattuordecim (XIV) | |
| 10 48 | quindecillón | quindecima (XV) | |
| 10 51 | sexdecillón | sedecim (XVI) | |
| 10 54 | septemdecillón | septendecimo (XVII) | |
| 10 57 | octodecillón | Tantas partículas elementales en el sol | |
| 10 60 | noviembredecillion | ||
| 10 63 | vigintillón | virginia (XX) | |
| 10 66 | avigintillones | unus et viginti (XXI) | |
| 10 69 | duovigintillones | dúo y viginti (XXII) | |
| 10 72 | trevigintillones | tres et viginti (XXIII) | |
| 10 75 | quattorvigintillones | ||
| 10 78 | quinvigintillón | ||
| 10 81 | sexovigintillones | Tantas partículas elementales en el universo. | |
| 10 84 | septemvigintillón | ||
| 10 87 | octovgintillones | ||
| 10 90 | noviembrevigintillón | ||
| 10 93 | trigintillones | triginta (XXX) | |
| 10 96 | antirigintillón |
- ...
- 10 100 - googol (el número fue inventado por el sobrino de 9 años del matemático estadounidense Edward Kasner)
- 10 123 - quadragintillones (quadragaginta, XL)
- 10 153 - quincuagintillones (quinquaginta, L)
- 10 183 - sexagintillón (sexaginta, LX)
- 10 213 - septuagintillones (septuaginta, LXX)
- 10 243 - octogintillón (octoginta, LXXX)
- 10 273 - nonagintillón (nonaginta, XC)
- 10 303 - centillón (Centum, C)
- 10 306 - ancentillion o centunillion
- 10 309 - duocentillón o centduollion
- 10 312 - trecentillón o centtrillón
- 10 315 - quattorcentillion o centquadrillion
- 10 402 - tretrigintacentillion o centtretrigintillion
Números a continuación:
Algunas referencias literarias:
- Perelman Ya.I. "Aritmética entretenida". - M.: Triada-Litera, 1994, pp. 134-140
- Vygodsky M.Ya. "Manual de Matemáticas Elementales". - San Petersburgo, 1994, pp. 64-65
- "Enciclopedia del Saber". - comp. Y EN. Korotkevich. - San Petersburgo: Búho, 2006, p.257
- "Entretenido sobre física y matemáticas." - Biblioteca Kvant. tema 50. - M.: Nauka, 1988, p.50
“Veo grupos de números vagos acechando en la oscuridad, detrás del pequeño punto de luz que da la vela de la mente. Se susurran el uno al otro; hablando de quién sabe qué. Tal vez no les gustemos mucho por capturar a sus hermanos pequeños con nuestras mentes. O tal vez simplemente llevan una forma de vida numérica inequívoca, más allá de nuestra comprensión”.
douglas ray
Seguimos lo nuestro. Hoy tenemos números...
Tarde o temprano, todos están atormentados por la pregunta, ¿cuál es el número más grande? La pregunta de un niño se puede responder en un millón. ¿Que sigue? Billón. ¿Y más allá? De hecho, la respuesta a la pregunta de cuáles son los números más grandes es simple. Simplemente vale la pena agregar uno al número más grande, ya que ya no será el más grande. Este procedimiento puede continuarse indefinidamente.
Pero si te preguntas: ¿cuál es el número más grande que existe, y cuál es su propio nombre?
Ahora todos sabemos...
Hay dos sistemas para nombrar números: americano e inglés.
El sistema estadounidense está construido de manera bastante simple. Todos los nombres de números grandes se construyen así: al principio hay un número ordinal latino, y al final se le agrega el sufijo -millón. La excepción es el nombre "millón", que es el nombre del número mil (lat. mil) y el sufijo de aumento -millón (ver tabla). Entonces se obtienen los números: trillón, cuatrillón, quintillón, sextillón, septillón, octillón, nonillón y decillón. El sistema americano se utiliza en EE. UU., Canadá, Francia y Rusia. Puede averiguar la cantidad de ceros en un número escrito en el sistema americano usando la fórmula simple 3 x + 3 (donde x es un número latino).
El sistema de nombres en inglés es el más común en el mundo. Se utiliza, por ejemplo, en Gran Bretaña y España, así como en la mayoría de las antiguas colonias inglesa y española. Los nombres de los números en este sistema se construyen así: así: se agrega un sufijo -millón al número latino, el siguiente número (1000 veces más grande) se construye de acuerdo con el principio: el mismo número latino, pero el sufijo es -mil millones. Es decir, después de un billón en el sistema inglés viene un billón, y solo entonces un cuatrillón, seguido de un cuatrillón, y así sucesivamente. Por lo tanto, ¡un cuatrillón según los sistemas inglés y estadounidense son números completamente diferentes! Puede averiguar la cantidad de ceros en un número escrito en el sistema inglés y que termina con el sufijo -millón usando la fórmula 6 x + 3 (donde x es un número latino) y usando la fórmula 6 x + 6 para números que terminan en -mil millones.
Solo el número mil millones (10 9 ) pasó del sistema inglés al idioma ruso, que, sin embargo, sería más correcto llamarlo como lo llaman los estadounidenses: mil millones, ya que hemos adoptado el sistema estadounidense. ¡Pero quién en nuestro país hace algo de acuerdo con las reglas! ;-) Por cierto, a veces la palabra trillón también se usa en ruso (puedes verlo por ti mismo haciendo una búsqueda en Google o Yandex) y significa, aparentemente, 1000 trillones, es decir cuatrillón.
Además de los números escritos con prefijos latinos en el sistema americano o inglés, también se conocen los llamados números fuera del sistema, es decir números que tienen sus propios nombres sin ningún prefijo latino. Hay varios números de este tipo, pero hablaré de ellos con más detalle un poco más adelante.
Volvamos a escribir usando números latinos. Parecería que pueden escribir números hasta el infinito, pero esto no es del todo cierto. Ahora explicaré por qué. Veamos primero cómo se llaman los números del 1 al 10 33:
Y así, ahora surge la pregunta, ¿qué sigue? ¿Qué es un decillón? En principio, es posible, por supuesto, combinar prefijos para generar monstruos como: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion y novemdecillion, pero estos ya serán nombres compuestos, y nos interesaba nuestros propios nombres números. Por lo tanto, de acuerdo con este sistema, además de los indicados anteriormente, aún puede obtener solo tres: vigintillones (del lat.viginti- veinte), centillón (del lat.por ciento- cien) y un millón (del lat.mil- mil). Los romanos no tenían más de mil nombres propios para los números (todos los números mayores de mil eran compuestos). Por ejemplo, un millón (1.000.000) de romanos llamadoscentena miliaes decir, diezcientos mil. Y ahora, en realidad, la tabla:
Así, según un sistema similar, los números son mayores que 10 3003 , que tendría su propio nombre no compuesto, ¡es imposible de obtener! Sin embargo, se conocen números superiores a un millón; estos son los números muy no sistémicos. Finalmente, hablemos de ellos.
El número más pequeño es una miríada (está incluso en el diccionario de Dahl), lo que significa cien cientos, es decir, 10 000. Es cierto que esta palabra está desactualizada y prácticamente no se usa, pero es curioso que la palabra "miríada" sea ampliamente utilizado, que no significa un cierto número en absoluto, sino un conjunto incontable e incontable de algo. Se cree que la palabra myriad (inglés myriad) llegó a las lenguas europeas desde el antiguo Egipto.
Hay diferentes opiniones sobre el origen de este número. Algunos creen que se originó en Egipto, mientras que otros creen que nació solo en la Antigua Grecia. Sea como fuere, de hecho, la miríada ganó fama precisamente gracias a los griegos. Myriad era el nombre de 10.000, y no había nombres para números superiores a diez mil. Sin embargo, en la nota "Psammit" (es decir, el cálculo de la arena), Arquímedes mostró cómo uno puede construir y nombrar sistemáticamente números arbitrariamente grandes. En particular, colocando 10,000 (miríadas) de granos de arena en una semilla de amapola, encuentra que en el Universo (una bola con un diámetro de una miríada de diámetros de la Tierra) cabría (en nuestra notación) no más de 10 63
granos de arena. Es curioso que los cálculos modernos del número de átomos en el universo visible lleven al número 10 67
(sólo una miríada de veces más). Los nombres de los números sugeridos por Arquímedes son los siguientes:
1 miríada = 10 4 .
1 di-miríada = miríada miríada = 10 8
.
1 tri-miríada = di-miríada di-miríada = 10 16
.
1 tetra-miríada = tres-miríada tres-miríada = 10 32
.
etc.
Googol (del inglés googol) es el número diez elevado a la centésima, es decir, uno con cien ceros. El "googol" se escribió por primera vez en 1938 en el artículo "Nuevos nombres en matemáticas" en la edición de enero de la revista Scripta Mathematica por el matemático estadounidense Edward Kasner. Según él, su sobrino de nueve años, Milton Sirotta, sugirió llamar a un gran número "googol". Este número se hizo conocido gracias al buscador que lleva su nombre. Google. Tenga en cuenta que "Google" es una marca comercial y googol es un número.
Eduardo Kasner.
En Internet, a menudo puede encontrar mención de eso, pero esto no es así ...
En el conocido tratado budista Jaina Sutra, que data del año 100 a. C., el número Asankheya (del chino. asentzi- incalculable), igual a 10 140. Se cree que este número es igual al número de ciclos cósmicos necesarios para alcanzar el nirvana.
Googolplex (inglés) googolplex) - un número también inventado por Kasner con su sobrino y que significa uno con un googol de ceros, es decir, 10 10100 . Así es como el propio Kasner describe este "descubrimiento":
Los niños pronuncian palabras de sabiduría al menos con la misma frecuencia que los científicos. El nombre "googol" fue inventado por un niño (el sobrino del Dr. Kasner de nueve años) a quien se le pidió que pensara en un nombre para un número muy grande, a saber, 1 con cien ceros detrás. Estaba muy cierto que este número no era infinito, y por lo tanto igualmente cierto que tenía que tener un nombre, un googol, pero sigue siendo finito, como se apresuró a señalar el inventor del nombre.
Las Matemáticas y la Imaginación(1940) de Kasner y James R. Newman.
Incluso más grande que el número de googolplex, el número de Skewes fue propuesto por Skewes en 1933 (Skewes. J. Matemáticas de Londres. soc. 8, 277-283, 1933.) para demostrar la conjetura de Riemann sobre los números primos. Significa mi en la medida mi en la medida mi a la potencia de 79, es decir, ee mi 79 . Más tarde, Riele (te Riele, H. J. J. "Sobre el signo de la diferencia PAGS(x)-Li(x)." Matemáticas. computar 48, 323-328, 1987) redujo el número de Skuse a ee 27/4 , que es aproximadamente igual a 8.185 10 370 . Está claro que dado que el valor del número de Skewes depende del número mi, entonces no es un número entero, por lo que no lo consideraremos, de lo contrario, tendríamos que recordar otros números no naturales: el número pi, el número e, etc.
Pero cabe señalar que hay un segundo número de Skewes, que en matemáticas se denota como Sk2, que es incluso mayor que el primer número de Skewes (Sk1). El segundo número de Skuse, fue introducido por J. Skuse en el mismo artículo para denotar un número para el cual la hipótesis de Riemann no es válida. Sk2 es 1010 10103 , es decir, 1010 101000 .
Como entiendes, cuantos más grados hay, más difícil es entender cuál de los números es mayor. Por ejemplo, mirando los números de Skewes, sin cálculos especiales, es casi imposible entender cuál de estos dos números es mayor. Por lo tanto, para números supergrandes, se vuelve inconveniente usar potencias. Además, puede encontrar esos números (y ya se han inventado) cuando los grados de grados simplemente no caben en la página. ¡Sí, qué página! ¡Ni siquiera caben en un libro del tamaño de todo el universo! En este caso, surge la pregunta de cómo escribirlos. El problema, como comprenderá, tiene solución y los matemáticos han desarrollado varios principios para escribir tales números. Es cierto que cada matemático que planteó este problema encontró su propia forma de escribir, lo que llevó a la existencia de varias formas no relacionadas de escribir números: estas son las notaciones de Knuth, Conway, Steinhaus, etc.
Considere la notación de Hugo Stenhaus (H. Steinhaus. Instantáneas matemáticas, 3ra ed. 1983), que es bastante simple. Steinhouse sugirió escribir números grandes dentro formas geométricas- triángulo, cuadrado y círculo:
A Steinhouse se le ocurrieron dos nuevos números súper grandes. Llamó al número - Mega, y al número - Megiston.
El matemático Leo Moser refinó la notación de Stenhouse, la cual estaba limitada por el hecho de que si había que escribir números mucho mayores que un megistón, surgían dificultades e inconvenientes, ya que había que dibujar muchos círculos uno dentro del otro. Moser sugirió no dibujar círculos después de cuadrados, sino pentágonos, luego hexágonos, y así sucesivamente. También propuso una notación formal para estos polígonos, de modo que los números pudieran escribirse sin dibujar patrones complejos. La notación de Moser se ve así:
Así, según la notación de Moser, el mega de Steinhouse se escribe como 2 y megiston como 10. Además, Leo Moser sugirió llamar a un polígono con el número de lados igual a mega - megagón. Y propuso el número "2 en Megagon", es decir, 2. Este número se conoció como número de Moser o simplemente como moser.
Pero el moser no es el número más grande. El número más grande jamás utilizado en una demostración matemática es el valor límite conocido como número de Graham, utilizado por primera vez en 1977 en la demostración de una estimación en la teoría de Ramsey. Está asociado con hipercubos bicromáticos y no puede expresarse sin el sistema especial de 64 niveles de símbolos matemáticos especiales introducidos por Knuth en 1976.
Desafortunadamente, el número escrito en la notación Knuth no se puede traducir a la notación Moser. Por lo tanto, este sistema también tendrá que ser explicado. En principio, tampoco hay nada complicado en ello. A Donald Knuth (sí, sí, este es el mismo Knuth que escribió El arte de la programación y creó el editor TeX) se le ocurrió el concepto de superpoder, que propuso escribir con flechas apuntando hacia arriba:
En general, se ve así:
Creo que todo está claro, así que volvamos al número de Graham. Graham propuso los llamados números G:
- G1 = 3..3, donde el número de flechas de supergrado es 33.
- G2 = ..3, donde el número de flechas de supergrado es igual a G1.
- G3 = ..3, donde el número de flechas de supergrado es igual a G2.
- G63 = ..3, donde el número de flechas de superpotencia es G62 .
El número G63 se conoció como el número de Graham (a menudo se denota simplemente como G). Este número es el número más grande conocido en el mundo e incluso figura en el Libro Guinness de los Récords. Pero
En los nombres de los números arábigos, cada dígito pertenece a su categoría, y cada tres dígitos forman una clase. Por lo tanto, el último dígito de un número indica el número de unidades en él y se llama, en consecuencia, el lugar de las unidades. El siguiente dígito, el segundo desde el final, indica decenas (el dígito de las decenas), y el tercer dígito desde el final indica el número de centenas en el número: el dígito de las centenas. Además, los dígitos se repiten de la misma manera en cada clase, denotando unidades, decenas y centenas en las clases de miles, millones, etc. Si el número es pequeño y no contiene un dígito de decenas o centenas, se acostumbra tomarlos como cero. Las clases agrupan números en números de tres, a menudo en dispositivos informáticos o registros, se coloca un punto o espacio entre las clases para separarlas visualmente. Esto se hace para facilitar la lectura de números grandes. Cada clase tiene su propio nombre: los primeros tres dígitos son la clase de unidades, seguidos de la clase de miles, luego millones, billones (o billones), y así sucesivamente.
Como usamos el sistema decimal, la unidad básica de cantidad es la decena, o 10 1 . En consecuencia, con un aumento en el número de dígitos en un número, también aumenta el número de decenas de 10 2, 10 3, 10 4, etc. Conociendo el número de decenas, puede determinar fácilmente la clase y categoría del número, por ejemplo, 10 16 son decenas de cuatrillones y 3 × 10 16 son tres decenas de cuatrillones. La descomposición de números en componentes decimales ocurre de la siguiente manera: cada dígito se muestra en un término separado, multiplicado por el coeficiente requerido 10 n, donde n es la posición del dígito en el conteo de izquierda a derecha.
Por ejemplo: 253 981=2×10 6 +5×10 5 +3×10 4 +9×10 3 +8×10 2 +1×10 1
Además, la potencia de 10 también se usa para escribir decimales: 10 (-1) es 0,1 o una décima. De manera similar al párrafo anterior, también se puede descomponer un número decimal, en cuyo caso n indicará la posición del dígito de la coma de derecha a izquierda, por ejemplo: 0.347629= 3x10 (-1) +4x10 (-2) +7x10 (-3) +6x10 (-4) +2x10 (-5) +9x10 (-6) )
Nombres de números decimales. Los números decimales se leen por el último dígito después del punto decimal, por ejemplo 0,325 - trescientos veinticinco milésimos, donde los milésimos son el dígito del último dígito 5.
Tabla de nombres de números grandes, dígitos y clases
| unidad de primera clase | 1er dígito de la unidad 2do lugar diez 3er rango cientos |
1 = 10 0 10 = 10 1 100 = 10 2 |
| 2da clase mil | Unidades de 1er dígito de miles 2do digito decenas de millar 3er rango cientos de miles |
1 000 = 10 3 10 000 = 10 4 100 000 = 10 5 |
| millones de 3er grado | 1er dígito unidades millones 2do digito decenas de millones 3er digito cientos de millones |
1 000 000 = 10 6 10 000 000 = 10 7 100 000 000 = 10 8 |
| billones de cuarto grado | 1er dígito unidades mil millones 2do dígito decenas de miles de millones 3er dígito cientos de miles de millones |
1 000 000 000 = 10 9 10 000 000 000 = 10 10 100 000 000 000 = 10 11 |
| trillones de quinto grado | 1er dígito billones de unidades 2do digito decenas de trillones 3er digito cien trillones |
1 000 000 000 000 = 10 12 10 000 000 000 000 = 10 13 100 000 000 000 000 = 10 14 |
| cuatrillones de sexto grado | Unidades de cuatrillones de 1er dígito 2do digito decenas de cuatrillones 3er digito decenas de cuatrillones |
1 000 000 000 000 000 = 10 15 10 000 000 000 000 000 = 10 16 100 000 000 000 000 000 = 10 17 |
| quintillones de 7mo grado | Unidades de primer dígito de quintillones 2do digito decenas de quintillones 3er rango cien quintillones |
1 000 000 000 000 000 000 = 10 18 10 000 000 000 000 000 000 = 10 19 100 000 000 000 000 000 000 = 10 20 |
| sextillones de octavo grado | 1er dígito sextillón unidades 2do digito decenas de sextillones 3er rango cien sextillones |
1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21 10 000 000 000 000 000 000 000 = 10 22 1 00 000 000 000 000 000 000 000 = 10 23 |
| septillones de noveno grado | Unidades de primer dígito de septillones 2do digito decenas de septillones 3er rango cien setillones |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24 10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 25 100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 26 |
| Octillón de décima clase | Unidades de octillones de 1er dígito 2do digito diez octillones 3er rango cien octillones |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 27 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 28 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 29 |
Hay números que son tan increíblemente, increíblemente grandes que se necesitaría todo el universo para escribirlos. Pero esto es lo que es realmente enloquecedor... algunos de estos números incomprensiblemente grandes son extremadamente importantes para comprender el mundo.
Cuando digo "el número más grande del universo", en realidad me refiero al número más grande importante número, el número máximo posible que es útil de alguna manera. Hay muchos candidatos para este título, pero te advierto de inmediato: de hecho, existe el riesgo de que tratar de entender todo esto te deje boquiabierto. Y además, con demasiadas matemáticas, te diviertes poco.
Googol y googolplex
eduardo kasner
Podríamos comenzar con dos, muy probablemente los números más grandes de los que haya oído hablar, y estos son de hecho los dos números más grandes que tienen definiciones comúnmente aceptadas en idioma en Inglés. (Hay una nomenclatura bastante precisa que se utiliza para números tan grandes como desee, pero estos dos números no se encuentran actualmente en los diccionarios). Google, ya que se hizo mundialmente famoso (aunque con errores, nota. de hecho es googol) en la forma de Google, nació en 1920 como una forma de hacer que los niños se interesaran en los números grandes.
Con este fin, Edward Kasner (en la foto) llevó a sus dos sobrinos, Milton y Edwin Sirott, a una gira por New Jersey Palisades. Los invitó a proponer ideas, y luego Milton, de nueve años, sugirió "googol". Se desconoce de dónde obtuvo esta palabra, pero Kasner decidió que 
o un número en el que cien ceros siguen al uno se llamará de ahora en adelante googol.
Pero el joven Milton no se detuvo allí, se le ocurrió un número aún mayor, el googolplex. Es un número, según Milton, que primero tiene un 1 y luego tantos ceros como puedas escribir antes de cansarte. Si bien la idea es fascinante, Kasner sintió que se necesitaba una definición más formal. Como explicó en su libro de 1940 Las matemáticas y la imaginación, la definición de Milton deja abierta la peligrosa posibilidad de que el bufón ocasional pueda convertirse en un matemático superior a Albert Einstein simplemente porque tiene más resistencia.
Entonces Kasner decidió que el googolplex sería , o 1, seguido de un googol de ceros. En caso contrario, y en una notación similar a la que trataremos con otros números, diremos que el googolplex es . Para mostrar cuán fascinante es esto, Carl Sagan comentó una vez que era físicamente imposible escribir todos los ceros de un googolplex porque simplemente no había suficiente espacio en el universo. Si todo el volumen del universo observable está lleno de partículas de polvo fino de aproximadamente 1,5 micras de tamaño, entonces el número varias maneras la ubicación de estas partículas será aproximadamente igual a un googolplex.
Hablando lingüísticamente, googol y googolplex son probablemente los dos números significativos más grandes (al menos en inglés), pero, como ahora estableceremos, hay infinitas formas de definir "significado".
Mundo real
Si hablamos del número significativo más grande, hay un argumento razonable de que esto realmente significa que necesitas encontrar el número más grande con un valor que realmente existe en el mundo. Podemos comenzar con la población humana actual, que actualmente ronda los 6920 millones. El PIB mundial en 2010 se estimó en alrededor de $ 61,960 mil millones, pero ambos números son pequeños en comparación con los aproximadamente 100 billones de células que componen el cuerpo humano. Por supuesto, ninguno de estos números se puede comparar con el número total de partículas en el universo, que generalmente se considera que es aproximadamente , y este número es tan grande que nuestro idioma no tiene una palabra para describirlo.
Podemos jugar un poco con los sistemas de medición, haciendo que los números sean cada vez más grandes. Por lo tanto, la masa del Sol en toneladas será menor que en libras. Una excelente manera de hacer esto es usar las unidades de Planck, que son las medidas más pequeñas posibles para las que aún se cumplen las leyes de la física. Por ejemplo, la edad del universo en el tiempo de Planck es aproximadamente . Si volvemos a la primera unidad de tiempo de Planck después del Big Bang, veremos que la densidad del Universo era entonces . Cada vez somos más, pero aún no hemos llegado a un googol.
El número más grande con cualquier aplicación en el mundo real, o, en este caso, aplicación en el mundo real, es probablemente una de las últimas estimaciones de la cantidad de universos en el multiverso. Este número es tan grande que cerebro humano literalmente será incapaz de percibir todos estos universos diferentes, ya que el cerebro solo es capaz de configuraciones aproximadas. De hecho, este número es probablemente el número más grande con algún significado práctico, si no se tiene en cuenta la idea del multiverso como un todo. Sin embargo, todavía hay números mucho más grandes al acecho allí. Pero para encontrarlos, debemos adentrarnos en el reino de las matemáticas puras, y no hay mejor lugar para comenzar que los números primos.
Primos de Mersenne
Parte de la dificultad es encontrar una buena definición de lo que es un número "significativo". Una forma es pensar en términos de números primos y compuestos. Un número primo, como probablemente recuerdes de las matemáticas escolares, es cualquier número natural (que no es igual a uno) que solo es divisible por sí mismo. Entonces, y son números primos, y y son números compuestos. Esto significa que cualquier número compuesto eventualmente puede ser representado por sus divisores primos. En cierto sentido, el número es más importante que, digamos, porque no hay forma de expresarlo en términos del producto de números más pequeños.
Obviamente podemos ir un poco más allá. , por ejemplo, es realmente justo , lo que significa que en un mundo hipotético donde nuestro conocimiento de los números se limita a , un matemático aún puede expresar . Pero el siguiente número ya es primo, lo que significa que la única forma de expresarlo es conocer directamente su existencia. Esto significa que los números primos más grandes conocidos juegan un papel importante, pero, digamos, un googol, que en última instancia es solo una colección de números y , multiplicados entre sí, en realidad no lo hace. Y dado que los números primos son en su mayoría aleatorios, no existe una forma conocida de predecir que un número increíblemente grande será realmente primo. Hasta el día de hoy, descubrir nuevos números primos es una tarea difícil.
Los matemáticos de la antigua Grecia tenían un concepto de los números primos al menos desde el año 500 a. C., y 2000 años después, la gente solo sabía qué eran los números primos hasta alrededor de 750. Los pensadores de Euclides vieron la posibilidad de la simplificación, pero hasta el Renacimiento los matemáticos no pudieron Realmente no lo uso en la práctica. Estos números se conocen como números de Mersenne y llevan el nombre de la científica francesa del siglo XVII Marina Mersenne. La idea es bastante simple: un número de Mersenne es cualquier número de la forma . Entonces, por ejemplo, y este número es primo, lo mismo es cierto para .
Los números primos de Mersenne son mucho más rápidos y fáciles de determinar que cualquier otro tipo de número primo, y las computadoras han trabajado arduamente para encontrarlos durante las últimas seis décadas. Hasta 1952, el número primo más grande conocido era un número, un número con dígitos. En el mismo año, se calculó en una computadora que el número es primo, y este número consta de dígitos, lo que lo hace mucho más grande que un googol.
Las computadoras han estado a la caza desde entonces, y el número de Mersenne es actualmente el número primo más grande conocido por la humanidad. Descubierto en 2008, es un número con casi millones de dígitos. Este es el número más grande conocido que no se puede expresar en términos de números más pequeños, y si desea ayudar a encontrar un número de Mersenne aún mayor, usted (y su computadora) siempre pueden unirse a la búsqueda en http://www.mersenne. org/.
número de sesgos
stanley skuse
Volvamos a los números primos. Como dije antes, se comportan fundamentalmente mal, lo que significa que no hay forma de predecir cuál será el próximo número primo. Los matemáticos se han visto obligados a recurrir a algunas medidas bastante fantásticas para encontrar alguna forma de predecir futuros números primos, incluso de una manera nebulosa. El más exitoso de estos intentos es probablemente la función que cuenta números primos, que se le ocurrió en finales del XVIII siglo legendario matemático Carl Friedrich Gauss.
Te ahorraré las matemáticas más complicadas; de todos modos, todavía nos queda mucho por hacer, pero la esencia de la función es esta: para cualquier número entero, es posible estimar cuántos primos hay menos de . Por ejemplo, si , la función predice que debe haber números primos, si - números primos menores que y si , entonces hay números más pequeños que son primos.
La disposición de los números primos es realmente irregular y es solo una aproximación del número real de números primos. De hecho, sabemos que hay primos menores que , primos menores que y primos menores que . Es una gran estimación, sin duda, pero siempre es solo una estimación... y más específicamente, una estimación desde arriba.
En todos los casos conocidos hasta , la función que encuentra el número de números primos exagera ligeramente el número real de números primos menor que . Los matemáticos alguna vez pensaron que este siempre sería el caso, ad infinitum, y que esto ciertamente se aplica a algunos números inimaginablemente grandes, pero en 1914 John Edensor Littlewood demostró que para algún número desconocido e inimaginablemente grande, esta función comenzará a producir menos números primos, y luego cambiará entre sobreestimación y subestimación un número infinito de veces.
La cacería era por el punto de partida de las carreras, y ahí apareció Stanley Skuse (ver foto). En 1933 demostró que el límite superior, cuando una función que aproxima el número de primos por primera vez da un valor menor, es el número. Es difícil entender verdaderamente, incluso en el sentido más abstracto, qué es realmente este número, y desde este punto de vista fue el número más grande jamás utilizado en una prueba matemática seria. Desde entonces, los matemáticos han podido reducir el límite superior a un número relativamente pequeño, pero el número original sigue siendo conocido como el número de Skewes.
Entonces, ¿qué tan grande es el número que convierte incluso al poderoso googolplex en enano? En The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells describe una forma en la que el matemático Hardy pudo dar sentido al tamaño del número de Skewes:
"Hardy pensó que era 'el número más grande jamás utilizado para un propósito particular en matemáticas' y sugirió que si el ajedrez se jugara con todas las partículas del universo como piezas, un movimiento consistiría en intercambiar dos partículas, y el juego se detendría cuando la misma posición se repitió una tercera vez, entonces el número de todos los juegos posibles sería igual al número de Skuse''.
Una última cosa antes de continuar: hablamos sobre el menor de los dos números de Skewes. Hay otro número de Skewes, que el matemático encontró en 1955. El primer número se deriva sobre la base de que la llamada Hipótesis de Riemann es verdadera, una hipótesis particularmente difícil en matemáticas que sigue sin probarse, muy útil cuando se trata de números primos. Sin embargo, si la hipótesis de Riemann es falsa, Skewes descubrió que el punto de inicio del salto aumenta a .
El problema de la magnitud
Antes de llegar a un número que hace que incluso el número de Skuse parezca pequeño, debemos hablar un poco sobre la escala porque, de lo contrario, no tenemos forma de estimar hacia dónde nos dirigimos. Primero tomemos un número: es un número pequeño, tan pequeño que las personas pueden tener una comprensión intuitiva de lo que significa. Son muy pocos los números que se ajustan a esta descripción, ya que los números mayores de seis dejan de ser números separados y pasan a ser "varios", "muchos", etc.
Ahora tomemos , es decir . Aunque en realidad no podemos de forma intuitiva, como hicimos con el número, averiguar qué, imaginar qué es, es muy fácil. Hasta ahora todo va bien. Pero, ¿qué pasa si vamos a ? Esto es igual a , o . Estamos muy lejos de poder imaginar este valor, como cualquier otro muy grande: estamos perdiendo la capacidad de comprender partes individuales en algún lugar alrededor de un millón. (Es cierto que tomaría un tiempo increíblemente largo contar hasta un millón de cualquier cosa, pero el punto es que aún podemos percibir ese número).
Sin embargo, aunque no podemos imaginar, al menos somos capaces de entender en términos generales, que es 7600 mil millones, tal vez comparándolo con algo así como el PIB de EE. UU. Hemos pasado de la intuición a la representación y al mero entendimiento, pero al menos todavía tenemos una brecha en nuestra comprensión de lo que es un número. Esto está a punto de cambiar a medida que avanzamos un peldaño más en la escalera.
Para hacer esto, necesitamos cambiar a la notación introducida por Donald Knuth, conocida como notación de flecha. Estas notaciones se pueden escribir como . Cuando vayamos a , el número que obtengamos será . Esto es igual a donde está el total de tripletes. Ahora hemos superado grande y verdaderamente todos los otros números ya mencionados. Después de todo, incluso el más grande de ellos tenía solo tres o cuatro miembros en la serie del índice. Por ejemplo, incluso el supernúmero de Skuse es "único"; incluso con el hecho de que tanto la base como los exponentes son mucho más grandes que , no es absolutamente nada en comparación con el tamaño de la torre de números con miles de millones de miembros.
Obviamente, no hay forma de comprender números tan grandes... y, sin embargo, el proceso por el cual se crean aún se puede entender. No pudimos entender el número real dado por la torre de poderes, que es mil millones de triples, pero básicamente podemos imaginar una torre así con muchos miembros, y una supercomputadora realmente decente podrá almacenar tales torres en la memoria, incluso si no puede calcular sus valores reales.
Se está volviendo cada vez más abstracto, pero solo empeorará. Podrías pensar que una torre de poderes cuya longitud de exponente es (además, en una versión anterior de esta publicación cometí exactamente ese error), pero es solo . En otras palabras, imagina que tienes la capacidad de calcular el valor exacto de una torre de energía de triples, que consta de elementos, y luego tomas este valor y creas una nueva torre con tantos en ella... eso da.
Repita este proceso con cada número sucesivo ( Nota comenzando desde la derecha) hasta que hagas esto una vez, y finalmente obtienes . Este es un número que es simplemente increíblemente grande, pero al menos los pasos para obtenerlo parecen estar claros si todo se hace muy lentamente. Ya no podemos entender los números o imaginar el procedimiento por el cual se obtienen, pero al menos podemos entender el algoritmo básico, solo en un tiempo suficientemente largo.
Ahora preparemos la mente para hacerlo estallar.
Número de Graham (Graham)
ronald graham
Así es como se obtiene el número de Graham, que figura en el Libro Guinness de los récords mundiales como el número más grande jamás utilizado en una prueba matemática. Es absolutamente imposible imaginar qué tan grande es, y es igual de difícil explicar exactamente qué es. Básicamente, el número de Graham entra en juego cuando se trata de hipercubos, que son formas geométricas teóricas con más de tres dimensiones. El matemático Ronald Graham (ver foto) quería averiguar cuál era el menor número de dimensiones que mantendría estables ciertas propiedades de un hipercubo. (Perdón por esta vaga explicación, pero estoy seguro de que todos necesitamos al menos dos títulos en matemáticas para que sea más precisa).
En cualquier caso, el número de Graham es una estimación superior de este número mínimo de dimensiones. Entonces, ¿qué tan grande es este límite superior? Volvamos a un número tan grande que podamos entender el algoritmo para obtenerlo de forma vaga. Ahora, en lugar de saltar un nivel más hasta , contaremos el número que tiene flechas entre el primer y el último triple. Ahora estamos mucho más allá de la más mínima comprensión de qué es este número o incluso de lo que se debe hacer para calcularlo.
Ahora repita este proceso veces ( Nota en cada paso siguiente, escribimos el número de flechas igual al número obtenido en el paso anterior).
Este, damas y caballeros, es el número de Graham, que está un orden de magnitud por encima del punto del entendimiento humano. Es un número que es mucho más grande que cualquier número que puedas imaginar, es mucho más grande que cualquier infinito que puedas imaginar, simplemente desafía incluso la descripción más abstracta.
Pero aquí está lo extraño. Dado que el número de Graham es básicamente tripletes multiplicados entre sí, conocemos algunas de sus propiedades sin calcularlo realmente. No podemos representar el número de Graham en ninguna notación con la que estemos familiarizados, incluso si usamos todo el universo para escribirlo, pero puedo darte los últimos doce dígitos del número de Graham ahora mismo: . Y eso no es todo: sabemos al menos los últimos dígitos del número de Graham.
Por supuesto, vale la pena recordar que este número es solo un límite superior en el problema original de Graham. Es posible que el número real de mediciones requeridas para cumplir con la propiedad deseada sea mucho, mucho menor. De hecho, desde la década de 1980, la mayoría de los expertos en el campo han creído que en realidad solo hay seis dimensiones, un número tan pequeño que podemos entenderlo en un nivel intuitivo. Desde entonces, el límite inferior se ha incrementado a , pero todavía hay una gran posibilidad de que la solución al problema de Graham no se encuentre cerca de un número tan grande como el de Graham.
Hasta el infinito
Entonces, ¿hay números más grandes que el número de Graham? Hay, por supuesto, para empezar está el número de Graham. En cuanto al número significativo... bueno, hay algunas áreas diabólicamente difíciles de las matemáticas (en particular, el área conocida como combinatoria) y la informática, en las que hay números incluso mayores que el número de Graham. Pero casi hemos llegado al límite de lo que espero pueda explicar razonablemente. Para aquellos que son lo suficientemente imprudentes como para ir aún más lejos, se ofrece lectura adicional bajo su propio riesgo.
Bueno, ahora una cita increíble que se le atribuye a Douglas Ray ( Nota Para ser honesto, suena bastante divertido:
“Veo grupos de números vagos acechando en la oscuridad, detrás del pequeño punto de luz que da la vela de la mente. Se susurran el uno al otro; hablando de quién sabe qué. Tal vez no les gustemos mucho por capturar a sus hermanos pequeños con nuestras mentes. O tal vez simplemente llevan una forma de vida numérica inequívoca, más allá de nuestra comprensión”.