Pirámide. Teoría detallada
Definición 1. Una pirámide se llama regular si su base es un polígono regular y la parte superior de dicha pirámide se proyecta en el centro de su base.
Definición 2. Una pirámide se llama regular si su base es un polígono regular y su altura pasa por el centro de la base.
Elementos de una pirámide regular
- La altura de una cara lateral extraída de su vértice se llama apotema. En la figura se designa como segmento ON
- El punto que conecta los bordes laterales y que no está en el plano de la base se llama cima de la piramide(O)
- Los triángulos que tienen un lado común con la base y uno de los vértices coincidente con el vértice se llaman caras laterales(AOD, DOC, COB, AOB)
- El segmento de la perpendicular trazada por la parte superior de la pirámide al plano de su base se llama altura de la pirámide(OK)
- Sección diagonal de una pirámide- esta es la sección que pasa por la parte superior y la diagonal de la base (AOC, BOD)
- Un polígono que no tiene un vértice de pirámide se llama la base de la piramide(A B C D)
si en la base pirámide correcta se encuentra un triángulo, cuadrilátero, etc. entonces se llama triangular regular , cuadrangular etc.
Una pirámide triangular es un tetraedro, un tetraedro.
Propiedades de una pirámide regular
Para resolver problemas, es necesario conocer las propiedades de los elementos individuales, que generalmente se omiten en la condición, ya que se cree que el estudiante debe saber esto desde el principio.
- costillas laterales son iguales entre ellos mismos
- las apotemas son iguales
- las caras laterales son iguales entre sí (al mismo tiempo, sus áreas, lados y bases son iguales, respectivamente), es decir, son triángulos iguales
- todas las caras laterales son triángulos isósceles congruentes
- en cualquier pirámide regular, puedes inscribir y describir una esfera a su alrededor
- si los centros de las esferas inscrita y circunscrita coinciden, entonces la suma de los ángulos planos en la parte superior de la pirámide es π, y cada uno de ellos es π/n, respectivamente, donde n es el número de lados del polígono base
- el area de la superficie lateral de una piramide regular es igual a la mitad del producto del perimetro de la base y la apotema
- un círculo se puede circunscribir cerca de la base de una pirámide regular (ver también el radio del círculo circunscrito de un triángulo)
- todas las caras laterales forman ángulos iguales con el plano base de una pirámide regular
- todas las alturas de las caras laterales son iguales entre sí
Instrucciones para resolver problemas.. Las propiedades enumeradas anteriormente deberían ayudar en una solución práctica. Si necesita encontrar los ángulos de inclinación de las caras, su superficie, etc., entonces la técnica general es dividir la figura tridimensional completa en figuras planas separadas y usar sus propiedades para encontrar elementos individuales de la pirámide, ya que muchos Los elementos son comunes a varias figuras.
Es necesario dividir toda la figura tridimensional en elementos separados: triángulos, cuadrados, segmentos. Además, para aplicar los conocimientos del curso de planimetría a elementos individuales, lo que simplifica enormemente encontrar la respuesta.
Fórmulas para la pirámide correcta
Fórmulas para encontrar el volumen y el área de la superficie lateral:
Notación:
V - volumen de la pirámide
S - área base
h - la altura de la pirámide
Sb - superficie lateral
a - apotema (no confundir con α)
P - perímetro de la base
n - número de lados de la base
b - longitud de la costilla lateral
α - ángulo plano en la parte superior de la pirámide
Esta fórmula para encontrar el volumen se puede utilizar solamente por pirámide correcta:
, dónde
V - volumen de una pirámide regular
h - la altura de la pirámide regular
n es el número de lados del polígono regular que es la base de la pirámide regular
a - longitud del lado de un polígono regular
Pirámide truncada correcta
Si dibujamos una sección paralela a la base de la pirámide, entonces el cuerpo encerrado entre estos planos y la superficie lateral se llama pirámide truncada. Esta sección de una pirámide truncada es una de sus bases.
La altura de la cara lateral (que es un trapezoide isósceles) se llama - apotema de una pirámide truncada regular.
Una pirámide truncada se dice correcta si la pirámide de la que se obtuvo es correcta.
- La distancia entre las bases de una pirámide truncada se llama altura de la pirámide truncada
- Todos caras de una pirámide truncada regular son trapezoides isósceles (isosceles)
notas
Ver también: casos especiales (fórmulas) para una pirámide regular:
Cómo usar los materiales teóricos dados aquí para resolver tu problema:
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- apotema- la altura de la cara lateral de una pirámide regular, que se dibuja desde su parte superior (además, la apotema es la longitud de la perpendicular, que se baja desde la mitad de un polígono regular a 1 de sus lados);
- caras laterales (ASB, BSC, CDS, DSA) - triángulos que convergen en la parte superior;
- costillas laterales ( COMO , licenciatura , CS , D.S. ) - lados comunes de las caras laterales;
- cima de la piramide (v.S) - un punto que conecta los bordes laterales y que no se encuentra en el plano de la base;
- altura ( ASI QUE ) - un segmento de la perpendicular, que se dibuja a través de la parte superior de la pirámide hasta el plano de su base (los extremos de dicho segmento serán la parte superior de la pirámide y la base de la perpendicular);
- sección diagonal de una pirámide- sección de la pirámide, que pasa por la parte superior y la diagonal de la base;
- base (A B C D) es un polígono al que no pertenece la parte superior de la pirámide.
propiedades de la pirámide.
1. Cuando todos los bordes laterales tengan el mismo tamaño, entonces:
- cerca de la base de la pirámide es fácil describir un círculo, mientras que la parte superior de la pirámide se proyectará en el centro de este círculo;
- las nervaduras laterales forman ángulos iguales con el plano base;
- además, lo contrario también es cierto, es decir cuando los bordes laterales forman ángulos iguales con el plano base, o cuando se puede describir un círculo cerca de la base de la pirámide y la parte superior de la pirámide se proyectará en el centro de este círculo, entonces todos los bordes laterales de la pirámide tienen el mismo tamaño.
2. Cuando las caras laterales tengan un ángulo de inclinación respecto al plano de la base del mismo valor, entonces:
- cerca de la base de la pirámide, es fácil describir un círculo, mientras que la parte superior de la pirámide se proyectará en el centro de este círculo;
- las alturas de las caras laterales son de igual longitud;
- el área de la superficie lateral es la mitad del producto del perímetro de la base y la altura de la cara lateral.
3. Se puede describir una esfera cerca de la pirámide si la base de la pirámide es un polígono alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan por los puntos medios de las aristas de la pirámide perpendiculares a ellos. De este teorema concluimos que una esfera puede describirse tanto alrededor de cualquier triángulo como alrededor de cualquier pirámide regular.
4. Una esfera se puede inscribir en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diedros internos de la pirámide se cortan en el 1er punto (condición necesaria y suficiente). Este punto se convertirá en el centro de la esfera.
La pirámide más simple.
Según el número de vértices de la base de la pirámide, se dividen en triangulares, cuadrangulares, etc.
La pirámide será triangular, cuadrangular, y así sucesivamente, cuando la base de la pirámide es un triángulo, un cuadrilátero, etc. Una pirámide triangular es un tetraedro, un tetraedro. Cuadrangular - pentaedro y así sucesivamente.